Калькулятор дозволяє переводити цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Підстава системи числення може бути менше 2 і більше 36 (10 цифр і 26 латинських букв все-таки). Довжина чисел не повинна перевищувати 30 символів. Використовуйте символ для введення дробових чисел. або, . Щоб перевести число з однієї системи в іншу, введіть вихідне число в перше поле, основу вихідної системи числення в друге та основу системи числення, в яку потрібно перевести число, в третє поле, після чого натисніть кнопку "Отримати запис".
Початкове число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ой системі числення.
Хочу отримати запис числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системі числення.
Отримати запис
Виконано перекладів: 1363703
Системи числення
Системи числення поділяються на два типи: позиційніі не позиційні. Ми користуємося арабською системою, вона є позиційною, а є ще римська – вона якраз не позиційна. У позиційних системах становище цифри у числі однозначно визначає значення цього числа. Це легко зрозуміти, розглянувши на прикладі якогось числа.
Приклад 1. Візьмемо число 5921 у десятковій системі числення. Пронумеруємо число праворуч наліво починаючи з нуля:
Число 5921 можна записати в наступному вигляді: 5921 = 5000 +900 +20 +1 = 5 · 10 3 +9 · 10 2 +2 · 10 1 +1 · 10 0 . Число 10 є характеристикою, що визначає систему числення. В якості ступенів взято значення позиції даного числа.
Приклад 2. Розглянемо дійсне десяткове число 1234.567. Пронумеруємо його починаючи з нульової позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:
Число 1234.567 можна записати в наступному вигляді: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Переведення чисел з однієї системи числення до іншої
Найбільш простим способом переведення числа з однієї системи числення в іншу є переклад числа спочатку в десяткову систему числення, а потім, отриманого результату в необхідну систему числення.
Переказ чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення
Для переведення числа з будь-якої системи числення до десяткової достатньо пронумерувати його розряди, починаючи з нульового (розряд ліворуч від десяткової точки) аналогічно прикладам 1 або 2.
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десяткову систему числення.
Рішення: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Відповідь: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десяткову систему числення.
Рішення: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Відповідь: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Переклад чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення
Для переведення чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення цілу та дробову частини числа потрібно переводити окремо.
Переклад цілої частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення
Ціла частина переводиться з десяткової системи числення в іншу систему числення за допомогою послідовного поділу цілої частини числа на основу системи числення до отримання цілого залишку, меншої основи системи числення. Результатом перекладу буде запис із залишків, починаючи з останнього.
3.
Перевести число 273 10 у восьмирічну систему числення.
Рішення: 273/8 = 34 і залишок 1, 34/8 = 4 і залишок 2, 4 менший за 8, тому обчислення завершено. Запис із залишків матиме такий вигляд: 421
Перевірка: 4 · 8 2 +2 · 8 1 +1 · 8 0 = 256 +16 +1 = 273 = 273, результат збігся. Отже переклад виконано правильно.
Відповідь: 273 10 = 421 8
Розглянемо переведення правильних десяткових дробів у різні системи числення.
Переведення дробової частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення
Нагадаємо, правильним десятковим дробом називається речове число з нульовою цілою частиною. Щоб перевести таке число в систему числення з основою N потрібно послідовно множити число на N до тих пір, поки дробова частина не обнулиться або не буде отримана необхідна кількість розрядів. Якщо при множенні виходить число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина далі не враховується, тому що послідовно заноситься до результату.
4.
Перевести число 0.125 10 у двійкову систему числення.
Рішення: 0.125·2 = 0.25 (0 - ціла частина, яка стане першою цифрою результату), 0.25·2 = 0.5 (0 - друга цифра результату), 0.5·2 = 1.0 (1 - третя цифра результату, оскільки дробова частина дорівнює нулю , то переклад завершено).
Відповідь: 0.125 10 = 0.001 2
Для переведення чисел із десяткової с/с у будь-яку іншу, необхідно ділити десяткове число на основу системи, в яку переводять, зберігаючи при цьому залишки від кожного поділу. Результат формується праворуч наліво. Поділ триває до того часу, поки результат поділу стане менше дільника.
Калькулятор переводить числа з однієї системи числення до будь-якої іншої. Він може переводити числа з двійкової до десяткової або з десяткової до шістнадцяткової, показуючи докладний хід рішення. Ви з легкістю можете перевести число з троїчної до п'ятирічної або навіть семирічної до сімнадцяткової. Калькулятор вміє переводити числа з будь-якої системи числення до будь-якої іншої.
Зауваження 1
Якщо ви хочете перевести число з однієї системи числення до іншої, то зручніше для початку перевести його в десяткову систему числення, і вже тільки потім з десяткової перевести в будь-яку іншу систему числення.
Правила переведення чисел з будь-якої системи числення до десяткової
У обчислювальної техніки, що використовує машинну арифметику, велику роль грає перетворення чисел з однієї системи числення в іншу. Нижче наведемо основні правила таких перетворень (перекладів).
При переведенні двійкового числа в десяткове потрібно представити двійкове число у вигляді багаточлена, кожен елемент якого представлений у вигляді добутку цифри числа та відповідного ступеня числа підстави, в даному випадку $2$, а потім потрібно обчислити багаточлен за правилами десяткової арифметики:
$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$
Малюнок 1. Таблиця 1
Приклад 1
Число $11110101_2$ перевести в десяткову систему числення.
Рішення.Використовуючи наведену таблицю $1$ ступенів основи $2$, представимо число у вигляді багаточлена:
$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 123 + + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$
Для переведення числа з вісімкової системи числення до десяткової потрібно подати його у вигляді багаточлена, кожен елемент якого представлений у вигляді добутку цифри числа та відповідного ступеня числа підстави, в даному випадку $8$, а потім потрібно обчислити багаточлен за правилами десяткової арифметики:
$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$
Малюнок 2. Таблиця 2
Приклад 2
Число $75013_8$ перевести до десяткової системи числення.
Рішення.Використовуючи наведену таблицю $2$ ступенів підстави $8$, представимо число у вигляді багаточлена:
$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$
Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення в десяткову необхідно його подати у вигляді багаточлена, кожен елемент якого представлений у вигляді добутку цифри числа та відповідного ступеня числа підстави, в даному випадку $16$, а потім потрібно обчислити багаточлен за правилами десяткової арифметики:
$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$
Малюнок 3. Таблиця 3
Приклад 3
Число $FFA2_(16)$ перевести в десяткову систему числення.
Рішення.Використовуючи наведену таблицю $3$ ступенів підстави $8$, представимо число у вигляді багаточлена:
$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$
Правила переведення чисел із десяткової системи числення до іншої
- Для переведення числа з десяткової системи числення в двійкову його необхідно послідовно ділити на $2$ доти, доки залишиться залишок, менший чи рівний $1$. Число в двійковій системі подати як послідовність останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку.
Приклад 4
Число $22_(10)$ перевести в двійкову систему числення.
Рішення:
Малюнок 4.
$22_{10} = 10110_2$
- Для переведення числа з десяткової системи числення у вісімкову його необхідно послідовно ділити на $8$ доти, доки залишиться залишок, менший чи рівний $7$. Число у вісімковій системі числення подати як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку.
Приклад 5
Число $571_(10)$ перевести у вісімкову систему числення.
Рішення:
Малюнок 5.
$571_{10} = 1073_8$
- Для переведення числа з десяткової системи числення в шістнадцяткову систему його необхідно послідовно ділити на $16$ доти, доки залишиться залишок, менший чи рівний $15$. Число в шістнадцятковій системі подати як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку.
Приклад 6
Число $7467_(10)$ перевести в шістнадцяткову систему числення.
Рішення:
Малюнок 6.
$7467_(10) = 1D2B_(16)$
Для того щоб перевести правильний дріб з десяткової системи числення в десяткову, необхідно дробову частину числа, що перетворюється, послідовно помножити на основу тієї системи, в яку її потрібно перевести. Дріб у новій системі буде представлений у вигляді цілих частин творів, починаючи з першого.
Наприклад: $0,3125_((10))$ у восьмеричній системі числення буде виглядати як $0,24_((8))$.
В даному випадку можна зіткнутися з проблемою, коли кінцевого десяткового дробу може відповідати нескінченний (періодичний) дріб у недесятковій системі числення. У цьому випадку кількість знаків у дробі, представленій у новій системі, буде залежати від необхідної точності. Також слід зазначити, що цілі числа залишаються цілими, а правильні дроби - дробами у будь-якій системі числення.
Правила переведення чисел із двійкової системи числення до іншої
- Щоб перевести число з двійкової системи числення у вісімкову, його необхідно розбити на тріади (трійки цифр), починаючи з молодшого розряду, у разі потреби доповнивши старшу тріаду нулями, потім кожну тріаду замінити відповідною вісімковою цифрою згідно з таблицею 4.
Малюнок 7. Таблиця 4
Приклад 7
Число $1001011_2$ перевести у вісімкову систему числення.
Рішення. Використовуючи таблицю 4, переведемо число із двійкової системи числення у вісімкову:
$001 001 011_2 = 113_8$
- Щоб перевести число з двійкової системи числення до шістнадцяткової, його слід розбити на зошити (четвірки цифр), починаючи з молодшого розряду, у разі потреби доповнивши старший зошит нулями, потім кожний зошит замінити відповідною вісімковою цифрою згідно з таблицею 4.
Здає ЄДІ і не тільки ...
Дивно, що у школах під час уроків інформатики зазвичай показують учням найскладніший і незручний спосіб переведення чисел із однієї системи до іншої. Це спосіб полягає в послідовному розподілі вихідного числа на основу та збирання залишків від розподілу у зворотному порядку.
Наприклад, потрібно перевести число 810 10 у двійкову систему:
Результат записуємо у зворотному порядку знизу нагору. Виходить 81010 = 11001010102
Якщо потрібно переводити в двійкову систему досить великі числа, то сходи поділів набувають розміру багатоповерхового будинку. І як тут зібрати всі одиночки з нулями і жодної не пропустити?
У програму ЄДІ з інформатики входять кілька завдань, пов'язаних із переведенням чисел з однієї системи до іншої. Як правило, це перетворення між 8- та 16-річними системами та двійковою. Це розділи А1, В11. Але є завдання з іншими системами числення, як, наприклад, у розділі B7.
Для початку нагадаємо дві таблиці, які добре знати напам'ять тим, хто обирає інформатику своєю подальшою професією.
Таблиця ступенів числа 2:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Вона легко виходить множенням попереднього числа на 2. Так що якщо пам'ятаєте не всі ці числа, інші неважко отримати в розумі з тих, які пам'ятаєте.
Таблиця двійкових чисел від 0 до 15 з 16-річним поданням:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Відсутні значення теж легко обчислити, додаючи по 1 до відомих значень.
Переклад цілих чисел
Отже, почнемо з переведення одразу в двійкову систему. Візьмемо те саме число 810 10 . Нам потрібно розкласти це число на доданки, рівні ступеням двійки.
- Шукаємо найближчий до 810 ступінь двійки, що не перевищує його. Це 29 = 512.
- Віднімаємо 512 з 810, отримуємо 298.
- Повторимо кроки 1 і 2, доки залишиться 1 чи 0.
- У нас вийшло так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .
Спосіб 1: Розставити 1 за тими розрядами, які вийшли показники у доданків. У нашому прикладі це 9, 8, 5, 3 та 1. У решті місць стоятимуть нулі. Отже, ми отримали двійкове уявлення числа 81010 = 11001010102. Одиниці стоять на 9-му, 8-му, 5-му, 3-му і 1-му місцях, вважаючи праворуч наліво з нуля.
Спосіб 2: Розпишемо доданки як ступені двійки один під одним, починаючи з більшого.
810 =
А тепер складемо ці сходи разом, як складають віяло: 1100101010 .
От і все. Принагідно також легко вирішується завдання «скільки одиниць у двійковому записі числа 810?».
Відповідь - стільки, скільки доданків (ступенів двійки) у його поданні. У 810 їх 5.
Тепер приклад простіший.
Переведемо число 63 у 5-річну систему числення. Найближчий до 63 ступінь числа 5 - це 25 (квадрат 5). Куб (125) буде вже багато. Тобто 63 лежить між квадратом 5 та кубом. Тоді підберемо коефіцієнт для 5 2 . Це два.
Отримуємо 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5 .
Ну і, нарешті, дуже легкі переклади між 8- і 16-річними системами. Оскільки їх основою є ступінь двійки, то переклад робиться автоматично, просто заміною цифр з їхньої двійкове уявлення. Для 8-річної системи кожна цифра замінюється трьома двійковими розрядами, а для 16-річної чотирма. При цьому всі провідні нулі обов'язкові, крім найстаршого розряду.
Переведемо до двійкової системи число 547 8 .
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Ще одне, наприклад, 7D6A 16 .
| 7D6A 16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | A |
Переведемо до 16-річної системи число 7368. Спочатку цифри запишемо трійками, а потім поділимо їх на четвірки з кінця: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16 . Переведемо до 8-річної системи число C25 16 . Спочатку цифри запишемо четвірками, а потім поділимо їх на трійки з кінця: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8 . Тепер розглянемо переведення назад до десяткової. Він не уявляє, головне не помилитися в розрахунках. Розкладаємо число на многочлен зі ступенями основи та коефіцієнтами при них. Потім все множимо та складаємо. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 = 474 .
Переклад негативних чисел
Тут потрібно врахувати, що число буде представлено додатковому коді. Для переведення числа в додатковий код потрібно знати кінцевий розмір числа, тобто у що ми хочемо його вписати - в байт, два байти, в чотири. Старший ряд цифр означає знак. Якщо там 0, число позитивне, якщо 1, то негативне. Ліворуч число доповнюється знаковим розрядом. Беззнакові (unsigned) числа ми розглядаємо, вони завжди позитивні, а старший розряд у яких використовується як інформаційний.
Для переведення негативного числа до двійковий додатковий код необхідно перевести позитивне число в двійкову систему, потім поміняти нулі на одиниці і одиниці на нулі. Потім додати результату 1.
Отже, переведемо число -79 у двійкову систему. Число займе у нас один байт.
Перекладаємо 79 в двійкову систему, 79 = 1001111. Доповнимо зліва нулями до розміру байта, 8 розрядів, отримуємо 01001111. Змінюємо 1 на 0 і 0 на 1. Отримуємо 10110000. До результату додаємо0 1, отримуємо0. Принагідно відповідаємо питанням ЄДІ «скільки одиниць у двійковому поданні числа -79?». Відповідь – 4.
Додаток 1 до інверсії числа дозволяє усунути різницю між уявленнями +0 = 00000000 та -0 = 11111111. У додатковому коді вони будуть записані однаково 00000000.
Переклад дробових чисел
Дробові числа переводяться способом, оберненим поділу цілих чисел на основу, яку ми розглянули на самому початку. Тобто за допомогою послідовного множення на нову основу зі збиранням цілих частин. Отримані при множенні цілі частини збираються, але не беруть участь у наступних операціях. Примножуються лише дробові. Якщо вихідне число більше 1, то ціла та дробова частини перекладаються окремо, потім склеюються.
Перекладемо число 0,6752 у двійкову систему.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Процес можна продовжувати довго, поки не отримаємо всі нулі в дробовій частині або буде досягнуто необхідної точності. Зупинимося поки що на 6-му знаку.
Виходить 0,6752 = 0,101011.
Якщо число було 5,6752, то у двійковому вигляді воно буде 101,101011.
Способи переведення чисел з однієї системи числення до іншої.
Переклад чисел із однієї позиційної системи числення до іншої: переклад цілих чисел.
Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і приватні, що отримуються, на основу d2 нової системи до тих пір, поки не вийде приватна менше основи d2. Останнє приватне - старша цифра числа в новій системі числення з основою d2, а наступні за нею цифри - це залишки від розподілу, що записуються в послідовності, що зворотна їх одержання. Арифметичні дії виконувати в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.
Приклад 1. Перевести число 11(10) у двійкову систему числення.
Відповідь: 11 (10) = 1011 (2).
Приклад 2. Перевести число 122(10) у вісімкову систему числення.
Відповідь: 122 (10) = 172 (8).
Приклад 3. Перевести число 500(10) у шістнадцяткову систему числення.
Відповідь: 500 (10) = 1F4 (16).
Переклад чисел з однієї позиційної системи числення до іншої: переклад правильних дробів.
Щоб перевести правильний дріб із системи числення з основою d1 в систему з основою d2, необхідно послідовно множити вихідний дріб і дробові частини творів, що виходять, на основу нової системи числення d2. Правильна дріб числа в новій системі числення з основою d2 формується у вигляді цілих частин творів, що виходять, починаючи з першого.
Якщо при перекладі виходить дріб у вигляді нескінченного або ряду, що розходиться, процес можна закінчити при досягненні необхідної точності.
При перекладі змішаних чисел, необхідно в нову систему перевести окремо цілу і дробову частини за правилами перекладу цілих чисел і правильних дробів, а потім об'єднати обидва результати в одне змішане число в новій системі числення.
Приклад 1. Перевести число 0,625(10) у двійкову систему числення.
Відповідь: 0,625 (10) = 0,101 (2).
Приклад 2. Перевести число 0,6(10) у вісімкову систему числення.
Відповідь: 0,6 (10) = 0,463 (8).
Приклад 2. Перевести число 0,7(10) у шістнадцяткову систему числення.
Відповідь: 0,7 (10) = 0, В333 (16).
Переклад двійкових, вісімкових та шістнадцяткових чисел у десяткову систему числення.
Для переведення числа P-їчної системи в десяткову необхідно використовувати таку формулу розкладання:
аnan-1 ... а1а0 = аnPn + аn-1Pn-1 + ... + а1P + a0 .
Приклад 1. Перевести число 101,11(2) до десяткової системи числення.
Відповідь: 101,11 (2) = 5,75 (10).
Приклад 2. Перевести число 57,24(8) до десяткової системи числення.
Відповідь: 57,24 (8) = 47,3125 (10).
Приклад 3. Перевести число 7A,84(16) до десяткової системи числення.
Відповідь: 7A,84 (16) = 122,515625 (10).
Переклад вісімкових та шістнадцяткових чисел у двійкову систему числення і назад.
Для переведення числа з вісімкової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа записати трирозрядним двійковим числом (тріадою).
Приклад: записати число 16,24(8) у двійковій системі числення.
Відповідь: 16,24 (8) = 1110,0101 (2).
Для зворотного переведення двійкового числа у вісімкову систему числення необхідно вихідне число розбити на тріади ліворуч і праворуч від коми і подати кожну групу цифрою у вісімковій системі числення. Останні неповні тріади доповнюють нулями.
Приклад: записати число 1110,0101(2) у восьмеричній системі числення.
Відповідь: 1110,0101 (2) = 16,24 (8).
Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа записати чотирирозрядним двійковим числом (зошитою).
Приклад: записати число 7A,7E(16) у двійковій системі числення. 
Відповідь: 7A, 7E (16) = 1111010, 0111111 (2) .
Примітка: незначні нулі зліва для цілих чисел і справа для дробів не записуються.
Для зворотного переведення двійкового числа в шістнадцяткову систему числення необхідно вихідне число розбити на зошити вліво і вправо від коми і подати кожну групу цифрою в шістнадцятковій системі числення. Останні неповні тріади доповнюють нулями.
Приклад: записати число 1111010,0111111(2) у шістнадцятковій системі числення.
