Definitsioon 1

Teatud segmendil defineeritud antud funktsiooni $y=f(x)$ kõigi antiderivaatide hulka nimetatakse antud funktsiooni $y=f(x)$ määramatuks integraaliks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga $\int f(x)dx $.

Kommenteeri

Definitsiooni 2 saab kirjutada järgmiselt:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Mitte iga irratsionaalset funktsiooni ei saa elementaarfunktsioonide kaudu väljendada integraalina. Enamikku neist integraalidest saab aga taandada, kasutades asendusi ratsionaalsete funktsioonide integraalidele, mida saab väljendada elementaarfunktsioonide kaudu.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx) +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

I

Vormi $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ integraali leidmisel tuleb teha järgmine asendus:

Selle asendusega väljendatakse muutuja $x$ iga murdarvu muutuja $t$ täisarvu astme kaudu. Selle tulemusena muudetakse integrandi funktsioon muutuja $t$ ratsionaalseks funktsiooniks.

Näide 1

Tehke integreerimine:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Lahendus:

$k=4$ on murdude $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $ ühisnimetaja.

\ \[\begin(massiiv)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(massiiv)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Vormi $\int integraali leidmisel R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ on vaja teha järgmine asendus:

kus $k$ on murdude $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $ ühisnimetaja.

Selle asendamise tulemusena muudetakse integrandi funktsioon muutuja $t$ ratsionaalseks funktsiooniks.

Näide 2

Tehke integreerimine:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Lahendus:

Teeme järgmise asendus:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Pärast vastupidise asendamise tegemist saame lõpptulemuse:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Leides integraali kujul $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, tehakse nn Euleri asendus (üks kolmest võimalikust asendusest on kasutatud).

Euleri esimene asendus

Juhtumi $a> jaoks

Võttes "+" märgi $\sqrt(a) $ ees, saame

Näide 3

Tehke integreerimine:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Lahendus:

Tehkem järgmine asendus (juhtum $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Pärast vastupidise asendamise tegemist saame lõpptulemuse:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Euleri teine ​​asendus

Juhul $c>0$ on vaja teha järgmine asendus:

Võttes "+" märgi $\sqrt(c) $ ees, saame

Näide 4

Tehke integreerimine:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Lahendus:

Teeme järgmise asendus:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Olles teinud vastupidise asendus, saame lõpptulemuse:

\[\begin(massiiv)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( massiiv)\]

Euleri kolmas asendus

Irratsionaalsete funktsioonide klass on väga lai, seega ei saa lihtsalt olla universaalset viisi nende integreerimiseks. Käesolevas artiklis püüame välja selgitada kõige iseloomulikumad irratsionaalsete integrandfunktsioonide tüübid ja seostada nendega integreerimismeetodi.

On juhtumeid, kui on asjakohane kasutada diferentsiaalmärgi märkimise meetodit. Näiteks vormi määramatute integraalide leidmisel, kus lk- ratsionaalne murd.

Näide.

Leidke määramatu integraal .

Lahendus.

Seda pole raske märgata. Seetõttu paneme selle diferentsiaalmärgi alla ja kasutame antiderivaatide tabelit:

Vastus:

.

13. Murdline lineaarne asendus

Integraalid seda tüüpi, kus a, b, c, d on reaalarvud, a, b,..., d, g on naturaalarvud, taandatakse asendamise teel ratsionaalfunktsiooni integraalideks, kus K on funktsiooni vähim ühiskordne. murdude nimetajad

Tõepoolest, asendusest järeldub see

st x ja dx väljendatakse t ratsionaalsete funktsioonide kaudu. Veelgi enam, iga murdosa astet väljendatakse t ratsionaalse funktsiooni kaudu.

Näide 33.4. Leidke integraal

Lahendus: Murdude 2/3 ja 1/2 nimetajate väikseim ühiskordne on 6.

Seetõttu paneme x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, seega,

Näide 33.5. Määrake integraalide leidmiseks asendus:

Lahendus: I 1 asenduseks x=t 2, I 2 asenduseks

14. Trigonomeetriline asendus

Tüübi integraalid taandatakse funktsioonide integraalideks, mis ratsionaalselt sõltuvad trigonomeetrilistest funktsioonidest, kasutades järgmisi trigonomeetrilisi asendusi: x = esimese integraali sint; x=a tgt teise integraali jaoks;

Näide 33.6. Leidke integraal

Lahendus: paneme x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Siis

Siin on integrand ratsionaalne funktsioon x ja suhtes Valides radikaali all täisruudu ja tehes asendus, taandatakse näidatud tüüpi integraalid juba vaadeldud tüübi integraalideks, st tüübi integraalideks. Neid integraale saab arvutada sobivate trigonomeetriliste asenduste abil.

Näide 33.7. Leidke integraal

Lahendus: Kuna x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, siis x+1=t, x=t-1, dx=dt. Sellepärast Paneme

Märkus: integraalne tüüp Otstarbekas on leida kasutades asendust x=1/t.

15. Määratud integraal

Olgu funktsioon defineeritud segmendil ja sellel on antituletis. Erinevust nimetatakse kindel integraal funktsioonid piki segmenti ja tähistavad. Niisiis,

Erinevus on siis vormis kirjas . Numbrid kutsutakse integratsiooni piirid .

Näiteks funktsiooni üks antiderivaate. Sellepärast

16 . Kui c on konstantne arv ja funktsioon ƒ(x) on integreeritav , siis

ehk kindla integraali märgist saab välja võtta konstantse teguri c.

▼Koostame funktsiooni integraalsumma ƒ(x) abil. Meil on:

Sellest järeldub, et funktsioon c ƒ(x) on integreeritav [a; b] ja valem (38.1) kehtib.▲

2. Kui funktsioonid ƒ 1 (x) ja ƒ 2 (x) on integreeritavad [a;b]-ga, siis integreeritavad [a; b] nende summa u

see tähendab, et summa integraal on võrdne integraalide summaga.

▼
▲

Atribuut 2 rakendub mis tahes lõpliku arvu terminite summale.

3.

Seda omadust saab definitsiooni järgi aktsepteerida. Seda omadust kinnitab ka Newtoni-Leibnizi valem.

4. Kui funktsioon ƒ(x) on integreeritav [a; b] ja a< с < b, то

see tähendab, et kogu lõigu integraal on võrdne selle lõigu osade integraalide summaga. Seda omadust nimetatakse kindla integraali liitivuseks (või liiteomaduseks).

Lõigu [a;b] osadeks jagamisel kaasame punkti c jagamispunktide hulka (seda saab teha tänu integraalsumma piiri sõltumatusele lõigu [a;b] jagamise meetodist osadeks). Kui c = x m, siis saab integraalsumma jagada kaheks summaks:

Iga kirjutatud summa on lõikude [a; b], [a; s] ja [s; b]. Minnes viimases võrduses olevale piirile n → ∞ (λ → 0), saame võrdsuse (38.3).

Omadus 4 kehtib punktide a, b, c mis tahes asukoha jaoks (eeldame, et funktsioon ƒ (x) on integreeritav tulemuseks olevatest suurematest lõikudest).

Näiteks kui a< b < с, то

(kasutati atribuute 4 ja 3).

5. "Keskmiste väärtuste teoreem." Kui funktsioon ƒ(x) on pidev intervallil [a; b], siis on olemas tonka, mille є [a; b] selline, et

▼Meil on Newtoni-Leibnizi valemiga

kus F"(x) = ƒ(x). Rakendades Lagrange'i teoreemi (teoreem funktsiooni lõpliku juurdekasvu kohta) erinevusele F(b)-F(a), saame

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Omadusel 5 ("keskmise väärtuse teoreem") ƒ (x) ≥ 0 korral on lihtne geomeetriline tähendus: kindla integraali väärtus on mõne c є (a; b) korral võrdne ristküliku pindalaga kõrgusega ƒ (c) ja alusega b-a (vt joon. 170). Number

nimetatakse funktsiooni ƒ(x) keskmiseks väärtuseks intervallil [a; b].

6. Kui funktsioon ƒ (x) säilitab oma märgi lõigul [a; b], kus a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Keskmise väärtuse teoreemiga (omadus 5)

kus c є [a; b]. Ja kuna ƒ(x) ≥ 0 kõigi x О [a; b], siis

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Seetõttu ƒ(с) (b-а) ≥ 0, s.o. ▲

7. Pidevate funktsioonide vaheline ebavõrdsus intervallil [a; b], (a

▼Kuna ƒ 2 (x)–ƒ 1 (x) ≥ 0, siis kui a< b, согласно свойству 6, имеем

Või vastavalt atribuudile 2

Pange tähele, et ebavõrdsust on võimatu eristada.

8. Integraali hinnang. Kui m ja M on vastavalt funktsiooni y = ƒ (x) väikseim ja suurim väärtus lõigul [a; b], (a< b), то

▼Kuna iga x є [a;b] korral on meil m≤ƒ(x)≤M, siis vastavalt omadusele 7 on meil

Rakendades omadust 5 äärmuslikele integraalidele, saame

▲

Kui ƒ(x)≥0, siis omadus 8 on illustreeritud geomeetriliselt: kõverjoonelise trapetsi pindala on ümbritsetud ristkülikute alade vahele, mille alus on ja mille kõrgused on m ja M (vt joonis 171).

9. Kindla integraali moodul ei ületa integrandi mooduli integraali:

▼Rakendades omadust 7 ilmsetele ebavõrdsustele -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, saame

Sellest järeldub

▲

10. Kindla integraali tuletis muutuja ülempiiri suhtes on võrdne integrandiga, milles integreerimismuutuja asendatakse selle piiriga, s.o.

Figuuri pindala arvutamine on pindalateooria üks keerulisemaid probleeme. Kooli geomeetria kursusel õppisime leidma geomeetriliste põhikujundite alasid, näiteks ring, kolmnurk, romb jne. Hoopis sagedamini tuleb aga tegeleda keerukamate kujundite pindalade arvutamisega. Selliste ülesannete lahendamisel tuleb kasutada integraalarvutust.

Selles artiklis käsitleme kõverjoonelise trapetsi pindala arvutamise probleemi ja läheneme sellele geomeetrilises mõttes. See võimaldab meil välja selgitada otsese seose kindla integraali ja kõverjoonelise trapetsi pindala vahel.

Varem leidsime antud funktsiooni antud funktsiooni, juhindudes erinevatest valemitest ja reeglitest, selle tuletise. Tuletisel on palju kasutusvõimalusi: see on liikumiskiirus (või üldisemalt mis tahes protsessi kiirus); funktsiooni graafiku puutuja nurkkoefitsient; tuletise abil saate uurida funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse osas; see aitab lahendada optimeerimisprobleeme.

Kuid koos teadaoleva liikumisseaduse järgi kiiruse leidmise probleemiga on ka pöördprobleem – liikumisseaduse taastamise probleem teadaoleva kiiruse järgi. Vaatleme ühte neist probleemidest.

Näide 1. Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt, selle kiirus ajahetkel t on antud valemiga v=gt. Leidke liikumisseadus.
Lahendus. Olgu s = s(t) soovitud liikumisseadus. On teada, et s"(t) = v(t). See tähendab, et ülesande lahendamiseks tuleb valida funktsioon s = s(t), mille tuletis on võrdne gt-ga. Pole raske ära arvata et \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Vastus: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Märgime kohe, et näide on lahendatud õigesti, kuid mittetäielikult. Saime \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Tegelikult on probleemil lõpmata palju lahendusi: mis tahes funktsioon kujul \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kus C on suvaline konstant, võib toimida liikumine, kuna \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Probleemi täpsemaks muutmiseks tuli fikseerida lähteolukord: näidata liikuva punkti koordinaat mingil ajahetkel, näiteks t = 0. Kui näiteks s(0) = s 0, siis alates võrdus s(t) = (gt 2)/2 + C saame: s(0) = 0 + C, st C = s 0. Nüüd on liikumisseadus üheselt defineeritud: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matemaatikas antakse vastastikku pöördtehtetele erinevaid nimetusi, leiutatakse spetsiaalsed tähistused, näiteks: ruut (x 2) ja ruutjuur (\(\sqrt(x) \)), siinus (sin x) ja arcsinus (arcsin x) ja jne. Antud funktsiooni tuletise leidmise protsessi nimetatakse eristamist, ja pöördtehte, st antud tuletisest funktsiooni leidmise protsess, on integratsiooni.

Mõistet "tuletis" saab põhjendada "igapäevases mõttes": funktsioon y = f(x) "sünnitab" uue funktsiooni y" = f"(x). Funktsioon y = f(x) toimib "vanemana", kuid matemaatikud ei nimeta seda loomulikult "vanemaks" või "tootjaks", nad ütlevad, et see on funktsiooni y" = f"(; x) , põhikujutis või primitiivne.

Definitsioon. Funktsiooni y = F(x) nimetatakse antituletiseks funktsiooni y = f(x) jaoks intervallis X, kui võrdus F"(x) = f(x) kehtib \(x \in X\)

Praktikas intervalli X tavaliselt ei täpsustata, vaid see on kaudne (funktsiooni definitsiooni loomuliku domeenina).

Toome näiteid.
1) Funktsioon y = x 2 on funktsiooni y = 2x antituletis, kuna iga x korral on võrdus (x 2)" = 2x tõene
2) Funktsioon y = x 3 on funktsiooni y = 3x 2 antituletis, kuna iga x korral on võrdus (x 3)" = 3x 2 tõene
3) Funktsioon y = sin(x) on funktsiooni y = cos(x) antituletis, kuna iga x korral on võrdus (sin(x))" = cos(x) tõene

Antiderivaatide ja ka derivaatide leidmisel ei kasutata mitte ainult valemeid, vaid ka mõningaid reegleid. Need on otseselt seotud vastavate tuletisinstrumentide arvutamise reeglitega.

Teame, et summa tuletis on võrdne selle tuletiste summaga. See reegel genereerib vastava reegli antiderivaatide leidmiseks.

1. reegel. Summa antiderivaat on võrdne antiderivatiivide summaga.

Teame, et konstantse teguri saab tuletise märgist välja võtta. See reegel genereerib vastava reegli antiderivaatide leidmiseks.

2. reegel. Kui F(x) on f(x) antiderivaat, siis kF(x) on kf(x) antiderivaat.

1. teoreem. Kui y = F(x) on funktsiooni y = f(x) antituletis, siis funktsiooni y = f(kx + m) antituletiseks on funktsioon \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

2. teoreem. Kui y = F(x) on funktsiooni y = f(x) antituletis vahemikus X, siis funktsioonil y = f(x) on lõpmatult palju antituletisi ja need kõik on kujul y = F(x) + C.

Integratsioonimeetodid

Muutuv asendusmeetod (asendusmeetod)

Asenduse teel integreerimise meetod hõlmab uue integratsioonimuutuja (st asendamise) sisestamist. Sel juhul taandatakse antud integraal uueks integraaliks, mis on tabelikujuline või sellele taandatav. Üldised meetodid asenduste valimiseks puuduvad. Oskus asendust õigesti määrata omandatakse harjutades.
Olgu vaja arvutada integraal \(\textstyle \int F(x)dx \). Teeme asendus \(x= \varphi(t) \), kus \(\varphi(t) \) on funktsioon, millel on pidev tuletis.
Seejärel \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ja määramata integraali integreerimisvalemi muutumatuse omaduse põhjal saame asendamise teel integreerimisvalemi:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Vormi \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) avaldiste integreerimine

Kui m on paaritu, m > 0, siis on mugavam teha asendus sin x = t.
Kui n on paaritu, n > 0, siis on mugavam teha asendus cos x = t.
Kui n ja m on paarisarvulised, siis on mugavam teha asendus tg x = t.

Integreerimine osade kaupa

Integreerimine osade kaupa – rakendades integreerimiseks järgmist valemit:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
või:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Mõnede funktsioonide määramata integraalide (antiderivaatide) tabel

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Selles jaotises käsitletakse ratsionaalsete funktsioonide integreerimise meetodit. 7.1. Lühiinfo ratsionaalfunktsioonide kohta Lihtsaim ratsionaalne funktsioon on kümnendiku astme polünoom, s.o. funktsioon kujul, kus on reaalsed konstandid ja a0 Ф 0. Polünoomi Qn(x), mille koefitsienti a0 = 1 nimetatakse redutseerituks. Reaalarvu b nimetatakse polünoomi Qn(z) juureks, kui Q„(b) = 0. On teada, et iga reaalkoefitsientidega polünoom Qn(x) laguneb üheselt reaalteguriteks kujul, kus p, q on reaalsed koefitsiendid ja ruutteguritel pole reaalseid juuri ja seetõttu ei saa neid lagundada reaalseteks lineaarseteks teguriteks. Kombineerides identsed tegurid (kui neid on) ja eeldades lihtsuse huvides, et polünoom Qn(x) on redutseeritud, saame kirjutada selle faktoriseerimise kujul, kus on naturaalarvud. Kuna polünoomi Qn(x) aste on võrdne n-ga, siis on kõigi eksponentide summa a, /3,..., A, mis on liidetud kõigi eksponentide topeltsummale ω,..., q, võrdne kuni n: polünoomi juurt a nimetatakse lihtsaks või ühekordseks , kui a = 1 ja mitmekordseks, kui a > 1; arvu a nimetatakse juure a kordsuseks. Sama kehtib ka polünoomi teiste juurte kohta. Ratsionaalfunktsioon f(x) ehk ratsionaalne murd on kahe polünoomi suhe ja eeldatakse, et polünoomidel Pm(x) ja Qn(x) pole ühiseid tegureid. Ratsionaalmurdu nimetatakse õigeks, kui polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, s.t. Kui m n, siis nimetatakse ratsionaalset murdu ebaõigeks murruks ja sel juhul jagades lugeja nimetajaga vastavalt polünoomide jagamise reeglile, saab selle esitada kujul, kus on mõned polünoomid ja ^^ on õige ratsionaalne murd. Näide 1. Ratsionaalne murd on vale murd. Jagades "nurgaga", on meil Seetõttu. Siin. ja see on õige murdosa. Definitsioon. Lihtsaimad (või elementaar-) murrud on nelja järgmist tüüpi ratsionaalsed murrud: kus on reaalarvud, k on naturaalarv, mis on suurem või võrdne 2-ga ja kolmikruudul x2 + px + q pole reaaljuuri, seega -2 _2 on selle diskriminant Algebras on tõestatud järgmine teoreem. Teoreem 3. Reaalkoefitsientidega õige ratsionaalne murd, mille nimetaja Qn(x) on kuju, laguneb unikaalsel viisil lihtmurdude summaks vastavalt reeglile Ratsionaalfunktsioonide integreerimine Lühiinfo ratsionaalfunktsioonide kohta Lihtmurdude integreerimine Üldjuhul Irratsionaalsete funktsioonide integreerimine Esimene Euleri asendus Teine Euleri asendus Euleri kolmas asendus Selles laienduses on mõned reaalsed konstandid, millest mõned võivad olla võrdsed nulliga. Nende konstantide leidmiseks tuuakse võrdsuse (I) parem pool ühise nimetaja juurde ja seejärel võrdsustatakse koefitsiendid, mis on samade astmetega x vasaku ja parema külje lugejates. See annab lineaarsete võrrandite süsteemi, millest leitakse vajalikud konstandid. . Seda tundmatute konstantide leidmise meetodit nimetatakse määramata koefitsientide meetodiks. Mõnikord on mugavam kasutada mõnda muud tundmatute konstantide leidmise meetodit, mis seisneb selles, et pärast lugejate võrdsustamist saadakse x suhtes identsus, milles argumendile x antakse mingid väärtused, näiteks väärtused ​juurtest, mille tulemuseks on võrrandid konstantide leidmiseks. Eriti mugav on see, kui nimetajal Q„(x) on ainult reaalsed lihtjuured. Näide 2. Jagage ratsionaalne murd lihtsamateks murdudeks. Jagame nimetaja korrutisteks: Kuna nimetaja juured on reaalsed ja erinevad, siis valemi (1) põhjal on murdu lagunemine lihtsaimaks kujul: Selle võrdsuse õige au taandamine ühisnimetaja ja võrdsustades selle vasakul ja paremal küljel olevad lugejad, saame identiteedi või Leiame tundmatud koefitsiendid A. 2?, C kahel viisil. Esimene viis Koefitsientide võrdsustamine x samade astmete korral, t.v. (vaba liige) ning identiteedi vasaku ja parema poolega saame tundmatute koefitsientide A, B, C leidmiseks lineaarse võrrandisüsteemi: Sellel süsteemil on unikaalne lahendus C Teine meetod. Kuna nimetaja juured on rebitud i 0 juures, saame 2 = 2A, kust A * 1; g i 1, saame -1 * -B, millest 5 * 1; x i 2, saame 2 = 2C. kust C» 1, ja nõutav laiend on kujul 3. Rehlozhnt mitte kõige lihtsamad murded ratsionaalne murd 4 Lagundame polünoomi, mis on vastupidises suunas, teguriteks: . Nimetajal on kaks erinevat reaaljuurt: x\ = 0 kordsuse kordsus 3. Seetõttu ei ole selle murru dekomponeerimine kõige lihtsam: Tahandades parema külje ühiseks nimetajaks, leiame või Esimene meetod. Koefitsientide võrdsustamine x samade astmete jaoks viimase identiteedi vasakul ja paremal küljel. saame lineaarse võrrandisüsteemi. Sellel süsteemil on ainulaadne lahendus ja vajalik laiendus on teine ​​meetod. Saadud identiteedis, pannes x = 0, saame 1 a A2 või A2 = 1; väli* gei x = -1, saame -3 i B) või Bj i -3. Koefitsientide A\ ja B) leitud väärtuste asendamisel saab identiteedi kuju või panna x = 0 ja siis x = -I. leiame, et = 0, B2 = 0 ja. see tähendab, et B\ = 0. Nii saame jällegi näite 4. Laiendage ratsionaalne murd 4 lihtsamateks murdudeks Murru nimetajal pole reaalseid juuri, kuna funktsioon x2 + 1 ei kao ühegi x reaalväärtuse korral. Seetõttu peaks lihtmurdudeks jaotamine välja nägema nii: Siit saame või. Võrdsustades x-i sünaksi astmete koefitsiente viimase võrrandi vasakul ja paremal küljel, saame selle koha, kus leiame ja seetõttu tuleb märkida, et mõnel juhul saab lihtsateks murdudeks lagunemise kiiremini ja hõlpsamini saada toimides. muul viisil, kasutamata määramatute koefitsientide meetodit Näiteks näites 3 oleva murdosa lagunemise saamiseks võite lugejas 3x2 liita ja lahutada ning jagada, nagu allpool näidatud. 7.2. Lihtmurrude integreerimine, Nagu eespool mainitud, saab iga ebaõiget ratsionaalset murdu esitada mõne polünoomi ja õige ratsionaalmurru summana (§7) ning see esitus on ainulaadne. Polünoomi integreerimine ei ole keeruline, seega kaaluge õige ratsionaalse murru integreerimise küsimust. Kuna iga õiget ratsionaalset murdu saab esitada lihtmurdude summana, taandatakse selle integreerimine lihtmurdude integreerimiseks. Vaatleme nüüd nende integreerimise küsimust. III. Kolmanda tüübi lihtsaima murru integraali leidmiseks eraldame binoomi täisruut ruuttrinoomist: Kuna teine ​​liige on võrdne a2-ga, kus ja siis teeme asendus. Seejärel, võttes arvesse integraali lineaarseid omadusi, leiame: Näide 5. Leidke integraal 4 Integrandi funktsioon on kolmanda tüübi kõige lihtsam murd, kuna ruuttrinoomil x1 + Ax + 6 pole reaaljuuri (selle diskriminant on negatiivne: , ja lugeja sisaldab esimese astme polünoomi. Seetõttu toimime järgmiselt: 1) valime nimetajas täiusliku ruudu 2) asendame (siin 3) * ühe integraaliga. Lihtsaim murdosa neljandast tüübist, paneme, nagu eespool, . Seejärel saame paremalt poolt tähistatud A-ga tähistatud integraali ja teisendame selle järgmiselt: Parempoolne integraal integreeritakse osade kaupa, eeldades, kust või Ratsionaalfunktsioonide integreerimine Lühiteave ratsionaalsete funktsioonide kohta Lihtmurdude integreerimine Üldjuhtum Irratsionaali integreerimine funktsioonid Euleri esimene asendus Teine Euleri asendus Kolmas asendus Euler Saime nn korduva valemi, mis võimaldab leida integraali Jk mis tahes k = 2, 3, korral. ... Tõepoolest, integraal J\ on tabelikujuline: Kui sisestate kordusvalemi, leiame, et teades ja pannes A = 3, leiame lihtsalt Jj ja nii edasi. Asendades lõpptulemuses kõikjal t ja a asemel nende avaldised x ja koefitsientide p ja q kujul, saame algintegraali jaoks selle avaldise x ja antud arvude M, LG, p, q kujul. Näide 8. Uus integraal “Integrandfunktsioon on neljanda tüübi kõige lihtsam murd, kuna ruuttrinoomi diskriminant on negatiivne, s.t. See tähendab, et nimetajal pole pärisjuuri ja lugeja on 1. astme polünoom. 1) Valime nimetajas täisruudu 2) Teeme asendus: Integraal saab järgmise kuju: Kordusvalemi sisestamine * = 2, a3 = 1. saame ja seega on soovitud integraal võrdne Tulles tagasi muutuja x juurde, saame lõpuks 7.3. Üldjuhtum Lõigete tulemustest. Selle jaotise fig 1 ja 2 järgneb kohe olulisele teoreemile. Teoreem! 4. Iga ratsionaalfunktsiooni määramatu integraal eksisteerib alati (intervallidel, mille murdosa nimetaja Q„(x) φ 0) ja seda väljendatakse piiratud arvu elementaarfunktsioonide kaudu, nimelt on see algebraline summa, terminid millest saab korrutada ainult ratsionaalseid murde, naturaallogaritme ja arktangente. Seega tuleks murd-ratsionaalfunktsiooni määramatu integraali leidmiseks toimida järgmiselt: 1) kui ratsionaalne murd on vale, siis jagades lugeja nimetajaga, eraldatakse kogu osa, st see funktsioon. on esitatud polünoomi ja õige ratsionaalmurru summana; 2) siis jagatakse saadud pärismurru nimetaja lineaar- ja ruuttegurite korrutiseks; 3) see õige murd laguneb lihtmurdude summaks; 4) kasutades integraali lineaarsust ja sammu 2 valemeid, leitakse iga liikme integraalid eraldi. Näide 7. Integraali M leidmine Kuna nimetaja on kolmandat järku polünoom, on integrandi funktsioon vale murd. Toome esile kogu selle osa: seega saame. Õige murru nimetajal on phi erinevad reaaljuured: ja seetõttu on selle lagunemisel lihtmurdudeks vorm Siit leiame. Andes argumendile x väärtused, mis on võrdsed nimetaja juurtega, leiame selle identiteedi põhjal, et: Seetõttu on nõutav integraal võrdne näitega 8. Leidke integraal 4 Integrand on õige murd, mille nimetaja on kaks erinevat reaaljuurt: x - O korrutis 1 ja x = 1 kordsusest 3, Seetõttu on integrandi laiendamine lihtmurdudeks kujul Selle võrrandi parema poole toomine ühisele nimetajale ja võrdsuse mõlema poole vähendamine selle nimetaja abil saame või. Võrdlustame x samade astmete koefitsiendid selle identiteedi vasakul ja paremal küljel: Siit leiame. Asendades koefitsientide leitud väärtused laiendusse, saame integreerimisel: Näide 9. Leidke integraal 4 Murru nimetajal pole reaalseid juuri. Seetõttu on integrandi lihtmurdudeks vorm Siit või võrdsustamine x-i samade astmete koefitsientidega selle identiteedi vasakul ja paremal küljel, kust me leiame, ja seega ka märkuse. Antud näites saab integrandi funktsiooni kujutada lihtmurdude summana lihtsamal viisil, nimelt valime murdu lugejas nimetajas oleva binaari ning seejärel teostame termini kaupa jagamise. : §8. Irratsionaalfunktsioonide integreerimine Funktsiooni kujul, kus Pm ja £?„ on vastavalt astmetüüpi polünoomid muutujates uub2,... nimetatakse ubu2j ratsionaalfunktsiooniks... Näiteks teise astme polünoomiks kahes muutujas on u\ ja u2 vorm, kus - mõned reaalsed konstandid ja näide 1, funktsioon on muutujate r ja y ratsionaalne funktsioon, kuna see esindab kolmanda astme polünoomi ja polünoomi suhet. viies aste, kuid see ei ole jugapuu funktsioon. Juhul, kui muutujad on omakorda muutuja x funktsioonid: siis funktsiooni ] nimetatakse Näite funktsioonide ratsionaalseks funktsiooniks. Funktsioon on r ja rvdikvlv Pryaivr 3 ratsionaalne funktsioon. Vormi funktsioon ei ole x ja radikaali y/r1 + 1 ratsionaalne funktsioon, vaid see on funktsioonide ratsionaalne funktsioon Nagu nitavad näited, irratsionaali integraalid funktsioone ei väljendata alati elementaarfunktsioonide kaudu. Näiteks rakendustes sageli esinevaid integraale ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu; neid integraale nimetatakse vastavalt esimest ja teist tüüpi elliptilisteks integraalideks. Vaatleme neid juhtumeid, mil irratsionaalsete funktsioonide integratsiooni saab taandada mõningate asenduste abil ratsionaalsete funktsioonide integreerimiseks. 1. Olgu vaja leida integraal, kus R(x, y) on tema argumentide x ja y ratsionaalne funktsioon; m £ 2 - naturaalarv; a, 6, c, d on reaalsed konstandid, mis vastavad tingimusele ad - bc ^ O (ad - be = 0 korral on koefitsiendid a ja b võrdelised koefitsientidega c ja d ning seetõttu seos ei sõltu x-st see tähendab, et sel juhul on integrandi funktsioon muutuja x ratsionaalne funktsioon, mille integreerimisest oli juttu varem). Teeme selles integraalis muutuja muudatuse, pannes Seega väljendame muutujat x läbi uue muutuja Meil ​​on x = - t ratsionaalne funktsioon. Järgmisena leiame või pärast lihtsustamist Seega kus A1 (t) on * ratsionaalne funktsioon, kuna ratsionaalfunktsiooni ratsionaalne funadia ja ka ratsionaalsete funktsioonide korrutis on ratsionaalfunktsioonid. Me teame, kuidas ratsionaalseid funktsioone integreerida. Olgu siis nõutav integraal võrdne At. IvYti integraal 4 Integrand* funktsioon on ratsionaalne funktsioon. Seetõttu seame t = Siis Ratsionaalfunktsioonide integreerimine Lühiteave ratsionaalsete funktsioonide kohta Lihtmurdude integreerimine Üldjuhtum Irratsionaalsete funktsioonide integreerimine Euleri esimene asendus Euleri teine ​​asendus Euleri kolmas asendus Seega saame Primar 5. Leidke integraal Murru ühisnimetaja x eksponendid on võrdne 12-ga, seega funktsiooni integrandi saab esitada kujul 1 _ 1_, mis näitab, et see on ratsionaalne funktsioon: Seda arvesse võttes paneme. Järelikult 2. Vaatleme kujuga inteph-id, kus subintefaalne funktsioon on selline, et asendades selles radikaali \/ax2 + bx + c y-ga, saame funktsiooni R(x) y) - mõlema argumendi x suhtes ratsionaalne. ja y. See integraal taandatakse Euleri asendusi kasutades teise muutuja ratsionaalse funktsiooni integraaliks. 8.1. Euleri esimene asendus Olgu koefitsient a > 0. Määrame või Siit leiame x u ratsionaalse funktsioonina, mis tähendab Seega väljendab näidatud asendus ratsionaalselt *-ga. Seetõttu teeme märkuse. Esimese Euleri asendus võib võtta ka kujul Näide 6. Leiame integraali Seetõttu saame dx Euleri asendus, näita, et Y 8.2. Euleri teine ​​asendus Olgu trinoomil ax2 + bx + c erinevad reaaljuured R] ja x2 (koefitsiendil võib olla mis tahes märk). Sel juhul eeldame, et Alates sellest ajast saame Kuna x,dxn y/ax2 + be + c on väljendatud ratsionaalselt t-ga, siis algne integraal taandatakse ratsionaalfunktsiooni integraaliks, st kus Probleem. Kasutades Euleri esimest asendust, näita, et see on t ratsionaalne funktsioon. Näide 7. Leidke integraal dx M funktsioon ] - x1-l on erinevad reaaljuured. Seetõttu rakendame teist Euleri asendust. Siit leiame asendades leitud avaldised antud? saame 8.3. Kolmas Euleri substascom Olgu koefitsient c > 0. Muutuja muudame pannes. Pange tähele, et ratsionaalse funktsiooni integraali taandamiseks integraaliks piisab esimesest ja teisest Euleri asendusest. Tegelikult, kui diskriminant b2 -4ac > 0, siis ruutkolminoomi ax + bx + c juured on reaalsed ja sel juhul on rakendatav teine ​​Euleri asendus. Kui siis trinoomi ax2 + bx + c märk langeb kokku koefitsiendi a märgiga ja kuna trinoomil peab olema positiivne, siis a > 0. Sel juhul on rakendatav Euleri esimene asendus. Ülalnimetatud tüüpi integraalide leidmiseks ei ole alati soovitatav kasutada Euleri asendusi, kuna nende jaoks on võimalik leida muid integreerimismeetodeid, mis viivad eesmärgini kiiremini. Vaatame mõnda neist integraalidest. 1. Vormi integraalide leidmiseks eraldage täiuslik ruut th trinoomi ruudust: kus Pärast seda tehke asendus ja leidke, kus koefitsientidel a ja P on erinevad märgid või mõlemad on positiivsed. Kui ja ka > 0 korral, taandatakse integraal logaritmiks ja kui jah, siis arsiinuseks. Kell. Leidke siis imtegral 4 Sokak. oletades, saame Prmmar 9. Leia. Eeldusel x - on meil 2. Vormi integraal taandatakse 1. sammust integraaliks y järgmiselt. Arvestades, et tuletis ()" = 2, tõstame selle lugejas esile: 4 Tuvastame lugejas radikaalavaldise tuletise. Kuna (x, siis saame näite 9 tulemust arvesse võttes 3.). Integraalid kujul, kus P„(x) on polünoom n-s aste, saab leida määramatute kordajate meetodil, mis koosneb järgmisest. Oletame, et võrdus on Näide 10. Võimas integraal, kus Qn-i (s) on määramatute kordajatega (n - 1) astme polünoom: Koefitsientide | leidmiseks diferentseerime võrdsuse (2) parema poole ühiseks nimetajaks. vasaku külje nimetaja, st y/ax2 + bx + c, vähendades (2) mõlemat poolt, mille abil saame identiteedi, mille mõlemal poolel on n-astmega polünoomid (3) vasakule ja paremale poolele saame n + 1 võrrandi, millest leiame vajalikud koefitsiendid j4*(fc = 0,1,2,..., n ), asendades nende väärtused paremasse serva (1) ja integraali + c leidmisel saame vastuse sellele integraalile. Näide 11. Leia integraal Paneme Eristades võrdsuse mõlemad mastid, saame Parema poole viimisel ühisnimetajale ja taandades sellega mõlemad pooled, saame identiteedi või. Võrdstades koefitsiente x samadel astmetel, saame võrrandisüsteemi, millest leiame = Siis leiame integraali võrdsuse (4) paremalt küljelt: Järelikult on nõutav integraal võrdne

Irratsionaalsete võrrandite lahendamiseks pole universaalset viisi, kuna nende klass on kvantiteedi poolest erinev. Artiklis tuuakse välja iseloomulikud võrrandite tüübid asendusega, kasutades integreerimismeetodit.

Otsese integreerimise meetodi kasutamiseks on vaja arvutada ∫ k x + b p d x tüüpi määramata integraalid, kus p on ratsionaalne murd, k ja b on reaalkoefitsiendid.

Näide 1

Leidke ja arvutage funktsiooni y = 1 3 x - 1 3 antituletised.

Lahendus

Integreerimisreegli järgi on vaja rakendada valemit ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C ja antiderivaatide tabelis on näidatud, et sellele funktsioonile on olemas valmis lahendus . Me saame sellest aru

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Vastus:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

On juhtumeid, kui on võimalik kasutada diferentsiaalmärgi summeerimise meetodit. See lahendatakse põhimõttega leida määramata integraalid kujul ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , kui p väärtust peetakse ratsionaalseks murruks.

Näide 2

Leia määramatu integraal ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Lahendus

Pange tähele, et d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Seejärel on vaja diferentsiaalmärk liita antiderivaatide tabelite abil. Saame, et

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 p (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Vastus:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Määramata integraalide lahendamine hõlmab valemit kujul ∫ d x x 2 + p x + q, kus p ja q on reaalkoefitsiendid. Seejärel tuleb juure alt välja valida terve ruut. Me saame sellest aru

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Rakendades määramata integraalide tabelis asuvat valemit, saame:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Seejärel arvutatakse integraal:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Näide 3

Leidke kuju ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 määramatu integraal.

Lahendus

Arvutamiseks peate välja võtma arvu 2 ja asetama selle radikaali ette:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Valige radikaalne avaldis terve ruut. Me saame sellest aru

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Siis saame määramatu integraali kujul 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Vastus: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Irratsionaalsete funktsioonide integreerimine toimub sarnaselt. Kehtib funktsioonide puhul kujul y = 1 - x 2 + p x + q.

Näide 4

Leidke määramatu integraal ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Lahendus

Kõigepealt tuleb juure alt tuletada avaldise nimetaja ruut.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Tabeliintegraali kuju on ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, siis saame, et ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Vastus:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Protsess tuletisvastaste irratsionaalsete funktsioonide leidmiseks kujul y = M x + N x 2 + p x + q, kus olemasolevad M, N, p, q on reaalkoefitsiendid ja sarnanevad kolmandat tüüpi lihtmurdude integreerimisega . Sellel ümberkujundamisel on mitu etappi:

diferentsiaali summeerimine juure all, avaldise täieliku ruudu eraldamine juure all, kasutades tabelvalemeid.

Näide 5

Leidke funktsiooni y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 antituletised.

Lahendus

Tingimusest saame, et d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x ja x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, siis (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Arvutame integraali: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 p (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Vastus:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C.

Funktsiooni ∫ x m (a + b x n) p d x määramatute integraalide otsimine toimub asendusmeetodil.

Selle lahendamiseks on vaja kasutusele võtta uued muutujad:

1. Kui p on täisarv, võetakse arvesse x = z N ja N on m, n ühisnimetaja.
2. Kui m + 1 n on täisarv, siis a + b x n = z N ja N on p nimetaja.
3. Kui m + 1 n + p on täisarv, siis on vajalik muutuja a x - n + b = z N ja N on arvu p nimetaja.

Näide 6

Leidke kindel integraal ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Lahendus

Saame, et ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Sellest järeldub, et m = - 1, n = 1, p = - 1 2, siis m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 on täisarv. Saate kasutusele võtta uue muutuja kujul - 9 + 2 x = z 2. On vaja x väljendada z-ga. Väljundina saame selle

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Antud integraali on vaja teha asendus. Meil on see

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Vastus:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Irratsionaalvõrrandite lahendamise lihtsustamiseks kasutatakse põhilisi integreerimismeetodeid.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter