Vaatleme integraale, millel on lineaar-murdfunktsiooni juur:
(1) ,
kus R on tema argumentide ratsionaalne funktsioon. See tähendab, et funktsioon, mis koosneb selle argumentidest ja suvalistest konstantidest, kasutades piiratud arvu liitmise (lahutamise), korrutamise ja jagamise (täisarvulise astmeni tõstmise) tehteid.

Näited vaadeldavatest integraalidest, millel on lineaarne murdosa irratsionaalsus

Toome näiteid vormi juurtega integraalidest (1) .

Näide 1

Kuigi siin on integraali märgi all erineva astme juured, saab integrandi teisendada järgmiselt:
;
;
.

Seega koosneb integrand integreerimismuutujast x ja lineaarfunktsiooni juurtest, kasutades lõplikku arvu lahutamis-, jagamis- ja korrutamistoiminguid. Seetõttu on see x ja ja ratsionaalne funktsioon, mis kuulub vaadeldavasse tüüpi (1) konstantide väärtustega n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Näide 2

Siin teeme teisenduse:
.
See näitab, et integrand on x ja . Seetõttu kuulub see kõnealusesse tüüpi.

Lineaar-fraktsionaalse irratsionaalsuse üldnäide

Üldisemal juhul võib integrand sisaldada mis tahes piiratud arvu juuri samast lineaar-murdfunktsioonist:
(2) ,
kus R on selle argumentide ratsionaalne funktsioon,
- ratsionaalsed arvud,
m 1, n 1, ..., m s, n s- täisarvud.
Tõepoolest, olgu n arvude r 1 , ..., r s ühisnimetaja. Siis saab neid kujutada järgmiselt:
,
kus k 1, k 2, ..., k s- täisarvud. Siis kõik kaasatud (2) juured on võimed:
,
,
. . . . .
.

See tähendab, et kogu integrand (2) koosneb x-st ja juurest, kasutades lõplikku arvu liitmis-, korrutamis- ja jagamisoperatsioone. Seetõttu on see x ja : ratsionaalne funktsioon:
.

Juurte integreerimise meetod

Lineaar-murru irratsionaalsusega integraal
(1)
taandatakse asendamise teel ratsionaalse funktsiooni integraaliks
(3) .

Tõestus

Mõlema külje n-nda juure ekstraheerimine (3) :
.

Muutkem (3) :
;
;
.

Leiame tuletise:

;
;
.
Diferentsiaal:
.

Asendus sisse (1) :
.

See näitab, et integrand koosneb konstantidest ja integreerimismuutujast t, kasutades piiratud arvu liitmise (lahutamise), korrutamise (täisarvulise astmeni tõstmise) ja jagamise tehteid. Seetõttu on integrand integratsioonimuutuja ratsionaalne funktsioon. Seega on integraali arvutamine taandatud ratsionaalse funktsiooni integreerimiseks. Q.E.D.

Lineaarse irratsionaalsuse integreerimise näide

Leidke integraal:

Lahendus

Kuna integraal sisaldab sama (murdarvulise) lineaarfunktsiooni x + juuri 1 , ja integrand moodustatakse lahutamise ja jagamise tehteid kasutades, siis kuulub see integraal vaadeldavasse tüüpi.

Teisendame integrandi nii, et see sisaldab sama astme juuri:
;
;
.

Asenduse tegemine
x + 1 = t6.
Võtame diferentsiaali:
d (x+1)=dx= ( t6 )′ dt = 6t5dt.
Asendame:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Valime murdosa täisarvu, pannes seda tähele
t 6 - 1 = (t - 1) (t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Siis

.

Vastus

,
Kus.

Näide lineaar-fraktsionaalse irratsionaalsuse integreerimisest

Leidke integraal

Lahendus

Valime lineaar-murdfunktsiooni juure:
.
Siis
.
Asenduse tegemine
.
Võtame diferentsiaali
.
Tuletise leidmine
.
Siis
.
Järgmisena märkame seda
.
Asendus integrandis


.

Vastus

Viited:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Ülesannete kogumik kõrgemas matemaatikas, Lan, 2003.

Valmisvastused funktsioonide integreerimise kohta võetakse matemaatikateaduste 1. ja 2. kursuse üliõpilaste testist. Et ülesannete ja vastuste valemid ei kordaks ülesannete tingimusi, siis me välja ei kirjuta. Te juba teate, et ülesannete puhul peate kas "Otsige integraal" või "Arvutage integraal". Seega, kui vajate integratsiooni kohta vastuseid, alustage järgmiste näidete uurimisega.

Irratsionaalsete funktsioonide integreerimine

Näide 18. Teostame muutujate muutmise integraali all. Uue muutuja arvutuste lihtsustamiseks valime mitte ainult juure, vaid kogu nimetaja. Pärast sellist asendamist teisendatakse integraal kahe tabeliintegraali summaks, mida ei ole vaja lihtsustada

Pärast integreerimist asendame muutuja asendusega.
Näide 19. Selle murdarvu integreerimisest irratsionaalne funktsioon on kulutatud palju aega ja ruumi ning me isegi ei tea, kas saate midagi tahvelarvutist või telefonist sõeluda. Irratsionaalsusest vabanemiseks ja siin on tegu uue muutuja kuupjuurega, valime juurfunktsiooni kolmanda astmeni. Järgmisena leidke diferentsiaal ja asendage see eelmine funktsioon integraali all

Ajakava võtab kõige rohkem aega uus funktsioon võimsussõltuvuste ja murdude kohta

Peale teisendusi leiame kohe osa integraalidest ning viimase kirjutame kaheks, mille teisendame tabeliintegratsiooni valemite järgi

Pärast kõiki arvutusi ärge unustage naasta alguses tehtud asendamise juurde

Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine

Näide 20. Peate leidma siinuse integraali 7. astmeni. Reeglite järgi tuleb diferentsiaali sisse sõita üks siinus (saame koosinuse diferentsiaali) ja koosinuse kaudu kirjutada siinus 6. astmeni. Seega jõuame integratsioonini uue muutuja funktsioonist t = cos (x). Sel juhul peate erinevuse kuubikusse tooma ja seejärel integreerima



Selle tulemusena saame koosinusest 7. järku polünoomi.
Näide 21. Selles integraalis on vaja trigonomeetriliste valemite jaoks kirjutada 4. astme koosinus läbi sõltuvuse esimese astme koosinusest. Järgmisena rakendame tabelikoosinuse integreerimise valemit.


Näide 22. Integraali all on siinuse ja koosinuse korrutis. Trigonomeetriliste valemite järgi värvime toote siinuste erinevuse kaudu. Kuidas see vibu saadi, saab aru "x" koefitsientide analüüsist. Järgmisena integreerime siinused

Näide 23. Siin on nimetajas nii siinus kui ka koosinusfunktsioon. Pealegi ei aita trigonomeetrilised valemid sõltuvust lihtsustada. Integraali leidmiseks rakendame universaalset trigonomeetrilist muutust t=tan(x/2)

Kirjest on näha, et nimetajad vähenevad ja murru nimetajaks saame ruudukujulise trinoomi. Selles valime täisruudu ja vaba osa. Pärast integreerimist jõuame nimetaja lihttegurite erinevuse logaritmini. Märkimise lihtsustamiseks korrutati nii logaritmi all olev lugeja kui ka nimetaja kahega.

Arvutuste lõpus asendame muutuja asemel poole argumendi puutuja.
Näide 24. Funktsiooni integreerimiseks võtame koosinuse ruudu sulgudest välja ning lahutame ja lisame sulgudes ühe, et saada kotangens.

Järgmiseks valime uue muutuja jaoks kotangensi u = ctg (x), selle diferentsiaal annab meile kordaja, mida peame lihtsustama. Pärast asendamist jõuame funktsioonini, mis integreerituna annab kaartangensi.

Noh, ärge unustage muuta teid kotangensiks.
Näide 25. Testi viimases ülesandes tuleb integreerida topeltnurga kotangens 4. kraadiga.


Sellel test lõimumine on lahendatud ning ükski õpetaja ei leia vastustes ja ümberkujundamiste põhjendatuses viga.
Kui õpite sel viisil integreerima, pole integraaliteemalised testid või lõigud teie jaoks kohutavad. Kõigil teistel on võimalus õppida või tellida integraalide lahendusi meilt (või meie konkurentidelt :))).

Irratsionaalsete funktsioonide klass on väga lai, seega ei saa lihtsalt olla universaalset viisi nende integreerimiseks. Selles artiklis püüame kõige rohkem esile tõsta iseloomulikud liigid irratsionaalsed integrandid ja määrake neile integreerimismeetod.

On juhtumeid, kus on asjakohane kasutada diferentsiaalmärgi alla summeerimise meetodit. Näiteks vormi määramatute integraalide leidmisel, kus lk on ratsionaalne murd.

Näide.

Leidke määramatu integraal .

Lahendus.

Seda pole raske näha. Seetõttu võtame diferentsiaalmärgi alla ja kasutame antiderivaatide tabelit:

Vastus:

.

13. Murdline lineaarne asendus

Integraalid seda tüüpi, kus a, b, c, d on reaalarvud, a, b, ..., d, g on naturaalarvud, taandatakse asendusega ratsionaalfunktsiooni integraalideks, kus K on väärtuse vähim ühiskordne. murdude nimetajad

Tõepoolest, asendusest tuleneb, et

st x ja dx on väljendatud t ratsionaalsete funktsioonidena. Pealegi väljendatakse iga murdosa astet ratsionaalne funktsioon alates t.

Näide 33.4. Leidke integraal

Lahendus: 2/3 ja 1/2 nimetajate väikseim ühiskordne on 6.

Seetõttu eeldame, et x + 2 \u003d t 6, x \u003d t 6 -2, dx \u003d 6t 5 dt, seega,

Näide 33.5. Määrake integraalide leidmiseks asendus:

Lahendus: I 1 asenduseks x=t 2, I 2 asenduseks

14. Trigonomeetriline asendus

Tüübiintegraalid taandatakse trigonomeetrilistest funktsioonidest ratsionaalselt sõltuvate funktsioonide integraalideks, kasutades järgmisi trigonomeetrilisi asendusi: x=a sint esimese integraali jaoks; x = a tgt teise integraali jaoks; kolmanda integraali jaoks.

Näide 33.6. Leidke integraal

Lahendus: Olgu x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Siis

Siin on integrand ratsionaalne funktsioon x ja suhtes Eraldades radikaali all täisruudu ja tehes asendus, taandatakse näidatud tüübi integraalid juba vaadeldud tüübi integraalideks, st tüübi integraalideks. Neid integraale saab arvutada sobivate trigonomeetriliste asenduste abil.

Näide 33.7. Leidke integraal

Lahendus: Kuna x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, siis x+1=t, x=t-1, dx=dt. Sellepärast Paneme

Märkus: integraalne tüüp on otstarbekas leida kasutades asendust x=1/t.

15. Määratud integraal

Olgu segmendil antud funktsioon ja sellel on antituletis. Erinevust nimetatakse kindel integraal funktsioonid intervallil ja tähistavad. Niisiis,

Erinevus on siis kirjutatud kujul . Numbrid kutsutakse integratsiooni piirangud .

Näiteks funktsiooni üks antiderivaate. Sellepärast

16 . Kui с on konstantne arv ja funktsioon ƒ(х) on integreeritav , siis

st kindla integraali märgist saab välja võtta konstantse teguri c.

▼Koostage funktsiooni integraalsumma ƒ(x) abil. Meil on:

Siis See tähendab, et funktsioon ƒ(x) on integreeritav [a; b] ja valem (38.1) kehtib.▲

2. Kui funktsioonid ƒ 1 (х) ja ƒ 2 (х) on integreeritavad [а;b]-ga, siis on see integreeritav [а; b] nende summa u

st summa integraal on võrdne integraalide summaga.

▼
▲

Omadus 2 laieneb mis tahes lõpliku arvu terminite summale.

3.

Seda omadust saab definitsiooni järgi aktsepteerida. Seda omadust kinnitab ka Newtoni-Leibnizi valem.

4. Kui funktsioon ƒ(x) on integreeritav [a; b] ja a< с < b, то

st kogu lõigu integraal on võrdne selle lõigu osade integraalide summaga. Seda omadust nimetatakse kindla integraali liitivuseks (või liiteomaduseks).

Lõigu [а; b] osadeks jagamisel kaasame punkti с jagamispunktide hulka (seda saab teha, kuna integraalsumma piir ei sõltu lõigu [а; b] jagamise meetodist osad). Kui c \u003d x m, siis saab integraalsumma jagada kaheks summaks:

Iga kirjutatud summa on lõikude [a; b], [a; s] ja [s; b]. Minnes viimases võrduses olevale piirile n → ∞ (λ → 0), saame võrdsuse (38.3).

Omadus 4 kehtib punktide a, b, c mis tahes paigutuse korral (eeldame, et funktsioon ƒ (x) on integreeritav saadud lõikudest suurimal).

Näiteks kui a< b < с, то

(kasutatakse atribuute 4 ja 3).

5. "Keskmise väärtuse teoreem". Kui funktsioon ƒ(x) on pidev lõigul [a; b], siis on olemas õhuke joon є [a; b] selline, et

▼Vastavalt Newtoni-Leibnizi valemile on meil

kus F "(x) \u003d ƒ (x). Rakendades Lagrange'i teoreemi (teoreem funktsiooni lõpliku juurdekasvu kohta) erinevusele F (b) - F (a), saame

F (b) -F (a) \u003d F "(c) (b-a) \u003d ƒ (c) (b-a). ▲

Omadus 5 ("keskmine teoreem") ƒ (x) ≥ 0 korral on lihtsa geomeetrilise tähendusega: kindla integraali väärtus on mõne c є (a; b) korral ristküliku pindala kõrgusega ƒ ( c) ja alus b- a (vt joonis 170). Number

nimetatakse funktsiooni ƒ(x) keskmiseks väärtuseks lõigul [a; b].

6. Kui funktsioon ƒ (x) säilitab oma märgi lõigul [a; b], kus a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Vastavalt "keskmise teoreemile" (omadus 5)

kus c є [a; b]. Ja kuna ƒ(х) ≥ 0 kõigi x О [а; b], siis

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Seetõttu ƒ(c) (b-a) ≥ 0, s.o. ▲

7. Pidevate funktsioonide vaheline ebavõrdsus intervallil [a; b], (a

▼Alates ƒ 2 (х)–ƒ 1 (x) ≥0, siis< b, согласно свойству 6, имеем

Või vastavalt atribuudile 2

Pange tähele, et ebavõrdsust on võimatu eristada.

8. Integraali hinnang. Kui m ja M on vastavalt funktsiooni y \u003d ƒ (x) väikseim ja suurim väärtus lõigul [a; b], (a< b), то

▼Kuna iga x є [а;b] korral on meil m≤ƒ(х)≤М, siis vastavalt omadusele 7 on meil

Rakendades omaduse 5 äärmuslikele integraalidele, saame

▲

Kui ƒ(x)≥0, siis omadus 8 on illustreeritud geomeetriliselt: kõverjoonelise trapetsi pindala on ümbritsetud ristkülikute alade vahele, mille alus on , ja kõrgused on võrdsed m ja M (vt joonis 171).

9. Kindla integraali moodul ei ületa integrandi mooduli integraali:

▼Rakendades omadust 7 ilmsetele ebavõrdsustele -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, saame

Sellest järeldub

▲

10. Kindla integraali tuletis muutuja ülempiiri suhtes on võrdne integrandiga, milles integreerimismuutuja asendatakse selle piiriga, s.o.

Figuuri pindala arvutamine on pindalateoorias üks keerulisemaid probleeme. Kooli geomeetria kursusel õppisime leidma põhiliste geomeetriliste kujundite pindalasid nagu ring, kolmnurk, romb jne. Hoopis sagedamini tuleb aga tegeleda keerukamate kujundite pindalade arvutamisega. Selliste ülesannete lahendamisel tuleb kasutada integraalarvutust.

Selles artiklis käsitleme kõverjoonelise trapetsi pindala arvutamise probleemi ja läheneme sellele geomeetrilises mõttes. See võimaldab meil välja selgitada otsese seose kindla integraali ja kõverjoonelise trapetsi pindala vahel.

Under irratsionaalne mõista avaldist, milles sõltumatu muutuja %%x%% või polünoom %%P_n(x)%% astmest %%n \in \mathbb(N)%% on märgi all radikaalne(ladina keelest radix- juur), st. tõstetakse murdarvuni. Mõnda %%x%% suhtes irratsionaalsete integrandide klasse saab redutseerida muutuja muutmisega uue muutuja suhtes ratsionaalseteks avaldisteks.

Ühe muutuja ratsionaalse funktsiooni mõistet saab laiendada mitmele argumendile. Kui iga argumendi %%u, v, \dotsc, w%% kohal on funktsiooni väärtuse arvutamisel ette nähtud ainult aritmeetilised toimingud ja täisarvulise astmeni tõstmine, siis räägitakse nende argumentide ratsionaalsest funktsioonist, mis on tavaliselt tähistatakse %%R (u, v, \ dotsc,w)%%. Sellise funktsiooni argumendid võivad ise olla sõltumatu muutuja %%x%% funktsioonid, sealhulgas radikaalid kujul %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Näiteks ratsionaalne funktsioon $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$, kui %%u = x, v = \sqrt(x)%% ja %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% on $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ %%x%%st ja radikaalidest %%\sqrt(x)%% ja %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, samas kui funktsioon %%f(x)%% on ühe sõltumatu muutuja %%x%% irratsionaalne (algebraline) funktsioon.

Vaatleme integraale kujul %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Selliseid integraale ratsionaliseeritakse, muutes muutujat %%t = \sqrt[n](x)%%, siis %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Näide 1

Otsige üles %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Soovitud argumendi integrand kirjutatakse astmete %%2%% ja %%3%% radikaalide funktsioonina. Kuna %%2%% ja %%3%% vähim ühiskordne on %%6%%, on see integraal tüüpi %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) integraal x %% ja seda saab ratsionaliseerida, asendades %%\sqrt(x) = t%%. Siis %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Seetõttu $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Oletame, et %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% ja $$ \begin(massiivi)(ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)(z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(massiiv) $$

Integraalid kujul %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% on lineaar-murru irratsionaalsuste erijuht, s.t. integraalid kujul %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, kus %% ad - bc \neq 0%%, mida saab ratsionaliseerida, muutes muutujat %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, siis %%x = \dfrac( dt^n - b)(a - ct^n)%%. Siis $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Näide 2

Otsige üles %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Võtame %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, siis %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(massiivi)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(massiiv) $$ Seetõttu $$ \begin(massiiv)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(massiivi) $$

Vaatleme integraale kujul %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Lihtsamal juhul taandatakse sellised integraalid tabeliteks, kui pärast täisruudu valimist tehakse muutujate muudatus.

Näide 3

Leidke integraal %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Arvestades, et %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, võtame %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, siis $$ \begin(massiiv)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(massiiv) $$

Keerulisematel juhtudel kasutame integraalide leidmiseks kujul %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%,