Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Линейное программирование

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах -мерного векторного пространства , задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования . Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования . Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование .

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

История

Метод внутренних точек был впервые упомянут И. И. Дикиным в 1967 году .

Задачи

Основной (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида :

при условиях

, .

Задача линейного программирования будет иметь канонический вид , если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений :

,

Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств .

Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты с обратным знаком.

Примеры задач

Максимальное паросочетание

Рассмотрим задачу о максимальном паросочетании в двудольном графе : есть несколько юношей и девушек, причём для каждых юноши и девушки известно, симпатичны ли они друг другу. Нужно поженить максимальное число пар со взаимной симпатией.

Введём переменные , которые соответствуют паре из -того юноши и -той девушки и удовлетворяют ограничениям:

с целевой функцией . Можно показать, что среди оптимальных решений этой задачи найдётся целочисленное. Переменные, равные 1, будут соответствовать парам, которые следует поженить.

Максимальный поток

Пусть имеется граф (с ориентированными рёбрами), в котором для каждого ребра указана его пропускная способность. И заданы две вершины: сток и исток. Нужно указать для каждого ребра, сколько через него будет протекать жидкости (не больше его пропускной способности) так, чтобы максимизировать суммарный поток из истока в сток (жидкость не может появляться или исчезать во всех вершинах, кроме стока и истока).

Возьмём в качестве переменных - количество жидкости, протекающих через -тое ребро. Тогда

,

где - пропускная способность -того ребра. Эти неравенства надо дополнить равенством количества втекающей и вытекающей жидкости для каждой вершины, кроме стока и истока. В качестве функции естественно взять разность между количеством вытекающей и втекающей жидкости в истоке.

Обобщение предыдущей задачи - максимальный поток минимальной стоимости. В этой задаче даны стоимости для каждого ребра и нужно среди максимальных потоков выбрать поток с минимальной стоимостью. Эта задача сводится к двум задачам линейного программирования: сначала нужно решить задачу о максимальном потоке, а потом добавить к этой задаче ограничение , где - величина максимального потока, и решить задачу с новой функцией - стоимостью потока.

Эти задачи могут быть решены быстрее, чем общими алгоритмами решения задач линейного программирования, за счёт особой структуры уравнений и неравенств.

Транспортная задача

Имеется некий однородный груз, который нужно перевести с складов на заводов. Для каждого склада известно, сколько в нём находится груза , а для каждого завода известна его потребность в грузе. Стоимость перевозки пропорциональна расстоянию от склада до завода (все расстояния от -го склада до -го завода известны). Требуется составить наиболее дешёвый план перевозки.

Решающими переменными в данном случае являются - количества груза, перевезённого из -го склада на -й завод. Они удовлетворяют ограничениям:

Целевая функция имеет вид: , которую надо минимизировать.

Игра с нулевой суммой

Есть матрица размера . Первый игрок выбирает число от 1 до , второй - от 1 до . Затем они сверяют числа и первый игрок получает очков, а второй очков ( - число, выбранное первым игроком, - вторым). Нужно найти оптимальную стратегию первого игрока.

Пусть в оптимальной стратегии, например, первого игрока число нужно выбирать с вероятностью . Тогда оптимальная стратегия является решением следующей задачи линейного программирования:

, , (),

в которой нужно максимизировать функцию . Значение в оптимальном решении будет математическим ожиданием выигрыша первого игрока в наихудшем случае.

Алгоритмы решения

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод . Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью . Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Первый полиномиальный алгоритм , метод эллипсоидов , был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном , разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную, природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП - методов внутренней точки , первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году . Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования , разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

См. также

• Графический метод решения задачи линейного программирования

Примечания

Литература

• Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. - 2-е изд. - М .: «Вильямс», 2006. - С. 1296. - ISBN 5-8459-0857-4
• Акулич И.Л. Глава 1. Задачи линейного программирования, Глава 2. Специальные задачи линейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. - М .: Высшая школа, 1986. - 319 с. - ISBN 5-06-002663-9
• Карманов В. Г. Математическое программирование. - 3-е издание. - М .: Наука, 1986. - 288 с.
• Данциг Джордж Бернард «Воспоминания о начале линейного программирования»

Ссылки

• - Бесплатный оптимизационный пакет, предназначенный для решения задач линейного, целочисленного и целевого программирования.
• Вершик А. М. «O Л. В. Канторовиче и линейном программировании »
• Большакова И. В., Кураленко М. В. «Линейное программирование. Учебно-методическое пособие к контрольной работе ».
• Барсов А. С. «Что такое линейное программирование », Популярные лекции по математике , Гостехиздат, 1959.
• М. Н. Вялый Линейные неравенства и комбинаторика . - МЦНМО , 2003.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Зальтен, Феликс
• Глагов, Мартина

Смотреть что такое "Линейное программирование" в других словарях:

линейное программирование - — линейное программирование Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между… … Справочник технического переводчика

Линейное программирование

Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны… … Экономико-математический словарь

Линейное программирование

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах -мерного векторного пространства , задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования . Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования . Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование .

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

История

Метод внутренних точек был впервые упомянут И. И. Дикиным в 1967 году .

Задачи

Основной (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида :

при условиях

, .

Задача линейного программирования будет иметь канонический вид , если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений :

,

Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств .

Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты с обратным знаком.

Примеры задач

Максимальное паросочетание

Рассмотрим задачу о максимальном паросочетании в двудольном графе : есть несколько юношей и девушек, причём для каждых юноши и девушки известно, симпатичны ли они друг другу. Нужно поженить максимальное число пар со взаимной симпатией.

Введём переменные , которые соответствуют паре из -того юноши и -той девушки и удовлетворяют ограничениям:

с целевой функцией . Можно показать, что среди оптимальных решений этой задачи найдётся целочисленное. Переменные, равные 1, будут соответствовать парам, которые следует поженить.

Максимальный поток

Пусть имеется граф (с ориентированными рёбрами), в котором для каждого ребра указана его пропускная способность. И заданы две вершины: сток и исток. Нужно указать для каждого ребра, сколько через него будет протекать жидкости (не больше его пропускной способности) так, чтобы максимизировать суммарный поток из истока в сток (жидкость не может появляться или исчезать во всех вершинах, кроме стока и истока).

Возьмём в качестве переменных - количество жидкости, протекающих через -тое ребро. Тогда

,

где - пропускная способность -того ребра. Эти неравенства надо дополнить равенством количества втекающей и вытекающей жидкости для каждой вершины, кроме стока и истока. В качестве функции естественно взять разность между количеством вытекающей и втекающей жидкости в истоке.

Обобщение предыдущей задачи - максимальный поток минимальной стоимости. В этой задаче даны стоимости для каждого ребра и нужно среди максимальных потоков выбрать поток с минимальной стоимостью. Эта задача сводится к двум задачам линейного программирования: сначала нужно решить задачу о максимальном потоке, а потом добавить к этой задаче ограничение , где - величина максимального потока, и решить задачу с новой функцией - стоимостью потока.

Эти задачи могут быть решены быстрее, чем общими алгоритмами решения задач линейного программирования, за счёт особой структуры уравнений и неравенств.

Транспортная задача

Имеется некий однородный груз, который нужно перевести с складов на заводов. Для каждого склада известно, сколько в нём находится груза , а для каждого завода известна его потребность в грузе. Стоимость перевозки пропорциональна расстоянию от склада до завода (все расстояния от -го склада до -го завода известны). Требуется составить наиболее дешёвый план перевозки.

Решающими переменными в данном случае являются - количества груза, перевезённого из -го склада на -й завод. Они удовлетворяют ограничениям:

Целевая функция имеет вид: , которую надо минимизировать.

Игра с нулевой суммой

Есть матрица размера . Первый игрок выбирает число от 1 до , второй - от 1 до . Затем они сверяют числа и первый игрок получает очков, а второй очков ( - число, выбранное первым игроком, - вторым). Нужно найти оптимальную стратегию первого игрока.

Пусть в оптимальной стратегии, например, первого игрока число нужно выбирать с вероятностью . Тогда оптимальная стратегия является решением следующей задачи линейного программирования:

, , (),

в которой нужно максимизировать функцию . Значение в оптимальном решении будет математическим ожиданием выигрыша первого игрока в наихудшем случае.

Алгоритмы решения

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод . Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью . Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Первый полиномиальный алгоритм , метод эллипсоидов , был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном , разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную, природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП - методов внутренней точки , первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году . Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования , разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

См. также

• Графический метод решения задачи линейного программирования

Примечания

Литература

• Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. - 2-е изд. - М .: «Вильямс», 2006. - С. 1296. - ISBN 5-8459-0857-4
• Акулич И.Л. Глава 1. Задачи линейного программирования, Глава 2. Специальные задачи линейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. - М .: Высшая школа, 1986. - 319 с. - ISBN 5-06-002663-9
• Карманов В. Г. Математическое программирование. - 3-е издание. - М .: Наука, 1986. - 288 с.
• Данциг Джордж Бернард «Воспоминания о начале линейного программирования»

Ссылки

• - Бесплатный оптимизационный пакет, предназначенный для решения задач линейного, целочисленного и целевого программирования.
• Вершик А. М. «O Л. В. Канторовиче и линейном программировании »
• Большакова И. В., Кураленко М. В. «Линейное программирование. Учебно-методическое пособие к контрольной работе ».
• Барсов А. С. «Что такое линейное программирование », Популярные лекции по математике , Гостехиздат, 1959.
• М. Н. Вялый Линейные неравенства и комбинаторика . - МЦНМО , 2003.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Зальтен, Феликс
• Глагов, Мартина

Смотреть что такое "Линейное программирование" в других словарях:

линейное программирование - — линейное программирование Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между… … Справочник технического переводчика

Линейное программирование

Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны… … Экономико-математический словарь

Линейное программирование представляет собой один из наиболее значимых разделов математики, где осуществляется изучение теоретических и методических основ решения определенных задач. Данная математическая дисциплина широко используется в последние годы в разнообразных экономических и технических областях, где не последняя роль отведена математическому планированию и использованию автоматических систем вычисления. Этот раздел науки посвящен изучению линейных оптимизационных моделей. То есть линейное программирование посвящено числам. Впервые данный термин был предложен Т. Купмансом в 1951 году. Оптимальный план каждой линейной программы необходимо автоматически связывать с оптимальным уровнем цен, то есть с объективно обусловленными оценками.

Линейное программирование: методы

При помощи методики удается решить немалое количество экстремальных задач, что связаны с экономикой. В данном случае обычно требуется найти крайние значения некоторых функций переменной величины. В качестве основы линейного программирования выражено решение системы преобразуемых в уравнения и неравенства. Данный вид программирования характеризуется математической формулировкой переменных величин, последовательностью и определенным порядком расчетов, а также логическим анализом. Это применимо:

Если имеется математическая определенность и количественная ограниченность между изучаемыми факторами и переменными величинами;

Если имеется взаимозаменяемость факторов благодаря последовательности расчетов;

В случае если математическая логика совмещена с пониманием сущности явлений, которые изучаются.

Линейное программирование в способствует исчислению оптимальной производительности всех машин, поточных линий, агрегатов, а также решению задач рационального применения имеющихся материалов.

В сельском хозяйстве при помощи данного метода определяется минимальная стоимость рациона кормежки с учетом имеющегося количества корма. При этом учитываются виды и содержание в них определенных полезных веществ.

В литейном производстве данная методика позволяет найти решение транспортной задачи и задачи о смесях, которые входят в состав металлургической шихты. Суть транспортной задачи в данном случае подразумевает оптимальное прикрепление потребляющих предприятий к предприятиям, которые заняты производством продукции.

Линейное программирование: задачи

Отличительной чертой всех экономических задач, которые решаются посредством методики линейного программирования, является выбор определенных вариантов решения, а также ограничивающих условий. Благодаря решению такой задачи удается найти оптимальное решение из всех альтернативных вариантов.

Значительной ценностью использования методики линейного программирования в экономике служит выбор самого оптимального варианта из большого количества всех вариантов, которые считаются допустимо возможными. Подобные задачи почти нереально решить иными способами, так как только они позволяют найти степень рациональности применения При помощи линейного программирования разрешается такая основная задача, как транспортная, которая должна минимизировать грузооборот продукции широкого потребления в процессе их доставки от производителя.

Линейное программирование в Excel

В процессе решения таких задач для начала необходимо составить модель, что подразумевает формулировку условий на математическом языке. После этого этапа можно найти решение посредством графического метода. Для этого в программе Excel существует специальная функция «Поиск решения».

Как уже понятно из вышесказанного, линейное программирование имеет весьма обширную сферу применения.

15. Аналитические методы. Методы линейного программирования.

15.1. Аналитические методы

На протяжении всей своей эволюции человек, совершая те или иные деяния, стремился вести себя таким образом, чтобы результат, достигаемый как следствие некоторого поступка, оказался в определенном смысле наилучшим. Двигаясь из одного пункта в другой, он стремился найти кратчайший среди возможных путь. Строя жилище, он искал такую его геометрию, которая при наименьшем расходе топлива, обеспечивала приемлемо комфортные условия существования. Занимаясь строительством кораблей, он пытался придать им такую форму, при которой вода оказывала бы наименьшее сопротивление. Можно легко продолжить перечень подобных примеров.

Наилучшие в определенном смысле решения задач принято называть оптимальными . Без использования принципов оптимизации в настоящее время не решается ни одна более или менее сложная проблема. При постановке и решении задач оптимизации возникают два вопроса: что и как оптимизировать?

Ответ на первый вопрос получается как результат глубокого изучения проблемы, которую предстоит решить. Выявляется тот параметр, который определяет степень совершенства решения возникшей проблемы. Этот параметр обычно называют целевой функцией иликритерием качества . Далее устанавливается совокупность величин, которые определяют целевую функцию. Наконец, формулируются все ограничения, которые должны учитываться при решении задачи. После этого строится математическая модель, заключающаяся в установлении аналитической зависимости целевой функции от всех аргументов и аналитической формулировки сопутствующих задаче ограничений. Далее приступают к поиску ответа на второй вопрос.

Итак, пусть в результате формализации прикладной задачи установлено, что целевая функция , где множество Х – обобщение ограничений, его называют множеством допустимых решений. Существо проблемы оптимизации заключается в поиске на множестве Х – множестве допустимых решений такого решения
, при котором целевая функцияf достигает наименьшего или наибольшего значения.

Составной частью методов оптимизации является линейное программирование.

15.2. Основные понятия линейного программирования

Первое упоминание (1938 г.) о математических методах в эффективном управлении производством принадлежит советскому математику Л. В. Канторовичу. Год спустя,в 1939 г., Л. В. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства» и практически применил полученные результаты. Термин «линейное программирование» ввели американские математики Дж. Данциг и Т. Купманс в конце 40-х годов. Дж. Данциг разработал математический аппарат симплексного метода решения задач линейного программирования (1951 г.). Симплексный метод находит применение для решения широкого круга задач линейного программирования и до настоящего времени является одним из основных методов.

Линейное программирование - это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, которые описываются линейными уравнениями. Причем линейными уравнениями описывается как сама целевая функция, так и входные параметры (переменные) условия ограничений на входные параметры. Необходимым условием задач линейного программирования является обязательное наличие ограничений на ресурсы (сырье, материалы, финансы, спрос произведенной продукции и т.д.). Другим важным условием решения задачи является выбор критерия останова алгоритма, т. е. целевая функция должна быть оптимальна в некотором смысле. Оптимальность целевой функции должна быть выражена количественно. Если целевая функция представлена одним или двумя уравнениями, то на практике такие задачи решаются достаточно легко. Критерий останова алгоритма (или критерий оптимальности) должен удовлетворять следующим требованиям:

быть единственным для данной задачи;

измеряться в единицах количества;

линейно зависеть от входных параметров.

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать задачу линейного программирования в общем виде:

найти экстремум целевой функции

при ограничениях в виде равенств:

(2.2)

при ограничениях в виде неравенств:

(2.3)

и условиях неотрицательности входных параметров:

В краткой форме задача линейного программирования может быть записана так:

(2.5)

при условии

где
- входные переменные;

Числа положительные, отрицательные и равные нулю.

В матричной форме эта задача может быть записана так:

Задачи линейного программирования можно решить аналитически и графически.

15.3. Каноническая задача линейного программирования

, i=1,…,m,

, j=1,…,n.

Основные вычислительные методы решения задач линейного программирования разработаны именно для канонической задачи.

15.4. Общая задача линейного программирования

Необходимо максимизировать (минимизировать) линейную функцию от n переменных.

при ограничениях

, i =1,…, k ,

, i =1+ k ,…, m ,

, …,

Здесь k ≤ m , r ≤ n . Стандартная задача получается как частный случай общей приk = m , r = n ; каноническая – приk =0, r = n .

Пример.

Кондитерская фабрика производит несколько сортов конфет. Назовем их условно "A", "B" и "C". Известно, что реализация десяти килограмм конфет "А" дает прибыль 90 рублей, "В" - 100 рублей и "С" - 160 рублей. Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы сырья ограничены. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков килограмм необходимо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной. Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет каждого вида приведены в таблице 1.

Таблица 1. Нормы расходов сырья

на производство

Экономико-математическая формулировка задачи имеет вид

Найти такие значения переменных Х=(х1, х2, х3) , чтобы

целевая функция

при условиях-ограничениях: