Как известно, метод Жордана-Гаусса, он же метод последовательного исключения неизвестных, является модификацией метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Метод базируется на элементарных преобразованиях (переводящих систему в эквивалентную), к которым относятся:
- прибавление к обеим частям уравнения системы другого уравнения той же системы, умноженного на число, отличное от нуля;
- перестановка местами уравнений в системе;
- удаление из системы уравнений вида 0 = 0.
В отличие от метода Гаусса, на каждом шаге одна переменная исключается из всех уравнений, кроме одного.
Шаг метода состоит в следующем:
- выбрать в очередном уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля (разрешающим элементом);
- разделить выбранное уравнение на разрешающий элемент;
- с помощью выбранного уравнения исключить неизвестное при разрешающем элементе из всех остальных уравнений;
- на следующем шаге аналогично исключается другое неизвестное из всех уравнений, кроме одного;
- процесс продолжается, пока не будут использованы все уравнения.
Алгоритмизировать это можно так:
Для СЛАУ в матричном виде A*x=b (матрица A размерности m*n , совсем необязательно квадратная) составляется следующая таблица:
В таблице выбран разрешающий элемент a r,s ≠0 , тогда r - разрешающая строка, s - разрешающий столбец.
Переход к следующей таблице выполняется по правилам:
1. вычисляются элементы разрешающей строки: a" r,j =a r,j /a r,s - то есть, r-строка таблицы делится на разрешающий элемент;
2. все элементы разрешающего столбца, кроме a r,s , равного единице, становятся равны нулю;
3. элементы вне разрешающих строки и столбца вычисляются по формуле, изображённой ниже:
Легко не запутаться, если увидеть, что числитель этой формулы похож на вычисление определителя матрицы 2 на 2.
4. При ручном расчёте значение в последнем контрольном столбце сравнивается с суммой предыдущих элементов строки. Если значения не совпадают, ошибки надо искать в данной строке. При автоматизированном расчёте контрольный столбец можно опустить.
Возможны следующие случаи:
1. В процессе исключений левая часть уравнения системы обращается в 0, а правая b≠0 , тогда система не имеет решения.
2. Получается тождество 0 = 0 - уравнение является линейной комбинацией остальных и строка нулей может быть вычеркнута из системы.
3. После использования всех уравнений для исключения неизвестных, таблица либо содержит искомое решение, либо показывает несовместность системы ограничений.
Запрограммируем метод в Excel одной формулой, изменять которую должно быть не слишком трудоёмко. Например, для решения СЛАУ
заполним коэффициентами системы ячейки листа от A1 до D4 включительно, выберем разрешающий элемент a 1,1 =1 , а первый шаг метода сделаем в ячейке A6 , куда загоним "универсальную" формулу для преобразования Жордана-Гаусса:
ЕСЛИ(СТРОКА($A$1)=СТРОКА(A1);A1/$A$1;
ЕСЛИ(СТОЛБЕЦ($A$1)=СТОЛБЕЦ(A1);0;(A1*$A$1-
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА(A1);СТОЛБЕЦ($A$1)))*
ДВССЫЛ(АДРЕС(СТРОКА($A$1);СТОЛБЕЦ(A1))))/$A$1))
На следующем шаге разрешающим элементом может быть, например, a 2,2 =1 (ячейка B7). Нам останется скопировать формулу из A6 в A11 (по пустой строке оставляем, чтоб визуально разделить шаги метода), войти в режим редактирования формулы (двойной щелчок по ячейке или выбрать её и нажать клавишу F2) и поправить (аккуратно перетащить мышкой за границу) все закреплённые ссылки с ячейки A1 на B7 .
Конечно, можно заменить везде в формуле закреплённую ссылку $A$1 на конструкцию вида ДВССЫЛ(ЯЧЕЙКА) , образующую динамический адрес ссылки. Скажем, ДВССЫЛ(F8) , а в ячейке F8 будет автоматически формироваться адрес ячейки разрешающего элемента по заданным пользователем номеру строки и столбца. Тогда для этих номеров строки и столбца придётся предусмотреть отдельные ячейки, например, так:
Увы, всё это ничего не даст - вместо $A$1 мы просто вынуждены будем закрепить в формуле ДВССЫЛ($F$8) и всё равно потом перетаскивать столько же ссылок при копировании формулы. Кроме того, "вручную" введённые номера строки и столбца придётся ещё и проверять на допустимость (хотя бы как на рисунке), так что, не будем умножать сущностей.
Посмотреть метод в работе можно на двух первых листах приложенного файла Excel (2 разных примера).
На преобразовании Жордана-Гаусса основан и такой универсальный метод решения линейных задач оптимизации, как симплекс-метод . Описания его обычно страшны, длинны и перегружены теоремами. Попробуем сделать простое описание и разработать пригодный для расчёта в Excel алгоритм. На самом деле, симплекс-метод уже встроен в стандартную надстройку Пакет анализа, и программировать его "вручную" не нужно, так что наш код имеет, скорее, учебную ценность.
Сначала минимум теории.
Если вектор-столбцы СЛАУ линейно независимы, соответствующие им переменные являются базисными , а остальные – свободными . Например, в СЛАУ
переменные x 2 и x 4 - базисные, а x 1 и x 3 - свободные. Базисные переменные между собой независимы, а свободные можно сделать, например, нулями и получить { x 2 =2, x 4 =1 } – базисное решение системы.
Выбирая различные разрешающие элементы, можно получить решения СЛАУ с различными базисами. Любое неотрицательное базисное решение СЛАУ называется опорным .
Симплекс-метод обеспечивает переход от одного опорного решения к другому, пока не будет достигнуто оптимальное решение, дающее минимум целевой функции.
Алгоритм симплекс-метода состоит в следующем:
1. Задача ЛП преобразуется к каноническому виду:
Это всегда можно сделать следующим образом: к задаче, записанной в стандартной постановке
добавляются дополнительные балансовые переменные , число которых соответствует числу ограничений-неравенств m (ограничения на неотрицательность значений неизвестных не учитываются). После этого неравенства со знаком " ≤ " превращаются в равенства, например, система ограничений вида
2*x 1 +3*x 2 ≤20
3*x 1 +x 2 ≤15
4*x 1 ≤16
3*x 2 ≤12
x 1 ,x 2 ≥0
примет вид
2*x 1 +3*x 2 +x 3 =20
3*x 1 +x 2 +x 4 =15
4*x 1 +x 5 =16
3*x 2 +x 6 =12
x 1 ,x 2 ,...,x 6 ≥0
То есть, "экономический" смысл балансовых переменных очень прост – это "остатки" неиспользованных ресурсов каждого вида.
Если в исходной задаче искался не минимум, а максимум, целевая функция Z заменятся на Z 1 = -Z . Решения задач совпадают, при этом min Z = - max Z 1 . Например, цель
Z(x 1 ,x 2)=2*x 1 +5*x 2 (max)
переписывается в виде
Z 1 (x 1 ,x 2)=-2*x 1 -5*x 2 (min)
Если в исходной задаче были уравнения-неравенства со знаками " ≥ " вместо " ≤ ", обе части каждого такого неравенства умножаются на -1 , а знак неравенства меняется на противоположный, например,
3*x 1 +x 2 +x 4 ≥15
превращается в
3*x 1 -x 2 -x 4 ≤15
Канонический вид модели получен, для него выписывается симплекс-таблица :
В левом столбце записываются базисные переменные (БП), если они ещё не выделены – пусто.
2. С помощью шагов Жордана–Гаусса ищется первоначальный опорный план, т.е. СЛАУ приводится к базисному виду с неотрицательными свободными членами b i >0 . При этом целевая функция Z должна быть выражена только через свободные неизвестные (нулевые коэффициенты в Z-строке стоят только под переменными x i , которые есть в базисе). При выборе разрешающего элемента a r,s в строку r столбца БП выписываем переменную x s , если там уже была переменная – вычеркиваем её (выводим из базиса).
3. Выписываем под столбцами x i опорный план X * : под свободными переменными - нули, под базисными – соответствующие базисной переменной коэффициенты из столбца b .
Ниже выписываем вектор R по правилу: под базисными переменными – нули, под свободными R i =Z i .
Если все R i ≥0 , найдено оптимальное решение X * и значение цели Z min = -q , иначе нужен новый план, а у вас он есть, товарищ Жюков? (п. 4).
4. Для выбора разрешающего столбца s выбираем максимальную по модулю отрицательную компоненту вектора R , разрешающий столбец s выбран. Затем анализируем коэффициенты s-го столбца матрицы системы ограничений. Если все a i,s ≤0 , решения нет и Z min стремится к минус бесконечности, иначе переходим к п.5.
5. Для выбора разрешающей строки r составляем неотрицательные отношения b i /A i,s ≥0 , i=1,2,...,m , и выбираем среди них наименьшее. Если минимум достигается для нескольких строк, за разрешающую можно принять любую из них, при этом, в новом опорном плане значения некоторых базисных переменных станут равными 0, т.е., получаем вырожденный опорный план.
6. Выполняем преобразование Жордана-Гаусса с разрешающим элементом a r,s и переходим к п.3
Геометрически симплекс-методу соответствует кратчайший обход вершин n-мерного выпуклого многогранника, образующего область допустимых решений задачи:
Здесь мы перешли от опорного плана C , представляющего собой одну из вершин многомерного многоугольника, к оптимальному плану E=X * .
Запрограммировать это всё в Excel нелегко, но можно. В прилагаемом документе приведены 3 примера, реализующие решение задач симплекс-методом. Правда, при выполнени шага менять уже придётся 3 формулы, на листе первого примера на симплекс-метод они выделены жёлтым цветом: расчёт отношений для выбора разрешающей строки в ячейке I2 , заполнение столбца БП в ячейке A12 , шаг преобразования Жордана-Гаусса в ячейке B12 . Как и в примере на преобразование Жордана-Гаусса, изменение формул связано только с необходимостью сослаться на новую строку, содержащую адрес ячейки с разрешающим элементом (для первого шага - ячейка C9).
. Алгоритм симплекс-метода
Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:
Решение:
I итерация:
х3 , х4 , х5 , х6 х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные:
Приведем целевую функциюк следующему виду:
На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:
Таблица 5.3
Исходная симплекс-таблица
Оценочные отношения |
||||
Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:
3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.
На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).
На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).
Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.
6 этап: проверка оптимальности.
Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.
Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1 » и колонка «х2 ». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2 » содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1
Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.
Таблица 5.4
Исходная симплекс-таблица
В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5 », следовательно, она будет разрешающей.
Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5 » и колонки «х2 ».
Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2 , в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.
9.1. Преобразование разрешающего элемента.
Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:
Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.
9.2. Преобразование разрешающей строки.
Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.
9.3. Преобразование разрешающей колонки.
Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.
9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.
Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».
К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3 » и колонки «», условно обозначим его «х3 ». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3 »), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3 » будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5.4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:
«х3 »: .
Аналогично преобразуются значения других клеток:
«х3 х1 »: ;
«х4
»: 
;
«х4 х1 »: ;
«х6
»: 
;
«х6 х1 »: ;
«»: 
;
«х1
»: 
.
В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).
II итерация:
1 этап: составление симплекс-таблицы.
Таблица 5.5
Симплекс-таблица II итерации
Оценочные отношения |
||||
| ||||
|
|
2 этап: определение базисного решения.
В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.5):
Как видно, при данном базисном решении значение целевой функции =15, что больше чем при предыдущем базисном решении.
Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.5 не выявлена.
4 этап: проверка ограниченности целевой функции.
Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.5 не выявлена.
5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.5) содержится отрицательный элемент: –2 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.
8 этап: определение разрешающего элемента.
8.1. Определение разрешающей колонки.
Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.5, такой колонкой является только одна колонка: «х1 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
8.2. Определение разрешающей строки.
Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.6, минимальным является отношение, соответствующее строке «х3 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
Таблица 5.6
Симплекс-таблица II итерации
Оценочные отношения |
||||
3/1=3 – min |
||||
9 этап: преобразование симплекс-таблицы.
Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.6) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.7.
III итерация
По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:
Таблица 5.7
Симплекс-таблица III итерации
Оценочные отношения |
||||
| ||||
|
|
2 этап: определение базисного решения.
В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.7):
3 этап: проверка совместности системы ограничений.
Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.7 не выявлена.
4 этап: проверка ограниченности целевой функции.
Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.7 не выявлена.
5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.
6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.7) содержится отрицательный элемент: –3 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.
8 этап: определение разрешающего элемента.
8.1. Определение разрешающей колонки.
Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.7, такой колонкой является только одна колонка: «х5 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
8.2. Определение разрешающей строки.
Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.8, минимальным является отношение, соответствующее строке «х4 ». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.
Таблица 5.8
Симплекс-таблица III итерации
Оценочные отношения |
||||
5/5=1 – min |
||||
9 этап: преобразование симплекс-таблицы.
Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.8) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.9.
IV итерация
1 этап: построение новой симплекс-таблицы.
По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:
Таблица 5.9
Симплекс-таблица IV итерации
Оценочные отношения |
||||
| –(–3/5)=3/5 | |||
–(1/5)=–1/5 | ||||
| –(9/5)=–9/5 | |||
|
| –(–3/5)=3/5 |
2 этап: определение базисного решения.
В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение, согласно таблице 5.9 решение следующее:
3 этап: проверка совместности системы ограничений.
Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.9 не выявлена.
4 этап: проверка ограниченности целевой функции.
Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.9 не выявлена.
5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.
6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.
Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.9) нет отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).
7 этап: проверка альтернативности решения.
Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.9) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).
Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =24, которое достигается при.
Пример 5.2. Решить вышеприведенную задачу линейного программирования при условии, что целевая функция минимизируется:
Решение:
I итерация:
1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.
Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т.е.
В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3 , х4 , х5 , х6 , тогда свободными переменными будут х1 ,х2 . Выразим базисные переменные через свободные.
Читайте также:
|
Теорема (о выборе разрешающего элемента)
Если в нескольких столбцах z-ой строке есть отрицательные элементы, то разрешающим столбцом нужно выбрать тот столбец у которого максимально произведение абсолютного значения коэффициента в z-ой строке и минимально симплексное отношение данном столбце.
Доказательство:
Пусть разрешающим будет элемент . В результате шага модифицированных жордановых исключений свободным членом в z-строке будет число , равное .Поскольку и ,скобка в этом выражении всегда будет положительной. А так как значение функционала всегда равно свободному члену, эта скобка представляет собой тот добавок к функционалу, который получается в результате сделанного шага.
Чем большее приращение будет получать функционал на каждом шаге, тем меньше потребуется шагов (т.е. вычислений) для достижения оптиума. Величина этого приращения зависит от абсолютной величины коэффициента и от величины наименьшего симплексного отношения . То есть разрешающим столбцом будет столбец, у которого максимально это произведение.
Пример: линейное программирование:
Найдем максимум функции
при ограничениях
Решение: составим жорданову таблицу.
Поскольку в ней свободные члены положительны, план является опорным. Однако он не оптимален, так как коэффициенты z-строки отрицательны. Выбираем из них тот, у которого наибольшее произведение абсолютной величины и наименьшее симплексное отношение. Третий столбец считаем разрешающим, так как он имеет наибольшую абсолютную величину 8 и симплексные отношения: соответственно ( , поэтому элемент 1 в третьим столбце будет разрешающим). Делаем шаг модифицированных жордановых исключений и приходим к следующей таблице.
Судя по коэффициентам z-строки, в полученной таблице оптимальное решение не достигнуто. Берём второй столбец с отрицательным коэффициентом в z-строке за разрешающий (разрешающей строкой может быть только первая). С найденным элементом 5 делаем следующий шаг.
В z-строке все коэффициенты положительны, план, получаемый приравниванием верхних переменных нулю, а боковых – свободным членам, оптимален. Выписываем из таблицы значения основных неизвестных: Максимальное значение функционала считаем в последней клетке таблицы:
В окончательной таблице все определители неотрицательны. Это говорит о том, что при значениях неизвестных функционал достигает максимума
Обычно предполагается, что на множестве планов задачи нет точек, в которых знаменатель целевой функции равен нулю. Без ограничения общности, можно считать, что .
В задаче дробно-линейного программирования экстремум целевой функции достигается в вершине многогранника решений. Это сходство с линейным программированием позволяет решать дробно-линейные задачи методом Штифеля.
Вычисления оформляются в виде жордановых таблиц. При этом для функционала отводятся две нижние строки: в первую из них записываем коэффициенты числителя, а во вторую – знаменателя. Исходной задаче соответствует таблица 1:
| –x 1 | –x 2 | … | –x j | … | –x n | ||
| y 1 | a 11 | a 12 | … | a 1 j | … | a 1 n | a 1 |
| … | ……………………………………… | … | |||||
| y i | a i 1 | a i 2 | … | a ij | … | a in | a i |
| … | ……………………………………… | … | |||||
| y m | a m 1 | a m 2 | … | a mj | … | a mn | a m |
| z 1 | –p 1 | –p 2 | … | –p j | … | –p n | |
| z 2 | –q 1 | –q 2 | … | –q j | … | –q n |
Через y i обозначаются разности между правыми и левыми частями системы ограничений:
y i = a i – a i 1 x 1 – a i 2 x 2 – a i 3 x 3 – … – a in x n ³ 0.
Свободными переменными мы будем называть переменные, расположенные в верхней заглавной строке жордановой таблицы. Придавая свободным переменным нулевые значения, мы получим исходное базисное решение: . Данный вектор не может являться опорным планом, т.к. знаменатель целевого функционала на нем равен нулю (z 2 = 0). Поэтому среди свободных членов системы ограничений a 1 ,…, a m обязательно есть отрицательные числа (иначе базисное решение было бы опорным планом).
Шагами модифицированных жордановых исключений, точно так же, как при решении задачи линейного программирования (см. ), отыскиваем первоначальный план задачи. В результате k шагов мы приходим к таблице 2:
| –y 1 | … | –x j | … | –x n | ||
| x 1 | b 11 | … | b 1 j | … | b 1 n | b 1 |
| .… | ……………………………………… | |||||
| y i | b i 1 | … | b ij | … | b in | b i |
| …. | ……………………………………. | |||||
| y m | b m 1 | … | b mj | … | b mn | b m |
| z 1 | f 1 | … | f j | … | f n | F |
| z 2 | g 1 | … | g j | … | g n | G |
В таблице 2 все свободные члены b i неотрицательны, что обеспечивает неотрицательность базисных переменных x 1 ,…, y m . Кроме того (в силу положительности знаменателя целевой функции z 2 на множестве опорных планов). Первоначальным опорным планом является вектор с координатами . Значение целевой функции на первоначальном опорном плане равно .
Заметим, что если на одном из шагов жордановых исключений какой-либо из свободных членов b i окажется отрицательным, а все остальные элементы i -й строки будут неотрицательными, то задача не будет иметь решения из-за отсутствия планов.
Проследим за тем, как меняется целевая функция при переходе от одного опорного плана задачи к другому. Оказывается, знак разности между новым и старым значениями функции совпадает со знаком определителя . Если. Т.к. многогранник решений содержит лишь конечное число опорных планов, то за конечное число шагов мы придем к оптимальному опорному плану.
Этому процессу может помешать только неограниченность многогранника решений. В этом случае целевая функция может иметь так называемый асимптотический экстремум (в данном случае – максимум). Асимптотическим максимумом задачи дробно-линейного программирования называется точная верхняя грань целевой функции на множестве планов, которая не достигается ни на одном из планов. В том случае, когда задача имеет асимптотический максимум, в области планов всегда можно найти такой план (не опорный), на котором целевая функция принимает значение сколь угодно близкое к асимптотическому максимуму.
Метод Штифеля позволяет находить не только максимум, но и асимптотический максимум задачи дробно-линейного программирования. Рассмотрим более подробно переход от плана к плану и выясним. Выбирая разрешающий элемент в j -м столбце, мы должны руководствоваться принципом минимального симплексного отношения. Т.е. разрешающий элемент в j -м столбце должен попасть в ту строку, для которой симплексное отношение положительно и минимально.
Т.к. после нахождения первоначального опорного плана все правые части b i стали неотрицательными, то разрешающим элементом j -го столбца может быть один из его положительных элементов (). Если на каждом шаге этапа поиска оптимального опорного плана в выбранном разрешающем столбце присутствует (хотя бы один) положительный элемент , то такая задача имеет максимум (возможно, что не один).
Однако, если на одном из шагов некоторая оценка меньше нуля, и при этом все элементы j -го столбца . Тогда в данном столбце, руководствуясь принципом минимального симплексного отношения, разрешающий элемент выбирать нельзя. Увеличивая значения свободной переменной x j от 0 и до (см. Табл. 2), мы все время остаемся в области планов. Это связано с тем, что увеличение переменной x j не вызывает изменения знака на минус ни у одной из базисных переменных.
Обозначим через М предел, к которому, монотонно возрастая, стремится целевая функция при : . Это число является асимптотическим максимумом.
| 2 |
Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса . Если метод Гаусса осуществляется в два этапа (прямой ход и обратный) то метод Гаусса-Жордана позволяет решить систему в один этап. Подробности и непосредственная схема применения метода Гаусса-Жордана описаны в примерах.
Во всех примерах $A$ обозначает матрицу системы, $\widetilde{A}$ - расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть .
Пример №1
Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.
Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:
$$ \left\{ \begin{aligned} & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2;\\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1. \end{aligned} \right. $$
Упрощая полученную систему, имеем:
$$ \left\{ \begin{aligned} & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end{aligned} \right. $$
Полное решение без пояснений выглядит так:
Хоть этот способ выбора разрешающих элементов вполне допустим, но предпочтительнее выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы системы. Мы рассмотрим этот способ ниже.
Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы.
Так как этот способ решения полностью аналогичен предыдущему (за исключением выбора разрешающих элементов), то подробные пояснения пропустим. Принцип выбора разрешающих элементов прост: в первом столбце выбираем элемент первой строки, во втором столбце берём элемент второй строки, в третьем столбце - элемент третьей строки и так далее.
Первый шаг
В первом столбце выбираем элемент первой строки, т.е. в качестве разрешающего имеем элемент 4. Понимаю, что выбор числа 2 кажется более предпочтительным, так как это число всё-таки меньше, нежели 4. Для того, чтобы число 2 в первом столбце переместилось на первое место, поменяем местами первую и вторую строки:
$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) $$
Итак, разрешающий элемент представлен числом 2. Точно так же, как и ранее, разделим первую строку на 2, а затем обнулим элементы первого столбца:
$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} I:2 \\\phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right). $$
Второй шаг
На втором шаге требуется обнулить элементы второго столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент второй строки, т.е. 1. Разрешающий элемент уже равен единице, поэтому никаких строк менять местами не будем. Кстати сказать, если бы мы захотели поменять местами строки, то первую строку трогать не стали бы, так как она уже была использована на первом шаге. А вот вторую и третью строки запросто можно менять местами. Однако, повторюсь, в данной ситуации менять местами строки не нужно, ибо разрешающий элемент уже оптимален - он равен единице.
$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-5\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right). $$
Второй шаг окончен. Переходим к третьему шагу.
Третий шаг
На третьем шаге требуется обнулить элементы третьего столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент третьей строки, т.е. 37/2. Разделим элементы третьей строки на 37/2 (чтобы разрешающий элемент стал равен 1), а затем обнулим соответствующие элементы третьего столбца:
$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ III:\frac{37}{2} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right). $$
Ответ получен: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Полное решение без пояснений выглядит так:
Все остальные примеры на этой странице будут решены именно вторым способом: в качестве разрешающих будем выбирать диагональные элементы матрицы системы.
Ответ : $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.
Пример №2
Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27;\\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.
Запишем расширенную матрицу данной системы : $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end{array} \right)$.
В качестве разрешающих элементов станем выбирать диагональные элементы матрицы системы: на первом шаге возьмём элемент первой строки, на втором шаге элемент второй строки и так далее.
Первый шаг
Нам нужно обнулить соответствующие элементы первого столбца. В качестве разрешающего элемента возьмём элемент первой строки, т.е. 3. Соответственно первую строку придётся разделить на 3, чтобы разрешающий элемент стал равен единице. А затем обнулить все элементы первого столбца, кроме разрешающего:
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} I:3\\ \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right). $$
Второй шаг
Переходим к обнулению соответствующих элементов второго столбца. В качестве разрешающего элемента мы уславливались взять элемент второй строки, но сделать этого мы не в силах, так как нужный элемент равен нулю. Вывод: будем менять местами строки. Первую строку трогать нельзя, так как она уже использовалась на первом шаге. Выбор небогат: или меняем местами вторую и третью строки, или же меняем местами четвёртую и вторую. Так как в четвёртой строке наличествует (-1), то пусть в "обмене" поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) $$
Вот теперь всё в норме: разрешающий элемент равен (-1). Бывает, кстати, что смена мест строк невозможна, но это обговорим в следующем примере №3. А пока что делим вторую строку на (-1), а затем обнуляем элементы второго столбца. Обратите внимание, что во втором столбце элемент, расположенный в четвёртой строке, уже равен нулю, поэтому четвёртую строку трогать не будем.
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\II:(-1) \\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} I-1/3\cdot II\\ \phantom{0} \\III-2\cdot II\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right). $$
Третий шаг
Приступаем к обработке третьего столбца. В качестве разрешающего элемента мы условились брать диагональные элементы матрицы системы. Для третьего шага это означает выбор элемента, расположенного в третьей строке. Однако если мы просто возьмём элемент 7 в качестве разрешающего, то всю третью строку придётся делить на 7. Мне кажется, что разделить на (-2) попроще. Поэтому поменяем местами третью и четвёртую строки, и тогда разрешающим элементом станет (-2):
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) $$
Разрешающий элемент - (-2). Делим третью строку на (-2) и обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\III:(-2)\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} I-2/3\cdot III\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV-7\cdot III\end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right). $$
Четвёртый шаг
Переходим к обнулению четвёртого столбца. Разрешающий элемент расположен в четвёртой строке и равен числу $-\frac{39}{2}$.
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV:\left(-\frac{39}{2}\right) \end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right) \begin{array} {l} I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom{0} \end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right). $$
Решение окончено. Ответ таков: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Полное решение без пояснений:
Ответ : $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.
Пример №3
Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4+14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=-9. \end{aligned}\right.$ методом Гаусса-Жордана. Если система является неопределённой, указать базисное решение.
Подобные примеры разбираются в теме "Общее и базисное решения СЛАУ" . Во второй части упомянутой темы данный пример решён с помощью метод Гаусса . Мы же решим его с помощью метода Гаусса-Жордана. Пошагово разбивать решение не станем, так как это уже было сделано в предыдущих примерах.
$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I\\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:5 \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \\ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right). $$
Полагаю, что одно из сделанных преобразований всё-таки требует пояснения: $IV:3$. Все элементы четвёртой строки нацело делились на три, поэтому сугубо из соображений упрощения мы разделили все элементы этой строки на три. Третья строка в преобразованной матрице стала нулевой. Вычеркнем нулевую строку:
$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) $$
Нам пора переходить к третьему шагу, на котором должны быть обнулены элементы третьего столбца. Однако диагональный элемент (третья строка) равен нулю. И смена мест строк ничего не даст. Первую и вторую строки мы уже использовали, поэтому их трогать мы не можем. А четвёртую и пятую строки трогать нет смысла, ибо проблема равенства нулю разрешающего элемента никуда не денется.
В этой ситуации проблема решается крайне незамысловато. Мы не можем обработать третий столбец? Хорошо, перейдём к четвёртому. Может, в четвёртом столбце элемент третьей строки будет не равен нулю. Однако четвёртый столбец "болеет" той же проблемой, что и третий. Элемент третьей строки в четвёртом столбце равен нулю. И смена мест строк опять-таки ничего не даст. Четвёртый столбец тоже не можем обработать? Ладно, перейдём к пятому. А вот в пятом столбце элемент третьей строки очень даже не равен нулю. Он равен единице, что довольно-таки хорошо. Итак, разрешающий элемент в пятом столбце равен 1. Разрешающий элемент выбран, поэтому осуществим дальшейшие преобразования метода Гаусса-Жордана:
$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) \begin{array} {l} I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom{0}\\ IV+III\\ V+2\cdot III \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text{Удаляем нулевые строки}\right|\rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)$$
Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Ранги обеих матриц равны $r=3$, т.е. надо выбрать 3 базисных переменных. Количество неизвестных $n=5$, поэтому нужно выбрать $n-r=2$ свободных переменных. Так как $r < n$, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). Для нахождения решений системы составим "ступеньки":
На "ступеньках" стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные $x_1$, $x_2$, $x_5$. Свободными переменными, соответственно, будут $x_3$, $x_4$. Столбцы №3 и №4, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки.
$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right). $$
Из последней матрицы получим общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$. Базисное решение найдём, приняв свободные переменные равными нулю, т.е. $x_3=0$, $x_4=0$:
$$ \left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right. $$
Задача решена, осталось лишь записать ответ.
Ответ : Общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$, базисное решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$.
При графическом методе решения задач ЛП мы фактически из множества вершин, принадлежащих границе множества решений системы неравенств, выбрали такую вершину, в которой значение целевой функции достигало максимума (минимума). В случае двух переменных этот метод совершенно нагляден и позволяет быстро находить решение задачи.
Если в задаче три и более переменных, а в реальных экономических задачах как раз такая ситуация, трудно представить наглядно область решений системы ограничений. Такие задачи решаются с помощью симплекс-метода или методом последовательных улучшений. Идея метода проста и заключается в следующем.
По определенному правилу находится первоначальный опорный план (некоторая вершина области ограничений). Проверяется, является ли план оптимальным. Если да, то задача решена. Если нет, то переходим к другому улучшенному плану - к другой вершине. значение целевой функции на этом плане (в этой вершине) заведомо лучше, чем в предыдущей. Алгоритм перехода осуществляется с помощью некоторого вычислительного шага, который удобно записывать в виде таблиц, называемых симплекс-таблицами . Так как вершин конечное число, то за конечное число шагов мы приходим к оптимальному решению.
Рассмотрим симплексный метод на конкретном примере задачи о составлении плана.
Еще раз заметим, что симплекс-метод применим для решения канонических задач ЛП, приведенных к специальному виду, т. е. имеющих базис, положительные правые части и целевую функцию, выраженную через небазисные переменные. Если задача не приведена к специальному виду, то нужны дополнительные шаги, о которых мы поговорим позже.
Рассмотрим задачу о плане производства, предварительно построив модель и приведя ее к специальному виду.
Задача.
Для изготовления изделий А и В склад может отпустить сырья не более 80 единиц. Причем на изготовление изделия А расходуется две единицы, а изделия В - одна единица сырья. Требуется спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если изделий А требуется изготовить не более 50 шт., а изделий В - не более 40 шт. Причем, прибыль от реализации одного изделия А - 5 руб., а от В - 3 руб.
Построим математическую модель, обозначив за х 1 количество изделий А в плане, за х 2 - количество изделий В . тогда система ограничений будет выглядеть следующим образом:
Приведем задачу к каноническому виду, введя дополнительные переменные:
(3.10)
F = -5x 1 - 3x 2 → min.
Эта задача имеет специальный вид (с базисом, правые части неотрицательны). Ее можно решить симплекс-методом.
I этап. Запись задачи в симплекс-таблицу. Между системой ограничений задачи (3.10) и симплекс-таблицей взаимно-однозначное соответствие. Строчек в таблице столько, сколько равенств в системе ограничений, а столбцов - столько, сколько свободных переменных. Базисные переменные заполняют первый столбец, свободные - верхнюю строку таблицы. Нижняя строка называется индексной, в ней записываются коэффициенты при переменных в целевой функции. В правом нижнем углу первоначально записывается 0, если в функции нет свободного члена; если есть, то записываем его с противоположным знаком. На этом месте (в правом нижнем углу) будет значение целевой функции, которое при переходе от одной таблицы к другой должно увеличиваться по модулю. Итак, нашей системе ограничений соответствует таблица 3.4, и можно переходить ко II этапу решения.
Таблица 3.4
|
базисные |
свободные |
||
II этап . Проверка опорного плана на оптимальность.
Данной таблице 3.4 соответствует следующий опорный план:
(х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5) = (0, 0, 50, 40, 80).
Свободные переменные х 1 , х 2 равны 0; х 1 = 0, х 2 = 0. А базисные переменные х 3 , х 4 , х 5 принимают значения х 3 = 50, х 4 = 40, х 5 = 80 - из столбца свободных членов. Значение целевой функции:
-F = - 5х 1 - 3х 2 = -5 · 0 - 3 · 0 = 0.
Наша задача - проверить, является ли данный опорный план оптимальным. для этого необходимо просмотреть индексную строку - строку целевой функции F .
Возможны различные ситуации.
1. В индексной F -строке нет отрицательных элементов. Значит, план оптимален, можно выписать решение задачи. Целевая функция достигла своего оптимального значения, равного числу, стоящему в правом нижнем углу, взятому с противоположным знаком. Переходим к IV этапу.
2. В индексной строке есть хотя бы один отрицательный элемент, в столбце которого нет положительных. Тогда делаем вывод о том, что целевая функция F →∞ неограниченно убывает.
3. В индексной строке есть отрицательный элемент, в столбце которого есть хотя бы один положительный. Тогда переходим к следующему III этапу. пересчитываем таблицу, улучшая опорный план.
III этап . Улучшение опорного плана.
Из отрицательных элементов индексной F -строки выберем наибольший по модулю, назовем соответствующий ему столбец разрешающим и пометим "".
Чтобы выбрать разрешающую строку, необходимо вычислить отношения элементов столбца свободных членов только к положительным элементам разрешающего столбца. Выбрать из полученных отношений минимальное. Соответствующий элемент, на котором достигается минимум, называется разрешающим. Будем выделять его квадратом.
В нашем примере, 
, элемент 2 - разрешающий. Строка, соответствующая этому элементу, тоже называется разрешающей (табл. 3.5).
Таблица 3.5
Выбрав разрешающий элемент, делаем перечет таблицы по правилам:
1. В новой таблице таких же размеров, что и ранее, переменные разрешающей строки и столбца меняются местами, что соответствует переходу к новому базису. В нашем примере: х 1 входит в базис, вместо х 5 , которая выходит из базиса и теперь свободная (табл. 3.6).
Таблица 3.6
|
базисные |
свободные |
||
2. На месте разрешающего элемента 2 записываем обратное ему число .
3. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.
4. Элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и записываем с противоположным знаком.
5. Чтобы заполнить оставшиеся элементы таблицы 3.6, осуществляем пересчет по правилу прямоугольника. Пусть мы хотим посчитать элемент, стоящий на месте 50.
Соединяем этот элемент мысленно с разрешающим, находим произведение, вычитаем произведение элементов, находящихся на другой диагонали получившегося прямоугольника. Разность делим на разрешающий элемент.
Итак, . Записываем 10 на место, где было 50. Аналогично:
, 
, , 
.
Таблица 3.7
Имеем новую таблицу 3.7, базисными переменными теперь являются переменные {x 3 ,x 4 ,x 1 }. Значение целевой функции стало равно -200, т. е. уменьшилось. Чтобы проверить данное базисное решение на оптимальность надо перейти опять ко II этапу. Процесс, очевидно, конечен, критерием остановки являются пункт 1 и 2 II этапа.
Доведем решение задачи до конца. Для этого проверим индексную строку и, увидев в ней отрицательный элемент , назовем соответствующий ему столбец разрешающим и, согласно III этапу, пересчитаем таблицу. Составив отношения и выбрав среди них минимальное = 40, определили разрешающий элемент 1. теперь пересчет осуществляем согласно правилам 2-5.
Таблица 3.8
|
базисные |
свободные |
||
|
х 3 = 30, х 2 = 40, х 1 = 20. Свободные переменные равны 0, х 5 = 0, х 4 = 0. Целевая функция принимает значение последнего элемента столбца свободных членов с противоположным знаком: -F = -220 F = 220, в нашем примере функция исследовалась на min, и первоначально F max, поэтому фактически знак поменялся дважды. Итак, х * = (20, 40, 30, 0, 0), F * = 220. Ответ к задаче: Необходимо в план выпуска включить 20 изделий типа А , 40 изделий типа В, при этом прибыль будет максимальной и будет равна 220 руб. В конце этого параграфа приведем блок-схему алгоритма симплекс-метода, которая в точности повторяет этапы, но, возможно, для некоторых читателей будет более удобна в пользовании, т. к. стрелочки указывают четкую направленность действий. Ссылки над прямоугольниками в блок-схеме показывают, к какому этапу или подпункту относится соответствующая группа преобразований. правило нахождения первоначального опорного плана будет сформулировано в пункте 3.7.
Вопросы для самоконтроля 1. Как строится симплекс-таблица? 2. Как отражается смена базиса в таблице? 3. Сформулируйте критерий остановки симплекс-метода. 4. Как организовать пересчет таблицы? 5. С какой строки удобно начинать пересчет таблицы? |
