Di bawah tidak rasional memahami ungkapan di mana pembolehubah bebas %%x%% atau polinomial %%P_n(x)%% darjah %%n \in \mathbb(N)%% disertakan di bawah tanda radikal(dari bahasa Latin radix- akar), i.e. dinaikkan kepada kuasa pecahan. Dengan menggantikan pembolehubah, beberapa kelas kamiran yang tidak rasional berkenaan dengan %%x%% boleh dikurangkan kepada ungkapan rasional berkenaan dengan pembolehubah baharu.

Konsep fungsi rasional satu pembolehubah boleh diperluaskan kepada berbilang hujah. Jika untuk setiap hujah %%u, v, \dotsc, w%% semasa mengira nilai fungsi, hanya operasi aritmetik dan menaikkan kepada kuasa integer disediakan, maka kita bercakap tentang fungsi rasional bagi hujah ini, yang biasanya dilambangkan %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Argumen bagi fungsi sedemikian sendiri boleh menjadi fungsi pembolehubah bebas %%x%%, termasuk radikal dalam bentuk %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Sebagai contoh, fungsi rasional $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ dengan %%u = x, v = \sqrt(x)%% dan %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% ialah fungsi rasional bagi $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ daripada %%x%% dan radikal %%\sqrt(x)%% dan %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, manakala fungsi %%f(x)%% akan menjadi fungsi tidak rasional (algebra) bagi satu pembolehubah bebas %%x%%.

Mari kita pertimbangkan kamiran bagi bentuk %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Kamiran tersebut dirasionalkan dengan menggantikan pembolehubah %%t = \sqrt[n](x)%%, kemudian %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Contoh 1

Cari %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Integrasi dan hujah yang dikehendaki ditulis sebagai fungsi radikal darjah %%2%% dan %%3%%. Oleh kerana gandaan sepunya terkecil bagi %%2%% dan %%3%% ialah %%6%%, kamiran ini ialah kamiran jenis %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% dan boleh dirasionalkan dengan menggantikan %%\sqrt(x) = t%%. Kemudian %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Oleh itu, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Mari kita ambil %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% dan $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \kiri(\sqrt(x) + 1\kanan)^3 - 9 \kiri(\sqrt(x) + 1\kanan)^2 + \\ &+~ 18 \kiri( \sqrt(x) + 1\kanan) - 6 \ln\kiri|\sqrt(x) + 1\kanan| + C \end(array) $$

Kamiran bagi bentuk %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ialah kes khas ketidakrasionalan linear pecahan, i.e. kamiran dalam bentuk %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\kanan) \mathrm(d)x%%, dengan %% iklan - bc \neq 0%%, yang boleh dirasionalkan dengan menggantikan pembolehubah %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, kemudian %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Kemudian $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Contoh 2

Cari %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Mari kita ambil %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, kemudian %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Oleh itu, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\kanan) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Mari kita pertimbangkan kamiran bagi bentuk %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Dalam kes yang paling mudah, kamiran tersebut dikurangkan kepada yang berjadual jika, selepas mengasingkan kuasa dua lengkap, perubahan pembolehubah dibuat.

Contoh 3

Cari kamiran %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Memandangkan %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, kita ambil %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, kemudian $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\kanan| + C = \\ &= \ln\kiri|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\kanan| + C. \end(array) $$

Dalam kes yang lebih kompleks, untuk mencari kamiran dalam bentuk %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% digunakan

Definisi 1

Set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu $y=f(x)$, ditakrifkan pada segmen tertentu, dipanggil kamiran tak tentu bagi fungsi tertentu $y=f(x)$. Kamiran tak tentu dilambangkan dengan simbol $\int f(x)dx $.

Komen

Definisi 2 boleh ditulis seperti berikut:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Tidak semua fungsi tidak rasional boleh dinyatakan sebagai integral melalui fungsi asas. Walau bagaimanapun, kebanyakan kamiran ini boleh dikurangkan menggunakan penggantian kepada kamiran fungsi rasional, yang boleh dinyatakan dalam sebutan fungsi asas.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \kanan)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \kanan)^(r/s) \kanan)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

saya

Apabila mencari kamiran bagi bentuk $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ adalah perlu untuk melakukan penggantian berikut:

Dengan penggantian ini, setiap kuasa pecahan pembolehubah $x$ dinyatakan melalui kuasa integer pembolehubah $t$. Hasilnya, fungsi integrand diubah menjadi fungsi rasional pembolehubah $t$.

Contoh 1

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Penyelesaian:

$k=4$ ialah penyebut sepunya bagi pecahan $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \kanan)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(array)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Apabila mencari kamiran bagi bentuk $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ adalah perlu untuk melakukan penggantian berikut:

dengan $k$ ialah penyebut sepunya bagi pecahan $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Hasil daripada penggantian ini, fungsi integrand diubah menjadi fungsi rasional pembolehubah $t$.

Contoh 2

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Penyelesaian:

Mari buat penggantian berikut:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \kanan)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \kanan|+C\]

Selepas membuat penggantian terbalik, kami mendapat hasil akhir:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \kanan|+C.\]

III

Apabila mencari kamiran bagi bentuk $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, apa yang dipanggil penggantian Euler dilakukan (satu daripada tiga penggantian yang mungkin ialah digunakan).

Penggantian pertama Euler

Untuk kes $a>

Mengambil tanda “+” di hadapan $\sqrt(a) $, kita dapat

Contoh 3

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Penyelesaian:

Mari kita buat penggantian berikut (kes $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Selepas membuat penggantian terbalik, kami mendapat hasil akhir:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Penggantian kedua Euler

Untuk kes $c>0$ adalah perlu untuk melakukan penggantian berikut:

Mengambil tanda “+” di hadapan $\sqrt(c) $, kita dapat

Contoh 4

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Penyelesaian:

Mari buat penggantian berikut:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \kanan|+C$ Setelah membuat sebaliknya penggantian, kami mendapat keputusan akhir:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \kanan|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \kiri|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\kanan|+C) \end ( tatasusunan)\]

Penggantian ketiga Euler

Fungsi tidak rasional pembolehubah ialah fungsi yang terbentuk daripada pembolehubah dan pemalar arbitrari menggunakan bilangan terhingga operasi penambahan, penolakan, pendaraban (menaikkan kepada kuasa integer), bahagi dan mengambil punca. Fungsi tidak rasional berbeza daripada fungsi rasional kerana fungsi tidak rasional mengandungi operasi untuk mengekstrak akar.

Terdapat tiga jenis utama fungsi tak rasional, kamiran tak tentu yang dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional. Ini adalah kamiran yang mengandungi punca kuasa integer arbitrari daripada fungsi pecahan linear (akar boleh mempunyai kuasa yang berbeza, tetapi daripada fungsi pecahan linear yang sama); kamiran binomial pembezaan dan kamiran dengan punca kuasa dua trinomial kuasa dua.

Nota PENTING. Akar mempunyai pelbagai makna!

Apabila mengira kamiran yang mengandungi punca, ungkapan bentuk sering ditemui, di mana terdapat beberapa fungsi pembolehubah penyepaduan. Perlu diingat bahawa. Iaitu, pada t > 0 , |t| = t. Pada t< 0 , |t| = - t . Oleh itu, apabila mengira kamiran tersebut, adalah perlu untuk mempertimbangkan secara berasingan kes t > 0 dan t< 0 . Ini boleh dilakukan dengan menulis tanda atau di mana sahaja yang perlu. Dengan mengandaikan bahawa tanda atas merujuk kepada kes t > 0 , dan yang lebih rendah - untuk kes t< 0 . Dengan transformasi selanjutnya, tanda-tanda ini, sebagai peraturan, membatalkan satu sama lain.

Pendekatan kedua juga mungkin, di mana integrand dan hasil integrasi boleh dianggap sebagai fungsi kompleks pembolehubah kompleks. Kemudian anda tidak perlu memberi perhatian kepada tanda-tanda dalam ungkapan radikal. Pendekatan ini boleh digunakan jika integrand adalah analitik, iaitu, fungsi boleh dibezakan bagi pembolehubah kompleks. Dalam kes ini, kedua-dua kamiran dan kamirannya ialah fungsi berbilang nilai. Oleh itu, selepas penyepaduan, apabila menggantikan nilai berangka, adalah perlu untuk memilih cawangan bernilai tunggal (permukaan Riemann) bagi penyepaduan, dan untuk itu pilih cawangan yang sepadan dengan hasil penyepaduan.

Ketidakrasionalan linear pecahan

Ini adalah kamiran dengan akar daripada fungsi linear pecahan yang sama:
,
di mana R ialah fungsi rasional, ialah nombor rasional, m 1, n 1, ..., m s, n s ialah integer, α, β, γ, δ ialah nombor nyata.
Kamiran sedemikian dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional dengan penggantian:
, dengan n ialah penyebut sepunya bagi nombor r 1, ..., r s.

Akar mungkin tidak semestinya berasal dari fungsi pecahan linear, tetapi juga dari fungsi linear (γ = 0 , δ = 1), atau pada pembolehubah penyepaduan x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Berikut adalah contoh kamiran tersebut:
, .

Kamiran daripada binomial pembezaan

Kamiran daripada binomial pembezaan mempunyai bentuk:
,
di mana m, n, p ialah nombor rasional, a, b ialah nombor nyata.
Kamiran sedemikian dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional dalam tiga kes.

1) Jika p ialah integer. Penggantian x = t N, dengan N ialah penyebut sepunya bagi pecahan m dan n.
2) Jika - integer. Penggantian a x n + b = t M, dengan M ialah penyebut nombor p.
3) Jika - integer. Penggantian a + b x - n = t M, dengan M ialah penyebut nombor p.

Dalam kes lain, kamiran tersebut tidak dinyatakan melalui fungsi asas.

Kadangkala kamiran tersebut boleh dipermudahkan menggunakan formula pengurangan:
;
.

Kamiran yang mengandungi punca kuasa dua bagi trinomial kuasa dua

Kamiran tersebut mempunyai bentuk:
,
di mana R ialah fungsi rasional. Bagi setiap kamiran tersebut terdapat beberapa kaedah untuk menyelesaikannya.
1) Menggunakan penjelmaan membawa kepada kamiran yang lebih mudah.
2) Gunakan penggantian trigonometri atau hiperbolik.
3) Gunakan penggantian Euler.

Mari lihat kaedah ini dengan lebih terperinci.

1) Transformasi fungsi integrand

Menggunakan formula dan melakukan transformasi algebra, kami mengurangkan fungsi integrand kepada bentuk:
,
dengan φ(x), ω(x) ialah fungsi rasional.

Jenis I

Integral dalam bentuk:
,
di mana P n (x) ialah polinomial bagi darjah n.

Kamiran tersebut ditemui dengan kaedah pekali tak tentu menggunakan identiti:

.
Membezakan persamaan ini dan menyamakan sisi kiri dan kanan, kita dapati pekali A i.

Jenis II

Integral dalam bentuk:
,
di mana P m (x) ialah polinomial darjah m.

Penggantian t = (x - α) -1 kamiran ini dikurangkan kepada jenis sebelumnya. Jika m ≥ n, maka pecahan itu hendaklah mempunyai bahagian integer.

jenis III

Di sini kita melakukan penggantian:
.
Selepas itu kamiran akan mengambil bentuk:
.
Seterusnya, pemalar α, β mesti dipilih supaya pekali t dalam penyebut menjadi sifar:
B = 0, B 1 = 0.
Kemudian kamiran terurai menjadi jumlah kamiran dua jenis:
,
,
yang disepadukan dengan penggantian:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Penggantian trigonometri dan hiperbolik

Untuk kamiran bentuk , a > 0 ,
kami mempunyai tiga penggantian utama:
;
;
;

Untuk kamiran, a > 0 ,
kami mempunyai penggantian berikut:
;
;
;

Dan akhirnya, untuk kamiran, a > 0 ,
penggantian adalah seperti berikut:
;
;
;

3) Penggantian Euler

Juga, kamiran boleh dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional satu daripada tiga penggantian Euler:
, untuk a > 0;
, untuk c > 0 ;
, dengan x 1 ialah punca bagi persamaan a x 2 + b x + c = 0. Jika persamaan ini mempunyai punca sebenar.

Kamiran eliptik

Sebagai kesimpulan, pertimbangkan kamiran bentuk:
,
di mana R ialah fungsi rasional, . Kamiran sedemikian dipanggil elips. Secara umum, ia tidak dinyatakan melalui fungsi asas. Walau bagaimanapun, terdapat kes apabila terdapat hubungan antara pekali A, B, C, D, E, di mana kamiran tersebut dinyatakan melalui fungsi asas.

Di bawah ialah contoh yang berkaitan dengan polinomial refleksif. Pengiraan kamiran tersebut dilakukan menggunakan penggantian:
.

Contoh

Hitung kamiran:
.

Penyelesaian

Mari buat penggantian.

.
Di sini di x > 0 (u> 0 ) ambil tanda atas ′+′. Pada x< 0 (u< 0 ) - bawah ′-′.

.

Jawab

Rujukan:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksi masalah dalam matematik yang lebih tinggi, "Lan", 2003.

Jawapan sedia dibuat untuk menyepadukan fungsi diambil daripada ujian untuk pelajar tahun 1 dan 2 jabatan matematik. Untuk memastikan formula dalam masalah dan jawapan tidak mengulangi syarat tugasan, kami tidak akan menulis syarat. Anda sudah tahu bahawa dalam masalah anda perlu sama ada "Cari kamiran" atau "Kira kamiran". Oleh itu, jika anda memerlukan jawapan mengenai penyepaduan, mulakan mengkaji contoh berikut.

Penyepaduan fungsi tidak rasional

Contoh 18. Kami melakukan perubahan pembolehubah di bawah kamiran. Untuk memudahkan pengiraan, kami memilih bukan sahaja punca, tetapi keseluruhan penyebut untuk pembolehubah baharu. Selepas penggantian sedemikian, kamiran ditukar kepada hasil tambah dua kamiran jadual, yang tidak perlu dipermudahkan.

Selepas penyepaduan, kami menggantikan penggantian untuk pembolehubah.
Contoh 19. Banyak masa dan ruang telah dibelanjakan untuk menyepadukan fungsi tidak rasional pecahan ini, dan kami tidak tahu sama ada anda boleh memikirkannya daripada tablet atau telefon. Untuk menghilangkan ketidakrasionalan, dan di sini kita berurusan dengan punca kubus, kita memilih fungsi akar kepada kuasa ketiga untuk pembolehubah baharu. Seterusnya, kita mencari pembezaan dan menggantikan fungsi sebelumnya dengan kamiran

Bahagian yang paling memakan masa ialah menjadualkan fungsi baharu untuk perhubungan kuasa dan pecahan.

Selepas penjelmaan, kami mencari beberapa kamiran serta-merta, dan kami menulis yang terakhir kepada dua, yang kami ubah mengikut formula penyepaduan jadual

Selepas semua pengiraan, jangan lupa untuk kembali ke penggantian yang dilakukan pada mulanya

Mengintegrasikan fungsi trigonometri

Contoh 20. Kita perlu mencari kamiran sinus kepada kuasa ke-7. Mengikut peraturan, satu sinus perlu didorong ke dalam pembezaan (kita mendapat pembezaan kosinus), dan sinus kepada kuasa ke-6 mesti ditulis melalui kosinus. Oleh itu kita sampai pada pengamiran daripada fungsi pembolehubah baru t = cos (x). Dalam kes ini, anda perlu membawa perbezaan ke kiub, dan kemudian menyepadukan



Hasilnya, kita memperoleh polinomial tertib 7 dalam kosinus.
Contoh 21. Dalam kamiran ini, adalah perlu untuk menulis kosinus darjah ke-4 dalam formula trigonometri melalui pergantungan pada kosinus darjah pertama. Seterusnya, kami menggunakan formula jadual untuk penyepaduan kosinus.


Contoh 22. Di bawah kamiran kita mempunyai hasil darab sinus dan kosinus. Mengikut formula trigonometri, kami menulis produk melalui perbezaan sinus. Bagaimana haluan ini diperolehi boleh difahami daripada analisis pekali untuk "x". Seterusnya kita mengintegrasikan sinus

Contoh 23. Di sini kita mempunyai fungsi sinus dan kosinus dalam penyebutnya. Selain itu, formula trigonometri tidak akan membantu memudahkan pergantungan. Untuk mencari kamiran, kita gunakan penggantian trigonometri universal t=tan(x/2)

Daripada rekod itu jelas bahawa penyebut akan membatalkan dan kita akan mendapat trinomial segi empat sama dalam penyebut pecahan itu. Di dalamnya kami memilih persegi lengkap dan bahagian percuma. Selepas pengamiran, kita sampai pada logaritma perbezaan antara faktor perdana penyebut. Untuk memudahkan tatatanda, kedua-dua pengangka dan penyebut di bawah logaritma didarab dengan dua.

Pada akhir pengiraan, bukannya pembolehubah, kita menggantikan tangen separuh hujah.
Contoh 24. Untuk menyepadukan fungsi, kita mengambil kuasa dua kosinus daripada kurungan, dan dalam kurungan kita tolak dan tambah satu untuk mendapatkan kotangen.

Seterusnya, kita memilih kotangen u = ctg (x) untuk pembolehubah baru, pembezaannya akan memberi kita faktor yang kita perlukan untuk memudahkan. Selepas penggantian kita tiba pada fungsi yang, apabila disepadukan, memberikan arctangent.

Nah, jangan lupa tukar anda kepada kotangen.
Contoh 25. Dalam tugasan terakhir ujian, anda perlu menyepadukan kotangen sudut berganda kepada darjah ke-4.


Pada ketika ini, ujian integrasi telah diselesaikan, dan tidak seorang pun guru akan mencari kesalahan dengan jawapan dan justifikasi untuk transformasi.
Jika anda belajar cara menyepadukan seperti ini, maka ujian atau bahagian mengenai topik kamiran tidak menakutkan anda. Orang lain berpeluang mempelajari atau memesan penyelesaian kamiran daripada kami (atau pesaing kami :))).

Kami terus mempertimbangkan kamiran pecahan dan punca. Tidak semua daripada mereka adalah sangat kompleks, cuma untuk satu sebab atau yang lain contoh-contoh itu agak "luar topik" dalam artikel lain.

Contoh 9

Cari kamiran tak tentu

Dalam penyebut di bawah akar terdapat trinomial kuadratik ditambah "tambahan" dalam bentuk "X" di luar akar. Kamiran jenis ini boleh diselesaikan menggunakan penggantian piawai.

.

Penggantian di sini adalah mudah:

Mari kita lihat kehidupan selepas penggantian:

(1) Selepas penggantian, kita mengurangkan istilah di bawah akar kepada penyebut biasa.

(2) Kami mengeluarkannya dari bawah akar.

(3) Pengangka dan penyebut dikurangkan dengan . Pada masa yang sama, kami menyusun semula istilah di bawah akar dalam susunan yang mudah. Dengan sedikit pengalaman, langkah (1), (2) boleh dilangkau dengan melakukan tindakan yang diulas secara lisan.

(4) Kamiran yang terhasil, seperti yang anda ingat, diselesaikan kaedah pengekstrakan persegi lengkap. Pilih segi empat sama yang lengkap.

(5) Dengan penyepaduan kita memperoleh logaritma "panjang" biasa.

(6) Kami menjalankan penggantian terbalik. Jika pada mulanya , kemudian kembali: .

(7) Tindakan terakhir bertujuan untuk meluruskan keputusan: di bawah akar kita sekali lagi membawa istilah kepada penyebut biasa dan mengeluarkannya dari bawah akar.

Contoh 10

Cari kamiran tak tentu

.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Di sini pemalar ditambah kepada "X" tunggal dan penggantiannya hampir sama:

.

Satu-satunya perkara yang diperlukan ialah dengan tambahan menyatakan "x" daripada penggantian yang sedang dijalankan:

.

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Kadang-kadang dalam kamiran sedemikian mungkin terdapat binomial kuadratik di bawah akar, ini tidak mengubah kaedah penyelesaian, ia akan menjadi lebih mudah. Rasai kelainannya:

Contoh 11

Cari kamiran tak tentu

Contoh 12

Cari kamiran tak tentu

Penyelesaian dan jawapan ringkas pada akhir pelajaran. Perlu diingatkan bahawa Contoh 11 adalah tepat kamiran binomial, penyelesaiannya telah dibincangkan di dalam kelas Kamiran bagi fungsi tak rasional.

Kamiran bagi polinomial darjah ke-2 tidak boleh terurai dalam penyebut kepada kuasa

Jenis kamiran yang lebih jarang berlaku, tetapi ditemui dalam contoh praktikal.

Contoh 13

Cari kamiran tak tentu

Penyebut bagi kamiran dan mengandungi binomial kuadratik yang tidak boleh difaktorkan. Kami menekankan bahawa ketidakbolehfaktoran adalah ciri penting. Jika polinomial difaktorkan, maka semuanya lebih jelas, sebagai contoh:

Mari kita kembali kepada contoh dengan nombor bertuah 13. Kamiran ini juga merupakan salah satu daripada perkara yang boleh menjadi agak menyakitkan jika anda tidak tahu cara menyelesaikannya.

Penyelesaian bermula dengan transformasi buatan:

Saya rasa semua orang sudah faham cara membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.

Kamiran yang terhasil diambil dalam bahagian:

Untuk kamiran bentuk

di mana ( k≥ 2) – nombor asli, terbitan berulang formula pengurangan:

; ialah kamiran bagi darjah yang lebih rendah dengan 1.

Bagaimana jika terdapat polinomial tambahan dalam pengangka? Dalam kes ini, kaedah pekali tak tentu digunakan, dan fungsi integrand dikembangkan menjadi jumlah pecahan. Sekiranya anda menghadapi integral seperti itu, lihat buku teks - semuanya mudah di sana.