Definisi 1

Set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu $y=f(x)$, ditakrifkan pada segmen tertentu, dipanggil kamiran tak tentu bagi fungsi tertentu $y=f(x)$. Kamiran tak tentu dilambangkan dengan simbol $\int f(x)dx $.

Komen

Definisi 2 boleh ditulis seperti berikut:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Tidak semua fungsi tidak rasional boleh dinyatakan sebagai integral melalui fungsi asas. Walau bagaimanapun, kebanyakan kamiran ini boleh dikurangkan menggunakan penggantian kepada kamiran fungsi rasional, yang boleh dinyatakan dalam sebutan fungsi asas.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \kanan)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \kanan)^(r/s) \kanan)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

saya

Apabila mencari kamiran bagi bentuk $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ adalah perlu untuk melakukan penggantian berikut:

Dengan penggantian ini, setiap kuasa pecahan pembolehubah $x$ dinyatakan melalui kuasa integer pembolehubah $t$. Hasilnya, fungsi integrand diubah menjadi fungsi rasional pembolehubah $t$.

Contoh 1

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Penyelesaian:

$k=4$ ialah penyebut sepunya bagi pecahan $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \kanan)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(array)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Apabila mencari kamiran bagi bentuk $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ adalah perlu untuk melakukan penggantian berikut:

dengan $k$ ialah penyebut sepunya bagi pecahan $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Hasil daripada penggantian ini, fungsi integrand diubah menjadi fungsi rasional pembolehubah $t$.

Contoh 2

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Penyelesaian:

Mari buat penggantian berikut:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \kanan)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \kanan|+C\]

Selepas membuat penggantian terbalik, kami mendapat hasil akhir:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \kanan|+C.\]

III

Apabila mencari kamiran bagi bentuk $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, apa yang dipanggil penggantian Euler dilakukan (satu daripada tiga penggantian yang mungkin ialah digunakan).

Penggantian pertama Euler

Untuk kes $a>

Mengambil tanda “+” di hadapan $\sqrt(a) $, kita dapat

Contoh 3

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Penyelesaian:

Mari kita buat penggantian berikut (kes $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Selepas membuat penggantian terbalik, kami mendapat hasil akhir:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Penggantian kedua Euler

Untuk kes $c>0$ adalah perlu untuk melakukan penggantian berikut:

Mengambil tanda “+” di hadapan $\sqrt(c) $, kita dapat

Contoh 4

Lakukan penyepaduan:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Penyelesaian:

Mari buat penggantian berikut:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \kanan|+C$ Setelah membuat sebaliknya penggantian, kami mendapat keputusan akhir:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \kanan|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \kiri|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\kanan|+C) \end ( tatasusunan)\]

Penggantian ketiga Euler

Kelas fungsi tidak rasional sangat luas, jadi tidak ada cara universal untuk mengintegrasikannya. Dalam artikel ini, kami akan cuba mengenal pasti jenis fungsi integrasi tidak rasional yang paling ciri dan mengaitkan kaedah integrasi dengannya.

Terdapat kes apabila sesuai untuk menggunakan kaedah melanggan tanda pembezaan. Sebagai contoh, apabila mencari kamiran tak tentu bentuk, di mana hlm– pecahan rasional.

Contoh.

Cari kamiran tak tentu .

Penyelesaian.

Tidak sukar untuk menyedarinya. Oleh itu, kami meletakkannya di bawah tanda pembezaan dan menggunakan jadual antiderivatif:

Jawapan:

.

13. Penggantian linear pecahan

Kamiran jenis di mana a, b, c, d ialah nombor nyata, a, b,..., d, g ialah nombor asli, dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional melalui penggantian, dengan K ialah gandaan sepunya terkecil bagi penyebut pecahan

Sesungguhnya, daripada penggantian ia mengikuti itu

iaitu x dan dx dinyatakan melalui fungsi rasional bagi t. Selain itu, setiap darjah pecahan dinyatakan melalui fungsi rasional t.

Contoh 33.4. Cari kamiran

Penyelesaian: Gandaan sepunya terkecil penyebut bagi pecahan 2/3 dan 1/2 ialah 6.

Oleh itu, kita letakkan x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Oleh itu,

Contoh 33.5. Nyatakan penggantian untuk mencari kamiran:

Penyelesaian: Untuk I 1 penggantian x=t 2, untuk I 2 penggantian

14. Penggantian trigonometri

Kamiran jenis dikurangkan kepada kamiran fungsi yang secara rasional bergantung pada fungsi trigonometri menggunakan penggantian trigonometri berikut: x = sint untuk kamiran pertama; x=a tgt untuk kamiran kedua; untuk kamiran ketiga.

Contoh 33.6. Cari kamiran

Penyelesaian: Mari letakkan x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Kemudian

Di sini integrand ialah fungsi rasional berkenaan dengan x dan Dengan memilih segi empat sama lengkap di bawah radikal dan membuat penggantian, kamiran jenis yang ditunjukkan dikurangkan kepada kamiran jenis yang telah dipertimbangkan, iaitu kamiran jenis Kamiran ini boleh dikira menggunakan penggantian trigonometri yang sesuai.

Contoh 33.7. Cari kamiran

Penyelesaian: Oleh kerana x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, maka x+1=t, x=t-1, dx=dt. sebab tu Mari letak

Nota: Jenis kamiran Adalah wajar untuk mencari menggunakan penggantian x=1/t.

15. Kamiran pasti

Biarkan fungsi ditakrifkan pada segmen dan mempunyai antiderivatif padanya. Perbezaan itu dipanggil kamiran pasti berfungsi sepanjang segmen dan menandakan. Jadi,

Perbezaannya ditulis dalam bentuk, kemudian . Nombor dipanggil had integrasi .

Sebagai contoh, salah satu antiderivatif untuk fungsi. sebab tu

16 . Jika c ialah nombor tetap dan fungsi ƒ(x) boleh diintegrasikan pada , maka

iaitu faktor pemalar c boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran pasti.

▼Mari kita susun jumlah kamiran untuk fungsi dengan ƒ(x). Kami ada:

Kemudian ia berikutan bahawa fungsi c ƒ(x) boleh diintegrasikan pada [a; b] dan formula (38.1) adalah sah.▲

2. Jika fungsi ƒ 1 (x) dan ƒ 2 (x) boleh diintegrasikan pada [a;b], maka boleh diintegrasikan pada [a; b] jumlah mereka u

iaitu kamiran hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah kamiran.

▼
▲

Harta 2 terpakai kepada jumlah sebarang bilangan terhingga terma.

3.

Harta ini boleh diterima mengikut definisi. Sifat ini juga disahkan oleh formula Newton-Leibniz.

4. Jika fungsi ƒ(x) boleh diintegrasikan pada [a; b] dan a< с < b, то

iaitu kamiran ke atas keseluruhan ruas adalah sama dengan hasil tambah kamiran ke atas bahagian segmen ini. Sifat ini dipanggil ketambahan kamiran pasti (atau sifat ketambahan).

Apabila membahagikan segmen [a;b] kepada bahagian, kami memasukkan titik c dalam bilangan titik pembahagian (ini boleh dilakukan kerana kebebasan had jumlah kamiran daripada kaedah membahagikan segmen [a;b] kepada bahagian). Jika c = x m, maka jumlah kamiran boleh dibahagikan kepada dua jumlah:

Setiap jumlah bertulis adalah integral, masing-masing, untuk segmen [a; b], [a; s] dan [s; b]. Melepasi had dalam kesamaan terakhir sebagai n → ∞ (λ → 0), kita memperoleh kesamaan (38.3).

Harta 4 adalah sah untuk mana-mana lokasi titik a, b, c (kami menganggap bahawa fungsi ƒ (x) boleh disepadukan pada segmen yang lebih besar yang terhasil).

Jadi, sebagai contoh, jika a< b < с, то

(sifat 4 dan 3 telah digunakan).

5. “Teorem tentang nilai min.” Jika fungsi ƒ(x) adalah selanjar pada selang [a; b], maka terdapat tonka dengan є [a; b] sedemikian

▼Dengan formula Newton-Leibniz yang kami ada

dengan F"(x) = ƒ(x). Menggunakan teorem Lagrange (teorem pada kenaikan terhingga fungsi) kepada perbezaan F(b)-F(a), kita perolehi

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Sifat 5 (“teorem nilai min”) untuk ƒ (x) ≥ 0 mempunyai makna geometri yang mudah: nilai kamiran pasti adalah sama, untuk sesetengah c є (a; b), dengan luas segi empat tepat dengan ketinggian ƒ (c) dan tapak b-a (lihat Rajah 170). Nombor

dipanggil nilai purata bagi fungsi ƒ(x) pada selang [a; b].

6. Jika fungsi ƒ (x) mengekalkan tandanya pada segmen [a; b], di mana a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Dengan "teorem nilai min" (sifat 5)

di mana c є [a; b]. Dan sejak ƒ(x) ≥ 0 untuk semua x О [a; b], kemudian

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Oleh itu ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. ▲

7. Ketaksamaan antara fungsi selanjar pada selang [a; b], (a

▼Oleh kerana ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, maka apabila a< b, согласно свойству 6, имеем

Atau, menurut harta 2,

Perhatikan bahawa adalah mustahil untuk membezakan ketidaksamaan.

8. Anggaran kamiran. Jika m dan M adalah, masing-masing, nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi y = ƒ (x) pada segmen [a; b], (a< b), то

▼Oleh kerana bagi mana-mana x є [a;b] kita mempunyai m≤ƒ(x)≤M, maka, mengikut sifat 7, kita mempunyai

Menggunakan Harta 5 kepada kamiran melampau, kami memperoleh

▲

Jika ƒ(x)≥0, maka sifat 8 digambarkan secara geometri: luas trapezium melengkung tertutup di antara kawasan segi empat tepat yang tapaknya ialah , dan yang ketinggiannya ialah m dan M (lihat Rajah 171).

9. Modulus kamiran pasti tidak melebihi kamiran modulus kamiran dan:

▼Menggunakan sifat 7 pada ketaksamaan yang jelas -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, kami memperoleh

Ia berikutan itu

▲

10. Terbitan kamiran pasti berkenaan dengan had atas pembolehubah adalah sama dengan kamiran dan di mana pembolehubah kamiran digantikan dengan had ini, i.e.

Mengira luas rajah adalah salah satu masalah yang paling sukar dalam teori luas. Dalam kursus geometri sekolah, kami belajar untuk mencari bidang bentuk geometri asas, contohnya, bulatan, segitiga, rombus, dll. Walau bagaimanapun, lebih kerap anda perlu berurusan dengan mengira kawasan angka yang lebih kompleks. Apabila menyelesaikan masalah sedemikian, seseorang perlu menggunakan kalkulus kamiran.

Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan masalah mengira luas trapezoid curvilinear, dan kita akan mendekatinya dalam erti kata geometri. Ini akan membolehkan kita mengetahui hubungan langsung antara kamiran pasti dan luas trapezoid melengkung.

Sebelum ini, diberikan fungsi yang diberikan, dipandu oleh pelbagai formula dan peraturan, kami mendapati terbitannya. Derivatif mempunyai banyak kegunaan: ia ialah kelajuan pergerakan (atau, lebih umum, kelajuan sebarang proses); pekali sudut tangen kepada graf fungsi; menggunakan derivatif, anda boleh memeriksa fungsi untuk monotonicity dan extrema; ia membantu menyelesaikan masalah pengoptimuman.

Tetapi seiring dengan masalah mencari kelajuan mengikut hukum gerakan yang diketahui, terdapat juga masalah songsang - masalah memulihkan hukum gerakan mengikut kelajuan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah ini.

Contoh 1. Titik bahan bergerak dalam garis lurus, kelajuannya pada masa t diberikan oleh formula v=gt. Cari hukum gerakan.
Penyelesaian. Biarkan s = s(t) ialah hukum gerakan yang dikehendaki. Diketahui bahawa s"(t) = v(t). Ini bermakna untuk menyelesaikan masalah anda perlu memilih fungsi s = s(t), terbitan yang sama dengan gt. Tidak sukar untuk meneka bahawa \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Malah
\(s"(t) = \kiri(\frac(gt^2)(2) \kanan)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Jawapan: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Mari kita segera ambil perhatian bahawa contoh diselesaikan dengan betul, tetapi tidak lengkap. Kami mendapat \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Sebenarnya, masalah itu mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga: sebarang fungsi dalam bentuk \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), di mana C ialah pemalar arbitrari, boleh berfungsi sebagai undang-undang gerakan, sejak \(\kiri (\frac(gt^2)(2) +C \kanan)" = gt \)

Untuk menjadikan masalah lebih spesifik, kami perlu membetulkan situasi awal: nyatakan koordinat titik bergerak pada satu ketika, contohnya pada t = 0. Jika, katakan, s(0) = s 0, maka dari kesamaan s(t) = (gt 2)/2 + C kita dapat: s(0) = 0 + C, iaitu C = s 0. Kini hukum gerakan ditakrifkan secara unik: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Dalam matematik, operasi songsang bersama diberi nama yang berbeza, tatatanda khas dicipta, contohnya: kuasa dua (x 2) dan punca kuasa dua (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) dan arcsin (arcsin x) dan lain-lain. Proses mencari terbitan bagi fungsi tertentu dipanggil pembezaan, dan operasi songsang, iaitu proses mencari fungsi daripada terbitan tertentu, ialah integrasi.

Istilah "derivatif" itu sendiri boleh dibenarkan "dalam istilah harian": fungsi y = f(x) "melahirkan" fungsi baharu y" = f"(x). Fungsi y = f(x) bertindak sebagai "ibu bapa", tetapi ahli matematik, secara semula jadi, tidak memanggilnya sebagai "ibu bapa" atau "pengeluar"; mereka mengatakan bahawa ia adalah, berhubung dengan fungsi y" = f"( x), imej utama atau primitif.

Definisi. Fungsi y = F(x) dipanggil antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X jika kesamaan F"(x) = f(x) berlaku untuk \(x \dalam X\)

Dalam amalan, selang X biasanya tidak dinyatakan, tetapi tersirat (sebagai domain semula jadi bagi definisi fungsi).

Mari beri contoh.
1) Fungsi y = x 2 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 2x, kerana bagi mana-mana x kesamaan (x 2)" = 2x adalah benar
2) Fungsi y = x 3 ialah antiterbitan untuk fungsi y = 3x 2, kerana bagi mana-mana x kesamaan (x 3)" = 3x 2 adalah benar
3) Fungsi y = sin(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = cos(x), kerana bagi mana-mana x kesamaan (sin(x))" = cos(x) adalah benar

Apabila mencari antiderivatif, serta derivatif, bukan sahaja formula digunakan, tetapi juga beberapa peraturan. Ia berkaitan secara langsung dengan peraturan yang sepadan untuk mengira derivatif.

Kita tahu bahawa terbitan suatu jumlah adalah sama dengan jumlah terbitannya. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.

Peraturan 1. Antiterbitan sesuatu jumlah adalah sama dengan jumlah antiterbitan.

Kita tahu bahawa faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan. Peraturan ini menjana peraturan yang sepadan untuk mencari antiderivatif.

Peraturan 2. Jika F(x) ialah antiterbitan bagi f(x), maka kF(x) ialah antiterbitan untuk kf(x).

Teorem 1. Jika y = F(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x), maka antiterbitan bagi fungsi y = f(kx + m) ialah fungsi \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorem 2. Jika y = F(x) ialah antiterbitan untuk fungsi y = f(x) pada selang X, maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiterbitan tak terhingga, dan kesemuanya mempunyai bentuk y = F(x) + C.

Kaedah integrasi

Kaedah penggantian boleh ubah (kaedah penggantian)

Kaedah pengamiran melalui penggantian melibatkan memperkenalkan pembolehubah pengamiran baharu (iaitu penggantian). Dalam kes ini, kamiran yang diberikan dikurangkan kepada kamiran baharu, yang berbentuk jadual atau boleh dikurangkan kepadanya. Tiada kaedah umum untuk memilih penggantian. Keupayaan untuk menentukan penggantian dengan betul diperoleh melalui latihan.
Biarkan perlu untuk mengira kamiran \(\textstyle \int F(x)dx \). Mari kita buat penggantian \(x= \varphi(t) \) dengan \(\varphi(t) \) ialah fungsi yang mempunyai terbitan berterusan.
Kemudian \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dan berdasarkan sifat invarian formula kamiran untuk kamiran tak tentu, kami memperoleh formula kamiran dengan penggantian:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Penyepaduan ungkapan bentuk \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Jika m ganjil, m > 0, maka lebih mudah untuk membuat penggantian sin x = t.
Jika n ganjil, n > 0, maka lebih mudah untuk membuat penggantian cos x = t.
Jika n dan m genap, maka lebih mudah untuk membuat penggantian tg x = t.

Integrasi mengikut bahagian

Penyepaduan mengikut bahagian - menggunakan formula berikut untuk penyepaduan:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
atau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Jadual kamiran tak tentu (antiterbitan) bagi beberapa fungsi

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Bahagian ini akan membincangkan kaedah mengintegrasikan fungsi rasional. 7.1. Maklumat ringkas tentang fungsi rasional Fungsi rasional yang paling mudah ialah polinomial darjah persepuluhan, i.e. fungsi bentuk dengan pemalar nyata, dan a0 Ф 0. Polinomial Qn(x) yang pekalinya a0 = 1 dipanggil terkurang. Nombor nyata b dipanggil punca polinomial Qn(z) jika Q„(b) = 0. Adalah diketahui bahawa setiap polinomial Qn(x) dengan pekali nyata diuraikan secara unik kepada faktor nyata dalam bentuk di mana p, q adalah pekali nyata, dan faktor kuadratik tidak mempunyai punca sebenar dan, oleh itu, tidak boleh terurai menjadi faktor linear nyata. Dengan menggabungkan faktor yang sama (jika ada) dan mengandaikan, untuk kesederhanaan, bahawa polinomial Qn(x) dikurangkan, kita boleh menulis pemfaktorannya dalam bentuk di mana nombor asli. Oleh kerana darjah polinomial Qn(x) adalah sama dengan n, maka jumlah semua eksponen a, /3,..., A, ditambah kepada hasil tambah ganda semua eksponen ω,..., q, adalah sama. kepada n: Punca a polinomial dipanggil mudah atau tunggal , jika a = 1, dan gandaan jika a > 1; nombor a dipanggil gandaan punca a. Perkara yang sama berlaku untuk punca polinomial yang lain. Fungsi rasional f(x) atau pecahan rasional ialah nisbah dua polinomial, dan diandaikan bahawa polinomial Pm(x) dan Qn(x) tidak mempunyai faktor sepunya. Pecahan rasional dipanggil wajar jika darjah polinomial dalam pengangka kurang daripada darjah polinomial dalam penyebut, i.e. Jika m n, maka pecahan rasional dipanggil pecahan tak wajar, dan dalam kes ini, membahagikan pengangka dengan penyebut mengikut peraturan untuk membahagi polinomial, ia boleh diwakili dalam bentuk di mana terdapat beberapa polinomial, dan ^^ adalah wajar pecahan rasional. Contoh 1. Pecahan rasional ialah pecahan tak wajar. Membahagi dengan "sudut", kita mempunyai Oleh itu. Di sini. dan ia adalah pecahan wajar. Definisi. Pecahan termudah (atau asas) ialah pecahan rasional daripada empat jenis berikut: di mana nombor nyata, k ialah nombor asli lebih besar daripada atau sama dengan 2, dan trinomial kuasa dua x2 + px + q tidak mempunyai punca nyata, jadi -2 _2 ialah diskriminasinya Dalam algebra teorem berikut dibuktikan. Teorem 3. Pecahan rasional wajar dengan pekali nyata, penyebut yang Qn(x) mempunyai bentuk terurai dengan cara yang unik kepada jumlah pecahan mudah mengikut peraturan Penyepaduan fungsi rasional Maklumat ringkas tentang fungsi rasional Integrasi pecahan mudah Kes umum Penyepaduan fungsi tidak rasional Penggantian Euler pertama Penggantian Euler kedua Penggantian Euler Ketiga Dalam pengembangan ini terdapat beberapa pemalar nyata, sebahagian daripadanya mungkin sama dengan sifar. Untuk mencari pemalar ini, bahagian kanan kesamaan (I) dibawa ke penyebut biasa, dan kemudian pekali pada kuasa x yang sama dalam pengangka di sebelah kiri dan kanan disamakan. Ini memberikan sistem persamaan linear dari mana pemalar yang diperlukan ditemui. . Kaedah mencari pemalar yang tidak diketahui ini dipanggil kaedah pekali tidak ditentukan. Kadang-kadang lebih mudah untuk menggunakan kaedah lain untuk mencari pemalar yang tidak diketahui, yang terdiri daripada fakta bahawa selepas menyamakan pengangka, identiti diperoleh berkenaan dengan x, di mana hujah x diberi beberapa nilai, contohnya, nilai ​daripada punca, menghasilkan persamaan untuk mencari pemalar. Ia amat mudah jika penyebut Q„(x) hanya mempunyai punca mudah sebenar. Contoh 2. Uraikan pecahan rasional kepada pecahan yang lebih mudah. ​​Pecahan ini wajar. Kami menguraikan penyebut kepada darab: Memandangkan punca penyebut adalah nyata dan berbeza, maka, berdasarkan formula (1), penguraian pecahan kepada yang paling mudah akan mempunyai bentuk: Mengurangkan penghormatan hak “kesamaan itu kepada penyebut biasa dan menyamakan pengangka di sebelah kiri dan kanannya, kita memperoleh identiti atau Kita mencari pekali yang tidak diketahui A. 2?, C dalam dua cara. Cara pertama Menyamakan pekali untuk kuasa yang sama bagi x, t.v. dengan (istilah bebas), dan sisi kiri dan kanan identiti, kita memperoleh sistem persamaan linear untuk mencari pekali yang tidak diketahui A, B, C: Sistem ini mempunyai penyelesaian unik C Kaedah kedua. Oleh kerana akar penyebut terkoyak pada i 0, kita mendapat 2 = 2A, dari mana A * 1; g i 1, kita dapat -1 * -B, dari mana 5 * 1; x i 2, kita dapat 2 = 2C. dari mana C» 1, dan pengembangan yang diperlukan mempunyai bentuk 3. Rehlozhnt bukan pecahan termudah pecahan rasional 4 Kami menguraikan polinomial, yang berada dalam arah yang bertentangan, kepada faktor: . Penyebut mempunyai dua punca nyata yang berbeza: x\ = 0 multiplicity of multiplicity 3. Oleh itu, penguraian pecahan ini bukanlah yang paling mudah: Mengurangkan bahagian kanan kepada penyebut biasa, kita dapati atau Kaedah pertama. Menyamakan pekali untuk kuasa yang sama bagi x di sebelah kiri dan kanan identiti terakhir. kita memperoleh sistem persamaan linear.Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik dan pengembangan yang diperlukan ialah kaedah Kedua. Dalam identiti yang terhasil, meletakkan x = 0, kita memperoleh 1 a A2, atau A2 = 1; medan* gay x = -1, kita dapat -3 i B), atau Bj i -3. Apabila menggantikan nilai yang ditemui bagi pekali A\ dan B) dan identiti akan mengambil bentuk atau Meletakkan x = 0, dan kemudian x = -I. kita dapati bahawa = 0, B2 = 0 dan. ini bermakna B\ = 0. Oleh itu, kita sekali lagi memperoleh Contoh 4. Kembangkan pecahan rasional 4 kepada pecahan yang lebih mudah. ​​Penyebut pecahan itu tidak mempunyai punca nyata, kerana fungsi x2 + 1 tidak lenyap untuk sebarang nilai sebenar x. Oleh itu, penguraian kepada pecahan mudah sepatutnya mempunyai bentuk Dari sini kita dapat atau. Menyamakan pekali kuasa synax x di sebelah kiri dan kanan kesamaan terakhir, kita akan mempunyai tempat yang kita dapati dan, oleh itu, Perlu diingatkan bahawa dalam beberapa kes penguraian kepada pecahan mudah boleh diperolehi dengan lebih cepat dan lebih mudah dengan bertindak. dengan cara lain, tanpa menggunakan kaedah pekali tak tentu Sebagai contoh, untuk mendapatkan penguraian pecahan dalam contoh 3, anda boleh menambah dan menolak dalam pengangka 3x2 dan membahagi seperti yang ditunjukkan di bawah. 7.2. Penyepaduan pecahan mudah, Seperti yang dinyatakan di atas, mana-mana pecahan rasional tak wajar boleh diwakili sebagai hasil tambah beberapa polinomial dan pecahan rasional wajar (§7), dan perwakilan ini adalah unik. Mengintegrasikan polinomial tidak sukar, jadi pertimbangkan persoalan menyepadukan pecahan rasional wajar. Oleh kerana mana-mana pecahan rasional wajar boleh diwakili sebagai jumlah pecahan mudah, pengamirannya dikurangkan kepada pengamiran pecahan mudah. Sekarang mari kita pertimbangkan persoalan integrasi mereka. III. Untuk mencari kamiran pecahan termudah bagi jenis ketiga, kita mengasingkan kuasa dua lengkap binomial daripada trinomial kuasa dua: Memandangkan sebutan kedua adalah sama dengan a2, di mana dan kemudian kita membuat penggantian. Kemudian, dengan mengambil kira sifat linear kamiran, kami dapati: Contoh 5. Cari kamiran 4 Fungsi kamiran dan ialah pecahan termudah bagi jenis ketiga, kerana trinomial kuasa dua x1 + Ax + 6 tidak mempunyai punca nyata (diskriminasinya). adalah negatif: , dan pengangka mengandungi polinomial darjah pertama. Oleh itu, kita meneruskan seperti berikut: 1) pilih kuasa dua sempurna dalam penyebut 2) buat penggantian (di sini 3) dengan * satu kamiran Untuk mencari kamiran bagi pecahan termudah daripada jenis keempat, kami letakkan, seperti di atas, . Kemudian kita mendapat Kamiran di sebelah kanan yang dilambangkan dengan A dan mengubahnya seperti berikut: Kamiran di sebelah kanan disepadukan oleh bahagian, dengan mengandaikan dari mana atau Kamiran fungsi rasional Maklumat ringkas tentang fungsi rasional Integrasi pecahan mudah Kes am Integrasi tidak rasional fungsi Penggantian pertama Euler Penggantian Euler kedua Penggantian ketiga Euler Kami telah memperoleh apa yang dipanggil formula berulang, yang membolehkan kita mencari kamiran Jk untuk sebarang k = 2, 3,. .. . Sesungguhnya, kamiran J\ adalah jadual: Meletakkan dalam formula ulangan, kita dapati Mengetahui dan meletakkan A = 3, kita boleh mencari Jj dengan mudah dan seterusnya. Dalam keputusan akhir, menggantikan di mana-mana dan bukannya t dan ungkapan mereka dalam sebutan x dan pekali p dan q, kita memperoleh untuk kamiran awal ungkapannya dalam sebutan x dan nombor yang diberi M, LG, p, q. Contoh 8. Kamiran baharu “Fungsi kamiran dan ialah pecahan termudah bagi jenis keempat, kerana diskriminasi bagi trinomial segi empat sama ialah negatif, i.e. Ini bermakna penyebut tidak mempunyai punca sebenar, dan pengangka ialah polinomial darjah 1. 1) Kami memilih segi empat sama lengkap dalam penyebut 2) Kami membuat penggantian: Kamiran akan mengambil bentuk: Meletakkan dalam formula ulangan * = 2, a3 = 1. kami akan mempunyai, dan, oleh itu, kamiran yang diperlukan adalah sama. Berbalik kepada pembolehubah x, akhirnya kita memperoleh 7.3. Kes umum Daripada hasil perenggan. 1 dan 2 bahagian ini serta-merta mengikuti teorem penting. Teorem! 4. Kamiran tak tentu mana-mana fungsi rasional sentiasa wujud (pada selang di mana penyebut pecahan Q„(x) φ 0) dan dinyatakan melalui nombor terhingga fungsi asas, iaitu, ia ialah jumlah algebra, sebutan daripadanya hanya boleh didarab , pecahan rasional, logaritma asli dan arktangen. Jadi, untuk mencari kamiran tak tentu bagi fungsi pecahan-rasional, seseorang harus meneruskan dengan cara berikut: 1) jika pecahan rasional tidak wajar, maka dengan membahagikan pengangka dengan penyebut, keseluruhan bahagian diasingkan, iaitu fungsi ini. diwakili sebagai hasil tambah polinomial dan pecahan rasional wajar; 2) maka penyebut pecahan wajar yang terhasil diuraikan kepada hasil darab faktor linear dan kuadratik; 3) pecahan wajar ini diuraikan kepada hasil tambah pecahan mudah; 4) menggunakan kelinearan kamiran dan formula langkah 2, kamiran setiap sebutan didapati secara berasingan. Contoh 7. Cari kamiran M Oleh kerana penyebutnya ialah polinomial bagi tertib ketiga, fungsi kamiran dan ialah pecahan tak wajar. Kami menyerlahkan keseluruhan bahagian di dalamnya: Oleh itu, kami akan mempunyai. Penyebut pecahan wajar mempunyai phi punca sebenar yang berbeza: dan oleh itu penguraiannya kepada pecahan mudah mempunyai bentuk Oleh itu kita dapati. Dengan memberikan hujah x nilai sama dengan punca penyebut, kita dapati daripada identiti ini bahawa: Oleh itu, kamiran yang diperlukan akan sama dengan Contoh 8. Cari kamiran 4 Kamiran dan ialah pecahan wajar, penyebutnya mempunyai dua punca nyata yang berbeza: x - O multiplicity of 1 and x = 1 of multiplicity 3, Oleh itu, pengembangan kamiran dan menjadi pecahan mudah mempunyai bentuk Membawa bahagian kanan kesamaan ini kepada penyebut biasa dan mengurangkan kedua-dua belah kesamaan. dengan penyebut ini, kita memperoleh atau. Kami menyamakan pekali untuk kuasa x yang sama di sebelah kiri dan kanan identiti ini: Dari sini kami dapati. Menggantikan nilai yang ditemui bagi pekali ke dalam pengembangan, kita akan mempunyai. Mengintegrasikan, kita dapati: Contoh 9. Cari kamiran 4 Penyebut pecahan itu tidak mempunyai punca sebenar. Oleh itu, pengembangan kamiran dan kepada pecahan mudah mempunyai bentuk Oleh itu atau Menyamakan pekali untuk kuasa yang sama bagi x di sebelah kiri dan kanan identiti ini, kita akan mempunyai dari mana kita dapati dan, oleh itu, Remark. Dalam contoh yang diberikan, fungsi integrand boleh diwakili sebagai jumlah pecahan mudah dengan cara yang lebih mudah, iaitu, dalam pengangka pecahan kita memilih perduaan yang terdapat dalam penyebut, dan kemudian kita melakukan pembahagian sebutan demi sebutan. : §8. Penyepaduan fungsi tak rasional Fungsi bentuk di mana Pm dan £?„ ialah polinomial jenis darjah, dalam pembolehubah uub2,... dipanggil fungsi rasional ubu2j... Contohnya, polinomial darjah kedua dalam dua pembolehubah u\ dan u2 mempunyai bentuk di mana - beberapa pemalar nyata, dan Contoh 1, Fungsi ialah fungsi rasional bagi pembolehubah r dan y, kerana ia mewakili nisbah polinomial darjah ketiga dan polinomial bagi darjah kelima, tetapi bukan fungsi yew. Dalam kes apabila pembolehubah, pada gilirannya, adalah fungsi pembolehubah w: maka fungsi ] dipanggil fungsi rasional bagi fungsi Contoh. Fungsi ialah fungsi rasional bagi r dan rvdikvlv Pryaivr 3. Fungsi bentuk bukanlah fungsi rasional bagi x dan radikal y/r1 + 1, tetapi ia adalah fungsi rasional bagi fungsi. Seperti yang ditunjukkan oleh contoh, kamiran tak rasional fungsi tidak selalu dinyatakan melalui fungsi asas. Sebagai contoh, kamiran yang sering ditemui dalam aplikasi tidak dinyatakan dari segi fungsi asas; kamiran ini masing-masing dipanggil kamiran elips jenis pertama dan kedua. Mari kita pertimbangkan kes apabila penyepaduan fungsi tidak rasional boleh dikurangkan, dengan bantuan beberapa penggantian, kepada penyepaduan fungsi rasional. 1. Biarkan perlu untuk mencari kamiran di mana R(x, y) ialah fungsi rasional bagi hujahnya x dan y; m £ 2 - nombor asli; a, 6, c, d ialah pemalar nyata yang memenuhi syarat ad - bc ^ O (untuk ad - be = 0, pekali a dan b adalah berkadar dengan pekali c dan d, dan oleh itu hubungan tidak bergantung pada x ; ini bermakna bahawa dalam kes ini fungsi integrand akan menjadi fungsi rasional bagi pembolehubah x, penyepaduan yang telah dibincangkan sebelum ini). Mari kita buat perubahan pembolehubah dalam kamiran ini, dengan meletakkan Oleh itu kita ungkapkan pembolehubah x melalui pembolehubah baru. Kita mempunyai x = - fungsi rasional bagi t. Seterusnya kita dapati atau, selepas dipermudahkan, Oleh itu di mana A1 (t) ialah fungsi rasional bagi *, kerana funadia rasional bagi fungsi rasional, serta hasil darab fungsi rasional, ialah fungsi rasional. Kami tahu cara mengintegrasikan fungsi rasional. Biarkan Maka kamiran yang diperlukan sama dengan At. Kamiran IvYti 4 Fungsi kamirandan* ialah fungsi rasional bagi. Oleh itu, kita tetapkan t = Kemudian Integrasi fungsi rasional Maklumat ringkas tentang fungsi rasional Integrasi pecahan mudah Kes am Integrasi fungsi tak rasional Penggantian pertama Euler Penggantian kedua Euler Penggantian ketiga Euler Oleh itu, kita memperoleh Primar 5. Cari kamiran Penyebut sepunya bagi pecahan eksponen bagi x adalah sama dengan 12, jadi integrand fungsi boleh diwakili dalam bentuk 1 _ 1_ yang menunjukkan bahawa ia adalah fungsi rasional bagi: Mengambil kira ini, mari kita letak. Akibatnya, 2. Pertimbangkan intef bagi bentuk di mana fungsi subintephal adalah sedemikian rupa sehingga dengan menggantikan radikal \/ax2 + bx + c di dalamnya dengan y, kita memperoleh fungsi R(x) y) - rasional berkenaan dengan kedua-dua hujah x dan y. Kamiran ini dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional pembolehubah lain menggunakan penggantian Euler. 8.1. Penggantian pertama Euler Biarkan pekali a > 0. Mari kita tetapkan atau Oleh itu kita dapati x sebagai fungsi rasional u, yang bermaksud Oleh itu, penggantian yang ditunjukkan dinyatakan secara rasional dalam sebutan *. Oleh itu, kami akan mempunyai teguran. Penggantian Euler pertama juga boleh diambil dalam bentuk Contoh 6. Mari kita cari kamiran Oleh itu, kita akan mempunyai penggantian dx Euler, tunjukkan bahawa Y 8.2. Penggantian kedua Euler Biarkan trinomial ax2 + bx + c mempunyai punca nyata yang berbeza R] dan x2 (pekali boleh mempunyai sebarang tanda). Dalam kes ini, kita andaikan Sejak itu kita peroleh Oleh kerana x,dxn y/ax2 + be + c dinyatakan secara rasional dalam sebutan t, maka kamiran asal dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional, iaitu di mana Masalah. Dengan menggunakan penggantian pertama Euler, tunjukkan bahawa ialah fungsi rasional bagi t. Contoh 7. Cari fungsi kamiran dx M ] - x1 mempunyai punca nyata yang berbeza. Oleh itu, kita menggunakan penggantian Euler kedua. Dari sini kita dapati. Menggantikan ungkapan yang ditemui ke dalam Given?v*gyvl; kita dapat 8.3. Euler ketiga substascom Biarkan pekali c > 0. Kami membuat perubahan pembolehubah dengan meletakkan. Ambil perhatian bahawa untuk mengurangkan kamiran kepada kamiran fungsi rasional, penggantian Euler pertama dan kedua adalah mencukupi. Malah, jika diskriminasi b2 -4ac > 0, maka akar-akar trinomial kuadratik + bx + c adalah nyata, dan dalam kes ini penggantian Euler kedua boleh digunakan. Jika, maka tanda trinomial ax2 + bx + c bertepatan dengan tanda pekali a, dan kerana trinomial mestilah positif, maka a > 0. Dalam kes ini, penggantian pertama Euler boleh digunakan. Untuk mencari kamiran jenis yang ditunjukkan di atas, tidak selalu dinasihatkan untuk menggunakan penggantian Euler, kerana bagi mereka adalah mungkin untuk mencari kaedah penyepaduan lain yang membawa kepada matlamat dengan lebih cepat. Mari kita pertimbangkan beberapa kamiran ini. 1. Untuk mencari kamiran bentuk, asingkan kuasa dua sempurna daripada kuasa dua trinomial ke: di mana Selepas ini, buat penggantian dan dapatkan di mana pekali a dan P mempunyai tanda yang berbeza atau kedua-duanya positif. Untuk, dan juga untuk a > 0, kamiran akan dikurangkan kepada logaritma, dan jika ya, kepada arcsine. Pada. Cari imtegral 4 Sokak kemudian. Andaikan, kita dapat Prmmar 9. Cari. Dengan mengandaikan x -, kita akan mempunyai 2. Kamiran bentuk dikurangkan kepada kamiran y daripada langkah 1 seperti berikut. Memandangkan terbitan ()" = 2, kami menyerlahkannya dalam pengangka: 4 Kami mengenal pasti terbitan ungkapan radikal dalam pengangka. Oleh kerana (x, maka kami akan mempunyai, dengan mengambil kira hasil contoh 9, 3. Kamiran bagi bentuk di mana P„(x) ialah darjah ke-n polinomial, boleh didapati dengan kaedah pekali tak tentu, yang terdiri daripada yang berikut: Mari kita andaikan bahawa kesamaan memegang Contoh 10. Kamiran perkasa dengan Qn-i (s) ialah polinomial bagi (n - 1) darjah dengan pekali tak tentu: Untuk mencari pekali yang tidak diketahui | kita bezakan kedua-dua belah (1): Kemudian kita kurangkan bahagian kanan kesamaan (2) kepada penyebut biasa yang sama dengan penyebut bagi sebelah kiri, iaitu y/ax2 + bx + c, mengurangkan kedua-dua belah (2) yang mana, kita memperoleh identiti dalam kedua-dua belah yang mengandungi polinomial darjah n. Menyamakan pekali untuk darjah yang sama bagi x dalam sisi kiri dan kanan (3), kita memperoleh persamaan n + 1, dari mana kita dapati pekali yang diperlukan j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Menggantikan nilainya ke sisi kanan daripada (1) dan mencari kamiran + c kami mendapat jawapan untuk kamiran ini. Contoh 11. Cari kamiran Mari letakkan Membezakan kedua-dua sut kesamaan, kita akan mempunyai Membawa sebelah kanan kepada penyebut biasa dan mengurangkan kedua-dua belah dengannya, kita mendapat identiti atau. Menyamakan pekali pada kuasa yang sama bagi x, kita sampai pada sistem persamaan dari mana kita dapati = Kemudian kita dapati kamiran di sebelah kanan kesamaan (4): Akibatnya, kamiran yang diperlukan akan sama dengan

Tidak ada cara universal untuk menyelesaikan persamaan tidak rasional, kerana kelas mereka berbeza dalam kuantiti. Artikel ini akan menyerlahkan jenis ciri persamaan dengan penggantian menggunakan kaedah penyepaduan.

Untuk menggunakan kaedah pengamiran langsung, adalah perlu untuk mengira kamiran tak tentu jenis ∫ k x + b p d x , di mana p ialah pecahan rasional, k dan b ialah pekali nyata.

Contoh 1

Cari dan hitung antiterbitan bagi fungsi y = 1 3 x - 1 3 .

Penyelesaian

Mengikut peraturan penyepaduan, adalah perlu untuk menggunakan formula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, dan jadual antiderivatif menunjukkan bahawa terdapat penyelesaian siap sedia untuk fungsi ini. . Kami dapat itu

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Jawapan:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Terdapat kes apabila adalah mungkin untuk menggunakan kaedah memasukkan tanda pembezaan. Ini diselesaikan dengan prinsip mencari kamiran tak tentu bentuk ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , apabila nilai p dianggap sebagai pecahan rasional.

Contoh 2

Cari kamiran tak tentu ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Penyelesaian

Ambil perhatian bahawa d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Maka adalah perlu untuk memasukkan tanda pembezaan menggunakan jadual antiderivatif. Kami memperoleh bahawa

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Jawapan:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Menyelesaikan kamiran tak tentu melibatkan formula dalam bentuk ∫ d x x 2 + p x + q, dengan p dan q ialah pekali nyata. Kemudian anda perlu memilih segi empat sama lengkap dari bawah akar. Kami dapat itu

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Menggunakan formula yang terdapat dalam jadual kamiran tak tentu, kita memperoleh:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Kemudian integral dikira:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Contoh 3

Cari kamiran tak tentu bagi bentuk ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Penyelesaian

Untuk mengira, anda perlu mengeluarkan nombor 2 dan meletakkannya di hadapan radikal:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Pilih segi empat sama lengkap dalam ungkapan radikal. Kami dapat itu

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Kemudian kita memperoleh kamiran tak tentu bagi bentuk 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Jawapan: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Penyepaduan fungsi tidak rasional dijalankan dengan cara yang sama. Terpakai untuk fungsi bentuk y = 1 - x 2 + p x + q.

Contoh 4

Cari kamiran tak tentu ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Penyelesaian

Mula-mula anda perlu mendapatkan kuasa dua penyebut ungkapan dari bawah akar.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Kamiran jadual mempunyai bentuk ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, maka kita perolehi bahawa ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Jawapan:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Proses mencari fungsi tak rasional antiterbitan dalam bentuk y = M x + N x 2 + p x + q, di mana M, N, p, q sedia ada ialah pekali nyata, dan serupa dengan pengamiran pecahan mudah jenis ketiga. . Transformasi ini mempunyai beberapa peringkat:

menjumlahkan pembezaan di bawah punca, mengasingkan kuasa dua lengkap ungkapan di bawah punca, menggunakan formula jadual.

Contoh 5

Cari antiterbitan bagi fungsi y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Penyelesaian

Daripada keadaan kita mempunyai bahawa d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x dan x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, kemudian (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Mari kita hitung kamiran: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Jawapan:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Pencarian kamiran tak tentu bagi fungsi ∫ x m (a + b x n) p d x dijalankan menggunakan kaedah penggantian.

Untuk menyelesaikannya, perlu memperkenalkan pembolehubah baru:

1. Apabila p ialah integer, maka x = z N dianggap, dan N ialah penyebut sepunya untuk m, n.
2. Apabila m + 1 n ialah integer, maka a + b x n = z N, dan N ialah penyebut p.
3. Apabila m + 1 n + p ialah integer, maka pembolehubah a x - n + b = z N diperlukan, dan N ialah penyebut bagi nombor p.

Contoh 6

Cari kamiran pasti ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Penyelesaian

Kami mendapat bahawa ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Ia berikutan bahawa m = - 1, n = 1, p = - 1 2, maka m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 ialah integer. Anda boleh memperkenalkan pembolehubah baru dalam bentuk - 9 + 2 x = z 2. Ia adalah perlu untuk menyatakan x dalam sebutan z. Sebagai output kita dapat itu

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Adalah perlu untuk membuat penggantian ke dalam kamiran yang diberikan. Kami ada itu

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Jawapan:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Untuk memudahkan penyelesaian persamaan tak rasional, kaedah pengamiran asas digunakan.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter