Лекция 3. Симплексные таблицы. Алгоритм симплексного метода.

§ 3 СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

3.1. Общая идея симплекс–метода. Геометрическая интерпретация

Графический способ применим к весьма узкому классу задач линейного программирования: эффективно им можно решать задачи, содержащие не более двух переменных. Были рассмотрены основные теоремы линейного программи­рования, из которых следует, что если задача линейного програм­мирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений систе­мы ограничений. Был указан путь решения любой задачи линейного программирования: перебрать конечное число допустимых базисных решений системы ограни­чений и выбрать среди них то, на котором функция цели прини­мает оптимальное решение. Геометрически это соответствует пе­ребору всех угловых точек многогранника решений. Такой пере­бор в конце концов приведет к оптимальному решению (если оно существует), однако его практическое осуществление связано с огромными трудностями, так как для реальных задач число допус­тимых базисных решений хотя и конечно, но может быть чрезвы­чайно велико.

Число перебираемых допустимых базисных решений можно сократить, если производить перебор не беспорядочно, а с учетом изменений линейной функции, т.е. добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было "лучше" (или, по крайней мере, "не хуже"), чем предыдущее, по значениям линейной функции (увеличение ее при отыскании максимума , уменьшение– при отыскании минимума
). Такой перебор позволяет сократить число шагов при отыска­нии оптимума. Поясним это на графическом примере.

Пусть область допустимых решений изображается многоуголь­ником ABCDE . Предположим, что его угловая точка А соответствует исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось бы испытать пять допустимых базисных решений, соответствующих пяти угловым точкам мно­гоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А выгодно перейти к соседней вершине В, а затем – к оптимальной точке С. Вместо пяти перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную функцию.

Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода решения задач линейного программирова­ния – симплексного метода или метода последовательного улучшения плана.

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последо­вательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная функция принимает лучшее (по крайней мере, не худшее) значение по отношению к цели задачи; до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум).

Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г., однако еще в 1939 г. идеи метода были разработаны российским ученым Л.В. Канторовичем.

Симплексный метод, позволяющий решить любую задачу ли­нейного программирования, универсален. В настоящее время он используется для компьютерных расчетов, однако несложные при­меры с применением симплексного метода можно решать и вручную.

Для реализации симплексного метода – последовательного улучшения решения – необходимо освоить три основных элемента:

способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи;

правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению;

критерий проверки оптимальности найденного решения.

Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде урав­нений.

В литературе достаточно подробно описываются: нахождение начального опорного плана (первоначального допустимого базисного решения), тоже – методом искусственного базиса, нахождение оптимального опорного плана, решение задач с помощью симплексных таблиц.

3.2. Алгоритм симплекс–метода.

Рассмотрим решение ЗЛП симплекс-ме­тодом и изложим ее применительно к задаче максимизации.

1. По условию задачи составляется ее математическая мо­дель.

2. Составленная модель преобразовывается к канонической форме. При этом может выделиться базис с начальным опорным планом.

3. Каноническая модель задачи записывается в форме симп­лекс-таблицы так, чтобы все свободные члены были неотрицатель­ными. Если начальный опорный план выделен, то переходят к пункту 5.

Симплекс таблица: вписывается система ограничительных уравнений и целевая функция в виде выражений, разрешенных относительно начального базиса. Строку, в которую вписаны коэффициенты целевой функции
, называют
–строкой или строкой целевой функции.

4. Находят начальный опорный план, производя симплексные преобразования с положительными разрешающими элементами, отвечающими минимальным симплексным отношениям, и не при­нимая во внимание знаки элементов
–строки. Если в ходе преоб­разований встретится 0-строка, все элементы которой, кроме сво­бодного члена, нули, то система ограничительных уравнений задачи несовместна. Если же встретится 0-строка, в которой, кроме свободного члена, других положительных элементов нет, то систе­ма ограничительных уравнений не имеет неотрицательных ре­шений.

Приведение системы (2.55), (2.56) к новому базису будем на­зывать симплексным преобразованием . Если симплексное преобра­зование рассматривать как формальную алгебраическую операцию, то можно заметить, что в результате этой операции происходит перераспределение ролей между двумя переменными, входя­щими в некоторую систему линейных функций: одна переменная из зависимых переходит в независимые, а другая наоборот – из независимых в зависимые. Такая операция известна в алгебре под названием шага жорданова исключения.

5. Найденный начальный опорный план исследуется на опти­мальность:

а) если в
–строке нет отрицательных элементов (не считая свободного члена), то план оптимален. Если при этом нет и нуле­вых, то оптимальный план единственный; если же есть хотя бы один нулевой, то оптимальных планов бесконечное множество;

б) если в
–строке есть хотя бы один отрицательный элемент, которому соответствует столбец неположительных элементов, то
;

в) если в
–строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в его столбце есть хотя бы один положительный, то можно пе­рейти к новому опорному плану, более близкому к оптимальному. Для этого указанный столбец надо назначить разрешающим, по минимальному симплексному отношению найти разрешающую строку и выполнить симплексное преобразование. Полученный опорный план вновь исследовать на оптимальность. Описанный процесс повторяется до получения оптимального плана либо до установления неразрешимости задачи.

Столбец коэффициентов при переменной, включаемой в базис, называют разрешаю­щим. Таким образом, выбирая переменную, вводимую в базис (или выбирая разрешающий столбец) по отрицательному эле­менту
–строки, мы обеспечиваем возрастание функции
.

Немного сложней определяется переменная, подлежащая ис­ключению из базиса. Для этого составляют отношения свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (та­кие отношения называют симплексными) и находят среди них наименьшее, которое и определяет строку (разрешающую), содержащую исключаемую переменную. Выбор переменной, ис­ключаемой из базиса (или выбор разрешающей строки), по ми­нимальному симплексному отношению гарантирует, как уже уста­новлено, положительность базисных компонент в новом опорном плане.

В пункте 3 алгоритма предполагается, что все элементы столбца свободных членов неотрицательны. Это требование не обя­зательно, но если оно выполнено, то все последующие симплексные преобразования производятся только с положительными разре­шающими элементами, что удобно при расчетах. Если в столбце свободных членов есть отрицательные числа, то разрешающий элемент выбирают следующим образом:

1) просматривают строку, отвечающую какому-либо отрица­тельному свободному члену, например –строку, и выбирают в ней какой-либо отрицательный элемент, а соответствующий ему стол­бец принимают за разрешающий (предполагаем, что ограничения задачи совместны);

2) составляют отношения элементов столбца свободных чле­нов к соответствующим элементам разрешающего столбца, имею­щим одинаковые знаки (симплексные отношения);

3) из симплексных отношений выбирают наименьшее. Оно и определит разрешающую строку. Пусть ею будет, например, р –строка;

4) на пересечении разрешающих столбца и строки находят разрешающий элемент. Если разрешающим оказался элемент –строки, то после симплексного преобразования свободный член этой строки станет положительным. В противном случае на сле­дующем шаге вновь обращаются к–строке. Если задача разреши­ма, то через некоторое число шагов в столбце свободных членов не останется отрицательных элементов.

Если в форму ЗЛП облечена некоторая реальная производст­венная ситуация, то дополнительные переменные, которые прихо­дится вводить в модель в процессе преобразования ее к каноничес­кой форме, всегда имеют определенный экономический смысл.

Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума ) линейного программирования называется . Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода .

Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи , которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.

Исходные данные задачи на симплекс-метод

Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.

Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:

Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:

Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:

Цель производственной задачи

Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Решение задачи табличным симплекс-методом

(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4 )

(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:

(3) Тогда целевая прибыль:

То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.

(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7 ).

(5) Примем следующий опорный план :

X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80

(6) Занесем данные в симплекс-таблицу :

В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;

(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю ) отрицательное число.

Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца

Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее .

Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1 ).

• Сам разрешающий элемент обращается в 1.
• Для элементов разрешающей строки – a ij (*) = a ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные ).
• Для элементов разрешающего столбца – они просто обнуляются.
• Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.

a ij (*) = a ij – (A * B / РЭ)

Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A * B ) делим на разрешающий элемент (РЭ ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a ij ) то, что получилось. Получаем новое значение - a ij (*) .

(9) Вновь проверяем последнюю строку (c ) на наличие отрицательных чисел . Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.

Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.

(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» - X1 и X2. Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C ). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт., получим итоговую (максимальную! ) прибыль при данном плане производства.

ОТВЕТ:

X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.

P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

. Алгоритм симплекс-метода

Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:

Решение:

I итерация:

х3 , х4 , х5 , х6 х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные:

Приведем целевую функциюк следующему виду:

На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.3

Исходная симплекс-таблица

				Оценочные отношения

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).

На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).

Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.

6 этап: проверка оптимальности.

Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.

Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1 » и колонка «х2 ». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2 » содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1

Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.

Таблица 5.4

Исходная симплекс-таблица

В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5 », следовательно, она будет разрешающей.

Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5 » и колонки «х2 ».

Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2 , в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.

9.1. Преобразование разрешающего элемента.

Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:

Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.

9.2. Преобразование разрешающей строки.

Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.

9.3. Преобразование разрешающей колонки.

Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.

9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.

Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».

К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3 » и колонки «», условно обозначим его «х3 ». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3 »), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3 » будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5.4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:

«х3 »: .

Аналогично преобразуются значения других клеток:

«х3 х1 »: ;

«х4 »: ;

«х4 х1 »: ;

«х6 »: ;

«х6 х1 »: ;

«»: ;

«х1 »: .

В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).

II итерация:

1 этап: составление симплекс-таблицы.

Таблица 5.5

Симплекс-таблица II итерации

				Оценочные отношения

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.5):

Как видно, при данном базисном решении значение целевой функции =15, что больше чем при предыдущем базисном решении.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.5 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.5 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.5) содержится отрицательный элемент: –2 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.5, такой колонкой является только одна колонка: «х1 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.6, минимальным является отношение, соответствующее строке «х3 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.6

Симплекс-таблица II итерации

				Оценочные отношения
				3/1=3 – min

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.6) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.7.

III итерация

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.7

Симплекс-таблица III итерации

				Оценочные отношения

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.7):

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.7 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.7 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.7) содержится отрицательный элемент: –3 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.7, такой колонкой является только одна колонка: «х5 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.8, минимальным является отношение, соответствующее строке «х4 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.8

Симплекс-таблица III итерации

				Оценочные отношения
				5/5=1 – min

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.8) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.9.

IV итерация

1 этап: построение новой симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.9

Симплекс-таблица IV итерации

				Оценочные отношения
			–(–3/5)=3/5
			–(1/5)=–1/5
			–(9/5)=–9/5
			–(–3/5)=3/5

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение, согласно таблице 5.9 решение следующее:

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.9 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.9 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.9) нет отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

7 этап: проверка альтернативности решения.

Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.9) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =24, которое достигается при.

Пример 5.2. Решить вышеприведенную задачу линейного программирования при условии, что целевая функция минимизируется:

Решение:

I итерация:

1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.

Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т.е.

В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3 , х4 , х5 , х6 , тогда свободными переменными будут х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные.

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом , составить двойственную задачу линейного программирования.
Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи.
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи , в которой производится оценка ресурсов , затраченных на продажу товаров.

Решение задачи симплекс методом

Пусть x 1 , x 2 , x 3 - количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 - ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:

F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 ->max

0}}}{~}" title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2x_1 + 3x_2 + 6x_3= 0}}}{~}">

Решаем симплекс методом.

Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160.

Данные заносим в симплекс таблицу

Симплекс таблица № 1

Целевая функция:

0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 - 4 = - 4
Δ 2 = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 - 5 = - 5
Δ 3 = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 - 4 = - 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 - 0 = 0

Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:

Вводим переменную x 2 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2 .

= 26.667

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 26.667. Выводим переменную x 6 из базиса

3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 2

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 - 4 = - 2/3
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 - 5 = 0
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 - 4 = 8/3
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1)/3 + 5 · 1/6 - 0 = 5/6

Поскольку есть отрицательная оценка Δ 1 = - 2/3, то план не оптимален.

Вводим переменную x 1 в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1 .

Наименьшее неотрицательное: Q 3 = 40. Выводим переменную x 2 из базиса

3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 3

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160

Вычисляем оценки по формуле:

Δ 1 = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 - 4 = 0
Δ 2 = 0 · 0 + 0 · (-4) + 4 · 3/2 - 5 = 1
Δ 3 = 0 · 2 + 0 · (-4) + 4 · 2 - 4 = 4
Δ 4 = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 5 = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 - 0 = 0
Δ 6 = 0 · (-1)/2 + 0 · (-1) + 4 · 1/4 - 0 = 1

Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.

Решение задачи:

Ответ

x 1 = 40; x 2 = 0; x 3 = 0; x 4 = 160; x 5 = 40; x 6 = 0; F max = 160

То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F max = 160 тыс. руб.

Решение двойственной задачи

Двойственная задача имеет вид:

Z = 240·y 1 + 200·y 2 + 160·y 3 ->min

Title="delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{2y_1 + 4y_2 + 4y_3>=4} {3y_1 + 2y_2 + 6y_3>=5} {6y_1 + 4y_2 + 8y_3>=4} {y_1, y_2, y_3>= 0}}}{~}">

Вводим дополнительные переменные y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0, y 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

Сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач имеют вид:

Из последней симплекс таблицы № 3 прямой задачи, находим решение двойственной задачи:

Z min = F max = 160;
y 1 = Δ 4 = 0; y 2 = Δ 5 = 0; y 3 = Δ 6 = 1; y 4 = Δ 1 = 0; y 5 = Δ 2 = 1; y 6 = Δ 3 = 4;

Задач линейного программирования. Он в последовательном построении , характеризующей рассматриваемый процесс. Решение разбивается на три основных этапа: выбор переменных, построение системы ограничений и поиск целевой функции.

Исходя из этого разделения, условие задачи можно перефразировать следующим образом: экстремум целевой функции Z(X) = f(x1, x2, … ,xn) → max (min) и соответствующие переменные, если известно, что они удовлетворяют системе ограничений: Φ_i (x1, x2, … ,xn) = 0 при i = 1, 2, …, k;Φ_i (x1, x2, … ,xn)) 0 при i = k+1, k+2, …, m.

Систему ограничений нужно привести к каноническому виду, т.е. к системе линейных уравнений, где число переменных больше числа уравнений (m > k). В этой системе обязательно найдутся переменные, которые можно выразить через другие переменные, а если это не так, то их можно ввести искусственно. В этом случае первые называются базисом или искусственным базисом, а вторые – свободными.

Удобнее рассмотреть симплекс-метод на конкретном примере. Пусть дана линейная функция f(x) = 6x1 + 5x2 + 9x3 и система ограничений:5x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 25;x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 20;4x1 + 3x3 ≤ 18.Требуется найти максимальное значение функции f(x).

РешениеНа первом этапе задайте начальное (опорное) решение системы уравнений абсолютно произвольным образом, которое при этом должно удовлетворять данной системе ограничений. В данном случае требуется введение искусственного , т.е. базисных переменных x4, x5 и x6 следующим образом:5x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 25;x1 + 6x2 + 2x3 + x5 = 20;4x1 + 3x3 + x6 = 18.

Как видите, неравенства преобразовались в равенства благодаря добавленным переменные x4, x5, x6, которые являются неотрицательными величинами. Таким образом, вы привели систему к каноническому виду. Переменная x4 входит в первое уравнение с коэффициентом 1, а в два – с коэффициентом 0, то же справедливо для переменных x5, x6 и соответствующих уравнений, что соответствует определению базиса.

Вы подготовили систему и нашли начальное опорное решение – X0 = (0, 0, 0, 25, 20, 18). Теперь представьте коэффициенты переменных и свободные члены уравнений (цифры справа от знака «=») в виде таблицы для оптимизации дальнейших вычислений (см. рис).

Суть симплекс-метода состоит в том, чтобы привести эту таблицу к такому виду, в котором все цифры в строке L будут неотрицательными величинами. Если же выяснится, что это невозможно, то система вообще не имеет оптимального решения. Для начала выберите самый минимальный элемент этой строки, это -9. Цифра стоит в третьем столбце. Преобразуйте соответствующую переменную x3 в базисную. Для этого разделите строку на 3, чтобы в ячейке получилась 1.

Теперь нужно, чтобы ячейки и обратились в 0. Для этого отнимите от соответствующие цифры третьей строки, на 3. От элементов второй строки - элементы третьей, умноженные на 2. И, наконец, от элементов строки L - умноженные на (-9). Вы получили второе опорное решение: f(x) = L = 54 при x1 = (0, 0, 6, 7, 8, 0).