де 
- дійсні числа, а 
- спеціальний символ, який називається уявною одиницею
. Для уявної одиниці за визначенням вважається, що 
.
(4.1)
– алгебраїчна форма
комплексного числа, причому 
називається дійсною частиною
комплексного числа, а 
-уявною частиною
.
Число 
називається комплексно пов'язаним
до числа 
.
Нехай дані два комплексні числа 
,
.
1.
Сумою
комплексних чисел 
і 
називається комплексне число
2.
Різниця
комплексних чисел 
і 
називається комплексне число
3.
Твором
комплексних чисел 
і 
називається комплексне число
4.
Приватним
від поділу комплексного числа 
на комплексне число 
називається комплексне число
.
Зауваження 4.1. Тобто операції над комплексними числами запроваджуються за звичайними правилами арифметичних операцій над літерними виразами в алгебрі.
Приклад 4.1.Дано комплексні числа. Знайти
.
Рішення. 1) .
4) Примножуючи чисельник і знаменник на комплексно пов'язане знаменнику число, отримуємо
Тригонометрична форма комплексного числа:
де 
- модуль комплексного числа, 
- Аргумент комплексного числа. Кут 
визначено неоднозначно, з точністю до доданку 
:
,
.
- Головне значення аргументу, що визначається умовою
, (або 
).
Показова форма комплексного числа:
.
Корінь 
й ступеня числа 
має 
різних значень, що знаходяться за формулою
|
|
,де 
.
Крапки, що відповідають значенням 
, є вершинами правильного 
косинця, вписаного в коло радіусу 
з центром на початку координат.
Приклад 4.2.Знайти всі значення кореня 
.
Рішення.Представимо комплексне число 
у тригонометричній формі:
,
, звідки 
.
Тоді 
. Отже, за формулою (4.2) 
має чотири значення:
,
.
Вважаючи 
, знаходимо
,
,
,
.
Тут ми перетворювали значення аргументу для його головного значення.
Безліч на комплексній площині
Комплексне число 
зображується на площині 
точкою 
з координатами 
. Модуль 
та аргумент 
відповідають полярним координатам точки 
.
Корисно пам'ятати, що нерівність 
задає коло з центром у точці 
радіусу 
. Нерівність 
задає напівплощину, розташовану правіше прямої 
, а нерівність 
- напівплощина, розташована вище прямої 
. Крім того, система нерівностей 
задає кут між променями 
і 
, що виходять із початку координат.
приклад 4.3.Намалювати область, задану нерівностями: 
.
Рішення.Першій нерівності відповідає кільце з центром у точці 
і двома радіусами 1 і 2, кола в область не входять (рис. 4.1).
Другій нерівності відповідає кут між променями 
(бісектриса 4 координатного кута) та 
(позитивний напрямок осі 
). Самі промені до області не входять (рис. 4.2).
Шукана область є перетином двох отриманих областей (рис. 4.3)
|
|
|
|
4.2. Функції комплексного змінного
Нехай однозначна функція 
визначена та безперервна в області 
, а 
- кусково-гладка замкнута або незамкнена орієнтована крива, що лежить в 
. Нехай, як завжди, 
,, де 
,
- дійсні функції змінних 
і 
.
Обчислення інтегралу від функції 
комплексного змінного 
зводиться до обчислення звичайних криволінійних інтегралів, а саме
|
|
.Якщо функція 
аналітична в однозв'язковій області 
, Що містить точки 
і 
, то має місце формула Ньютона-Лейбніца:
|
|
,де 
- якась первісна для функції 
, тобто 
в області 
.
В інтегралах від функцій комплексного змінного можна проводити заміну змінної, і інтегрування частинами аналогічно тому, як це робиться при обчисленні інтегралів від функцій дійсного змінного.
Зауважимо також, що якщо шлях інтегрування є частиною прямої, що виходить із точки 
, або частиною кола з центром у точці 
, то корисно робити заміну змінного вигляду 
. В першому випадку 
, а 
- Справжня змінна інтегрування; у другому випадку 
, а 
- Справжня змінна інтегрування.
Приклад 4.4.Обчислити 
по параболі 
від крапки 
до точки 
(Рис 4.4).
|
|
Рішення.Перепишемо підінтегральну функцію у вигляді Тоді Так як |
,
. Застосуємо формулу (4.3):
, то 
,
. Томуприклад 4.5.Обчислити інтеграл 
, де 
- дуга кола 
,
(Рис. 4.5) .
|
|
Рішення.Припустимо, |
тоді 
,
,
. Отримуємо:Функція 
, однозначна та аналітична в кільці 
, розкладається в цьому кільці в ряд Лорана
У формулі (4.5) ряд 
називається головною частиною
ряду Лорана, а ряд 
називається правильною частиною
ряду Лорана.
Визначення 4.1.
Крапка 
називаєтьсяізольованою особливою точкою
функції 
якщо існує околиця цієї точки, в якій функція 
аналітична всюди, крім самої точки 
.
функцію
на околиці точки
можна розкласти до ряду Лорана. При цьому можливі три різні випадки, коли ряд Лорана:
1)
не містить членів з негативними ступенями різниці 
, тобто
(Ряд Лорана не містить головної частини). В цьому випадку
називається усунутою особливою точкою
функції 
;
2)
містить кінцеве число членів з негативними ступенями різниці 
, тобто
,
причому 
. У цьому випадку точка
називається полюсом порядку 
функції 
;
3) містить нескінченну кількість членів з негативними ступенями:
.
У цьому випадку точка
називається істотно особливою точкою
функції 
.
При визначенні характеру окремої ізольованої точки не обов'язково шукати розкладання в ряд Лорана. Можна використовувати різні властивості ізольованих спеціальних точок.
1)
є усувною особливою точкою функції 
якщо існує кінцева межа функції 
у точці 
:
.
2)
є полюсом функції 
, якщо
.
3)
є суттєво особливою точкою функції 
, якщо при 
функція немає межі, ні кінцевого, ні нескінченного.
Визначення 4.2.
Крапка 
називаєтьсянулем 
го порядку
(або кратності 
)
функції 
, якщо виконуються умови:
…,
.
Зауваження 4.2.
Крапка 
тоді і тільки тоді є нулем 
го порядку
функції 
, коли в деякій околиці цієї точки має місце рівність
,
де функція 
аналітична у точці 
і 
4) точка
є полюсом порядку 
(
) функції 
якщо ця точка є нулем порядку 
для функції 
.
5) нехай
-
ізольована особлива точка функції 
, де 
- функції аналітичні у точці
. І нехай крапка
є нулем порядку 
функції 
і нулем порядку 
функції 
.
При 
крапка
є полюсом порядку 
функції 
.
При 
крапка
є усувною особливою точкою функції 
.
Приклад 4.6.Знайти ізольовані точки та визначити їх тип для функції 
.
Рішення.Функції 
і 
- аналітичні у всій комплексній площині. Значить, особливими точками функції 
є нулі знаменника, тобто точки, де 
. Таких точок дуже багато. По-перше, це точка 
, а також точки, що задовольняють рівняння 
. Звідси 
і 
.
Розглянемо точку 
. У цій точці отримаємо:
,
,
,
.
Порядок нуля дорівнює 
.
,
,
,
,
,
,
,
.
.
Значить, точка 
є полюсом другого порядку ( 
).
. Тоді
,
.
Порядок нуля чисельника дорівнює 
.
,
,
.
Порядок нуля знаменника дорівнює 
. Отже, точки 
при 
є полюсами першого порядку ( простими полюсами
).
Теорема 4.1.
(Теорема Коші про відрахування
).
Якщо функція 
є аналітичною на кордоні 
області 
і всюди всередині області, крім кінцевого числа особливих точок 
, то
.
При обчисленні інтегралів варто акуратно знайти всі спеціальні точки функції 
, потім намалювати контур і спеціальні точки, і після цього вибрати тільки ті точки, які потрапили всередину контуру інтегрування. Зробити правильний вибір без малюнка часто буває важко.
Спосіб обчислення відрахування 
залежить від типу особливої точки. Тому, перш ніж обчислювати відрахування, необхідно визначити тип особливої точки.
1) відрахування функції у точці 
дорівнює коефіцієнту при мінусі першого ступеня в лоранівському розкладанні 
на околиці точки 
:
.
Це твердження справедливе всім типів ізольованих точок, і у разі визначати тип особливої точки необов'язково.
2) відрахування в особливій точці, що усувається, дорівнює нулю.
3) якщо 
- простий полюс (полюс першого порядку), а функцію 
можна уявити у вигляді 
, де 
,
(зауважимо, що в цьому випадку 
), тоді відрахування в точці 
дорівнює
.
Зокрема, якщо 
, то 
.
4) якщо 
- простий полюс, то
5) якщо 
- полюс 
го порядку функції 
, то
Приклад 4.7.Обчислити інтеграл 
.
|
|
Рішення.Знаходимо особливі точки підінтегральної функції |
. Функція 
має дві особливі точки 
і 
Всередину контуру потрапляє лише точка 
(Рис. 4.6). Крапка 
- полюс другого порядку, оскільки 
є нулем кратності 2 для функції 
.Тоді за формулою (4.7) знаходимо відрахування у цій точці:
У силу теореми 4.1 знаходимо
Федеральне агентство з освіти
___________________________________
Санкт-Петербурзький державний
Електротехнічний університет «ЛЕТИ»
_______________________________________
Теорія функцій комплексної змінної
Методичні вказівки
до практичних занять
з вищої математики
Санкт-Петербург
Видавництво СПбГЕТУ «ЛЕТИ»
УДК 512.64(07)
ТФКП: Методичні вказівки до вирішення завдань / сост.: В.Г.Дюмін, А.М.Коточигов, Н.Н.Сосновський.СПб.: Вид-во СПбГЕТУ «ЛЕТИ», 2010. 32с.
Затверджено
редакційно-видавничою радою університету
як методичні вказівки
© СПбГЕТУ «ЛЕТИ», 2010
Функції комплексного змінного, в загальному випадку, відрізняються від відображень речовинної площини. 
у собі лише формою запису. Важливим та надзвичайно корисним об'єктом виявляється клас функції комплексного змінного,
мають похідну таку ж, як і функції однієї змінної. Відомо, що функції кількох змінних можуть мати приватні похідні та похідні за напрямом, але, як правило, похідні за різними напрямками не збігаються, і говорити про похідну в точці неможливо. Однак для функцій комплексної змінної вдається описати умови, за яких вони допускають диференціювання. Вивчення властивостей диференційованих функцій комплексного змінного становить зміст методичних вказівок. Вказівки орієнтовані демонстрацію того, як властивості таких функцій можуть бути використані для вирішення різноманітних завдань. Успішне освоєння матеріалу, що викладається, неможливо без елементарних навичок обчислень з комплексними числами і знайомства з найпростішими геометричними об'єктами, що визначаються в термінах нерівностей, що пов'язують речовинну і уявну частину комплексного числа, а так само його модуль і аргумент. Короткий виклад всіх необхідних цього відомостей можна знайти у методичних вказівках .
Стандартний апарат математичного аналізу: межі, похідні, інтеграли, ряди широко використовують у тексті методичних вказівок. Там, де ці поняття мають свою специфіку, в порівнянні з функціями однієї змінної, наведені відповідні пояснення, але в більшості випадків досить розділити речову та уявну частину та застосувати до них стандартний апарат речового аналізу.
1. Елементарні функції комплексного змінного
Обговорення умов диференційності функцій комплексного змінного, природно розпочати з з'ясування того, які елементарні функції мають цю властивість. З очевидного співвідношення
Випливає диференційність будь-якого многочлена. І, оскільки, статечний ряд можна диференціювати почленно всередині кола його збіжності,
то будь-яка функція диференційована в точках, біля яких її можна розкласти до ряду Тейлора. Це достатня умова, але, як незабаром з'ясуватися, вона є необхідною. Дослідження функцій однієї змінної похідної зручно підтримувати, контролюючи поведінку графіка функції. Для функцій комплексного змінного такої можливості немає. Точки графіка лежать у просторі розмірності 4, .
Тим не менш, деяке графічне уявлення про функцію можна отримати, розглядаючи образи досить простих множин комплексної площини 
, що виникають під впливом заданої функції. Наприклад, розглянемо, з цієї точки зору, кілька простих функцій.
Лінійна функція 
Ця проста функції дуже важлива, оскільки будь-яка диференційована функція локально схожа на лінійну. Розглянемо дію функції з максимальною подробицею
тут 
- модуль комплексного числа 
і 
- Його аргумент. Таким чином, лінійна функція здійснює розтяг, поворот та зсув. Отже, лінійне відображення переводить будь-яку множину в подібну множину. Зокрема, під впливом лінійного відображення прямі переходять у прямі, а кола в колі.
Функція 
Ця функція - наступна за складністю за лінійною. Важко очікувати, що вона переведе будь-яку пряму в пряму, а коло в коло, прості приклади показують, що цього не відбувається, проте можна показати, що ця функція переводить безліч усіх прямих і кіл у себе. Щоб переконатися в цьому, зручно перейти до речового (координатного) опису відображення
Для доказу буде потрібний опис зворотного відображення
Розглянемо рівняння якщо 
, то вийде загальне рівняння прямої. Якщо 
, то
Отже, при 
виходить рівняння довільного кола.
Зазначимо, що якщо 
і 
, то коло проходить через початок координат. Якщо ж 
і 
, То вийде пряма, яка проходить через початок координат.
Під дію інверсії розглянуте рівняння перепишеться у вигляді
,
(
)
або . Видно, що це теж рівняння, що описують або кола, або прямі. Те, що в рівнянні коефіцієнти 
і 
помінялися місцями, означає, що з інверсії прямі, які проходять через 0, перейдуть у колі, а колу, що проходять через 0, перейдуть у прямі.
Ступінні функції 
Головна відмінність цих функцією від розглянутих раніше у тому, що вони є взаємно однозначними ( 
). Можна сказати, що функція 
перекладає комплексну площину у два екземпляри тієї ж площини. Акуратний розгляд цієї теми вимагає використання громіздкого апарату риманових поверхонь і виходить за рамки питань, що розглядаються тут. Важливо розуміти, що комплексну площину можна розділити на сектори, кожен з яких однозначно взаємно відображається на комплексну площину. Це розбиття для функції 
виглядає так, Наприклад, верхня напівплощина взаємно однозначно відображається на комплексну площину функцією 
. Спотворення геометрії для таких зображень описати складніше, ніж у разі інверсії. Як вправу можна простежити, у що переходить сітка прямокутних координат верхньої напівплощини при відображенні 
Видно, що сітка прямокутних координат переходить у сімейство парабол, що утворюють систему криволінійних координат у площині. 
. Описане вище розбиття площини таке, що функція 
відображає кожен з 
секторів на всю площину Опис прямого та зворотного відображення виглядає так
Таким чином, функція 
має 
різних зворотних функцій,
заданих у різних секторах площині
У таких випадках кажуть, що відображення є багатолистим.
Функція Жуковського 
Функція має власну назву, оскільки вона склала основу теорії крила літального апарату, створену Жуковським (опис цієї конструкції можна знайти в книзі). Функція має низку цікавих властивостей, зупинимося одному з них – з'ясуємо, яких множинах ця функція діє взаємнооднозначно. Розглянемо рівність
, звідки 
.
Отже, функція Жуковського взаємнооднозначна у будь-якій області, у якій будь-яких 
і 
їх добуток не дорівнює одиниці. Такими є, наприклад, відкритий одиничний круг 
та доповнення замкнутого одиничного кола 
.
Розглянемо дію функції Жуковського на колі, тоді
Розділяючи речову та уявну частини, отримаємо параметричне рівняння еліпса
,
.
Якщо 
, то ці еліпси заповнюють всю площину. Аналогічно перевіряється, що образами відрізків є гіперболи.
.
Показова функція 
Функція допускає розкладання в статечний ряд, що абсолютно сходить у всій комплексній площині, отже, вона всюди диференційована. Опишемо множини, на яких функція взаємнооднозначна. Очевидна рівність 
показує, що площину можна розбити на сімейство смуг, кожну з яких функція однозначно відображає на всю комплексну площину. Це розбиття істотно у тому, що зрозуміти, як влаштована зворотна функція, точніше зворотні функції. На кожній зі смуг природно визначено зворотне відображення
Зворотна функція й у разі багатолистна, причому кількість зворотних функцій нескінченно.
Геометричний опис відображення досить простий: прямі 
переходять у промені 
, відрізки 
переходять до кола 
.
Функції комплексної змінної.
Диференціювання функцій комплексної змінної.
Ця стаття відкриває серію уроків, де я розгляну типові завдання, пов'язані з теорією функцій комплексної змінної. Для успішного освоєння прикладів необхідно мати базові знання про комплексні числа. З метою закріплення та повторення матеріалу достатньо відвідати сторінку. Також знадобляться навички знаходження приватних похідних другого порядку. Ось вони якісь, ці приватні похідні… навіть сам зараз трохи здивувався, наскільки часто зустрічаються…
Тема, яку ми починаємо розбирати, не становить особливих складнощів, і в функціях комплексної змінної, в принципі, все зрозуміло та доступно. Головне, дотримуватись основного правила, яке виведено мною досвідченим шляхом. Читайте далі!
Поняття функції комплексної змінної
Спочатку освіжимо знання про шкільну функцію однієї змінної:
Функція однієї змінної-це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне значення функції. Природно, «ікс» та «ігрок» – дійсні числа.
У комплексному випадку функціональна залежність визначається аналогічно:
Однозначна функція комплексної змінної- це правило, за яким кожному комплексномузначення незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне комплекснезначення функції. Теоретично розглядаються також багатозначні та інші типи функцій, але для простоти я зупинюся однією визначенні.
Чим відрізняється функція комплексної змінної?
Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайниківми розглядали комплексне число у вигляді. Бо зараз літера «зет» стала змінної, то її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «игрек» можуть приймати різні дійснізначення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З цього факту логічно випливає наступний пункт:
Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де і – дві функції двох дійснихзмінних.
Функція називається дійсною частиноюфункції.
Функція називається уявною частиноюфункції.
Тобто, функція комплексної змінної залежить від двох дійсних функцій та . Щоб остаточно прояснити все розглянемо практичні приклади:
Приклад 1
Рішення:Незалежна змінна «зет», як пам'ятаєте, записується як , тому:
(1) У вихідну функцію підставили.
(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення . У доданку – розкрили дужки.
(3) Акуратно звели у квадрат, не забуваючи, що
(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки , в яких немає уявної одиниці(перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, і цей етап можна пропустити (фактично виконавши його усно).
(5) У другої групи виносимо за дужки.
В результаті наша функція виявилася у вигляді
Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.
Що це вийшло за функції? Найбільш звичайні функції двох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні. Без пощади знаходити будемо. Але трохи згодом.
Коротко алгоритм вирішеної задачі можна записати так: у вихідну функцію підставляємо, проводимо спрощення і ділимо всі складові на дві групи - без уявної одиниці (дійсна частина) і з уявною одиницею (уявна частина).
Приклад 2
Знайти дійсну та уявну частину функції
Це приклад самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутися в бій на комплексній площині, дозвольте дати найважливішу пораду на тему:
БУДЬТЕ УВАЖНІ!Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!
Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.
Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес рішення.
Диференціювання функцій комплексної змінної.
У мене є дві новини: хороша та погана. Почну з гарної. Для функції комплексної змінної справедливі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функций. Таким чином, похідна береться так само, як і у випадку функції дійсної змінної .
Погана новина полягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної немає взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи диференційованата чи інша функція. А «з'ясовувати», як чує ваше серце, пов'язане із додатковими заморочками.
Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того, щоб ця функція була диференційована, необхідно і достатньо:
1) Щоб існували приватні похідні першого порядку. Про ці позначення відразу забудьте, оскільки в теорії функції комплексного змінного традиційно використовується інший варіант запису: 
.
2) Щоб виконувалися так звані умови Коші-Рімана:
Тільки в цьому випадку буде похідна!
Приклад 3
Рішеннярозкладається на три послідовні етапи:
1) Знайдемо дійсну та уявну частину функції. Це завдання було розібрано у попередніх прикладах, тому запишу без коментарів:
Оскільки , то:
Таким чином: 
- Уявна частина функції.
Зупинюся ще на одному технічному моменті: В якому порядкузаписувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: 
, А уявну – так: .
2) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.
Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні:
Таким чином, умова виконана.
Безперечно, приємна новина – приватні похідні майже завжди дуже прості.
Перевіряємо виконання другої умови: 
Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.
Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.
3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться за звичайними правилами:
Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.
Відповідь: 
- дійсна частина, 
- Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані.
Існують ще два способи знаходження похідної, вони звичайно застосовуються рідше, але інформація буде корисна для розуміння другого уроку – Як знайти функцію комплексної змінної?
Похідну можна знайти за формулою: 
В даному випадку: 
Таким чином
Потрібно вирішити зворотне завдання - в отриманому виразі потрібно вичленувати. Для того, щоб це зробити, необхідно до доданків і винести за дужку:
Зворотне дію виконувати трохи важче, для перевірки завжди краще взяти вираз і на чернетці або усно розкрити назад дужки, переконавшись, що вийде саме
Дзеркальна формула для знаходження похідної: 
В даному випадку: 
тому:
Приклад 4
Визначити дійсну та уявну частини функції 
. Перевірити виконання умов Коші-Рімана. У разі виконання умов Коші-Рімана знайти похідну функції.
Коротке рішення та зразковий зразок чистового оформлення наприкінці уроку.
Чи завжди виконуються умови Коші-Рімана? Теоретично вони частіше не виконуються, аніж виконуються. Але в практичних прикладах я не пригадаю випадку, щоб вони не виконувалися =) Таким чином, якщо у вас «не зійшлися» приватні похідні, то з дуже великою ймовірністю можна сказати, що ви десь припустилися помилки.
Ускладнимо наші функції:
Приклад 5
Визначити дійсну та уявну частини функції 
. Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити
Рішення:Алгоритм рішення повністю зберігається, але в кінці додасться новий пункт: знаходження похідної в точці. Для куба потрібна формула вже виведена:
Визначимо дійсну та уявну частини цієї функції:
Увага та ще раз увага!
Оскільки , то:
Таким чином:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.
Перевірка другої умови: 
Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.
Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція є диференційованою:
Обчислимо значення похідної у потрібній точці:
Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані,
Функції з кубами зустрічаються часто, тому приклад закріплення:
Приклад 6
Визначити дійсну та уявну частини функції 
. Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити.
Рішення та зразок чистового оформлення наприкінці уроку.
Теоретично комплексного аналізу визначено та інші функції комплексного аргументу: експонента, синус, косинус тощо. Дані функції мають незвичайні і навіть химерні властивості – і це дійсно цікаво! Дуже хочеться розповісти, але тут, так уже вийшло, не довідник чи підручник, а решебник, тому я розгляну те саме завдання з деякими поширеними функціями.
Спочатку про так звані формулах Ейлера:
Для будь-кого дійсногочисла справедливі такі формули: 
Також можете переписати в зошит як довідковий матеріал.
Строго кажучи, формула лише одна, але зазвичай для зручності пишуть і окремий випадок з мінусом у показнику. Параметр не повинен бути самотньою літерою, як може виступати складне вираження, функція, важливо лише, щоб вони приймали тільки дійснізначення. Власне, ми це побачимо прямо зараз:
Приклад 7
Знайти похідну.
Рішення:Генеральна лінія партії залишається непохитною – необхідно виділити дійсну та уявну частини функції. Наведу докладне рішення і нижче закоментую кожен крок:
Оскільки , то:
(1) Підставляємо замість "зет".
(2) Після підстановки потрібно виділити дійсну та уявну частину спочатку у показникуекспонентів. Для цього розкриваємо дужки.
(3) Групуємо уявну частину показника, виносячи уявну одиницю за дужки.
(4) Використовуємо шкільну дію зі ступенями.
(5) Для множника використовуємо формулу Ейлера, при цьому.
(6) Розкриваємо дужки, в результаті:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.
Подальші дії стандартні, перевіримо виконання умов Коші-Рімана: 
Приклад 9
Визначити дійсну та уявну частини функції 
. Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Похідну, так і бути, знаходити не станемо.
Рішення:Алгоритм рішення дуже схожий на попередні два приклади, але є дуже важливі моменти, тому початковий етап знову закоментую покроково:
Оскільки , то:
1) Підставляємо замість "зет".
(2) Спочатку виділяємо дійсну та уявну частину усередині синуса. З цією метою розкриваємо дужки.
(3) Використовуємо формулу, при цьому 
.
(4) Використовуємо парність гіперболічного косинуса: і непарність гіперболічного синуса: . Гіперболіки, хоч і не від цього світу, але багато в чому нагадують аналогічні тригонометричні функції.
В підсумку:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.
Увага!Знак «мінус» відноситься до уявної частини, і його в жодному разі не втрачаємо! Для наочної ілюстрації отриманий результат можна переписати так:
Перевіримо виконання умов Коші-Рімана: 
Умови Коші-Рімана виконані.
Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані.
З косинусом, пані та панове, знаємося самостійно:
Приклад 10
Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.
Я спеціально підібрав приклади складніше, оскільки з чимось начебто все впораються, як із очищеним арахісом. Заодно увагу потренуєте! Горіхокол наприкінці уроку.
Ну і насамкінець розгляну ще один цікавий приклад, коли комплексний аргумент знаходиться в знаменнику. Пару разів у практиці зустрічалося, розберемо щось просте. Ех, старію…
Приклад 11
Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.
Рішення:Знову необхідно виділити дійсну та уявну частину функції.
Якщо то
Виникає питання, що робити, коли «зет» перебуває у знаменнику?
Все нехитро - допоможе стандартний прийом множення чисельника та знаменника на сполучене вираз, він уже застосовувався на прикладах уроку Комплексні числа для чайників. Згадуємо шкільну формулу. У знаменнику у нас вже є, значить, сполученим виразом буде. Таким чином, потрібно помножити чисельник і знаменник на:
