Заміна змінної у невизначеному інтегралі. Обчислення інтегралів. Заміна змінних Інтеграли заміна змінної приклади

Обчислити заданий інтеграл безпосереднім інтегруванням

вдається не завжди. Одним із найбільш ефективних прийомів

є метод підстановки чи заміни змінної інтегрування.

Сутність цього методу полягає в тому, що шляхом введення нової змінної інтегрування вдається звести заданий інтеграл

новий інтеграл, який береться безпосереднім інтегруванням.

Розглянемо цей метод:

Нехай – безперервна функція

необхідно знайти: (1)

Зробимо заміну змінної інтегрування:

де φ (t) - монотонна функція, яка має безперервну похідну

та існує складна функція f(φ(t)).

Застосувавши до F(х) = F(φ(t)) формулу диференціювання складної

функції, отримаємо:

﴾F(φ(t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′(t)

Але F′(x) = f(x) = f(φ(t)), тому

﴾F(φ(t))﴿′ = f(φ(t)) ∙ φ′(t) (3)

Таким чином, функція F(φ(t)) є первісною для функції

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), тому:

∫ f(φ(t)) ∙ φ′(t) dt = F(φ(t)) + C (4)

Враховуючи, що F(φ(t)﴿ = F(x), з (1) та (4) слідує формула заміни

змінної у невизначеному інтегралі:

∫ f(x)dx = ∫ f(φ(t)) φ′(t)dt (5)

Формально формула (5) виходить заміною х на φ(t) і dх на φ′(t)dt

В отриманому після інтегрування за формулою (5) результат слідує

перейти знову до змінної х. Це завжди можливо, тому що за при-

ложению функція х = φ (t) монотонна.

Вдалий вибір підстановки зазвичай представляє відомі труд-

ності. Для їх подолання необхідно опанувати техніку дифферен-

чення і добре знати табличні інтеграли.

Але все ж таки можна встановити ряд загальних правил і деяких прийомів

інтегрування.

Правила інтегрування способом підстановки:

1. Визначають, до якого табличного інтеграла наводиться даний інтеграл (попередньо перетворивши підінтегральний вираз, якщо потрібно).

2. Визначають, яку частину підінтегральної функції слід замінити

нової змінної, та записують цю заміну.

3. Знаходять диференціали обох частин запису і виражають диференці-

ціал старої змінної (або вираз, що містить цей диффе-

ренціал) через диференціал нової змінної.

4. Проводять заміну під інтегралом.

5. Знаходять отриманий інтеграл.

6. В результаті переходять до старої змінної.

Приклади рішення інтегралів способом підстановки:

1. Знайти: ∫ х²(3+2х) dx

Рішення:

зробимо підстановку 3+2х = t

Знайдемо диференціал обох частин підстановки:

6x dx = dt, звідки

Отже:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Замінивши t на його вираз із підстановки, отримаємо:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + С

Рішення:

= = ∫ е = е + C = е + C

Рішення:

Поняття певного інтегралу.

Різниця значень для будь-якої первинної функції при зміні аргументу від до називається певний інтегралом цієї функції в межах від а до b і позначається:

а і b називаються нижньою та верхньою межами інтегрування.

Щоб обчислити певний інтеграл, потрібно:

1. Знайти відповідний невизначений інтеграл

2. Підставити в отриманий вираз замість х спочатку верхню межу інтегрування, а потім нижню – а.

3. З першого результату підстановки відняти другий.

Коротко це правило записується у вигляді формул так:

Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніца.

Основні властивості певного інтегралу:

1. , де K = const

3. Якщо , то

4. Якщо функція невід'ємна на відрізку , де , то

При заміні у певному інтегралі старої змінної інтегрування на нову необхідно старі межі інтегрування замінити на нові. Ці нові межі визначаються обраною підстановкою.

Застосування певного інтегралу.

Площа криволінійної трапеції обмеженою кривою, віссю абсцис та двома прямими іобчислюється за такою формулою:

Об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженою кривою , що не змінює свій знак на , віссю абсцис і двома прямими іобчислюється за такою формулою:

За допомогою певного інтеграла можна вирішувати і низку фізичних завдань.

Наприклад:

Якщо швидкість тіла, що прямолінійно рухається, є відомою функцією часу t, то шлях S, пройдений цим тілом з моменту часу t = t 1 до моменту часу t = t 2 визначається формулою:

Якщо змінна сила є відомою функцією шляху S (при цьому передбачається, що напрям сили не змінюється) то робота А, що здійснюється цією силою на шляху від визначається формулою:

Приклади:

1. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:

y =; y = (x-2) 2; 0x.

Рішення:

а) Побудуємо графіки функцій: y =; y = (x-2) 2

б) Визначимо фігуру, площу якої слід обчислити.

в) Визначимо межі інтегрування, розв'язуючи рівняння: = (x-2) 2; x = 1;

г) Обчислюємо площу заданої фігури:

S = dx + 2 dx = 1 од 2

2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:

Y = x 2; x = y2.

Рішення:

x 2 =; x 4 = x;

x (x 3 - 1) = 0

x 1 = 0; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = од 2

3. Обчислити об'єм тіла, одержаного обертанням навколо осі 0x фігури, обмеженої лініями: y = ; x = 1.

Рішення:

V = π dx = π) 2 dx = π = π │ = π/2 од. 3

Домашня контрольна робота з математики
Варіанти завдань.

Варіант №1

y = (x + 1) 2; y = 1 - x; 0x

Варіант №2

1. Вирішити систему рівнянь трьома способами: