Olgu mõõtmetega (m; n) maatriksis A juhuslikult valitud k rida ja k veergu (k ≤ min(m; n)). Valitud ridade ja veergude ristumiskohas paiknevad maatriksielemendid moodustavad k järku ruutmaatriksi, mille determinanti nimetatakse k y järgu minoorseks M kk või maatriksi A k-ndat järku minooriks.

Maatriksi auaste on maatriksi A maksimaalne nullist erineva alamooride järjekord ja iga järgu r min, mis on nullist erinev, on põhimoll. Nimetus: helin A = r. Kui ring A = ring B ning maatriksite A ja B suurused on samad, siis nimetatakse maatrikseid A ja B ekvivalentseteks. Nimetus: A ~ B.

Maatriksi järgu arvutamise peamised meetodid on alaealiste piirnemise meetod ja meetod.

Piiritav minoormeetod

Piirnevate alaealiste meetodi olemus on järgmine. Olgu maatriksist juba leitud k-järgu moll, mis erineb nullist. Seejärel käsitleme allpool ainult neid k+1 järgu molli, mis sisaldavad (st ääristavad) nullist erinevat k-ndat järku molli. Kui kõik need on nulliga võrdsed, on maatriksi auaste võrdne k-ga, vastasel juhul (k+1) järku piirnevate alaealiste hulgas on nullist erinev üks ja kogu protseduuri korratakse.

Maatriksi ridade (veergude) lineaarne sõltumatus

Maatriksi järgu mõiste on tihedalt seotud selle ridade (veergude) lineaarse sõltumatuse kontseptsiooniga.

Maatriksi read:

nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui on arvud λ 1, λ 2, λ k nii, et võrdsus on tõene:

Maatriksi A ridu nimetatakse lineaarselt sõltumatuteks, kui ülaltoodud võrdsus on võimalik ainult juhul, kui kõik arvud λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Maatriksi A veergude lineaarne sõltuvus ja sõltumatus määratakse sarnaselt.

Kui maatriksi A mis tahes rida (a l) (kus (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) saab esitada kui

Samamoodi on määratletud ka veergude lineaarse kombinatsiooni mõiste. Järgnev teoreem alus-molli kohta kehtib.

Alusread ja baasveerud on lineaarselt sõltumatud. Maatriksi A mis tahes rida (või veerg) on ​​põhiridade (veerude) lineaarne kombinatsioon, st ridade (veerude) kombinatsioon, mis lõikuvad alus-molli. Seega on maatriksi A aste: rang A = k võrdne maatriksi A lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) maksimaalse arvuga.

Need. Maatriksi aste on maatriksi suurima ruutmaatriksi mõõde, mille jaoks on vaja auaste määrata ja mille determinant ei ole võrdne nulliga. Kui algne maatriks ei ole ruut või kui see on ruut, kuid selle determinant on null, siis madalamat järku ruutmaatriksite jaoks valitakse read ja veerud suvaliselt.

Lisaks determinantidele saab maatriksi auastet arvutada maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade või veergude arvu järgi. See võrdub lineaarselt sõltumatute ridade või veergude arvuga, olenevalt sellest, kumb on väiksem. Näiteks kui maatriksil on 3 lineaarselt sõltumatut rida ja 5 lineaarselt sõltumatut veergu, siis on selle järjestus kolm.

Näited maatriksi auastme leidmiseks

Kasutades alaealiste ääristamise meetodit, leidke maatriksi auaste

Lahendus: teist järku alaealine

piirnev moll M 2 on samuti nullist erinev. Mõlemad alaealised on aga neljandat järku, piirnevad M 3 -ga.

on võrdsed nulliga. Seetõttu on maatriksi A aste 3 ja alusmoll on näiteks ülaltoodud moll M 3.

Elementaarteisenduste meetod põhineb sellel, et maatriksi elementaarteisendused ei muuda selle järku. Neid teisendusi kasutades saate viia maatriksi vormile, kus kõik selle elemendid, välja arvatud a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), on võrdsed nulliga. See tähendab ilmselgelt, et auaste A = r. Pange tähele, et kui n-ndat järku maatriksil on ülemise kolmnurkse maatriksi kuju, see tähendab maatriksi, milles kõik põhidiagonaali all olevad elemendid on võrdsed nulliga, siis on selle definitsioon võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega. . Seda omadust saab kasutada maatriksi auastme arvutamisel elementaarteisenduste meetodil: nende abil on vaja maatriksi taandada kolmnurkseks ja seejärel vastavat determinandi valides leiame, et maatriksi auaste võrdub põhidiagonaali nullist erinevate elementide arvuga.

Elementaarteisenduste meetodil leidke maatriksi auaste

Lahendus Tähistame maatriksi A i-ndat rida sümboliga α i . Esimeses etapis teostame elementaarseid teisendusi

Teises etapis teostame teisendusi

Selle tulemusena saame

kus on mõned arvud (mõned neist arvudest või isegi kõik võivad olla nulliga võrdsed). See tähendab, et veergude elementide vahel on järgmised võrdsused:

(3.3.1) järeldub, et

Kui võrdsus (3.3.3) on tõene siis ja ainult siis, kui , siis nimetatakse ridu lineaarselt sõltumatuteks. Seos (3.3.2) näitab, et kui üks ridadest on lineaarselt väljendatud teistega, siis on read lineaarselt sõltuvad.

Lihtne on näha vastupidist: kui stringid on lineaarselt sõltuvad, siis on string, mis on ülejäänud stringide lineaarne kombinatsioon.

Olgu näiteks sisse (3.3.3), siis .

Definitsioon. Olgu maatriksis A identifitseeritud teatud r-ndat järku moll ja sisaldagu sama maatriksi (r+1)-ndat järku minoor täielikult molli . Ütleme, et sel juhul piirneb alaealine alaealisega (või piirneb ).

Nüüd tõestame olulist lemmat.

Lemma alaealiste kohta. Kui maatriksi A= järgu r moll erineb nullist ja kõik sellega piirnevad alamoorid on võrdsed nulliga, siis on maatriksi A mis tahes rida (veerg) selle ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, mis moodustavad .

Tõestus. Arutluskäigu üldistust kaotamata eeldame, et maatriksi A = vasakus ülanurgas asub r-ndat järku nullist erinev moll:

.

Maatriksi A esimese k rea puhul on lemma väide ilmne: piisab, kui lisada lineaarsesse kombinatsiooni sama rida koefitsiendiga, mis on võrdne ühega, ja ülejäänud - nulliga võrdsete kordajatega.

Tõestame nüüd, et maatriksi A ülejäänud read on lineaarselt väljendatud läbi esimese k rea. Selleks konstrueerime (r+1) järgu molli, lisades minoorsele k-nda rea ​​() ja l veerg ():

.

Saadud moll on kõigi k ja l puhul võrdne nulliga. Kui , siis on see võrdne nulliga, kuna see sisaldab kahte identset veergu. Kui , siis on tulemuseks olev alamoor ja seega lemma tingimuste kohaselt võrdne nulliga.

Dekomponeerime molli viimase elementide järgi l veerg:

Eeldusel saame:

(3.3.6)

Avaldis (3.3.6) tähendab, et maatriksi A k-ndat rida väljendatakse lineaarselt läbi esimese r rea.

Kuna maatriksi ülekandmisel ei muutu selle alaealiste väärtused (determinantide omaduste tõttu), siis kehtib kõik tõestatu ka veergude kohta. Teoreem on tõestatud.

Järeldus I. Maatriksi mis tahes rida (veerg) on ​​selle põhiridade (veergude) lineaarne kombinatsioon. Tõepoolest, maatriksi põhimoll on nullist erinev ja kõik sellega piirnevad mollid on nulliga võrdsed.

Järeldus II. N-ndat järku determinant on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui see sisaldab lineaarselt sõltuvaid ridu (veergud). Ridade (veergude) lineaarse sõltuvuse piisavus selleks, et determinant oleks võrdne nulliga, tõestati varem kui determinantide omadus.

Tõestame vajalikkust. Olgu meile antud n-ndat järku ruutmaatriks, mille ainsaks minoorseks on null. Sellest järeldub, et selle maatriksi aste on väiksem kui n, st. on vähemalt üks rida, mis on selle maatriksi põhiridade lineaarne kombinatsioon.

Tõestame veel ühe teoreemi maatriksi astme kohta.

Teoreem. Maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on võrdne selle lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalse arvuga ja on võrdne selle maatriksi järjestusega.

Tõestus. Olgu maatriksi A= aste võrdne r-ga. Siis on mis tahes selle k põhirida lineaarselt sõltumatud, vastasel juhul oleks alusmiinor võrdne nulliga. Teisest küljest sõltuvad kõik r+1 või enam read lineaarselt. Eeldades vastupidist, võime leida r-st suurema järgu molli, mis on eelmise lemma järelduse 2 järgi nullist erinev. Viimane on vastuolus sellega, et nullist erineva alaealiste maksimaalne järjekord on r. Kõik ridade puhul tõestatu kehtib ka veergude puhul.

Kokkuvõtteks toome välja veel ühe meetodi maatriksi auastme leidmiseks. Maatriksi auaste saab määrata, leides maksimaalse järgu molli, mis erineb nullist.

Esmapilgul nõuab see selle maatriksi lõpliku, kuid võib-olla väga suure hulga alaealiste arvutamist.

Järgnev teoreem võimaldab aga sellesse olulisi lihtsustusi sisse viia.

Teoreem. Kui maatriksi A moll on nullist erinev ja kõik sellega piirnevad mollid on võrdsed nulliga, siis on maatriksi aste võrdne r-ga.

Tõestus. Piisab, kui näidata, et mis tahes maatriksiridade alamsüsteem S>r jaoks on teoreemi tingimustes lineaarselt sõltuv (sellest järeldub, et r on maksimaalne lineaarselt sõltumatute maatriksiridade arv või selle mis tahes minoor, mille järk on suurem kui k on võrdsed nulliga).

Oletame vastupidist. Olgu read lineaarselt sõltumatud. Piirnevate alaealiste lemma kohaselt väljendatakse igaüks neist lineaarselt alaealist sisaldavate ridade kaudu, mis kuna need on nullist erinevad, on lineaarselt sõltumatud:

Nüüd kaaluge järgmist lineaarset kombinatsiooni:

või

Kasutades (3.3.7) ja (3.3.8), saame

,

mis on vastuolus lineaarse rea sõltumatusega.

Järelikult on meie eeldus vale ja seetõttu on kõik S>r read teoreemi tingimustes lineaarselt sõltuvad. Teoreem on tõestatud.

Vaatleme selle teoreemi alusel maatriksi auastme arvutamise reeglit - alaealiste piirnemise meetodit.

Maatriksi auastme arvutamisel tuleks liikuda madalama järgu alaealiste juurest kõrgema järgu alaealiste juurde. Kui nullist erinev r-nda järgu moll on juba leitud, siis tuleb arvutada ainult alaealisega piirnevad (r+1)-nda järgu mollid. Kui need on võrdsed nulliga, on maatriksi aste võrdne r-ga. Seda meetodit kasutatakse ka siis, kui me mitte ainult ei arvuta maatriksi auastet, vaid määrame ka kindlaks, millised veerud (read) moodustavad maatriksi alusminoori.

Näide. Arvutage maatriksi auaste piirnevate alaealiste meetodil

Lahendus. Teist järku moll, mis asub maatriksi A vasakus ülanurgas, on nullist erinev:

.

Kuid kõik seda ümbritsevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga:

;	;
;	;
;	.

Seetõttu on maatriksi A aste võrdne kahega: .

Selle maatriksi esimene ja teine ​​rida ning esimene ja teine ​​veerg on põhilised. Ülejäänud read ja veerud on nende lineaarsed kombinatsioonid. Tegelikult kehtivad stringide puhul järgmised võrdsused:

Kokkuvõttes märgime järgmiste omaduste kehtivust:

1) maatriksite korrutise järg ei ole suurem kui iga teguri järg;

2) mitteainsuse ruutmaatriksi Q poolt paremal või vasakul oleva suvalise maatriksi A korrutise aste võrdub maatriksi A astmega.

Polünoommaatriksid

Definitsioon. Polünoomimaatriks ehk -maatriks on ristkülikukujuline maatriks, mille elemendid on polünoomid ühes muutujas, millel on arvulised koefitsiendid.

-maatriksitel saab sooritada elementaarseid teisendusi. Need sisaldavad:

Kahe rea (veeru) ümberpaigutamine;

rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga;

Ühele reale (veerule) teise rea (veeru) lisamine, mis on korrutatud mis tahes polünoomiga.

Kahte sama suurusega maatriksit peetakse samaväärseteks: , kui maatriksilt saab minna lõpliku arvu elementaarteisenduste kasutamisele.

Näide. Tõesta maatriksi samaväärsust

,

.

1. Vahetage maatriksi esimene ja teine ​​veerg:

.

2. Lahutage teisest reast esimene, korrutatuna (-ga):

.

3. Korrutage teine ​​rida (–1) ja pange see tähele

.

4. Lahutage teisest veerust esimene, korrutatuna , saame

.

Kõikide etteantud suurusega -maatriksite hulk jagatakse ekvivalentmaatriksite disjunktilisteks klassideks. Maatriksid, mis on üksteisega samaväärsed, moodustavad ühe klassi ja need, mis ei ole samaväärsed, moodustavad teise klassi.

Iga ekvivalentmaatriksi klassi iseloomustab etteantud mõõtmetega kanooniline ehk normaalmaatriks.

Definitsioon. Mõõtmete kanooniline ehk normaalmaatriks on maatriks, mille põhidiagonaal sisaldab polünoome , kus p on väiksem arvudest m ja n ( ) ja nulliga mittevõrdsete polünoomide esikoefitsiendid on 1 ja iga järgnev polünoom jagatakse eelmisega. Kõik elemendid väljaspool põhidiagonaali on 0.

Definitsioonist järeldub, et kui polünoomide hulgas on nullastmega polünoome, siis on need põhidiagonaali alguses. Kui on nullid, on need põhidiagonaali lõpus.

Eelmise näite maatriks on kanooniline. Maatriks

ka kanooniline.

Iga -maatriksite klass sisaldab ainulaadset kanoonilist -maatriksit, st. Iga maatriks võrdub ainulaadse kanoonilise maatriksiga, mida nimetatakse selle maatriksi kanooniliseks vormiks või normaalvormiks.

Antud -maatriksi kanoonilise vormi põhidiagonaalil paiknevaid polünoome nimetatakse selle maatriksi invariantseteks teguriteks.

Üks invariantsete tegurite arvutamise meetod on antud -maatriksi taandamine kanooniliseks vormiks.

Seega on eelmise näite maatriksi puhul invariantsed tegurid

Eeltoodust järeldub, et sama invariantsete tegurite kogumi olemasolu on -maatriksite samaväärsuse vajalik ja piisav tingimus.

-maatriksite taandamine kanooniliseks vormiks taandub muutumatute tegurite määramiseks

, ; ,

kus r on maatriksi aste; - k-ndat järku alaealiste suurim ühisjagaja, mis võetakse juhtiva koefitsiendiga 1.

Näide. Olgu antud -maatriks

.

Lahendus. Ilmselgelt on esimest järku suurim ühisjagaja, s.o. .

Määratleme teist järku alaealised:

,

jne.

Juba nendest andmetest piisab järelduse tegemiseks: seega, .

Me määratleme

,

Seega .

Seega on selle maatriksi kanooniline vorm järgmine -maatriks:

.

Maatrikspolünoom on vormi avaldis

kus on muutuja; - ruutmaatriksid suurusjärgus n arvelementidega.

Kui , siis S nimetatakse maatriksi polünoomi astmeks, n on maatriksi polünoomi järk.

Iga ruutmaatriksit saab esitada maatriksi polünoomina. Ilmselgelt kehtib ka vastupidine väide, s.t. iga maatriksi polünoomi saab esitada ruutmaatriksina.

Nende väidete kehtivus tuleneb selgelt maatriksite tehte omadustest. Vaatame järgmisi näiteid.

Näide. Esitage polünoommaatriksit

maatrikspolünoomi kujul järgmiselt

.

Näide. Maatriksi polünoom

saab esitada järgmise polünoommaatriksina ( -maatriks)

.

See maatrikspolünoomide ja polünoommaatriksite vahetatavus mängib olulist rolli faktori- ja komponentanalüüsi meetodite matemaatilises aparaadis.

Sama järku maatrikspolünoome saab liita, lahutada ja korrutada samamoodi nagu tavalisi arvuliste koefitsientidega polünoome. Siiski tuleb meeles pidada, et maatrikspolünoomide korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, kuna Maatrikskorrutis ei ole kommutatiivne.

Kaht maatrikspolünoomi nimetatakse võrdseks, kui nende koefitsiendid on võrdsed, s.t. vastavad maatriksid muutuja samade astmete jaoks.

Kahe maatrikspolünoomi summa (erinevus) on maatrikspolünoom, mille koefitsient muutuja iga astme jaoks on võrdne polünoomide ja sama astme kordajate summaga (vahega).

Maatrikspolünoomi korrutamiseks maatrikspolünoomiga tuleb maatrikspolünoomi iga liige korrutada maatriksipolünoomi iga liikmega, liita saadud korrutised ja tuua sarnased liikmed.

Maatrikspolünoomi aste on korrutis, mis on väiksem või võrdne tegurite astmete summaga.

Tehteid maatrikspolünoomidega saab sooritada kasutades tehteid vastavate -maatriksitega.

Maatrikspolünoomide liitmiseks (lahutamiseks) piisab vastavate -maatriksite liitmisest (lahutamisest). Sama kehtib ka korrutamise kohta. -maatrikspolünoomide korrutise maatriks võrdub tegurite -maatriksite korrutisega.

Teisest küljest ja saab kirjutada kujul

kus B 0 on mitteainsuse maatriks.

Jagamisel on kordumatu parem jagatis ja õige jääk

kus R 1 aste on väiksem kui aste , või (jagamine ilma jäägita), samuti vasak jagatis ja vasak jääk siis ja ainult siis, kus järjekorras

Pange tähele, et maatriksi ridu ja veerge võib pidada mõõtmete aritmeetilisteks vektoriteks m Ja n, vastavalt. Seega võib suurusmaatriksit tõlgendada hulgana m n-mõõtmeline või n m-mõõtmelised aritmeetilised vektorid. Analoogiliselt geomeetriliste vektoritega tutvustame maatriksi ridade ja veergude lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse mõisteid.

4.8.1. Definitsioon. Liin
helistas stringide lineaarne kombinatsioon koefitsientidega
, kui selle rea kõigil elementidel on järgmine võrdsus:

,
.

4.8.2. Definitsioon.

Stringid
kutsutakse lineaarselt sõltuv, kui nendest on nullreaga võrdne mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon, st. on numbreid, mis ei ole kõik nulliga võrdsed

,
.

4.8.3. Definitsioon.

Stringid
kutsutakse lineaarselt sõltumatu, kui ainult nende triviaalne lineaarne kombinatsioon on võrdne nullreaga, st.

,

4.8.4. Teoreem. (maatriksiridade lineaarse sõltuvuse kriteerium)

Selleks, et read oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et vähemalt üks neist oleks teiste lineaarne kombinatsioon.

Tõestus:

Vajadus. Lase read
on lineaarselt sõltuvad, siis on nende nullreaga võrdne mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon:

.

Üldisust kaotamata eeldame, et lineaarse kombinatsiooni esimene koefitsient on nullist erinev (muidu saab ridu ümber nummerdada). Jagades selle suhte arvuga , saame

,

see tähendab, et esimene rida on teiste lineaarne kombinatsioon.

Adekvaatsus. Olgu üks ridadest näiteks , on siis teiste lineaarne kombinatsioon

see tähendab, et on olemas mittetriviaalne stringide lineaarne kombinatsioon
, võrdub nullstringiga:

mis tähendab jooni
on lineaarselt sõltuvad, mida oli vaja tõestada.

Kommenteeri.

Sarnaseid definitsioone ja väiteid saab sõnastada maatriksi veergude jaoks.

§4.9. Maatriksi auaste.

4.9.1. Definitsioon. Alaealine tellida maatriksid suurus
nimetatakse järjekorra määrajaks elementidega, mis asuvad mõne selle ristumiskohas read ja veerud.

4.9.2. Definitsioon. Mitte-null väiketellimus maatriksid suurus
helistas põhilised alaealine, kui kõik maatriksi minoorsed on korras
on võrdsed nulliga.

Kommenteeri. Maatriksil võib olla mitu põhimolli. Ilmselgelt on need kõik samas järjekorras. Samuti on võimalik, et maatriks suurus
väike tellimus erineb nullist ja alaealised on korras
ei eksisteeri, see tähendab
.

4.9.3. Definitsioon. Nimetatakse ridu (veerusid), mis moodustavad alus-minoorse põhilised read (veerud).

4.9.4. Definitsioon. Koht maatriksi järjekorda nimetatakse selle aluse minoorseks. Maatriksi auaste tähistatud
või
.

Kommenteeri.

Pange tähele, et determinandi ridade ja veergude võrdsuse tõttu ei muutu maatriksi auaste selle transponeerimisel.

4.9.5. Teoreem. (Maatriksi järgu invariantsus elementaarteisenduste korral)

Maatriksi auaste elementaarteisenduste käigus ei muutu.

Tõestust pole.

4.9.6. Teoreem. (Põhilise molli kohta).

Aluseks olevad read (veerud) on lineaarselt sõltumatud. Maatriksi mis tahes rida (veeru) saab esitada selle põhiridade (veergude) lineaarse kombinatsioonina.

Tõestus:

Teeme stringide jaoks tõestuse. Veergude väite tõestust saab läbi viia analoogia põhjal.

Olgu maatriksi auaste suurused
võrdub , A
− põhi-moll. Üldisust kaotamata eeldame, et põhimoll asub vasakus ülanurgas (muidu saab maatriksi taandada elementaarteisenduste abil sellele kujule):

.

Esmalt tõestame alusridade lineaarset sõltumatust. Tõestuse teostame vastuoluga. Oletame, et baasread on lineaarselt sõltuvad. Seejärel saab vastavalt teoreemile 4.8.4 ühte stringidest esitada ülejäänud põhistringide lineaarse kombinatsioonina. Seega, kui lahutame sellest reast määratud lineaarkombinatsiooni, saame nullrea, mis tähendab, et alaealine
on võrdne nulliga, mis on vastuolus põhimolli definitsiooniga. Seega oleme saanud vastuolu, seega on alusridade lineaarne sõltumatus tõestatud.

Tõestame nüüd, et maatriksi iga rida saab esitada baasridade lineaarse kombinatsioonina. Kui kõnealune reanumber 1-st kuni r, siis saab seda ilmselt esitada lineaarse kombinatsioonina, mille koefitsient on võrdne 1-ga. ja ülejäänud ridade nullkoefitsiendid. Näitame nüüd, et kui rea number alates
enne
, saab seda esitada põhistringide lineaarse kombinatsioonina. Mõelge maatriksi minoorile
, saadud alusest alaealine
rea lisamine ja suvaline veerg
:

Näitame, et see alaealine
alates
enne
ja mis tahes veeru numbri jaoks 1-st kuni .

Tõepoolest, kui veeru number 1-st kuni r, siis on meil kahe identse veeruga determinant, mis on ilmselgelt võrdne nulliga. Kui veeru number alates r+1-le ja rea ​​number alates
enne
, See
on algse maatriksi moll, mis on kõrgemat järku kui põhimoll, mis tähendab, et see on võrdne nulliga baasmolli definitsioonist. Seega on tõendatud, et alaealine
mis tahes reanumbri puhul on null alates
enne
ja mis tahes veeru numbri jaoks 1-st kuni . Laiendades seda üle viimase veeru, saame:

Siin
− vastavad algebralised liitmised. Märka seda
, kuna seetõttu
on põhiaine. Seetõttu joone elemendid k saab esitada baasridade vastavate elementide lineaarse kombinatsioonina veeru numbrist sõltumatute koefitsientidega :

Seega oleme tõestanud, et maatriksi suvalist rida saab esitada selle baasridade lineaarse kombinatsioonina. Teoreem on tõestatud.

13. loeng

4.9.7. Teoreem. (Mitteainsuse ruutmaatriksi auastme kohta)

Selleks, et ruutmaatriks oleks mitteainsus, on vajalik ja piisav, et maatriksi aste on võrdne selle maatriksi suurusega.

Tõestus:

Vajadus. Olgu ruutmaatriks suurus n on siis mitte-mandunud
Seetõttu on maatriksi determinant alusmoll, st.

Adekvaatsus. Lase
siis on põhimolli järjekord võrdne maatriksi suurusega, seega on alusmoll maatriksi determinant , st.
alaealise definitsiooni järgi.

Tagajärg.

Selleks, et ruutmaatriks oleks mitteainsuses, on vajalik ja piisav, et selle read oleksid lineaarselt sõltumatud.

Tõestus:

Vajadus. Kuna ruutmaatriks ei ole ainsus, on selle järjestus võrdne maatriksi suurusega
see tähendab, et maatriksi determinant on põhimoll. Seetõttu on teoreemi 4.9.6 kohaselt maatriksi read lineaarselt sõltumatud.

Adekvaatsus. Kuna maatriksi kõik read on lineaarselt sõltumatud, ei ole selle järjestus väiksem kui maatriksi suurus, mis tähendab
seetõttu eelmise teoreemi 4.9.7 järgi maatriks on mitte-mandunud.

4.9.8. Alaealiste ääristamise meetod maatriksi auastme leidmiseks.

Pange tähele, et osa sellest meetodist on juba kaudselt kirjeldatud põhiteoreemi tõestuses.

4.9.8.1. Definitsioon. Alaealine
helistas piirnevad alaealise suhtes
, kui see on saadud alaealiselt
lisades algsele maatriksile ühe uue rea ja ühe veeru.

4.9.8.2. Maatriksi järgu leidmise protseduur piirnevate alaealiste meetodil.

Leiame maatriksi mis tahes praeguse molli, mis erineb nullist.

Arvestame välja kõik sellega piirnevad alaealised.

Kui need kõik on võrdsed nulliga, on praegune moll alusüks ja maatriksi auaste on võrdne praeguse molli järjekorraga.

Kui piirnevate alaealiste hulgas on vähemalt üks nullist erinev, loetakse see aktuaalseks ja protseduur jätkub.

Alaealiste ääristamise meetodit kasutades leiame maatriksi auastme

.

Lihtne on määrata praegune nullist erinev teist järku moll, nt.

.

Arvutame sellega piirnevad alaealised:

Järelikult, kuna kõik piirnevad kolmandat järku alaealised on võrdsed nulliga, siis alaealised
on elementaarne, see tähendab

Kommenteeri. Vaadeldavast näitest on selge, et meetod on üsna töömahukas. Seetõttu kasutatakse praktikas palju sagedamini elementaarsete teisenduste meetodit, mida arutatakse allpool.

4.9.9. Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste meetodil.

Lause 4.9.5 põhjal võib väita, et maatriksi auaste elementaarteisenduste korral ei muutu (st ekvivalentmaatriksite auastmed on võrdsed). Seetõttu on maatriksi auaste võrdne algsest elementaarteisendustega saadud astmemaatriksi auastmega. Astmemaatriksi auaste on ilmselgelt võrdne selle nullist erinevate ridade arvuga.

Määrame maatriksi auastme

elementaarteisenduste meetodil.

Esitame maatriksi astmevaates:

Saadud ešelonmaatriksi nullist erineva ridade arv on kolm, seega

4.9.10. Lineaarsete ruumivektorite süsteemi järk.

Mõelge vektorite süsteemile
mingi lineaarne ruum . Kui see on lineaarselt sõltuv, siis saab selles eristada lineaarselt sõltumatut alamsüsteemi.

4.9.10.1. Definitsioon. Vektorsüsteemi järk
lineaarne ruum nimetatakse selle süsteemi maksimaalset lineaarselt sõltumatute vektorite arvu. Vektorsüsteemi auaste
tähistatud kui
.

Kommenteeri. Kui vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu, siis on selle järjestus võrdne vektorite arvuga süsteemis.

Sõnastame teoreemi, mis näitab seost lineaarruumi vektorite süsteemi astme ja maatriksi järgu mõistete vahel.

4.9.10.2. Teoreem. (Vektorite süsteemi auastme kohta lineaarruumis)

Lineaarruumi vektorite süsteemi järk on võrdne maatriksi astmega, mille veerud või read on vektorite koordinaadid lineaarruumi mõnes aluses.

Tõestust pole.

Tagajärg.

Selleks, et vektorite süsteem lineaarses ruumis oleks lineaarselt sõltumatu, on vajalik ja piisav, et maatriksi auaste, mille veerud või read on vektorite koordinaadid teatud aluses, on võrdne maatriksi arvuga. vektorid süsteemis.

Tõestus on ilmne.

4.9.10.3. Teoreem (Lineaarse kesta mõõtme kohta).

Lineaarsete kerevektorite mõõde
lineaarne ruum võrdne selle vektorsüsteemi astmega:

Tõestust pole.

kus on mõned arvud (mõned neist arvudest või isegi kõik võivad olla nulliga võrdsed). See tähendab, et veergude elementide vahel on järgmised võrdsused:

või ,.

(3.3.1) järeldub, et

(3.3.2)

kus on nullstring.

Definitsioon. Maatriksi A read on lineaarselt sõltuvad, kui on numbreid, mis ei ole kõik korraga võrdsed nulliga, nii et

(3.3.3)

Kui võrdsus (3.3.3) on tõene siis ja ainult siis, kui , siis nimetatakse ridu lineaarselt sõltumatuteks. Seos (3.3.2) näitab, et kui üks ridadest on lineaarselt väljendatud teistega, siis on read lineaarselt sõltuvad.

Lihtne on näha vastupidist: kui stringid on lineaarselt sõltuvad, siis on string, mis on ülejäänud stringide lineaarne kombinatsioon.

Olgu näiteks sisse (3.3.3), siis .

Definitsioon. Olgu maatriksis A valitud teatud moll r järjekorra ja lase alaealiseks ( r Sama maatriksi +1) järk sisaldab täielikult minoorset . Ütleme, et sel juhul piirneb alaealine alaealisega (või piirneb ).

Nüüd tõestame olulist lemmat.

Lemmaalaealiste kohta. Kui alaealine on korras r maatriks A = erineb nullist ja kõik sellega piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, siis on maatriksi A mis tahes rida (veerg) selle ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, mis moodustavad .

Tõestus. Arutluskäigu üldistust kaotamata eeldame, et nullist erinev moll r järjekord on maatriksi A = vasakus ülanurgas:

.

Esimeseks k Maatriksi A ridade puhul on lemma väide ilmne: piisab, kui lisada lineaarsesse kombinatsiooni sama rida koefitsiendiga, mis on võrdne ühega, ja ülejäänud - nulliga võrdsete kordajatega.

Tõestame nüüd, et maatriksi A ülejäänud read on lineaarselt väljendatud esimesena k read. Selleks konstrueerime molli ( r +1) järjekord lisades molli k-s rida () ja l veerg ():

.

Saadud moll on kõigi jaoks võrdne nulliga k ja l . Kui , siis on see võrdne nulliga, kuna see sisaldab kahte identset veergu. Kui , siis on tulemuseks olev alamoor ja seega lemma tingimuste kohaselt võrdne nulliga.

Dekomponeerime molli viimase elementide järgil veerg:

(3.3.4)

kus on elementide algebralised täiendid. Algebraline komplement on maatriksi A moll, seega . Jagage (3.3.4) arvuga ja väljendage seda järgmiselt:

(3.3.5)

Kus,.

Eeldusel saame:

(3.3.6)

Avaldis (3.3.6) tähendab seda k Maatriksi A rida väljendatakse lineaarselt läbi esimese r read.

Kuna maatriksi ülekandmisel ei muutu selle alaealiste väärtused (determinantide omaduste tõttu), siis kehtib kõik tõestatu ka veergude kohta. Teoreem on tõestatud.

Järeldus I . Maatriksi mis tahes rida (veerg) on ​​selle põhiridade (veergude) lineaarne kombinatsioon. Tõepoolest, maatriksi põhimoll on nullist erinev ja kõik sellega piirnevad mollid on nulliga võrdsed.

Järeldus II. Determinant n järjestus on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui see sisaldab lineaarselt sõltuvaid ridu (veergud). Ridade (veergude) lineaarse sõltuvuse piisavus selleks, et determinant oleks võrdne nulliga, tõestati varem kui determinantide omadus.

Tõestame vajalikkust. Olgu antud ruutmaatriks n järgus, mille ainus moll on null. Sellest järeldub, et selle maatriksi auaste on väiksem n , st. on vähemalt üks rida, mis on selle maatriksi põhiridade lineaarne kombinatsioon.

Tõestame veel ühe teoreemi maatriksi astme kohta.

Teoreem.Maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on võrdne selle lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalse arvuga ja on võrdne selle maatriksi järjestusega.

Tõestus. Olgu maatriksi A= aste võrdne r. Siis mõni selle k baasread on lineaarselt sõltumatud, vastasel juhul oleks põhimoll null. Teisest küljest mis tahes r +1 või enam rida on lineaarselt sõltuvad. Eeldades vastupidist, võime leida molli, mis on suurem kui r , erineb nullist eelmise lemma järelduse 2 järgi. Viimane on vastuolus sellega, et nullist erineva alaealiste maksimaalne järjekord on võrdne r . Kõik ridade puhul tõestatu kehtib ka veergude puhul.

Kokkuvõtteks toome välja veel ühe meetodi maatriksi auastme leidmiseks. Maatriksi auaste saab määrata, leides maksimaalse järgu molli, mis erineb nullist.

Esmapilgul nõuab see selle maatriksi lõpliku, kuid võib-olla väga suure hulga alaealiste arvutamist.

Järgnev teoreem võimaldab aga sellesse olulisi lihtsustusi sisse viia.

Teoreem.Kui maatriksi A moll on nullist erinev ja kõik sellega piirnevad mollid on võrdsed nulliga, siis on maatriksi auaste võrdne r.

Tõestus. Piisab, kui näidata, et mis tahes maatriksiridade alamsüsteem S>r on teoreemi tingimustes lineaarselt sõltuv (sellest järeldub, et r on maatriksi või selle mis tahes minoorsete ridade maksimaalne arv, mis on suurem kui k on võrdsed nulliga).

Oletame vastupidist. Olgu read lineaarselt sõltumatud. Piirnevate alaealiste lemma kohaselt väljendatakse igaüks neist lineaarselt alaealist sisaldavate ridade kaudu, mis kuna need on nullist erinevad, on lineaarselt sõltumatud:

(3.3.7)

Vaatleme maatriksit K lineaaravaldiste kordajatest (3.3.7):

.

Selle maatriksi ridu tähistatakse . Need on lineaarselt sõltuvad, kuna maatriksi K järk, s.o. selle lineaarselt sõltumatute joonte maksimaalne arv ei ületa r< S . Seetõttu on numbreid, mitte kõik nulliga võrdsed

Liigume edasi komponentide võrdsuse juurde

(3.3.8)

Nüüd kaaluge järgmist lineaarset kombinatsiooni:

või

Sama järku vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui nendest vektoritest saab sobiva lineaarse kombinatsiooni abil saada nullvektori. (Ei ole lubatud, et kõik lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid oleksid nulliga võrdsed, kuna see oleks triviaalne.) Vastasel juhul nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatuteks. Näiteks järgmised kolm vektorit:

on lineaarselt sõltuvad, kuna seda on lihtne kontrollida. Lineaarse sõltuvuse korral saab mis tahes vektorit alati väljendada teiste vektorite lineaarse kombinatsiooni kaudu. Meie näites: kas või Seda on lihtne sobivate arvutustega kontrollida. See toob kaasa järgmise definitsiooni: vektor on teistest vektoritest lineaarselt sõltumatu, kui seda ei saa esitada nende vektorite lineaarse kombinatsioonina.

Vaatleme vektorite süsteemi, täpsustamata, kas see on lineaarselt sõltuv või lineaarselt sõltumatu. Iga veeruvektoritest a koosneva süsteemi puhul on võimalik tuvastada maksimaalne võimalik arv lineaarselt sõltumatuid vektoreid. See arv, mida tähistatakse tähega , on selle vektorsüsteemi auaste. Kuna iga maatriksit saab vaadelda veeruvektorite süsteemina, määratletakse maatriksi auaste selles sisalduvate lineaarselt sõltumatute veeruvektorite maksimaalse arvuna. Reavektoreid kasutatakse ka maatriksi auastme määramiseks. Mõlemad meetodid annavad sama maatriksi jaoks sama tulemuse ja ei tohi ületada väikseimat või. Järkjärgu ruutmaatriksi aste on vahemikus 0 kuni . Kui kõik vektorid on nullid, on sellise maatriksi auaste null. Kui kõik vektorid on üksteisest lineaarselt sõltumatud, on maatriksi järjestus võrdne. Kui moodustame ülaltoodud vektoritest maatriksi, siis on selle maatriksi aste 2. Kuna iga kahe vektori saab lineaarse kombinatsiooniga taandada kolmandikuks, siis on auaste väiksem kui 3.

Kuid me võime veenduda, et nende mis tahes kaks vektorit on lineaarselt sõltumatud, seega ka auaste

Ruutmaatriksit nimetatakse ainsuseks, kui selle veeruvektorid või reavektorid on lineaarselt sõltuvad. Sellise maatriksi determinant on võrdne nulliga ja selle pöördmaatriksit ei eksisteeri, nagu eespool märgitud. Need järeldused on üksteisega samaväärsed. Selle tulemusena nimetatakse ruutmaatriksit mitteainsuseks või mitteainsuseks, kui selle veeruvektorid või reavektorid on üksteisest sõltumatud. Sellise maatriksi determinant ei ole võrdne nulliga ja selle pöördmaatriks on olemas (vrd lk 43)

Maatriksi auastmel on üsna ilmne geomeetriline tõlgendus. Kui maatriksi auaste on võrdne , siis öeldakse, et -mõõtmeline ruum on vektorite poolt hõlmatud. Kui auaste on, asuvad vektorid -dimensioonilises alamruumis, mis hõlmab neid kõiki. Niisiis vastab maatriksi auaste ruumi minimaalsele nõutavale mõõtmele, "mis sisaldab kõiki vektoreid"; -mõõtmelist alamruumi -mõõtmelises ruumis nimetatakse -mõõtmeliseks hüpertasandiks. Maatriksi aste vastab hüpertasandi väikseimale mõõtmele, milles kõik vektorid veel asuvad.