varten käänteinen matriisi On olemassa relevantti analogia luvun käänteisarvon kanssa. Jokaiselle numerolle a, ei ole nolla, on olemassa sellainen luku b että työ a Ja b vastaa yhtä: ab= 1. Määrä b jota kutsutaan luvun käänteiseksi b. Esimerkiksi luvun 7 käänteisluku on 1/7, koska 7*1/7=1.

Käänteinen matriisi , joka on löydettävä tietylle neliömatriisille A, tällaista matriisia kutsutaan

jonka tulo matriisit A oikealla on identiteettimatriisi, ts.
. (1)

Identiteettimatriisi on diagonaalimatriisi, jossa kaikki diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin yksi.

Käänteismatriisin löytäminen- ongelma, joka usein ratkaistaan ​​kahdella tavalla:

• algebrallinen summausmenetelmä, joka vaatii determinanttien etsimistä ja matriisien transponointia;
• Gaussin menetelmä tuntemattomien eliminoimiseksi, joka edellyttää matriisien alkeismuunnosten suorittamista (lisää rivejä, kerro rivit samalla luvulla jne.).

Niille, jotka ovat erityisen uteliaita, on olemassa muita menetelmiä, esimerkiksi lineaaristen muunnosten menetelmä. Tällä oppitunnilla analysoimme kolmea mainittua menetelmää ja algoritmia käänteismatriisin löytämiseksi näitä menetelmiä käyttämällä.

Lause.Jokaiselle ei-singulaariselle (ei-degeneroituneelle, ei-singulaariselle) neliömatriisille löytyy käänteismatriisi, ja vain yksi. Erityiselle (degeneroituneelle, singulaariselle) neliömatriisille käänteismatriisia ei ole olemassa.

Neliömatriisia kutsutaan ei erityinen(tai ei-degeneroitunut, ei-yksikkö), jos sen determinantti ei ole nolla, ja erityistä(tai rappeutunut, yksikkö), jos sen determinantti on nolla.

Matriisin käänteisarvo löytyy vain neliömatriisista. Luonnollisesti käänteismatriisi on myös neliömäinen ja samaa luokkaa kuin annettu matriisi. Matriisia, jolle käänteismatriisi löytyy, kutsutaan käänteiseksi matriisiksi.

Käänteismatriisin löytäminen Gaussin tuntemattoman eliminointimenetelmän avulla

Ensimmäinen askel matriisin käänteisarvon löytämiseksi Gaussin eliminointimenetelmää käyttämällä on kohdistaminen matriisiin A Saman järjestyksen identiteettimatriisi erottaen ne pystypalkilla. Saamme kaksoimatriisin. Kerrotaan tämän matriisin molemmat puolet luvulla , niin saadaan

,

Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi Gaussin tuntemattoman eliminointimenetelmän avulla

1. Matriisiin A määrittää samaa järjestystä oleva identiteettimatriisi.

2. Muunna tuloksena oleva kaksoimatriisi siten, että sen vasemmalle puolelle tulee yksikkömatriisi, sitten oikealle puolelle identiteettimatriisin tilalle automaattisesti käänteimatriisi. Matriisi A vasemmalla puolella muunnetaan identiteettimatriisiksi alkeismatriisimuunnoksilla.

2. Jos matriisimuunnosprosessissa A identiteettimatriisissa on vain nollia millä tahansa rivillä tai missä tahansa sarakkeessa, silloin matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla, ja näin ollen matriisi A on yksikkö, eikä sillä ole käänteismatriisia. Tässä tapauksessa käänteismatriisin lisämäärittely pysähtyy.

Esimerkki 2. Matriisille

etsi käänteismatriisi.

ja muunnamme sen niin, että vasemmalla puolella saamme identiteettimatriisin. Aloitamme muutoksen.

Kerro vasemman ja oikean matriisin ensimmäinen rivi (-3) ja lisää se toiseen riviin ja kerro sitten ensimmäinen rivi (-4) ja lisää se kolmanteen riviin, niin saadaan

.

Varmistaaksemme, että myöhemmissä muunnoksissa ei ole murtolukuja, luokaamme ensin yksikkö toiselle riville kaksoimatriisin vasemmalle puolelle. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin 2:lla ja vähentämällä siitä kolmannen rivin, niin saamme

.

Lisätään ensimmäinen rivi toiseen ja kerrotaan sitten toinen rivi (-9) ja lisätään se kolmannella rivillä. Sitten saamme

.

Jaa sitten kolmas rivi 8:lla

.

Kerro kolmas rivi kahdella ja lisää se toiselle riville. Se käy ilmi:

.

Vaihdetaan toinen ja kolmas rivi, niin lopulta saadaan:

.

Näemme, että vasemmalla puolella meillä on identiteettimatriisi, joten oikealla puolella on käänteismatriisi. Täten:

.

Voit tarkistaa laskelmien oikeellisuuden kertomalla alkuperäisen matriisin löydetyllä käänteismatriisilla:

Tuloksena pitäisi olla käänteinen matriisi.

online-laskin käänteismatriisin löytämiseksi .

Esimerkki 3. Matriisille

etsi käänteismatriisi.

Ratkaisu. Kaksoismatriisin laatiminen

ja muutamme sen.

Kerromme ensimmäisen rivin 3:lla ja toisen 2:lla ja vähennämme toisesta, ja sitten kerromme ensimmäisen rivin viidellä ja kolmannen 2:lla ja vähennämme kolmannesta rivistä, niin saamme

.

Kerromme ensimmäisen rivin kahdella ja lisäämme sen toiseen ja vähennämme sitten toisen kolmannesta rivistä, niin saamme

.

Näemme, että vasemman puolen kolmannella rivillä kaikki elementit ovat yhtä suuria kuin nolla. Siksi matriisi on singulaarinen eikä siinä ole käänteismatriisia. Lopetamme käänteisen maritzin etsimisen.

Voit tarkistaa ratkaisun käyttämällä

ALGEBRAISET TÄYDENTEET JA ALAKOHTEET

Otetaanpa kolmannen asteen determinantti: .

Pieni, joka vastaa tätä elementtiä a ij kolmannen kertaluvun determinanttia kutsutaan toisen kertaluvun determinantiksi, joka saadaan tietystä determinantista poistamalla rivi ja sarake, joiden leikkauskohdassa annettu elementti on, ts. i- rivi ja j sarake. Alaikäiset, jotka vastaavat tiettyä elementtiä a ij me merkitsemme M ij.

Esimerkiksi, alaikäinen M 12, joka vastaa elementtiä a 12, tulee olemaan määräävä tekijä , joka saadaan poistamalla 1. rivi ja 2. sarake tästä determinantista.

Siten kaava, joka määrittelee kolmannen kertaluvun determinantin, osoittaa, että tämä determinantti on yhtä suuri kuin 1. rivin alkioiden tulojen summa niitä vastaavilla ala-arvoilla; tässä tapauksessa elementtiä vastaava molli a 12, otetaan "–"-merkillä, ts. voimme kirjoittaa sen

.

(1)

Vastaavasti voidaan ottaa käyttöön alaikäisten määritelmät toisen ja korkeamman asteen determinanteille.

Esittelemme vielä yhden konseptin.

Algebrallinen komplementti elementti a ij determinanttia kutsutaan sen vähäiseksi M ij, kerrottuna (–1) i+j .

Elementin algebrallinen komplementti a ij merkitty A ij.

Määritelmästä saadaan, että elementin algebrallisen komplementin ja sen minorin välinen yhteys ilmaistaan ​​yhtälöllä A ij= (–1) i+j Mij.

Esimerkiksi,

Esimerkki. Determinantti annetaan. löytö A 13, A 21, A 32.

On helppo nähdä, että käyttämällä elementtien algebrallisia lisäyksiä kaava (1) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Samalla tavalla kuin tämä kaava, voit saada determinantin laajennuksen minkä tahansa rivin tai sarakkeen elementeiksi.

Esimerkiksi determinantin hajoaminen 2. rivin alkioihin voidaan saada seuraavasti. Determinantin ominaisuuden 2 mukaan meillä on:

Laajennataan saatu determinantti 1. rivin alkioihin.

.

(2)

Täältä koska toisen kertaluvun determinantit kaavassa (2) ovat alkioiden ala-arvoja 21, 22, 23. Näin ollen ts. saimme determinantin hajotuksen 2. rivin alkioihin.

Samalla tavalla voimme saada determinantin laajennuksen kolmannen rivin elementeiksi. Käyttämällä determinanttien ominaisuutta 1 (transpositiosta), voimme osoittaa, että samanlaiset laajennukset ovat voimassa myös laajennettaessa sarakkeiden elementtejä.

Siten seuraava lause pätee.

Lause (determinantin laajentamisesta tietyn rivin tai sarakkeen yli). Determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen rivin (tai sarakkeen) alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa.

Kaikki yllä oleva pätee myös minkä tahansa korkeamman asteen determinanteille.

Esimerkkejä.

KÄÄNTEISMATRIISI

Käänteismatriisin käsite on otettu käyttöön vain neliömatriiseja.

Jos A on siis neliömatriisi käänteinen sille matriisi on matriisi, merkitty A-1 ja ehtoa tyydyttävällä tavalla. (Tämä määritelmä otetaan käyttöön analogisesti numeroiden kertomisen kanssa)

Samanlainen kuin käänteinen monissa ominaisuuksissa.

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

✪ Käänteinen matriisi (2 tapaa löytää)

✪ Kuinka löytää matriisin käänteis - bezbotvy

✪ Käänteinen matriisi #1

✪ Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen käänteismatriisimenetelmällä - bezbotvy

✪ Käänteinen matriisi

Tekstitykset

Käänteimatriisin ominaisuudet

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Missä det (\displaystyle \\det ) tarkoittaa determinanttia.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) kahdelle neliömäiselle käännettävälle matriisille A (\näyttötyyli A) Ja B (\näyttötyyli B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\näyttötyyli \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Missä (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) tarkoittaa transponoitua matriisia.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) mille tahansa kertoimelle k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\näyttötyyli \E^(-1)=E).
• Jos on tarpeen ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä, (b on nollasta poikkeava vektori), jossa x (\displaystyle x) on haluttu vektori, ja jos A − 1 (\displaystyle A^(-1)) on siis olemassa x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Muuten joko ratkaisuavaruuden ulottuvuus on suurempi kuin nolla tai ratkaisuja ei ole ollenkaan.

Menetelmät käänteismatriisin löytämiseksi

Jos matriisi on käännettävä, voit löytää käänteisen matriisin jollakin seuraavista tavoista:

Tarkat (suorat) menetelmät

Gauss-Jordan menetelmä

Otetaan kaksi matriisia: the A ja sinkku E. Esitetään matriisi A identiteettimatriisiin Gauss-Jordan-menetelmällä käyttämällä muunnoksia rivejä pitkin (voit käyttää muunnoksia myös sarakkeita pitkin, mutta ei keskenään). Kun olet käyttänyt jokaista operaatiota ensimmäiseen matriisiin, käytä samaa operaatiota toiseen. Kun ensimmäisen matriisin pelkistys yksikkömuotoon on valmis, toinen matriisi on yhtä suuri kuin A-1.

Gaussin menetelmää käytettäessä ensimmäinen matriisi kerrotaan vasemmalla yhdellä alkeimatriiseista Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvektio- tai diagonaalimatriisi päädiagonaalilla, paitsi yhtä kohtaa):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\pisteet &&&\\0&\pisteet &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\pisteet &0\\0&\pisteet &0&1/a_(mm)&0&\pisteet &0\\0&\pisteet &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\pisteet &0\\&&&\pisteet &&&\\0&\pisteet &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\pisteet &1\end(bmatriisi))).

Toinen matriisi kaikkien operaatioiden soveltamisen jälkeen on yhtä suuri kuin Λ (\displaystyle \Lambda), eli se on haluttu. Algoritmin monimutkaisuus - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Algebrallisen komplementtimatriisin käyttö

Matriisin käänteinen matriisi A (\näyttötyyli A), voidaan esittää muodossa

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Missä adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjoint matriisi;

Algoritmin monimutkaisuus riippuu determinantin O det laskemiseen käytettävän algoritmin monimutkaisuudesta ja on yhtä suuri kuin O(n²)·O det.

LU/LUP-hajotus

Matriisiyhtälö A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) käänteismatriisille X (\displaystyle X) voidaan pitää kokoelmana n (\displaystyle n) muotoiset järjestelmät A x = b (\displaystyle Ax=b). Merkitään i (\displaystyle i) matriisin sarake X (\displaystyle X) kautta X i (\displaystyle X_(i)); Sitten A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),koska i (\displaystyle i) matriisin sarake I n (\displaystyle I_(n)) on yksikkövektori e i (\displaystyle e_(i)). toisin sanoen käänteismatriisin löytäminen tarkoittaa n yhtälön ratkaisemista samalla matriisilla ja eri oikealla puolella. Kun LUP-hajotus (O(n³) aika) on suoritettu, kunkin n yhtälön ratkaiseminen vie O(n²) aikaa, joten tämä osa työtä vaatii myös O(n³) aikaa.

Jos matriisi A on ei-singulaarinen, voidaan sille laskea LUP-hajotelma P A = L U (\displaystyle PA=LU). Antaa P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\näyttötyyli B^(-1)=D). Sitten käänteismatriisin ominaisuuksista voimme kirjoittaa: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jos kerrot tämän yhtälön U:lla ja L:llä, saat kaksi muodon yhtälöä U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Ja D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Ensimmäinen näistä yhtälöistä on n² lineaaristen yhtälöiden järjestelmä for n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) joista oikeat puolet tunnetaan (kolmiomatriisien ominaisuuksista). Toinen edustaa myös n² lineaaristen yhtälöiden järjestelmää n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) joista oikeat puolet tunnetaan (myös kolmiomatriisien ominaisuuksista). Yhdessä ne edustavat n² yhtäläisyyden järjestelmää. Näitä yhtäläisyyksiä käyttämällä voimme määrittää rekursiivisesti matriisin D kaikki n² alkiot. Sitten yhtälöstä (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. saadaan yhtälö A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Käytettäessä LU-hajoamista ei vaadita matriisin D sarakkeiden permutaatiota, mutta ratkaisu voi poiketa, vaikka matriisi A olisi epäsingulaarinen.

Algoritmin monimutkaisuus on O(n³).

Iteratiiviset menetelmät

Schultzin menetelmät

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\summa _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\loppu(tapaukset)))

Virhearvio

Alkuarvioinnin valitseminen

Tässä tarkasteltujen iteratiivisten matriisiinversioprosessien alkuprosmaation valinnan ongelma ei salli meidän käsitellä niitä itsenäisinä universaaleina menetelminä, jotka kilpailevat suorien inversiomenetelmien kanssa, jotka perustuvat esimerkiksi matriisien LU-hajotukseen. Valinnassa on joitain suosituksia U 0 (\displaystyle U_(0)), varmistaen ehdon täyttymisen ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matriisin spektrisäde on pienempi kuin yksikkö), mikä on välttämätöntä ja riittävä prosessin konvergenssiin. Tässä tapauksessa on kuitenkin ensinnäkin tiedettävä ylhäältä estimaatti käännettävän matriisin A tai matriisin spektrille. A A T (\displaystyle AA^(T))(eli jos A on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi ja ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), sitten voit ottaa U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Missä ; jos A on mielivaltainen ei-singulaarinen matriisi ja ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), sitten he uskovat U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), missä myös α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Voit tietysti yksinkertaistaa tilannetta ja hyödyntää sitä ρ (A A T) ≤ k A A T k (\näyttötyyli \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), laita U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Toiseksi, kun alkumatriisi määritellään tällä tavalla, siitä ei ole takeita ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) tulee olemaan pieni (ehkä jopa osoittautuu ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), eikä lähentymisasteen korkeaa luokkaa paljasteta heti.

Esimerkkejä

Matriisi 2x2

Lauseketta ei voi jäsentää (syntaksivirhe): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ alkaa (bmatriisi) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatriisi).)

2x2-matriisin kääntäminen on mahdollista vain sillä ehdolla a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Olkoon n:nnen kertaluvun neliömatriisi

Matriisia A -1 kutsutaan käänteinen matriisi suhteessa matriisiin A, jos A*A -1 = E, missä E on n:nnen kertaluvun identiteettimatriisi.

Identiteettimatriisi- sellainen neliömatriisi, jossa kaikki päädiagonaalin elementit, jotka kulkevat vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan, ovat ykkösiä ja loput ovat nollia, esimerkiksi:

käänteinen matriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille nuo. niille matriiseille, joissa rivien ja sarakkeiden määrä on sama.

Lause käänteismatriisin olemassaolon ehdolle

Jotta matriisilla olisi käänteimatriisi, on välttämätöntä ja riittävää, että se on ei-singulaarinen.

Matriisia A = (A1, A2,...A n) kutsutaan ei-degeneroitunut, jos sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Matriisin lineaarisesti riippumattomien sarakevektorien lukumäärää kutsutaan matriisin arvoksi. Siksi voidaan sanoa, että käänteisen matriisin olemassaoloon on välttämätöntä ja riittävää, että matriisin järjestys on yhtä suuri kuin sen ulottuvuus, ts. r = n.

Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi

1. Kirjoita matriisi A taulukkoon yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä ja anna sille matriisi E oikealle (yhtälöiden oikeanpuoleisen puolen tilalle).
2. Käytä Jordan-muunnoksia, vähennä matriisi A matriisiksi, joka koostuu yksikkösarakkeista; tässä tapauksessa on välttämätöntä muuttaa samanaikaisesti matriisi E.
3. Järjestä tarvittaessa viimeisen taulukon rivit (yhtälöt) uudelleen siten, että alkuperäisen taulukon matriisin A alle tulee identiteettimatriisi E.
4. Kirjoita muistiin käänteismatriisi A -1, joka sijaitsee viimeisessä taulukossa alkuperäisen taulukon matriisin E alla.

Esimerkki 1

Etsi matriisille A käänteismatriisi A -1

Ratkaisu: Kirjoitetaan matriisi A ja oikealle osoitetaan identiteettimatriisi E. Jordan-muunnoksia käyttäen pelkistetään matriisi A identiteettimatriisiksi E. Laskelmat on esitetty taulukossa 31.1.

Tarkistetaan laskelmien oikeellisuus kertomalla alkuperäinen matriisi A ja käänteimatriisi A -1.

Matriisin kertomisen tuloksena saatiin identiteettimatriisi. Siksi laskelmat on tehty oikein.

Vastaus:

Matriisiyhtälöiden ratkaiseminen

Matriisiyhtälöt voivat näyttää tältä:

AX = B, HA = B, AXB = C,

missä A, B, C ovat määritellyt matriisit, X on haluttu matriisi.

Matriisiyhtälöt ratkaistaan ​​kertomalla yhtälö käänteismatriiseilla.

Jos haluat esimerkiksi löytää matriisin yhtälöstä, sinun on kerrottava tämä yhtälö vasemmalla.

Siksi löytääksesi ratkaisun yhtälöön, sinun on löydettävä käänteinen matriisi ja kerrottava se yhtälön oikealla puolella olevalla matriisilla.

Muut yhtälöt ratkaistaan ​​samalla tavalla.

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö AX = B jos

Ratkaisu: Koska käänteimatriisi on yhtä suuri kuin (katso esimerkki 1)

Matriisimenetelmä taloudellisessa analyysissä

Muiden ohella niitä käytetään myös matriisimenetelmiä. Nämä menetelmät perustuvat lineaariseen ja vektori-matriisialgebraan. Tällaisia ​​menetelmiä käytetään monimutkaisten ja moniulotteisten taloudellisten ilmiöiden analysointiin. Useimmiten näitä menetelmiä käytetään, kun on tarpeen tehdä vertaileva arvio organisaatioiden ja niiden rakenteellisten jakojen toimivuudesta.

Matriisianalyysimenetelmien soveltamisprosessissa voidaan erottaa useita vaiheita.

Ensimmäisessä vaiheessa taloudellisten indikaattoreiden järjestelmä on muodostumassa ja sen pohjalta kootaan lähtötiedon matriisi, joka on taulukko, jonka yksittäisillä riveillä esitetään järjestelmänumerot (i = 1,2,....,n), ja pystysarakkeissa - indikaattorien numerot (j = 1,2,....,m).

Toisessa vaiheessa Jokaiselle pystysuoralle sarakkeelle tunnistetaan suurin käytettävissä olevista indikaattoriarvoista, joka otetaan yhdeksi.

Tämän jälkeen kaikki tässä sarakkeessa näkyvät summat jaetaan suurimmalla arvolla ja muodostuu standardoitujen kertoimien matriisi.

Kolmannessa vaiheessa kaikki matriisin komponentit on neliöity. Jos niillä on erilainen merkitys, jokaiselle matriisi-indikaattorille on määritetty tietty painokerroin k. Jälkimmäisen arvo määräytyy asiantuntijalausunnon perusteella.

Viimeisessä, neljäs vaihe löytyi luokitusarvoja R j ryhmitellään niiden lisääntymisen tai laskun mukaan.

Esiteltyjä matriisimenetelmiä tulisi käyttää esimerkiksi erilaisten investointihankkeiden vertailevassa analyysissä sekä muiden organisaatioiden toiminnan taloudellisten indikaattoreiden arvioinnissa.

1. Etsi alkuperäisen matriisin determinantti. Jos , niin matriisi on singulaarinen eikä käänteismatriisia ole olemassa. Jos, niin ei-degeneroitunut ja käänteinen matriisi on olemassa.

2. Etsi transponoitu matriisi.

3. Etsi elementtien algebralliset komplementit ja muodosta niistä adjointmatriisi.

4. Muodostamme käänteismatriisin kaavan avulla.

5. Tarkistamme käänteismatriisin laskennan oikeellisuuden sen määritelmän perusteella:.

Esimerkki. Etsi tämän matriisin käänteisarvo: .

Ratkaisu.

1) Matriisideterminantti

.

2) Etsi matriisin elementtien algebralliset komplementit ja muodosta niistä adjointmatriisi:

3) Laske käänteismatriisi:

,

4) Tarkista:

№4Matrix sijoitus. Matriisirivien lineaarinen riippumattomuus

Lukuisten matemaattisten ja sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa ja tutkimisessa matriisitason käsite on tärkeä.

Kokomatriisissa, poistamalla kaikki rivit ja sarakkeet, voit eristää neliömatriisit :nnen kertaluvun, missä. Tällaisten alimatriisien determinantteja kutsutaan matriisijärjestyksen alaikäiset .

Esimerkiksi matriiseista voi saada 1., 2. ja 3. kertaluvun alimatriiseja.

Määritelmä. Matriisin sijoitus on matriisin nollasta poikkeavien ala-arvojen korkein kertaluku. Nimitys: tai.

Määritelmästä seuraa:

1) Matriisin järjestys ei ylitä pienempiä mitoistaan, ts.

2) jos ja vain jos kaikki matriisin alkiot ovat nolla, ts.

3) N:nnen kertaluvun neliömatriisille jos ja vain, jos matriisi on ei-singulaarinen.

Koska matriisin kaikkien mahdollisten minorien suora luetteleminen suurimmasta koosta alkaen on vaikeaa (aikaa vievää), he käyttävät perusmatriisimuunnoksia, jotka säilyttävät matriisin järjestyksen.

Elementaariset matriisimuunnokset:

1) Nollarivin (sarakkeen) hylkääminen.

2) Kerrotaan kaikki rivin (sarakkeen) elementit numerolla.

3) Matriisin rivien (sarakkeiden) järjestyksen muuttaminen.

4) Lisäämällä yhden rivin (sarakkeen) jokaiseen elementtiin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna millä tahansa numerolla.

5) Matriisitransponointi.

Määritelmä. Matriisista alkeismuunnoksilla saatua matriisia kutsutaan ekvivalentiksi ja se merkitään A SISÄÄN.

Lause. Matriisin järjestys ei muutu perusmatriisimuunnosten aikana.

Alkeismuunnoksia käyttämällä voit pienentää matriisin ns. askelmuotoon, kun sen arvon laskeminen ei ole vaikeaa.

Matriisia kutsutaan echeloniksi, jos sillä on muoto:

Ilmeisesti askelmatriisin arvo on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien rivien lukumäärä, koska on pieni järjestys, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla:

.

Esimerkki. Määritä matriisin sijoitus alkeismuunnosten avulla.

Matriisin järjestys on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien rivien lukumäärä, ts. .

№5Matriisirivien lineaarinen riippumattomuus

Annettu kokomatriisi

Merkitään matriisin rivit seuraavasti:

Kaksi riviä kutsutaan yhtä suuri , jos niitä vastaavat elementit ovat yhtä suuret. .

Otetaan käyttöön operaatiot, joissa merkkijono kerrotaan luvulla ja lisätään merkkijonoja elementti kerrallaan suoritettavina operaatioina:

Määritelmä. Riviä kutsutaan matriisin rivien lineaariseksi yhdistelmäksi, jos se on yhtä suuri kuin näiden rivien tulojen summa mielivaltaisilla reaaliluvuilla (millä tahansa luvuilla):

Määritelmä. Matriisin rivejä kutsutaan lineaarisesti riippuvainen , jos on lukuja, jotka eivät ole samanaikaisesti yhtä suuria kuin nolla, niin että matriisirivien lineaarinen yhdistelmä on yhtä suuri kuin nollarivi:

Missä . (1.1)

Matriisirivien lineaarinen riippuvuus tarkoittaa, että vähintään yksi rivi matriisista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Määritelmä. Jos rivien lineaarinen yhdistelmä (1.1) on nolla silloin ja vain jos kaikki kertoimet ovat , rivit kutsutaan lineaarisesti riippumaton .

Matriisirank-lause . Matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin sen lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden enimmäismäärä, joiden kautta kaikki muut rivit (sarakkeet) ilmaistaan ​​lineaarisesti.

Lauseella on keskeinen rooli matriisianalyysissä, erityisesti lineaaristen yhtälöjärjestelmien tutkimuksessa.

№6Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tuntemattomien kanssa

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä käytetään laajasti taloustieteessä.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän muuttujilla on muoto:

,

jossa () kutsutaan mielivaltaisia ​​numeroita muuttujien kertoimet Ja yhtälöiden vapaat ehdot , vastaavasti.

Lyhyt kirjoitus: ().

Määritelmä. Järjestelmän ratkaisu on sellainen arvojoukko, jonka korvaamisen jälkeen jokainen järjestelmän yhtälö muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

1) Yhtälöjärjestelmää kutsutaan liitos , jos siinä on vähintään yksi ratkaisu ja ei-nivel, jos sillä ei ole ratkaisuja.

2) Samanaikaista yhtälöjärjestelmää kutsutaan varma , jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epävarma , jos siinä on useampi kuin yksi ratkaisu.

3) Kutsutaan kahta yhtälöjärjestelmää vastaava (vastaava ) , jos niillä on sama ratkaisujoukko (esimerkiksi yksi ratkaisu).