KOOS Lagrange'i meetodi olemus on taandada tingimusliku ekstreemumi probleem tingimusteta ekstreemumiprobleemi lahendamiseks. Mõelgem mudelile mitte lineaarne programmeerimine:

(5.2)

Kus
- tuntud funktsioonid,

A
– antud koefitsiendid.

Pange tähele, et ülesande selles sõnastuses on piirangud määratletud võrdustega ja muutujate mittenegatiivseks olemiseks pole tingimust. Lisaks usume, et funktsioonid
on pidevad oma esimeste osatuletistega.

Teisendame tingimused (5.2) nii, et võrduste vasakul või paremal küljel on null:

(5.3)

Koostame Lagrange'i funktsiooni. See sisaldab sihtfunktsiooni (5.1) ja piirangute (5.3) paremat külge, võttes vastavalt koefitsientidega
. Lagrange'i koefitsiente on nii palju, kui ülesandes on piiranguid.

Funktsiooni (5.4) äärmuspunktid on äärmuspunktid algne probleem ja vastupidi: optimaalne plaan probleem (5.1)-(5.2) on Lagrange'i funktsiooni globaalne äärmuspunkt.

Tõepoolest, las leitakse lahendus
probleeme (5.1)-(5.2), siis on tingimused (5.3) täidetud. Asendame plaani
funktsiooni (5.4) ja kontrollige võrdsuse (5.5) kehtivust.

Seega, et leida algse probleemi jaoks optimaalne plaan, on vaja uurida Lagrange'i funktsiooni ekstreemumi jaoks. Funktsioonil on äärmuslikud väärtused punktides, kus selle osatuletised on võrdsed null. Selliseid punkte nimetatakse paigal.

Määratleme funktsiooni (5.4) osatuletised

,

.

Pärast viigistamist null tuletistest saame süsteemi m+n võrrandid m+n teadmata

,(5.6)

Üldjuhul on süsteemil (5.6)-(5.7) mitu lahendust, mis sisaldavad kõiki Lagrange'i funktsiooni maksimume ja miinimume. Globaalse maksimumi või miinimumi tuvastamiseks arvutatakse sihtfunktsiooni väärtused kõigis leitud punktides. Suurim neist väärtustest on globaalne maksimum ja väikseim globaalne miinimum. Mõnel juhul on võimalik kasutada rangeks äärmuseks piisavad tingimused pidevad funktsioonid (vt ülesannet 5.2 allpool):

lase funktsioneerida
pidev ja kaks korda diferentseeruv mõnes oma statsionaarse punkti läheduses (need.
)). Seejärel:

A ) Kui
, (5.8)

See – funktsiooni range maksimumi punkt
;

b) Kui
, (5.9)

See – funktsiooni range miinimumi punkt
;

G ) Kui
,

siis jääb lahtiseks küsimus ekstreemumi olemasolust.

Lisaks võivad süsteemi (5.6)-(5.7) mõned lahendused olla negatiivsed. Mis ei ole kooskõlas muutujate majandusliku tähendusega. Sel juhul peaksite kaaluma negatiivsete väärtuste asendamist nullväärtustega.

Lagrange'i kordajate majanduslik tähendus. Optimaalne kordaja väärtus
näitab, kui palju kriteeriumi väärtus muutub Z kui ressurss suureneb või väheneb jühe ühiku võrra, alates

Lagrange'i meetodit saab kasutada ka juhul, kui piiranguteks on ebavõrdsused. Seega funktsiooni ekstreemumi leidmine
tingimustel

,

teostatakse mitmes etapis:

1. Määrake sihtfunktsiooni statsionaarsed punktid, mille jaoks nad lahendavad võrrandisüsteemi

.

2. Valige statsionaarsetest punktidest need, mille koordinaadid vastavad tingimustele

3. Lahenda Lagrange'i meetodi abil ülesanne võrdsuspiirangutega (5.1)-(5.2).

4. Uurige globaalse maksimumi teises ja kolmandas etapis leitud punkte: võrrelge väärtusi objektiivne funktsioon nendes punktides - kõrgeim väärtus vastab optimaalsele plaanile.

Probleem 5.1 Lahendame esimeses osas käsitletud ülesande 1.3, kasutades Lagrange'i meetodit. Optimaalne jaotus veevarusid kirjeldatakse matemaatilise mudeli abil

.

Koostame Lagrange'i funktsiooni

Leiame selle funktsiooni tingimusteta maksimumi. Selleks arvutame osatuletised ja võrdsustame need nulliga

,

Nii saime vormi lineaarvõrrandisüsteemi

Võrrandisüsteemi lahendus kujutab endast optimaalset plaani veevarude jaotamiseks niisutusalade vahel

, .

Kogused
mõõdetuna sadades tuhandetes kuupmeetrites.
- puhastulu suurus saja tuhande kuupmeetri kastmisvee kohta. Seetõttu on 1 m 3 kastmisvee piirhind võrdne
den. ühikut

Maksimaalne täiendav puhaskasum niisutamisest on

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (den. ühikut)

Probleem 5.2 Lahendage mittelineaarse programmeerimise ülesanne

Esitame piirangut järgmiselt:

.

Koostame Lagrange'i funktsiooni ja määrame selle osatuletised

.

Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktide määramiseks tuleks selle osatuletised määrata nulliga. Selle tulemusena saame võrrandisüsteemi

.

Esimesest võrrandist järeldub

. (5.10)

Väljendus asendada teise võrrandiga

,

mis eeldab kahte lahendust :

Ja
. (5.11)

Asendades need lahendused kolmanda võrrandiga, saame

,
.

Lagrange'i kordaja ja tundmatu väärtused Arvutame avaldiste (5.10)-(5.11) abil:

,
,
,
.

Seega saime kaks äärmuslikku punkti:

;
.

Selleks, et teada saada, kas need punktid on maksimum- või miinimumpunktid, kasutame range äärmuse (5.8)-(5.9) jaoks piisavaid tingimusi. Eelavaldis jaoks , mis saadakse matemaatilise mudeli piirangust, asendame selle sihtfunktsiooniga

,

. (5.12)

Range ekstreemumi tingimuste kontrollimiseks peaksime leitud äärmuspunktides määrama funktsiooni teise tuletise märgi (5.11)
Ja
.

,
;

.

Seega (·)
on algse probleemi miinimumpunkt (
), A (·)
- maksimumpunkt.

Optimaalne plaan:

,
,
,

.

Matemaatilise programmeerimise probleemide klassifikatsioon

PROGRAMMEERIMINE

MITTELINEAARSTE PROBLEEMIDE LAHENDAMISE MEETODID

Kontrollküsimused jaotise 4 juurde

Lahendusskeem transpordi probleem

Loetleme transpordiprobleemi lahendamise peamised etapid.

1. Kontrollige suletud olekut. Kui ülesanne on avatud, täiendatakse transporditabelit kas fiktiivse tarbimiskoha veeru või fiktiivse tarnija reaga.

2. Nad ehitavad võrdlusplaan.

3. Kontrollige, kas tugiplaanis pole degeneratsiooni. Kui mitte-degeneratsiooni tingimuse rahuldamiseks ei ole piisavalt hõivatud lahtrit, täidetakse üks transporditabeli lahtritest toiteallikaga, võrdne nulliga. Vajadusel on lubatud registreerida null tarneid mitmes lahtris.

4. Plaani optimaalsust kontrollitakse.

5. Kui optimaalsuse tingimused ei ole täidetud, liikuge tarneid ümber jagades edasi järgmise plaani juurde. Arvutusprotsess korratakse kuni optimaalse plaani saamiseni.

1. Mida tähendab sihtfunktsioon transpordiprobleemi matemaatilises mudelis?

2.Mis tähendus on piirangutel transpordiprobleemi matemaatilises mudelis?

3. Kas potentsiaalset meetodit on võimalik rakendada avatud (sulgemata) transpordiprobleemi lahendamiseks?

4.Milliseid muudatusi tuleb esialgses transporditabelis teha, et probleemi saaks võimaliku meetodiga lahendada?

5. Mis on meetodi olemus minimaalne element? Milline transpordiprobleemi lahendamise etapp selle meetodi rakendamise tulemusena läbi saab?

6. Kuidas teada saada, kas transpordiplaan on optimaalne?

7. Millisel juhul ja kuidas on vaja tarneid transpordi mõttes ümber jaotada?

8. Oletame, et koostatud transpordiplaan on mandunud. Kas potentsiaalimeetodil on võimalik probleemi lahendamist jätkata ja mida selleks teha tuleb?

Üldine matemaatilise programmeerimise probleem sõnastati punktis 1.1. Olenevalt mudelis (1.1)-(1.3) sisalduvate funktsioonide tüübist liigitatakse probleem ühte või teist tüüpi matemaatilise programmeerimise alla. On lineaarne programmeerimine (kõik funktsioonid on lineaarsed), täisarvuline programmeerimine (lahend kujutatakse täisarvudega), ruutprogramm (objektifunktsioon on ruutvorm), mittelineaarne (vähemalt üks ülesande funktsioonidest on mittelineaarne) ja stohhastiline programmeerimine ( parameetrid, mis on olemuselt tõenäosuslikud).

Mittelineaarse programmeerimise ülesannete klass on klassist laiem lineaarsed mudelid. Näiteks tootmiskulud ei ole enamikul juhtudel proportsionaalsed toodangu mahuga, vaid sõltuvad sellest mittelineaarselt, tootmistoodete müügist saadav tulu osutub hindade mittelineaarseks funktsiooniks jne. Optimaalsete planeerimisprobleemide kriteeriumid on sageli maksimaalne kasum, minimaalne kulu ja minimaalsed kapitalikulud. Nagu muutujad väljundmahud on erinevat tüüpi tooted. Piirangud hõlmavad tootmisfunktsioone, mis iseloomustavad toote toodangu ning tööjõu- ja materiaalsete ressursside kulude seost, mille maht on piiratud.

Erinevalt lineaarsest programmeerimisest, mis kasutab universaalne meetod lahendusi (simplex meetod), on mittelineaarsete probleemide lahendamiseks terve rida meetodeid, mis sõltuvad mudelis sisalduvate funktsioonide vormist. Meetodite mitmekesisusest käsitleme ainult kahte: Lagrange'i meetodit ja dünaamilise programmeerimise meetodit.

KOOS Lagrange'i meetodi olemus on taandada tingliku ekstreemumi probleem tingimusteta ekstreemumiprobleemi lahendamiseks. Mõelge mittelineaarsele programmeerimismudelile:

(5.2)

Kus - tuntud funktsioonid,

A – antud koefitsiendid.

Pange tähele, et ülesande selles sõnastuses on piirangud määratletud võrdsustega ja pole tingimust, et muutujad oleksid mittenegatiivsed. Lisaks usume, et funktsioonid on pidevad oma esimeste osatuletistega.

Teisendame tingimused (5.2) nii, et võrduste vasakul või paremal küljel on null:

(5.3)

Koostame Lagrange'i funktsiooni. See sisaldab sihtfunktsiooni (5.1) ja piirangute (5.3) paremat külge, võttes vastavalt koefitsientidega . Lagrange'i koefitsiente on nii palju, kui ülesandes on piiranguid.

Funktsiooni äärmuspunktid (5.4) on algülesande äärmuspunktid ja vastupidi: optimaalne ülesandeplaan (5.1)-(5.2) on Lagrange'i funktsiooni globaalne äärmuspunkt.

Tõepoolest, las leitakse lahendus probleeme (5.1)-(5.2), siis on tingimused (5.3) täidetud. Asendame plaani funktsiooni (5.4) ja kontrollige võrdsuse (5.5) kehtivust.

Seega, et leida algse probleemi jaoks optimaalne plaan, on vaja uurida Lagrange'i funktsiooni ekstreemumi jaoks. Funktsioonil on äärmuslikud väärtused punktides, kus selle osatuletised on võrdsed null. Selliseid punkte nimetatakse paigal.

Määratleme funktsiooni (5.4) osatuletised

,

.

Pärast viigistamist null tuletistest saame süsteemi m+n võrrandid m+n teadmata

, (5.6)

Üldjuhul on süsteemil (5.6)-(5.7) mitu lahendust, mis sisaldavad kõiki Lagrange'i funktsiooni maksimume ja miinimume. Globaalse maksimumi või miinimumi esiletõstmiseks arvutatakse sihtfunktsiooni väärtused kõigis leitud punktides. Suurim neist väärtustest on globaalne maksimum ja väikseim globaalne miinimum. Mõnel juhul selgub võimalik kasutamine piisavad tingimused rangeks äärmuseks pidevad funktsioonid (vt ülesannet 5.2 allpool):

olgu funktsioon pidev ja kaks korda diferentseeruv mõnes oma statsionaarse punkti (st ) läheduses). Seejärel:

A) Kui ,(5.8)

siis on funktsiooni range maksimumi punkt;

b) Kui ,(5.9)

siis on funktsiooni range miinimumpunkt;

G ) Kui ,

siis jääb lahtiseks küsimus ekstreemumi olemasolust.

Lisaks võivad süsteemi (5.6)-(5.7) mõned lahendused olla negatiivsed. Mis ei ole kooskõlas muutujate majandusliku tähendusega. Sel juhul peaksite kaaluma negatiivsete väärtuste asendamist nullväärtustega.

Majanduslik mõte Lagrange'i kordajad. Optimaalne kordaja väärtus näitab, kui palju kriteeriumi väärtus muutub Z kui ressurss suureneb või väheneb jühe ühiku võrra, alates

Lagrange'i meetodit saab kasutada ka juhul, kui piiranguteks on ebavõrdsused. Seega funktsiooni ekstreemumi leidmine tingimustel

,

teostatakse mitmes etapis:

1. Määrake sihtfunktsiooni statsionaarsed punktid, mille jaoks nad lahendavad võrrandisüsteemi

.

2. Valige statsionaarsetest punktidest need, mille koordinaadid vastavad tingimustele

3. Lahenda Lagrange'i meetodi abil ülesanne võrdsuspiirangutega (5.1)-(5.2).

4. Teises ja kolmandas etapis leitud punkte uuritakse globaalse maksimumi jaoks: võrreldakse nende punktide sihtfunktsiooni väärtusi - suurim väärtus vastab optimaalsele plaanile.

Probleem 5.1 Lahendame esimeses osas käsitletud ülesande 1.3, kasutades Lagrange'i meetodit. Veevarude optimaalset jaotust kirjeldab matemaatiline mudel

.

Koostame Lagrange'i funktsiooni

Leiame selle funktsiooni tingimusteta maksimumi. Selleks arvutame osatuletised ja võrdsustame need nulliga

,

Seega saime süsteemi kätte lineaarvõrrandid tüüp

Võrrandisüsteemi lahendus kujutab endast optimaalset plaani veevarude jaotamiseks niisutusalade vahel

Väärtusi mõõdetakse sadades tuhandetes kuupmeetrites. - puhastulu suurus saja tuhande kuupmeetri kastmisvee kohta. Seetõttu on 1 m 3 kastmisvee piirhind võrdne den. ühikut

Maksimaalne täiendav puhaskasum niisutamisest on

160·12,26 2 +7600·12,26-130·8,55 2 +5900·8,55-10·16,19 2 +4000·16,19=

172391.02 (den. ühikut)

Probleem 5.2 Lahendage mittelineaarse programmeerimise ülesanne

Esitame piirangut järgmiselt:

.

Koostame Lagrange'i funktsiooni ja määrame selle osatuletised

.

Lagrange'i funktsiooni statsionaarsete punktide määramiseks tuleks selle osatuletised määrata nulliga. Selle tulemusena saame võrrandisüsteemi

• Õpetus

Kõik head päeva. Selles artiklis tahan näidata ühte neist graafilised meetodid Ehitus matemaatilised mudelid dünaamiliste süsteemide jaoks, mida nimetatakse sidemete graafik("side" - ühendused, "graafik" - graafik). Vene kirjandusest leidsin selle meetodi kirjeldused ainult Tomski Polütehnilise Ülikooli õpikust A.V. Voronin “MEHHATROONILISTE SÜSTEEMIDE MODELLEERIMINE” 2008 Näidake ka klassikalist meetodit Lagrange'i võrrandi 2. tüübi kaudu.

Lagrange'i meetod

Ma ei kirjelda teooriat, näitan arvutuste etappe koos mõne kommentaariga. Mulle isiklikult on lihtsam näidetest õppida, kui teooriat kümme korda lugeda. Mulle tundus, et vene kirjanduses on selle meetodi ja üldse matemaatika või füüsika seletused väga rikkalikud. keerulised valemid, mis nõuab vastavalt tõsist matemaatilist tausta. Lagrange’i meetodit õppides (õpin Itaalias Torino Polütehnilises Ülikoolis) uurisin arvutusmeetodite võrdlemiseks vene kirjandust ja selle meetodi lahendamise edenemist oli mul raske jälgida. Isegi Harkovi Lennuinstituudi modelleerimiskursusi meenutades oli selliste meetodite tuletamine väga tülikas ja keegi ei vaevanud end selle probleemi mõistmisega. Selle otsustasin kirjutada, Lagrange'i järgi matemaatiliste mudelite koostamise juhendi, kuna selgus, et see pole sugugi keeruline, piisab sellest, kui tead, kuidas arvutada tuletisi aja ja osatuletistega. Keerulisemate mudelite puhul lisatakse ka rotatsioonimaatriksid, kuid ka neis pole midagi keerulist.

Modelleerimismeetodite omadused:

• Newton-Euler: dünaamilisel tasakaalul põhinevad vektorvõrrandid jõudu Ja hetked
• Lagrange: skalaarvõrrandid, mis põhinevad kineetika ja potentsiaaliga seotud olekufunktsioonidel energiad
• Võlakirjade arv: voolupõhine meetod võimsus süsteemi elementide vahel

Alustame sellest lihtne näide. Mass vedru ja siibriga. Me ignoreerime gravitatsioonijõudu.

Joonis 1. Mass vedru ja siibriga

Kõigepealt määrame:

• esialgne süsteem koordinaadid(NSK) või fikseeritud sk R0(i0,j0,k0). Kuhu? Võite näidata näpuga taeva poole, kuid ajus olevate neuronite otste tõmblemisel läbib idee paigutada NSC M1 keha liikumisjoonele.
• iga massiga keha koordinaatsüsteemid(meil on M1 R1(i1,j1,k1)), orientatsioon võib olla suvaline, kuid miks teha oma elu keerulisemaks, seadke see minimaalse erinevusega NSC-st
• üldistatud koordinaadid q_i(minimaalne muutujate arv, mis võib liikumist kirjeldada), in selles näitesüks üldistatud koordinaat, liikumine ainult mööda j-telge

Joonis 2. Panime kirja koordinaadisüsteemid ja üldistatud koordinaadid

Joonis 3. Keha asend ja kiirus M1

Seejärel leiame siibri kineetilise (C) ja potentsiaalse (P) energia ning dissipatiivse funktsiooni (D) valemite abil:

Joonis 4. Täielik valem kineetiline energia

Meie näites pole pöörlemist, teine ​​komponent võrdub 0-ga.

Joonis 5. Kineetilise, potentsiaalse energia ja dissipatiivse funktsiooni arvutamine

Lagrange'i võrrandil on järgmine vorm:

Joonis 6. Lagrange'i võrrand ja Lagrange'i võrrand

Delta W_i See virtuaalne töö mida täiustavad rakendatud jõud ja hetked. Otsime ta üles:

Joonis 7. Virtuaalse töö arvutamine

Kus delta q_1 virtuaalne liikumine.

Asendame kõik Lagrange'i võrrandisse:

Joonis 8. Saadud massimudel vedru ja siibriga

Siin lõppes Lagrange'i meetod. Nagu näete, pole see nii keeruline, kuid see on siiski väga lihtne näide, mille jaoks oleks Newtoni-Euleri meetod tõenäoliselt veelgi lihtsam. Keerulisemate süsteemide puhul, kus mitu keha on pööratud üksteise suhtes erinevate nurkade all, on Lagrange'i meetod lihtsam.

Bond graafiku meetod

Näitan teile kohe, kuidas mudel välja näeb sidegraafikul, näiteks massi, vedru ja siibriga:

Joonis 9. Sidegraafiku massid vedru ja siibriga

Siin peate rääkima väikese teooria, millest ehitamiseks piisab lihtsad mudelid. Kui kedagi huvitab, võib raamatut lugeda ( Bond Graafi metoodika) või ( Voronin A.V. Mehhatrooniliste süsteemide modelleerimine: õpetus. – Tomsk: Tomski Polütehnilise Ülikooli kirjastus, 2008).

Teeme kõigepealt selle kindlaks keerulised süsteemid koosneb mitmest domeenist. Näiteks koosneb elektrimootor elektrilistest ja mehaanilistest osadest või domeenidest.

sidemete graafik põhineb nende domeenide, alamsüsteemide vahelisel jõuvahetusel. Pange tähele, et mis tahes vormis elektrivahetus määratakse alati kahe muutujaga ( muutuv võimsus), mille abil saame uurida erinevate alamsüsteemide vastasmõju dünaamilises süsteemis (vt tabel).

Nagu tabelist näha, on võimu väljendus kõikjal peaaegu sama. Kokkuvõttes, Võimsus- See töö " vool - f" peal " pingutus - e».

Pingutus(Inglise) pingutus) elektrivaldkonnas on see pinge (e), mehaanilises valdkonnas on see jõud (F) või pöördemoment (T), hüdraulika puhul on see rõhk (p).

Voolu(Inglise) voolu) elektrilises valdkonnas on see vool (i), mehaanilises valdkonnas on see kiirus (v) või nurkkiirus (oomega), hüdraulika puhul on see vedeliku vool või voolukiirus (Q).

Võttes need tähistused, saame võimsuse avaldise:

Joonis 10. Võimsuse valem läbi võimsusmuutujate

Seostegraafiku keeles on kahe võimu vahetava alamsüsteemi vaheline seos kujutatud sidemega. võlakiri). Sellepärast seda kutsutaksegi seda meetodit side-graafik või g raf-ühendused, ühendatud graafik. Mõelgem plokkskeemühendused elektrimootoriga mudelil (see pole veel sidegraafik):

Joonis 11. Domeenidevahelise võimsusvoo plokkskeem

Kui meil on pingeallikas, siis vastavalt genereerib see pinge ja edastab selle mähkimiseks mootorile (sellepärast on nool suunatud mootori poole), olenevalt mähise takistusest tekib Ohmi seaduse järgi vool (suunatud mootorist allikani). Sellest lähtuvalt on üks muutuja alamsüsteemi sisend ja teine ​​peab olema väljuda allsüsteemist. Siin on pinge ( pingutus) – sisend, vool ( voolu) – väljumine.

Kui kasutate vooluallikat, kuidas diagramm muutub? Õige. Vool suunatakse mootorisse ja pinge allikasse. Siis praegune ( voolu) - Sisendpinge ( pingutus) – väljumine.

Vaatame mehaanika näidet. Massile mõjuv jõud.

Joonis 12. Massile rakendatud jõud

Plokkskeem on järgmine:

Joonis 13. Plokkskeem

Selles näites Strength ( pingutus) – massi sisendmuutuja. (Massile rakendatud jõud)
Newtoni teise seaduse järgi:

Mass reageerib kiirusega:

Selles näites, kui üks muutuja ( jõudu - pingutus) on sissepääs mehaanilisse domeeni, seejärel teise võimsusmuutuja ( kiirust - voolu) – muutub automaatselt väljuda.

Selleks, et eristada, kus on sisend ja kus on väljund, kasutatakse seda vertikaalne joon elementidevahelise noole (ühenduse) lõpus nimetatakse seda rida põhjuslikkuse märk või põhjuslik seos (põhjuslikkus). Selgub: rakendatud jõud on põhjus ja kiirus on tagajärg. See märk on süsteemimudeli õigeks konstrueerimiseks väga oluline, kuna põhjuslikkus on kahe alamsüsteemi füüsilise käitumise ja jõudude vahetuse tagajärg, mistõttu ei saa põhjuslikkuse märgi asukoha valik olla meelevaldne.

Joonis 14. Põhjusliku seose määramine

See vertikaalne joon näitab, milline alamsüsteem saab jõu ( pingutus) ja selle tulemusena tekitavad voolu ( voolu). Massi näites oleks see järgmine:

Joonis 14. Massile mõjuva jõu põhjuslik seos

Noolest on selge, et massi sisend on - jõudu, ja väljund on kiirust. Seda tehakse selleks, et mitte risustada diagrammi nooltega ja süstematiseerida mudeli ülesehitust.

Edasi oluline punkt. Üldine impulss(liikumise hulk) ja liigub(energia muutujad).

Võimsuse ja energia muutujate tabel erinevates valdkondades

Ülaltoodud tabelis on toodud kaks täiendavat füüsikalist suurust, mida kasutatakse sidegraafiku meetod. Neid kutsutakse üldistatud impulss (R) Ja üldistatud liikumine (q) või energiamuutujaid ja neid saab saada võimsusmuutujate integreerimisel aja jooksul:

Joonis 15. Võimsuse ja energia muutujate vaheline seos

Elektrivaldkonnas :

Faraday seaduse alusel Pinge juhi otstes on võrdne seda juhti läbiva magnetvoo tuletisega.

A Praegune tugevus - füüsiline kogus, mis võrdub juhi ristlõike teatud aja t jooksul läbiva laengu Q suhtega selle ajaperioodi väärtusesse.

Mehaaniline domeen:

Newtoni 2. seadusest, Jõud– impulsi ajatuletis

Ja vastavalt, kiirust- nihke aja tuletis:

Teeme kokkuvõtte:

Põhielemendid

Kõik dünaamiliste süsteemide elemendid võib jagada kahe- ja neljapooluselisteks komponentideks.
Mõelgem bipolaarsed komponendid:

Allikad
Seal on nii pingutuse kui ka voolu allikaid. Analoogia elektrivaldkonnas: pingutuste allikas – pingeallikas, voo allikas – praegune allikas. Allikate põhjuslikud märgid peaksid olema ainult sellised.

Joonis 16. Põhjuslikud seosed ja allikate määramine

Komponent R – dissipatiivne element

Komponent I - inertsiaalne element

Komponent C - mahtuvuslik element

Nagu joonistelt näha, erinevad elemendidüks tüüp R,C,I kirjeldatakse samade võrranditega. Erinevus on AINULT elektrilise mahtuvuse osas, peate seda lihtsalt meeles pidama!

Kvadrupoolsed komponendid:

Vaatame kahte komponenti: trafo ja güraator.

Viimane olulised komponendid Bond-graph meetodi puhul kasutatakse ühendusi. Sõlme on kahte tüüpi:

Nii ongi komponentidega.

Peamised sammud põhjuslike seoste tuvastamiseks pärast sidegraafiku koostamist:

1. Andke põhjuslikud seosed kõigile allikatest
2. Käige läbi kõik sõlmed ja pange pärast punkti 1 üles põhjuslikud seosed
3. Sest komponendid I määrata sisend põhjuslik seos (pingutus sisaldub selles komponendis), jaoks komponendid C määrata väljundi põhjuslikkus (pingutus tuleb sellest komponendist)
4. Korrake punkti 2
5. Sisesta põhjuslikud seosed jaoks R komponendid

Sellega on teooria minikursus lõpetatud. Nüüd on meil olemas kõik, mida vajame mudelite ehitamiseks.
Lahendame paar näidet. Alustame sellest elektriahel, on parem mõista sidegraafiku koostamise analoogiat.

Näide 1

Alustame pingeallikaga sidegraafiku koostamist. Lihtsalt kirjuta Se ja pane nool.

Vaata, kõik on lihtne! Vaatame edasi, R ja L on ühendatud jadamisi, mis tähendab, et neis voolab sama vool, kui rääkida võimsusmuutujatest - sama vool. Millises sõlmes on sama voog? Õige vastus on 1-sõlm. Ühendame allika, takistuse (komponent - R) ja induktiivsuse (komponent - I) 1-sõlmega.

Järgmisena on meil mahtuvus ja takistus paralleelselt, mis tähendab, et neil on sama pinge või jõud. 0-sõlm sobib nagu ükski teine. Ühendame mahtuvuse (komponent C) ja takistuse (komponent R) 0-sõlmega.

Samuti ühendame omavahel sõlmed 1 ja 0. Noolte suund valitakse meelevaldselt, ühenduse suund mõjutab ainult võrrandites olevat märki.

Saate järgmise ühenduse graafiku:

Nüüd peame looma põhjuslikud seosed. Järgides nende paigutuse järjestuse juhiseid, alustame allikast.

1. Meil on pinge (pingutuse) allikas, sellisel allikal on ainult üks põhjuslikkuse võimalus - väljund. Paneme selga.
2. Järgmisena on komponent I, vaatame, mida nad soovitavad. Panime
3. Panime selle maha 1-sõlme jaoks. Sööma
4. 0-sõlmel peab olema üks sisend ja kõik väljundi põhjuslikud ühendused. Meil on praegu üks vaba päev. Otsime komponente C või I. Leidsime selle. Panime
5. Loetleme, mis üle jääb

See on kõik. Ehitatakse sidegraafik. Hurraa, seltsimehed!

Jääb vaid kirjutada meie süsteemi kirjeldavad võrrandid. Selleks loo 3 veeruga tabel. Esimene sisaldab kõiki süsteemi komponente, teine ​​sisaldab iga elemendi sisendmuutujat ja kolmas sisaldab sama komponendi väljundmuutujat. Oleme juba määratlenud sisendi ja väljundi põhjuslike seoste abil. Nii et probleeme ei tohiks olla.

Nummerdame iga ühenduse tasemete salvestamise hõlbustamiseks. Võtame iga elemendi võrrandid komponentide C, R, I loendist.

Tabelit koostades teeme kindlaks olekumuutujad, selles näites on neid 2, p3 ja q5. Järgmisena peate üles kirjutama olekuvõrrandid:

See on kõik, mudel on valmis.

Näide 2. Vabandan koheselt foto kvaliteedi pärast, peaasi et lugeda oskad

Lahendame veel ühe näite mehaaniline süsteem, sama, mille lahendasime Lagrange'i meetodi abil. Näitan lahendust ilma kommentaarideta. Vaatame, milline neist meetoditest on lihtsam ja lihtsam.

Matbalas koostati mõlemad samade parameetritega matemaatilised mudelid, mis saadi Lagrange'i meetodi ja sidegraafiku abil. Tulemus on allpool: Lisa sildid

Vaatleme esimest järku lineaarset ebahomogeenset diferentsiaalvõrrandit:
(1) .
Selle võrrandi lahendamiseks on kolm võimalust:

• konstandi muutmise meetod (Lagrange).

Vaatleme esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamist Lagrange'i meetodi abil.

Konstandi muutmise meetod (Lagrange)

Konstantmeetodi variatsioonis lahendame võrrandi kahes etapis. Esimeses etapis lihtsustame algset võrrandit ja lahendame homogeense võrrandi. Teises etapis asendame lahenduse esimeses etapis saadud integreerimiskonstandi funktsiooniga. Siis otsime ühine otsus algne võrrand.

Mõelge võrrandile:
(1)

1. samm Homogeense võrrandi lahendamine

Otsime lahendust homogeensele võrrandile:

See on eraldatav võrrand

Eraldame muutujad - korrutage dx-ga, jagage y-ga:

Integreerime:

Integraal y kohal – tabel:

Siis

Tugevdame:

Asendame konstant e C C-ga ja eemaldame mooduli märgi, mis taandub konstandiga korrutamisele ±1, mille lisame C-sse:

2. samm Asenda konstant C funktsiooniga

Nüüd asendame konstanti C funktsiooniga x:
C → u (x)
See tähendab, et me otsime lahendust algsele võrrandile (1) nagu:
(2)
Tuletise leidmine.

Vastavalt keeruka funktsiooni diferentseerimise reeglile:
.
Vastavalt toodete eristamise reeglile:

.
Asendage algsesse võrrandisse (1) :
(1) ;

.
Kaks liiget vähendatakse:
;
.
Integreerime:
.
Asendus sisse (2) :
.
Selle tulemusena saame esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse:
.

Näide esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamisest Lagrange'i meetodil

Lahenda võrrand

Lahendus

Lahendame homogeense võrrandi:

Eraldame muutujad:

Korruta:

Integreerime:

Tabeli integraalid:

Tugevdame:

Asendame konstant e C C-ga ja eemaldame mooduli märgid:

Siit:

Asendame konstanti C funktsiooniga x:
C → u (x)

Tuletise leidmine:
.
Asendage algsesse võrrandisse:
;
;
Või:
;
.
Integreerime:
;
Võrrandi lahendus:
.

Esiteks vaatleme kahe muutuja funktsiooni juhtumit. Funktsiooni $z=f(x,y)$ tingimuslik ekstreemum punktis $M_0(x_0;y_0)$ on selle funktsiooni ekstreemum, mis saavutatakse tingimusel, et muutujad $x$ ja $y$ selle punkti lähedus rahuldab ühendusvõrrandit $\ varphi (x,y)=0$.

Nimetus "tingimuslik" ekstreemum tuleneb asjaolust, et muutujad on allutatud lisatingimus$\varphi(x,y)=0$. Kui ühendusvõrrandist saab väljendada üht muutujat teise kaudu, siis tingliku ekstreemumi määramise probleem taandub ühe muutuja funktsiooni tavapärase ekstreemumi määramise probleemiks. Näiteks kui ühendusvõrrand eeldab $y=\psi(x)$, siis asendades $y=\psi(x)$ väärtusega $z=f(x,y)$, saame ühe muutuja $z funktsiooni =f\left (x,\psi(x)\right)$. Üldjuhul on sellest meetodist aga vähe kasu, mistõttu on vaja kasutusele võtta uus algoritm.

Lagrange'i kordaja meetod kahe muutuja funktsioonide jaoks.

Lagrange'i kordaja meetod seisneb Lagrange'i funktsiooni konstrueerimises tingimusliku ekstreemumi leidmiseks: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameeter $\lambda$ on nn. Lagrange'i kordaja). Vajalikud tingimusedäärmused on antud võrrandisüsteemiga, millest määratakse statsionaarsed punktid:

$$ \left \( \begin( joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(joondatud) \paremale.

Piisav tingimus, mille põhjal saab määrata ekstreemumi olemuse, on märk $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Kui statsionaarses punktis $d^2F > 0$, siis funktsioonil $z=f(x,y)$ on selles punktis tingimuslik miinimum, aga kui $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ekstreemumi olemuse määramiseks on veel üks viis. Sidestamisvõrrandist saame: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, seega on meil igas statsionaarses punktis:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \paremal)$$

Teist tegurit (asub sulgudes) saab esitada järgmisel kujul:

Determinandi $\left| elemendid on punasega esile tõstetud. \begin(massiivi) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (massiiv)\right|$, mis on Lagrange'i funktsiooni Hessi kohv. Kui $H > 0$, siis $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, st. meil on funktsiooni $z=f(x,y)$ tingimuslik miinimum.

Märkus determinandi $H$ märkimise kohta. Näita Peida

$$ H=-\left|\begin(massiivi) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(massiivi) \right| $$

Sellises olukorras muutub ülaltoodud reegel järgmiselt: kui $H > 0$, siis on funktsioonil tingimuslik miinimum ja kui $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritm kahe muutuja funktsiooni uurimiseks tingimusliku ekstreemumi jaoks

1. Koostage Lagrange'i funktsioon $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Lahendage süsteem $ \left \( \begin( joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(joondatud) \right.$
3. Määrake ekstreemumi olemus igas eelmises lõigus leitud statsionaarses punktis. Selleks kasutage ühte järgmistest meetoditest.
   • Koostage $H$ determinant ja leidke selle märk
   • Võttes arvesse sidumisvõrrandit, arvutage märk $d^2F$

Lagrange'i kordaja meetod n muutuja funktsioonide jaoks

Oletame, et meil on funktsioon $n$ muutujatest $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ja $m$ sidumisvõrranditest ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tähistades Lagrange'i kordajaid kui $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, koostame Lagrange'i funktsiooni:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Tingimusliku ekstreemumi olemasoluks vajalikud tingimused on antud võrrandisüsteemiga, millest leitakse statsionaarsete punktide koordinaadid ja Lagrange'i kordajate väärtused:

$$\left\(\begin(joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ülejoon(1,m)) \end(joondatud) \right.$$

Märgi $d^2F$ abil saate teada, kas funktsioonil on leitud punktis tingimuslik miinimum või tingimuslik maksimum, nagu varemgi. Kui leitud punktis $d^2F > 0$, siis on funktsioonil tingimuslik miinimum, aga kui $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Maatriksi $\left| determinant \begin(massiivi) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( massiiv) \right|$, mis on maatriksis $L$ punasega esile tõstetud, on Lagrange'i funktsiooni Hess. Kasutame järgmist reeglit:

• Kui nurgeliste alaealiste tunnused $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ maatriksid $L$ langevad kokku $(-1)^m$ märgiga, siis on uuritav statsionaarne punkt funktsiooni $ tingimuslik miinimumpunkt z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Kui nurgeliste alaealiste tunnused $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ vahelduvad ja molli $H_(2m+1)$ märk langeb kokku arvu $(-1)^(m+1) märgiga )$, siis statsionaarne punkt on funktsiooni $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ tingimuslik maksimumpunkt.

Näide nr 1

Leidke funktsiooni $z(x,y)=x+3y$ tingimuslik ekstreemum tingimuse $x^2+y^2=10$ all.

Selle ülesande geomeetriline tõlgendus on järgmine: peate leidma suurima ja väikseim väärtus rakendab tasandit $z=x+3y$ selle silindriga $x^2+y^2=10$ lõikepunktidele.

Mõnevõrra raske on väljendada sidestusvõrrandist üht muutujat teise kaudu ja asendada see funktsiooniga $z(x,y)=x+3y$, seetõttu kasutame Lagrange'i meetodit.

Tähistades $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, koostame Lagrange'i funktsiooni:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Kirjutame võrrandisüsteemi, et määrata Lagrange'i funktsiooni statsionaarsed punktid:

$$ \left \( \begin(joondatud) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (joondatud)\paremale.$$

Kui eeldame $\lambda=0$, siis saab esimeseks võrrandiks $1=0$. Saadud vastuolu näitab, et $\lambda\neq 0$. Tingimusel $\lambda\neq 0$ saame esimesest ja teisest võrrandist: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Asendades saadud väärtused kolmandasse võrrandisse, saame:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(joondatud) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(joondatud) \right.\\ \begin(joondatud) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(joondatud) $$

Seega on süsteemil kaks lahendust: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ja $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Uurime igas statsionaarses punktis ekstreemumi olemust: $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$. Selleks arvutame igas punktis $H$ determinandi.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(massiiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiiv) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(massiivi) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiivi) \right| $$

Punktis $M_1(1;3)$ saame: $H=8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(massiivi) \right|=40 > 0$, nii et punkt Funktsioonil $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ on tingimuslik maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Samamoodi leiame punktis $M_2(-1,-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(massiivi) \right|=-40 $. Alates $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Märgin, et selle asemel, et arvutada igas punktis determinandi $H$ väärtust, on palju mugavam seda laiendada üldine vaade. Et tekst mitte detailidega risustada, peidan selle meetodi märkuse alla.

Determinandi $H$ kirjutamine üldkujul. Näita Peida

$$ H=8\cdot\left|\begin(massiivi)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(massiivi)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Põhimõtteliselt on juba ilmne, mis märk $H$ on. Kuna ükski punktidest $M_1$ ega $M_2$ ei kattu lähtepunktiga, siis $y^2+x^2>0$. Seetõttu on $H$ märk vastupidine märgile $\lambda$. Saate arvutused lõpule viia:

$$ \begin(joondatud) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(joondatud) $$

Küsimuse ekstreemumi olemuse kohta statsionaarsetes punktides $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$ saab lahendada ilma determinanti $H$ kasutamata. Leiame igas statsionaarses punktis märgi $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Olgu märgitud, et märge $dx^2$ tähendab täpselt $dx$ tõstetud teise astmeni, st. $\left(dx \right)^2$. Seega on meil: $dx^2+dy^2>0$, seega koos $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ saame $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Vastus: punktis $(-1;-3)$ on funktsioonil tingimuslik miinimum, $z_(\min)=-10$. Punktis $(1;3)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=10$

Näide nr 2

Leidke funktsiooni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ tingimuslik ekstreemum tingimuse $x+y=0$ all.

Esimene meetod (Lagrange'i kordaja meetod)

Tähistades $\varphi(x,y)=x+y$, koostame Lagrange'i funktsiooni: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (joondatud) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0 \\ & x+y=0 \end(joondatud) \right.

Pärast süsteemi lahendamist saame: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ja $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Meil on kaks statsionaarset punkti: $M_1(0;0)$ ja $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Uurime igas statsionaarses punktis ekstreemumi olemust determinandi $H$ abil.

$$H=\left| \begin(massiiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiiv) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(massiivi) \right|=-10-18y $$

Punktis $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, seega on sellel hetkel funktsioonil tingimuslik maksimum $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Uurime ekstreemumi olemust igas punktis erineva meetodi abil, mis põhineb märgil $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Ühendusvõrrandist $x+y=0$ saame: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Kuna $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, siis $M_1(0;0)$ on funktsiooni $z(x,y)=3y^3+ tingimuslik miinimumpunkt 4x^ 2-xy$. Samamoodi $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Teine viis

Ühendusvõrrandist $x+y=0$ saame: $y=-x$. Asendades $y=-x$ funktsiooni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, saame mingi muutuja $x$ funktsiooni. Tähistame seda funktsiooni kui $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Seega taandasime kahe muutuja funktsiooni tingimusliku ekstreemumi leidmise probleemi ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi määramise ülesandeks.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Saime punktid $M_1(0;0)$ ja $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Edasised uuringud on kursusest teada diferentsiaalarvutus funktsioonid ühe muutujaga. Uurides $u_(xx)^("")$ märki igas statsionaarses punktis või kontrollides $u_(x)^(")$ märgi muutust leitud punktides, saame samad järeldused kui siis, kui esimese meetodi lahendamisel kontrollime näiteks märki $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Kuna $u_(xx)^("")(M_1)>0$, siis $M_1$ on funktsiooni $u(x)$ miinimumpunkt ja $u_(\min)=u(0)=0 $ . Alates $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Funktsiooni $u(x)$ väärtused antud ühendustingimuse jaoks langevad kokku funktsiooni $z(x,y)$ väärtustega, st. funktsiooni $u(x)$ leitud ekstreemumid on funktsiooni $z(x,y)$ otsitavad tingimuslikud ekstreemumid.

Vastus: punktis $(0;0)$ on funktsioonil tingimuslik miinimum $z_(\min)=0$. Punktis $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Vaatleme veel ühte näidet, milles selgitame ekstreemumi olemust, määrates $d^2F$ märgi.

Näide nr 3

Leia funktsiooni $z=5xy-4$ suurim ja väikseim väärtus, kui muutujad $x$ ja $y$ on positiivsed ja vastavad sidestusvõrrandile $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Koostame Lagrange'i funktsiooni: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Leiame Lagrange'i funktsiooni statsionaarsed punktid:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (joondatud) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0. \end(joondatud) \paremale;

Kõik edasised teisendused viiakse läbi, võttes arvesse $x > 0; \; y > 0$ (see on täpsustatud probleemi avalduses). Teisest võrrandist väljendame $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ja asendame leitud väärtuse esimese võrrandiga: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Asendades $x=2y$ kolmandas võrrandis, saame: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Kuna $y=1$, siis $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstreemumi olemuse punktis $(2;1)$ määrame $d^2F$ märgi alusel.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Kuna $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, siis:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Põhimõtteliselt saab siin kohe asendada statsionaarse punkti $x=2$, $y=1$ ja parameetri $\lambda=-10$ koordinaadid, saades:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Kuid muudes tingimusliku ekstreemumi probleemides võib olla mitu statsionaarset punkti. Sellistel juhtudel on parem esitada $d^2F$ üldkujul ja seejärel asendada saadud avaldisega iga leitud statsionaarse punkti koordinaadid:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Asendades $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, saame:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Kuna $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Vastus: punktis $(2;1)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=6$.

Järgmises osas käsitleme Lagrange'i meetodi rakendamist funktsioonide jaoks rohkem muutujad.