Інтегральний показник якості функціонування цифрових систем. Визначається як відношення кількості спотворених біт даних до загального числа переданих бітів. Синонім _ "інтенсивність бітових помилок", "бітовий коефіцієнт помилки".

Міра якості передачі. У випадку виражається негативним ступенем 10 - наприклад, 10-7 означає 1 помилку на 107 біт.

Коефіцієнт помилок- Відношення числа невірно прийнятих бітів (0 замість 1 і навпаки) до повного числа переданих бітів при передачі каналом зв'язку. Еквівалентне поняттю ймовірності помилки. У сучасних мережахзв'язку характерні значення коефіцієнта - 1E-9 та краще.

Визначення коефіцієнта помилок

Коефіцієнт помилок – найважливіша характеристикалінійного тракту. Він вимірюється як для окремих ділянокрегенерації, так тракту в цілому. Визначається коефіцієнт помилок k ЗОШ, за формулою:

k ЗОШ = N ЗОШ /N, (6.1)

де N- загальна кількість символів, переданих за інтервал виміру; N ЗОШ- Число помилково прийнятих символів за інтервал вимірювання.

Вимірювання коефіцієнта помилок носить статистичний характер, так як результат, що отримується за кінцевий час випадковою величиною. Відносна похибка вимірювання у разі нормального закону розподілу числа помилок припустима при N≥10,

Коефіцієнт, що залежить від довірчої ймовірності результату вимірювань:

, (6.3) де - зворотна функціяінтеграла ймовірності: . (6.4)

Значення k ЗОШдозволяє оцінювати ймовірність помилки p ОШ – кількісну оцінкузавадостійкості. Область можливих значень оцінки, у якій із заданою довірчою ймовірністю буде знаходитись значення p ОШ, Визначається верхньої ( p У) та нижньої ( p Н) довірчими кордонами. За нормального закону розподілу числа помилок значення p Уі p Нвизначаються за формулами:

Очевидно, що точність оцінок ймовірності помилки та коефіцієнта помилки зростає зі збільшенням N. Загальна кількість символів цифрового сигналу, переданих за інтервал виміру Tзалежить від швидкості передачі B: N = TB. Звідси випливає, що чим більше швидкістьпередачі, тим швидше і точніше можна оцінити коефіцієнт помилок.

Математичне вираження коефіцієнта бітових помилок

Визначимо коефіцієнт бітових помилок для реальних приймачів, яким властива наявність різних джерелшумів. При цьому вважатимемо, що приймач приймає рішення, який біт (0 або 1) було передано в кожному бітовому інтервалі шляхом стробування фотоструму. Очевидно, що через шуми дане рішенняможе бути невірним, що призводить до появи хибних бітів. Тому, щоб визначити коефіцієнт бітових помилок, необхідно зрозуміти, як приймач приймає рішення щодо переданого біта.

Позначимо через I 1 і I 0 фотоструми, стробовані приймачем протягом 1 і 0 бітів, відповідно, а через s 1 2 і s 0 2 відповідні шуми. Приймаючи, що останні мають гауссівський розподіл, проблема встановлення істинного значення прийнятого біта має таке математичне формулювання. Фотострум для бітів 1 і 0 є вибіркою гауссівської змінної із середнім значенням I 1 і варіацією s 1 , а приймач повинен відстежувати цей сигнал і вирішувати, чи передано біт 0 або 1. При цьому існує багато можливих правилухвалення рішення, які можуть бути реалізовані в приймальнику з метою мінімізації коефіцієнта бітових помилок. Для значення фотоструму I цим оптимальним рішеннямє найбільш ймовірне значення переданого біта, яке визначається шляхом порівняння поточного значення фотоструму з пороговим значенням I п, що використовується для ухвалення рішення.

Нехай при I ³ I п приймається рішення про те, що було передано біт 1, інакше – біт 0. Коли біти 1 і 0 рівноймовірні, як і розглядається надалі, пороговий струм приблизно дорівнює:

(6.7)

Геометрично I п є значення струму I, для якого дві криві щільності ймовірностей (рис. 6.1) перетинаються.

Імовірність того, що I< I п, т. е. вероятность ошибки при передаче бита 1, обозначим через Р 0,1 , а вероятность решения для переданного бита 1, когда I ³ I п при переданном 0, обозначим Р 1,0 .

Нехай Q(х) означає ймовірність того, що нульова середня варіація гауссівської змінної перевищує значення х, тоді:

(6.8) (6.9) (6.10)

Можна показати, що BER визначається,

(6.11)

Дуже важливо відзначити, що в ряді випадків ефективним є використання зміненого в залежності від рівня сигналу порога прийняття рішення, наприклад шуму оптичного підсилювача. Багато високошвидкісних приймачів мають таку особливість. Однак більше прості приймачімають поріг, відповідний середньому рівню струму, що приймається, а саме (I 1 + I 0)/2. Таке налаштування порогового значення дає великий коефіцієнт бітових помилок, що визначається виразом .

(6.12)

Вираз (6.11) можна використовувати для оцінки BER, коли відомі як потужність отриманого сигналу, що відповідає бітам 0 та 1, так і статистика шумів.

Бітові помилки є основним джерелом погіршення якості зв'язку, що виявляється у спотворенні мовлення в телефонних каналах, недостовірності передачі інформації або зниження пропускної спроможності передачі даних, та характеризуються статистичними параметрамита нормами на них, які визначені відповідною ймовірністю виконання цих норм. Останні поділяються на довгострокові та оперативні норми, перші з яких визначаються рекомендаціями ITU-T G.821 та G.826, а другі – М.2100, М.2110 та М.2120, при цьому, згідно з М.2100, якість цифрового трактуза критерієм помилок ділять на три категорії:

· нормальне - BER< 10 -6 ;

· знижене – 10 -6 ≤ BER< 10 -3 (предаварийное состояние);

· Неприйнятний – BER ≥ 10 -3 (аварійний стан).

Оскільки поява помилок є наслідком сукупності всіх поточних умов передачі цифрових сигналів, що мають випадковий характер, то за відсутності даних про закон розподілу помилок його окремі елементиможуть бути визначені з певним ступенем достовірності лише за результатами тривалих вимірів. У той же час на практиці необхідно, щоб значення параметрів помилок для введення в експлуатацію та технічне обслуговуваннясистем передачі ґрунтувалися на досить коротких інтервалах часу виміру.

Для вимірювання коефіцієнта помилок розроблено ряд спеціальних BER аналізаторів - вимірювачів коефіцієнта помилок, що включають генератори псевдовипадкових і детермінованих послідовностей кодованих символів, що передаються, а також приймальне обладнання, Здійснює власне вимірювання коефіцієнта помилок. Що стосується посимвольного порівняння кодів вимір може бути виконано з допомогою шлейфу, тобто. шляхом виміру помилок з однієї кінцевої станції при встановленні на протилежному кінці шлейфу. Інший метод заснований на виділенні помилок завдяки надмірності використовуваних кодів і використовується для вимірювань від передаючої до приймальної сторони тракту або ділянки лінії, тобто. коли виділення та фіксація помилок виробляються на її приймальному кінці. Вочевидь, що у першому випадку потрібно використання одного комплекту, тоді як у другому – двох комплектів приладів. При цьому виміряне значення коефіцієнта помилок відображає якість передачі при проходженні сигналу в обох напрямках та в кожному напрямку відповідно.

Узагальнена модель цифрової системипередачі інформації.

Узагальнена модель цифрової системи передачі (ЦСП) інформації включає три фундаментальні процеси: кодування-декодування джерела, кодування-декодування каналу, модуляція-демодуляція при передачі каналом (рис. 1). На передавальній стороні всі види обробки інформаційних повідомленьслужать мети перетворення їх у сигнали, найбільш підходящі для передачі каналом конкретного типу. На приймальній стороні виробляються зворотні операції, створені задля відновлення у вихідному вигляді із мінімально можливими спотвореннями. У цьому спотворення обумовлені чи неідеальністю процесів прямого - зворотного перетворення, або неідеальністю параметрів тракту (каналу зв'язку), включаючи вплив перешкод.

Процес кодування джерела має на меті скорочення обсягу переданої інформації, тобто зниження вимог до таких ресурсів системи, як час передачі, смуга пропускання, обсяг пам'яті під час обробки чи зберігання інформації.

Кодування каналу використовується для виправлення помилок, що виникають при прийомі цифрового сигналу через різні перешкоди та спотворення. У трактах мовлення інформації програмних службзастосовується лише пряме виправлення помилок, а зворотних каналах інтерактивних систем, особливо телефонних каналах, можливе також використання перезапросов. У будь-якому випадку кодування каналу призводить до збільшення обсягу даних, що передаються, т.к. алгоритми виявлення та виправлення помилок вимагають додавання спеціальних службових символів, а повтори перезапитаних блоків безпосередньо збільшують час передачі.

Модуляція використовується для перетворення сигналів, представлених в основній (вихідній) смузі частот, радіосигнали заданої смуги частот, що забезпечує можливість їх передачі по конкретному фізичному каналу. Додатковою властивістю складних видів модуляції є більш щільна упаковка даних у частотній області, коли на одиницю смуги доводиться більше інформації, що передається.

У цифрових системах передачі процес модуляції-демодуляції можна як спосіб перетворення коду в сигнал і назад. Конкретний методмодуляції вибирається, виходячи з особливостей побудови системи, необхідної швидкості передачі по наданому каналу, заданої ймовірності прийому (включаючи можливості системи захисту від помилок) та ін. Таким чином, постановка проблеми спільної оптимізації модему і кодека спрямована на вирішення важливого завдання- найкращого узгодження сигналу з характеристиками каналу. При пошуку оптимального варіантаузгодження найчастіше зупиняються на виборі одного з двох критеріїв:

Високою спектральної ефективності, тобто. передачі з високою швидкістюу вузькій смузі;

Високою енергетичної ефективності, тобто. передачі з низьким ставленням несуча/шум та з максимальним заняттям усієї доступної смуги.

У першому випадку застосовують щільні сузір'я сигналів (наприклад, модуляція 64 QAM або 16 QAM) спільно з мало надмірними кодами, що виправляють помилки. У другому випадку використовуються розріджені сузір'я (QPSK) спільно з високо надмірними коригувальними кодами. З урахуванням реальних обмеженьна допустиму смугу каналу та досяжне відношення несуча/шум вибирається необхідний компроміс між спектральною та енергетичною ефективностями.

Чинники, що впливають на якість сигналу

При прийомі цифрового сигналу та декодуванні переданої інформації неминуче виникають помилки в окремих бітах або більш широких фрагментах цифрового потоку. У добре спроектованій та працюючій системі передачі помилки виникають вкрай рідко. В іншому випадку вони можуть суттєво спотворити прийняте повідомлення або зовсім унеможливити його використання. Існує досить багато факторів, кожен із яких може призвести до виникнення помилок у декодованому сигналі. Але найчастіше помилки викликає сукупність факторів при тому, що окремі фактори не носять домінуючого характеру. Основні категорії спотворень у системі та конкретні фактори, що їх породжують, наведені в таблиці 1.

Усі зазначені спотворення і чинники однак перераховуються в еквівалентне випадкове зміна рівня прийнятого сигналу у точці рішення, тобто. зниження відносин сигнал/шум.

Таблиця 1

	фактори, що впливають	фактори, що впливають
Спотворення форми сигналу у вигляді міжсимвольних та квадратурних спотворень	Перехідна характеристика	Модулятор
	Шаблон форми АЧХ та ФЧХ	Формуючий фільтр
	Лінійні спотворення	Канал зв'язку, приймач, коректор
	Обмеження смуги	Канал зв'язку, приймач
Фазові помилки несучої	Нестабільність частоти	Модулятор, демодулятор
	Неточність квадратури	Модулятор, демодулятор
	Помилки при відновленні несучої	Демодулятор
Дрейф порогових рівнів вирішального пристрою	Дрейф вихідного сигналу демодулятора	Демодулятор
	Дрейф опорного джерела	Вирішальний пристрій
	Неточність встановлення зони рішення	Вирішальний пристрій
Шум	Тепловий шум	Вхідні каскади радіоприймача
	Шум пристрою синхронізації	Шум генераторів, що задають, або синтезу торів передавача і приймача, фазовий джиттер відновлених несучою і тактів.
Перешкоди	Індустріальні перешкоди	Зовнішні джерелау каналі зв'язку, побічний прийом
	Відлуння-сигнали	Багатопроменеве відображення, неузгодженість кабельних ліній
	Сигнали інших радіо- передавальних засобів	Передавачі суміщеного каналу, позасмугові випромінювання, побічний прийом

Аналіз впливу шумів і перешкод на сигнал, що передається, а також методи боротьби з перешкодами відносяться до стрижневих питань теорії та техніки передачі інформації.

Білий шум. Серед усіх джерел шуму найбільш поширеним на практиці і найбільш широко використовується як модель випадкового процесу є шум, що описується нормальним (гауссівським) розподілом. Такий шум виникає внаслідок одночасного впливу багатьох незалежних випадкових джерел. Нормальний розподілвідображає положення центральної граничної теореми теорії ймовірностей, згідно з якою випадкова величина х,отримана підсумовуванням статистично незалежних випадкових величин х 1, х 2, …. х nз довільними щільностями, має щільність, що наближається до нормальної, якщо n прагне нескінченності. Типовим прикладомшуму з нормальною густиною є тепловий шум, зумовлений броунівським рухом електронів у провіднику. Шум подібного типу прийнято називати білим шумом. Найбільший інтерес при аналізі систем представляє адитивний гауссовський білий шум.

Аналітичний вираз для нормальної щільності, у загальному випадку, має вигляд:

Ідеальний білий шум, володіючи необмеженим однорідним спектром, є послідовністю нескінченно коротких імпульсів, що мають випадкову висоту і наступних один за одним через випадкові проміжки часу. Для ідеального білого шумупотужність шуму, що припадає на кінцеву смугу частот, тобто спектральна густина, нескінченно мала. Для аналізу процесів у реальній області позитивних частот використовують односторонню спектральну щільність N 0 ,Вт/Гц. При теоретичному аналізі в області позитивних та негативних частот використовують двосторонню спектральну щільність N 0 /2,Вт/Гц. Очевидно, що в обох випадках потужність шуму залишається однією і тією ж. Постійність спектральної щільності ідеального білого шуму означає, що нескінченно широкій смузічастот середня потужність шуму дуже велика, тобто. така властивість є не більше ніж математичною ідеалізацією. Однак практично смуга пропускання системи завжди обмежена, що автоматично обмежує потужність шуму в цій смузі. Тому значення спектральної щільності поза смуги пропускання впливає аналізовані параметри сигналу і шуму.

Реальний білий шум відповідає ідеальному білому шуму через фільтр. Він має обмежений діапазон, тобто. імпульси кінцевої тривалості. При обмеженій ширині спектра потужність реального білого шуму кінцевої смузі частот також кінцева.

Зазвичай під час розрахунків потужності Nреального білого шуму у смузі У(Гц) використовують спектральну густину потужності N 0 = N/B(Вт/Гц) та абсолютну температуру джерела шуму Т(К °), де К ° = С ° + 273 °.

При цьому найбільша потужність шуму, яку можна отримати від теплового джерела,

а функція розподілу має вигляд:

(7)

Релеєвський шум – це вузькосмуговий шум. Його фізичною інтерпретацією є синусоїдальна несуча з частотою, що дорівнює середній частотісмуги пропускання, і модульована по амплітуді низькочастотним вузькосмуговим шумовим напругою позитивної полярності. Ця модулююча напруга відповідає напрузі на виході лінійного детектора, на вхід якого подано вузькосмуговий гаусівський шум з високим рівнем.

Релеєвський шум відбиває фізичні процеси у вузькосмугових системах, зокрема, у приймальній апаратурі, у якій використовується лінійний детектор. Порівняно з Гаусівським шумом релеєвський має більш ніж на 2 dB менший пік-фактор, тобто. пікова напруга, що перевищується протягом 0,01% часу (9,64 dB проти 11,80 dB).

Імпульсний шум.

Імпульсний шум - це послідовність імпульсів довільної тривалості та амплітуди, що йдуть один за одним через випадкові проміжки часу. Відмінність імпульсного шуму від безперервного у цьому, що тривалість імпульсів імпульсного шуму значно менше проміжків з-поміж них, тому поява кожного імпульсу сприймається як незалежне подія. Число незалежно виникаючих імпульсів протягом будь-якого проміжку часу підпорядковується пуасонівському розподілу:

(8)

де Р(n)- ймовірність появи дорівнює nімпульсів за час Т;

v- Середня кількість імпульсів в одиницю часу.

Проходження імпульсного шуму через смуговий ланцюг призводить до розмиття імпульсів, тобто. до розширення імпульсів та злиття їх у безперервний шум. Але значення пікового рівня шуму у своїй пропорційно ширині смуги пропускання, а значення середнього рівня - кореню квадратному зі смуги.

Шумова смуга чотириполюсника.

При вимірі шумових та ймовірнісних характеристик радіоприймальних пристроїв, аналіз та моделювання параметрів трактів систем передачі інформації важливе значеннямає визначення шумової смуги пристрою, а тим самим потужності та структури шуму, що впливає на корисний сигнал.

У більшості практичних випадків інтерес представляє потужність шуму, що діє на виході деякого еквівалентного чотириполюсника, характеристики якого відображають послідовне з'єднаннякількох пристроїв або ланок реального ланцюга. Якщо коефіцієнт передачі такого чотириполюсника має максимальне значення До 0на деякій частоті w 0 ,то область частот (2 Dw) ефф.на околиці w,що визначається із співвідношення:

Відношення сигнал/шум та ймовірність помилки при прийомі цифрової інформації

Відношення сигналу до шуму.

При аналізі процесів у системах передачі використовується кілька близьких показників, що характеризують енергетичні співвідношення між сигналом і шумом.

У цифрових системах передачі, особливо в порівнянні різних методіввиправлення помилок, прийнято використовувати нормоване ставлення середньої енергії на біт інформації спектральної щільності потужності шуму E b /N 0 .Це ставлення зручне тим, що в ньому не фігурують абсолютні значеннясмуги частот та тривалості тактового інтервалу. Спектральна густина потужності шуму N Qмає розмірність енергії, тому з нею слід порівнювати енергію сигналу Е,а не середню потужність S.

Враховуючи що Е = ST 0 N = N 0 B, де Т 0- час передачі сигналу, В -смуга фільтра, отримуємо співвідношення між двома показниками:

Під час передачі двійкових сигналів E s = E b, в іншому випадку

Серед показників, що характеризують відношення потужностей, широко використовується також відношення несуча/шум C/N,яке показує, у скільки разів потужність Зприймається модульованої радіочастотної несучої на виході приймального фільтра зі смугою Найквіста більше потужності Nшуму, що породжується спільною дією всіх джерел шуму даного тракту. Ставлення C/Nє зручним параметромпри розрахунках енергетики на вході радіоприймача, у ВЧ та ПЧ каскадах демодулятора.

Обидва коефіцієнти співвідносяться як:

де Р s- середня потужність модульованої несучої М-QАМ;

Р N- середньоквадратичне значення потужності білого шуму на виході фільтра Найквіста зі смугою BW = BN(1+a)та коефіцієнтом заокруглення спектру a;

N 0- одностороння спектральна густина потужності білого шуму;

М- Число елементів простору сигналів при цифровій модуляції.

Ймовірність помилки прийому сигналів.

Перешкодостійкість цифрових систем передачі оцінюється відношенням сигнал/шум, необхідним отримання певної заданої ймовірності помилки. Практичний інтерес представляє значення відношення сигнал/шум на вході вирішального устрою, тобто. саме того вузла, робота якого викликає появу хибних бітів. Хоча в сучасних системахзастосовуються складні методи амплітудно-фазової модуляції, Але реально рішення приймається співвідношення між рівнем демодулированного імпульсу і порогом. Тому пояснимо механізм виникнення помилок на простій моделі двійкового біполярного сигналу з нульовим пороговим рівнем. У разі багаторівневих імпульсів аналогічна картина характеризуватиме випадок розрізнення двох суміжних рівнів щодо порогу між ними.

На рис. 3 показана модель приймача - вирішального пристрою, але в рис. 4 двійковий сигнал із значними рівнями Аі В,які спотворені дією адитивного шуму. У припущенні, що шум однаково впливає на обидва рівні, праворуч від імпульсу показані однакові криві розподілу гауса, центровані відносно рівнів Аі Ст.Розмах сигналу, тобто. відстань між рівнями, дорівнює V.Помилка у рішенні про рівень імпульсу виникає при перевищенні шумом порогового рівня, що віддаляється від номінальних сигнальних рівнів на значення V/ 2. На виникнення помилки впливають імпульси шуму, що мають полярність, протилежну полярності сигналу. Так як гауссівський розподіл не має обмеження по осі абсцис, то завжди існує ймовірність випадкової події, що перебуває у перевищенні шумом порога V/ 2.

Ймовірність помилки:

де s = x/δ - ефективне значення змінної складової перешкоди,середнє значення якої дорівнює нулю. Отримуємо:

(19)

Вираз (19) показує, що при фіксованому значенні s ймовірність помилки залежить лише від відстаней між рівнями V, незалежно від того, ведеться передача однополярним сигналом ( 0, V) або біполярними сигналами (+ V/ 2 , - V/ 2). У більш широкому значеннівираз (19) залежить від відношення розмаху сигналу до середньоквадратичного (ефективного) значення напруги шуму V/ s . Графічна залежність V/ s показано на рис. 5.

Пропускна здатність каналу

У теорії передачі інформації та цифрового зв'язкувинятково важливе значення має формула, що зв'язує максимальну швидкістьпередачі інформації Зу смузі каналу Wзі ставленням сигнал/шум P/N:

(20)

Вираз (20), відомий як формула Шеннона, визначає пропускну здатність частотно-обмеженого безперервного каналуз адитивним білим гауссівським шумом при обмеженні середньої потужності сигналу, що передається значенням Р.

Умова безперервності каналу передбачає, що кількість можливих рівнів ансамблю переданих сигналів нескінченно велике, тобто. сигнал має властивості шуму. Передача сигналу повинна проводитися з використанням коригувального кодування або в основній смузі або за допомогою односмугової модуляції. Як елементи сигналу можна використовувати, в загальному випадку, будь-яку функцію часу, обмежену по спектру смужкою частот W,Гц. Цій умові задовольняє, зокрема, функція виду sin( x)/x.

Пропускна здатність каналу з шумом має кінцеве значення лише за обмеження потужності передавача. У каналі без шуму або каналі з шумами, але без обмеження потужності передавача відношення сигнал/шум і відповідно пропускна здатність, Як випливає з (П2В.20), прагнуть нескінченності.

При проектуванні та аналізі цифрових систем передачі найбільший інтерес представляє пропускна здатність,віднесена до одиниці смуги частот:

(21)

Формула (21) має сенс максимальної питомої швидкості передачі та застосовується в оцінці ефективності систем зв'язку. Графік питомої швидкості в безперервному каналі з білим шумом в залежності від відношення сигнал/шум (21) при виборі виду модуляції, що забезпечує передачу n = 2WTсимволів у смузі Wза час Т,показано на рис. 6. Фактично він визначає ідеальну верхню межу, до якої прагнуть наблизитись, оптимізуючи ті чи інші параметри цифрових систем.

У реальних системах передані сигналимають кінцеве число значущих позицій, тому за їх аналізі використовується модель не безперервного, а дискретного каналуіз шумом. Пропускна здатність дискретного каналу аналітично виражається через матрицю перехідних ймовірностей між станами сигналів, що передаються і приймаються, і при числі позицій більше двох відповідні формули досить складні. На рис. 6 показані також залежності питомої швидкості від відношення сигнал/шум для систем з різним числомзначних позицій (рівнів).

У дискретних каналах, якими є реальні канали цифрових систем, зі зростанням відношення сигнал/шум питома швидкість спочатку зростає тим самим темпом, що у безперервному каналі, але з досягненні деякого порога її зростання різко уповільнюється, і вона фактично перестає залежати від відношення сигнал/ шум, досягаючи свого номінального значення, що визначається числом значущих позицій для каналу без шуму. Таким чином, представлені графіки однозначно показують, що в системі з дискретним каналом і фіксованою смугою частот зростання пропускної здатності може бути забезпечене тільки шляхом збільшення числа позицій сигналу. Але це, у свою чергу, вимагає або відповідного збільшення відношення сигнал/шум, що не завжди можливо, або застосування потужних кодів, що виправляють помилки, що також має обмеження. Врахування цих суперечливих вимог і пошук компромісу є предметом оптимізації параметрів цифрової системи передачі.

Враховуючи, що потужність шуму N = N 0 W,де N 0- Спектральна щільність потужності шуму (енергія в смузі 1 Гц), і вважаючи, що потужність шуму в смузі W 0дорівнює потужності сигналу Р = N 0 W 0 ,наведемо (21) до вигляду:

(22)

Графік пропускної спроможності, віднесеної до смуги W 0, залежно від відносної смуги W/ W 0 показано на рис. 7, з якого видно: поки потужність сигналу не перевищує потужність шуму (W/ W 0 < 1), пропускна здатність зростає дуже швидко, але при перевищенні потужності шуму, її зростання уповільнюється і монотонно прагне асимптотичного значення,

(23)

Отже, треба працювати в області шумів, захищаючись від помилок кодуванням.

Перевагою формули Шеннона є те, що вона пов'язує воєдино основні параметри сигналу і дозволяє здійснювати їхній компромісний вибір. Наприклад, при незмінному відношенні сигнал/шум те саме кількість інформації в бітах може бути передано або в широкій смузі частот при малому часі сигналу, або у вузькій смузі за допомогою тривалого сигналу. У деяких системах цифрового ТБ мовлення для наближення до кордону Шеннона використовують паралельну передачу великому числувузькосмугових каналів. У сучасних системах цифрового ТБ мовлення за допомогою використання передових методів обробки і передачі сигналів досягається досить хороше наближення до кордону Шеннона. Прикладом можуть бути регламентовані швидкості цифрових потоків у прямому та реверсному напрямках СКТ, що обумовлюються стандартом DOCSIS для кожної з виділених смуг пропускання.

Якщо передається символ dодиничної амплітуди, то вихідний сигнал xузгодженого фільтра можна записати замість (1.3.1) у вигляді

де E s- Енергія імпульсу, h- Канальний коефіцієнт, z- Шум приймача. При цьому передбачається, що дисперсія коефіцієнта hдорівнює одиниці (<|h| 2> = 1), а середня потужність шуму .

З (2.4.1) отримаємо, що миттєва ОСШ дорівнює

де – середня ОСШ на символ.

У багатопроменевому каналі амплітуда h| коефіцієнта передачі має релеєвський розподіл виду (2.3.43) При цьому випадкова ОСШ r матиме експоненційну щільність ймовірності з параметром r 0 яку можна записати як

. (2.4.3)

Знайдемо ймовірність бітової помилки ( BER), яка визначається як відношення середньої кількості неправильно прийнятих біт до загального числа переданих біт. Так як ОСШ r є випадковою величиною, необхідно використовуючи щільність імовірності f(r) виконати усереднення бітової помилки, яка виникає через шум при ОСШ r.

Отже, щоб знайти бітову помилку під час передачі через релеєвський канал, необхідно обчислити інтеграл

, (2.4.4)

де BER(r) – ймовірність бітової помилки в гауссівському шумовому каналі без завмирань при ЗСШ рівному r.

Імовірність бітової помилки BER(r) визначається виразами (1.3.10), (1.3.14), (1.3.18) та (1.3.19) для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ та 64-КАМ сигналів, відповідно. Розглянемо ці модуляції окремо.

2-ФМ сигнали.Враховуючи щільність ймовірності (2.4.3) для ОСШ та вираз (1.3.10) для BER(r), отримаємо, що ймовірність бітової помилки дорівнює

. (2.4.5)

Цей інтеграл обчислюється. В результаті матимемо, що

. (2.4.6)

У разі досить великого середнього ЗСШ (r 0 >>1) формулу (2.4.6) можна спростити. Для цього скористаємось наближеною рівністю де малий параметр x= 1/r 0 . В результаті, з (2.4.6) отримаємо, що

Таким чином, при великих ОСШ ймовірність бітової помилки в релеївському каналі обернено пропорційна середньому ОСШ.

У логарифмічному масштабі за великих ОСШ криві для ймовірності бітової помилки переходять у прямі. Нахил цих прямих значно більший для гаусівського каналу, ніж для релеївського. Щоб, наприклад, зменшити ймовірність помилки в 10 разів в умовах релеєвських завмирань сигналів потужність повинна бути збільшена також в 10 разів (на 10 дБ). Аналогічне збільшення потужності для гаусівського каналу складає всього 12 дБ.

Для 2-ФМ сигналів енергія символу збігається з енергією біта, тому вирази (2.4.6) та (2.4.7) можна переписати у вигляді:

, . (2.4.8)

Порівняємо ймовірність бітової помилки для гаусівського шумового та релеївського каналів. Результати порівняння показано на рис. 2.25. Видно, що передача інформації з однаковою помилкою через релеєвський канал потребує значно більшого ЗСШ, ніж передача через шумовий канал Гауса. Оцінимо необхідну ОСШ, необхідне забезпечення заданої величини ймовірності бітової помилки. Наприклад, для ймовірності, що дорівнює 1%, необхідно збільшити потужність передавача з 4.3 дБ до 13.8 дБ (тобто приблизно в 10 разів), щоб компенсувати втрати, зумовлені релеєвськими завмираннями сигналу.

Мал. 2.25. Імовірність бітової помилки залежно від ОСШ у релеївському (суцільна
крива) та в гауссівському каналах (пунктирна криві)

4-ФМ сигнали.Як показано вище, залежність ймовірність бітової помилки від відношення E b/N 0 в каналі з адитивним гауссівським шумом є однаковою для 2-ФМ та 4-ФМ сигналів. Тому формули (2.4.8) справедливі й у 4-ФМ сигналів.

Враховуючи, що для 4-ФМ сигналів ОСШ з (2.4.8) отримаємо, що ймовірність бітової помилки в залежності від ОСШ визначатиметься такими виразами:

, . (2.4.9)

Таким чином, однакова ймовірність бітової помилки досягатиметься для квадратурної модуляції при ЗСШ більшому в 2 рази (на 3 дБ), ніж для двійкової модуляції.

Імовірність бітової помилки в залежності від ЗСШ для 4-ФМ сигналів представлена ​​на рис. 2.26 (крива 2). Тепер ОСШ, необхідне забезпечення ймовірності помилки 1%, має становити 16.8 дБ.

Мал. 2.26. Імовірність бітової помилки залежно від ОСШ у релеївському каналі для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ та 64-КАМ сигналів (криві 1,2,3,4, відповідно)

16-КАМ сигнали.Щоб знайти ймовірність бітової помилки BERнеобхідно підставити (1.3.18) в інтеграл (2.4.4) та виконати інтегрування. В результаті отримаємо, що

де функція

. (2.4.11)

Врахуємо, що для 16-КАМ сигналів відповідно до (1.3.13) ОСШ . Підставляючи цю рівність (2.4.10) і (2.4.11), можна отримати залежність ймовірності бітової помилки від відношення енергії сигналу до спектральної щільності шуму .

Знайдемо ймовірність символьної помилки під час використання коду Грея, коли сусідні символи переносять інформацію, що відрізняється лише бітом. Тоді для досить великих ОСШ помилка при демодулюванні символу призводить до неправильної оцінки лише одного біта. Тому ймовірність символьної помилки для 16-КАМ сигналів дорівнює , тобто символьна помилка в 4 рази більша за бітову.

Імовірність бітової помилки в залежності від ОСШ в дБ для 16-кам сигналів представлена ​​на рис. 2.26 (крива 3). Ця крива зрушена на 6.0 дБ у порівнянні з кривою для 4-ФМ. Тепер ОСШ, необхідне забезпечення ймовірності помилки 1%, має становити 22.8 дБ.

64-КАМ сигнали.Підставимо (1.3.19) у (2.4.4) та виконаємо інтегрування. В результаті отримаємо, що ймовірність бітової помилки дорівнює

де функція визначена (2.4.11).

Для 64-КАМ сигналів відповідно до (1.3.13) ОСШ . Враховуючи цю умову (2.4.12), можна отримати залежність ймовірності бітової помилки від відношення .

При використанні коду Грея ймовірність символьної помилки для 64-КАМ сигналів для великих ОСШ дорівнює .

Імовірність бітової помилки в залежності від ЗСШ в дБ для 64-КАМ сигналів представлена ​​на рис. 2.26 (крива 4). Видно, що дана крива зрушена на 5.2 дБ у порівнянні з кривою для 16-КАМ, і для забезпечення ймовірності помилки 1% ОСШ має дорівнювати 28.0 дБ.

Вирази (2.4.10) та (2.4.12) є досить складними. Тому наведемо наближену формулу, справедливу для сигналів достатньо високих рівнівмодуляції. Імовірність символьної помилки в каналі з релеєвськими завмираннями сигналів при максимально правдоподібному детектуванні обмежена зверху:

, (2.4.13)

де позначення вже використовувалося (1.3.20).

В області великих ОСШ

. (2.4.14)

Звідси випливає, що при r 0 >>1 ймовірність символьної помилки (а, отже, і бітової помилки) для модуляцій, що розглядаються, зменшується назад пропорційно ОСШ r 0 , що також видно на рис. 2.26 на якому всі криві мають однаковий нахил в області r 0 >>1.