Zoals u weet, worden complexe getallen gebruikt om enkele typische problemen in de elektrotechniek op te lossen. Maar waar worden ze voor gebruikt en waarom doen ze het op deze manier? We zullen proberen dit in dit artikel uit te zoeken. Feit is dat de complexe methode, of de methode van complexe amplitudes, handig is voor het berekenen van complexe circuits AC. Laten we eerst enkele wiskundige basisprincipes onthouden:

Zoals u kunt zien, omvat het complexe getal z een denkbeeldig en een reëel deel, die van elkaar verschillen en in de tekst anders worden aangeduid. Het complexe getal z zelf kan in algebraïsche, trigonometrische of exponentiële vorm worden geschreven:

Historische achtergrond

Er wordt aangenomen dat het idee van denkbeeldige getallen begon te ontstaan ​​in 1545, toen de Italiaanse wiskundige, ingenieur, filosoof, arts en astroloog Girolamo Cardano publiceerde deze methode het oplossen van vergelijkingen, waarbij hij trouwens toegaf dat het idee hem zes jaar vóór de publicatie van dit werk was gegeven door Niccolo Tartaglia (Italiaanse wiskundige). In zijn werk loste Cradano vergelijkingen op van de vorm:

Tijdens het oplossen van deze vergelijkingen werd de wetenschapper gedwongen het bestaan ​​van een bepaald ‘onwerkelijk’ getal toe te geven, waarvan het kwadraat gelijk zou zijn aan min één ‘-1’, dat wil zeggen alsof er vierkantswortel uit een negatief getal, en als we het nu kwadrateren, krijgen we dienovereenkomstig een negatief getal onder de wortel. Cardano formuleerde de vermenigvuldigingsregel volgens welke:

Drie eeuwen lang was de wiskundige gemeenschap bezig te wennen aan de nieuwe aanpak die door Cardano werd voorgesteld. Denkbeeldige getallen namen geleidelijk wortel, maar werden door wiskundigen met tegenzin geaccepteerd. Pas met de publicatie van Gauss’ werken over algebra, waar hij de fundamentele stelling van de algebra bewees, werden complexe getallen eindelijk volledig geaccepteerd; het was de 19e eeuw.

Denkbeeldige getallen zijn een echte redder in nood geworden voor wiskundigen, omdat de meest complexe problemen veel gemakkelijker op te lossen zijn geworden door de aanvaarding van het bestaan ​​van denkbeeldige getallen.

Al snel kwam het op elektrotechniek terecht. Wisselstroomcircuits bleken soms erg complex te zijn, en om ze te berekenen moesten veel integralen worden berekend, wat vaak erg lastig was.

Ten slotte sprak de briljante elektrotechnisch ingenieur Karl August Steinmetz in 1893 in Chicago op het International Electrotechnical Congress met een rapport ‘Complexe getallen en hun toepassing in de elektrotechniek’, dat feitelijk het begin markeert praktische toepassing ingenieurs van een complexe methode voor het berekenen van elektrische wisselstroomcircuits.

Uit de cursus natuurkunde weten we dat dit een stroom is die in de loop van de tijd verandert, zowel in omvang als in richting.

Gevonden in de techniek verschillende vormen wisselstroom, de meest voorkomende stroom tegenwoordig is echter sinusvormige wisselstroom, dit is het type dat overal wordt gebruikt, met behulp waarvan elektriciteit wordt overgedragen, in de vorm van wisselstroom wordt opgewekt, omgezet door transformatoren en verbruikt door belastingen . De sinusoïdale stroom verandert periodiek volgens een sinusoïdale (harmonische) wet.

In de complexe methode worden de effectieve waarden van stromen en spanningen als volgt geschreven:

Merk op dat in de elektrotechniek de denkbeeldige eenheid wordt aangeduid met de letter "j", aangezien de letter "i" hier al wordt beschouwd als stroom.

De complexe weerstandswaarde wordt bepaald uit:

Optellen en aftrekken van complexe waarden gebeurt in algebraïsche vorm, en vermenigvuldigen en delen worden gedaan in exponentiële vorm.

Laten we eens kijken naar de complexe amplitudemethode aan de hand van het voorbeeld van een specifiek circuit met bepaalde waarden van de hoofdparameters.

Gegeven:

spoelspanning 50 V,

weerstand weerstand 25 Ohm,

spoelinductie 500 mH,

de elektrische capaciteit van de condensator is 30 microfarad,

weerstand spoeldraad 10 Ohm,

netfrequentie 50 Hz.

Vind: ampèremeter- en voltmeterwaarden, evenals wattmeter.

Oplossing:

Laten we eerst de complexe weerstand van in serie geschakelde elementen opschrijven, die uit reële en denkbeeldige delen bestaat, en vervolgens de complexe weerstand van het actief-inductieve element vinden.

Laten we het onthouden! Om de exponentiële vorm te verkrijgen, zoekt u de modulus z, gelijk aan de vierkantswortel van de som van de kwadraten van de reële en imaginaire delen, evenals phi, gelijk aan de boogtangens van het quotiënt van het denkbeeldige deel gedeeld door de reële.

Gegevens 28 maart 2017

Heren, in het artikel van vandaag wil ik u er iets over vertellen complexe getallen en signalen. Dit artikel zal voornamelijk theoretisch zijn. Het is zijn taak een basis te leggen voor de mogelijkheid om verdere artikelen te begrijpen. Het is alleen zo dat als het gaat om een ​​fase of bijvoorbeeld het gedrag van een condensator in een wisselstroomcircuit, al deze complexiteiten onmiddellijk beginnen binnen te sluipen. Maar ik wil het nog steeds over de fase hebben, het is belangrijk. Nee, dit artikel zal dat niet zijn korte cursus TFKP, we zullen slechts een heel beperkt gebied van dit ongetwijfeld interessante en uitgebreide onderwerp beschouwen. Dus, laten we gaan!

Maar voordat we direct over complexe getallen gaan praten, zou ik het ook graag willen hebben over zoiets merkwaardigs als trigonometrische cirkel. Heren, u en ik hebben het al drie (één, twee, drie) artikelen over sinusoïdale stroom gehad. Maar hoe wordt de sinusfunctie in het algemeen gevormd? En cosinus ook? Er zijn verschillende manieren om deze vraag te beantwoorden, maar voor de doeleinden van dit artikel heb ik voor de volgende uitleg gekozen. Kijk eens naar figuur 1. Daar zie je de zogenaamde trigonometrische cirkel.

Figuur 1 - Trigonometrische cirkel

Er is veel op geschilderd, dus laten we beetje bij beetje uitzoeken wat wat is. Ten eerste is er in feite een bepaalde cirkel, waarvan het middelpunt samenvalt met het middelpunt van het coördinatensysteem met assen X En Y. De straal van deze cirkel is gelijk aan één. Slechts één, zonder volt, ampère en andere dingen. Vervolgens worden vanuit het middelpunt van deze cirkel twee straalvectoren getekend OA En OE. Het is duidelijk dat de lengte van deze vectoren gelijk is aan één, omdat we een cirkel met straaleenheid hebben. Hoek tussen vector OA en as X is gelijk aan φ 1, de hoek tussen de vector OE en as X gelijk aan φ 2

En nu het meest interessante deel, heren. Laten we eens kijken waar ze gelijk aan zijn projecties van deze vectoren op de as X En Y. Vectorprojectie OA per as X- dit is een segment OB en op de as Y- dit is een segment Besturingssysteem. En allemaal samen (de vector zelf OA en zijn projecties OB En Besturingssysteem) vormt een rechthoekige driehoek OAV. Met behulp van de regels voor het werken met een rechthoekige driehoek kunnen we de zijden ervan vinden OB En Besturingssysteem, dat wil zeggen de projectie van de straalvector OA op de as X En Y:

Op dezelfde manier kun je relaties vinden voor de vector OE:

Als het niet duidelijk is waarom dit zo is, raad ik je aan om te googlen naar de beeldverhoudingen in een rechthoekige driehoek. Welnu, we trekken nu een belangrijke conclusie voor onszelf: de projectie van een eenheidsvector op de X-as is gelijk aan de cosinus van de hoek tussen de vector en de X-as, en de projectie op de X-asY is de sinus van deze hoek.

Laten we nu beginnen draaien straalvector tegen de klok in met enige frequentie. Welnu, zodat het met zijn uiteinde een cirkel tekent. En zoals je waarschijnlijk al geraden hebt, zal bij een dergelijke rotatie de projectie van de vector op de X-as een cosinusfunctie tekenen, en de projectie op de Y-as een sinusfunctie. Dat wil zeggen, als deze straalvector van ons bijvoorbeeld 50 omwentelingen per seconde maakt (dat wil zeggen, hij roteert met een frequentie van 50 Hz), dan betekent dit dat zijn projectie op de X-as de functie vormt

en de projectie ervan op de Y-as tekent de functie

Genoeg interessant feit Naar mijn mening. Over het algemeen is de trigonometrische cirkel iets merkwaardigs. Ik raad aan om hem beter te leren kennen door dit onderwerp te googlen. Het zorgt ervoor dat je het veel beter begrijpt. We hebben nu slechts enkele van de functies overwogen die we nodig zullen hebben. Laten we dit feit nu tijdelijk buiten beschouwing laten en direct over complexe getallen praten.

Dus heren, een complex getal is een uitdrukking van de vorm

A- Dit geldig onderdeel van een complex getal z.

B- Dit denkbeeldig onderdeel van een complex getal z.

In serieuze boeken over wiskunde wordt een complex getal zelfs enigszins anders gedefinieerd, maar we zijn best blij met deze optie.

Wetenschappelijk gezien is dit zo algebraïsch manier om een ​​complex getal te schrijven. Er zijn er nog meer, die zullen we later leren kennen.

A En B- dit zijn gewone cijfers waar we allemaal aan gewend zijn. Bijvoorbeeld 42, 18, -94, 100500, 1,87 enzovoort. Dat wil zeggen: absoluut geen. Er kunnen bijvoorbeeld dergelijke records zijn

Een nummer J- dit is de zogenaamde denkbeeldige eenheid. Het wordt vaak niet aangegeven met j, maar met i, maar i is meestal gangbaar in de elektrotechniek, dus we zullen de letter j gebruiken. Wat is het? Formeel kan het zo worden geschreven

Het is een beetje onduidelijk hoe dit de wortel van een negatief getal kan zijn. Sinds onze kindertijd zijn we er allemaal aan gewend geraakt dat we alleen onder de wortel hebben positieve cijfers. Maar wiskundigen hebben zo'n abstractie geïntroduceerd, waarmee je de wortel van negatieve getallen kunt extraheren. En vreemd genoeg helpt een dergelijke abstractie heel goed om vrij reële, en helemaal niet abstracte, processen in de elektrotechniek te beschrijven.

Dat wil zeggen, we zien dat een complex getal zelf eenvoudigweg uit twee zeer bestaat gewone cijfers. Ja, de tweede wordt voorafgegaan door een mythische j, maar dit verandert niets aan de essentie van de zaak.

Laten we het nu leren kennen grafische weergave complexe getallen .

Heren, kijk eens naar figuur 2. Dit is precies het idee dat daar wordt weergegeven.

Figuur 2 - Complex vlak

Dus wat is hier precies het punt? En de truc is dat we een coördinatensysteem nemen en tekenen. Daarin noemen we de X-as Met betrekking tot, en de Y-as is Ik ben. Re is de reële getallenas, enIm is de as van denkbeeldige getallen. Nu op de as Met betrekking tot we zetten de waarde opzij A en op de as Ik ben- maat B ons complexe getal z. Als resultaat krijgen we een punt op het complexe vlak met coördinaten (A,B). En nu kunnen we een straalvector tekenen vanaf de oorsprong tot dit punt. Eigenlijk kan deze vector als een complex getal worden beschouwd.

Leuk weetje: laten we ons dat eens voorstellen B gelijk is aan 0. Dan blijkt dat het complexe getal degenereert tot het meest gewone, ‘eendimensionale’ getal: het denkbeeldige deel verdwijnt simpelweg. En uiteraard zal de vector in dit geval op de as liggen Met betrekking tot. Dat wil zeggen, we kunnen zeggen dat alle cijfers die ons omringen in gewone leven, bevinden zich op de as Met betrekking tot, en een complex getal gaat verder dan deze as en verlegt op de een of andere manier de grenzen. Nou, laten we hier niet dieper op ingaan.

Laten we dieper op iets anders ingaan. Namelijk: hoe kunnen complexe getallen anders worden weergegeven? We zijn zojuist tot de conclusie gekomen dat een complex getal in wezen een vector is. En de vector kan worden gekarakteriseerd lengte en hellingshoek bijvoorbeeld naar de X-as. Deze twee parameters bepalen immers volledig elke vector, op voorwaarde dat we natuurlijk een tweedimensionale ruimte hebben. Voor een volume of een multidimensionale ruimte (wat een gruwel) is dit niet waar, maar voor een tweedimensionale ruimte wel. Laten we dit nu wiskundig uitdrukken. Laten we nu aannemen dat we de lengte van de vector kennen (laten we deze noemen | z|) en hoek φ 1 .

Wat kunnen we uit deze kennis halen? Over het algemeen best veel. In feite kennen we de hypotenusa van een rechthoekige driehoek en een van zijn hoeken, dat wil zeggen, volgens sommige meetkundige stellingen, een rechthoekige driehoek volledig gedefinieerd. Dus laten we zijn benen zoeken A En B:

Heren, kunnen we nu een klein trucje met onze oren doen? Herinner je je de algebraïsche notatie voor een complex getal? Nou, deze

Laten we het hier plaatsen A En B, weergegeven door sinussen en cosinussen. Wij krijgen

We hebben een interessante uitdrukking. Uitdrukking van de vorm

genaamd trigonometrisch manier om een ​​complex getal te schrijven. Het is goed als we de lengte van onze vector weten |z| en de hellingshoek φ 1. Als het op elektrotechniek aankomt, verandert de lengte van de vector plotseling in de amplitude van het signaal, en wordt de hellingshoek de fase van het signaal. Houd er overigens rekening mee dat de trigonometrische vorm van het schrijven van een complex getal enigszins in de buurt komt van de trigonometrische cirkel die we aan het begin van het artikel hebben getekend. Maar op deze gelijkenis komen we later terug.

Heren, nu moeten we gewoon kennis maken met de laatste vorm van het schrijven van een complex getal - indicatief. Om dit te doen, moet je de zogenaamde kennen Eulers formule. Met uw toestemming zal ik niet ingaan op de afleiding van deze formule en nagaan waar deze vandaan komt. Dit valt iets buiten het bestek van het artikel en bovendien zijn er veel bronnen waar ze je ongetwijfeld veel professioneler over de afleiding van deze formule zullen vertellen dan ik kan. Wij presenteren u eenvoudigweg het eindresultaat. De formule van Euler ziet er dus zo uit

Waar e- Dit exponent of, zoals het ook wel wordt genoemd, de exponentiële functie. Voor wiskundigen is dit een bepaalde limiet wanneer iets naar oneindig neigt, of, in eenvoudige bewoordingen, naar een gewoon getal

Ja, slechts twee komma zeven.

Vergelijk nu de formule van Euler met de trigonometrische notatie van een complex getal. Merk je geen interessante overeenkomsten? Door deze twee uitdrukkingen te kruisen, kunnen we precies krijgen indicatief complexe getalvorm:

Vreemd genoeg wordt deze lastige notatie in de elektrotechniek niet zo zelden gebruikt.

We maakten dus kennis met de belangrijkste opties voor het schrijven van complexe getallen. Laten we nu geleidelijk naar onze favoriete elektrotechniek gaan. Laten we de wet van verandering in cosinusspanning opschrijven.

We hebben deze wet al meerdere keren opgeschreven, bijvoorbeeld in het allereerste artikel over wisselstroom. Het is waar dat er een sinus was, en hier een cosinus, maar dit verandert wezenlijk niets, het is alleen dat de cosinus iets handiger is voor uitleg.

En nu aandacht, heren. Een zeer slimme opeenvolging van acties.

Ten eerste houdt niemand ons tegen om de cosinus te beschouwen die voorkomt in deze uitdrukking op de trigonometrische cirkel die we in figuur 1 helemaal aan het begin van het artikel hebben getekend. En wat? Waarom niet? Laten we ons voorstellen dat een vector Ben, gelijk aan de amplitude van onze cosinusspanning, roteert naar binnen rechthoekig systeem coördinaten met cirkelfrequentie ω . En dan, vanwege de hierboven genoemde omstandigheden, zal de projectie ervan op de X-as precies onze wet schetsen v(t). Er lijkt nog geen vangst te zijn.

Laten we verder kijken. Op de X-as tekent de projectie onze tijdfunctie, en de Y-as wordt nog helemaal niet gebruikt. En zodat ze niet alleen maar stil zou blijven staan ​​- Laten we aannemen dat dit niet zomaar een as isY, een denkbeeldige getallenas . Dat wil zeggen: we introduceren nu diezelfde complexe ruimte. In deze ruimte, bij het roteren van de vector Ben(vectoren worden meestal aangegeven met een letter met een punt of een pijl erbovenop) terwijl de projectie ervan op de X-as een cosinus tekent, zullen we op de Y-as een sinusfunctie tekenen. De hele truc is dat we nu als het ware de trigonometrische cirkel kruisen met het complexe vlak. En als resultaat krijgen we zoiets als wat wordt weergegeven in Figuur 3 (de afbeelding is klikbaar).

Figuur 3 - Weergave van spanning op het complexe vlak

Wat zien we erop? Eigenlijk waar we het net over hadden. Een vector die even lang is als de amplitude van onze spanning roteert in het coördinatensysteem, en de cosinuswet verschijnt op de X-as (die Re is) (deze valt volledig samen met ons signaal v(t)). En op de Y-as (die Im is) komt de sinuswet naar voren. Totaal gebaseerd op het bovenstaande ons oorspronkelijke signaal

we kunnen vertegenwoordigen in trigonometrische vorm zoals dit

of binnen demonstratieve vorm zoals dit

Laten we ons nu voorstellen dat we geen cosinussignaal hebben, maar een sinusvormig signaal. Op de een of andere manier raakten we er meer aan gewend. Dat wil zeggen, laat de spanning veranderen volgens deze wet

Laten we alle redeneringen op een vergelijkbare manier uitvoeren. Het enige verschil zal zijn dat ons signaal nu op de denkbeeldige Im-as wordt ‘getrokken’, en dat de Re-as failliet lijkt te zijn. Maar als we complexe ruimte introduceren, krijgen we plotseling de complexe signaalnotatie dit geval precies hetzelfde als voor het cosinusgeval. Namelijk voor het signaal

we kunnen een complexe representatie schrijven in trigonometrische vorm zoals dit

of binnen demonstratieve vorm zoals dit

Dat blijkt de complexe weergave voor het geval van een sinus- en cosinussignaal heeft dezelfde vorm. Dit is overigens vrij duidelijk als je bedenkt dat wanneer een vector rond een cirkel draait, zowel de sinus als de cosinus tegelijkertijd op verschillende assen verschijnen. En het complexe getal zelf beschrijft precies deze roterende vector en bevat dus informatie over zowel de X- als de Y-as.

Laten we nu teruggaan en ons voorstellen dat we van sommige gegevens een verslag hebben complex signaal in de vorm

Of bijvoorbeeld in deze vorm

Hoe begrijp je wat het beschrijft: sinus of cosinus? Het antwoord is nee. Hij beschrijft beide tegelijk. En als we dat hebben gedaan cosinus signaal dan moeten we nemen geldig onderdeel van dit complexe signaal, en of sinusoïdaal - denkbeeldig. Dat is voor het cosinusgeval het ziet er ongeveer zo uit:

of zo

A voor het geval van sinus het ziet er zo uit

of zo

Hier Met betrekking tot() En Ik ben()- functies voor het nemen van het reële of imaginaire deel van een complex getal. Ze zijn overigens in veel wiskundige CAD-systemen gedefinieerd en kunnen in deze vorm direct worden gebruikt. Dat wil zeggen, geef ze een complex getal door en ontvang het reële of denkbeeldige deel als uitvoer.

U vraagt ​​zich misschien af: waarom de zaken zo ingewikkeld maken? Wat is het voordeel hiervan? Wat is de winst? Natuurlijk is er winst, maar we zullen er later in de volgende artikelen over praten. Dat is alles voor vandaag, heren. Bedankt voor het lezen en tot ziens!

Sluit je aan bij onze

De term complex getal (hierna in de tekst - CN) wordt gebruikt om uitdrukkingen van de volgende typen aan te duiden: ċ=а+jb, waarin de index "ċ" wordt gebruikt om CN aan te duiden, en "a" en "b" laat de echte en denkbeeldige delen zien. Betekenis "J" geeft de denkbeeldige eenheid aan en is gelijk aan √(-1) .

IN Engels in één woord Echt het is gebruikelijk om de werkelijkheid en de term te karakteriseren Denkbeeldig- denkbeeldige eigenschappen. Uit deze woorden zijn de aanduidingen ontstaan Re en ik, die worden gebruikt om hoeveelheden uit te drukken "A" En "B" op de volgende manier:

a=Re(c), b=Im(c).

Om de CN geometrisch in vectorvorm weer te geven, wordt een complex vlak gebruikt. De horizontale as is gemarkeerd met het teken +1 , en de verticale is gesymboliseerd +j. De term reëel (minder vaak reëel) deel wordt gebruikt om de horizontale as te benoemen, en voor het verticale - denkbeeldige.

Beide componenten (reëel en denkbeeldig) van de CN zijn rechthoekige projecties van de vector op de overeenkomstige assen.

In de gepresenteerde grafiek de waarde с=|ċ| wordt de CN-module genoemd en is gelijk aan de lengte van de vector. Een andere parameter die de positie van de straalvector bepaalt, is de rotatiehoek α ten opzichte van de as +1 naar huidige situatie ċ , beschouwd als een argument. α=arqċ.

De benen van een driehoek worden weergegeven door de relaties:

a=cosα, b=csinα.

Door de trigonometrische vorm te gebruiken om de CN uit te drukken, kan deze worden weergegeven als:

ċ=с(cosα+jsinα).

Met behulp van de formule van Euler e jα = cosα+jbsinα, kunt u de moduluswaarde in exponentiële vorm krijgen ċ=сe ja.

In polaire vorm ziet de uitdrukking er als volgt uit:

ċ=с∠α.

De positie van de eenheidsvector kan worden weergegeven op het complexe vlak:

De denkbeeldige eenheid heeft de volgende eigenschappen:

j=e j90° , j 2 =-1=e j180° , j 3 =jj 2 =-j=e j270° =e -j90° ,
j 4 =j 2 j 2 =1=e j0 =e j2Π , 1/J=1j/Jj=J/-1=-j.

Het concept van conjugatie is van toepassing op CN. Het zijn die getallen die qua moduli en argumenten even groot zijn, maar dat wel hebben verschillende tekens bij de argumenten.

ċ=a+jb=ce jα , ĉ=a-jb=ce jα.

Uit de grafiek blijkt duidelijk dat de door de vectoren weergegeven CN's symmetrisch zijn ten opzichte van de horizontale as.

CC en wiskundige bewerkingen. Om ze op te tellen of af te trekken, wordt een invoer gemaakt in een algebraïsche uitdrukking:

ċ=ċ 1 +ċ 2 =(a 1 +jb 1)+(a 2 +jb 2)=(a 1 +a 2)+j(b 1 +b 2)=a+jb.

In deze relatie worden de denkbeeldige en reële componenten afzonderlijk samengevat: a=een 1 +a 2, b=b 1 +b 2.

Deze algebraïsche optellingen van getallen drukken de optelling van hun overeenkomstige vectoren uit.

Wanneer u de optelling van geconjugeerde getallen uitvoert, kunt u merken dat hun som wordt uitgedrukt in de dubbele waarde van de reële component:

ċ+ĉ=(a+jb)+(a-jb)=2a.

CN-uitdrukkingen in exponentiële vorm zijn handig voor het uitvoeren van vermenigvuldigen of delen. Tegelijkertijd worden hun modules vermenigvuldigd of verdeeld, de waarden van de argumenten worden opgeteld of afgetrokken.

ċ=ċ 1 ċ 2 =c 1 e jα1 c 2 e jα2 =c 1 c 2 e j(α1+α2) =ce jα ;
ċ=ċ 1 /ċ 2 =c 1 e jα1 /c 2 e jα2 =c 1 e j(α1-α2) /c 2 =ce jα .

In expressie с=с 1 /с 2 , α= α 1 -α 2.

Het is gemakkelijk in te zien dat wanneer vermenigvuldiging plaatsvindt, de lengte van de vector toeneemt vanaf 2, en het argument is de waarde een 2. Bij het representeren van CN’s door vectoren wordt een regelmaat waargenomen: een vector vermenigvuldigen met CN’s van de vorm een ja het is voldoende om de vector uit te rekken Aéén keer en draai hem in een hoek α .

Om het product van geconjugeerde getallen te berekenen, volstaat het om het kwadraat van hun modulus te nemen:

ċĉ=(a+jb)(a-jb)=a 2 +b 2, of ċĉ=сe jα сe -jα =с 2.

Om CN's onder bepaalde omstandigheden te vermenigvuldigen en te delen, is het handig om hun algebraïsche uitdrukking te gebruiken. Bij dit soort acties worden acties uitgevoerd volgens de wetten van de vermenigvuldiging van polynomen en rekening houdend met de waarde j2 =-1.

ċ=ċ 1 ċ 2 =(a 1 +jb 1)(a 2 +jb 2)=(a 1 een 2 -b 1 b 2)+j(b 1 een 2 +a 1 b 2).

Om getallen te delen, volstaat het om de waarde van j in de noemeruitdrukking te verwijderen door de noemer en de teller te vermenigvuldigen met dezelfde uitdrukking van de geconjugeerde noemer:

ċ=ċ 1 /ċ 2 =((a 1 +jb 1)/(a 2 +jb 2))((a 2 -jb 2)/(a 2 -jb 2))=((a 1 een 2 + b 1 b 2)+(b 1 een 2 -a 1 b 2))/(a 2 2 +b 2 2)=a+jb;
a=(a 1 een 2 +b 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2);
b=(b 1 een 2 -a 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2).

De grafieken van de geconstrueerde vectordiagrammen kunnen het volgende beeld hebben:

Gebruik de relatie om de huidige waarde uit te drukken met een sinusoïdale vorm ik=Imsin(ωt+ψ), die wordt gebruikt om een ​​vector met lengte op het complexe vlak weer te geven Ik ben en hellingshoek ψ naar de horizon. Zijn uitdrukking Im=Imejψ wordt beschouwd als de complexe amplitude voor de stroom. weergegeven door een grafiek:

Om de effectieve waarde voor de stroom te verkrijgen, moet de complexe amplitude worden gedeeld door √2 .

İ=İm/√2=e jψ Im/√2 =Ie jψ .

Bij elektrotechniek hoofdletters met stippen erboven (E, U, ik) worden gebruikt om CN's aan te duiden die de sinusoïdale afhankelijkheid van EMF, spanning en stroom op tijd uitdrukken.

De aanduiding van complexe geleiding en weerstand is gemaakt in hoofdletters Y En Z, kleine letters worden gebruikt om hun modules weer te geven bij En z. Aanduiding geïntegreerde kracht uitgevoerd door het symbool S met tilde-pictogram "҇" eroverheen.

Elektrische stroom, stroomdichtheid, elektrische spanning, energie wanneer stroom vloeit, elektrisch stroomvermogen
• Elektrische stroom
  Elektrische stroom is een fenomeen van geordende beweging elektrische ladingen. De richting van de elektrische stroom wordt beschouwd als de bewegingsrichting van positieve ladingen.

  Formule elektrische stroom:
  
  Elektrische stroom wordt gemeten in ampère. SI: A.
  Elektrische stroom wordt aangegeven in Latijnse letters i of I. Symbool Het) geeft de "momentane" waarde van de stroom aan, d.w.z. stroom van welk type dan ook, op elk moment. In een bepaald geval kan het constant of variabel zijn.
  
  Hoofdletters Latijnse brief I In de regel wordt een constante stroomwaarde aangegeven.
  In elk gebied van onvertakt elektrisch circuit er vloeit een stroom van gelijke grootte, die direct evenredig is met de spanning aan de uiteinden van de sectie en omgekeerd evenredig met de weerstand ervan. De huidige waarde wordt bepaald door de wet van Ohm:
  1) voor ketting gelijkstroom
  2) voor AC-circuit,
  Waar U- spanning, IN;
  R- ohmse weerstand, Ohm;
  Z- totale weerstand, Ohm.
  Ohmse weerstand van de geleider:
  ,
  Waar l- lengte van de geleider, M;
  S- dwarsdoorsnede, mm2;
  ρ - weerstand, (Ohm mm2)/m.
  Afhankelijkheid van ohmse weerstand van temperatuur:
  Rt = R 20,
  Waar € 20,-- weerstand bij 20°C, Ohm;
  Rt- weerstand bij t°C, Ohm;
  α - temperatuurweerstandscoëfficiënt.
  Impedantie AC-circuit:
  ,
  waar is actief verzet, Ohm;
  - inductieve reactantie, Ohm;
  - inductie, Gn;
  - capaciteit, Ohm;
  - capaciteit, F.
  Actieve weerstand is groter dan ohmse weerstand R:
  ,
  waar is een coëfficiënt die rekening houdt met de toename van de weerstand bij wisselstroom, afhankelijk van: stroomfrequentie; magnetische eigenschappen, geleidbaarheid en geleiderdiameter.
  Bij industriële frequentie worden ze voor niet-stalen geleiders geaccepteerd en overwogen.

• Huidige dichtheid
  Huidige dichtheid ( J) is de stroom berekend per eenheid dwarsdoorsnedeoppervlak ( S)
  .
  Om de stroomdichtheid uniform te verdelen en uit te lijnen met de normaal op het oppervlak waar de stroom doorheen vloeit, heeft de formule voor de stroomdichtheid de volgende vorm:
  ,
  Waar I- stroomsterkte door de doorsnede van de geleider met oppervlakte S.
  SI: A/m2
• Elektrische spanning
  Wanneer stroom vloeit, zoals bij elke beweging van ladingen, vindt er een proces van energieconversie plaats. Elektrische spanning is de hoeveelheid energie die nodig is om een ​​ladingseenheid van het ene punt naar het andere te verplaatsen.
  Formule elektrische spanning:
  
  Elektrische spanning wordt aangegeven met een Latijnse letter u. Symbool jij(t) geeft de “momentane” spanningswaarde aan, en met een Latijnse hoofdletter U In de regel wordt een constante spanning aangegeven.
  Elektrische spanning wordt gemeten in volt. SI: IN.
• Energie als er elektrische stroom vloeit
  Formule voor energie wanneer elektrische stroom vloeit:
  
  SI: J
• Vermogen als er elektrische stroom vloeit
  Vermogensformule wanneer elektrische stroom vloeit:
  
  SI: W.

Elektrisch circuit
• Elektrisch circuit- een reeks apparaten die zijn ontworpen om elektrische stroom er doorheen te laten stromen.
  Deze apparaten worden circuitelementen genoemd.
• Bronnen elektrische energie - apparaten die converteren verschillende soorten energie, zoals mechanisch of chemisch, in elektrische energie.
• Ideale spanningsbron- een bron waarvan de klemspanning niet afhankelijk is van de grootte van de stroom die er doorheen vloeit.
  
  De interne weerstand van een ideale spanningsbron kan op conventionele wijze worden bepaald gelijk aan nul.
• Ideale stroombron- een bron, waarvan de grootte van de stroom die er doorheen vloeit niet afhankelijk is van de spanning op de aansluitingen.
  
  Er kan conventioneel worden aangenomen dat de interne weerstand van een dergelijke bron gelijk is aan oneindig.
• Ontvanger is een apparaat dat energie verbruikt of elektrische energie omzet in andere soorten energie.
• Netwerk met twee terminals is een circuit met twee aansluitklemmen (polen).
• Ideaal R-element (weerstandselement, weerstand)- dit is een passief circuitelement waarin het onomkeerbare proces van het omzetten van elektrische energie in thermische energie plaatsvindt.
  De belangrijkste parameter van een weerstand is de weerstand.
  
  Weerstand wordt gemeten in ohm. SI: Ohm
  Geleidbaarheid is het omgekeerde van weerstand.
  .
  Geleidbaarheid wordt gemeten in Siemens. SI: Cm.
  Krachtformule van R-element:
  .
  R-element energieformule:
  .
• Ideaal C-element (capacitief element of condensator)- dit is een passief circuitelement waarin het proces van het omzetten van de energie van elektrische stroom in energie plaatsvindt elektrisch veld en omgekeerd. In een ideale C-cel is er geen energieverlies.
  Capaciteitsformule:
  . Voorbeelden: , .
  Capaciteitsstroom:
  
  Capaciteitsspanning:
  .
  Afkoopwet voor een capacitief element. Bij een stroom met eindige amplitude kan de lading op het C-element niet abrupt veranderen: .
  .
  Bij een constante capaciteit kan de spanning op het capacitieve element niet abrupt veranderen: .
  C-celvermogen: .
  Bij p > 0- energie wordt opgeslagen wanneer P< 0
  C-element energie:
  , of
  .
  
  
  Capaciteit wordt gemeten in farads. SI: F.
• Ideaal L-element (inductief element of inductor)- dit is een passief element waarin het proces plaatsvindt van het omzetten van de energie van elektrische stroom in de energie van een magnetisch veld en omgekeerd. In een ideaal L-element is er geen energieverlies.
  Voor een lineair L-element is de inductantieformule ( L) heeft de vorm:
  ,
  waar is fluxkoppeling.
  Inductantie wordt aangegeven met een letter en speelt de rol van een evenredigheidscoëfficiënt tussen flux en stroom.
  Spanning op het inductieve element:
  .
  Stroom in het inductieve element:
  .
  Afkoopwet voor een inductief element. Bij een spanning met een eindige amplitude kan de fluxkoppeling niet abrupt veranderen: .
  .
  Bij een constante inductie kan de stroom in het inductieve element niet abrupt veranderen: .
  Vermogen L-element: .
  Bij p > 0- energie wordt opgeslagen wanneer P< 0 - energie keert terug naar de bron.
  L-element energie:
  , of
  .
  Als op dat moment de energie 0 is, dan
  
  Inductantie wordt gemeten in henries. SI: Gn
  Voorbeeld: .
• R, L, C— passieve tweepolige basiselementen van elektrische circuits.
  
  

Basiswetten van elektrische circuits
• De wet van Ohm voor een circuitgedeelte dat geen EMF-bron bevat.
  De wet van Ohm voor een circuitgedeelte dat geen EMF-bron bevat, legt in dit gedeelte een verband vast tussen stroom en spanning.
  
  Met betrekking tot deze figuur heeft de wiskundige uitdrukking van de wet van Ohm de vorm:
  , of
  Deze gelijkheid is als volgt geformuleerd: bij een constante weerstand van de geleider is de spanning daarop evenredig met de stroom in de geleider.
• De wet van Ohm voor een circuitgedeelte dat een EMF-bron bevat
  Voor circuit
  
  
  .
  Voor circuit
  
  
  .
  In het algemeen
  .
• De wet van Joule-Lenz. Energie die vrijkomt bij de weerstand R als er stroom doorheen vloeit I, is evenredig met het product van het kwadraat van de stroom en de weerstandswaarde:
  
• De wetten van Kirchhoff.
  Topologie (structuur) van het circuit.
  Elektrisch schema — grafisch beeld elektrisch circuit.
  Tak- een gedeelte van een circuit dat een of meer elementen bevat die in serie zijn geschakeld en tussen twee knooppunten zijn ingesloten.
  Knoop- het punt van de keten waar minstens drie takken samenkomen. De knooppunten zijn willekeurig genummerd, meestal met een Arabisch cijfer. In het diagram kan een knooppunt al dan niet worden aangegeven met een punt. In de regel worden die knooppunten waarvan de locatie voor de hand ligt (T-vormige verbindingen) niet aangegeven. Als kruisende takken een knooppunt vormen, wordt dit aangegeven met een punt. Als er geen punt is op het snijpunt van de takken, dan is er geen knooppunt (de draden liggen op elkaar).
  Circuit- een gesloten pad dat door verschillende takken loopt. Paden zijn onafhankelijk als ze op ten minste één tak verschillen. De contour wordt aangegeven door een pijl met de aangegeven looprichting en een Romeins cijfer. De richting van de bypass wordt willekeurig gekozen. Er kunnen veel onafhankelijke circuits in een circuit zijn, maar niet al deze circuits zijn nodig om een ​​voldoende aantal vergelijkingen samen te stellen om het probleem op te lossen.
  
  
  1) de algebraïsche som van de stromen die naar een willekeurig circuitknooppunt stromen, is gelijk aan nul:
  ;
  
  2) de som van de stromen die naar een knooppunt vloeien is gelijk aan de som van de stromen die uit het knooppunt stromen:
  . .
  De tweede wet van Kirchhoff:
  1) de algebraïsche som van de spanningsdalingen in elk gesloten circuit is gelijk aan de algebraïsche som van de emf langs hetzelfde circuit:
  
  2) de algebraïsche som van spanningen (geen spanningsdalingen!) langs elk gesloten circuit is gelijk aan nul:
  . .
• Matrixvorm voor het schrijven van de vergelijkingen van Kirchhoff:
  ,
  Waar A, IN- coëfficiënten voor stromen en spanningen van de orde p x p (P- aantal circuitvertakkingen; Q- aantal circuitknooppunten);
  I, E- onbekende stromingen en gegeven EMF
  Matrix-elementen A zijn de coëfficiënten voor stromen aan de linkerkant van de vergelijkingen samengesteld volgens de eerste en tweede wet van Kirchhoff. Eerste rijen van de matrix A bevatten coëfficiënten voor stromen in vergelijkingen die zijn samengesteld volgens de eerste wet van Kirchhoff, en hebben elementen +1, -1, 0, afhankelijk van het teken waarmee gegeven stroom in de vergelijking.
  Elementen van de volgende matrixrijen A zijn gelijk aan de weerstandswaarden bij de overeenkomstige stromen in de vergelijkingen opgesteld volgens de tweede wet van Kirchhoff, met het bijbehorende teken. Matrix-elementen IN zijn gelijk aan de coëfficiënten voor de EMF aan de rechterkant van de vergelijkingen die zijn samengesteld volgens de wetten van Kirchhoff. De eerste rijen van de matrix hebben nul elementen, omdat er geen EMF is aan de rechterkant van de vergelijkingen die zijn geschreven volgens de eerste wet van Kirchhoff. De overige regels bevatten de elementen +1, -1 afhankelijk van het teken van de EMF in de vergelijking, en 0 als de EMF niet in de vergelijking is opgenomen.
  De algemene oplossing van vergelijkingen samengesteld volgens de wetten van Kirchhoff:
  ,
  Waar — geleidbaarheidsmatrix.
  .
  Stromingen in elke tak:
  ;
  ;
  
  .
Bedrijfsmodi van elektrische circuits
• Nominale bedrijfsmodus van een elektrisch circuitelement- dit is de modus waarin het werkt met nominale parameters.
• Overeengekomen modus is een modus waarin de stroom wordt geleverd door de bron of verbruikt door de ontvanger maximale waarde. Deze waarde wordt verkregen met een bepaalde verhouding (coördinatie) van de parameters van het elektrische circuit.
• Modus stationair toerental - dit is een modus waarin er geen stroom door de bron of ontvanger is elektrische stroom. In dit geval geeft de bron geen energie vrij buitenste deel circuit, en de ontvanger verbruikt het niet. Voor de motor is dit een modus zonder mechanische belasting in bulk.
• Modus kortsluiting - dit is een modus die optreedt wanneer verschillende aansluitingen van een bron of passief element, evenals een gedeelte van een elektrisch circuit dat onder spanning staat, met elkaar zijn verbonden.
Gelijkstroom elektrische circuits
• Als de stroom constant is, is er geen sprake van zelfinductie en de spanning over de spoel is nul:
  , omdat
• Gelijkstroom gaat niet door de capaciteit.
• is een circuit met één bron in serie, parallel of gemengde verbinding ontvangers.
  
  Bij seriële verbinding ontvangers:
  I×R-eq;
  R eq = ΣR ik.
  Bij het parallel aansluiten van ontvangers is de spanning op alle ontvangers hetzelfde.
  Volgens de wet van Ohm zijn de stromen in elke tak:
  .
  Volgens de eerste wet van Kirchhoff totale stroom:
  E×G-eq;
  G eq =G 1 +G 2 +…+G n; R eq = 1/G eq.
  Voor een gemengde aansluiting:
  R eq =.
• Lusstroommethode.
  De methode is gebaseerd op de toepassing van de tweede wet van Kirchhoff en maakt het mogelijk de berekening te beperken complexe systemen aantal op te lossen vergelijkingen.
  In onderling onafhankelijke circuits, waarbij voor elk circuit ten minste één tak alleen in dit circuit is opgenomen, wordt rekening gehouden met voorwaardelijke circuitstromen in alle takken van het circuit.
  Lusstromen hebben, in tegenstelling tot aftakstromen, de volgende indices: of
  De vergelijkingen zijn opgesteld volgens de tweede wet van Kirchhoff voor lusstromen.
  Aftakstromen worden uitgedrukt via lusstromen volgens de eerste wet van Kirchhoff.
  Het aantal geselecteerde contouren en het aantal opgeloste vergelijkingen is gelijk aan het aantal vergelijkingen samengesteld volgens de tweede wet van Kirchhoff: .
  De som van de weerstanden van alle weerstandselementen van elk circuit met een plusteken is een coëfficiënt voor de circuitstroom en heeft de volgende indices: of
  Het teken van de coëfficiënt voor de stroom van aangrenzende circuits hangt af van het samenvallen of niet overeenkomen van de richting van aangrenzende circuitstromen. EMF wordt in de vergelijking ingevoerd met een plusteken als de richtingen van de EMF en de richting van de circuitstroom samenvallen. .
• Nodale potentiële methode.
  De methode is gebaseerd op de toepassing van de eerste wet van Kirchhoff en maakt het mogelijk het aantal vergelijkingen dat moet worden opgelost bij het vinden van onbekende stromen te verminderen. Bij het opstellen van vergelijkingen wordt het potentieel van een van de knooppunten van het circuit gelijk gesteld aan nul, en worden de stromen van de takken uitgedrukt door de onbekende potentiëlen van de resterende knooppunten van het circuit en worden er vergelijkingen voor geschreven volgens Kirchhoff's eerste wet. Door een systeem van vergelijkingen op te lossen, kun je onbekende potentiëlen bepalen en daarmee de vertakkingsstromen vinden.
  When http:="" title="U_(12)=(sum(i=1)(m)(E_i/R_i))/(sum(i=1)(n)(1/R_i) )=(som(i=1)(m)(E_i*G_i))/(som(i=1)(n)(G_i))">.!}
  .
• Methode van proportionele grootheid.
  De methode wordt gebruikt om onbekende stromen te vinden in de kettingverbinding van weerstandselementen in elektrische circuits met één bron. Stromen en spanningen, evenals de bekende EMF van het circuit, worden uitgedrukt door de stroom van de tak die het verst van de bron verwijderd is. Het probleem komt neer op het oplossen van één vergelijking met één onbekende.
• Machtsbalans
  Gebaseerd op de wet van behoud van energie, moet het vermogen dat door elektrische energiebronnen wordt ontwikkeld gelijk zijn aan het vermogen van de omzetting van elektrische energie in andere soorten energie in het circuit:
  .
  — de som van de door de bronnen ontwikkelde capaciteiten;
  – de som van de krachten van alle ontvangers en onomkeerbare energietransformaties binnen de bronnen.
  Om de juistheid van de gevonden oplossing te controleren wordt een machtsbalans opgemaakt. In dit geval wordt het vermogen dat door energiebronnen aan het circuit wordt bijgedragen, vergeleken met het vermogen dat door consumenten wordt verbruikt.
  Vermogensformule voor één weerstand:
  
  Totale macht van consumenten:
  P P=
  Bronvermogen:
  P-bron = P E + P J,
  Waar PE = ±EI- stroom EMF-bron(bepaald door de EMF te vermenigvuldigen met de stroom die in een bepaalde tak vloeit. De stroom wordt genomen met het teken dat is verkregen als resultaat van de berekening. Er wordt een minteken vóór het product geplaatst als de richting van de stroom en de EMF niet overeenkomen vallen samen in het diagram);
  PJ = JUJ— vermogen van de stroombron (bepaald door de bronstroom te vermenigvuldigen met de spanningsval erover).
  Om UJ te bepalen, selecteert u een circuit dat een stroombron bevat. Geef herfst aan U J op het circuit tegen de bronstroom, en schrijf de lusvergelijking. Alle hoeveelheden behalve U J, in deze vergelijking zijn al bekend, wat het mogelijk maakt om de spanningsval te berekenen U J.
  Vermogensvergelijking: P-bron = P P. Als aan gelijkheid wordt voldaan, is het saldo correct en is de huidige berekening correct.
• Algoritme voor het berekenen van een circuit volgens de wetten van Kirchhoff
  1. We zetten willekeurig de aantallen en richtingen van onbekende stromen in het diagram.
  2. We markeren willekeurig de knooppuntnummers op het diagram.
  3. We stellen knooppuntvergelijkingen op voor willekeurig geselecteerde knooppunten (volgens de eerste wet).
  4. We markeren de contouren op het diagram en selecteren de richtingen om er omheen te gaan.
  5. Het aantal aangewezen contouren is gelijk aan het aantal vergelijkingen dat is samengesteld volgens de tweede wet van Kirchhoff. In dit geval mag geen van de circuits een aftakking met een stroombron bevatten.
  6. We stellen contourvergelijkingen op voor de geselecteerde contouren (volgens de tweede wet).
  7. We combineren de samengestelde vergelijkingen tot een systeem. Bekende hoeveelheden maken we over naar rechterkant vergelijkingen. We voeren de coëfficiënten voor de gewenste stromen in de matrix in A(linkerkant van vergelijkingen) (lees over matrices). Het invullen van de matrix F, door de rechterkant van de vergelijkingen erin in te voeren.
  8. We lossen het resulterende stelsel vergelijkingen op ().
  9. Wij controleren de juistheid van de oplossing door een machtsbalans op te maken.
     Voorbeeld: .
AC-elektrische circuits
• Elektrisch circuit van sinusoïdale stroom is een elektrisch circuit waarin EMF, spanningen en stromen variëren volgens een sinusoïdale wet:
  
• AC is een stroom die periodiek van grootte en richting verandert en wordt gekenmerkt door amplitude, periode, frequentie en fase.
• AC-stroomamplitude- Dit hoogste waarde, positief of negatief, ontvangen door wisselstroom.
• Periode- dit is de tijd waarin een volledige oscillatie van de stroom in de geleider optreedt.
• Frequentie is het omgekeerde van de periode.
• Fase is de hoek of onder het sinusteken. Fase karakteriseert de toestand van wisselstroom in de loop van de tijd. Bij T=0-fase wordt de beginfase genoemd.
• Periodieke modus: . Deze modus kan ook als sinusoïdaal worden geclassificeerd:
  ,
  waar is de amplitude;
  — beginfase;
  — hoeksnelheid van de generatorrotor.
  Bij F= 50Hz rad/s.
• Sinusvormige stroom- dit is een stroom die in de loop van de tijd verandert volgens een sinusoïdale wet:
  .
• Gemiddelde waarde van sinusoïdale stroom (EMF, spanning), formule:
  ,
  dat wil zeggen, de gemiddelde waarde van de sinusoïdale stroom is gelijk aan amplitude één. Insgelijks,
  .
• Effectieve waarde van sinusoïdale stroom (EMF, spanning), formule:
  . Insgelijks,
  .
• De hoeveelheid warmte die in één periode vrijkomt door een sinusoïdale stroom, formule:
  .
  Effectieve waarde van sinusoïdale stroom I is numeriek gelijk aan de waarde van een dergelijke gelijkstroom, die in een tijd gelijk aan de periode van de sinusoïdale stroom dezelfde hoeveelheid warmte vrijgeeft als de sinusoïdale stroom.
  =R×I post 2×T of Ik post=I=
• Sinusvormige huidige topfactor (κ a) is de verhouding van de amplitude van de sinusoïdale stroom tot de effectieve waarde van de sinusoïdale stroom: .
• Sinusvormige stroomvormfactor (κ f) is een houding effectieve waarde sinusoïdale stroom tot de gemiddelde waarde van de sinusoïdale stroom over een halve periode:
  κ f=.
  Voor niet-sinusvormige periodieke stromen κ een≠, κ f≠1,11. Deze afwijking geeft indirect aan hoe verschillend de niet-sinusvormige stroom is van de sinusvormige stroom.
Grondbeginselen van een uitgebreide methode voor het berekenen van elektrische circuits
• Elk complex getal kan worden weergegeven:
  a) in algebraïsche vorm
  b) in trigonometrische vorm
  c) in demonstratieve vorm
  waar — Euler's formule;
  d) een vector op het complexe vlak,
  
  waar is de denkbeeldige eenheid;
  — reëel deel van een complex getal (projectie van een vector op de reële as);
  — denkbeeldig deel van een complex getal (projectie van een vector op de denkbeeldige as);
  — modulus van een complex getal;
  — de hoofdwaarde van het argument van een complex getal.
  Opgeloste voorbeelden van bewerkingen op complexe getallen.
• Sinusvormige stroom i .
• Complexe stroomamplitude- een complex getal waarvan de module en het argument respectievelijk gelijk zijn aan de amplitude en de beginfase van de sinusoïdale stroom:
  .
• Complexe stroom (complexe effectieve stroom):
  
  
• Sinusvormige spanning u kan worden toegewezen aan een complex getal .
• Complexe spanningsamplitude- een complex getal waarvan de modulus en het argument respectievelijk gelijk zijn aan de amplitude en de beginfase van de sinusoïdale spanning:
  .
• Complexe weerstand:
  
  Actief verzet in complexe vorm uitgedrukt als een positief reëel getal.
  Reactantie in complexe vorm wordt uitgedrukt in denkbeeldige getallen, en de inductieve reactantie ( XL) is positief en capacitief ( X C) negatief.
  Impedantie van circuitsectie met seriële aansluiting R En X uitgedrukt als een complex getal, echt deel is gelijk aan de actieve weerstand, en het denkbeeldige deel is gelijk aan de reactantie van deze sectie.
• Weerstandsdriehoek:
  
  
  
• Spanningsdriehoek:
  
  
  
  
• Machtsdriehoek:
  
  Totaal vermogen:
  Actief vermogen:
  Reactief vermogen:
  
• De wet van Ohm in complexe vorm:
  .
• De eerste wet van Kirchhoff in complexe vorm:
  .
• De tweede wet van Kirchhoff in complexe vorm:
  .
Resonantieverschijnselen in elektrische circuits
Ideale actieve weerstand is niet afhankelijk van frequentie, inductieve reactantie hangt lineair af van frequentie, capacitieve reactantie hangt af van frequentie volgens de hyperbolische wet:





• Resonantie van spanning.
  Resonantie in elektrische circuits is de modus van een gedeelte van een elektrisch circuit dat inductieve en capacitieve elementen bevat, waarin het faseverschil tussen spanning en stroom nul is.
  Resonantiemodus kan worden verkregen door de frequentie te veranderen ω voedingsspanning of veranderende parameters L En C.
  Bij serieschakeling treedt spanningsresonantie op.
  
  
  De stroom in het circuit is:
  
  Wanneer de stroomvector samenvalt met de spanningsvector in fase:
  
  
  
  waar is de resonantiefrequentie van de spanning, bepaald op basis van de toestand
  
  Dan
  
  Golf- of karakteristieke impedantie van een serieschakeling:
  
  Circuitkwaliteitsfactor is de verhouding van de spanning over de inductantie of capaciteit tot de spanning aan de ingang in resonantiemodus:
  
  De circuitkwaliteitsfactor is de spanningsversterking:
  U Lres=Ik heb X gesneden=
  IN industriële netwerken spanningsresonantie is een noodmodus, omdat een toename van de spanning op de condensator kan leiden tot defecten, en een toename van de stroom kan leiden tot verwarming van de draden en isolatie.
• Resonantie van stromingen.
  
  
  Stroomresonantie kan optreden wanneer reactieve elementen parallel worden geschakeld in wisselstroomcircuits. In dit geval: waar
  
  Dan
  
  Bij de resonantiefrequentie kunnen de reactieve componenten van de geleidbaarheid qua grootte vergelijkbaar zijn en zal de totale geleidbaarheid minimaal zijn. Tegelijkertijd totale weerstand wordt maximaal, de totale stroom is minimaal, de stroomvector valt samen met de spanningsvector. Dit fenomeen wordt stroomresonantie genoemd.
  Golfgeleiding: .
  Bij G<< b L de stroom in de tak met inductie is veel groter dan de totale stroom, daarom wordt dit fenomeen stroomresonantie genoemd.
  Resonantiefrequentie:
  ω* =
  Uit de formule volgt:
  1) de resonantiefrequentie hangt af van de parameters van niet alleen reactieve weerstanden, maar ook actieve weerstanden;
  2) resonantie is mogelijk als R L En R C min of meer ρ , anders zal de frequentie een denkbeeldige grootheid zijn en is resonantie niet mogelijk;
  3) als R L = R C = ρ, dan zal de frequentie een onbepaalde waarde hebben, wat betekent dat resonantie op elke frequentie kan bestaan ​​wanneer de fasen van de voedingsspanning en de totale stroom samenvallen;
  4) wanneer R L = R C<< ρ de resonantiefrequentie van de spanning is gelijk aan de resonantiefrequentie van de stroom.
  Energieprocessen in een circuit tijdens stroomresonantie zijn vergelijkbaar met processen tijdens spanningsresonantie.
  Het reactieve vermogen bij huidige resonantie is nul. gedetailleerd, reactief vermogen beoordeeld

Uit een brief van een klant:
Vertel me in godsnaam waarom het vermogen van de UPS wordt aangegeven in Volt-Amps, en niet in de gebruikelijke kilowatt. Het is erg stressvol. Iedereen is tenslotte al lang gewend aan kilowatt. En het vermogen van alle apparaten wordt voornamelijk aangegeven in kW.
Alexey. 21 juni 2007

De technische kenmerken van elke UPS geven het schijnbare vermogen [kVA] en het actieve vermogen [kW] aan - ze karakteriseren het laadvermogen van de UPS. Voorbeeld, zie onderstaande foto's:

Het vermogen van niet alle apparaten wordt aangegeven in W, bijvoorbeeld:

• Het vermogen van transformatoren wordt aangegeven in VA:
  http://www.mstator.ru/products/sonstige/powertransf (TP-transformatoren: zie bijlage)
  http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (TSGL-transformatoren: zie bijlage)
• Het condensatorvermogen wordt aangegeven in Vars:
  http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (condensatoren K78-39: zie bijlage)
  http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (VK-condensatoren: zie bijlage)
• Voor voorbeelden van overige belastingen, zie onderstaande bijlagen.

De vermogenskarakteristieken van de belasting kunnen alleen nauwkeurig worden gespecificeerd door één enkele parameter (actief vermogen in W) in het geval van gelijkstroom, omdat er in een gelijkstroomcircuit slechts één type weerstand is: actieve weerstand.

De vermogenskarakteristieken van de belasting in het geval van wisselstroom kunnen niet nauwkeurig worden gespecificeerd door één enkele parameter, omdat er in het wisselstroomcircuit twee verschillende soorten weerstand zijn: actief en reactief. Daarom karakteriseren slechts twee parameters: actief vermogen en reactief vermogen de belasting nauwkeurig.

De werkingsprincipes van actieve en reactieve weerstand zijn totaal verschillend. Actieve weerstand - zet elektrische energie onomkeerbaar om in andere soorten energie (thermisch, licht, enz.) - voorbeelden: gloeilamp, elektrische verwarming (paragraaf 39, natuurkunde 11e leerjaar V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Reactantie - accumuleert afwisselend energie en geeft deze vervolgens weer vrij in het netwerk - voorbeelden: condensator, inductor (paragraaf 40,41, Natuurkunde 11e leerjaar V.A. Kasyanov M.: Bustard, 2007).

Verderop in elk leerboek over elektrotechniek kun je lezen dat het actieve vermogen (gedissipeerd door actieve weerstand) wordt gemeten in watt, en het reactieve vermogen (dat circuleert door reactantie) gemeten in vars; Om het belastingsvermogen te karakteriseren, worden nog twee parameters gebruikt: schijnbaar vermogen en arbeidsfactor. Al deze 4 parameters:

1. Actief vermogen: aanduiding P, meeteenheid: Watt
2. Reactief vermogen: aanduiding Q, meeteenheid: VAR(Volt Ampère reactief)
3. Schijnbaar vermogen: aanduiding S, meeteenheid: VA(Volt Ampère)
4. Vermogensfactor: symbool k of cosФ, meeteenheid: dimensieloze hoeveelheid

Deze parameters zijn met elkaar verbonden door de relaties: S*S=P*P+Q*Q, cosФ=k=P/S

Ook cosФ zogenaamde arbeidsfactor ( Machtsfactor – PF)

Daarom worden in de elektrotechniek twee van deze parameters gespecificeerd om het vermogen te karakteriseren, aangezien de rest uit deze twee kan worden gevonden.

Bijvoorbeeld elektromotoren, lampen (ontlading) - daarin. gegevens aangegeven P[kW] en cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (AIR-motoren: zie bijlage)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 (DRL-lampen: zie bijlage)
(voor voorbeelden van technische gegevens voor verschillende belastingen, zie onderstaande bijlage)

Hetzelfde geldt voor voedingen. Hun vermogen (laadvermogen) wordt gekenmerkt door één parameter voor gelijkstroomvoedingen: actief vermogen (W) en twee parameters voor bronnen. AC-voeding. Meestal zijn deze twee parameters schijnbaar vermogen (VA) en actief vermogen (W). Zie bijvoorbeeld de parameters van de dieselgeneratorset en de UPS.

De meeste kantoor- en huishoudelijke apparaten zijn actief (geen of weinig reactantie), dus hun vermogen wordt aangegeven in Watt. In dit geval wordt bij het berekenen van de belasting de UPS-vermogenswaarde in Watt gebruikt. Als de belasting bestaat uit computers met voedingen (PSU's) zonder input power factor correction (APFC), een laserprinter, een koelkast, een airconditioner, een elektromotor (bijvoorbeeld een dompelpomp of een motor als onderdeel van een werktuigmachine ), fluorescentie-voorschakellampen enz. worden alle uitgangen gebruikt bij de berekening. UPS-gegevens: kVA, kW, overbelastingskarakteristieken, etc.

Zie elektrotechnische leerboeken, bijvoorbeeld:

1. Evdokimov F.E. Theoretische grondslagen elektrotechniek. - M.: Uitgeverijcentrum "Academie", 2004.

2. Nemtsov M.V. Elektrotechniek en elektronica. - M.: Uitgeverijcentrum "Academie", 2007.

3. Chastoedov L.A. Elektrotechniek. - M.: Hogere school, 1989.

Zie ook wisselstroom, Machtsfactor, Elektrische weerstand, Reactantie http://en.wikipedia.org
(vertaling: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Sollicitatie

Voorbeeld 1: het vermogen van transformatoren en autotransformatoren wordt aangegeven in VA (Volt Ampère)

http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (TSGL-transformatoren)

Eenfasige autotransformatoren
TDGC2-0,5 kVa, 2A		AOSN-2-220-82
TDGC2-1,0 kVa, 4A	Latr 1.25	AOSN-4-220-82
TDGC2-2,0 kVa, 8A	Latr 2.5	AOSN-8-220-82
TDGC2-3,0 kVa, 12A
TDGC2-4,0 kVa, 16A
TDGC2-5,0 kVa, 20A		AOSN-20-220
TDGC2-7,0 kVa, 28A
TDGC2-10 kVa, 40A		AOMN-40-220
TDGC2-15 kVa, 60A
TDGC2-20 kVa, 80A

http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (LATR / laboratorium autotransformatoren TDGC2)

Voorbeeld 2: het vermogen van condensatoren wordt aangegeven in Vars (Volt Ampère reactief)

http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (condensatoren K78-39)

http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (VK-condensatoren)

Voorbeeld 3: technische gegevens voor elektromotoren bevatten actief vermogen (kW) en cosF

Voor belastingen zoals elektromotoren, lampen (ontlading), computervoedingen, gecombineerde belastingen enz. geven de technische gegevens P [kW] en cosФ (actief vermogen en arbeidsfactor) of S [kVA] en cosФ (schijnbaar vermogen en arbeidsfactor) vermogen).

http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(gecombineerde belasting – stalen plasmasnijmachine / inverter-plasmasnijder LGK160 (IGBT)

http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (PC-voeding)

Bijlage 1

Als de belasting een hoge vermogensfactor heeft (0,8 ... 1,0), benaderen de eigenschappen die van een ohmse belasting. Een dergelijke belasting is ideaal voor zowel de netwerklijn als voor stroombronnen, omdat genereert geen reactieve stromen en vermogens in het systeem.

Daarom hebben veel landen normen aangenomen die de arbeidsfactor van apparatuur reguleren.

Addendum 2

Apparatuur met één belasting (bijvoorbeeld een pc-voedingseenheid) en gecombineerde apparatuur met meerdere componenten (bijvoorbeeld een industriële freesmachine met meerdere motoren, een pc, verlichting, enz.) hebben lage vermogensfactoren (minder dan 0,8) van interne units (bijvoorbeeld een pc-voedingsgelijkrichter of een elektromotor hebben een arbeidsfactor van 0,6 .. 0,8). Daarom heeft de meeste apparatuur tegenwoordig een invoereenheid voor arbeidsfactorcorrectie. In dit geval is de ingangsvermogensfactor 0,9 ... 1,0, wat overeenkomt met wettelijke normen.

Bijlage 3: Belangrijke opmerking over UPS Power Factor en spanningsstabilisatoren

Het laadvermogen van de UPS en dieselgeneratorset is genormaliseerd naar een standaard industriële belasting (vermogensfactor 0,8 met inductief karakter). Bijvoorbeeld UPS 100 kVA / 80 kW. Dit betekent dat het apparaat een ohmse belasting kan leveren met een maximaal vermogen van 80 kW, of een gemengde (reactief-reactieve) belasting met een maximaal vermogen van 100 kVA met een inductieve vermogensfactor van 0,8.

Bij spanningsstabilisatoren is de situatie anders. Voor de stabilisator is de belastingsfactor onverschillig. Bijvoorbeeld een spanningsstabilisator van 100 kVA. Dit betekent dat het apparaat een actieve belasting kan leveren met een maximaal vermogen van 100 kW, of elk ander (puur actief, puur reactief, gemengd) vermogen van 100 kVA of 100 kVAr met elke vermogensfactor van capacitieve of inductieve aard. Merk op dat dit geldt voor een lineaire belasting (zonder hogere harmonische stromen). Bij grote harmonische vervormingen van de belastingsstroom (hoge SOI) wordt het uitgangsvermogen van de stabilisator verminderd.

Aanvulling 4

Illustratieve voorbeelden van puur actieve en puur reactieve belastingen:

• Een gloeilamp van 100 W is aangesloten op een wisselstroomnetwerk van 220 VAC - overal in het circuit is er een geleidingsstroom (door de draadgeleiders en de wolfraamgloeidraad van de lamp). Belastings(lamp)karakteristieken: vermogen S=P~=100 VA=100 W, PF=1 => alles elektrische stroom actief, wat betekent dat het volledig in de lamp wordt opgenomen en wordt omgezet in warmte en lichtkracht.
• Een niet-polaire condensator van 7 µF is verbonden met een wisselstroomnetwerk van 220 VAC - er is een geleidingsstroom in het draadcircuit en er stroomt een biasstroom in de condensator (door het diëlektricum). Kenmerken van de belasting (condensator): vermogen S=Q~=100 VA=100 VAr, PF=0 => alle elektrische stroom is reactief, wat betekent dat het voortdurend circuleert van de bron naar de belasting en weer terug naar de belasting, enz.

Aanvulling 5

Om de overheersende reactantie (inductief of capacitief) aan te geven, wordt aan de arbeidsfactor het teken toegewezen:

+ (plus)– als de totale reactantie inductief is (bijvoorbeeld: PF=+0,5). De stroomfase loopt een hoek Ф achter op de spanningsfase.

- (min)– als de totale reactantie capacitief is (bijvoorbeeld: PF=-0,5). De huidige fase vervroegt de spanningsfase met hoek F.

Bijlage 6

Aanvullende vragen

Vraag 1:
Waarom gebruiken alle leerboeken over elektrotechniek bij het berekenen van wisselstroomcircuits denkbeeldige getallen/grootheden (bijvoorbeeld reactief vermogen, reactantie, enz.) die in werkelijkheid niet bestaan?

Antwoord:
Ja, alle individuele grootheden in de omringende wereld zijn reëel. Inclusief temperatuur, reactantie, etc. Het gebruik van denkbeeldige (complexe) getallen is slechts een wiskundige techniek die berekeningen vergemakkelijkt. Het resultaat van de berekening is een noodzakelijkerwijs reëel getal. Voorbeeld: het reactieve vermogen van een belasting (condensator) van 20 kVAr is een echte energiestroom, dat wil zeggen echte Watt die circuleert in het bron-belastingcircuit. Maar om deze Watts te onderscheiden van de Watts die onherstelbaar door de belasting worden geabsorbeerd, besloten ze deze ‘circulerende Watts’ reactieve Volt Ampères te noemen.

Opmerking:
Voorheen werden in de natuurkunde slechts enkele grootheden gebruikt, en bij het berekenen kwamen alle wiskundige grootheden overeen met de werkelijke grootheden van de omringende wereld. Afstand is bijvoorbeeld gelijk aan snelheid maal tijd (S=v*t). Toen, met de ontwikkeling van de natuurkunde, dat wil zeggen, naarmate er meer werd bestudeerd complexe objecten(licht, golven, elektrische wisselstroom, atoom, ruimte, etc.) zoiets verscheen groot aantal fysieke hoeveelheden, dat het onmogelijk werd om ze allemaal afzonderlijk te tellen. Dit is niet alleen een probleem van handmatige berekeningen, maar ook een probleem van het schrijven van computerprogramma's. Om op te lossen gegeven taak Nauwe enkelvoudige grootheden werden gecombineerd tot complexere grootheden (waaronder twee of meer enkele grootheden), onderworpen aan transformatiewetten die bekend zijn in de wiskunde. Dit is hoe scalaire (enkelvoudige) grootheden (temperatuur, enz.), vector- en complexe dubbele grootheden (impedantie, enz.), drievoudige vectorgrootheden (magnetische veldvector, enz.) en complexere grootheden verschenen - matrices en tensoren (diëlektrische constante tensor, tensor Ricci en anderen). Om berekeningen in de elektrotechniek te vereenvoudigen, worden de volgende denkbeeldige (complexe) dubbele grootheden gebruikt:

1. Totale weerstand (impedantie) Z=R+iX
2. Schijnbaar vermogen S=P+iQ
3. Diëlektrische constante e=e"+ie"
4. Magnetische permeabiliteit m=m"+im"
5. enz.

Vraag 2:

De pagina http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power toont S P Q Ф op een complex, dat wil zeggen denkbeeldig / niet-bestaand vlak. Wat heeft dit alles met de werkelijkheid te maken?

Antwoord:
Het is moeilijk om berekeningen uit te voeren met echte sinusoïden. Om de berekeningen te vereenvoudigen, gebruikt u daarom een ​​vectorrepresentatie (complex) zoals in Fig. hoger. Maar dit betekent niet dat de in de figuur weergegeven S P Q geen verband houdt met de werkelijkheid. Echte waarden van SP Q kunnen in de gebruikelijke vorm worden gepresenteerd, gebaseerd op metingen van sinusoïdale signalen met een oscilloscoop. De waarden van SP Q Ф I U in het wisselstroomcircuit “source-load” zijn afhankelijk van de belasting. Hieronder ziet u een voorbeeld van echte sinusoïdale signalen SP Q en Ф voor het geval van een belasting die bestaat uit actieve en reactieve (inductieve) weerstanden die in serie zijn geschakeld.

Vraag 3:
Met behulp van een conventionele stroomtang en een multimeter werden een belastingsstroom van 10 A en een belastingsspanning van 225 V gemeten. We vermenigvuldigen dit en krijgen het belastingsvermogen in W: 10 A · 225V = 2250 W.

Antwoord:
U heeft het totale laadvermogen van 2250 VA verkregen (berekend). Daarom is uw antwoord alleen geldig als uw belasting puur resistief is, dan is Volt Ampere inderdaad gelijk aan Watt. Voor alle andere soorten belastingen (bijvoorbeeld een elektromotor) - nee. Om alle kenmerken van een willekeurige belasting te meten, moet u een netwerkanalysator gebruiken, bijvoorbeeld APPA137:

Zie verder lezen, bijvoorbeeld:

Evdokimov F. E. Theoretische grondslagen van elektrotechniek. - M.: Uitgeverijcentrum "Academie", 2004.

Nemtsov M.V. Elektrotechniek en elektronica. - M.: Uitgeverijcentrum "Academie", 2007.

Chastoedov L.A. Elektrotechniek. - M.: Hogere school, 1989.

Wisselstroom, arbeidsfactor, elektrische weerstand, reactantie
http://en.wikipedia.org (vertaling: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Theorie en berekening van transformatoren met laag vermogen Yu.N Starodubtsev / RadioSoft Moskou 2005 / rev d25d5r4feb2013