Запишите число в двоичной системе счисления, а степени двойки справа налево. Например, мы хотим преобразовать двоичное число 10011011 2 в десятичное. Сначала запишем его. Затем запишем степени двойки справа налево. Начнем с 2 0 , что равно "1". Увеличиваем степень на единицу для каждого следующего числа. Останавливаемся, когда число элементов в списке равно числу цифр в двоичном числе. Наше число для примера, 10011011, включает в себя восемь цифр, поэтому список из восьми элементов будет выглядеть так: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Запишите цифры двоичного числа под соответствующими степенями двойки. Теперь просто запишите 10011011 под числами 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, и 1, с тем чтобы каждая двоичная цифра соответствовала своей степени двойки. Самая правая "1" двоичного числа должна соответствовать самой правой "1" из степеней двоек, и так далее. Если вам удобнее, вы можете записать двоичное число над степенями двойки. Самое важное – чтобы они соответствовали друг другу.

Соедините цифры в двоичном числе с соответствующими степенями двойки. Нарисуйте линии (справа налево), которые соединяют каждую последующую цифру двоичного числа со степенью двойки, находящейся над ней. Начните построение линий с соединения первой цифры двоичного числа с первой степенью двойки над ней. Затем нарисуйте линию от второй цифры двоичного числа ко второй степени двойки. Продолжайте соединять каждую цифру с соответствующей степенью двойки. Это поможет вам визуально увидеть связь между двумя различными наборами чисел.

Запишите конечное значение каждой степени двойки. Пройдитесь по каждой цифре двоичного числа. Если эта цифра 1, запишите соответствующую степень двойки под цифрой. Если эта цифра 0, запишите под цифрой 0.

• Так как "1" соответствует "1", она остается "1". Так как "2" соответствует "1", она остается "2". Так как "4" соответствует "0", она становится "0". Так как "8" соответствует "1", она становится "8", и так как "16" соответствует "1" она становится "16". "32" соответствует "0" и становится "0", "64" соответствует "0" и поэтому становится "0", в то время как "128" соответствует "1" и становится 128.

Сложите получившиеся значения. Теперь сложите получившиеся под линией цифры. Вот что вы должны сделать: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Это десятичный эквивалент двоичного числа 10011011.

Запишите ответ вместе с нижним индексом, равным системе счисления. Теперь все, что вам осталось сделать – это записать 155 10 , чтобы показать, что вы работаете с десятичным ответом, который оперирует степенями десятки. Чем больше вы будете преобразовывать двоичные числа в десятичные, тем проще вам будет запомнить степени двойки, и тем быстрее вы сможете выполнять данную задачу.

Используйте данный метод, чтобы преобразовать двоичное число с десятичной точкой в десятичную форму. Вы можете использовать данный метод даже если вы хотите преобразовать двоичное число, такое как 1.1 2 в десятичное. Все, что вам необходимо знать – это то, что число в левой части десятичного числа – это обычное число, а число в правой части десятичного числа – это число "делений надвое", или 1 x (1/2).

• "1" слева от десятичного числа соответствует 2 0 , или 1. 1 справа от десятичного числа соответствует 2 -1 , или.5. Сложите 1 и.5 и вы получите 1.5, которое является эквивалентом 1.1 2 в десятичном виде.

Большинство людей на нашей планете при счете пользуются десятичной системой счисления, а вот в компьютерах используется двоичная. Некоторые племена на заре развития человечества использовали двенадцатеричную и шестидесятеричную. Именно от них нам остались 12 часов на циферблате и 60 минут в часу.

Порою необходимо перевести число из одной системы в другую. В этой статье рассмотрим конкретнее, как переводить в десятичную систему из некоторых других популярных систем.

Принцип построения числа из цифр

Прежде всего нужно понять, что такое система счисления и её основание. Система счисления - способ представления чисел в виде комбинации тех или иных цифр. Основание системы - количество цифр, в ней использующихся. Например, в десятичной системе с основанием 10 всего 10 цифр - от 0 до 9. В шестнадцатеричной, соответственно, 16 цифр, для обозначения которых используются арабские цифры 0 - 9 и латинские буквы A - F вместо цифр 10 - 15. Например, 2F7BE 16 - число шестнадцатеричной системы. При такой записи нижним индексом обозначается основание системы счисления. Ключевым различием между системами с разными основаниями является "ценность" числа 10. В шестнадцатеричной системе 10 16 будет равно 16 10 , а в двоичной 10 2 равно всего лишь двум. 100 16 будет вычисляться как

100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .

Следует также различать понятия "цифра" и "число". Цифра обозначается одним символом, а число - может и несколькими. Например, число 9 10 в двоичной системе будет выглядеть как 1001 2 , а цифра 9 в двоичной системе не существует как таковая.

Алгоритм перевода

Чтобы перевести в десятичную систему число, нужно научиться применять несложный алгоритм.

1. Определить основание системы счисления. Оно обозначается нижним индексом после числа, к примеру, в числе 2F7BE 16 основание равно 16.
2. Каждую цифру числа умножить на основание в степени, равной номеру цифры справа налево, начиная с нуля. В числе 2F7BE 16 Е (равное 14) умножается на 16 в нулевой степени, В (цифра 11) - на 16 в первой степени и так далее: 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 .
3. Сложить полученные результаты.

2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .

Рассмотрим на примерах, как самые популярные - шестнадцатеричную, восьмеричную и двоичную системы перевести в десятичную.

• 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
• 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
• 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10

Разумеется, считать каждый раз вручную неудобно, нерационально, да и неохота. Существует множество калькуляторов, умеющих переводить числа из системы в систему. К примеру, стандартный калькулятор Windows в режиме "Программист" (клавиши Alt+3 или меню "Вид") может работать с системами оснований 2, 8, 10 и 16.

Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".

Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .

Получить запись

Выполнено переводов: 1237200

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка : 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ: 273 10 = 421 8

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение: 0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ: 0.125 10 = 0.001 2

В одном из наших материалов мы рассмотрели определение . Оно имеет самый короткий алфавит. Только две цифры: 0 и 1. Примеры алфавитов позиционных систем счисления приведены в таблице.

Позиционные системы счисления

Название системы	Основание	Алфавит
Двоичная
Троичная
Четверичная
Пятеричная
Восьмеричная
Десятичная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двенадцатеричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В
Шестнадцатеричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F
Тридцатишестиричная		0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F,G, H,I,J,K,L,M,N,O,P,R,S,T,U,V,X,Y,Z

Для перевода небольшого числа из десятичного в двоичное, и обратно, лучше пользоваться следующей таблицей.

Таблица перевода десятичных чисел от 0 до 20 в двоичную систему счисления.

десятичное число	двоичное число	десятичное число	двоичное число

Однако таблица получится огромной, если записать туда все числа. Искать среди них нужное число будет уже сложнее. Гораздо проще запомнить несколько алгоритмов перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Как сделать перевод из одной системы счисления в другую? В информатике существует несколько простых способов перевода десятичных чисел в двоичные числа. Рассмотрим два из них.

Способ №1.

Допустим, требуется перевести число 637 десятичной системы в двоичную систему.

Делается это следующим образом: отыскивается максимальная степень двойки, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу.

В нашем случае это 9, т.к. 2 9 =512 , а 2 10 =1024 , что больше нашего начального числа. Таким образом, мы получили число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Значит, результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х может стоять 1 или 0.

Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 637-2 9 =125. Затем сравниваем с числом 2 8 =256 . Так как 125 меньше 256, то девятый разряд будет 0, т.е. результат уже примет вид 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , значит и восьмой разряд будет нулём.

2 6 =64 , то седьмой разряд равен 1. 125-64=61 Таким образом, мы получили четыре старших разряда и число примет вид 10011ххххх.

2 5 =32 и видим, что 32 < 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - пятый разряд 1 => 1001111ххх. Остаток 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, остаток 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110х, остаток 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Это и будет конечный результат.

Способ №2.

Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления, гласит:

1. Разделим a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1 ⋅2 n−1 +a n−2 ⋅2 n−2 +...+a 0 ⋅2 0 на 2.
2. Частное будет равно an−1 ⋅2n−2+...+a1 , а остаток будет равен
3. Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a1.
4. Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр: a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n−1 , которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
5. Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, которое будет равно нулю.

Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков. Записывать его начинаем с последнего найденного.

Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Получили 11 10 =1011 2 .

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

363 10 =101101011 2

Привет, посетитель сайта сайт! Продолжаем изучать и протокол сетевого уровня IP, а если быть более точным, то его версию IPv4. На первый взгляд тема двоичных чисел и двоичной системы счисления не имеет отношения к протоколу IP, но если вспомнить, что компьютеры работают с нулями и единицами, то оказывается, что двоичная система и ее понимание — это основа основ, нам нужно научиться переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот: из десятичной в двоичную . Это нам поможет лучше понять протокол IP, а также принцип работы масок сети переменной длины. Давайте приступать!

Если тема компьютерных сетей вам интересна, то можете ознакомиться с другими записями курса.

4.4.1 Введение

Прежде чем мы начнем, стоит вообще объяснить зачем нужна эта тема сетевому инженеру. Хотя вы могли убедиться в ее необходимости, когда мы говорили , но, вы можете сказать, что есть IP-калькуляторы, которые существенно облегчают задачу по распределению IP-адресов, вычислению нужных масок подсетей/сетей и определению номера сети и номера узла в IP-адресе. Так-то оно так, но IP-калькулятор не всегда под рукой, это причина номер раз. Причина номер два заключается в том, что на экзаменах Cisco вам не дадут IP-калькулятор и все преобразования IP-адресов из десятичной системы счисления в двоичную вам придется делать на листе бумаги , а вопросов, где это требуется на экзамене/экзаменах по получению сертификата CCNA не так уж и мало, будет обидно, если из-за такой мелочи экзамен будет завален. Ну и наконец понимания двоичной системы счисления ведет к лучшему пониманию принципа работы .

Вообще сетевой инженер не обязан уметь делать перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот в уме. Более того, это редко кто умеет делать в уме, в основном к такой категории относятся преподаватели различных курсов по компьютерным сетям, так как они сталкиваются с этим постоянно изо дня в день. Но при помощи листа бумаги и ручки вам стоит научиться осуществлять перевод.

4.4.2 Десятичные цифры и числа, разряды в числах

Давайте начнем с простого и поговорим про двоичные цифры и числа , вы же знаете, что цифры и числа – это две разные вещи. Цифра – это специальный символ для обозначения, а число – это абстрактная запись, означающая количество. Например, чтобы записать, что у нас пять пальцев на руке мы можем использовать римские и арабский цифры: V и 5. В данном случае пять является одновременно и числом, и цифрой. А, например, для записи числа 20 мы используем две цифры: 2 и 0.

Итого, в десятичной системе счисления у нас есть десять цифр или десять символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), комбинируя которые мы можем записывать различные числа. Каким принципом мы руководствуемся, используя десятичную систему счисления? Да все очень просто, мы возводим десятку в ту или иную степень, для примера возьмём число 321. Как его можно записать по-другому, да вот так: 3*10 2 +2*10 1 +1*10 0 . Таким образом получается, что число 321 представляет собой три разряда:

1. Цифра 3 означает старший разряд или в данном случае это разряд сотен, иначе их количество.
2. Цифра 2 стоит в разряде десятков, у нас два десятка.
3. Цифра один относится к младшему разряду.

То есть в данной записи двойка это не просто двойка, а две десятки или два раза по десять. А тройка это не просто тройка, а три раза по сто. Получается такая зависимость: единица каждого следующего разряда в десять раз больше единицы предыдущего, ведь, что такое 300 – это три раза по сто. Отступление по поводу десятичной системы счисление было нужно, чтобы проще понять двоичную.

4.4.3 Двоичные цифры и числа, а также их запись

В двоичной системе счисления всего две цифры: 0 и 1 . Поэтому запись числа в двоичной системе зачастую гораздо больше, чем в десятичной. За исключением чисел 0 и 1, ноль в двоичной системе счисления равен нулю в десятичной, аналогично и для единицы. Иногда, чтобы не перепутать в какой системе счисления записано число, используют суб-индексы: 267 10 , 10100 12 , 4712 8 . Число в суб-индексе указывает на систему счисления.

Для записи двоичных чисел могут быть использованы символы 0b и &(амперсанд): 0b10111, &111 . Если в десятичной системе счисления, чтобы произнести число 245 мы воспользуемся вот такой конструкцией: двести сорок пять, то в двоичной системе счисления чтобы назвать число, нам нужно произнести цифру из каждого разряда, например, число 1100 в двоичной системе счисления следует произносить не как тысяча сто, а как один, один, ноль, ноль. Давайте посмотрим на запись чисел от 0 до 10 в двоичной системе счисления:

Думаю, логика должна быть уже понятна. Если в десятичной системе счисления для каждого разряда у нас было доступно десять вариантов (от 0 до 9 включительно), то в двоичной системе счисления в каждом из разрядов двоичного числа у нас только два варианта: 0 или 1 .

Для работы с IP-адресами и масками подсети нам достаточно натуральных чисел в двоичной системе счисления, хотя двоичная система позволяет записывать дробные и отрицательные числа, но нам это без надобности .

4.4.4 Преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоичную

Давайте лучше разберемся с тем, как преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную . И тут все на самом деле очень и очень просто, хотя на словах объяснить трудно, поэтому сразу приведу пример преобразования чисел из десятичной системы счисления в двоичную . Возьмем число 61, чтобы выполнить преобразование в двоичную систему, нам нужно это число делить на два и смотреть, что получается в остатке от деления. А результат деления снова делить на два. В данном случае 61 – это делимое, в качестве делителя у нас всегда будет двойка, а частное (результат деления) мы делим снова на два, продолжаем деление до тех пор, пока в частном не окажется 1, эта последняя единица и будет крайним левым разрядом. Рисунок ниже это демонстрирует.

При этом обратите внимание, что число 61, это не 101111, а 111101, то есть выписываем результат с конца. Единицу в последнем частном смысла делить на два нет, поскольку в данном случае используется целочисленное деление, а при таком подходе получается так, как на Рисунке 4.4.2.

Это не самый быстрый способ перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную . У нас есть несколько ускорителей. Например, число 7 в двоичной системе записывается как 111, число 3 как 11, а число 255 как 11111111. Все эти случаи до безобразия просты. Дело в том, что числа 8, 4, и 256 являются степенями двойки, а числа 7, 3 и 255 на единицу меньше этих чисел. Так вот для числа, которые на единицу меньше, чем число равное степени двойки, действует простое правило: в двоичной системе такое десятичное число записывается количеством единиц равным степени двойки. Так, например, число 256 это два в восьмой степени, следовательно, 255 записывается как 11111111, а число 8 это два в третьей степени, а это говорит нам о том, что 7 в двоичной системе счисления будет записано как 111. Ну а понять, как записать 256, 4 и 8 в двоичной системе счисления тоже не трудно, достаточно просто прибавить единицу: 256 = 11111111 + 1 = 100000000; 8 = 111 + 1 = 1000; 4 = 11 + 1 = 100.
Любой свой результат вы можете проверить на калькуляторе и по началу лучше так и делать.

Как видим, делить мы еще не разучились. И теперь можем двигаться дальше.

4.4.5 Преобразование чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Преобразование чисел из двоичной системы счисления выполняется гораздо проще, чем перевод из десятичной в двоичную. В качестве примера перевода будем использовать число 11110. Обратите внимание на табличку ниже, она показывает степень, в которую нужно возвести двойку, чтобы потом в итоге получить десятичное число.

Чтобы из этого двоичной числа получить десятичное, нужно каждое число в разряде умножить на два в степени, а затем сложить результаты перемножения, проще показать:

1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 16+8+4+2+0=30

Откроем калькулятор и убедимся, что 30 в десятичной системе счисления, это 11110 в двоичной.

Видим, что всё сделано верно. Из примера видно, что перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную выполняется куда проще, чем обратный перевод . Чтобы уверенно работать с нужно лишь помнить степени двойки до 2 8 . Для наглядности приведу таблицу.

Нам больше и не нужно, поскольку максимально возможное число, которое можно записать в один байт (8 бит или восемь двоичных значений) равно 255, то есть в каждом октете IP-адреса или маски подсети протокола IPv4 максимально возможное значение — 255. В есть поля, в которых есть значения больше 255, но их нам рассчитывать не нужно.

4.4.6 Сложение, вычитание, умножение двоичных чисел и другие операции с двоичными числами

Давайте теперь посмотрим на операции, которые можно выполнять с двоичными числами . Начнем с простых арифметических операций, а затем перейдем к операциям булевой алгебры.

Сложение двоичных чисел

Складывать двоичные числа не так уж сложно: 1+0 =1; 1+1=0 (в дальнейшем дам пояснение); 0+0=0. Это были простые примеры, где использовался лишь один разряд, давайте посмотрим на примеры, где количество разрядов больше, чем один.
101+1101 в десятичной системе это будет 5 + 13 = 18. Давайте посчитаем в столбик.

Результат выделен оранжевым цветом, калькулятор говорит, что мы посчитали верно, можете проверить. Теперь давайте смотреть почему так получилось, ведь вначале я написал, что 1+1=0, но это для случая, когда у нас есть только один разряд, для случаев, когда разрядов больше, чем один, 1+1=10 (или два в десятичной), что логично.

Тогда смотрите, что получается, мы выполняем сложения по разрядам справа налево:

1. 1+1=10, записываем ноль, а единица уходит в следующий разряд.

2. В следующем разряде получается 0+0+1=1 (эта единица пришла к нам из результата сложения на шаге 1).

4. Тут у нас есть единица только у второго числа, но сюда еще перенеслась, поэтому 0+1+1 = 10.

5. Склеиваем всё воедино:10|0|1|0.

Если лень в столбик, то давайте считать так: 101011+11011 или 43 + 27 = 70. Как тут можно поступить, а давайте смотреть, ведь нам никто не запрещает делать преобразования, а от перемены мест слагаемых сумма не меняется, для двоичной системы счисления это правило также актуально.

1. 101011 = 101000 + 11 = 101000 + 10 + 1 = 100000 + 1000 + 10 + 1.
2. 11011 = 11000 + 10 + 1 = 10000 + 1000 + 10 + 1.
3. 100000 + 10000 + (1000 +1000) + (10+10) + (1+1).
4. 100000 + (10000 + 10000) + 100 + 10.
5. 100000 + 100000 +110
6. 1000000 + 110.
7. 1000110.

Можете проверить калькулятором, 1000110 в двоичной системе счисления это 70 в десятичной.

Вычитание двоичных чисел

Сразу пример для вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления , про отрицательные числа мы не говорили, поэтому 0-1 не берем в расчет: 1 – 0 = 1; 0 – 0 = 0; 1 – 1 = 0. Если разрядов больше чем один, то тоже все просто, даже никаких столбиков и ухищрений не нужно: 110111 – 1000, это то же самое, что и 55 – 8. В результате мы получим 101111. И биться сердце перестало, откуда единица в третьем разряде (нумерация слева направо и начинается с нуля)? Да всё просто! Во втором разряде числа 110111 стоит 0, а в первом разряде стоит 1 (если примем, что нумерация разрядов начинается с 0 и идет слева направо), но единица четвертого разряда получается путем сложения двух единиц третьего разряда (получается этакая виртуальная двойка) и от этой двойки мы отнимаем единицу, которая стоит в нулевом разряде числа 1000, ну а 2 — 1 = 1, ну а 1 является допустимой цифрой в двоичной системе счисления.

Умножение двоичных чисел

Нам осталось рассмотреть умножение двоичных чисел, которое реализует за счет сдвига на один разряд влево . Но для начала давайте посмотрим на результаты одноразрядного умножения: 1*1 = 1; 1*0=0 0*0=0. Собственно, всё просто, теперь давайте посмотрим на что-нибудь более сложное. Возьмем числа 101001 (41) и 1100 (12). Умножать будем столбиком.

Если из таблицы непонятно как так получилось, то попробую объяснить словами:

1. Умножение двоичных чисел удобно делать в столбик, поэтому выписываем второй множитель под первым, если числа с разным количество разрядов, то будет удобнее, если большее число будет сверху.
2. Следующим шагом умножаем все разряды первого числа на самый младший разряд второго числа. Записываем результат перемножения ниже при этом нужно записать так, чтобы под каждым соответствующим разрядом был записан результат перемножения.
3. Теперь нам нужно перемножить все разряды первого числа на следующий разряд второго числа и результат записать еще одной строчкой ниже, но этот результат нужно сдвинуть на один разряд влево, если смотреть на таблицу, то это вторая последовательность нулей сверху.
4. Точно также нужно сделать для последующих разрядов, каждый раз сдвигаясь на один разряд влево, а если смотреть на таблицу, то можно сказать, что на одну клетку влево.
5. У нас получилось четыре двоичных числа, которые нужно теперь сложить и получить результат. Сложение мы недавно рассмотрели, проблем возникнуть не должно.

В общем-то, операция умножения не такая уж и сложная, нужно лишь немного попрактиковаться.

Операции булевой алгебры

В булевой алгебре есть два очень важных понятия: true (истина) и false (ложь), эквивалентом для них служат ноль и единица в двоичной системе счисления. Операторы булевой алгебры расширяют количество доступных операторов над этими значениями, давайте на них посмотрим.

Операция «Логическое И» или AND

Операция «Логическое И» или AND эквивалентно умножению одноразрядных двоичных чисел.

1 AND 1 = 1; 1 AND 0 = 1; 0 AND 0 = 0; 0 AND 1 = 0.

1 AND 1 = 1 ; 1 AND 0 = 1 ; 0 AND 0 = 0 ; 0 AND 1 = 0.

Единица в результате «Логического И» будет только в том случае, если оба значения равны единицы, во всех остальных случаях будет ноль.

Операция «Логическое ИЛИ» или OR

Операция «Логическое ИЛИ» или OR работает по следующему принципу: если хотя бы одно значение равно единице, то в результате будет единица.

1 OR 1 = 1; 1 OR 0 = 1; 0 OR 1 = 1; 0 OR 0 = 0.

1 OR 1 = 1 ; 1 OR 0 = 1 ; 0 OR 1 = 1 ; 0 OR 0 = 0.

Операция «Исключающее ИЛИ» или XOR

Операция «Исключающее ИЛИ» или XOR даст нам в результате единицу только в том случае, если один из операндов равен единице, а второй равен нулю. Если оба операнда равны нулю, будет ноль и даже если оба операнда равны единице, в результате получится ноль.