Медіанні фільтри досить часто застосовуються на практиці як засіб попередньої обробки цифрових даних. Специфічною особливістю та основною перевагою таких фільтрів є слабка реакція на відліки, що різко виділяються на тлі сусідніх, що дозволяє застосовувати медіанну фільтрацію для усунення аномальних значень у масивах даних. Характерною особливістю медіанного фільтра є його нелінійність. У багатьох випадках застосування медіанного фільтра виявляється більш ефективним порівняно з лінійними фільтрами, оскільки процедури лінійної обробки даних є оптимальними при гауссовому розподілі перешкод, що не завжди характерне для реальних сигналів. У випадках, коли перепади значень сигналів великі в порівнянні з дисперсією гаусівського шуму, медіанний фільтр дає менше середньоквадратичної помилки вихідного сигналу щодо вхідного, незашумленого сигналу при порівнянні з оптимальними лінійними фільтрами.
Медіанний фільтр є віконним фільтром, послідовно ковзає по масиву сигналу, і повертає на кожному кроці один з елементів, що потрапили у вікно (апертуру) фільтра. Вихідний сигнал y kковзного медіанного фільтра шириною nдля поточного відліку kформується із вхідного тимчасового ряду …, x k -1 , x k , x k +1 ,… відповідно до формули:
y k = Me(x k-(n-1)/2 ,…, x k ,…,x k+(n-1)/2 ) ,
де Me(x 1 ,…,x n ) = x ((n+1)/2)- Елементи варіаційного ряду, тобто. ранжовані у порядку зростання значень x 1 = min(x 1 ,…, x n ) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤ … ≤ x n = max(x 1 ,…, x n ) . Ширина медіанного фільтра вибирається з урахуванням того, що він здатний придушити імпульс завширшки (n-1)/2відліків, за умови, що n- непарне число.
Таким чином, медіанна фільтрація реалізується у вигляді процедури локальної обробки відліків у ковзному вікні, яке включає певну кількість відліків сигналу. Для кожного положення вікна виділені в ньому відліки ранжуються за зростанням або зменшенням значень. Середній за своїм становищем відлік ранжированном списку називається медіаною аналізованої групи відліків, якщо число відліків непарно. Цим відліком замінюється центральний відлік у вікні для сигналу, що обробляється. При парній кількості відліків медіана встановлюється як середнє арифметичне двох середніх відліків. Як початкові і кінцеві умови фільтрації зазвичай приймається поточне значення сигналу, або медіана знаходиться тільки для точок, які вписуються в межі апертури.
Завдяки своїм характеристикам, медіанні фільтри при оптимально обраній апертурі можуть зберігати без спотворень різкі межі об'єктів, пригнічуючи некорельовані та слабко корельовані перешкоди та малорозмірні деталі. У аналогічних умовах алгоритми лінійної фільтрації неминуче «змазують» різкі межі та контури об'єктів.
Переваги медіанних фільтрів.
Проста структура фільтра, як апаратної, так програмної реалізації.
Фільтр не змінює ступінчасті та пилкоподібні функції.
Фільтр добре пригнічує поодинокі імпульсні перешкоди та випадкові шумові викиди відліків.
Недоліки медіанних фільтрів.
Медіанна фільтрація нелінійна, оскільки медіана суми двох довільних послідовностей не дорівнює сумі їх медіан, що у ряді випадків може ускладнювати математичний аналіз сигналів.
Фільтр викликає ущільнення вершин трикутних функцій.
Пригнічення білого та гаусового шуму менш ефективне, ніж у лінійних фільтрів. Слабка ефективність також спостерігається при фільтрації флюктуаційного шуму.
При збільшенні розмірів вікна фільтра відбувається розмиття крутих змін сигналу та стрибків.
Недоліки методу можна зменшити, якщо застосовувати медіанну фільтрацію з адаптивною зміною розміру вікна фільтра в залежності від динаміки сигналу та характеру шумів (адаптивна медіанна фільтрація). Як критерій розміру вікна можна використовувати, наприклад, величину відхилення значень сусідніх відліків щодо ранжованого центрального відліку /1i/. При зменшенні цієї величини нижче за певний поріг розмір вікна збільшується.
Вступ
медіанна фільтрація цифровий сигнал
Цифрова обробка сигналів знайшла широке застосування у різних сферах діяльності: телебаченні, радіолокації, зв'язку, метеорології, сейсмології, медицині, аналізі мови та телефонії, а також при обробці зображень та полів різної природи. У деяких сферах економічної діяльності, наприклад, таких як банківська справа, обробка цифрових фінансових потоків має важливе значення.
Розвиток обчислювальної та мікропроцесорної техніки призводить до створення все більш надійного, швидкодіючого, мініатюрного, якісного та недорогого обладнання. Цифрові технології стали настільки масовими, що їх використовуємо у повсякденному житті, особливо не помічаючи: мобільний телефон, програвач компакт-дисків, комп'ютер і т.д.
У ході цієї роботи необхідно розглянути переваги та недоліки медіанної фільтрації. Ознайомитись із принципами роботи медіанних фільтрів. За допомогою програми MatLab712 R2011a на прикладі показати його роботу.
Теоретична частина ЦГЗ
Медіанний фільтр
Усі лінійні алгоритми фільтрації призводять до згладжування різких перепадів яскравості зображень, що пройшли обробку. Цей недолік, особливо суттєвий, якщо споживачем інформації є людина, принципово може бути виключений у межах лінійної обробки. Справа в тому, що лінійні процедури є оптимальними при гауссівському розподілі сигналів, перешкод і даних, що спостерігаються. Реальні зображення, строго кажучи, не підпорядковуються цьому розподілу ймовірностей. Причому, одна з основних причин цього полягає в наявності у зображень різноманітних кордонів, перепадів яскравості, переходів від однієї текстури до іншої і т.п. . Саме це і є причиною поганої передачі кордонів при лінійній фільтрації.
Друга особливість лінійної фільтрації - її оптимальність, щойно згадувалося, при гауссівському характері перешкод. Зазвичай цій умові відповідають шумові перешкоди на зображеннях, тому за їх придушенні лінійні алгоритми мають високі показники. Однак часто доводиться мати справу із зображеннями, спотвореними перешкодами інших типів. Однією з них є імпульсна перешкода. При її вплив на зображенні спостерігаються білі або (і) чорні точки, хаотично розкидані по кадру. Застосування лінійної фільтрації у разі неефективно - кожен із вхідних імпульсів (насправді - дельта-функція) дає відгук як імпульсної характеристики фільтра, які сукупність сприяє поширенню перешкоди протягом усього площу кадру.
Вдалим рішенням перелічених проблем є застосування медіанної фільтрації, запропонованої Дж. Тьюкі у 1971 р. для аналізу економічних процесів. Найбільш повне дослідження медіанної фільтрації стосовно обробки зображень представлено у збірнику. Зазначимо, що медіанна фільтрація є евристичний метод обробки, її алгоритм не є математичним рішенням строго сформульованої задачі. Тому дослідниками приділяється велика увага аналізу ефективності обробки зображень на її основі та зіставленню з іншими методами.
При застосуванні медіанного фільтра (МФ) відбувається послідовна обробка кожної точки кадру, у результаті утворюється послідовність оцінок. В ідейному відношенні обробка в різних точках незалежна (це МФ схожий на масковий фільтр), але з метою її прискорення доцільно алгоритмічно на кожному кроці використовувати раніше виконані обчислення.
При медіанної фільтрації використовується двовимірне вікно (апертура фільтра), що зазвичай має центральну симетрію, при цьому його центр знаходиться в поточній точці фільтрації. На рис. 1.1 показані два приклади найбільш часто застосовуваних варіантів вікон у вигляді хреста та у вигляді квадрата. Розміри апертури належать до параметрів, що оптимізуються в процесі аналізу ефективності алгоритму. Відліки зображення, що опинилися в межах вікна, утворюють робочу вибірку поточного кроку.
Мал. 1.1.
Двовимірний характер вікна дозволяє виконувати, по суті, двовимірну фільтрацію, оскільки для утворення оцінки залучаються дані як з поточних рядків і стовпців, так і з сусідніх. Позначимо робочу вибірку як одномірного масиву; кількість його елементів дорівнює розміру вікна, які розташування довільно. Зазвичай застосовують вікна з непарним числом точок (це автоматично забезпечується при центральній симетрії апертури і при вході центральної точки до її складу). Якщо впорядкувати послідовність зростання, то її медіаною буде той елемент вибірки, який займає центральне положення в цій впорядкованій послідовності. Отримане таким чином число є продуктом фільтрації для поточної точки кадру. Зрозуміло, що результат такої обробки не залежить від того, в якій послідовності представлені елементи зображення в робочій вибірці. Введемо формальне позначення описаної процедури у вигляді:
x * =med(y 1 , y 2 ,…, y n) (1.1)
Розглянемо приклад. Припустимо, що вибірка має вигляд: Y=(136,110,99,45,250,55,158,104,75), а елемент 250, розташований у її центрі, відповідає поточній точці фільтрації (i 1 , i 2) (рис. 1.1). Велике значення яскравості у цій точці кадру може бути результатом впливу імпульсної (точкової) перешкоди. Упорядкована за зростанням вибірка має при цьому вид (45,55,75,99,104,110,136,158,250), отже, відповідно до процедури (1.1), отримуємо x * = med (y 1, y 2, ..., y 9) = 104. Бачимо, що вплив "сусідів" на результат фільтрації в поточній точці призвело до "ігнорування" імпульсного викиду яскравості, що слід розглядати як ефект фільтрації. Якщо імпульсна перешкода не є точковою, а покриває деяку локальну область, вона також може бути пригнічена. Це станеться, якщо розмір цієї локальної області буде меншим, ніж половина розміру апертури МФ. Тому придушення імпульсних перешкод, що вражають локальні ділянки зображення, слід збільшувати розміри апертури МФ.
З (1.1) слід, що дія МФ полягає у “ігноруванні” екстремальних значень вхідний вибірки - як позитивних, і негативних викидів. Такий принцип придушення перешкоди може бути використаний і для ослаблення шуму на зображенні. Однак дослідження придушення шуму за допомогою медіанної фільтрації показує, що її ефективність при вирішенні цього завдання нижче, ніж лінійної фільтрації.
Результати експериментів, що ілюструють роботу МФ, наведено на рис. 1.2. В експериментах застосовувався МФ, що має квадратну апертуру зі стороною, що дорівнює 3. У лівому ряду представлені зображення, спотворені на заваді, в правому - результати їх медіанної фільтрації. На рис. 1.2 а та рис. 1.2.в показано вихідне зображення, спотворене імпульсною перешкодою. При її накладенні використовувався датчик випадкових чисел з рівномірним на інтервалі законом розподілу, що виробляє у всіх точках кадру випадкові незалежні числа. Інтенсивність перешкоди задавалася ймовірністю її виникнення в кожній точці. Якщо для випадкового числа n i1i2 , сформованого в точці (i 1 , i 2), виконувалася умова n i1i2 Мал. 1.2. Мал. 1.2. д показує зображення, спотворене незалежним гауссівським шумом щодо сигнал/шум q 2 =-5 дБ, а рис. 1.2.е – результат його фільтрації медіанним фільтром. Умови даного експерименту дозволяють порівнювати його результати з результатами розглянутої лінійної фільтрації. У таблиці 1.1 наведено дані, що дають можливість такого порівняння. Для різних методів фільтрації в цій таблиці наводяться значення відносного середнього квадрата помилок д 2 і коефіцієнта ослаблення шуму г для випадку, коли сигнал/шум на вході фільтра становить -5 дБ. Табл.1.1. Порівняння ефективності придушення шуму під час фільтрації зображень, q 2 =-5 дБ. Найбільшу ефективність має двовимірний фільтр Вінера, що зменшує середній квадрат помилок у 17 разів. Медіанний фільтр має найменшу з усіх розглянутих фільтрів ефективність, відповідає г =5.86. Проте це число свідчить про те, що і за його допомогою вдається значно знизити рівень шуму на зображенні. Водночас, як говорилося вище, і що демонструє рис. 1.2.е, медіанна фільтрація меншою мірою згладжує межі зображення, ніж будь-яка лінійна фільтрація. Механізм цього явища дуже простий і ось у чому. Припустимо, що апертура фільтра знаходиться поблизу межі, що розділяє світлу і темну ділянки зображення, при цьому її центр розташовується в області темної ділянки. Тоді, найімовірніше, робоча вибірка міститиме більшу кількість елементів з малими значеннями яскравості, і, отже, медіана буде серед тих елементів робочої вибірки, які відповідають цієї області зображення. Ситуація змінюється на протилежну, якщо центр апертури зміщений область більш високої яскравості. Але це означає наявність чутливості у МФ до перепадів яскравості. Існує безліч інтерпретацій методів роботи МФ, розглянемо ще один, на прикладі використання його при обробці зображення клітин крові - гранулоцитів. Перед виміром розміру гранулоциту його зображення піддавалося згладжування медіанним фільтром з метою усунення гранул, які можуть впливати на результат виміру. Зазвичай в процесі медіанної фільтрації значення сигналу в деякій околиці точки, в якій обчислюється відгук фільтра, за допомогою сортування за зростанням або зменшенням вибудовуються в варіаційний ряд. Відгук фільтра визначається як медіана - значення сигналу середини (центру) варіаційного ряду. Надалі цю околицю називатимемо вікном фільтра. Крім того, для спрощення розглядатимемо фільтр з квадратним вікном розміром n?n. Отже, при обчисленні медіани у вікні фільтра кількість операцій з даними, наприклад, кількість операцій сортування дорівнює n 2 . При обробці зображення розміром M?N точок (пікселів) число операцій з даними буде велике і складе M?N?n 2 . Різні операції вимагають різних витрат часу виконання. При послідовному скануванні зображення кількість найбільш трудомістких операцій сортування можна скоротити. Так, при переході від точки о1 із вікном w1 до точки о2 із вікном w2 на рис. 1.3. можна з ряду варіаційного вікна w1 виключити точки стовпця 1, відсортувати точки стовпця 6 і об'єднати два отриманих варіаційних ряду в один. Такий алгоритм працює швидше в порівнянні з незалежним сортуванням у кожному вікні, однак загальна кількість маніпуляцій з даними (нехай і менш трудомістких), наприклад, хоча б перебір даних, залишається тим самим, тобто досить великим. Тому при медіанної фільтрації зображень зазвичай обмежуються вікнами 3×3 або 5×5 і рідко більше, що цілком достатньо, наприклад, для усунення імпульсних перешкод. Мал. 1.3. Сканування зображення вікном медіанного фільтра
Такі ж обмеження вимушено приймаються і для різних нелінійних операцій морфологічної обробки, що виконується в геометричному просторі зображення, і які, на відміну від лінійних операцій, неможливо виконувати в просторі Фур'є. Разом з тим, існує ряд завдань обробки зображень, які можна було б ефективно вирішити за допомогою медіанного фільтра, але вони вимагають вікна великого розміру. Одне з таких завдань буде розглянуто нижче. Тому можливе підвищення швидкості медіанної фільтрації обіцяє великі перспективи завдання обробки зображень. Методи медіанної фільтрації досить різноманітні. Їх можна вдосконалити. Один із таких апгрейдів називається - адаптивна медіанна фільтрація. Медіанна фільтрація має свої недоліки. Зокрема, експериментально встановлено, що цей метод має відносно слабку ефективність при фільтрації так званого флуктуаційного шуму. Крім того, зі збільшенням розміру маски відбувається розмиття контурів зображення і, як наслідок, зниження чіткості зображення. Зазначені недоліки методу можна зменшити до мінімуму, якщо скористатися медіанною фільтрацією з динамічним розміром маски (адаптивною медіанною фільтрацією). Принцип обчислення центрального відліку при локальній обробці зображення ковзним вікном залишається той самий. Ця медіана з набору впорядкованих відліків, що потрапили у вікно (маску), а розмір вікна (маски), що ковзає, динамічний і залежить від яскравості сусідніх пікселів. Введемо пороговий коефіцієнт відхилення яскравості S threshold = . Величини відхилення яскравості сусідніх пікселів A(r, n, m), які у вікно розміром n?m, щодо яскравості центрального відліку A(r) запишуться як (1.2): Тоді критерій, згідно з яким необхідно збільшувати розмір маски з центральним відліком r, матиме вигляд: На основі описаного алгоритму було розроблено комп'ютерну програму, яка підтвердила на практиці переваги адаптивної медіанної фільтрації. Медіанний фільтр реалізує нелінійну процедуру придушення шумів. Медіанний фільтр є ковзне по полю зображення вікно W, що охоплює непарне число відліків. Центральний відлік замінюється медіаною всіх елементів зображення, що потрапили у вікно. Медіаною дискретної послідовності x1, x2, ..., xL для непарного L називають такий її елемент, для якого існують (L? 1)/2 елементів, менших або рівних йому за величиною, і (L? 1)/2 елементів, великих чи рівних йому за величиною. Іншими словами, медіаною є середній по порядку член ряду, що виходить при впорядкуванні вихідної послідовності. Наприклад, med(20, 10, 3, 7, 7) = 7. Двовимірний медіанний фільтр з вікном W визначимо так: Медіанний фільтр використовується для придушення адитивного та імпульсного шумів на зображенні. Характерною особливістю медіанного фільтра є збереження перепадів яскравості (контурів). Особливо ефективним медіанним фільтром є у разі імпульсного шуму. На показано вплив згладжуючого та медіанного фільтрів з триелементним вікном на зашумлений адитивним шумом перепад яскравості для одновимірного сигналу. Що стосується імпульсного шуму, то медіанний фільтр з вікном 3 x 3 повністю пригнічує поодинокі викиди на рівномірному тлі, а також групи з двох, трьох та чотирьох імпульсних викидів. У загальному випадку для придушення групи імпульсних перешкод розміри вікна повинні бути щонайменше вдвічі більшими за розміри групи перешкод. Серед медіанних фільтрів із вікном 3х3 найбільш поширені такі: Координати представлених масок означають, скільки разів відповідний піксель входить до описаної вище впорядкованої послідовності. Одним із ефективних шляхів усунення імпульсних шумів на зображенні є застосування медіанного фільтра. Для кожного пікселя в деякому оточенні (вікні) шукається медіанне значення і присвоюється цьому пікселю. Визначення медіанного значення: якщо масив пікселів відсортувати за значенням, медіаною буде серединний елемент цього масиву. Розмір вікна має бути непарним, щоб цей серединний елемент існував. Медіану також можна визначити формулою: де W – безліч пікселів, серед яких шукається медіана, а fi – значення яскравостей цих пікселів. Для кольорових зображень використовується векторний медіанний фільтр (VMF): де Fi – значення пікселів у тривимірному колірному просторі, а d – довільна метрика (наприклад, евклідова). Однак у чистому вигляді медіанний фільтр розмиває дрібні деталі, величина яких менша за розмір вікна для пошуку медіани, тому на практиці практично не використовується. Медіанна фільтрація – метод нелінійної обробки сигналів, розроблений Тьюкі. Цей метод є корисним при придушенні шуму на зображенні. Одномірний медіанний фільтр є ковзним вікном, що охоплює непарне число елементів зображення. Центральний елемент замінюється на медіану всіх елементів у вікні. Медіаною дискретної послідовності для непарного Nє той її елемент, для якого існують елементів, менших чи рівних йому за величиною, та елементів, великих чи рівних йому за величиною. Нехай у вікно потрапили елементи зображення з рівнями 80, 90, 200, 110 та 120; у цьому випадку центральний елемент слід замінити значенням 110, яке є медіаною впорядкованої послідовності 80, 90, 110, 200. Якщо в цьому прикладі значення 200 є шумовим викидом монотонно зростаючої послідовності, то медіанна фільтрація забезпечить істотне поліпшення. Навпаки, якщо значення 200 відповідає корисному імпульсу сигналу (при використанні широкосмугових датчиків), обробка призведе до втрати чіткості відтворюваного зображення. Таким чином, медіанний фільтр в одних випадках забезпечує зменшення шуму, в інших викликає небажане придушення сигналу. Розглянемо вплив медіанного та усереднюючого (що згладжує) фільтрів з п'ятиелементним вікном на ступінчастий, пилкоподібний, імпульсний та трикутний дискретні сигнали (рис. 4.23). З цих діаграм видно, що медіанний фільтр не впливає на ступінчасті або пилкоподібні функції, що зазвичай є бажаною властивістю. Однак цей фільтр пригнічує імпульсні сигнали, тривалість яких становить менше половини ширини вікна. Фільтр також викликає ущільнення вершини трикутної функції. Можливості аналізу дії медіанного фільтра обмежені. Можна показати, що медіана твору постійної та послідовності дорівнює: Крім того, Однак медіана суми двох довільних послідовностей і не дорівнює сумі їх медіан: Цю нерівність можна перевірити на прикладі послідовностей 80, 90, 100, 110, 120 та 80, 90, 100, 90, 80. Можливі різні стратегії застосування медіанного фільтра для зменшення шумів. Одна з них рекомендує починати з медіанного фільтра, вікно якого охоплює три елементи зображення. Якщо ослаблення сигналу є незначним, вікно фільтра розширюють до п'яти елементів. Так роблять доти, доки медіанна фільтрація починає завдавати більше шкоди, ніж користі. Інша можливість полягає у здійсненні каскадної медіанної фільтрації сигналу з використанням фіксованої або змінної ширини вікна. Загалом слу чає ті області, які залишаються без зміни після одноразової обробки фільтром, не змінюються і після повторної обробки. Області, в яких тривалість імпульсних сигналів становить менше половини ширини вікна, будуть змінюватися після кожного циклу обробки. Концепцію медіанного фільтра легко узагальнити на два виміри, застосовуючи двовимірне вікно бажаної форми, наприклад, прямокутне або близьке до кругового. Очевидно, що двомірний медіанний фільтр з вікном розміру забезпечує більш ефективне зменшення шуму, ніж послідовно застосовані горизонтальний і вертикальний одномірні медіанні фільтри з вікном розміру . Двовимірна обробка, однак, призводить до більшого ослаблення сигналу. Digital signals processing Кому невідома постійна невідповідність тим, що людина шукає, і що знаходить? Ніколло Макіавеллі. Італійський політик історик. 1469-1527 р. Коли маєш справу з орієнтуванням на середину – будь подвійно обережним. Соціалізм теж претендував на середній рай для всіх, а на виході отримав убогу казарму. Ернст Трубів. Уральський геофізик. ХХ ст. Вступ. 1. Медіанна фільтрація одновимірних сигналів. Принцип фільтрації Одновимірні фільтри. Пригнічення статистичних шумів. Імпульсні та точкові шуми. Перепад плюс шум. Коварійні функції. Перетворення статистики шумів. Частотні характеристики фільтра. Різновиди медіанних фільтрів. Переваги медіанних фільтрів. Недоліки медіанних фільтрів. 2. Медіанна фільтрація зображень. Шуми у зображеннях. Двовимірні фільтри. Адаптивні двовимірні фільтри. Фільтри на основі рангової статистики. Медіанні фільтри досить часто застосовуються практично як засіб попередньої обробки цифрових даних. Специфічною особливістю фільтрів явно виражена вибірковість по відношенню до елементів масиву, що є немонотонною складовою послідовності чисел в межах вікна (апертури) фільтра, і різко виділяються на тлі сусідніх відліків. У той же час на монотонну складову послідовності медіанний фільтр не діє, залишаючи без змін. Завдяки цій особливості, медіанні фільтри при оптимально обраній апертурі можуть, наприклад, зберігати без спотворень різкі межі об'єктів, ефективно пригнічуючи некорельовані або слабко кореловані перешкоди та малорозмірні деталі. Ця властивість дозволяє застосовувати медіанну фільтрацію для усунення аномальних значень у масивах даних, зменшення викидів та імпульсних перешкод. Характерною особливістю медіанного фільтра є його нелінійність. У багатьох випадках застосування медіанного фільтра виявляється більш ефективним порівняно з лінійними фільтрами, оскільки процедури лінійної обробки є оптимальними при рівномірному або гауссовому розподілі перешкод, що в реальних сигналах може бути не так. У випадках, коли перепади значень сигналів великі порівняно з дисперсією адитивного білого шуму, медіанний фільтр дає менше середньоквадратичної помилки порівняно з оптимальними лінійними фільтрами. Особливо ефективним медіанний фільтр виявляється при очищенні сигналів імпульсних шумів при обробці зображень, акустичних сигналів, передачі кодових сигналів і т.п. Проте детальні дослідження властивостей медіанних фільтрів як засобу фільтрації різного типу сигналів є досить рідкісними. Принцип фільтрації
Медіани давно використовувалися та вивчалися у статистиці як альтернатива середнім арифметичним значенням відліків в оцінці середніх вибіркових значень. Медіаною числової послідовності х 1 , х 2 , ... , х n при непарному n є середній за значенням член ряду, що виходить при упорядкуванні цієї послідовності за зростанням (або спаданням). Для парних n медіану зазвичай визначають як середнє арифметичне двох середніх відліків упорядкованої послідовності. Медіанний фільтр є віконним фільтром, послідовно ковзає по масиву сигналу, і повертає на кожному кроці один з елементів, що потрапили у вікно (апертуру) фільтра. Вихідний сигнал y k ковзного медіанного фільтра шириною 2n+1 для поточного відліку k формується з вхідного часового ряду …, x k -1 , x k , x k +1 ,… відповідно до формули: y k = med(x k - n , x k - n +1 ,…, x k -1 , x k , x k +1 ,…, x k + n -1 , x k + n), (16.1.1) де med(x 1 , …, x m , …, x 2n+1) = x n+1 , x m – елементи варіаційного низки, тобто. ранжовані в порядку зростання значень x m: x 1 = min(x 1 , x 2 ,…, x 2n+1) ≤ x (2) ≤ x (3) ≤ … ≤ x 2n+1 = max(x 1 , x 2 , …, x 2n+1). Таким чином, медіанна фільтрація здійснює заміну значень відліків у центрі апертури медіанним значенням вихідних відліків усередині апертури фільтра. На практиці апертура фільтра для спрощення алгоритмів обробки даних, як правило, встановлюється з непарним числом відліків, що прийматиметься при розгляді надалі без додаткових пояснень. Одновимірні фільтри.
Медіанна фільтрація реалізується у вигляді процедури локальної обробки відліків у ковзному вікні, яке включає певну кількість відліків сигналу. Для кожного положення вікна виділені в ньому відліки ранжуються за зростанням або зменшенням значень. Середній за своїм становищем звіт у ранжованому списку називається медіаною групи відліків, що розглядається. Цим відліком замінюється центральний відлік у вікні для сигналу, що обробляється. Внаслідок цього медіанний фільтр відноситься до нелінійних фільтрів, що замінює медіанним значенням аномальні точки і викиди незалежно від їх амплітудних значень, і є стійким за визначенням, здатним анулювати навіть нескінченно великі відліки. Алгоритм медіанної фільтрації має явно виражену вибірковість до елементів масиву з немонотонною складовою послідовності чисел в межах апертури і найбільш ефективно виключає з сигналів поодинокі викиди, негативні та позитивні, що потрапляють на краї ранжованого списку. З урахуванням ранжирування у списку медіанні фільтри добре пригнічують шуми та перешкоди, довжина яких становить менше половини вікна. Стабільною точкою є послідовність (в одновимірному випадку) або масив (у двовимірному випадку), які не змінюються під час медіанної фільтрації. В одновимірному випадку стабільними точками медіанних фільтрів є "локально-монотонні" послідовності, які медіанний фільтр залишає без змін. Виняток становлять деякі періодичні двійкові послідовності. Завдяки цій особливості, медіанні фільтри при оптимально обраній апертурі можуть зберігати без спотворень різкі межі об'єктів, пригнічуючи некорельовані та слабко кореловані перешкоди та малорозмірні деталі. За аналогічних умов алгоритми лінійної фільтрації неминуче «змащує» різкі межі та контури об'єктів. На рис. 16.1.1 наведено приклад обробки сигналу з імпульсними шумами медіанним та трикутним фільтрами з однаковими розмірами вікна N=3. Перевага медіанного фільтра очевидна. Як початкові і кінцеві умови фільтрації зазвичай приймаються кінцеві значення сигналів, або медіана знаходиться тільки для точок, які вписуються в межі апертури.
Тема 16. Медіанні фільтри
Вступ
16.1. Медіанна фільтрація одновимірних сигналів.
Придушення статистичних шумів медіанними фільтрами у зв'язку з їхньою нелінійністю зазвичай розглядається тільки на якісному рівні. Не можна також чітко розмежувати вплив медіанних фільтрів на сигнал та шум.
Якщо значення елементів послідовності чисел (x i ) в апертурі фільтра є незалежними однаково розподіленими (НОР) випадковими величинами із середнім значенням m
то математичне очікування M(z) = 0 і, отже, M(x)=m.
Нехай F(x) і f(x)=F"(x) позначають функції розподілу та щільності ймовірностей величин х. Згідно з теорією ймовірностей, розподіл у = med(х 1 , ... , х n) для великих n є приблизно нормальним N(m t , n), де m t - теоретична медіана, що визначається з умови F(m t) = 0.5, при цьому дисперсія розподілу:
n 2 = 1/(n 4f 2 (m t)). (16.1.2)
Наведені результати справедливі як для одновимірної, так і для двовимірної фільтрації, якщо n вибирати рівним числу точок в апертурі фільтра. Якщо f(x) симетрична щодо m, то розподіл медіан також буде симетрично щодо m і, таким чином, справедлива формула:
M(med(х 1, ..., х n)) = M(x i) = m.
Якщо випадкові величини х є НОР і рівномірно розподілені на відрізку , можна знайти точне значення дисперсії медіани за формулою:
n 2 = 1/(4(n+2)) = 3 x /(n+2).
Якщо випадкові величини є незалежними, однаково розподіленими з нормальним розподілом N(m, ), то m t = m. Модифікована формула дисперсії медіани для малих непарних значень n:
g 2 /(2n-2+). (16.1.2")
Значення дисперсії шумів для випадкових величин у ковзному n-вікні арифметичного усереднення (фільтр МНК першого порядку) має значення 2 /n. Це означає, що для нормального білого шуму при рівних значеннях n вікон медіанного фільтра та фільтра ковзного усереднення дисперсія шумів на виході медіанного фільтра приблизно на 57% більше, ніж у фільтра ковзного середнього. Щоб медіанний фільтр давав ту ж дисперсію, що і ковзне усереднення, його апертура має бути на 57% більше. При цьому слід мати на увазі, що спотворення корисних сигналів, особливо за наявності в них стрибків і крутих перепадів, навіть при більшій апертурі медіанного фільтра може виявитися менше, ніж у фільтрів середнього ковзного.
Положення змінюється, якщо щільність розподілу випадкових величин істотно відрізняється від нормального і має довгі хвости, які ліквідуються медіанним фільтром, що забезпечує оптимальну і найбільш правдоподібну оцінку поточних значень сигналу за мінімумом середньоквадратичного наближення. Так, при експонентному (по модулю) розподілі щільності шумів
f(x) = ( 
/ exp(- 
|x-m| /)
дисперсія шумів після медіанного фільтра на 50% менше, ніж після фільтра ковзного середнього.
Граничним випадком таких розподілів є імпульсний шум, випадковий за амплітудами та місцем появи, який і пригнічується медіанними фільтрами з найбільшою ефективністю.
Імпульсні та точкові шуми
. При реєстрації, обробці та обміні даними в сучасних вимірювально-обчислювальних та інформаційних системах потоки сигналів крім корисного сигналу s(t- 0) та флуктуаційних шумів q(t) містять, як правило, імпульсні потоки g(t)= 
(t- k) різної інтенсивності з регулярною або хаотичною структурою
x(t) = s(t- 0) + g(t) + q(t). (16.1.3)
Під імпульсним шумом розуміється спотворення сигналів великими імпульсними викидами довільної полярності та мінімальної тривалості. Причиною появи імпульсних потоків можуть бути як зовнішні імпульсні електромагнітні перешкоди, так і наведення, збої та перешкоди у роботі самих систем. Сукупність статистично розподіленого шуму і потоку квазідетермінованих імпульсів є комбінованою перешкодою. Радикальний метод боротьби з комбінованою перешкодою – застосування перешкодостійких кодів. Однак це призводить до зниження швидкості та ускладнення систем приймання передачі даних. Простим, але досить ефективним альтернативним методом очищення сигналів у таких умовах є двоетапний алгоритм обробки сигналів x(t), де на першому етапі здійснюється усунення з потоку x(t) шумових імпульсів, а на другому – очищення сигналу частотними фільтрами від статистичних шумів. сигналів, спотворених дією імпульсних шумів, відсутня строга в математичному сенсі постановка та розв'язання задачі фільтрації. Відомі лише евристичні алгоритми, найбільш прийнятним є алгоритм медіанної фільтрації.
Припустимо, що шум q(t) являє собою статистичний процес з нульовим математичним очікуванням, корисний сигнал s(t- 0) має невідоме тимчасове положення 0 , а потік шумових імпульсів g(t) має вигляд:
g(t) = 
k a k g(t- k), (16.1.4)
де a k - амплітуда імпульсів у потоці, k - невідоме тимчасове положення імпульсів, k =1 з ймовірністю p k і k =0 з ймовірністю 1-p k . Таке завдання імпульсної перешкоди відповідає потоку Бернуллі /44/.
При застосуванні до потоку x(t) ковзної медіанної фільтрації з вікном N відліків (N – непарне) медіанний фільтр повністю усуває одиночні імпульси, віддалені один від одного мінімум на половину апертури фільтра, і пригнічує імпульсні перешкоди, якщо кількість імпульсів у межах апертури не перевищує (N-1)/2. У цьому випадку при p k = p для всіх імпульсів перешкоди, ймовірність придушення перешкод може бути визначена за виразом /3i/:
R(p) = 
p m (1-p) N - p. (16.1.5)
Якщо ймовірність помилки не дуже велика, то медіанна фільтрація навіть із досить малою апертурою значно зменшить кількість помилок. Ефективність виключення шумових імпульсів підвищується зі збільшенням апертури фільтра, але може збільшуватися і спотворення корисного сигналу.
Перепад плюс шум. Розглянемо фільтрацію перепадів за наявності адитивного білого шуму, тобто фільтрацію послідовностей, або зображень, з
На рис. 16.1.4 показано послідовність значень математичного очікування медіан та ковзного середнього поблизу перепаду висотою h = 5 при n = 3. Значення ковзного середнього слідують по похилій лінії, що свідчить про змащування перепаду. Поведінка математичного очікування значень медіани також свідчить про деяке змащування, хоча набагато менше, ніж для ковзного середнього.
Якщо скористатися мірою середньоквадратичної помилки (СКО), усередненої по N точках поблизу перепаду, і обчислити значення СКО залежно від значень h, неважко зафіксувати, що з малих значеннях h<2 СКО для скользящего среднего немного меньше, чем для медианы, но при h>3 СКО медіани значно менше, ніж СКО середнього. Цей результат показує, що ковзна медіана значно краще, ніж ковзна середня, для перепадів великої висоти. Подібні результати можна отримати і для апертури n=5, і для двовимірної фільтрації з апертурами 3x3 та 5x5. Таким чином, математичні очікування медіани для малих h є близькими до математичних очікувань для відповідних середніх, але для великих h вони асимптотично обмежені. Пояснюється це тим, що при великих h (скажімо, h>4) змінні х із середнім значенням 0 (для цього прикладу) будуть різко відокремлені від змінних х із середнім h.
Використана міра точності може характеризувати лише різкість упоперек перепаду і нічого не говорить про гладкість фільтрованого зображення вздовж перепаду. Ковзне усереднення дає сигнали, гладкі вздовж перепаду, тоді як при обробці за допомогою медіанним фільтром протяжні перепади виявляються злегка порізаними.
Коварійні функції при білому шумі на вході. Нормалізовані функції автокореляції вихідних сигналів медіанних та середніх фільтрів подібні один до одного. Подібність функцій кореляції до певної міри пояснюється відносно високою кореляцією між медіаною та середнім, що досягає 0.8 при великих n.
Наближена формула функції автоковаріації для послідовності, підданої медіанної фільтрації, визначається виразом:
K() = 2 /(n+(/2)-1)) 
(1-|j|/n) arcsin((j+)). (16.1.6)
Змінна медіана майже не згладжує процеси, що ведуть себе на великих інтервалах, як функції виду x i = (-1) i y. Справді, форма вхідної послідовності x i = (-1) i y буде залишена медіанним фільтром без змін, хоча для деяких значень n вона зрушиться на один крок. Ковзне усереднення надає велику згладжуючу дію на подібний процес, так як регулярні флуктуації значень х повністю знищуються. Загалом очікується, що наближені формули коваріаційних функцій ковзаючих медіан будуть корисні лише послідовностей, куди медіанні фільтри діють як і, як і ковзне усереднення. У разі сильно осцилюючих послідовностей і послідовностей перепадів великої користі від них чекати не слід.
Перетворення статистики шумів. Медіанна фільтрація є нелінійною операцією над вхідним процесом, яка поряд з виключенням імпульсних перешкод змінює розподіл статистичних шумів q(t), що може бути небажаним для побудови наступних фільтрів. Аналітичний розрахунок перетворення статистики шумів скрутний через слабку розробленість відповідного математичного апарату.
Мал. 16.1.5. Гістограми шумових сигналів.
На рис. 16.1.5 наведено приклади медіанної фільтрації модельних шумових сигналів з гаусовим та рівномірним розподілом при різній ширині вікна фільтра. Як випливає з цих графіків, при фільтрації відбувається переважне зменшення шумових сигналів з великими відхиленнями відліків від середнього значення зі зменшенням стандарту (СКО - середньоквадратичного відхилення) розподілу. Зменшення стандарту тим більше, що більше вікно фільтра. Цим же визначається і перетворення форми розподілу вихідного рівномірного шуму (а також інших розподілів шумів) до гаусової у міру збільшення розміру вікна фільтра.
Зменшення кількості великих шумових відхилень від середнього значення шуму призводить також до зміни спектру шуму і певного придушення його високочастотних складових, яких більше в "хвостах" шумових розподілів. Це можна побачити на рис. 16.1.7 на спектрах щільності потужності вхідного та вихідного сигналів.
Частотні властивості фільтра . Для опису лінійних фільтрів використовують імпульсну реакцію одиничний імпульс, на ступінчасту функцію, і частотні передавальні функції в головному частотному діапазоні. Так як медіанний фільтр ліквідує одиничні імпульси і зберігає перепади, то можна говорити, що імпульсна реакція фільтра дорівнює нулю, а відгук на ступінчасту функцію дорівнює 1. Що стосується частотної характеристики фільтра, то, через нелінійність фільтра, її не можна уявити будь-якої детермінації. функцією апертури та частоти. Якоюсь мірою можна говорити про реакцію фільтра на косінусоїдальні функції, яка також суттєво відрізняється для низьких і високих частот головного частотного діапазону та фази гармонік в апертурі фільтра, що можна бачити на рис. 16.1.9.
Мал. 16.1.9.
Як показує моделювання, для низьких частот, коли період гармоніки багато більше вікна апертури фільтрів, ковзна медіана і ковзне середнє мають подібні характеристики, коефіцієнт передачі К однотональних сигналів дорівнює 1. У міру зростання частоти гармоніки і в залежності від фази сигналу в апертурі фільтра починається спотворення сигналу на екстремальних значеннях (заниження екстремальних значень), і значення К п починає зменшуватися. Коли значення апертури медіанного фільтра стає порівнянним з періодом сигналу, у спектрі вихідного сигналу з'являються "хибні" гармоніки, викликані інтерференцією частоти вхідного сигналу з частотою дискретизації (нижні графіки на малюнку 16.1.9).
Мал. 16.1.10. Медіанна фільтрація багатотональних сигналів
Для багатотональних вхідних сигналів починається також інтерференція частот гармонік між собою, що призводить до появи численних помилкових високочастотних гармонік (верхні графіки на рис. 16.1.10), а за наявності у вхідному сигналі високочастотних гармонік спотворюються також коефіцієнти передачі низькочастотних гармонік (нижні графіки на малюнку), тобто. частотні відгуки для одиночних гармонійних функцій не відповідають передавальним характеристикам довільних сигналів, що є сумою косинусоидальных функцій, т.к. передавальні функції стають різко нерегулярними через інтерференцію різних частот.Картина частотної інтерференції залежить також від фази гармонік, що посилює нерегулярність кінцевих результатів та наочно видно на рис. 16.1.11. при різних випадкових реалізаціях фази гармонік. У разі збільшення розмірів апертури фільтрів нерегулярність передачі фільтрів збільшується.
Мал. 16.1.11.
Різновиди медіанних фільтрів.Виважено-медіанні фільтри застосовують, якщо бажано надати більшої ваги центральним точкам. Це досягається шляхом повторення k i разів кожного набору відліків в апертурі фільтра. Так, наприклад, при n=3 і k -1 =k 1 =2, k 0 =3 обчислення зваженої медіани вхідного числового ряду проводиться за формулою:
y i = med (x i - 1, x i - 1, x 0, x 0, x 0, x 1, x 1).
Така розтягнута послідовність також зберігає перепади сигналу і за певних умов дозволяє збільшити придушення дисперсії статистичних шумів у сигналі. Жоден з вагових коефіцієнтів k i не повинен бути значно більшим за всі інші.
Ітераційні медіанні фільтри виконуються послідовним повторенням медіанної фільтрації. Якщо апертура одиничної медіанної фільтрації зберігає перепади в сигналі, то вони зберігаються при ітеративному застосуванні фільтра аж до тих пір, поки не припиняться зміни в сигналі, що фільтрується, при цьому кінцевий результат істотно відрізняється від ітеративного застосування ковзного середнього, де в межі виходить постійна числова послідовність. При використанні ітераційних фільтрів можна змінювати апертуру фільтра під час кожного кроку ітерації.
Переваги медіанних фільтрів.
Проста структура фільтра, як апаратної, так програмної реалізації.
Фільтр не змінює ступінчасті та пилкоподібні функції.
Фільтр добре пригнічує поодинокі імпульсні перешкоди та випадкові шумові викиди відліків.
Недоліки медіанних фільтрів.
Медіанна фільтрація нелінійна, оскільки медіана суми двох довільних послідовностей не дорівнює сумі їх медіан, що у ряді випадків може ускладнювати математичний аналіз сигналів.
Фільтр викликає ущільнення вершин трикутних функцій.
Пригнічення білого та гаусового шуму менш ефективне, ніж у лінійних фільтрів. Слабка ефективність також спостерігається при фільтрації флюктуаційного шуму.
При збільшенні розмірів вікна фільтра відбувається розмиття крутих змін сигналу та стрибків.
Недоліки методу можна зменшити, якщо застосовувати медіанну фільтрацію з адаптивною зміною розміру вікна фільтра в залежності від динаміки сигналу та характеру шумів (адаптивна медіанна фільтрація). Як критерій розміру вікна можна використовувати, наприклад, величину відхилення значень сусідніх відліків щодо ранжованого центрального відліку /1i/. При зменшенні цієї величини нижче за певний поріг розмір вікна збільшується.
