Получился - граф . Вершины слева – разработчики, вершины справа – технологии (задачи). Ребра, которые их соединяют – означают то, насколько разработчик в ней разбирается. Эти цифры, т.е. степень владения разработчиком данной технологией, очень важны, но к ним обратимся чуть позже. А пока мы уже верно наметили направление, в котором эффективно решается данная задача:

3. Графы

Самые основы графов были изложены в статье (), поэтому сразу перейду к терминологии, касающейся данной задачи:

Двудольный граф – граф, у которого существует такое разбиение множества вершин на две части (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным долям. В нашей задаче тоже есть четкое разделение: одни вершины – это разработчики, другие – задачи, и связи (эффективность владения) есть только между разработчиками и задачами.
Паросочетанием неориентированного графа G называется подмножество M его ребер E, выбранное так, что никакие два ребра из M не являются смежными, т.е. не имеют общей вершины. В терминах нашей задачи синонимом этому будет «назначение» , чтобы каждый задействованный разработчик взял на себя отдельную задачу. И не получилось такого, что два разработчика прорабатывают одну проблему, или один «бедняга» отвечал за две задачи.

В теории графов наша проблема, как это ни странно, называется Задачей о Назначениях (ЗН) . =) Она является частным случаем задачи нахождения максимального паросочетания. В самом деле, мы ведь стремимся максимально задействовать ресурсы, чтобы одновременно прорабатывалось максимальное число технологий, поэтому в терминах графов - пытаемся найти «максимальное паросочетание», составить максимальное количество пар разработчик-задача.

4. Максимальное паросочетание

Чтобы упростить себе жизнь, мы пока не обращаем внимания на способности людей. Просто хотим каждому подыскать работу. Нескольким первым попавшимся под руку разработчикам предложить работать со знакомой им технологией не составит проблем. Продолжая в том же духе, мы распределим еще несколько задач, но построенное таким образом паросочетание вряд ли будет максимальным. Возможна ситуация как та, что изображена на рисунке:

Как же увеличить паросочетания (назначения)?

Выберем незадействованного разработчика, которому еще не назначена задача. Посмотрим, с чем бы он мог справиться, т.е. знакомые ему технологии. Если нашли среди них свободную – отлично, это то, что мы и искали. Назначаем. А если задача уже «занята» другим разработчиком? Попробуем занятому разработчику подыскать другую свободную технологию, ведь в таком случае эту - мы бы назначили нашему незадействованному подопечному. В общем, из вершины незадействованного разработчика или разработчика, которому мы пытаемся переназначить задачу, мы просматриваем все знакомые ему технологии на наличие свободной:

• если нашли свободную – поиск завершен
• если задача уже кому-то назначена, то пройдя по этому ребру паросочетания, попытаемся «переназначить» технологию разработчику, участвующему в данном назначении

В ходе такого обхода графа мы пытаемся из «незадействованного разработчика» попасть в «свободную задачу». Таким образом поиск «разворачивается» в следующее дерево:

Добавим еще немного терминологии из теории графов, простыми словами:

Экспонированная вершина – это вершина, которая не участвует в текущем паросочетании. Т.е. либо «незадействованный разработчик», либо «свободная задача».
Альтернирующая цепь – это цепь, ребра которой попеременно лежат или не лежат в паросочетании. (…- владение технологией – назначенная задача – владение технологией – назначенная задача - …)
Альтернирующее дерево – дерево, состоящее из альтернирующих цепей
Аугментальная цепь – это такая альтернирующая цепь, начальная и конечная вершины которой экспонированы. Вот как называется то, что мы и ищем! =)
Аугментальное дерево – соответственно дерево, в котором хотя бы одна из веток – это аугментальная цепь.

Вот и нашли способ наращивать паросочетание, стремясь получить максимальное. Нужно строить альтенирующее дерево. Когда оно станет аугментальным, искать аугментальные цепи из «незадействованного разработчика» в «свободную задачу» и потом «переназначать» задачи вдоль них. Это выгодно, т.к. увеличивает количество «задач в обработке» на 1:

Теперь мы уже сможем задействовать наибольшее количество технологий в проекте. Самое время принять во внимание еще одно важное условие поставленной перед нами проблемы: эффективность владения технологиями. Мы ведь хотим оптимально назначить всем задачи.

5. Венгерский метод.

Найти решение с максимальной суммарной эффективностью (стоимостью). Звучит, в некотором смысле, похоже на задачу об оптимальной упаковке рюкзака. Наводит на мысль. Вот если бы нам представилась возможность действовать по принципу «жадных алгоритмов».

Мы бы для начала всем разработчикам до упора назначили задачи в соответствии с их максимальными способностями. Если всем разработчикам удалось сразу же распределить задачи - отлично. Но такое происходит не часто. Вдруг два человека, оптимально владеют одной и той же технологией, кому она достанется и что делать в этой ситуации? Одному из разработчиков нужно будет подыскать иную свободную задачу, так же наиболее соответствующую его способностям. Если при текущих (максимальных требованиях) условиях не найдется свободной задачи, то нужно будет попробовать подыскать среди задач, предварительно немного занизив наши требования. Как бы искусственно занизить способности разработчиков в графе. Если в таких условиях обнаружим свободную задачу – получим аугментальное дерево. «Поменяем» по цепочке паросочетания, после чего будет +1. И продолжим назначать таким вот оптимальным образом, пока всем не подыщем работу.

Стратегия ясна.

Мы почти разгадали принцип Венгерского алгоритма. Но как все же построить решение по принципу «жадных алгоритмов»: до упора назначить по max способностям, потом чуть занизить способности и добавив к рассмотрению новые задач, до упора назначить их, занизить… и.т.д.? Как оценить способности и оптимальность текущего назначения?

Вся «фишка» этого алгоритма заключается в следующем. Нам дан всего один параметр в графе – эффективность решения определенной задачи разработчиком, что указано на ребрах. Эта величина присвоена парам разработчик-задача. Мы же «разделим» (отделим от пар) эти величины на две. Искусственно добавим два дополнительных параметра. Одни величины будут приписаны вершинам задач, другие - вершинам разработчиков.

Попробую привести такую интерпретацию:

• у разработчиков мы укажем их «способности» , допустим в единицах «сил», просто указывающие на то, насколько эффективно мы можем их задействовать или задействовали.
• у задач мы укажем их «изученность» , или, если можно так выразиться, «переизбыток внимания». Этот параметр будем так же измерять в «силе». Переизбыток внимания к задаче возникает в следующей ситуации. Если мы какого-то разработчика «недогрузили», т.е. он способен решать задачу на 5, а ему досталась всего на 3. То у него остается еще 2 «силы» которые он, в принципе, может уделить какой-то из знакомых ему задач. Бегать между кабинетов, консультировать по телефону, давать советы тем, кто занимается любимой ему технологией.

Таким образом, величины указанные на ребрах мы «разделим» на 2 значения, приписанных уже вершинам: эффективность решения задачи = способность разработчика + изученность задачи. В принципе, логично. Чем способней разработчик или чем более известна технология, тем лучше будет реализована эта часть в проекте. Эффективней.

В конце, после того как мы найдем решение, мы конечно будем учитывать только величины на ребрах, но сейчас эта «фишка» поможет нам найти решение. =)

6. Описание алгоритма

Инициализируем граф. Будучи «упертыми оптимистами », мы для каждого разработчика рассчитаем его максимальную «способность» по знакомым ему технологиям, и присвоим ему это число. Everyone enjoys doing the kind of work for which he is best suited . О задачах пока ничего неизвестно, поэтому их «изученность» инициализируем нулями.

При поиске «свободной задачи» для «незадействованного разработчика» мы ограничимся теперь только (назовем их) оптимальными ребрами графа, т.е. теми, для которых выполняется равенство: эффективность решения задачи (ребро) = способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина) .

Далее мы поступаем так же, как и при поиске максимального паросочетания. Хватаем по очереди незадействованных разработчиков и, подыскивая им свободные задачи, строим альтернирующее дерево (состоящее из чередующихся цепей), но уже только по оптимальным ребрам. Далее возможно 2 ситуации:

• Удалось обнаружить свободную задачу. Дерево стало аугментальным. «Переназначаем» задачи, наращиваем паросочетание. Начинаем строить альтернирующее дерево заново, т.к. мало ли как там граф изменился
• Мы не нашли (не достигли) свободную задачу по оптимальным ребрам. А она есть, т.к. начинали ведь мы со свободного разработчика, а в графе у нас одинаковое количество задач и разработчиков. Полученное альтернирующее дерево становится, так называемым, Венгерским (весь метод так же называется). В данном случае нам нужно будет немного понизить наши требования к разработчикам и начать поиски заново. Failure is simply the opportunity to begin again, this time more intelligently (с) .

Вот и подошли к последнему моменту Венгерского метода для чего все эти дополнительные параметры и «способности» задумывались. Допустим, что, наращивая альтернирующее дерево, мы в конечном итоге получили - Венгерское дерево. Рассмотрим, какие вершины попадут в это дерево:

• Незадействованные разработчики, т.к. именно с них мы начинаем стоить дерево
• Разработчики и задачи, до которых можно дотянуться по оптимальным ребрам из незадействованных разработчиков. Т.к. именно через их «переназначение» мы пытаемся трудоустроить последних.

Снаружи этого дерева, в оставшемся графе будут присутствовать:

• Разработчики и задачи, находящиеся в паросочетании, но недоступные из свободных вершин (разработчиков). Нашли им работу – нечего их пока трогать.
• Задачи, недостижимые по оптимальным ребрам – до них нам и нужно будет добраться. Поэтому при построении дерева мы будем отмечать вершины, в которые удалось попасть. А эти задачи, соответственно, останутся неотмеченными.

Далее в цикле мы пробежим по «границе» дерева: по тем ребрам, которые соединяют незадействованных разработчиков или разработчиков, достижимых из них (может их удастся «переназначить»), со смежными задачами (по неоптимальным ребрам). По этим ребрам мы вычислим минимальное на текущий момент «несоответствие» способностей разработчика, чтобы он смог приступить к этой задаче: delta = min(способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина) - эффективность решения задачи (ребро)) .

После чего внутри венгерского дерева мы:

• Понизим способности разработчиков на delta, чтобы «присоединить» наименее безболезненным способом, по крайней мере, одно ребро к альтернирующему дереву, по которому в следующий раз будем продолжать поиски свободной задачи
• Повысим «изученность» задач на delta, чтобы внутри уже сейчас построенного аугментального графа ребра - остались оптимальными. Т.е. чтобы сохранилось равенство: эффективность решения задачи (ребро) = способность разработчика (вершина) + изученность задачи (вершина)

Мини-интерпретация: мы понижаем способности разработчикам, чтобы впоследствии «пристроить» хотя бы одного из них. Мы его пристроим, но он будет работать не в соответствии со своей квалификацией. Он бы смог большего. Поэтому у него высвобождается некоторое количество времени, чтобы проконсультировать коллег по задаче, в которой он наиболее компетентен. Она становится более изученной в команде. Ей в свою очередь наверняка занимался другой разработчик, который теперь тоже сможет подменяться в случае чего. Можно понизить и его компетенцию на изученность задачи. И так далее «по цепочке» в команде повышается «изученность» задач и немного понижаются способности разработчиков, чтобы найти им назначения.

Все. Все шаги данного метода рассмотрены. Продолжаем в том же духе… Success is not final, failure is not fatal: it is the courage to continue that counts .

7. Алгоритм словами, очень кратко

Соберем теперь все до кучи:

• Инициализация. Разработчикам – max способности. Задачи – не изучены.
• Пока не всем разработчикам нашли задачи.
  • Пока удается построить аугментальное дерево (находить свободные задачи) по оптимальным ребрам
    • «Переназначаем» задачи, увеличивая паросочетания
  • Не достигли свободной задачи. Венгерское дерево.
    • Понижаем способности разработчиков на min величину

8. Листинг

Код, конечно, будет покороче, чем все мое описание. =)

Я взял его . На мой взгляд, очень хорошая реализация. Единственное отличие, у автора приведен код метода минимизации назначений (если, допустим, на ребрах – зарплата), а в статье мы распределяли задачи с целью получения максимальной эффективности. Поэтому, слегка модифицировав код, приведу ниже реализацию максимального метода:

int n;
vector < vector > a; // Матрица эффективности a[разраб][задача]
vector xy, yx; // Паросочетания: xy[разраб], yx[задача]
vector vx, vy; // Альтернирующее дерево vx[разраб], vy[задача]
vector maxrow, mincol; // Способности, изученность

bool dotry (int i) {
if (vx[i]) return false ;
vx[i] = true ;
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0)
vy[j] = true ;
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0 && yx[j] == -1) {
xy[i] = j;
yx[j] = i;
return true ;
}
for (int j=0; jif (a[i][j]-maxrow[i]-mincol[j] == 0 && dotry (yx[j])) {
xy[i] = j;
yx[j] = i;
return true ;
}
return false ;
}

int main() {

// ... чтение a ...

Mincol.assign (n, 0);
minrow.assign (n, 0);
for (int i=0; ifor (int j=0; j maxrow[i] = max (maxrow[i], a[i][j]);

Xy.assign (n, -1);
yx.assign (n, -1);
for (int c=0; c vx.assign (n, 0);
vy.assign (n, 0);
int k = 0;
for (int i=0; iif (xy[i] == -1 && dotry (i))
++k;
c += k;
if (k == 0) {
int z = INF;
for (int i=0; iif (vx[i])
for (int j=0; jif (!vy[j])
z = min (z, maxrow[i]+mincol[j]-a[i][j]);
for (int i=0; iif (vx[i]) maxrow[i] -= z;
if (vy[i]) mincol[i] += z;
}
}
}

int ans = 0;
for (int i=0; i ans += a[i]];
printf ("%d\n" , ans);
for (int i=0; i printf ("%d " , xy[i]+1);
}

* This source code was highlighted with Source Code Highlighter .

9. Итого

Если кто-то видит Венгерку впервые. И после прочтения описания, а за ним листинга – возникнет уверенное впечатление «да тут по листингу и без этих описаний все понятно, что было распинаться». Буду все же надеяться, что хоть отчасти описание добавило понимания в работу алгоритма. Буду искренне рад за Вас! а мне, в свою очередь, это немного даст почувствовать, что писал, наверное, не зря. =)

Теги:

• задача о назначениях
• венгерский алгоритм
• алгоритм Куна

Добавить метки

Теорема 1.

Для того чтобы вариант назначения был оптимальным, необходимо и достаточно существование чисел таких, что

для из базиса

Метод потенциалов

Значения переменных можно расставить произвольно, например, методом максимального элемента или методом Фогеля. Для вычисления потенциалов необходимо, чтобы число базисных переменных было равно . Поэтому в число базисных переменных введем базисных нулей. Последние должны быть расставлены так, чтобы базисные элементы матрицы не образовывали циклов.

Вычисляются потенциалы, затем для небазисных пар индексов определяются оценки по формуле

Если все оценки неотрицательны , то процесс окончен: совокупность переменных соответствует оптимальному варианту назначения. Если имеются отрицательные оценки , то вариант выбора не является оптимальным и его следует улучшить. Для этого находим наименьшую отрицательную оценку (пусть это будет и строим цикл пересчета, который замыкается на разрешающей клетке .

Означим вершины цикла: начиная с вершины в разрешающей клетке, ставим знак «+», следующей вершине присваиваем знак «-» и так далее, поочередно, пока не пройдем все вершины. Определяем величину корректировки , которая равна минимальному значению переменной из переменных , принадлежащих вершинам отрицательного полуцикла. Далее вносим изменения в наш вариант назначения: переменные из отрицательного полуцикла уменьшаем на , переменные из положительного полуцикла увеличиваем на эту же величину; остальные переменные остаются без изменения. В результате получим новое назначение.

Задача является сильно вырожденной, в которой число базисных нулей равно . Критерий оптимальности предъявляет одинаковые требования к положительным переменным и к базисным нулям, поэтому в процессе решения результативные итерации часто чередуются холостыми.

Венгерский метод

Рассмотри задачу о назначениях с матрицей эффективностей

В соответствии с постановкой этой задачи, решить её - значит, иными словами, выбрать в матрице С элементов, по одному из каждой строки и каждого столбца так, чтобы сумма выбранных элементов, равная общей эффективности, соответствующей данному выбору, была наибольшей по сравнению с её значениями при всех других таких выборах. Эту задачу можно свести к выбору нулевых элементов, по одному в каждом столбце и каждой строке, в некоторой матрице с неотрицательными элементами, в которой в каждой строке и каждом столбце есть нули.

Две матрицы и назовем эквивалентными , если одна из них получается из другой прибавлением к элементам каждой строки одного и того же числа (для разных строк эти числа могут быть разными) и прибавлением к элементам каждого столбца одного и того же числа (для разных столбцов эти числа могут быть различны)

Теорема 2 (Эгервари).

Множества оптимальных назначений двух задач выбора с эквивалентными матрицами совпадают.

Приведённая теорема позволяет, если это требуется, переходить от данной задачи выбора с матрицей к задаче выбора с любой другой матрицей , при условии, что эквивалентна .

Алгоритм венгерского метода

Предварительный этап

Шаг 1. Переходим от задачи на максимум к задаче на минимум, т.е. . Теперь перейдем от задачи на минимум с матрицей к задаче на минимум с эквивалентной ей матрицей, которая имела бы только неотрицательные элементы, и в каждой строке и каждом столбце которой было бы хотя бы по одному нулевому элементу. Для этого сначала из большего элемента каждого столбца матрицы вычтем элементы того же столбца матрицы , результат поместим на место вычитаемого:

Получится неотрицательная матрица , в каждом столбце которой есть хотя бы один нуль.

Шаг 2. Теперь вычтем из элементов каждой строки матрицы минимальный элемент той же строки матрицы , результат остаётся на месте уменьшаемых элементов:

Полученная матрица и будет неотрицательной матрицей, в каждом столбце и в каждой строке которой есть хотя бы один нуль.

Наименьшее возможное значение суммы элементов неотрицательной матрицы равно, очевидно, нулю. Таким образом, наша задача сводится теперь к выбору в матрице , или эквивалентной ей матрице с неотрицательными элементами нулевых элементов, по одному в каждой строке и каждом столбце. Покажем, как это сделать. Неформальный смысл приводимого ниже алгоритма заключается в последовательных переходах от одного правильного неполного выбора нулей к другому, содержащему на один нуль больше, чем предыдущий, до тех пор, пока не получится полный правильный выбор. При этом на отдельных этапах может потребоваться переход к новой матрице, эквивалентной предыдущей.

Пусть уже проделаны предварительные преобразования матрицы эффективностей данной задачи и получена неотрицательная матрица , содержащая хотя бы по одному нулевому элементу в каждой строке и каждом столбце.

Основной этап

1. Отмечаем звездочкой () какой-нибудь нуль в первом столбце матрицы ;отмечаем звездочкой какой-нибудь нуль во втором столбце, не лежащий в той строке, в которой находится из первого столбца (если такой нуль во втором столбце найдется); отмечаем звездочкой один из нулей третьего столбца, лежащий в строке, где нет еще нуля со звездочкой (если такой нуль в третьем столбце найдется); и так далее, пока не пройдем все столбцы матрицы.

Если число отмеченных звездочкой нулей равно , то процесс окончен: места, занимаемые нулями со звездочкой, соответствуют переменным равным 1, в оптимальном варианте назначения.

Если нулей со звездочкой меньше , то

2. Помечаем знаком «+» сверху столбцы матрицы, в которых есть , и считаем эти столбцы занятыми.

В процессе решения будут появляться и занятые строки. Элементы, стоящие на пересечении незанятой строки и незанятого столбца будем считать незанятыми; остальные элементы - занятыми.

Если в матрице нет незанятых нулей, то переходим к пункту 5.

Если незанятые нули есть, то выбираем первый из них (просматривая поочередно строки слева направо). Отмечаем его каким-нибудь промежуточным значком (например, штрихом ). Если в его строке нет нуля со звездочкой, то переходим к п.4; если в его строке есть, то

3. Столбец, в котором находится , лежащий в той же строке, что и только что отмеченный штрихом нуль, считаем снова незанятым и знак «+» сверху снимаем. Строку, в которой находится наш объявляем занятой и помечаем знаком «+» справа. Возвращаемся к третьему абзацу пункта 2.

4. Строим цепочку из нулей: начинаем с только что отмеченного штрихом нуля (), идем по столбцу до , от него по строке к , и т.д., пока это возможно. Цепочка оборвется на каком-то (возможно на первом же ). Звездочки у нулей в цепочке снимаем, а вместо штрихов у нулей в цепочке ставим звездочки. Получим новый набор нулей со звездочкой, который содержит на один нуль больше, чем предыдущий набор.

Снимаем все пометки, кроме звездочек, и возвращаемся ко второму абзацу пункта 1.

5. Находим минимальный элемент среди незанятых элементов матрицы (пусть он будет равен ) и вычитаем его из всех незанятых элементов, а затем прибавляем ко всем дважды занятым элементам. Остальные элементы переписываем без изменения. Никакие пометки при этом не снимаются. Получается матрица, эквивалентная предыдущей, и содержащая незанятые нули. Возвращаемся к четвертому абзацу п.2.

Шаг 1. (Редукция строк и столбцов). Цель данного шага состоит в получении максимально возможного числа нулевых элементов в матрице стоимостей. Для этого из всех элементов каждой строки вычитают минимальный элемент соответствующей строки, а затем из всех элементов каждого столбца полученной матрицы вычитают минимальный элемент соответствующего столбца. В результате получают редуцированную матрицу стоимостей и переходят к поиску назначений.

Шаг 2. (Определение назначений). На этом шаге можно использовать алгоритм поиска «наибольшего паросочетания с матрицей двудольного графа (существуют и другие возможности), если все =0 матрицы заменить на «1», а >0 на «0».

Если нельзя найти полного назначения, то необходима дальнейшая модификация матрицы стоимостей, т.е. перейти к шагу 3.

Шаг 3 . (Модификация редуцированной матрицы). Для редуцированной матрицы стоимостей:

а) Вычислить число нулей в каждой невычеркнутой строке и каждом невычеркнутом столбце.

б) Вычеркнуть строку или столбец с максимальным числом нулей.

в) Выполнять пункты а) и б) до тех пор, пока не будут вычеркнуты все нули.

г) Из всех невычеркнутых элементов вычесть минимальный невычеркнутый элемент и прибавить его к каждому элементу, расположенному на пересечении двух линий.

Перейти к шагу 2.

Замечание 3 .Если исходная задача является задачей максимизации, то все элементы матрицы стоимостей следует умножить на (-1) и сложить их с достаточно большим числом так, чтобы матрица не содержала бы отрицательных элементов. Затем задачу следует решать как задачу минимизации.

Пример 13.5. Покажем работу венгерского алгоритма на примере задачи о назначениях со следующей матрицей стоимостей:

Итерация 1

Шаг 1 . Редукция строк и столбцов.

Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вычитая из элементов каждой строки соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу:

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5 и 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значение, получим следующую матрицу.

Шаг 2 . Поиск допустимого решения, для которого все назначения имеют нулевую стоимость. Используем алгоритм поиска наибольшего паросочетания. Преобразуем матрицу в матрицу двудольного графа, затем в рабочую таблицу:

Находим паросочетание:

Это паросочетание не совершенное, т.е. полного назначения нет. На Шаг 3.

Шаг 3. Модификация редуцированной матрицы.

а) Число нулей в строках 1, 2, 3 и 4 равно 1, 1, 2 и 1 соответственно. Для столбцов соответствующие величины равны 2, 1, 1 и 1.

б) Максимальное число нулей, по два, содержат строка 3 и столбец 1. Выбираем строку 3 и вычеркиваем все ее элементы горизонтальной линией.

в) Число невычеркнутых нулей в строках 1, 2 и 4 равно 1, 1 и 1 соответственно. Для столбцов соответствующие значения равны 2, 1, 0, и 0. Поэтому мы должны выбрать столбец 1 и вычеркнуть его вертикальной линией. После этого останется только один невычеркнутый нуль – элемент (2,2). Поэтому можно вычеркнуть либо строку 2, либо столбец 2. Вычеркивая строку 2 горизонтальной линией, получаем следующую матрицу:

г) Значение минимального невычеркнутого элемента равно 2. Вычитая его из всех невычеркнутых элементов и складывая его со всеми элементами, расположенными на пересечении двух линий, получаем новую матрицу стоимостей.

Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем. Строится начальный план перевозок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи (из некоторых пунктов производства не весь продукт вывозится, потребность части пунктов потребления не полностью удовлетворена). Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи.

Алгоритм венгерского метода состоит из подготовительного этапа и из конечного числа итераций. На подготовительном этапе строится матрица X0 (xij)m,n, элементы которой неотрицательны и удовлетворяют неравенствам:

Если эти условия являются равенствами, то матрица Хo - решение транспортной задачи. Если среди условий имеются неравенства, то осуществляется переход к первой итерации. На k-й итерации строится матрица Хk (xij)m,n. Близость этой матрицы к решению задачи характеризует число Dk - суммарная невязка матрицы Хk:

В результате первой итерации строится матрица Хl, состоящая из неотрицательных элементов. При этом Dl D0. Если Dl 0, то Хl - оптимальное решение задачи. Если Dl 0, то переходят к следующей итерации. Они проводятся до тех пор, пока Dk при некотором k не станет равным нулю. Соответствующая матрица Хk является решением транспортной задачи.

Венгерский метод наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления. В этом случае число итераций не превышает величины D0/2 (D0 - суммарная невязка подготовительного этапа).

Достоинством венгерского метода является возможность оценивать близость результата каждой из итераций к оптимальному плану перевозок. Это позволяет контролировать процесс вычислений и прекратить его при достижении определенных точностных показателей. Данное свойство существенно для задач большой размерности.

Волков И.К., Загоруйко Е.А. Исследование операций: Учеб. для вузов. 2-е узд. / Под ред.. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Узд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 436 с.

Зайченко Ю.П. Исследование операций: Учеб. пособие для студентов вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Киев: Вища школа. Главное изд-во, 1979. 392 с.

И. А. Акулич. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: «Высшая школа», 1986.- 319 с.

Сакович В.А. Исследование операций (детерминированные методы и модели): Справочное пособие. - Мн.: Выш. шк., 1984.-256с.

Таха Х. Введение в исследование операций: в двух книгах. Кн.1,2 Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.

Хазанова Л.Э. Математическое программирование в экономике: Учебное пособие. – М.: Издательство БЕК, 1998. – 141с.

В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения Т.з. распределительный метод , метод потенциалов, дельта-метод, венгерский метод, метод дифференциальных рент , способ двойного предпочтения , различные сетевые методы. Они относительно просты, по ним составлены десятки программ для различных вычислительных машин . Во многих снабженческих, транспортных и других организациях во всем мире с их помощью рассчитываются маршруты доставки материалов на строительные площадки, планы длительного прикрепления поставщиков металлопроката к потребителям, планы перевозок топлива. Задачи эти часто усложняются разного рода дополнительными условиями напр., в них включается расчет не только себестоимости перевозок, но и себестоимости производства продукции (производственно-транспортная задача), оптимизируется совместно доставка взаимозаменяемых видов продукции (скажем, различных кровельных материалов), оптимизируется доставка грузов с промежуточными базами (складами). Кроме того, следует учитывать, что экономико-математическая модель Т.з. позволяет описывать множество ситуаций, весьма далеких от проблемы перевозок, в частности, находить оптимальное размещение заказов на производство изделий с разной себестоимостью.  

Полученные с помощью этого алгоритма сбалансированные планы поставок ресурсов и услуг могут быть в дальнейшем оптимизированы стандартными методами (потенциалов, венгерским и др.)  

Венгерский метод в классическом варианте применим только для замкнутой модели транспортной задачи. Поэтому при разработке алгоритмов решения транспортной задачи с открытой или полуоткрытой системой ограничений исследовались и были определены эффективные методы предварительного построения замыкания исходной модели с последующим применением венгерского метода. В общем случае схема решения такой задачи представляет собой двухэтапную процедуру, где на первом этапе определяется замыкание модели, а на втором по замыканию модели отыскивается оптимум задачи.  

Описание алгоритма венгерского метода  

После конечного числа построений очередной первый этап обязательно закончится переходом на второй этап и количество независимых нулей увеличится на единицу, т. е. (к + 1)-я итерация будет завершена. Обоснование отдельных этапов алгоритма венгерского метода для задачи выбора приведено в .  

Количество возможных вариантов назначений равно факториалу числа работ и ресурсов и огромно даже в небольшой задаче. Поэтому для нахождения оптимального варианта применяют специальные алгоритмы. Среди них особенно эффективен при решении 3. о н. вручную т.н. венгерский метод.  

Оптимизация цены, объема выпуска и постоянных затрат предприятия при освоении нового продукта чисто математически может быть осуществлена на основе постановки следующий оптимизационной задачи , которая, будучи выражена линейными уравнениями выручки, переменных и совокупных издержек предприятия, а также зависимости между располагаемыми инвестициями и максимально возможным объемом выпуска продукта, обусловленным созданием на средства этих инвестиций соответствующих новых производственных и торговых мощностей. Эта задача поддается решению методами линейного целочисленного программирования (например, симплекс-методом или так называемым венгерским методом)  

Известны различные способы решения этой задачи - распределительный, венгерский, метод потенциалов и др. Как правило, для расчетов применяется ЭВМ.  

В то же время в книге изложено немало организационных решений , с успехом применяемых на венгерских промышленных предприятиях , представляющих интерес и для наших условий. К таким решениям можно отнести обоснование механизма выявления новых назревших организационных проблем, подлежащих решению процедуру разработки вариантов организационной концепции при подготовке проектов рационализации организационных систем обоснование многофакторного подхода при выборе форм и методов организации производства применение гибких методов организации и диверсификации производства и др.  

Венгерские специалисты разработали методики комплексного исследования рынка для новых товаров как производственного назначения, так и народного потребления. Различие методов обусловлено назначением товаров, в силу чего, например, точнее можно определить круг потребителей изделий производственного назначения, так как покупателями являются определенные предприятия. А это, в свою очередь, говорит производителю о довольно ограниченном объеме выпуска. Маркетинг изделий производственного назначения характерен и тем, что практически возможен опрос всех будущих потребителей, т. v процедура выяснения запросов покупателей проще, чем в случае потребительских товаров.  

Рассматриваемый метод получения ацетилена успешно изучался венгерскими и румынскими химиками в Венгрии и Румынии были построены не только лабораторные, но и опытно-промышленные установки, на которых проводились интенсивные работы по промышленному освоению метода. Промышленные установки, работающие по этому методу, имеются также в ФРГ и в Канаде.  

Существует много частных способов (например, способ Фогеля, методы потенциалов, дифференциальных рент , способ Лебедева - Тихомирова, венгерский метод и др.), а также универсальных методов (например, алгоритм симплекс-метода) решения задач линейного программирования с такого рода условиями. Представляет интерес, как сам результат вычисления, так и его интерпретация.  

Корнай (Kornai) Янош (р. 1928), венгерский экономист-математик, академик АН Венгерской республики. Окончил Будапештский университет (1955), работал в АН, Институте текстильной промышленности , вычислительном центре Академии наук с 1967 г. - профессор и руководитель отдела АН Венгрии, с 1986 г. - профессор экономики в Гарвардском университете. В конце 50-х гг. вместе с Т. Липтаком разработал метод решения задач блочного программирования - метод планирования на двух уровнях (см. Корнай-Липтака метод). Исследовал проблемы функционирования экономики в условиях неравновесия, взаимоотношения между дефицитом и инфляцией. Был одним из идеологов венгерской экономической реформы конца 60-х гг. Иностранный член Британской, Шведской, Финляндской академий наук , почетный член Американской академии искусств и наук, Американской экономической ассоциации почетный доктор университетов многих стран мира . Государственная премия ВНР - 1983 г.  

Большинство конфликтов является ситуациями для торга, сделки, но существуют и такие, в которых возможность выигрыша одной строны в значительной степени зависит от поведения и принимаемых решений другой стороны. Это возможно продемонстрировать на примере, приведенном венгерским социологом Э. Ханкишем. Последний назвал этот метод дилеммой арестанта. Суть его в том, что, добиваясь признания от двух подозреваемых, следователь ставит следующие условия  

Особое место в программе уделяется методам, чувствительным к разладке технологического процесса , в частности, методу регулирования с предупреждающими границами и методу кумулятивных сумм . В программу включены документы по контрольным картам кумулятивных сумм для средних арифметических значений, дисперсий и размахов, числа дефектов и дефектных единиц продукции. По предложению Венгерской Народной Республики в программу внесено общее методическое руководство по применению контрольных карт . Разработка методов регулирования предусмотрена на основе использования критерия проверки гипотез Кеймана-Пирсона или, когда критерий Неймана-Пирсона оказывается неприемлемым, принципа