Готові відповіді щодо інтегрування функцій взято з контрольної роботи для студентів 1, 2 курсів математичних факультетів. Щоб формули у завданнях та відповідях не повторювалися умови завдань виписувати не будемо. Вам і так відомо, що у завданнях потрібно або "Знайти інтеграл", або "Обчислити інтеграл". Тому якщо Вам потрібні відповіді щодо інтегрування, то починайте вивчати такі приклади.

Інтегрування ірраціональних функцій

Приклад 18. Виконуємо заміну змінних під інтегралом. Для спрощення обчислень за нову змінну вибираємо як корінь, а весь знаменник. Після такої заміни інтеграл перетворюється на суму двох табличних інтегралів, які і спрощувати не треба

Після інтегрування замість змінної підставляємо заміну.
Приклад 19. На інтеграцію цієї дробової ірраціональної функції витрачено багато часу та місця і навіть не знаємо, чи зможете Ви щось розібрати з планшета чи телефону. Щоб позбавитися ірраціональності, а тут маємо справу з кубічним коренем за нову змінну вибираємо кореневу функцію в третьому ступені. Далі знаходимо диференціал та замінюємо попередню функцію під інтегралом

Найбільше часу займає розклад нової функції на статечні залежності та дроби

Після перетворень частину інтегралів знаходимо відразу, а останній розписуємо на два які перетворюємо згідно з табличними формулами інтегрування

Після всіх обчислень не забуваємо повернутися до виконаної на початку заміни

Інтегрування тригонометричних функцій

Приклад 20. Потрібно знайти інтеграл від синуса 7 ступеня. Відповідно до правил один синус потрібно загнати в диференціал (отримаємо диференціал косинуса), а синус у 6 ступеня розписати через косинус. Таким чином, прийдемо до інтегрування від функції нової змінної t = cos (x). При цьому доведеться підносити різницю до куба, а потім уже інтегрувати



В результаті отримаємо поліном 7 від косинуса порядку.
Приклад 21. У цьому інтегралі косинус 4 ступеня необхідно за тригонометричними формулами розписати через залежність від косинуса в першому ступені. Далі застосовуємо табличну формулу інтегрування косинуса.


Приклад 22. Під інтегралом маємо добуток синуса на косинус. Відповідно до тригонометричних формул твір розписуємо через різницю синусів. Як отримали цю дужку, можна зрозуміти з аналізу коефіцієнтів за «ікс». Далі інтегруємо синуси

Приклад 23. Тут маємо у знаменнику одночасно синус і косинус функцію. Причому тригонометричні формули спростити залежність не допоможуть. Для знаходження інтеграла застосуємо універсальну тригонометричну заміну t=tan(x/2)

З запису видно що знаменники скоротяться і отримаємо у знаменнику дробу квадратний тричлен. У ньому виділяємо повний квадрат та вільну частину. Після інтегрування прийдемо до логарифму від різниці простих множників знаменника. Для спрощення запису і чисельник та знаменник під логарифмом помножили на двійку.

Наприкінці обчислень замість змінної підставляємо тангенс половини аргументу.
Приклад 24. Для інтегрування функції винесемо квадрат косинуса за дужки, а в дужках віднімемо і додамо одиницю, щоб отримати котангенс.

Далі за нову змінну вибираємо котангенс u = ctg(x), її диференціал нам дасть потрібний для спрощення множник. Після підстановки прийдемо до функції, яка при інтегруванні дає арктангенс.

Ну і не забуваємо поміняти і на котангенс.
Приклад 25. В останньому завданні контрольної роботи потрібно проінтегрувати котанген подвійного кута в 4 ступені.


На цьому контрольна робота на інтегрування вирішена, причому жоден викладач до відповідей та обґрунтування перетворень не причепиться.
Якщо навчитеся так інтегрувати, то тести чи зрізи на тему інтеграли для Вас не страшні. Всі інші мають змогу навчитися чи замовити рішення інтегралів у нас (або наших конкурентів :))).

У цьому параграфі буде розглянуто метод інтегрування раціональних функцій. 7.1. Короткі відомості про раціональні функції Найпростішою раціональною функцією є многочлен ti-го ступеня, тобто. функція виду де - дійсні постійні, причому а0 Ф 0. Багаточлен Qn (x), у якого коефіцієнт а0 = 1 називається наведеним. Дійсно число b називається коренем многочлена Qn(z), якщо Q„(b) = 0. Відомо, що кожен многочлен Qn(x) з дійсними коефіцієнтами єдиним чином розкладається на дійсні множники виду де р, q - дійсні коефіцієнти, причому квадратичні множники не мають дійсних коренів і, отже, нерозкладні на дійсні лінійні множники. Об'єднуючи однакові множники (якщо такі є) і вважаючи, для простоти, багаточлен Qn (x) наведеним, можна записати його розкладання на множники у вигляді де - натуральні числа. Оскільки ступінь багаточлена Qn(x) дорівнює п, то сума всіх показників а, /3,..., А, складена з подвоєною сумою всіх показників щ,..., ц, дорівнює п: Корінь а багаточлена називається простим або одноразовим якщо а = 1, і кратним, якщо а > 1; число а називається кратністю кореня а. Те саме стосується і інших коренів многочлена. Раціональною функцією f(x) або раціональним дробом називається відношення двох багаточленів, причому передбачається, що багаточлени Рт(х) і Qn(x) не мають загальних множників. Раціональний дріб називається правильним, якщо ступінь багаточлена, що стоїть у чисельнику, менший від ступеня багаточлена, що стоїть у знаменнику, тобто . Якщо ж m п, то раціональний дріб називається неправильним і в цьому випадку, розділивши чисельник на знаменник за правилом поділу багаточленів, його можна представити у вигляді де - деякі многочлени, а є правильним раціональним дробом. Приклад 1. Раціональний дріб є неправильним дробом. Розділивши «куточком», матимемо Отже. Тут. причому правильний дріб. Визначення. Найпростішими (або елементарними) дробами називаються раціональні дроби наступних чотирьох типів: де - дійсні числа, до - натуральне число, більше або дорівнює 2, а квадратний тричлен х2 + рх + q не має дійсних коренів, так що -2 _2 його дискримінант В алгебрі доводиться така теорема. Теорема 3. Правильний раціональний дріб з дійсними коефіцієнтами, знаменник якого Qn(x) має вигляд розкладається єдиним способом на суму найпростіших дробів за правилом. Інтегрування раціональних функцій. підстановка Ейлера У цьому розкладі - деякі дійсні постійні, частина яких може дорівнювати нулю. Для знаходження цих постійних праву частину рівності (I) приводять до спільного знаменника, а потім прирівнюють коефіцієнти при однакових ступенях х в чисельниках лівої і правої частин. Це дає систему лінійних рівнянь, з якої знаходяться постійні. . Цей метод знаходження невідомих постійних називається методом невизначених коефіцієнтів. Іноді буває зручніше застосувати інший спосіб знаходження невідомих постійних, який полягає в тому, що після прирівнювання чисельників виходить тотожність щодо х, в якому аргументу х надають деякі значення, наприклад значення коренів, в результаті чого виходять рівняння для знаходження постійних. Особливо він зручний, якщо знаменник Q„(x) має тільки дійсне просте коріння. Приклад 2. Розклади на найпростіші дроби раціональний дріб Цей дріб правильний. Розкладаємо знаменник на множині ялини: Так як коріння знаменника дійсне і різне, то на підставі формули (1) розкладання дробу на найпростіші матиме вигляд Приводу праву честь тієї рівності до спільного знаменника і прирівнюючи чисельники а його лівій і правій частинах, отримаємо тотожність або Невідомі коефіцієнту А. 2?, знайдемо двома способами. Перший споооб. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х т.в. при (вільний член), а лівої та правої частин тотожності, отримаємо лінійну систему рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів А, В, С: Ця система має єдине рішення З Другий спосіб. Так як коріння знаменника рванства в я 0, отримаємо 2 = 2А, звідки А * 1; г я 1, отримаємо -1 * -В, звідки 5 * 1; х я 2, отримаємо 2 = 2С. звідки С» 1, і шукане розкладання має вигляд 3. Рехложнтъ не найпростіші дроби раціональний дріб 4 Розкладаємо багаточлен, що стоїть а енаієї, на множники: . Знаменник має два різних двйствівних кореня: х\ = 0 кратності кратності 3. Тому розкладання даного дробу не найпростіші має вигляд Привівши праву частину до спільного знаменника, знайдемо або Перший спосіб. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х у лівій та правій частинах останнього тотожності. отримаємо лінійну систему рівнянь Ця система має єдине рішення і шуканим розкладанням буде другий спосіб. В отриманому тотожності вважаючи х = 0, отримуємо 1 А2, або А2 = 1; поле* гея х = -1, отримаємо -3 я), або Bj я -3. При підстановці знайдених значень коефіцієнтів А і В) а тотожність воно набуде вигляду або вважаючи х = 0, а потім х = -I. знайдемо, що = 0, В2 = 0 в. значить, В = 0. Таким чином, знову отримуємо Приклад 4. Розкласти на найпростіші дроби раціональний дріб 4 Знаменник дробу не має дійсних коренів, тому що функція х2 + 1 не звертається е. нуль за жодних дійсних значень х. Тому розкладання на найпростіші дроби має мати вигляд. Звідси отримуємо або. Прирівнюючи коефіцієнти при сшинакових ступенях х у лівій та правій частинах останньої рівності, будемо мати звідки знаходимо і, отже, слід зазначити, що в деяких випадках розкладання на найпростіші дроби можна отримати швидше та простіше, діючи якимось іншим шляхом, не користуючись методом невизначених коефіцієнтів. Наприклад, для отримання розкладання дробу в прикладі 3, можна додати і відняти в чисельнику Зх2 і зробити поділ, оскільки уквзано нижче. 7.2. Інтегрування найпростіших дробів, Як було сказано вище, будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми деякого багаточлена та правильного раціонального дробу (§7), причому це уявлення єдине. Інтегрування многочлена не становить труднощів, тому розглянемо питання про інтегрування правильного раціонального дробу. Так як будь-яка правильна раціональна дріб представима у вигляді суми найпростіших дробів, то її інтегрування зводиться до інтегрування найпростіших дробів. Розглянемо тепер питання про їхнє інтегрування. ІІІ. Для знаходження інтеграла від найпростішого дробу третього типу виділимо у квадратного тричлена повний квадрат двочлена: Так як друге доданок покладемо його рівним а2, де а потім зробимо підстанов. Тоді, враховуючи лінійні властивості інтеграла, знайдемо: Приклад 5. Знайти інтеграл 4 Підінтегральна функція є найпростішим дробом третього типу, оскільки квадратний тричлен х1 + Ах + 6 не має дійсних коренів (його дискримінант негативний: , а в чисельнику стоїть багаточлен першого ступеня. Тому чинимо наступним чином: 1) виділяємо повний квадрат у знаменнику 2) робимо підстановку (тут 3) на *одим інтегрл Для знаходження інтеграла від найпростішого дробу четвертого типу покладемо, як і вище, . Тоді отримаємо Інтеграл у правій частині позначимо через Л і перетворимо його наступним чином: Інтеграл у правій частині інтегруємо частинами, вважаючи звідки або Інтегрування раціональних функцій Короткі відомості про раціональні функції Інтегрування найпростіших дробів Загальний випадок Інтегрування ірраціональних функцій Ейлер Ми отримали так звану рекурентну формулу, яка дозволяє знайти інтеграл Jk для будь-якого до = 2, 3,. .. . Справді, інтеграл J є табличним: Вважаючи в рекурентній формулі, знайдемо Знаючи і вважаючи Л = 3, легко знайдемо Jj і так далі. В остаточному результаті, підставляючи всюди замість t і їх висловлювання через х і коефіцієнти р і q, отримаємо для початкового інтеграла вираз його через х і задані числа М, ЛГ, р, q. Приклад 8. Нейти інтеграл « Підінтегрована функція є найпростіший дріб четвертого типу, оскільки дискримінант квадратного тричлена негативний, тобто. отже, знаменник дійсних коренів немає, і чисельник є многочлен 1-го ступеня. 1) Виділяємо а знаменнику повний квадрат 2) Робимо підстановку: Інтеграл набуде вигляду: Вважаючи в рекурентній формулі * = 2, а3 = 1. матимемо, і, отже, шуканий інтеграл рівен Повертаючись до змінної х, отримаємо остаточно 7.3. Загальний випадок Із результатів пп. 1 і 2 цього параграфа безпосередньо слідує важлива теорема. Теорем! 4. Невизначений інтеграл від будь-якої раціональної функції завжди існує (на інтервалах, у яких знаменник дробу Q„(х) ф 0) і виражається через кінцеве число елементарних функцій, а саме, він є алгебраїчною сум.чою, членами якої можуть бути лише мнконаены , раціональні дроби, натуральні логарифми та арктангенси. Отже, для знаходження невизначеного інтеграла від дробово-раціональної функції слід надходити наступним чином: 1) якщо раціональний дріб неправильний, то розподілом чисельника на знаменник виділяється ціла частина, тобто дана функція представляється у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу; 2) потім знаменник отриманого правильного дробу розкладається на добуток лінійних та квадратичних множників; 3) цей правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів; 4) використовуючи лінійність інтеграла та формули п. 2, знаходяться інтеграли від кожного доданку окремо. Приклад 7. Знайти інтеграл М Оскільки знаменник є многочлен третього стелі, то підінтегральна функція є неправильним дробом. Виділяємо в ній цілу частину: Отже, матимемо. Знаменник правильного дробу має фі різних дійсних кореня: і тому її розкладання на найпростіші дроби має вигляд Звідси знаходимо. Надаючи аргументу х значення, рівні коріння знаменника, знайдемо з цього тотожності, що: Отже, шуканий інтеграл дорівнюватиме Приклад 8. Знайти інтеграл 4 Підінтегральна функція є правильним дробом, знаменник якого має два різні дійсні корені: х - Про кратність 1 і х = 1 кратності 3, Тому розкладання підінтегральної функції на найпростіші дроби має вигляд Приводячи праву частину цієї рівності до спільного знаменника і скорочуючи обидві частини рівності на етст знаменник, отримаємо або. Прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях х у лівій та правій частинах цієї тотожності: Звідси знаходимо. Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів у розкладання, матимемо Інтегруючи, знаходимо: Приклад 9. Знайти інтеграл 4 Знаменник дробу не має дійсних коренів. Тому розкладання на найпростіші дроби підінтегральної функції має вигляд Звідси або Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х у лівій та правій частинах цієї тотожності, матимемо звідки знаходимо і, отже, Зауваження. У наведеному прикладі підінтегральну функцію можна представити у вигляді суми найпростіших дробів більш простим способом, а саме, у чисельнику дробу виділяємо бином, що стоїть у прапоронатлі, а потім робимо почленное поділ: §8. Інтегрування ірраціональних функцій Функція виду де Рт і £?„ яачяются багаточленами ступенів тип відповідно від змінних іь«2,... дійсні постійні, причому Приклад 1, Функція є раціональною функцією від змінних г і у, так як вона представляє собою ставлення багаточлена третього ступеня і многочлене п'ятого ступеня а функція тисової не є. У разі, коли змінні, своєю чергою, є функціями змінної ж: то функція ] називається раціональної функцією від функцій Приклада. Фуніція є раціональною функцією від г і рвдиквлв Пряивр 3. Функція виду не є раціональною функцією від х і радикале у/г1 + 1, але вона є раціональною функцією від функцій Як показують приклади, інтеграли від ірраціональних функцій не завжди виражаються через елементарні функції. Наприклад, інтеграли, що часто зустрічаються в додатках, не виражаються через елементарні функції; ці інтеграли називаються еліптичними інтегралами першого та другого пологів відповідно. Розглянемо ті випадки, коли інтегрування ірраціональних функцій можна звести за допомогою деяких установок до інтеграції раціональних функцій. 1. Нехай потрібно знайти інтеграл де R(x, у) – раціональна функція своїх аргументів х та у; m £ 2 – натуральне число; а, 6, с, d - дійсні постійні, що задовольняють умові ad-Ьс ^ О (при ad - be = 0 коефіцієнти а і Ь пропорційні коефіцієнтам с і d, і тому відношення не залежить від ж; значить, в цьому випадку підінтегральна функція буде раціональною функцією змінної х, інтегрування якої було розглянуто раніше). Зробимо в даному інтегралі заміну змінної, поклавши Звідси виражаємо змінну х через нову змінну Маємо х = раціональна функція від t. Далі знаходимо або, після спрощення, Тому де Л1 (t) - раціональна функція від *, тому що раціональна фундадія від раціональної функції, а також добуток раціональних функцій, являють собою раціональні функції. Інтегрувати раціональні функції ми вміємо. Нехай Тоді шуканий інтеграл дорівнюватиме Прі. ІвЙти інтеграл 4 Підінтегральна* функція є раціональна функція від. Тому думаємо t = Тоді Інтегрування раціональних функцій Короткі відомості про раціональні функції Інтегрування найпростіших дробів Загальний випадок Інтегрування ірраціональних функцій Перша підстановка Ейлера Друга підстановка Ейлера Третя підстановка Ейлера Таким чином, отримаємо Приклад 5. Знайти інтеграл функцію можна представити у вигляді 1 _ 1_ звідки видно, що вона є раціональною функцією від: Враховуючи це, покладемо. Отже, 2. Розглянемо інтефпи виду де подинтефальна функція така, що замінивши в ній радикал \/ах2 + Ъх + с через у, отримаємо функцію R(x) у) - раціональну щодо обох аргументів х і у. Цей інтеграл зводиться до інтегралу від раціональної функції іншої змінної підстановки Ейлера. 8.1. Перша підстановка Ейлера Нехай коефіцієнт а > 0. Покладемо або Звідси знаходимо х як раціональну функцію від і, отже, таким чином, зазначена підстановка виражає раціонально через *. Тому матимемо де Зауваження. Першу підстановку Ейлера можна брати і як Приклад 6. Знайти інтеграл знайдемо Тому матимемо dx підстановку Ейлера, показати, що У 8.2. Друга підстановка Ейлера Нехай тричлени ах2 + Ьх + с має різні дійсні корені Я] і х2 (коефіцієнта може мати будь-який знак). У цьому випадку вважаємо Так як то отримуємо Так як x, dxn у / ах2 + be + з виражаються раціонально через t, то вихідний інтеграл зводиться до інтегралу від раціональної функції, тобто де завдання. Застосовуючи першу підстановку Ейлера, показати, що раціональна функція від t. Приклад 7. Нейти інтеграл dx М функція ] - х1 має різні дійсні корені. Тому застосовуємо другу підстановку Ейлере Звідси знаходимо Підставляючи знайдені вирідження в Даний?в*гйвл; отримаємо 8.3. Третя підстацом Ейлера Нехай коефіцієнт з > 0. Робимо заміну змінної, поклавши. Зауважимо, що з приведення інтеграла до інтегралу від раціональної функції досить першої і другої підстановок Эйлера. Справді, якщо дискримінант б2 -4ас > 0, то коріння квадратного тричлена ах + Ъх + з дійсні, і в цьому випадку застосовується друга підстановка Ейлера. Якщо знак тричлена ах2 + Ьх + с збігається зі знаком коефіцієнта а, і так як тричлен повинен бути позитивним, то а > 0. У цьому випадку застосовна перша підстановка Ейлера. Для знаходження інтегралів зазначеного вище виду не завжди доцільно застосовувати підстановки Ейлера, оскільки для них можна знайти й інші способи інтегрування, що призводять до мети швидше. Розглянемо деякі з таких інтегралів. 1. Для знаходження інтегралів виду виділяють прлний квадрат із квадрата ого тричлена: де Після цього роблять підстановку і отримують де коефіцієнти а і Р мають різні знаки або вони обидва позитивні. При, а також а > 0 і інтеграл зведеться до логарифму, якщо ж - до арксинусу. При. Знайти імтегрел 4 Так як то. вважаючи, отримуємо Прммар 9. Знайти. Вважав x -, будемо мати 2. Інтеграл виду наводиться до інтеграл у п. 1 наступним чином. Враховуючи, що похідна ()" = 2, виділяємо її в чисельнику: 4 Виявляємо в чисельнику похідну підкореного виразу. -ой ступеня, можна знаходити методом невизначених коефіцієнтів, який полягає в следующем.Припустимо, що має місце рівність Приклад 10. Майті інтеграл де Qn-i(s) -многочлен (n - 1)-ого ​​ступеня з невизначеними коефіцієнтами: Для знаходження невідомих коефіцієнтів продиференціюємо обидві частини (1): Потім праву частину рівності (2) приводимо до спільного знаменника, рівного знаменника лівої частини, тобто у/ах2 + Ьх + с, скорочуючи на який обидві частини (2), отримаємо тотожність обох частинах якого стоять багаточлени ступеня п. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х у лівій та правій частинах (3), отримаємо n + 1 рівнянь, з яких знаходимо шукані коефіцієнти j4*(fc = 0,1,2,..., п ) Підставляючи їх значення у праву частину (1) і знайшовши інтеграл + з отримаємо відповідь даного інтеграла. Приклад 11. Знайти інтеграл Покладемо Диференціюючи обидві масті рівності, матимемо Приводячи праву частину до спільного знаменника і скорочуючи на нього обидві частини, отримаємо тотожність або. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, прийдемо до системи рівнянь з якої знаходимо = Потім знаходимо інтеграл, що стоїть у правій частині рівності (4): Отже, шуканий інтеграл дорівнюватиме

Під ірраціональнимрозуміють вираз, в якому незалежна змінна %%x%% або багаточлен %%P_n(x)%% ступеня %%n \in \mathbb(N)%% входять під знак радикала(від латинського radix- Корінь), тобто. зводяться в дробовий ступінь. Деякі класи ірраціональних щодо %%x%% підінтегральних виразів заміною змінної вдається звести до раціональних виразів щодо нової змінної.

Поняття раціональної функції однієї змінної можна поширити кілька аргументів. Якщо над кожним аргументом %%u, v, \dotsc, w%% при обчисленні значення функції передбачені лише арифметичні дії та зведення в цілий ступінь, то говорять про раціональну функцію цих аргументів, яку зазвичай позначають %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Аргументи такої функції самі можуть бути функціями незалежної пермінної %%x%%, у тому числі і радикалами виду %%sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Наприклад, раціональна функція $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ при %%u = x, v = \sqrt(x)%% і %%w = \sqrt(x^2 + 1)%% є раціональною функцією $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x) ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ від %%x%% і радикалів %%sqrt(x)%% і %%sqrt(x^2 + 1 )%%, тоді як функція %%f(x)%% буде ірраціональною (алгебраїчною) функцією однієї незалежної змінної %%x%%.

Розглянемо інтеграли виду %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Такі інтеграли раціоналізуються заміною змінної %%t = \sqrt[n](x)%%, тоді %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Приклад 1

Знайти %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Підінтегральна функція шуканого аргументу записана як функція від радикалів ступеня %%2%% та %%3%%. Оскільки найменше загальне кратне чисел %%2%% і %%3%% дорівнює %%6%%, цей інтеграл є інтегралом типу %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d)x %% і може бути раціоналізований за допомогою заміни %% sqrt(x) = t%%. Тоді %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Отже, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Приймемо %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% і $$ \begin(array)(ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)(z ) = \\ & = 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(array) $$

Інтеграли виду %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% є окремим випадком дробово лінійних ірраціональностей, тобто. інтегралів виду %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, де %%ad - bc \neq 0%%, які допускають раціоналізацію шляхом заміни змінної %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, тоді %%x = \dfrac(dt^n - b) (a - ct^n)%%. Тоді $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Приклад 2

Знайти %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Приймемо %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, тоді %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $$ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Отже, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Розглянемо інтеграли виду %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. У найпростіших випадках такі інтеграли зводяться до табличних, якщо після виділення повного квадрата зробити заміну змінних.

Приклад 3

Знайти інтеграл %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Враховуючи, що %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, приймемо %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, тоді $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(array) $$

У складніших випадках знаходження інтегралів виду %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% використовуються

Клас ірраціональних функцій дуже широкий, тому універсального способу їх інтегрування просто бути не може. У цій статті спробуємо виділити найбільш характерні види ірраціональних підінтегральних функцій та поставити їм у відповідність метод інтегрування.

Бувають випадки, коли доречним є використання методу підведення під знак диференціала. Наприклад, при знаходженні невизначених інтегралів виду, де p- Раціональний дріб.

приклад.

Знайти невизначений інтеграл .

Рішення.

Не важко помітити, що . Отже, підводимо під знак диференціала і використовуємо таблицю первісних:

Відповідь:

.

13. Дробно-лінійна підстановка

Інтеграли типу де а, b, с, d - дійсні числа, a, b, ..., d, g - натуральні числа, зводяться до інтегралів від раціональної функції шляхом підстановки де К - найменше загальне кратне знаменників дробів

Справді, з підстановки випливає, що

тобто х та dx виражаються через раціональні функції від t. При цьому кожен ступінь дробу виражається через раціональну функцію від t.

Приклад 33.4. Знайти інтеграл

Рішення: Найменше загальне кратне знаменників дробів 2/3 і 1/2 є 6.

Тому вважаємо х+2=t 6 , х=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Отже,

Приклад 33.5.Вказати підстановку для знаходження інтегралів:

Рішення: Для I 1 підстановка х = t 2 для I 2 підстановка

14. Тригонометрична підстановка

Інтеграли типу наводяться до інтегралів від функцій, що раціонально залежать від тригонометричних функцій, за допомогою наступних тригонометричних підстановок: х=а sint для першого інтеграла; х=а tgt для другого інтеграла; для третього інтеграла.

Приклад 33.6.Знайти інтеграл

Рішення: Покладемо х = 2 sin t, dx = 2 cos tdt, t = arcsin х/2. Тоді

Тут підінтегральна функція є раціональна функція щодо х Виділивши під радикалом повний квадрат і зробивши підстановку, інтеграли зазначеного типу наводяться до інтегралів вже розглянутого типу, тобто до інтегралів типу Ці інтеграли можна визначити за допомогою відповідних тригонометричних підстановок.

Приклад 33.7.Знайти інтеграл

Рішення: Оскільки х 2 +2х-4=(х+1) 2 -5, то х+1=t, x=t-1, dx=dt. Тому Покладемо

Примітка: Інтеграл типу доцільно знаходити за допомогою підстановки х = 1/t.

15. Певний інтеграл

Нехай функція задана на відрізку має на ньому первісну. Різницю називають певним інтегралом функції по відрізку і позначають. Отже,

Різницю записують у вигляді, тоді . Числаназивають межами інтегрування .

Наприклад, одна з первісних для функції. Тому

16 . Якщо з - постійне число і функція ƒ(х) інтегрована на , то

тобто постійний множник можна виносити за знак певного інтеграла.

▼Складемо інтегральну суму для функції з ƒ(х). Маємо:

Тоді Звідси випливає, що функція ƒ(х) інтегрована на [а; b] і справедлива формула (38.1).

2. Якщо функції 1 (х) і 2 (х) інтегровані на [а; b], тоді інтегрована на [а; b] їх сума u

тобто інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів.

▼
▲

Властивість 2 поширюється у сумі будь-якого кінцевого числа доданків.

3.

Цю властивість можна прийняти за визначенням. Ця властивість також підтверджується формулою Ньютона-Лейбніца.

4. Якщо функція ƒ(х) інтегрована на [а; b] та а< с < b, то

тобто інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів частинами цього відрізка. Цю властивість називають адитивністю певного інтегралу (або властивістю адитивності).

При розбитті відрізка [а;b] на частини включимо точку з число точок поділу (це можна зробити через незалежність межі інтегральної суми від способу розбиття відрізка [а; b] на частини). Якщо з = х m, то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

Кожна із написаних сум є інтегральною відповідно для відрізків [а; b], [а; с] та [с; b]. Переходячи до межі останньої рівності при n → ∞ (λ → 0), отримаємо рівність (38.3).

Властивість 4 справедливе при будь-якому розташуванні точок а, b, з (вважаємо, що функція ƒ (х) інтегрована на більшому відрізків, що виходять).

Так, наприклад, якщо а< b < с, то

(Використані властивості 4 і 3).

5. "Теорема про середнє". Якщо функція ƒ(х) безперервна на відрізку [а; b], то існує тонка з є [а; b] така, що

▼За формулою Ньютона-Лейбніца маємо

де F"(x) = ƒ(х). Застосовуючи до різниці F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему про кінцеве збільшення функції), отримаємо

F(b)-F(a) = F"(c) (b-а) = ƒ(с) (b-а).▲

Властивість 5 («теорема про середнє») при ƒ (х) ≥ 0 має простий геометричний зміст: значення певного інтеграла дорівнює, при деякому с є (а; b), площі прямокутника з висотою ƒ (с) та основою b-а ( див. мал. 170). Число

називається середнім значенням функції ƒ(х) на відрізку [а; b].

6. Якщо функція (х) зберігає знак на відрізку [а; b], де< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼По «теоремі про середнє» (властивість 5)

де з є [а; b]. Оскільки ƒ(х) ≥ 0 для всіх х Î [а; b], то й

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Тому ƒ(с) (b-а) ≥ 0, тобто. ▲

7. Нерівність між безперервними функціями на відрізку [а; b], (a

▼Оскільки ƒ 2 (х)-ƒ 1 (x)≥0, то при а< b, согласно свойству 6, имеем

Або, згідно з властивістю 2,

Зазначимо, що диференціювати нерівності не можна.

8. Оцінка інтегралу. Якщо m та М - відповідно найменше та найбільше значення функції у = ƒ (х) на відрізку [а; b], (а< b), то

▼Оскільки для будь-якого х є [а;b] маємо m≤ƒ(х)≤М, то, згідно з властивістю 7, маємо

Застосовуючи крайнім інтегралам властивість 5, отримуємо

▲

Якщо ƒ(х)≥0, то властивість 8 ілюструється геометрично: площа криволінійної трапеції укладена між площами прямокутників, основа яких є , а висоти дорівнюють m і М (див. рис. 171).

9. Модуль певного інтеграла не перевищує інтеграла від модуля підінтегральної функції:

▼Застосовуючи властивість 7 до очевидних нерівностей -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, отримуємо

Звідси слідує що

▲

10. Похідна певного інтеграла по змінному верхньому межі дорівнює підінтегральної функції, у якій змінна інтегрування замінена цією межею, тобто.

Обчислення площі фігури є однією з найпростіших проблем теорії площ. У шкільному курсі геометрії ми навчилися знаходити площі основних геометричних постатей, наприклад, кола, трикутника, ромба тощо. Однак набагато частіше доводиться стикатися з обчисленням площ складніших фігур. При вирішенні подібних завдань доводиться вдаватися до інтегрального числення.

У цій статті ми розглянемо завдання про обчислення площі криволінійної трапеції, причому підійдемо до неї геометричному сенсі. Це дозволить нам з'ясувати прямий зв'язок між певним інтегралом та площею криволінійної трапеції.

Визначення 1

Сукупність всіх первісних заданої функції $ y = f (x) $, визначеної на деякому відрізку, називається невизначеним інтегралом від заданої функції $ y = f (x) $. Невизначений інтеграл позначається символом $\int f(x)dx$.

Зауваження

Визначення 2 можна записати так:

\[\int f(x)dx = F(x)+C.\]

Не від будь-якої ірраціональної функції можна висловити інтеграл через елементарні функції. Однак більшість таких інтегралів за допомогою підстановок можна призвести до інтегралів від раціональних функцій, які можна виразити інтегралом через елементарні функції.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

I

При знаходженні інтеграла виду $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ необхідно виконати таку підстановку:

При цій підстановці кожен дробовий ступінь змінної $x$ виражається через цілу ступінь змінної $t$. У результаті підінтегральна функція перетворюється на раціональну функцію від змінної $t$.

Приклад 1

Виконати інтегрування:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Рішення:

$k=4$ - загальний знаменник дробів $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C) \end(array)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

При знаходженні інтеграла виду $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+) b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ необхідно виконати таку підстановку:

де $k$ - загальний знаменник дробів $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

В результаті цієї підстановки підінтегральна функція перетворюється на раціональну функцію від змінної $t$.

Приклад 2

Виконати інтегрування:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Рішення:

Зробимо таку підстановку:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Зробивши зворотну заміну, отримаємо остаточний результат:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

При знаходженні інтеграла виду $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ виконується так звана підстановка Ейлера (використовується одна з трьох можливих підстановок).

Перша підстановка Ейлера

Для випадку $a>

Взявши перед $\sqrt(a) $ знак "+", отримаємо

Приклад 3

Виконати інтегрування:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Рішення:

Зробимо наступну підстановку (випадок $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^) (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Зробивши зворотну заміну, отримаємо остаточний результат:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Друга підстановка Ейлера

Для випадку $c>0$ необхідно виконати таку підстановку:

Взявши перед $\sqrt(c) $ знак "+", отримаємо

Приклад 4

Виконати інтегрування:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Рішення:

Зробимо таку підстановку:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ [\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$Зробивши зворотну заміну, отримаємо остаточний результат:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1) +x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x +x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end (array)\]

Третя підстановка Ейлера