Система векторів того самого порядку називається лінійно-залежною, якщо з цих векторів шляхом відповідної лінійної комбінації можна отримати нульовий вектор. (При цьому не допускається, щоб всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнювали нулю, так як це було б тривіально.) В іншому випадку вектори називаються лінійно-незалежними. Наприклад, наступні три вектори:

лінійно залежні, оскільки легко перевірити. У разі лінійної залежності будь-який вектор можна завжди виразити через лінійну комбінацію інших векторів. У нашому прикладі: або або Це легко перевірити відповідні розрахунки. Звідси випливає таке визначення: вектор лінійно незалежний від інших векторів, якщо його не можна уявити у вигляді лінійної комбінації з цих векторів.

Розглянемо систему векторів, не уточнюючи, чи вона є лінійнозалежною або лінійно-незалежною. У кожної системи, що складається з вектор-стовпців, можна виявити максимально можливе число лінійно-незалежних векторів. Це число, що позначається літерою, і є рангом системи векторів. Так як кожну матрицю можна розглядати як систему вектор-стовпців, ранг матриці визначається як максимальна кількість лінійнонезалежних вектор-стовпців, що містяться в ній. Для визначення рангу матриці користуються і вектор-рядками. Обидва способи дають однаковий результат для однієї і тієї ж матриці, причому не може перевершувати найменше або Ранг квадратної матриці порядку коливається від 0 до . Якщо всі вектори є нульовими, то ранг такої матриці дорівнює нулю. Якщо всі вектори лінійно незалежні один від одного, то ранг матриці дорівнює. Якщо утворити матрицю з наведених вище векторів, то ранг цієї матриці дорівнює 2. Так як кожні два вектори можуть бути зведені до третього шляхом лінійної комбінації, то ранг менше 3.

Але можна переконатися, що будь-які два вектори з них є-лінійно-незалежними, отже, ранг

Квадратну матрицю називають виродженою, якщо її вектор-стовпці або вектор-рядки лінійно залежні. Визначник такої матриці дорівнює нулю і зворотної матриці не існує, як вже було зазначено вище. Ці висновки еквівалентні одне одному. Внаслідок цього квадратну матрицю називають невиродженою, або неособливою, якщо її вектор-стовпці або вектор-рядки незалежні один від одного. Визначник такої матриці не дорівнює нулю і обернена їй матриця існує (порівняй зі с. 43)

Ранг матриці має цілком очевидну геометричну інтерпретацію. Якщо ранг матриці дорівнює , то кажуть, що мірний простір натягнуто на векторів. Якщо ранг то векторів лежать в -мірному підпросторі, яке всіх їх включає. Отже, ранг матриці відповідає мінімально необхідної розмірності простору, «в якому містяться всі вектори», -мірне підпростір -мірному просторі називають -мірною гіперплощиною. Ранг матриці відповідає найменшій розмірності гіперплощини, у якій лежать всі вектори.

Ортогональність. Два вектори а і b називаються взаємно-ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Якщо для матриці порядку має місце рівність де D - діагональна матриця, то вектор-стовпці матриці А попарно взаємно-ортогональні. Якщо ці вектор-стовпці пронормувати, тобто привести до довжини, що дорівнює 1, то має місце рівність і говорять про ортонормовані вектори. Якщо - квадратна матриця і має місце рівність то матрицю називають ортогональною. У цьому випадку з формули (1.22) випливає, що ортогональна матриця завжди невироджена. Звідси з ортогональності матриці випливає лінійна незалежність її вектор-рядків або вектор-стовпців. Зворотне твердження не так: з лінійної незалежності системи векторів не випливає попарна ортогональність цих векторів.

де - якісь числа (деякі з цих чисел або навіть всі можуть дорівнювати нулю). Це означає наявність таких рівностей між елементами стовпців:

З (3.3.1) випливає, що

Якщо рівність (3.3.3) справедлива і тоді, коли , то рядки називаються лінійно незалежними. Співвідношення (3.3.2) показує, що якщо один із рядків лінійно виражається через інші, то рядки лінійно залежні.

Легко бачити і зворотне: якщо рядки лінійно залежні, то знайдеться рядок, який буде лінійною комбінацією інших рядків.

Нехай, наприклад, в (3.3.3) тоді .

Визначення. Нехай в матриці А виділений деякий мінор r-го порядку і нехай мінор (r+1)-го порядку цієї матриці повністю містить в собі мінор . Будемо говорити, що в цьому випадку мінор облямовує мінор (або облямовує для ).

Тепер доведемо важливу лему.

Леммапро обрамляючі мінори. Якщо мінор порядку r матриці А= відмінний від нуля, а всі мінори, що його оздоблюють, рівні нулю, то будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією її рядків (стовпців), що становлять .

Доведення. Не порушуючи спільності міркувань, вважатимемо, що відмінний від нуля мінор r-го порядку стоїть у лівому верхньому кутку матриці А = :

.

Для перших k рядків матриці А твердження леми очевидно: досить у лінійну комбінацію включити цей рядок з коефіцієнтом, рівним одиниці, інші – з коефіцієнтами, рівними нулю.

Доведемо тепер, що інші рядки матриці А лінійно виражаються через перші k рядків. Для цього побудуємо мінор (r+1)-го порядку шляхом додавання до мінору k-го рядка () та l-го стовпця ():

.

Отриманий мінор дорівнює нулю за всіх k і l. Якщо , він дорівнює нулю як містить два однакових стовпця. Якщо , то отриманий мінор є облямовуючим мінором для і, отже, дорівнює нулю за умовою леми.

Розкладемо мінор за елементами останнього l-го стовпця:

Вважаючи, отримаємо:

(3.3.6)

Вираз (3.3.6) означає, що k рядок матриці А лінійно виражається через перші r рядків.

Так як при транспонуванні матриці значення її мінорів не змінюються (через властивості визначників), все доведене справедливо і для стовпців. Теорему доведено.

Наслідок I. Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців). Дійсно, базисний мінор матриці відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю.

Наслідок ІІ. Визначник n-го порядку тоді й лише тоді дорівнює нулю, що він містить лінійно залежні рядки (стовпці). Достатність лінійної залежності рядків (стовпців) для рівності визначника нулю доведено раніше як властивість визначників.

Доведемо потребу. Нехай задана квадратна матриця n-го порядку, єдиний мінор якої дорівнює нулю. Звідси випливає, що ранг цієї матриці менший за n, тобто. знайдеться хоча б один рядок, який є лінійною комбінацією базисних рядків цієї матриці.

Доведемо ще одну теорему про ранг матриці.

Теорема.Максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних стовпців і дорівнює рангу цієї матриці.

Доведення. Нехай ранг матриці А = дорівнює r. Тоді будь-які її k базисних рядків є лінійно незалежними, інакше базисний мінор дорівнював би нулю. З іншого боку, будь-які r+1 і більше рядків лінійно залежать. Припустивши неприємне, ми могли б знайти мінор порядку більш ніж r, відмінний від нуля за наслідком 2 попередньої леми. Останнє суперечить з того що максимальний порядок мінорів, відмінних від нуля, дорівнює r. Все доведене для рядків є справедливим і для стовпців.

На закінчення викладемо ще один спосіб знаходження рангу матриці. Ранг матриці можна визначити, якщо знайти мінор максимального порядку, відмінний від нуля.

На перший погляд, це вимагає обчислення хоч і кінцевого, але, можливо, дуже великої кількості мінорів цієї матриці.

Наступна теорема дозволяє, проте, внести до цього значні спрощення.

Теорема.Якщо мінор матриці А відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю, то ранг матриці дорівнює r.

Доведення. Достатньо показати, що будь-яка підсистема рядків матриці при S>r буде в умовах теореми лінійно залежною (звідси випливатиме, що r – максимальна кількість лінійно незалежних рядків матриці або будь-які її мінори порядку більше ніж k дорівнюють нулю).

Припустимо неприємне. Нехай рядки лінійно незалежні. По лемі про мінори, що облямовують, кожна з них буде лінійно виражатися через рядки , в яких стоїть мінор і які, зважаючи на те, що відмінний від нуля, лінійно незалежні:

Тепер розглянемо наступну лінійну комбінацію:

або

Використовуючи (3.3.7) та (3.3.8), отримуємо

,

що суперечить лінійній незалежності рядків.

Отже, наше припущення є невірним і, отже, будь-які S>r рядків в умовах теореми лінійно залежні. Теорему доведено.

Розглянемо правило обчислення рангу матриці - метод облямівних мінорів, заснований на даній теоремі.

При обчисленні рангу матриці слід переходити від мінорів менших порядків до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено мінор r-го порядку, відмінний від нуля, то потрібно обчислити лише мінори (r+1)-го порядку, що облямовують мінор. Якщо вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r. Цей метод застосовується і в тому випадку, якщо ми не тільки обчислюємо ранг матриці, а й визначаємо, які стовпці (рядки) складають базовий мінор матриці.

приклад. Обчислити методом мінорів, що облямовують, ранг матриці.

.

Рішення. Мінор другого порядку, що стоїть у лівому верхньому кутку матриці А, відрізняється від нуля:

.

Однак усі мінори третього порядку, що його облямовують, дорівнюють нулю:

;	;
;	;
;	.

Отже, ранг матриці А дорівнює двом: .

Перший і другий рядки, перший і другий стовпці в даній матриці є базисними. Інші рядки та стовпці є їх лінійними комбінаціями. Насправді, для рядків справедливі такі рівності:

На закінчення відзначимо справедливість таких властивостей:

1) ранг добутку матриць не більший за ранг кожного з співмножників;

2) ранг добутку довільної матриці А справа або зліва на невироджену квадратну матрицю Q дорівнює рангу матриці А.

Багаточленні матриці

Визначення. Багаточленною матрицею або -матрицею називається прямокутна матриця, елементи якої є багаточленами від одного змінного з числовими коефіцієнтами.

Над -матрицями можна здійснювати елементарні перетворення. До них відносяться:

Перестановка двох рядків (стовпців);

Розмноження рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

Додаток до одного рядка (стовпця) іншого рядка (стовпця), помноженого на будь-який багаточлен.

Дві -матриці і однакових розмірів називаються еквівалентними: якщо від матриці до можна перейти за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень.

приклад. Довести еквівалентність матриць

,

.

1. Поміняємо місцями в матриці перший та другий стовпці:

.

2. З другого рядка віднімемо перший, помножений на ():

.

3. Помножимо другий рядок на (–1) і зауважимо, що

.

4. Віднімемо з другого стовпця перший, помножений на , отримаємо

.

Безліч всіх -матриць даних розмірів розбивається на класи, що не перетинаються, еквівалентних матриць. Матриці, еквівалентні між собою, утворюють один клас, не еквівалентні – інший.

Кожен клас еквівалентних матриць характеризується канонічною, або нормальною, -матрицею даних розмірів.

Визначення. Канонічною, або нормальною, -матрицею розмірів називається -матриця, у якої на головній діагоналі стоять багаточлени , де р - менше чисел m і n ( ), причому не рівні нулю багаточлени мають старші коефіцієнти, рівні 1, і кожен наступний багаточлен ділитися на попередній. Усі елементи поза головною діагоналі дорівнюють 0.

З визначення слід, що й серед многочленів є багаточлени нульової ступеня, всі вони на початку головної діагоналі. Якщо є нулі, то вони стоять наприкінці головної діагоналі.

Матриця попереднього прикладу є канонічною. Матриця

також канонічна.

Кожен клас -матриць містить єдину канонічну -матрицю, тобто. кожна -матриця еквівалентна єдиній канонічній матриці, яка називається канонічною формою або нормальною формою цієї матриці.

Багаточлени, що стоять на головній діагоналі канонічної форми даної матриці, називаються інваріантними множниками даної матриці.

Один з методів обчислення інваріантних множників полягає у приведенні даної матриці до канонічної форми.

Так, для матриці попереднього прикладу інваріантними множниками є

, , , .

Зі сказаного випливає, що наявність однієї і тієї ж сукупності інваріантних множників є необхідною і достатньою умовою еквівалентності -матриць.

Приведення-матриць до канонічного виду зводиться до визначення інваріантних множників

, ; ,

де r – ранг-матриці; - найбільший загальний дільник мінорів k-го порядку, взятий зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1.

приклад. Нехай дана -матриця

.

Рішення. Зрозуміло, максимальний спільний дільник першого ладу , тобто. .

Визначимо мінори другого порядку:

,

і т.д.

Вже цих даних достатньо у тому, щоб зробити висновок: , отже, .

Визначаємо

,

Отже, .

Таким чином, канонічною формою даної матриці є наступна -матриця:

.

Матричним багаточленом називається вираз виду

де – змінне; - Квадратні матриці порядку n з числовими елементами.

Якщо , то S називають ступенем матричного багаточлена, n – порядком матричного багаточлена.

Будь-яку квадратичну -матрицю можна як матричного многочлена. Справедливо, зрозуміло, і зворотне твердження, тобто. будь-який матричний багаточлен можна подати у вигляді деякої квадратної -матриці.

Справедливість даних тверджень з усією очевидністю випливає із властивостей операцій над матрицями. Зупинимося на таких прикладах:

приклад. Уявити багаточленну матрицю

у вигляді матричного багаточлена можна так

.

приклад. Матричний багаточлен

можна подати у вигляді наступної багаточленної матриці (-матриці)

.

Ця взаємозамінність матричних багаточленів та багаточленних матриць відіграє істотну роль у математичному апараті методів факторного та компонентного аналізу.

Матричні багаточлени однакового порядку можна складати, віднімати та множити аналогічно звичайним многочленам з числовими коефіцієнтами. Слід, проте, пам'ятати, що множення матричних багаточленів, взагалі, не комутативно, т.к. не комутативно множення матриць.

Два матричних многочлена називаються рівними, якщо рівні їх коефіцієнти, тобто. відповідні матриці при однакових ступенях змінного.

Сумою (різницею) двох матричних багаточленів і називається такий матричний багаточлен, у якого коефіцієнт при кожному ступені змінного дорівнює сумі (різниці) коефіцієнтів при тій же мірі в багаточленах і .

Щоб помножити матричний багаточлен на матричний багаточлен потрібно кожного члена матричного багаточлена помножити на кожен член матричного багаточлена, скласти отримані твори і навести подібні члени.

Ступінь матричного багаточлена – твори менше або дорівнює сумі ступенів співмножників.

Операції над матричними багаточленами можна здійснювати за допомогою операцій над відповідними матрицями.

Щоб скласти (відняти) матричні багаточлени, достатньо скласти (відняти) відповідні -матриці. Те саме стосується множення. -матриця добутку матричних багаточленів дорівнює добутку -матриць співмножників.

З іншого боку і можна записати у вигляді

де 0 – невироджена матриця.

При розподілі на існує однозначно певне праве приватне та правий залишок

де ступінь R 1 менший за ступінь , або (розподіл без залишку), а також ліве приватне і лівий залишок тоді і тільки тоді, коли, де порядку

Розглянемо довільну, необов'язково квадратну, матрицю розміру mxn.

Ранг матриці.

Поняття рангу матриці пов'язане з поняттям лінійної залежності (незалежності) рядків (стовпців) матриці. Розглянемо це поняття для рядків. Для стовпців – аналогічно.

Позначимо стоки матриці А:

е 1 = (а 11, а 12, ..., а 1n); е 2 =(а 21 ,а 22 ,…,а 2n);…, е m =(а m1 ,а m2 ,…,а mn)

e k =e s якщо a kj =a sj , j=1,2,…,n

Арифметичні операції над рядками матриці (додавання, множення на число) вводяться як операції, що проводяться поелементно: k = (k k1 , k2 , ..., k k);

e k +е s = [(k1 + a s1), (a k2 + a s2), ..., (а kn + a sn)].

Рядок е називається лінійною комбінацієюрядків е 1 , е 2 ,...,е k , якщо вона дорівнює сумі творів цих рядків на довільні дійсні числа:

е=λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ k е k

Рядки е 1 , е 2 ,…,е m називаються лінійно залежними, якщо існують дійсні числа λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , не всі рівні нулю, що лінійна комбінація цих рядків дорівнює нульовому рядку: λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ m е m = 0 де 0 =(0,0,…,0) (1)

Якщо лінійна комбінація дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли всі коефіцієнти λ i дорівнюють нулю (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), то рядки е 1 , е 2 ,…,е m називаються лінійно незалежними.

Теорема 1. Для того, щоб рядки е 1 ,е 2 ,...,е m були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб один із цих рядків була лінійною комбінацією інших рядків.

Доведення. Необхідність. Нехай рядки е 1, е 2, ..., е m лінійно залежні. Нехай, для визначеності у (1) λ m ≠0, тоді

Т.о. Рядок е m є лінійною комбінацією інших рядків. Ч.т.д.

Достатність. Нехай один із рядків, наприклад е m , є лінійною комбінацією інших рядків. Тоді знайдуться такі числа, що виконується рівність , яку можна переписати у вигляді ,

де хоча б 1 з коефіцієнтів, (-1), не дорівнює нулю. Тобто. рядки лінійно залежні. Ч.т.д.

Визначення. Мінором k-го порядкуматриці розміру mxn називається визначник k-го порядку з елементами, що лежать на перетині будь-яких k рядків і будь-яких k стовпців матриці А. (k≤min(m,n)). .

приклад., Мінори 1-го порядку: =, =;

мінори 2-го порядку: , 3-го порядку

У матриці 3-го порядку 9 мінорів 1-го порядку, 9 мінорів 2-го порядку та 1 мінор 3-го порядку (визначник цієї матриці).

Визначення. Рангом матриці Аназивається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. Позначення – rg A або r(A).

Властивості рангу матриці.

1) ранг матриці A nxm вбирається у меншого її розмірів, тобто.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 коли всі елементи матриці дорівнюють 0, тобто. А = 0.

3) Для квадратної матриці А n –го порядку r(A)=n коли А невироджена.

(Ранг діагональної матриці дорівнює кількості її ненульових діагональних елементів).

4) Якщо ранг матриці дорівнює r, то матриця має хоча б один мінор порядку r, що не дорівнює нулю, а всі мінори великих порядків дорівнюють нулю.

Для рангів матриці справедливі такі співвідношення:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(ATA)=r(A);

5) r(AB)=r(A), якщо - квадратна невироджена матриця.

6) r(AB) r(A)+r(B)-n, де n-число стовпців матриці А або рядків матриці В.

Визначення.Ненульовий мінор порядку r(A) називається базисним мінором. (У матриці А може бути кілька базисних мінорів). Рядки та стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються відповідно базисними рядкамиі базисними стовпцями.

Теорема 2 (про базисний мінор).Базисні рядки (стовпці) лінійно незалежні. Будь-який рядок (будь-який стовпець) матриця А є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців).

Доведення. (Для рядків). Якби базисні рядки були лінійно залежні, то за теоремою (1) один із цих рядків був би лінійною комбінацією інших базисних рядків, тоді, не змінюючи величини базисного мінору, можна відняти з цього рядка вказану лінійну комбінацію та отримати нульовий рядок, а це суперечить тому, що базовий мінор відмінний від нуля. Т.о. базисні рядки лінійно незалежні.

Доведемо, що будь-який рядок матриці є лінійною комбінацією базисних рядків. Т.к. при довільних змінах рядків (стовпців) визначник зберігає властивість рівності нулю, то, не обмежуючи спільності, вважатимуться, що базисний мінор перебуває у верхньому лівому куті матриці

А =,тобто. розташований на перших r рядках та перших r стовпцях. Нехай 1£j£n, 1£i£m. Покажемо, що визначник (r+1)-го порядку

Якщо j£r чи i£r, цей визначник дорівнює нулю, т.к. у нього буде два однакові стовпці або два однакові рядки.

Якщо ж j>r і i>r, цей визначник є мінором (r+1)-го порядку матриці А. Т.к. ранг матриці дорівнює r, отже будь-який мінор більшого порядку дорівнює 0.

Розкладаючи його за елементами останнього (доданого) стовпця, отримуємо

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, де останнє додаток алгебри A ij збігається з базисним мінором М r і тому A ij = М r ≠0.

Розділивши останню рівність на A ij , можемо виразити елемент a ij як лінійну комбінацію: , де .

Зафіксуємо значення i (i>r) і отримуємо, що для будь-якого j (j=1,2,…,n) елементи i-го рядка e i лінійно виражаються через елементи рядків е 1 , е 2 , …, е r , т. е. i-й рядок є лінійною комбінацією базисних рядків: . Ч.т.д.

Теорема 3. (Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника).Для того, щоб визначник n-го порядку D дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Доказ (с.40). Необхідність. Якщо визначник n-го порядку D дорівнює нулю, базисний мінор його матриці має порядок r

Т.ч., один рядок є лінійною комбінацією інших. Тоді за теоремою 1 рядки визначника лінійно залежні.

Достатність. Якщо рядки D лінійно залежні, то за теоремою 1 один рядок А i є лінійною комбінацією інших рядків. Віднімаючи з рядка А i зазначену лінійну комбінацію, не змінивши величини D, отримаємо нульовий рядок. Отже, за властивостями визначників D=0. ч.т.д.

Теорема 4.При елементарних перетвореннях ранг матриці змінюється.

Доведення. Як було показано під час розгляду властивостей визначників, при перетвореннях квадратних матриць їх визначники або змінюються, або множаться на ненульове число, або змінюють знак. У цьому найвищий порядок відмінних від нуля мінорів вихідної матриці зберігається, тобто. ранг матриці не змінюється. Ч.т.д.

Якщо r(A)=r(B), то і В – еквівалентні: А~В.

Теорема 5.За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до ступінчастого вигляду.Матриця називається ступінчастою, якщо вона має вигляд:

А=, де a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Умови r≤k можна досягти транспонуванням.

Теорема 6.Ранг ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків .

Тобто. Ранг ступінчастої матриці дорівнює r, т.к. є відмінний від нуля мінор порядку r:

Поняття рангу матриці тісно пов'язане з поняттям лінійної залежності (незалежності) її рядків чи стовпців. Надалі викладатимемо матеріал для рядків, для стовпців виклад аналогічний.

У матриці Aпозначимо її рядки наступним чином:

, , …. ,

Два рядки матриці називаються рівнимиякщо рівні їхні відповідні елементи: , якщо , .

Арифметичні операції над рядками матриці (множення рядка на число, додавання рядків) вводяться як операції, що проводяться поелементно:

Рядок еназивається лінійною комбінацією рядків..., матриці, якщо вона дорівнює сумі творів цих рядків на довільні дійсні числа:

Рядки матриці називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовому рядку:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Теорема 3.3Рядки матриці лінійно залежні, якщо хоча б один рядок матриці є лінійною комбінацією інших.

□ Дійсно, нехай для визначеності у формулі (3.3) тоді

Таким чином, рядок є лінійним комбінатом інших рядків. ■

Якщо лінійна комбінація рядків (3.3) дорівнює нулю і тоді, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то рядки називаються лінійно незалежними.

Теорема 3.4.(про ранг матриці) Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які лінійно виражаються всі інші її рядки (стовпці).

□ Нехай матриця Aрозміру m n має ранг r(r min). Це означає, що існує відмінний від нуля мінор r-го порядку. Будь-який ненульовий мінор r-го порядку називатимемо базисним мінором.

Нехай для визначеності базовий мінор є провідний чи кутовий мінор. Тоді рядки матриці лінійно незалежні. Припустимо неприємне, тобто одна з цих рядків, наприклад, є лінійною комбінацією інших. Віднімемо з елементів r- ой рядки елементи 1-го рядка, помножені на , потім елементи 2-го рядка, помножені на , … та елементи ( r - 1) - ой рядки, помножені на . На підставі властивості 8 при таких перетвореннях матриці її визначник D не зміниться, але оскільки r- я рядок тепер складатиметься з одних нулів, то D = 0 - протиріччя. Отже, наше припущення, що рядки матриці лінійно залежні, невірно.

Рядки назвемо базисними. Покажемо, будь-які (r+1) рядків матриці лінійно залежні, тобто. будь-який рядок виражається через базисні.

Розглянемо мінор (r +1) - го порядку, який виходить при доповненні мінора елементами ще одного рядка. iта стовпця j. Цей мінор дорівнює нулю, оскільки ранг матриці дорівнює rТому будь-який мінор вищого порядку дорівнює нулю.

Розкладаючи його за елементами останнього (доданого) стовпця, отримуємо

Де модуль останнього доповнення алгебри збігається з базисним мінором Dі тому від нуля, тобто. 0.

Матриця- Прямокутна таблиця довільних чисел, розташованих в певному порядку, розміром m * n (рядок на стовпці). Елементи матриці позначаються де i – номер рядка, аj – номер стовпця.

Додавання (віднімання)матриць визначено лише для однорозмірних матриць. Сума (різниця) матриць – матриця, елементи якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

Множення (розподіл)на число– множення (розподіл) кожного елемента матриці цього числа.

Множення матриць визначено тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другого.

Розмноження матриць- матриця, елементи яких задаються формулами:

Транспонування матриці- Така матриця B, рядки (стовпці) якої є стовпцями (рядками) у вихідній матриці A. Позначається

зворотна матриця

Матричні рівняння– рівняння виду A * X = B є добуток матриць, відповіддю на дане рівняння є матриця X, яка знаходиться за допомогою правил:

1. Лінійна залежність та незалежність стовпців (рядків) матриці. Критерій лінійної залежності, достатні умови лінійної залежності стовпців (рядків) матриці.

Система рядків (стовпців) називається лінійно незалежною, Якщо лінійна комбінація тривіальна (рівність виконується тільки при a1 ... n = 0), де A1 ... n - стовпці (рядки), а a1 ... n - коефіцієнти розкладання.

Критерій: для того, щоб система векторів була лінійно зависма, необхідно і достатньо, щоб хоча б один із векторів системи лінійно виражався через інші вектори системи.

Достатня умова:

1. Визначники матриці та їх властивості

Визначник матриці (детермінанту)- Таке число, яке для квадратної матриці A може бути обчислено за елементами матриці за формулою:

де - додатковий мінор елемента

Властивості:

1. Зворотній матриці, алгоритм обчислення зворотної матриці.

зворотна матриця- Така квадратна матриця X, яка разом з квадратною матрицею A того ж порядку, задовольняє умові:, де E - одинична матриця, того ж порядку що і. Будь-яка квадратна матриця з визначником, не рівним нулю, має 1 зворотну матрицю. Знаходиться за допомогою методу елементарних перетворень та за допомогою формули:

Концепція рангу матриці. Теорема про базисний мінор. Критерій рівності нулю визначника матриці. Елементарні перетворення матриць. Обчислення рангу шляхом елементарних перетворень. Обчислення зворотної матриці шляхом елементарних перетворень.

Ранг матриці –порядок базисного мінору (rg A)

Базовий мінор -мінор порядку r не дорівнює нулю, такий що всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю або не існують.

Теорема про базисний мінор -У довільній матриці А кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базисний мінор.

Доведення:Нехай у матриці Aрозмірів m*n базисний мінор розташований у перших r рядках і перших r стовпцях. Розглянемо визначник, отриманий приписуванням до базисного мінору матриці А відповідних елементів s-го рядка і k-го стовпця.

Зазначимо, що з будь-яких і цей визначник дорівнює нулю. Якщо, то визначник D містить два однакових рядки або два однакових стовпця. Якщо ж, то визначник D дорівнює нулю, так як є мінором (r+λ)-ro порядку. Розкладаючи визначник по останньому рядку, отримуємо: де- алгебраїчні доповнення елементів останнього рядка. Зауважимо, що, оскільки це базовий мінор. Тому де Записуючи останню рівність для, отримуємо , тобто. k-й стовпець (за будь-якого) є лінійна комбінація стовпців базисного мінору, що й потрібно довести.

Критерій detA=0- Визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки лінійно залежні.

Елементарні перетворення:

1) множення рядка на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів одного рядка елементів іншого рядка;

3) перестановка рядків;

4) викреслення одного з однакових рядків (стовпців);

5) транспонування;

Обчислення рангу -З теореми про базисному мінорі випливає, що ранг матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців у матриці), отже завдання елементарних перетворень знайти всі лінійно незалежні рядки (стовпці).

Обчислення зворотної матриці- Перетворення можуть бути реалізовані множенням на матрицю A деякої матриці T, яка є твіром відповідних елементарних матриць: TA = E.

Це рівняння означає, що матриця перетворення T є зворотною матрицею для матриці . Тоді, отже,