У цій темі будуть розглянуті такі операції, як додавання та віднімання матриць, множення матриці на число, множення матриці на матрицю, транспонування матриці. Усі позначення, що використовуються на цій сторінці, взяті з попередньої теми .

Складання та віднімання матриць.

Сумою $A+B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n) =(c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n) $.

Аналогічне визначення вводять і для різниці матриць:

Різницею $A-B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n)=( c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Варто звернути увагу, що операції додавання та віднімання визначені тільки для матриць однакового розміру. Взагалі, додавання і віднімання матриць - операції, ясні інтуїтивно, бо означають вони, по суті, лише підсумовування або віднімання відповідних елементів.

Приклад №1

Задано три матриці:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Чи можна знайти матрицю $A+F$? Знайти матриці $C$ і $D$, якщо $C=A+B$ і $D=A-B$.

Матриця $A$ містить 2 рядки та 3 стовпці (іншими словами - розмір матриці $A$ дорівнює $2\times 3$), а матриця $F$ містить 2 рядки та 2 стовпці. Розміри матриці $A$ і $F$ не збігаються, тому скласти їх ми можемо, тобто. операцію $A+F$ для даних матриць не визначено.

Розміри матриць $A$ і $B$ збігаються, тобто. дані матриці містять рівну кількість рядків і стовпців, тому до них застосовується операція додавання.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Знайдемо матрицю $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Множення матриці на число.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на число $\alpha$ називається матриця $B_(m\times n)=(b_(ij))$, де $b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Простіше кажучи, помножити матрицю на деяке число - означає помножити кожен елемент заданої матриці на це число.

Приклад №2

Задано матрицю: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Знайти матриці $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Запис $-A$ є скороченим записом для $-1\cdot A$. Тобто, щоб знайти $-A$ потрібно всі елементи матриці $A$ помножити на (-1). По суті це означає, що знак всіх елементів матриці $A$ зміниться на протилежний:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Відповідь: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Добуток двох матриць.

Визначення цієї операції є громіздким і, на перший погляд, незрозумілим. Тому спочатку вкажу загальне визначенняа потім докладно розберемо, що воно означає і як з ним працювати.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на матрицю $B_(n\times k)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times k)=(c_( ij))$, для якої кожен елемент $c_(ij)$ дорівнює сумі творів відповідних елементів i-йрядки матриці $A$ на елементи j-го стовпця матриці $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Покроково множення матриць розберемо з прикладу. Однак відразу варто звернути увагу, що перемножувати можна не всі матриці. Якщо ми хочемо помножити матрицю $A$ на матрицю $B$, то спочатку потрібно переконатися, що кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$ (такі матриці часто називають узгодженими). Наприклад, матрицю $A_(5\times 4)$ (матриця містить 5 рядків і 4 стовпці), не можна множити на матрицю $F_(9\times 8)$ (9 рядків і 8 стовпців), оскільки кількість стовпців матриці $A $ не дорівнює кількості рядків матриці $ F $, тобто. $4\neq 9$. А ось помножити матрицю $A_(5\times 4)$ на матрицю $B_(4\times 9)$ можна, оскільки кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$. При цьому результатом множення матриць $A_(5\times 4)$ і $B_(4\times 9)$ буде матриця $C_(5\times 9)$, що містить 5 рядків і 9 стовпців:

Приклад №3

Задано матриці: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ і $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Знайти матрицю $ C = A \ cdot B $.

Спочатку визначимо розмір матриці $C$. Оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 4$, а матриця $B$ має розмір $4\times 2$, то розмір матриці $C$ такий: $3\times 2$:

Отже, в результаті добутку матриць $A$ і $B$ ми повинні отримати матрицю $C$, що складається з трьох рядків та двох стовпців: $ C = \ left ( \ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Якщо позначення елементів викликають запитання, можна глянути попередня тема: "Матриці. Види матриць. Основні терміни", на початку якої пояснюється позначення елементів матриці. Наша мета – знайти значення всіх елементів матриці $C$.

Почнемо з елемента $c_(11)$. Щоб отримати елемент $c_(11)$ потрібно знайти суму творів елементів першого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

Щоб знайти елемент $c_(11)$ потрібно перемножити елементи першого рядка матриці $A$ на відповідні елементи першого стовпця матриці $B$, тобто. перший елемент перший, другий другий, третій третій, четвертий четвертий. Отримані результати підсумовуємо:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продовжимо рішення та знайдемо $c_(12)$. Для цього доведеться перемножити елементи першого рядка матриці $A$ і другого шпальти матриці $B$:

Аналогічно попередньому, маємо:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Усі елементи першого рядка матриці $C$ знайдено. Переходимо до другого рядка, який починає елемент $c_(21)$. Щоб його знайти, доведеться перемножити елементи другого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Наступний елемент $c_(22)$ знаходимо, перемножуючи елементи другого рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Щоб знайти $c_(31)$ перемножимо елементи третього рядка матриці $A$ на елементи першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

І, нарешті, знаходження елемента $c_(32)$ доведеться перемножити елементи третього рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Всі елементи матриці $C$ знайдені, залишилося лише записати, що $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$ . Або, якщо вже писати повністю:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

До речі, часто немає сенсу докладно розписувати знаходження кожного елемента матриці-результату. Для матриць, розмір яких невеликий, можна надходити і так:

Варто звернути увагу, що множення матриць некоммутативно. Це означає, що в загальному випадку $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лише для деяких типів матриць, які називають перестановочними(або комутуючими), вірна рівність $A cdot B = B cdot A $. Саме з некоммутативности множення, потрібно вказувати як ми домножуємо вираз ту чи іншу матрицю: справа чи зліва. Наприклад, фраза "домножимо обидві частини рівності $3E-F=Y$ на матрицю $A$ праворуч" означає, що потрібно отримати таку рівність: $(3E-F)\dot A=Y\cdot A$.

Транспонованою по відношенню до матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ називається матриця $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, для елементів якої $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Простіше кажучи, для того, щоб отримати транспоновану матрицю $A^T$, потрібно у вихідній матриці $A$ замінити стовпці відповідними рядками за таким принципом: був перший рядок - стане перший стовпець; був другий рядок - стане другий стовпець; був третій рядок - стане третій стовпець і таке інше. Наприклад, знайдемо транспоновану матрицю до матриці $A_(3\times 5)$:

Відповідно, якщо вихідна матриця мала розмір $3\times 5$, транспонована матриця має розмір $5\times 3$.

Деякі характеристики операцій над матрицями.

Тут передбачається, що $ alpha $, $ beta $ - деякі числа, а $ A $, $ B $, $ C $ - матриці. Для перших чотирьох властивостей я вказав назви, решту можна назвати за аналогією з першими чотирма.

1. $A+B=B+A$ (комутативність додавання)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (асоціативність додавання)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивність множення на матрицю щодо складання чисел)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивність множення на число щодо складання матриць)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\dot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, де $E$ - одинична матриця відповідного порядку.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, де $O$ - нульова матриця відповідного розміру.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

У наступній частині буде розглянуто операцію зведення матриці в цілий невід'ємний ступінь, а також вирішено приклади, в яких потрібно виконання декількох операцій над матрицями.

Будемо послідовно "виключати" невідомі. Для цього перше рівняння системи залишимо без змін, а друге та третє перетворимо:

1) до другого рівняння додамо перше, помножене на -2, і наведемо його до виду -3 x 2 –2x 3 = –2;

2) до третього рівняння додамо перше, помножене на - 4, і приведемо його до виду -3 x 2 – 4x 3 = 2.

В результаті з другого та третього рівнянь буде виключено невідоме x 1 і система набуде вигляду

Друге та третє рівняння системи помножимо на –1, отримаємо

Коефіцієнт 1 у першому рівнянні при першому невідомому х 1 називається провідним елементомпершого кроку виключення.

На другому кроці перше і друге рівняння залишаються без змін, а до третього рівняння застосуємо той самий спосіб виключення змінної x 2 . Провідним елементомдругого кроку є коефіцієнт 3. До третього рівняння додамо друге, помножене на -1, тоді система перетворюється на вигляд

(1.2)

Процес приведення системи (1.1) до виду (1.2) називаються прямим ходом методуГауса.

Порядок дій розв'язання системи (1.2) називається зворотним ходом.З останнього рівняння отримаємо х 3 = -2. Підставляючи це значення у друге рівняння, отримаємо х 2 = 2. Після цього перше рівняння дає х 1 = 1. Отже, - рішення системи (1.1).

Поняття матриці

Розглянемо величини, що входять до системи (1.1). Набір із дев'яти числових коефіцієнтів, які стоять у рівняннях перед невідомими, утворює таблицю чисел, яка називається матрицею:

А= .

(1.3)

Числа таблиці називаються елементамиматриці. Елементи утворюють рядки та стовпціматриці. Кількість рядків та кількість стовпців утворюють розмірністьматриці. Матриця Амає розмірність 33 (“три на три”), причому перше число вказує кількість рядків, а друге – стовпців. Часто матрицю позначають, вказуючи її розмірність А (3 3). Так як число рядків та стовпців у матриці Аоднаково, матриця називається квадратний.Кількість рядків (і стовпців) у квадратній матриці називається її порядкомтому А- матриця третього порядку.

Праві частини рівнянь, також утворюють таблицю чисел, тобто. матрицю:

Кожен рядок цієї матриці утворений єдиним елементом, тому B(3 ´ 1) називається матрицею-стовпцем, її розмірність 3'1. Набір невідомих також можна представити як матрицю-стовпець:

Розмноження квадратної матриці на матрицю-стовпець

З матрицями можна робити різні операції, які будуть детально розглянуті надалі. Тут же розберемо лише правило множення квадратної матриці на матрицю-стовпець. за визначенню, результатом множення матриці А(3 ´ 3) на стовпець У(3 ´ 1) є стовпець D(3 ´ 1) , елементи якого дорівнюють сумам творів елементів рядків матриці Ана елементи стовпця У:

2)другийелемент стовпця Dдорівнює сумі творів елементів другийрядки матриці Ана елементи стовпця У:

З наведених формул видно, що помножити матрицю на стовпець Уможна тільки у випадку, якщо кількість стовпців матриці Адорівнює числу елементів у стовпці У.

Розглянемо ще два числові приклади множення матриці (3 ´3) на стовпець (3 ´1) :

Приклад 1.1

АВ =
.

Приклад 1.2

АВ= .

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціта основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити із матрицями. З чого почати знайомство із матрицями? Звичайно, з найпростішого – визначень, основних понять та найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють усі, хто приділить їм хоч трохи часу!

Визначення матриці

Матриця- Це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою- Таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються великими латинськими літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядки та матриці-стовпці, які називають векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків та стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицюрозміру m на n , де m – кількість рядків, а n - Кількість стовпців.

Елементи, для яких i=j (a11, a22, .. ) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити із матрицями? Складати/віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції складання та віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати лише матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – достатньо лише скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо складання двох матриць A і розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

на довільне числоможна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожен її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться в повному обсязі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити одна на одну тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. При цьому кожний елемент матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, дорівнюватиме сумі творів відповідних елементів у i-му рядкупершого множника та j-му стовпчику другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад із реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки та стовпці змінюються місцями. Наприклад, транспонуємо матрицю A з першого прикладу:

Визначник матриці

Визначник, про детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди вигадали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У результаті, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що останній ривок!

Визначник – це чисельна характеристика квадратної матриці, яка потрібна на вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто що складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут уже складніше, але можна впоратися.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі творів елементів головної діагоналі і творів елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної головної діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі і добуток елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірівпрактично доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції з матрицями. Звичайно, у реального життяможна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну систему рівнянь чи навпаки - зіткнутися з набагато складнішими випадками, коли доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтесь за допомогою, отримуйте якісне та докладне рішення, насолоджуйтесь успіхами у навчанні та вільним часом.

Головні застосування матриць пов'язані операцією множення.

Дано дві матриці:

А – розміру mn

B – розміру n k

Т.к. довжина рядка в матриці А збігається з висотою стовпця в матриці, можна визначити матрицю С=АВ, яка буде мати розміри m k. Елемент матриці С, розташований у довільномуi-му рядку (i=1,…,m) і довільному j-му стовпці (j=1,…,k), за визначенням дорівнює скалярному твору двох векторів з
:i-й рядків мариці А та j-го стовпця матриці В:

Властивості:

Як визначається операція множення матриці А на число?

Твір А на число λ називається матриця, кожен елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента А на λ. Наслідок: Загальний множниквсіх елементів матриці можна виносити знак матриці.

13. Визначення зворотної матриці та її властивості.

Визначення. Якщо є квадратні матриці Х і А одного порядку, що задовольняють умові:

де Е - одинична матриця того самого порядку, що і матриця А, то матриця Х називається зворотнійдо матриці А і позначається А-1.

Властивості зворотних матриць

Вкажемо такі властивості зворотних матриць:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (AT -1) T .

1. Якщо зворотна матрицяіснує, вона єдина.

2. Не у всякої ненульової квадратної матриці існує зворотна.

14. Наведіть основні властивості визначників.Перевірте справедливість якості |АВ|=|А|*|В| для матриць

А = і В=

Властивості визначників:

1. Якщо якийсь рядок визначника складається з нулів, то й сам визначник дорівнює нулю.

2. При перестановці двох рядків визначник множиться на -1.

3. Визначник із двома однаковими рядками дорівнює нулю.

4. Загальний множник елементів будь-якого рядка можна винести за знак визначника.

5. Якщо елементи деякого рядка визначника А представлені у вигляді суми двох доданків, то і сам визначник дорівнює сумі двох визначників Б і Д. У визначнику Б зазначений рядок складається з перших доданків, Д - з других доданків. Інші рядки визначників Б і Д - ті ж, що й у А.

6. Величина визначника не зміниться, якщо до одного з рядків додати інший рядок, помножений на будь-яке число.

7. Сума творів елементів будь-якого рядка на алгебраїчні доповненнядо відповідних елементів іншого рядка дорівнюють 0.

8. Визначник матриці А дорівнює визначнику матриці транспонованої А т, тобто. визначник не змінюється під час транспонування.

15. Дайте визначення модуля та аргументу комплексного числа. Запишіть у тригонометричній формі числа √3+i, -1+ i.

Кожному комплексному числу z=a+ib може бути поставлений у відповідність вектор (a,b)€R 2. Довжина цього вектора дорівнює √a 2 + b 2 називається модулем комплексного числа z та позначається через |z|. Кут φ між даним вектором та позитивним напрямком осі Ox називається аргументом комплексного числа z та позначається arg z.

Будь-яке комплексне число z≠0 може бути представлене у вигляді z=|z|(cosφ+isinφ).

Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Кожному комплексному числу Z = a + ib може бути поставлений вектор (а; b), що належить R^2. Довжина цього вектора, рівна КВ з a 2 + b 2, називається модулем комплексного числа і позначається через модуль Z. Кут між даним вектором і позитивним напрямом осі Оx називається аргументом комплексного числа (позначається arg Z).

Додавання матриць:

Віднімання та складання матрицьзводиться до відповідних операцій над їх елементами. Операція складання матрицьвводиться тільки для матрицьоднакового розміру, тобто для матриць, у яких число рядків та стовпців відповідно дорівнює. Сумою матрицьА і В, називається матрицяС, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів. З = А + У c ij = a ij + b ij Аналогічно визначається різницю матриць.

Розмноження матриці на число:

Операція множення (поділу) матрицібудь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (поділу) кожного елемента матриціцього числа. Добутком матриціА на число k називається матрицяВ, така що

b ij = k × a ij. В = k × A b ij = k × a ij. Матриця- А = (-1) × А називається протилежною матриціА.

Властивості складання матриць та множення матриці на число:

Операції складання матрицьі множення матриціна число мають такі властивості: 1. А + В = В + А; 2. А+(В+С) = (А+В)+С; 3. А + 0 = А; 4. А – А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; де А, В і С - матриці, α і β - числа.

Множення матриць (Виробництво матриць):

Операція множення двох матрицьвводиться лише для випадку, коли число стовпців першої матрицідорівнює числу рядків другий матриці. Добутком матриціА m×n на матрицюУ n×p називається матрицяЗ m×p така, що з ik = a i1 ? матриціА на відповідні елементи j - ого стовпця матриціВ. Якщо матриціА і В квадратні одного розміру, то твори АВ та ВА завжди існують. Легко показати, що А × Е = Е × А = А де А квадратна матриця, Е - одинична матрицятого ж розміру.

Властивості множення матриць:

Розмноження матрицьне комутативно, тобто. АВ ≠ ВА навіть якщо визначено обидва твори. Однак, якщо для яких-небудь матрицьспіввідношення АВ = ВА виконується, то такі матриціназиваються перестановочними. Найхарактернішим прикладом може бути одинична матриця, яка є перестановною з будь-якої іншої матрицеютого ж розміру. Перестановочними можуть бути лише квадратні матриціодного й того самого порядку. А × Е = Е × А = А

Розмноження матрицьмає такі властивості: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + З) = АВ + АС; 3. (А + В) С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ) Т = В Т А Т; 7. (АВС) Т = С Т В Т А Т; 8. (А + В) Т = А Т + В Т;

2. Визначники 2-го та 3-го порядків. Властивості визначників.

Визначником матрицідругого порядку, або визначникомдругого порядку називається число, яке обчислюється за формулою:

Визначником матрицітретього порядку, або визначникомтретього порядку називається число, яке обчислюється за формулою:

Це число представляє суму алгебри, що складається з шести доданків. У кожен доданок входить рівно по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця матриці. Кожен доданок складається з твору трьох співмножників.

Знаки, з якими члени визначника матрицівходять до формули знаходження визначника матриціТретого порядку можна визначити, користуючись наведеною схемою, яка називається правилом трикутників або правилом Саррус. Перші три доданки беруться зі знаком плюс і визначаються з лівого малюнка, а наступні три доданки беруться зі знаком мінус і визначаються з правого малюнка.

Визначити кількість доданків для знаходження визначника матриці, в сумі алгебри, можна обчисливши факторіал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Властивості визначників матриць

Властивості визначників матриць:

Властивість №1:

Визначник матриціне зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями, причому кожен рядок стовпцем з тим самим номером, і навпаки (Транспонування). |А| = | А | Т

Наслідок:

Стовпці та рядки визначника матрицірівноправні, отже, властивості властиві рядкам виконуються й у стовпців.

Властивість №2:

При перестановці 2-х рядків або стовпців визначник матрицізмінить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто:

Властивість №3:

Визначник матриці, Що має два однакові ряди, дорівнює нулю.

Властивість №4:

Загальний множник елементів якогось ряду визначника матриціможна винести за знак визначника.

Наслідки з властивостей №3 та №4:

Якщо всі елементи деякого ряду (рядки або стовпця) пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то такий визначник матрицідорівнює нулю.

Властивість № 5:

визначника матрицірівні нулю, то сам визначник матрицідорівнює нулю.

Властивість №6:

Якщо всі елементи якогось рядка або стовпця визначникапредставлені у вигляді суми 2-х доданків, то визначник матриціможна подати у вигляді суми 2-х визначниківза формулою:

Властивість № 7:

Якщо до якогось рядка (або стовпця) визначникадодати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на те саме число, то визначник матриціне змінить своєї величини.

Приклад застосування властивостей для обчислення визначника матриці: