Якщо Ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду, а якщо хочете навчитися вирішувати задачі, то вирішуйте їх.»
Д. Пойа (1887-1985 р.)

(Математик. Зробив великий внесок у популяризацію математики. Написав кілька книг про те, як вирішують завдання і як треба вчити вирішувати завдання.)

Розглянемо матрицю

Виділимо в ній k-рядокі k-стовпчиків (k≤(min(m,n))). З елементів, що стоять на перетині виділених рядків та стовпців, складемо визначник k-гопорядку. Усі такі визначники називаються мінорами цієї матриці.

Розглянемо всілякі мінори матриці А, відмінні від нуля.

Рангом матриці Аназивається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці приймають рівним нулю.

Мінор, порядок якого визначає ранг матриці, називається базисним.

У матриці може бути кілька базисних мінорів.

Ранг матриці Апозначається r(A). Якщо r(A)=r(B), то матриці Аі Уназиваються еквівалентними. Пишуть A̴~В.

Властивості рангу матриці:

1. При транспонуванні матриці її ранг не змінюється.
2. Якщо викреслити з матриці нульовий рядок (стовпець), то ранг матриці не зміниться.
3. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

Під елементарними перетвореннями розуміють:

• Перестановка рядків матриці;
• Розмноження будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;
• Додавання до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка, помноженого на довільне число.

При обчисленні рангу матриці можуть бути використані елементарні перетворення, метод приведення матриці до ступінчастого вигляду, метод облямівних мінорів.

Метод приведення матриці до ступінчастоговиду у тому, що з допомогою елементарних перетворень дана матриця наводиться до ступінчастої.

Матриця називається ступінчастою , якщо в кожному її рядку перший ненульовий елемент стоїть правіше, ніж у попередньому (тобто виходять сходинки, висота кожної сходинки повинна дорівнювати одиниці).

Приклади ступінчастих матриць:

Приклади не ступінчастих матриць:

ПРИКЛАД: Знайти ранг матриці:

РІШЕННЯ:

Наведемо цю матрицю до ступінчастої за допомогою елементарних перетворень.

1. Поміняємо місцями перший і третій рядки.

2. Отримаємо у першому стовпці нулі під одиницею.

Додавши до другого рядка перший, помножений на (-3), до третього – перший, помножений на (-5), до четвертого – перший, помножений на (-3), отримаємо

Для того щоб було зрозуміліше, де ще потрібно отримати нулі, намалюємо сходи в матриці. (Матриця буде ступінчастою, якщо скрізь під сходами будуть нулі)

3. Додавши до третього рядка другий, помножений на (-1), до четвертого – другий, помножений на (-1), отримаємо нулі під сходами у другому стовпці.

Якщо намалювати знову сходинки, побачимо, що матриця ступінчаста.

Її ранг дорівнює r=3(кількість рядків ступінчастої матриці, у кожній з яких хоча б один елемент відмінний від нуля). Отже, ранг даної матриці r=3.

Рішення можна записати так:

(римськими цифрами позначені номери рядків)

Відповідь: r=3.

Мінор порядку k+1, що містить мінор порядку kназивається облямовує мінор.

Метод облямівних мінорівзаснований на тому, що ранг даної матриці дорівнює порядку такого мінору цієї матриці, який відмінний від нуля, а всі мінори, що облямовують його, рівні нулю.

Нехай задана деяка матриця:

.

Виділимо у цій матриці довільних рядків та довільних стовпців
. Тоді визначник -го порядку, складений з елементів матриці
, розташованих на перетині виділених рядків та стовпців, називається мінором -го порядку матриці
.

Визначення 1.13.Рангом матриці
називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Для обчислення рангу матриці слід розглядати всі її мінори найменшого порядку і, якщо хоч один із них відмінний від нуля, переходити до розгляду мінорів старшого порядку. Такий підхід до визначення рангу матриці називається методом облямівки (або методом облямівних мінорів).

Завдання 1.4.Методом обрамляють мінорів визначити ранг матриці
.

.

Розглянемо оздоблення першого порядку, наприклад,
. Потім перейдемо до розгляду деякого облямування другого порядку.

Наприклад,
.

Нарешті, проаналізуємо оздоблення третього порядку.

.

Таким чином, найвищий порядок мінору, відмінного від нуля, дорівнює 2, отже,
.

При розв'язанні задачі 1.4 можна помітити, що ряд мінерів другого порядку, що облямовують, відмінні від нуля. У цьому має місце таке поняття.

Визначення 1.14.Базовим мінором матриці називається всякий, відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.2.(Теорема про базисний мінор). Базові рядки (базисні стовпці) лінійно незалежні.

Зауважимо, що рядки (стовпці) матриці лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоча б одну з них можна представити як лінійну комбінацію інших.

Теорема 1.3.Число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців матриці і дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.4.(Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника). Для того, щоб визначник -го порядку дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Обчислення рангу матриці, що ґрунтується на використанні його визначення, є надто громіздкою операцією. Особливо це суттєвим для матриць високих порядків. У зв'язку з цим на практиці ранг матриці обчислюють на підставі застосування теорем 10.2 - 10.4, а також використання понять еквівалентності матриць та елементарних перетворень.

Визначення 1.15.Дві матриці
і називаються еквівалентними, якщо їх ранги рівні, тобто.
.

Якщо матриці
і еквівалентні, то відзначають
 .

Теорема 1.5.Ранг матриці змінюється від елементарних перетворень.

Будемо називати елементарними перетвореннями матриці
будь-які з наступних дій над матрицею:

Заміну рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками;

Перестановка рядків матриці;

Викреслювання рядка, всі елементи якого дорівнюють нулю;

Розмноження будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;

Додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка помножених на те саме число
.

Наслідок теореми 1.5.Якщо матриця
отримана з матриці за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то матриці
і еквівалентні.

При обчисленні рангу матриці її слід навести за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень до трапецієподібної форми.

Визначення 1.16.Трапецієподібною будемо називати таку форму представлення матриці, коли в мінному обрамленні найбільшого порядку відмінного від нуля всі елементи, що стоять нижче діагональних, звертаються в нуль. Наприклад:

.

Тут
, елементи матриці
звертаються у нуль. Тоді форма представлення такої матриці буде трапецієподібною.

Як правило, матриці до трапецієподібної форми наводять за допомогою алгоритму Гаусса. Ідея алгоритму Гауса полягає в тому, що, помножуючи елементи першого рядка матриці на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи першого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Потім, помножуючи елементи другого стовпця на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи другого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Далі надходять аналогічно.

Завдання 1.5.Визначити ранг матриці шляхом зведення її до трапецієподібної форми.

.

Для зручності застосування алгоритму Гауса можна поміняти місцями перший і третій рядки.








.

Очевидно, що тут
. Однак, для приведення результату до більш витонченого вигляду можна продовжити перетворення над стовпцями.










.

Число r називається рангом матриці A якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку (r+1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше ранг матриці – це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, rA або r.
З визначення випливає, що r – ціле додатне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається у форматі Word та Excel. див. приклад рішення.

Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі.

Виберіть розмірність матриці 3 4 5 6 7 x 3 4 5 6 7

Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки та стовпці його складові – базисними рядками та стовпцями.
Згідно з цим визначенням, матриця A може мати кілька базисних мінорів.

Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).

приклад 1 . Дано дві матриці , та їхні мінори , . Який з них можна прийняти як базисний?
Рішення. Мінор M 1 =0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 =-9≠0 і має порядок 2, отже його можна прийняти як базисні матриці A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2 . Оскільки detB=0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), rangB=2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, тому що detA=-27≠0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A . Зазначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, що дорівнює визначнику матриці A .

Теорема (про базисний мінор). Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.

1. Будь-які (r+1) стовпців (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
2. Якщо ранг матриці менший за кількість її рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числу її рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
3. Визначник матриці A дорівнює нулю і тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
4. Якщо до рядка (стовпця) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножений на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
5. Якщо в матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
6. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
7. Максимальна кількість лінійно незалежних рядків збігається з максимальним числом лінійно незалежних стовпців.

Приклад 2 . Знайти ранг матриці .
Рішення. Виходячи з визначення рангу матриці, шукатимемо мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до більш простого вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другого, потім її помножимо на (-1) і додамо до третього.

Визначення. Рангом матриціназивається максимальна кількість лінійно незалежних рядків, що розглядаються як вектори.

Теорема 1 про ранг матриці. Рангом матриціназивається максимальний порядок відмінного від нуля мінора матриці.

Поняття мінору ми вже розбирали на уроці за визначниками, а зараз узагальнимо його. Візьмемо в матриці скільки рядків і скільки стовпців, причому це "скільки-то" має бути менше числа рядків і стовпців матриці, а для рядків і стовпців це "скільки-то" має бути одним і тим же числом. Тоді на перетині скільки рядків і скільки стовпців виявиться матриця меншого порядку, ніж наша вихідна матриця. Визначник це матриці і буде мінором k-го порядку, якщо згадане "скількись" (кількість рядків і стовпців) позначимо через k.

Визначення.Мінор ( r+1)-го порядку, всередині якого лежить обраний мінор r-го порядку, називається називається облямовуючим для даного мінору.

Найчастіше використовуються два способи відшукання рангу матриці. Це спосіб облямівних міноріві спосіб елементарних перетворень(методом Гауса).

При способі обрамляють мінорів використовується наступна теорема.

Теорема 2 про ранг матриці.Якщо з елементів матриці можна скласти мінор r-го порядку, не рівний нулю, то ранг матриці дорівнює r.

При способі елементарних перетворень використовується така властивість:

Якщо шляхом елементарних перетворень отримано трапецієподібну матрицю, еквівалентну вихідній, то рангом цієї матриціє число рядків у ній крім рядків, що повністю складаються з нулів.

Знаходження рангу матриці способом обрамляють мінорів

Облямовуючим мінором називається мінор більшого порядку по відношенню до даного, якщо цей мінорм більшого порядку містить у собі мінор.

Наприклад, дана матриця

Візьмемо мінор

оточуючими будуть такі мінори:

Алгоритм знаходження рангу матрицінаступний.

1. Знаходимо не рівні нулю мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме одиниці ( r =1 ).

2. Якщо існує хоча б один мінор другого порядку, не рівний нулю, то складаємо мінори третього порядку. Якщо всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом ( r =2 ).

3. Якщо хоча б один з мінерів третього порядку, що облямовують, не дорівнює нулю, то складаємо обрамляючі його мінори. Якщо всі обрамляють мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює трьом ( r =2 ).

4. Продовжуємо так, поки дозволяє розмір матриці.

приклад 1.Знайти ранг матриці

.

Рішення. Мінор другого порядку .

Обрамляємо його. Обрамляють мінорів буде чотири:

,

,

Таким чином, усі обрамляючі мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг даної матриці дорівнює двом ( r =2 ).

приклад 2.Знайти ранг матриці

Рішення. Ранг даної матриці дорівнює 1, так як всі мінори другого порядку цієї матриці дорівнюють нулю (у цьому, як і у випадках обрамляють мінорів у двох наступних прикладах, дорогим студентам пропонується переконатися самостійно, можливо, використовуючи правила обчислення визначників), а серед мінорів першого порядку тобто серед елементів матриці, є не рівні нулю.

приклад 3.Знайти ранг матриці

Рішення. Мінор другого порядку цієї матриці у всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю. Отже, ранг цієї матриці дорівнює двом.

приклад 4.Знайти ранг матриці

Рішення. Ранг цієї матриці дорівнює 3, так як єдиний мінор третього порядку цієї матриці дорівнює 3.

Знаходження рангу матриці способом елементарних перетворень (методом Гауса)

Вже на прикладі 1 видно, що завдання визначення рангу матриці способом обрамляють мінорів вимагає обчислення великої кількості визначників. Існує, однак, спосіб, що дозволяє звести обсяг обчислень до мінімуму. Цей спосіб заснований на використанні елементарних перетворень матриць і називається також методом Гаусса.

Під елементарними перетвореннями матриці розуміються такі операції:

1) множення будь-якого рядка або якогось стовпця матриці на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів будь-якого рядка або будь-якого стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, помножених на те саме число;

3) зміна місцями двох рядків чи стовпців матриці;

4) видалення "нульових" рядків, тобто таких, всі елементи яких дорівнюють нулю;

5) видалення всіх пропорційних рядків, крім одного.

Теорема.При елементарному перетворенні ранг матриці не змінюється. Іншими словами, якщо ми є елементарними перетвореннями від матриці Aперейшли до матриці B, то.

Нехай A - матриця розмірів m\times n, а k - натуральне число, що не перевищує m і n: k\leqslant\min\(m;n\). Мінором k-го порядкуматриці A називається визначник матриці k-го порядку, утвореної елементами, що стоять на перетині довільно вибраних k рядків і k стовпців матриці A . Позначаючи мінори, номери вибраних рядків будемо вказувати верхніми індексами, а вибраних стовпців - нижніми, розташовуючи їх за зростанням.

Приклад 3.4.Записати мінори різних порядків матриці

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)!.

Рішення.Матриця A має розміри 3\times4. Вона має: 12 мінорів 1-го порядку, наприклад, мінор M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 мінорів 2-го порядку, наприклад, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 мінори 3-го порядку, наприклад,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

У матриці A розмірів m\times n мінор r-го порядку називається базиснимякщо він відмінний від нуля, а всі мінори (r+1)-ro порядку дорівнюють нулю або їх взагалі не існує.

Рангом матриціназивається порядок базисного мінору. У нульовій матриці базового мінору немає. Тому ранг нульової матриці, за визначенням вважають рівним нулю. Ранг матриці A позначається \operatorname(rg)A.

Приклад 3.5.Знайти всі базисні мінори та ранг матриці

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\0&2&2&3\0&0&0&0\end(pmatrix)!.

Рішення.Всі мінори третього порядку даної матриці дорівнюють нулю, так як у цих визначників третій рядок нульовий. Тому базисним може бути лише мінор другого порядку, розташований у перших двох рядках матриці. Перебираючи 6 можливих мінорів, відбираємо відмінні від нуля

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Кожен із цих п'яти мінорів є базисним. Отже, ранг матриці дорівнює 2.

Зауваження 3.2

1. Якщо в матриці всі мінори k-го порядку дорівнюють нулю, то дорівнюють нулю і мінори більш високого порядку. Справді, розкладаючи мінор (k+1)-ro порядку за будь-яким рядком, отримуємо суму творів елементів цього рядка на мінори k-го порядку, а вони дорівнюють нулю.

2. Ранг матриці дорівнює найбільшому порядку відмінного від нуля мінора цієї матриці.

3. Якщо квадратна матриця невироджена, її ранг дорівнює її порядку. Якщо квадратна матриця вироджена, її ранг менше її порядку.

4. Для рангу застосовуються також позначення \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Ранг блокової матрицівизначається як ранг звичайної (числової) матриці, тобто. не зважаючи на її блокову структуру. При цьому ранг блокової матриці не менший за ранги її блоків: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Aі \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Bоскільки всі мінори матриці A (або B ) є також мінорами блокової матриці (A\mid B) .

Теореми про базисний мінор і ранг матриці

Розглянемо основні теореми, що виражають властивості лінійної залежності та лінійної незалежності стовпців (рядків) матриці.

Теорема 3.1 про базисний мінор.У довільній матриці A кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), у яких розташований базисний мінор.

Дійсно, без обмеження спільності припускаємо, що в матриці A розмірів m\times n базисний мінор розташований в перших рядках r і перших r стовпцях. Розглянемо визначник

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

який отриманий приписуванням до базисного мінору матриці A відповідних елементів s рядка і k-го стовпця. Зазначимо, що за будь-яких 1\leqslant s\leqslant mі цей визначник дорівнює нулю. Якщо s\leqslant r або k\leqslant r , то визначник D містить два однакові рядки або два однакові стовпці. Якщо ж s>r і k>r то визначник D дорівнює нулю, так як є мінором (r+l)-ro порядку. Розкладаючи визначник за останнім рядком, отримуємо

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

де D_(r+1\,j) - додатки алгебри елементів останнього рядка. Зауважимо, що D_(r+1\,r+1)\ne0 , оскільки це базисний мінор. Тому

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), де \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)), ~j=1,2,\ldots,r.

Записуючи останню рівність для s = 1,2, \ ldots, m, отримуємо

\begin(pmatrix)a_(1k)\\vdots\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\vdots\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

тобто. k-й стовпець (за будь-якого 1\leqslant k\leqslant n) є лінійна комбінація стовпців базисного мінору, що потрібно було довести.

Теорема про базисному мінору служить докази наступних важливих теорем.

Умова рівності нулю визначника

Теорема 3.2 (необхідна та достатня умова рівності нулю визначника).Для того щоб визначник дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб один з його стовпців (один з його рядків) був лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Насправді, необхідність випливає з теореми про базисний мінор. Якщо визначник квадратної матриці n-го порядку дорівнює нулю, її ранг менше n , тобто. хоча б один стовпець не входить до базисного мінору. Тоді цей обраний стовпець теоремі 3.1 є лінійною комбінацією стовпців, в яких розташований базисний мінор. Додаючи, за потреби, до цієї комбінації інші стовпці з нульовими коефіцієнтами, отримуємо, що обраний стовпець є лінійна комбінація інших стовпців матриці. Достатність випливає із властивостей визначника. Якщо, наприклад, останній стовпець A_n визначника \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)лінійно виражається через інші

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\dot A_(n-1),

то додаючи A_n стовпець A_1 , помножений на (-\lambda_1) , потім стовпець A_2 , помножений на (-\lambda_2) , і т.д. стовпець A_(n-1) , помножений на (-\lambda_(n-1)) , отримаємо визначник \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)з нульовим стовпцем, що дорівнює нулю (властивість 2 визначника).

Інваріантність рангу матриці при елементарних перетвореннях

Теорема 3.3 (про інваріантність рангу при елементарних перетвореннях). При елементарних перетвореннях стовпців (рядків) матриці її ранг не змінюється.

Справді, нехай. Припустимо, що в результаті одного елементарного перетворення стовпців матриці A отримали матрицю A". Якщо було виконано перетворення I типу (перестановка двох стовпців), то будь-який мінор (r+l)-ro порядку матриці A" або дорівнює відповідному мінору (r+l )-ro порядку матриці A або відрізняється від нього знаком (властивість 3 визначника). Якщо було виконано перетворення II типу (множення стовпця на число \lambda\ne0), то будь-який мінор (г+l)-ro порядку матриці A" або дорівнює відповідному мінору (r+l)-ro порядку матриці A, або відрізняється від нього множником \lambda\ne0 (властивість 6 визначника) Якщо було виконано перетворення III типу (додаток до одного стовпця іншого стовпця, помноженого на число \Lambda ), то будь-який мінор (г+1)-го порядку матриці A" або дорівнює відповідному мінору (г+1) -го порядку матриці A (властивість 9 визначника), або дорівнює сумі двох мінорів (r+l)-ro порядку матриці A (властивість 8 визначника). Тому при елементарному перетворенні будь-якого типу всі мінори (r+l)-ro порядку матриці A" дорівнюють нулю, тому що дорівнюють нулю всі мінори (г+l)-ro порядку матриці A. Таким чином, доведено, що при елементарних перетвореннях стовпців ранг матриці не може збільшитися, оскільки перетворення, обернені до елементарних, є елементарними, то ранг матриці при елементарних перетвореннях стовпців не може і зменшитися, тобто не змінюється.

Наслідок 1. Якщо один рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією інших її рядків (стовпців), то цей рядок (стовпець) можна викреслити з матриці, не змінивши при цьому її рангу.

Справді, такий рядок за допомогою елементарних перетворень можна зробити нульовим, а нульовий рядок не може входити в базовий мінор.

Наслідок 2. Якщо матриця наведена до найпростішого виду (1.7), то

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Дійсно, матриця найпростішого виду (1.7) має базовий мінор r-го порядку.

Наслідок 3. Будь-яка невироджена квадратна матриця є елементарною, тобто будь-яка невироджена квадратна матриця еквівалентна одиничної матриці того ж порядку.

Справді, якщо A – невироджена квадратна матриця n-го порядку, то \operatorname(rg)A=n(Див. п.З зауважень 3.2). Тому, наводячи елементарними перетвореннями матрицю A до найпростішого виду (1.7), отримаємо одиничну матрицю Lambda = E_n , так як \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(Див. слідство 2). Отже, матриця A еквівалентна поодинокі матриці E_n і може бути отримана з неї в результаті кінцевого числа елементарних перетворень. Це означає, що матриця елементарна.

Теорема 3.4 (про ранг матриці). Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків цієї матриці.

Справді, нехай \operatorname(rg)A=r. Тоді матриці A є r лінійно незалежних рядків. Це рядки, в яких розташований базовий мінор. Якби вони були лінійно залежні, то цей мінор дорівнював би нулю по теоремі 3.2, а ранг матриці A не дорівнював би r . Покажемо, що r - максимальне число лінійно незалежних рядків, тобто. будь-які p рядків лінійно залежні при p>r. Справді, утворюємо з цих рядків матрицю B . Оскільки матриця B - це частина матриці A, то \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Значить, хоча б один рядок матриці B не входить у базовий мінор цієї матриці. Тоді за теоремою про базисному мінорі вона дорівнює лінійній комбінації рядків, у яких розташований базисний мінор. Отже, рядки матриці B лінійно залежать. Таким чином, у матриці A не більше, ніж r лінійно незалежних рядків.

Наслідок 1. Максимальна кількість лінійно незалежних рядків у матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпців:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Це твердження випливає з теореми 3.4, якщо її застосувати до рядків транспонованої матриці та врахувати, що при транспонуванні мінори не змінюються (властивість 1 визначника).

Наслідок 2. При елементарних перетвореннях рядків матриці лінійна залежність (або лінійна незалежність) будь-якої системи шпальт цієї матриці зберігається.

Справді, виберемо будь-які k стовпців даної матриці A і складемо їх матрицю B . Нехай в результаті елементарних перетворень рядків матриці A була отримана матриця A", а в результаті тих же перетворень рядків матриці B була отримана матриця B". За теоремою 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Отже, якщо шпальти матриці B були лінійно незалежні, тобто. k = \ operatorname (rg) B(див. слідство 1), то і стовпці матриці B також лінійно незалежні, так як k=\operatorname(rg)B". Якщо стовпці матриці B були лінійно залежні (k>\operatorname(rg)B), то і стовпці матриці B" також лінійно залежні (k>\operatorname(rg)B"). Отже, для будь-яких шпальт матриці A лінійна залежність або лінійна незалежність зберігається при елементарних перетвореннях рядків.

Зауваження 3.3

1. З огляду на слідство 1 теореми 3.4 властивість стовпців, зазначене у слідстві 2, справедливо й у будь-який системи рядків матриці, якщо елементарні перетворення виконуються лише з її стовпцями.

2. Наслідок 3 теореми 3.3 можна уточнити так: Будь-яку невироджену квадратну матрицю, використовуючи елементарні перетворення лише її рядків (чи її стовпців), можна призвести до одиничної матриці тієї самої порядку.

Насправді, використовуючи лише елементарні перетворення рядків, будь-яку матрицю A можна призвести до спрощеного вигляду \ Lambda (рис. 1.5) (див. теорему 1.1). Оскільки матриця A невироджена (\det(A)\ne0) , її стовпці лінійно незалежні. Значить, стовпці матриці Lambda також лінійно незалежні (наслідок 2 теореми 3.4). Тому спрощений вигляд Lambda невиродженої матриці A збігається з її найпростішим виглядом (рис. 1.6) і являє собою одиничну матрицю Lambda = E (див. наслідок 3 теореми 3.3). Таким чином, перетворюючи лише рядки невиродженої матриці, її можна привести до одиничної. Аналогічні міркування справедливі й у елементарних перетворень стовпців невиродженої матриці.

Ранге твору та суми матриць

Теорема 3.5 (про ранг добутку матриць). Ранг твору матриць не перевищує рангу множників:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Справді, нехай матриці A та B мають розміри m\times p та p\times n . Припишемо до матриці A матрицю C=AB\colon\,(A\mid C). Зрозуміло, що \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)оскільки C - це частина матриці (A\mid C) (див. п.5 зауважень 3.2). Зауважимо, що кожен стовпець C_j згідно операції множення матриць є лінійною комбінацією стовпців A_1,A_2,\ldots,A_pматриці A=(A_1~cdots~A_p):

C_(j)=A_1cdot b_(1j)+A_2cdot b_(2j)+ldots+A_(p)cdot b_pj),quad j=1,2,ldots,n.

Такий стовпець можна викреслити з матриці (A\mid C), у своїй її ранг не зміниться (наслідок 1 теореми 3.3). Викреслюючи всі стовпці матриці C, отримуємо: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Звідси, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Аналогічно можна довести, що одночасно виконується умова \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)Bі зробити висновок про справедливість теореми.

Слідство. Якщо A невироджена квадратна матриця, то \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)Bі \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, тобто. ранг матриці не змінюється при множенні її зліва або праворуч на невироджену квадратну матрицю.

Теорема 3.6 про ранг суми матриць. Ранг суми матриць не перевищує суми рангів доданків:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Справді, складемо матрицю (A+B\mid A\mid B). Зауважимо, кожен стовпець матриці A+B є лінійна комбінація стовпців матриць A і B . Тому \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Враховуючи, що кількість лінійно незалежних стовпців у матриці (A\mid B) не перевищує \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(див. п.5 зауважень 3.2), отримуємо нерівність, що доводиться.