Метод множителей Лагранжа (в англ. литературе «LaGrange"s method of undetermined multipliers») ˗ это численный метод решения оптимизационных задач, который позволяет определить «условный» экстремум целевой функции (минимальное или максимальное значение)

при наличии заданных ограничений на ее переменные в виде равенств (т.е. определена область допустимых значений)

˗ это значения аргумента функции (управляемые параметры) на вещественной области при котором значение функции стремится к экстремуму. Применение названия «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие, которое ограничивает область допустимых значений при поиске экстремума функции.

Метод множителей Лагранжа позволяет задачу поиска условного экстремума целевой функции на множестве допустимых значений преобразовать к задаче безусловной оптимизации функции.

В случае если функции и непрерывны вместе со своими частными производными, то существуют такие переменные λ не равные одновременно нулю, при которых выполняется следующее условие:

Таким образом, в соответствии с методом множителей Лагранжа для поиска экстремума целевой функции на множестве допустимых значений составляю функцию Лагранжа L(х, λ), которую в дальнейшем оптимизируют:

где λ ˗ вектор дополнительных переменных, называемых неопределенными множителями Лагранжа.

Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции f(x) свелась к задаче поиска безусловного экстремума функции L(x, λ).

и

Необходимое условие экстремума функции Лагранжа задается системой уравнений (система состоит из «n + m» уравнений):

Решение данной системы уравнений позволяет определить аргументы функции (Х), при которых значение функции L(x, λ), а также значение целевой функции f(x) соответствуют экстремуму.

Величина множителей Лагранжа (λ) имеет практический интерес в случае, если ограничения представлены в форме со свободным членом уравнения (константой). В этом случае можно рассматривать дальнейшее (увеличение/уменьшение) значения целевой функции за счет изменения значения константы в системе уравнения . Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы.

Существует несколько способов определения характера экстремума полученной функции:

Первый способ: Пусть – координаты точки экстремума, а - соответствующее значение целевой функции. Берется точка , близкая к точке , и вычисляется значение целевой функции :

Если , то в точке имеет место максимум.

Если , то в точке имеет место минимум.

Второй способ: Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, является знак второго дифференциала функции Лагранжа. Второй дифференциал функции Лагранжа определяется следующим образом:

Если в заданной точке минимум , если же , то целевая функция f(x) имеет в данной точке условный максимум.

Третий способ: Также характер экстремума функции можно выяснить рассмотрев гессиан функции Лагранжа. Матрица Гессе представляет собой симметричную квадратную матрицу вторых частных производных функции в точке , в которой элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали.

Для определения типа экстремума (максимум или минимум функции) можно воспользоваться правилом Сильвестра:

1. Для того, чтобы второй дифференциал функции Лагранжа был знакоположителен необходимо, чтобы угловые миноры функции были положительными . При таких условиях функция в этой точке имеет минимум.

2. Для того, чтобы второй дифференциал функции Лагранжа был знакоотрицателен , необходимо, чтобы угловые миноры функции чередовались, причем первый элемент матрицы должен быть отрицательнsv . При таких условиях функция в этой точке имеет максимум.

Под угловым минором понимаем минор, расположенный в первых k строках и k столбцах исходной матрицы.

Основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной и, соответственно, расширить арсенал доступных методов решения задачи. Однако задача решения системы уравнений, к которой сводится данный метод, в общем случае не проще исходной задачи поиска экстремума. Такие методы называются непрямыми. Их применение объясняется необходимостью получить решение экстремальной задачи в аналитической форме (допустим, для тех или иных теоретических выкладок). При решении конкретных практических задач обычно используются прямые методы, основанные на итеративных процессах вычисления и сравнения значений оптимизируемых функций.

Методика расчета

1 шаг : Определяем функцию Лагранжа из заданной целевой функции и системы ограничений:

Вперёд

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных x 1 , x 2 , ..., x n , что и целевая функция z . Пусть решается задача определения условного экстремума функции z = f (X) при ограничениях φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Составим функцию

которая называется функцией Лагранжа . X , - постоянные множители (множители Лагранжа ). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - доход, соответствующий плану X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , а функция φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то X , - цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(Х) - функция n + m переменных (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Определение стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

Легко заметить, что . Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции z = f (X) сводится к нахождению локального экстремума функции L(X) . Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума - исследования знака второго дифференциала d 2 L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения Δx i - связаны соотношениями

полученными путем дифференцирования уравнений связи.

Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными с помощью средства Поиск решения

Настройка Поиск решения позволяет находить решение систе­мы нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

где
- нелинейная функция от переменныхx и y ,
- произвольная постоянная.

Известно, что пара (x , y ) является решением системы уравнений (10) тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнение с двумя неизвестными:

С другой стороны, решение системы (10) - это точки пересечения двух кривых: f ] (x , y ) = C и f 2 (х, у) = С 2 на плоскости ХО Y .

Из этого следует метод нахождения корней системы. нелинейных уравнений:

Определить (хотя бы приближенно) интервал существования решения системы уравнений (10) или уравнения (11). Здесь не­обходимо учитывать вид уравнений, входящих в систему, область определения каждого их уравнений и т. п. Иногда применяется подбор начального приближения решения;

Протабулировать решение уравнения (11) по переменным x и y на выбранном интервале, либо построить графики функций f 1 (x , y ) = С, и f 2 (х,у) = С 2 (система(10)).

Локализовать предполагаемые корни системы уравнений - найти несколько минимальных значений из таблицы табулирование­ корней уравнения (11), либо определить точки пересечения кривых, входящих в систему (10).

4. Найти корни для системы уравнений (10) с помощью надстройки Поиск решения.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Челябинский юридический колледж

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математические методы»

Метод множителей Лагранжа

Студентка гр. ПО-3-05, отделение права и информационных технологий

Руководитель

Н.Р. Хабибуллина

Челябинск

Введение

1. Построение модели

2. Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы

3. Задача Лагранжа с одним ограничением

4. Смысл множителей Лагранжа

4.1. Теорема Лагранжа

4. 2. Метод множителей Лагранжа

4.3. Метод неопределенных множителей Лагранжа

4.4. Двумерный случай

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Метод Лагранжа базируется на нескольких ключевых идеях. Одна из них состоит в том, как искать минимум функции, если на функцию заданы некоторые ограничения. Этот приём теперь носит название «правило множителей Лагранжа»

Данная тема актуальна в современности потому, что метод множителей Лагранжа применяется при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).

Важное место в математиком аппарате экономики занимают оптимальные задачи - задачи, которых ищется наилучшее в определенном смысле решение. В экономической практике требуется использовать имеющиеся ресурс наиболее выгодным образом. В экономической теории одним из отправных пунктов является постулат о том, что каждый экономический субъект, имея определенную свободу выбора своего поведения, отыскивает наилучший со своей точки зрения вариант. И оптимизационные задачи служат средством описания поведения экономических субъектов, инструментом исследования закономерностей этого поведения.

1. Построение модели

Для постановки задачи необходима анализ системы, исследование её особенностей и возможных методов управления системой. Схема, построения в результате такого анализа, является либо изобразительной, либо аналоговой моделью. Таким образом, первый этап построения модели выполняется в процессе постановки задачи. После такого анализа системы уточняется перечень различных вариантов в решения, которые надо оценить. Затем определяются меры общей эффективности этих вариантов. Следовательно, следующий этап заключается в построении такой модели, в которой эффективность системы можно выразить в функции переменных, определяющих систему. Некоторые из этих переменных в реальной системе можно менять, другие переменные менять нельзя. Те переменные, которые можно изменить, назовем “управляемыми”. Различные варианты решения задачи необходимо выразить с помощью управляемых переменных.

Построение математической (символической) модели системы можно начать с перечисления всех элементов системы, которые влияют на эффективность работы системы. Если в качестве меры общей эффективности используется “общие ожидаемые издержки”, то можно начать с исследования изобразительной или аналоговой модели, полученной на стадии постановки задачи. Можно выделить операции и материалы, которым сопоставляется некоторые затраты. При этом получим, например, следующий исходный список:

Производственные затраты:

а) закупочная цена сырья;

б) издержки перевозки сырья;

в) стоимость приемки сырья;

г) стоимость хранения сырья;

д) стоимость планирования производства;

е) стоимость наладочных работ в цехе;

ж) стоимость процесса обработки;

з) стоимость хранения запасов в процессе производства;

и) стоимость завершения производства и передачи готовых изделий на склад;

к) стоимость анализа результатов работы группой планирования;

л) стоимость хранения готовых изделий.

Затраты на сбыт.

Накладные расходы.

2. Задача Лагранжа . Безусловный и условный экстремумы

Многие задачи оптимизации формулируются следующим образом. Решение, которое должен принять субъект, описывается набором чисел х 1 ,х 2 ,…,х n (или точкой Х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения определяются значениями функция f(X) = f(х 1 , х 2 ,…,х n) -- целевой функции . Наилучшее решение -- это такая точка Х, в которой функция f(Х) принимает наибольшее значение. Задача нахождения такой точки описывается следующим образом:

f(X) max.

Если функция f(X) характеризует отрицательные стороны решения (ущерб, убытки и т. п.), то ищется точка Х, в которой значение f(X) минимально:

f(X) min.

Минимум и максимум объединяются понятием экстремума. Для определенности мы будем говорить только о задачах максимизации. Поиск минимума не требует специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на -f(Х) всегда можно “превратить недостатки в достоинства” и свести минимизацию к максимизации.

Из каких вариантов должен быть выбран наилучший? Иными словами, среди каких точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким элементом оптимизационной задачи, как множество допустимых решений . В некоторых задачах допустимыми являются любые комбинации чисел х 1 , х 2 ,…,х n то есть множество допустимых решений - это все рассматриваемое пространство.

В других задачах следует принимать во внимание различные ограничения, означающие, что не все точки пространства доступны при выборе. В содержательных постановках задач это может быть связано, например, с ограниченностью располагаемого количества ресурсов.

Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида

или неравенства

Если условия имеют несколько другую форму, скажем, g 1 (Х) = g 2 (X) или g(X) A, то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функции и константы в одну из частей равенства или неравенства.

Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно дифференцируема, то, необходимое условие безусловного экстремума функции состоит в равенстве нулю всех ее частных производных:

Если же заданы ограничения, то экстремум ищется лишь среди точек, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки являются допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.

Рассмотрим задачу поиска условного экстремума:

при условиях (2)

g 1 (Х) = 0; g 2 (Х) = 0, …, g n (Х) = 0,

все ограничения которой представляют собой равенства.

Если при этом целевая функция и все ограничивающие функции непрерывно дифференцируемы, то такую задачу мы будем называть задачей Лагранжа.

3. Задача Лагранжа с одним ограничением

Рассмотрим задачу, имеющую следующую структуру:

f(X) max

при условии (3)

g(X) = 0.

Рассмотрим пример. По склону горы идет дорога, требуется найти на ней самую высокую точку. На рис. 1 представлена карта местности с нанесенными на нее линиями

равных высот; толстая линия - это дорога. Точка М, в которой дорога касается одной линий уровня, - это и есть наивысшая точка дороги.

Если Х = (х 1 , х 2) - точка плотности, х 1 и х 2 - её координаты, то задаче можно придать следующую форму. Пусть f(Х) -- высота точки Х над уровнем моря, а уравнение g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги - решение задачи (3).

Если бы дорога проходила через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой высокой точкой местности, и ограничение можно было бы не принимать во внимание.

Если же дорога не проходит через вершину, то, немного отклонившись от дороги, можно было бы подняться выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от дороги соответствует попаданию в такие точки, где g(X) 0; при малых отклонениях достижимую при этом высоту можно приближенно считать пропорциональной отклонению.

Идею решения задачи Лагранжа можно представить следующим образом: можно попытаться “исправить” рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не давало преимуществ в достижении высоты. Для этого нужно заменить высоту f(Х) функцией.

L(X) = f(X) - g(Х),

где множитель подбирается таким образом, чтобы участок склона в окрестности точки М стал горизонтальным (слишком малое не устранит преимуществ отклонений от дороги, а слишком большое - придаст преимущество отклонениям в противоположную сторону).

Теперь, поскольку рельеф L(X) делает площадку в окрестности точки оптимума горизонтальной, эта точка удовлетворяет равенствам

а так как точка лежит на дороге, то - и ограничению g(X) = 0.

Пример с горой и дорогой -- лишь иллюстрация идеи; точно так же двумерный случай использован исключительно для наглядности. Подобным образом можно было бы рассуждать и в общем, n-мерном случае.

Справедливо следующее утверждение:

Если f(х 1 ,…,х n) и g(х 1 ,…,х n) - непрерывно дифференцируемые функции всех своих аргументов, то решение задачи

f(х 1 ,…,х n) max

при условии

g(х 1 ,…,х n) = 0

удовлетворяет равенствам

L(х 1 ,…,х n ;) = f(х 1 ,…,х n) -- g(х 1 ,…,х n).

Функция L(X;) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана ) задачи (3), а коэффициент -- множителя Лагранжа .

Заметим, что равенство (5) -- это представленное в другой форме ограничение g(Х) = 0.

Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо метода: составляющая g(Х) в составе функции Лагранжа должна уравновешивать возможное увеличение максимального значения функции g(Х) от нуля. Это обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно при обсуждении смысла множителя Лагранжа.

Рассмотрим чрезвычайно простой пример. Веревкой длины А требуется огородить на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается прямолинейным).

Рис.3 К задаче Дидона

Обозначим стороны прямоугольника х 1 и х 2 (см. рис. 3). Решим сначала задачу без использования метода Лагранжа.

Очевидно, х 2 = А - 2 х 1 и площадь прямоугольника равна S = х 1 х 2 = x 1 (А - 2х 1). Рассматривая ее как функцию одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при котором площадь максимальна: х 1 = А/4. Отсюда х 2 = А/2. Максимальная площадь равна S* = А 2 /8.

Теперь рассмотрим эту же задачу в форме задачи Лагранжа:

при условии

2 х 1 + х 2 - А = 0

Лагранжиан этой задачи равен

L(х 1 ,х 2 ;) = х 1 х 2 - (2х 1 + х 2 - А),

и условия экстремума имеют вид

2 х 1 + х 2 = А

Подставляя значения х 1 и х 2 из первого и второго равенств в третье, находим, что 4 = А, откуда

А/4; х 1 = А/4; х 2 =А/2,

как и при решении первым способом.

Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа. Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений относительно х 1 ,…,х n и,. Система состоит из n + 1 уравнения - n уравнений вида (4) и одно уравнение вида (5). Число уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4) можно попытаться выразить каждую из неизвестных х 1 ,…,х 2 через, то есть решить ее как систему из n уравнений, рассматривая как параметр. Подставляя получившиеся выражения в уравнение (5) - нам известно, что оно совпадает с ограничением, - получаем уравнение относительно. Решая его, находят, после чего определяются исходные неизвестные х 1 ,…,х n .

4. Смысл множителей Лагранжа

При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х 1 ,…,х n ; кроме того, нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины - множителя Лагранжа.

Оказывается, множитель Лагранжа -- весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу.

Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r - заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует потребное его количество для достижения точки Х, то ограничению естественно придать форму

По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс нужно использовать полностью, так что ограничение может быть записано в виде равенства

Это условие можно представить в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный интерес представляет максимально достижимый уровень функции f(x) в зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max f(X) h(X) = r.

В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.

Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали g(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса получает приращение r, то мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на r.

В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный результат мы получили бы в пределе при r 0:

Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы r в ограничении вида (6).

В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным ресурсом была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) = A 2 /8. Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при решении значению.

Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения f(X) и h(Х) и отложим эти значения в виде точек в декартовых координатах (рис. 4). Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х), то все точки расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке жирной линией.

Нас интересуют точки, соответствующие условию h(X) = r. Максимум f(X) помечен точкой М*; обозначим наклон кривой в этой точке. Если в качестве ординаты брать не f(X), а L(X;) =f(X) - , то новая верхняя граница имела бы в точке М* горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном n-мерном пространстве соответствующая точка М -- стационарная точка функции L (X;) с данным значением параметра. Таким образом, - множитель Лагранжа.

Но жирная черная кривая -- это график функции F(r), а - его угловой коэффициент, откуда и следует равенство (7).

4.1 Теорема Лагранжа

Предположим, на плоскости задана функция?(х) и дана кривая g(x) = 0. Если функция?, ограниченная на данную кривую, достигает своего минимума или максимума в точке, то векторы?"() и g"() коллинеарны (при условии, что обе функции имеют производные в точке).

В общей теореме Лагранжа функция? зависит не от двух, а от n переменных, и есть несколько функций g(x), задающих ограничения (х)=0, i=l,..., m. Мы оставим эту теорему без доказательства, это завело бы нас слишком далеко в сторону математического анализа. Посмотрим, как превосходно она работает при нахождении максимумов и минимумов.

Теорема (Закон Снеллиуса о преломлении света). Две среды разделены прямой линией, в первой скорость распространения света равна, а во второй -- . Если луч света выходит из первой среды под углом к нормали и входит во вторую под углом, то

Доказательство. Прямая на плоскости задаётся уравнением

где -- произвольная точка прямой,

a n -- вектор, перпендикулярный прямой. Выберем произвольную точкуна входящем пучке света и точкуна преломлённом (рис. 30). Свет всегда распространяется по пути, занимающему наименьшее время. Значит, нужно найти на границе сред точку х, для которой величина?(х) = принимает наименьшее значение. Получаем задачу:

?(х)=-min при условии g(x) = n·(x--) = 0.

Согласно принципу Лагранжа, в точке минимума векторы?"(х) и g"(x) коллинеарны. Производная?{x) равна сумме вектора, который имеет длину 1/ и сонаправлен с вектором х--, и вектора длины 1/, сонаправленного с вектором х--. А производная g"(x) равна вектору п. Условие коллинеарности означает, что сумма + перпендикулярна прямой, то есть проекции векторов и на прямую равны. Таким образом, что и требовалось.

Ну а теперь мы готовы представить обещанные решения задач о минимуме суммы расстояний до точки прямой и до точки плоскости.

66. Задача о минимальной сумме расстояний от k точек плоскости до точки на прямой. На плоскости дана прямая и k точек. Найти (или охарактеризовать) положение точки на прямой, для которой сумма расстояний до данных точек минимальна.

Решение. Пусть l -- данная прямая, а -- данные точки. Решаем задачу на минимум:

?(х) = |х--|+...+|х--|^min при условии g(x) = n·(x--) = 0,

где-- произвольная точка прямой l, a n -- вектор, перпендикулярный этой прямой. Обозначим черезвектор единичной длины, сонаправленный с вектором х--. Тогда?"(х)=+...+, a g"(x)=n. По теореме Лагранжа, в точке минимума вектор?(x) коллинеарен n, т. е. перпендикулярен прямой l. Таким образом: Решением задачи служит точка прямой l, для которой сумма проекций на прямую k единичных векторов, направленных из неё в данные точки, равна нулю.

Если из данных k точек есть хотя бы одна, не лежащая на прямой l, то задача имеет единственное решение. Доказать это совсем просто, если использовать приём из задачи 62. Если k?3, то такая точка, вообще говоря, не строится с помощью циркуля и линейки (вычисление её координаты приводит к уравнению высокой степени). Поэтому в общем случае у нас нет ничего лучшего, чем то описание точки минимума, которое мы привели.

Задача о минимальной сумме расстояний от k точек пространства до точки на данной плоскости. В пространстве дана плоскость и k точек. Найти (или охарактеризовать) положение точки на плоскости, для которой сумма расстояний до данных точек минимальна.

Решение этой задачи ничем не отличается от предыдущей и приводит к похожему ответу:

Минимум достигается в точке х плоскости, для которой сумма проекций на плоскость k единичных векторов, направленных из х в данные точки, равна нулю.

4.2 Метод множителей Лагранжа

Метод нахождения условного экстремума функции f (x ), где, относительно m ограничений ц i (x ) = 0, i меняется от единицы до m .

Пусть задана задача НП при ограничениях-равенствах вида

Минимизировать (4.2.1)

при ограничениях

Предположим, что все функции - дифференцируемы. Введем набор переменных (число которых равняется числу ограничений), которые называются множителями Лагранжа , и составим функцию Лагранжа такого вида:

Справедливо такое утверждение для того чтобы вектор являлся решением задачи (4.2.1) при ограничениях (5.2.2), необходимо, чтобы существовал такой вектор, что пара векторов удовлетворяла бы системе уравнений

Покажем необходимость условий (4.2.4), (4.2.5) на простом примере:

минимизировать (4.2.6)

при ограничениях

Ограничения (5.2.7) определяют допустимую область, которая представляет собой кривую в пространстве и является результатом пересечения и.

Допустим, что рассматриваемая задача имеет точку минимума в: , функции имеют непрерывные производные первого порядка на некотором открытом множестве и градиенты

линейно независимы.

Если две переменные в уравнениях (4.2.7) можно выразить через третью в виде, то подставив их в целевую функцию (5.2.6), преобразуем исходную задачу в следующую задачу без ограничений, которая содержит лишь одну переменную:

минимизировать. (4.2.8)

Поскольку градиенты, непрерывны и линейно независимы, то можно применить известную теорему математического анализа о неявной функции и найти стационарную точку, а потом.

Приведенный подход можно в принципе распространить и на случай функции переменных при наличии ограничений-равенств:

Если функции удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции, то из переменных уравнений (4.2.9) можно выразить через остальные переменных, подставить их в и таким образом преобразовать задачу минимизации с ограничениями в задачу безусловной минимизации с переменными. Однако такой подход трудно реализовать на практике, поскольку очень трудно разрешить уравнения (4.2.9) относительно некоторых переменных. В общем случае это совсем невозможно.

Поэтому рассмотрим другой подход, который базируется на методе множителей Лагранжа.

Пусть - точка минимума, определяемого выражением (4.2.8). В соответствии с известной теоремой математического анализа о неявной функции можно записать

Аналогичные соотношения получим для ограничений

Запишем уравнения (4.2.10), (4.2.11) совместно в виде

Поскольку вектор не является нулевым, то из (4.2.12) следует, что. Из этого следует, что вектора-строки
матрицы A должны быть линейно зависимы. Следовательно, существуют три таких скаляра не все равные 0, что

Скаляр а не может равняться 0, так как в соответствии с предположением и -линейно независимы. Поэтому после деления (5.2.13) на, получим

Таким образом, для задачи минимизации с ограничениями (4.2.6) существуют такие, для которых справедливо уравнение (4.2.14) и которые одновременно не обращаются в нуль. Итак, справедливость условий (4.2.4) для случая n=3 показана.

Таким образом, для отыскания минимума (4.2.6) при условиях (4.2.7) необходимо найти стационарную точку функции Лагранжа:

Для того чтобы найти искомые значения, необходимо решить совместно систему уравнений (4.2.14), (4.2.5). С геометрической точки зрения условие (4.2.14) означает, что лежит в плоскости, натянутой на векторы

Теперь рассмотрим общий случай для произвольных. Пусть задана задача НП в виде (4.2.1), (4.2.2), все функции имеют непрерывные частные производные на множестве. Пусть -подмножество множества, на котором все функции, то есть. Тогда справедлива такая теорема о множителях Лагранжа.

Теорема. Допустим, чт о существует такая точка , в которой достигается относительный экстремум задачи НП (5.2.1) при условиях (4.2.2). Если ранг матрицы в точке равен , то существуют чисел , не все из которых равны нулю одновременно, при которых

Эта теорема обосновывает метод множителей Лагранжа, который состоит из следующих шагов.

Составляют функцию Лагранжа

Находят частные производные

Решают систему уравнений

и отыскивают точки, удовлетворяющие системе (4.2.16).

4.3 Метод неопределенных множителей Лагранжа

Применяется для решения задач с аналитическим выражением для критерия оптимальности и при наличии ограничений на независимые переменные типа равенств. Для получения аналитического решения требуется, чтобы ограничения имели аналитический вид. Применение неопределенных множителей Лагранжа позволяет свести задачу оптимизации с ограничениями к задаче, решаемой методами исследования функций классического анализа. В этом случае порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремума критерия оптимизации, повышается на число ограничений. Применение метода эффективно при количестве переменных три и менее. Метод используется и при количестве переменных более трех, если процесс описывается конечными уравнениями.

Пусть требуется найти экстремум функции, которая зависит от n переменных, связанных в свою очередь отношениями. Достигаемый функцией экстремум с учетом выполнения условий называется относительным, или условным. Если же число переменных равно числу соотношений (), то искомые неизвестные находятся решением системы уравнений, описываемых соотношениями. Решение задачи оптимизации сводится к проверке найденным таким способом значений переменных на функции. Таким образом, экстремальную задачу можно решить простым перебором переменных, удовлетворяющих условиям.

Если m < n , то можно из уравнений связи найти зависимость m переменных от n - m остальных переменных, т.е.

Функцию можно получить подстановкой полученных переменных в функцию. Тогда будет зависеть только от переменных, не связанных дополнительными условиями. Следовательно, снимая ограничения удается и уменьшить размерность исходной задачи оптимизации. Часто аналитически таким способом задачу решить не удается. Поэтому для решения задач отыскания экстремума функции многих переменных обычно используется метод неопределенных множителей Лагранжа.

При введении новых переменных, носящих название неопределенных множителей Лагранжа появляется возможность ввести новую функцию

т.е. функцию m + n переменных, в которую ограничения, накладываемые системой функций входят как составная часть.

Экстремальное значение функции совпадает с экстремальным значением функции, если выполняется условие по ограничениям. Необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю дифференциала этой функции в экстремальной точке, т.е.

Для того, чтобы это выражение выполнялось при любых значениях независимых дифференциалов, необходимо равенство нулю коэффициентов при этих дифференциалах, что дает систему уравнений

При этом новых независимых определяются из условия

Объединение систем (4.3.1) и (4.3.2) можно получить

Таким образом, задача в форме (4.3.3) сводится к задаче: найти

Отдельно следует отметить, что в общем случае метод множителей Лагранжа позволяет найти лишь необходимые условия существования условного экстремума для непрерывных функций, имеющих непрерывные производные. Однако из физического смысла решаемой задачи обычно известно, идет ли речь о максимуме или минимуме функции, кроме того, как правило, в проектных задачах функция на рассматриваемом отрезке является унимодальной. Поэтому в проектных задачах нет необходимости значения переменных, найденные при решении рассмотренных систем уравнений, проверять на экстремум с помощью анализа производных более высокого порядка.

4.4 Двумерный случай

Пусть требуется найти экстремум некоторой функции двух переменных f (x ,y ) при условии, задаваемом уравнением ш(x ,y ) = 0. Мы будем считать, что все функции непрерывно дифференцируемы, и данное уравнение задает гладкую кривую S на плоскости (x ,y ). Тогда задача сводится к нахождению экстремума функции f на кривой S . Будем также считать, что S не проходит через точки, в которых градиент f обращается в 0.

Линии уровня f(x,y) и кривая S

Нарисуем на плоскости (x ,y ) линии уровня функции f (то есть кривые f (x ,y ) = const). Из геометрических соображений видно, что экстремумом функции f на кривой S могут быть только точки, в которых касательные к S и соответствующей линии уровня совпадают. Действительно, если кривая S пересекает линию уровня f в точке (x 0 ,y 0) трансверсально (то есть под некоторым ненулевым углом), то двигаясь по кривой S из точки (x 0 ,y 0) мы можем попасть как на линии уровня, соответствующие большему значению f , так и меньшему. Следовательно, такая точка не может быть точкой экстремума.

Тем самым, необходимым условием экстремума в нашем случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций f и ш в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня. Это условие выражается в следующей форме:

где л -- некоторое число, отличное от нуля, и являющееся множителем Лагранжа.

Рассмотрим теперь функцию Лагранжа , зависящую от x ,y и л:

L (x ,y ,л) = f (x ,y ) ? лш(x ,y )

Необходимым условием ее экстремума является равенство нулю градиента. В соответствии с правилами дифференцирования, оно записывается в виде

Мы получили систему, первые два уравнения которой эквивалентны необходимому условию локального экстремума (1), а третье -- уравнению ш(x ,y ) = 0. Из нее можно найти (x 0 ,y 0 ,л 0). При этом, поскольку в противном случае градиент функции f обращается в нуль в точке, что противоречит нашим предположениям. Следует заметить, что найденные таким образом точки (x 0 ,y 0) могут и не являться искомыми точками условного экстремума -- рассмотренное условие носит необходимый, но не достаточный характер. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функции L и составляет основу метода множителей Лагранжа, примененного здесь для простейшего случая двух переменных. Оказывается, вышеприведенные рассуждения обобщаются на случай произвольного числа переменных и уравнений, задающих условия

Заключение

Использование математических моделей в настоящее время стало очень актуальным вопросом, в связи с постоянно развивающейся экономики.

Построение математической (символической) модели системы можно начать с перечисления всех элементов системы, которые влияют на эффективность работы системы. Если в качестве меры общей эффективности используется “общие ожидаемые издержки”, то можно начать с исследования изобразительной или аналоговой модели, полученной на стадии постановки задачи.

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или минимум функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа.

Таким образом - метод множителей Лагранжа играет важную роль в развитии, предсказании, построении оптимального варианта, человеческой сферы деятельности

. Список использованной литературы

1. В.И. Варфоломеев “Моделирование элементов экономических систем”. Москва 2000г.

2. Бусленко Н.П. “Моделирование сложных систем” Москва, 1999г.

3. У. Черчмен, Р. Акоф, Л. Артоф. “Введение в исследование операций”. Наука: Москва, 1968г.

4. А. Будылин “Элементарные задачи”. Москва, 2002г.

5. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариацинное “Исчисление и оптимальное управление”. Москва, 1999г.

6. Ашманов С.А., Тимохов А.В. “Теория оптимизации в задачах и упражнениях”. Москва, 1991г.

7. “Лабораторный практикум по методам оптимизации”. А.Г.Коваленко, И.А.Власова, А.Ф.Федечев.- Самара, 1998г.

Подобные документы

Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.

лабораторная работа , добавлен 16.11.2015


Применение функции Лагранжа в выпуклом и линейном программировании. Простейшая задача Больца и классического вариационного исчисления. Использование уравнения Эйлера-Лагранжа для решения изопериметрической задачи. Краевые условия для нахождения констант.

курсовая работа , добавлен 16.01.2013


Нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию. Практический пример нахождения точки максимума и минимума функции. Главные особенности метода множителей Лагранжа.

презентация , добавлен 17.09.2013


Методы условной и безусловной нелинейной оптимизации. Исследование функции на безусловный экстремум. Численные методы минимизации функции. Минимизация со смешанными ограничениями. Седловые точки функции Лагранжа. Использование пакетов MS Excel и Matlab.

лабораторная работа , добавлен 06.07.2009


Преимущества уравнений Лагранжа и их применение. Классификация связей внутри механической системы. Возможные перемещения механической системы и число степеней свободы. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию механической системы.

курсовая работа , добавлен 21.08.2009


Применение теоремы Лагранжа при решении задач. Ее использование при решении неравенств и уравнений, при нахождении числа корней некоторого уравнения. Решение задач с использованием условия монотонности. Связи между возрастанием или убыванием функции.

реферат , добавлен 14.03.2013


Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.

презентация , добавлен 29.10.2013


Нахождение экстремумов функций методом множителей Лагранжа. Выражение расширенной целевой функции. Схема алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с методом безусловной минимизации. Построение линий ограничений.

курсовая работа , добавлен 04.05.2011


Формирование функции Лагранжа, условия Куна и Таккера. Численные методы оптимизации и блок-схемы. Применение методов штрафных функций, внешней точки, покоординатного спуска, сопряженных градиентов для сведения задач условной оптимизации к безусловной.

курсовая работа , добавлен 27.11.2012


Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Теорема 1. Пусть точка является точкой условного экстремума функции при выполнении уравнений связи (3). Тогда существуют такие числа, что в точке выполняются условия

Следствие. Положим

где - числа, указанные в теореме. Функция (8) называется функцией Лагранжа. Если точка является точкой условного экстремума для функции, то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т.е. в этой точке

Доказательство теоремы. Пусть - точка условного экстремума для функции и пусть в этой точке для определенности выполняется условие (4). Тогда точка является точкой обычного экстремума для функции, поэтому в точке

откуда, пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, для точки имеем

Подставляя (5) в (3) и дифференцируя получившееся тождество в некоторой окрестности точки, а значит, и в самой точке, получим

В формуле (11), также как и в формуле (10), дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных, а дифференциалы есть дифференциалы функций.

Каковы бы не были числа, умножая равенство (11) в точке для функции на, и складывая их между собой и с равенством (10), получим

Выбрав так, чтобы в точке выполнялись равенства

Это всегда возможно, так как (13) является системой линейных относительно уравнений с определителем

не равным нулю.

При таком выборе имеем

Здесь уже все дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных и, значит, сами являются независимыми переменными, которые могут принимать любые значения. Беря, а все остальные дифференциалы, входящие в формулу (14), равными нулю, получим

Тем самым мы доказали существование таких, что выполняются условия (13) и (15), т.е. условия (7).

Теорема доказана.

Алгоритм нахождения экстремума функции методом множителей Лагранжа

Пусть требуется найти экстремум функции n переменных f(x 1 ,x 2 ,…,x n) при условии, что переменные x 1 ,x 2 ,…,x n связаны соотношениями (ограничениями)

среди которых количество m ограничений-равенств меньше числа n переменных, а количество и r ограничений-неравенств может быть произвольным.

Для нахождения значений {x 1 ,x 2 ,…,x n }=Х, необходимо доставляющих экстремумы функции f(X), можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа:

• 1. Ограничения-неравенства g(X)0 приводятся к виду (Х)0, где (Х) = - g(X).
• 2. Полученные ограничения-неравенства

в свою очередь приводятся к ограничениям-равенствам путем введения +r дополнительных переменных

В результате задача поиска условного экстремума примет канонический вид:

в котором соотношение m++r < n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. Составляется функция Лагранжа:

Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r,

в которой дополнительные переменные { 1 ,…, m++r }= называются неопределенными множителями Лагранжа.

Для составленной функции Лагранжа можно ставить задачу нахождения безусловного экстремума

результат решения которой будет совпадать с искомым решением исходной задачи нахождения условного экстремума.

4. Для функции Ф(Х,) составляются необходимые условия существования экстремума:

5. Полученную систему уравнений Ф(Х,)=0 решают, и в результате решения находят значения

удовлетворяющие необходимым условиям существования экстремума.

6. Для решения вопроса о том, существует ли в найденных точках максимумы или минимумы следует воспользоваться достаточными условиями существования экстремумов, которые для гладких функций Ф() формулируются следующим образом:

если в некоторой точке матрица вторых производных положительно определена, то в анализируемой точке лежит минимум функции f(Х);

Пусть и - дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции векторного аргумента . Требуется найти экстремум функции при условии, что аргумент удовлетворяет системе ограничений:

(последнее условие называют также условием связи).

Наиболее простым методом нахождения условного экстремума является сведение задачи к нахождению безусловного экстремума путем разрешения уравнения связи относительно m переменных и последующей их подстановки в целевую функцию.

Пример 3. Найти экстремум функции при условии .

Решение . Из уравнения связи выразим х 2 через х 1 и подставим полученное выражение в функцию у :

Эта функция имеет единственный экстремум (минимум) при х 1 =2. Соответственно, х 2 =1. Таким образом, точкой условного экстремума (минимума) заданной функции является точка .

В рассмотренном примере уравнение связи легко разрешимо относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях выразить переменные удается не всегда. Соответственно, описанный выше подход применим не ко всем задачам.

Более универсальным методом решения задач отыскания условного экстремума является метод множителей Лагранжа . Он основан на применении следующей теоремы. Если точка является точкой экстремума функции в области, определяемой уравнениями , то (при некоторых дополнительных условиях) существует такой m -мерный вектор , что точка является стационарной точкой функции

Алгоритм метода множителей Лагранжа

Шаг 1 . Составить функцию Лагранжа:

где - множитель Лагранжа, соответствующий i -му ограничению.

Шаг 2 . Найти частные производные функции Лагранжа и приравнять их к нулю

Шаг 3. Решив получившуюся систему из n +m уравнений, найти стационарные точки.

Заметим, что в стационарных точках выполняется необходимое, но не достаточное условие экстремума функции. Анализ стационарной точки на наличие в ней экстремума в данном случае достаточно сложен. Поэтому метод множителей Лагранжа в основном используют в тех случаях, когда о существовании минимума или максимума исследуемой функции заранее известно из геометрических или содержательных соображений.

При решении некоторых экономических задач множители Лагранжа имеют определенное смысловое содержание. Так, если - прибыль предприятия при плане производства n товаров , - издержки i -го ресурса, то l i - оценка этого ресурса, характеризующая скорость изменения оптимума целевой функции в зависимости от изменения i -го ресурса.

Пример 4. Найти экстремумы функции при условии .

Решение . Функции и непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Составим функцию Лагранжа:

Найдем частные производные и приравняем их к нулю.

Получаем две стационарные точки:

Принимая во внимание характер целевой функции, линиями уровня которой являются плоскости, и функции (эллипс) заключаем, что в точке , функция принимает минимальное значение, а в точке максимальное.

Пример 5. В области решений системы

найти максимальное и минимальное значение функции при условии .

Решение . Пересечением области допустимых решений и прямой является отрезок MN : М (0,6), N (6,0). Поэтому экстремальные значения функция может принимать либо в стационарных точках, либо в точках M и N . Для нахождения стационарной точки применим метод Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю

Решая систему, получаем стационарную точку K (2,2;3,8). Сравним значения целевой функции в точках K , M , N :

Следовательно,

Пример 6. Известен рыночный спрос на определенное изделие в количестве 180 штук. Это изделие может быть изготовлено двумя предприятиями одного концерна по различным технологиям. При производстве х 1 изделий первым предприятием его затраты составят руб., а при изготовлении х 2 изделий вторым предприятием они составляют руб.

Определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его производства были минимальны.

Решение . Математическая модель задачи:

Для нахождения минимального значения целевой функции при условии х 1 + х 2 =180, т.е. без учета требования неотрицательности переменных, составим функцию Лагранжа:

Найдем первые производные функции Лагранжа по х 1 , х 2 , l , и приравняем их к 0. Получим систему уравнений:

Решая эту систему, найдем следующие корни: , т.е. получаем координаты точки, подозрительной на экстремум.

Чтобы определить, является ли точка ( ) локальным минимумом, исследуем определитель Гессе, для чего вычислим вторые частные производные целевой функции:

Так как

то определитель Гессе положительно определен; следовательно, целевая функция является выпуклой и в точке ( ) имеем локальный минимум: