Зуть методу Лагранжа полягає у зведенні завдання на умовний екстремум до вирішення задачі безумовного екстремуму. Розглянемо модель не лінійного програмування:

(5.2)

де
- Відомі функції,

а
- Задані коефіцієнти.

Зазначимо, що у цій постановці завдання обмеження задані рівностями, відсутня умова невід'ємності змінних. Крім того, вважаємо, що функції
безперервні зі своїми першими приватними похідними.

Перетворюємо умови (5.2) таким чином, щоб у лівих чи правих частинах рівностей стояв нуль:

(5.3)

Складемо функцію Лагранжа. До неї входить цільова функція (5.1) та праві частини обмежень (5.3), взяті відповідно до коефіцієнтів
. Коефіцієнтів Лагранжа буде стільки, скільки обмежень у завданні.

Точки екстремуму функції (5.4) є точками екстремуму вихідного завданняі навпаки: оптимальний планЗавдання (5.1)-(5.2) є точкою глобального екстремуму функції Лагранжа.

Справді, хай знайдено рішення
Завдання (5.1)-(5.2), тоді виконуються умови (5.3). Підставимо план
у функцію (5.4) і переконаємось у справедливості рівності (5.5).

Таким чином, щоб знайти оптимальний план вихідного завдання, необхідно дослідити на екстремум функцію Лагранжа. Функція має екстремальні значення у точках, де її приватні похідні рівні нулю. Такі точки називаються стаціонарними.

Визначимо приватні похідні функції (5.4)

,

.

Після прирівнювання нулюпохідних отримаємо систему m+nрівнянь з m+nневідомими

,(5.6)

У випадку система (5.6)-(5.7) матимемо кілька рішень, куди увійдуть всі максимуми і мінімуми функції Лагранжа. Щоб виділити глобальний максимум чи мінімум, у всіх знайдених точках обчислюють значення цільової функції. Найбільше із цих значень буде глобальним максимумом, а найменше – глобальним мінімумом. У деяких випадках можливе використання достатніх умов суворого екстремумубезперервних функцій (див. нижче завдання 5.2):

нехай функція
безперервна і двічі диференційована в околиці своєї стаціонарної точки (Тобто.
)). Тоді:

а ) якщо
, (5.8)

то - Точка суворого максимуму функції
;

б) якщо
, (5.9)

то - Точка суворого мінімуму функції
;

г ) якщо
,

то питання про наявність екстремуму залишається відкритим.

Крім того, деякі рішення системи (5.6)-(5.7) можуть бути негативними. Що не узгоджується з економічним змістом змінних. І тут слід проаналізувати можливість заміни негативних значень нульовими.

Економічний сенс множників Лагранжа.Оптимальне значення множника
вказує на скільки зміниться значення критерію Z при збільшенні чи зменшенні ресурсу jна одну одиницю, оскільки

Метод Лагранжа можна застосовувати й у тому випадку, коли обмеження є нерівністю. Так, знаходження екстремуму функції
за умов

,

виконують у кілька етапів:

1. Визначають стаціонарні точки цільової функції, навіщо вирішують систему рівнянь

.

2. Зі стаціонарних точок відбирають ті, координати яких задовольняють умовам

3. Методом Лагранжа вирішують завдання з обмеженнями-рівностями (5.1)-(5.2).

4. Досліджують на глобальний максимум точки, знайдені на другому та третьому етапах: порівнюють значення цільової функціїу цих точках – найбільше значеннявідповідає оптимальному плану.

Завдання 5.1Розв'яжемо методом Лагранжа задачу 1.3, розглянуту в першому розділі. Оптимальний розподілводних ресурсів описується математичною моделлю

.

Складемо функцію Лагранжа

Знайдемо безумовний максимум цієї функції. Для цього обчислимо приватні похідні та прирівняємо їх до нуля

,

Таким чином, отримали систему лінійних рівнянь виду

Рішення системи рівнянь є оптимальним планом розподілу водних ресурсів по зрошуваних ділянках.

, .

Величини
вимірюються у сотнях тисяч кубічних метрів.
- Величина чистого доходу на одну сотню тисяч кубічних метрів поливної води. Отже, гранична ціна 1 м 3 зрошувальної води дорівнює
ден. од.

Максимальний додатковий чистий прибуток від зрошення складе

160 · 12,26 2 +7600 · 12,26-130 · 8,55 2 +5900 · 8,55-10 · 16,19 2 +4000 · 16,19 =

172391,02 (ден. од.)

Завдання 5.2Розв'язати задачу нелінійного програмування

Обмеження представимо у вигляді:

.

Складемо функцію Лагранжа та визначимо її приватні похідні

.

Щоб визначити стаціонарні точки функції Лагранжа, слід прирівняти її нулю похідні. В результаті отримаємо систему рівнянь

.

З першого рівняння випливає

. (5.10)

Вираз підставимо на друге рівняння

,

звідки випливають два рішення для :

і
. (5.11)

Підставивши ці рішення на третє рівняння, отримаємо

,
.

Значення множника Лагранжа та невідомої обчислимо за виразами (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Таким чином, отримали дві точки екстремуму:

;
.

Для того щоб дізнатися чи є ці точки точками максимуму або мінімум, скористаємося достатніми умовами суворого екстремуму (5.8)-(5.9). Попередній вираз для , отримане з обмеження математичної моделі, підставимо на цільову функцію

,

. (5.12)

Для перевірки умов суворого екстремуму слід визначити знак другої похідної функції (5.11) у знайдених нами екстремальних точках
і
.

,
;

.

Таким чином, (·)
є точкою мінімуму вихідного завдання (
), а (·)
- точкою максимуму.

Оптимальний план:

,
,
,

.

Класифікація задач математичного програмування

ПРОГРАМУВАННЯ

МЕТОДИ РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ НЕЛІНІЙНОГО

Контрольні питаннядо розділу 4

Схема розв'язання транспортного завдання

Перелічимо основні етапи розв'язання транспортного завдання.

1. Перевіряють умову замкнутості. Якщо завдання відкрите, транспортну таблицю доповнюють чи стовпцем фіктивного пункту споживання, чи рядком фіктивного постачальника.

2. Будують опорний план.

3. Перевіряють опорний план на невиродженість. Якщо виконання умови невиродженості бракує зайнятої клітини, одну з клітин транспортної таблиці заповнюють поставкою, дорівнює нулю. При необхідності допустимо записувати нульові постачання до кількох клітин.

4. План перевіряють оптимальність.

5. Якщо умови оптимальності не виконуються, переходять до наступного плану шляхом перерозподілу постачання. Обчислювальний процесповторюється до здобуття оптимального плану.

1. Який сенс цільової функції у математичній моделі транспортної задачі?

2. Який сенс обмежень у математичній моделі транспортного завдання?

3. Чи можна застосувати метод потенціалів для вирішення відкритого (незамкнутого) транспортного завдання?

4. Які зміни необхідно внести до вихідної транспортної таблиці, щоб завдання можна було вирішити методом потенціалів?

5.У чому суть методу мінімального елемента? Який етап розв'язання транспортного завдання буде виконано внаслідок застосування цього методу?

6. Як дізнатися, чи є план перевезень оптимальним?

7. У якому разі та яким чином необхідно виконати перерозподіл поставок у плані перевезень?

8. Допустимо побудований план перевезень є виродженим. Чи можна продовжити розв'язання задачі методом потенціалів і що для цього потрібно зробити?

Загальне завдання математичного програмування було сформульовано розділ 1.1. Залежно від типу функцій, що входять у модель (1.1)-(1.3), завдання належать до того чи іншого виду математичного програмування. Розрізняють лінійне програмування (всі функції лінійні), цілочислове (рішення представляють цілі числа), квадратичне (цільова функція є квадратичною формою), нелінійне (хоча б одна з функцій задачі нелінійна) і стохастичне програмування (включені параметри, що мають імовірнісний характер).

Клас завдань нелінійного програмування ширший за клас лінійних моделей. Наприклад, виробничі витрати здебільшого не пропорційні обсягу випуску, а залежать від нього нелінійно, прибуток від реалізації продуктів виробництва виявляється нелінійною функцією цін тощо. Критеріями завдання оптимального планування часто служать максимум прибутку, мінімум собівартості, мінімум капітальних витрат. В якості змінних величинвиступають обсяги випуску різних видівпродукції. До обмежень входять виробничі функції, що характеризують зв'язок між випуском продукції і на витрати трудових і матеріальних ресурсів, обсяг яких лімітований.

На відміну від лінійного програмування, у якому застосовується універсальний методрішення (симплекс-метод), на вирішення нелінійних завдань існує цілий спектр методів залежно від форми які входять у модель функций. З усього різноманіття методів нами буде розглянуто лише два: метод Лагранжа та метод динамічного програмування.

Зуть методу Лагранжа полягає у зведенні завдання на умовний екстремум до вирішення задачі безумовного екстремуму. Розглянемо модель нелінійного програмування:

(5.2)

де - Відомі функції,

а - Задані коефіцієнти.

Зазначимо, що у цій постановці завдання обмеження задані рівностями, відсутня умова невід'ємності змінних. Крім того, вважаємо, що функції безперервні зі своїми першими приватними похідними.

Перетворюємо умови (5.2) таким чином, щоб у лівих чи правих частинах рівностей стояв нуль:

(5.3)

Складемо функцію Лагранжа. До неї входить цільова функція (5.1) та праві частини обмежень (5.3), взяті відповідно до коефіцієнтів . Коефіцієнтів Лагранжа буде стільки, скільки обмежень у завданні.

Точки екстремуму функції (5.4) є точками екстремуму вихідної задачі та навпаки: оптимальний план задачі (5.1)-(5.2) є точкою глобального екстремуму функції Лагранжа.

Справді, хай знайдено рішення Завдання (5.1)-(5.2), тоді виконуються умови (5.3). Підставимо план у функцію (5.4) і переконаємось у справедливості рівності (5.5).

Таким чином, щоб знайти оптимальний план вихідного завдання, необхідно дослідити на екстремум функцію Лагранжа. Функція має екстремальні значення у точках, де її приватні похідні рівні нулю. Такі точки називаються стаціонарними.

Визначимо приватні похідні функції (5.4)

,

.

Після прирівнювання нулюпохідних отримаємо систему m+nрівнянь з m+nневідомими

, (5.6)

У випадку система (5.6)-(5.7) матимемо кілька рішень, куди увійдуть всі максимуми і мінімуми функції Лагранжа. Щоб виділити глобальний максимум чи мінімум, у всіх знайдених точках обчислюють значення цільової функції. Найбільше цих значень буде глобальним максимумом, а найменше – глобальним мінімумом. У деяких випадках виявляється можливим використання достатніх умов суворого екстремумубезперервних функцій (див. нижче завдання 5.2):

нехай функція безперервна і двічі диференційована в околиці своєї стаціонарної точки (тобто )). Тоді:

а) якщо ,(5.8)

то - точка суворого максимуму функції;

б)якщо ,(5.9)

то - точка строгого мінімуму функції;

г ) якщо ,

то питання про наявність екстремуму залишається відкритим.

Крім того, деякі рішення системи (5.6)-(5.7) можуть бути негативними. Що не узгоджується з економічним змістом змінних. І тут слід проаналізувати можливість заміни негативних значень нульовими.

Економічний сенсмножників Лагранжа.Оптимальне значення множника вказує на скільки зміниться значення критерію Zпри збільшенні чи зменшенні ресурсу jна одну одиницю, оскільки

Метод Лагранжа можна застосовувати й у тому випадку, коли обмеження є нерівністю. Так, знаходження екстремуму функції за умов

,

виконують у кілька етапів:

1. Визначають стаціонарні точки цільової функції, навіщо вирішують систему рівнянь

.

2. Зі стаціонарних точок відбирають ті, координати яких задовольняють умовам

3. Методом Лагранжа вирішують завдання з обмеженнями-рівностями (5.1)-(5.2).

4. Досліджують на глобальний максимум точки, знайдені на другому та третьому етапах: порівнюють значення цільової функції у цих точках – найбільше значення відповідає оптимальному плану.

Завдання 5.1Розв'яжемо методом Лагранжа задачу 1.3, розглянуту в першому розділі. Оптимальний розподіл водних ресурсів описується математичною моделлю

.

Складемо функцію Лагранжа

Знайдемо безумовний максимум цієї функції. Для цього обчислимо приватні похідні та прирівняємо їх до нуля

,

Таким чином, отримали систему лінійних рівняньвиду

Рішення системи рівнянь є оптимальним планом розподілу водних ресурсів по зрошуваних ділянках.

Величини вимірюються у сотнях тисяч кубічних метрів. - Величина чистого доходу на одну сотню тисяч кубічних метрів поливної води. Отже, гранична ціна 1 м 3 зрошувальної води дорівнює ден. од.

Максимальний додатковий чистий прибуток від зрошення складе

160 · 12,26 2 +7600 · 12,26-130 · 8,55 2 +5900 · 8,55-10 · 16,19 2 +4000 · 16,19 =

172391,02 (ден. од.)

Завдання 5.2Розв'язати задачу нелінійного програмування

Обмеження представимо у вигляді:

.

Складемо функцію Лагранжа та визначимо її приватні похідні

.

Щоб визначити стаціонарні точки функції Лагранжа, слід прирівняти її нулю похідні. В результаті отримаємо систему рівнянь

• Tutorial

Всім доброго дня. У цій статті хочу показати один з графічних методівпобудови математичних моделейдля динамічних систем, який називається Бонд граф(«bond» – зв'язки, «graph» – граф). У російській літературі, описи цього методу, я знайшов лише у Навчальному посібнику Томського політехнічного університету, А.В. Воронін «МОДЕЛЮВАННЯ МЕХАТРОННИХ СИСТЕМ» 2008 р. Також показати класичний метод через рівняння Лагранжа 2 роду.

Метод Лагранжа

Я не розписуватиму теорію, покажу етапи розрахунків і з невеликими коментарями. Особисто мені легше вчитися на прикладах, ніж 10 разів читати теорію. Як мені здалося, в російській літературі пояснення даного методу, та й взагалі математики чи фізики, дуже насичене складними формуламищо відповідно вимагає серйозного математичного бекграунду. Під час вивчення методу Лагранжа (навчаюся в Туринському політехнічному університеті, Італія), я вивчав російську літературу, щоб зіставити методики розрахунків, і мені було важко стежити за ходом вирішення даного методу. Навіть згадуючи курси з моделювання у «Харківському авіаційному інституті», виведення подібних методів було дуже громіздким, і ніхто не ускладнював себе у спробі розібратися в цьому питанні. Ось цьому я вирішив написати, методичку для побудови мат моделей по Лагранжу, як виявилося це зовсім не складно, достатньо знати як вважати похідні за часом і приватні похідні. Для моделей складніше ще додаються матриці повороту, але в них теж немає нічого складного.

Особливості методів моделювання:

• Ньютона-Ейлера: векторні рівняння, що базуються на динамічній рівновазі. сил (force)і моментів (moments)
• Лагранжа: скалярні рівняння, засновані на функціях стану пов'язаних з кінетичною та потенційною енергією (energies)
• Бонд-граф: метод заснований на перебігу потужності (power)між елементами системи

Почнемо з простого прикладу. Маса з пружиною та демпфером. Нехтуємо силою тяжіння.

Рис 1. Маса з пружиною та демпфером

Насамперед позначаємо:

• початкову системикоординат(НСК) або нерухому ск R0(i0,j0,k0). Де? Можна тицьнути пальцем у небо, але посмикавши кінчиками нейронів у мозку, проходить ідея поставити НСК на лінії руху тіла М1.
• системи координат для кожного тіла з масою(у нас М1 R1(i1,j1,k1)), орієнтація може бути довільною, але навіщо ускладнювати собі життя, ставимо з мінімальною відмінністю від НСК
• узагальнені координати q_i(Мінімальна кількість змінні якими можна описати рух), в даному прикладіодна узагальнена координата, рух тільки вздовж осі j

Рис 2. Проставляємо системи координат та узагальнені координати

Рис 3. Позиція та швидкість тіла М1

Після знайдемо кінетичну (С) та потенційну (Р) енергії та дисипативну функцію (D) для демпфера за формулами:

Рис 4. Повна формулакінетичної енергії

У прикладі обертання немає, друга складова дорівнює 0.

Рис 5. Розрахунок кінетичної, потенційної енергії та дисипативної функції

Рівняння Лагранжа має такий вигляд:

Рис 6. Рівняння Лагранжа та Лагранжіан

Дельта W_iце віртуальна роботадосконала прикладеними силами та моментами. Знайдемо її:

Рис 7. Розрахунок віртуальної роботи

Де дельта q_1віртуальне переміщення.

Підставляємо все в рівняння Лагранжа:

Рис 8. Отримана модель маси з пружинною та демпфером

На цьому метод Лагранжа закінчився. Як видно не так складно, але це все ж таки дуже простий приклад, для якого швидше за все метод Ньютона-Ейлера навіть був би простіше. Для більш складних систем, де буде кілька тіл, повернені один щодо одного на різні кут, метод Лагранжа буде легшим.

Метод Bond graph

Відразу покажу так виглядає модель у bond-graph для прикладу з масою пружиною та демпфером:

Рис 9. Bond-graph маси з пружинною та демпфером

Тут доведеться розповісти трохи теорії, якої вистачить для побудови простих моделей. Якщо хтось зацікавлений можете почитати книгу ( Bond Graph Methodology) або ( Воронін А.В. Моделювання мехатронних систем: навчальний посібник. - Томськ: Вид-во Томського політехнічного університету, 2008).

Визначимо для початку, що складні системискладаються з кількох доменів. Наприклад електродвигун складається з електричної та механічної частин або доменів.

Бонд графґрунтується на обміні потужності між цими доменами, підсистемами. Зауважимо, що обмін потужністю будь-якої форми завжди визначається двома змінними ( змінні потужності) за допомогою яких ми можемо вивчати взаємодію різних підсистем у складі динамічної системи (див. таблицю).

Як видно з таблиці, вираз потужності скрізь практично однаковий. В узагальненні, Потужність- це твір « потоку - f» на « зусилля - e».

Зусилля(англ. effort) в електричному домені це напруга (e), в механічному - сила (F) або момент (T), у гідравліці – тиск (p).

Потік(англ. flow) в електричному домені це струм (i), в механічному - швидкість (v) або кутова швидкість (omega), у гідравліці - потік або витрата рідини (Q).

Приймаючи дані позначення, отримуємо вираз для потужності:

Рис 10. Формула потужності через потужнісні змінні

У мові bond-graph з'єднання між двома підсистемами, які обмінюються потужністю, представлено зв'язком (англ. bond). Тому і називається даний метод bond-graphабо г раф-зв'язків, зв'язковий граф. Розглянемо блок-діаграмузв'язків у моделі з електродвигуном (це ще не bond-graph):

Рис 11. Блок-діарама потоку потужності між доменами

Якщо у нас джерело напруги, то відповідно він генерує напругу і віддає його двигуну на відмотки (з цього стрілка направлена ​​у бік двигуна), залежно від опору обмотки з'являється струм за законом Ома (направлений від двигуна джерела). Відповідно одна змінна є входом у підсистему, а друга необхідна має бути виходоміз підсистеми. Тут напруга ( effort) – вхід, струм ( flow) - Вихід.

Якщо використовувати джерело струму, як зміниться діаграма? Правильно. Струм буде спрямований до двигуна, а напруга до джерела. Тоді струм ( flow) – вхід, напруга ( effort) - Вихід.

Розглянемо приклад у механіці. Сила, що діє масу.

Рис 12. Сила додана до маси

Блок-Діаграма буде наступним:

Рис 13. Блок-діаграма

У цьому прикладі, Сила ( effort) - вхідна змінна для маси. (Сила додана до маси)
За другим законом Ньютона:

Маса відповідає швидкістю:

У цьому прикладі якщо одна змінна ( сила - effort) є входомв механічний домен, то інша потужна змінна ( швидкість - flow) – автоматично стає виходом.

Що б розрізняти де вхід, а де вихід використовується вертикальна лініяна кінці стрілки (зв'язку) між елементами, цю лінію називають знак причинності або причинний зв'язок (causality). Виходить: прикладена сила – причина, а швидкість – слідство. Цей знак дуже важливий для правильної побудови моделі системи, оскільки причинність - це наслідок фізичної поведінки та обміну потужностями двох підсистем, тому вибір розташування знака причинності не може бути довільним.

Рис 14. Позначення причинного зв'язку

Ця вертикальна лінія показує, яка підсистема отримує зусилля ( effort) і як наслідок виробляти потік ( flow). У прикладі з масою буде так:

Рис 14. Причинний зв'язок для сили, що діє на масу

За стрілкою зрозуміло, що на вхід для маси - сила, а вихід - швидкість. Це робиться, щоб не захаращувати стрілками схему і систематизації побудови моделі.

Наступний важливий момент. Узагальнений імпульс(кількість руху) та переміщення(енергетичні змінні).

Таблиця потужних та енергетичних змінних у різних доменах

Таблиця вище вводить дві додаткові фізичні величини, що використовуються в методі bond-graph. Вони називаються узагальнений імпульс (р) та узагальнене переміщення (q) або енергетичні змінні, і отримати їх можна інтегруванням потужних змінних за часом:

Рис 15. Зв'язок між потужнісними та енергетичними змінними

В електричному домені :

Виходячи із закону Фарадея, напругана кінцях провідника дорівнює похідній від магнітного потоку через цей провідник.

А Сила струму - фізична величина, Рівна відношенню кількості заряду Q, що пройшов за деякий час t через поперечний переріз провідника, до величини цього проміжку часу.

Механічний домен:

З 2 закону Ньютона, Сила- Похідна за часом від імпульсу

І відповідно, швидкість- похідна за часом від переміщення:

Узагальним:

Базові елементи

Всі елементи в динамічних системах можна розділити на двополюсні та чотириполюсні компоненти.
Розглянемо двополюсні компоненти:

Джерела
Джерела бувають як зусилля, і потоку. Аналогія в електричному домені: джерело зусилля – джерело напруги, джерело потоку – джерело струму. Причинні знаки для джерел мають бути лише такі.

Рис 16. Причинні зв'язки та позначення джерел

Компонент R – дисипативний елемент

Компонент І - Інерційний елемент

Компонент C – ємнісний елемент

Як видно з малюнків, різні елементиодного типу R, C, Iописуватись однаковими рівняннями. ТІЛЬКИ є відмінність для електричної ємності, це потрібно просто запам'ятати!

Чотириполюсники компоненти:

Розглянемо два компоненти трансформатор та гіратор.

Останніми важливими компонентамиу методі bond-graph виступають сполуки. Існує два типи вузлів:

На цьому із компонентами закінчили.

Основні етапи для проставлення причинних зв'язків після побудови bond-graph:

1. Проставити причинні зв'язки всім джерел
2. Пройтись по всіх вузлах та проставити причинні зв'язки після пункту 1
3. Для компонентів Iприсвоїти вхідний причинний зв'язок (зусилля входить у цей компонент), для компонентів Спривласнюємо вихідний причинний зв'язок (зусилля виходить із цього компонента)
4. Повторити пункт 2
5. Проставити причинні зв'язки для компонентів R

На цьому міні-курс з теорії закінчимо. Тепер ми маємо все необхідне для побудови моделей.
Давайте вирішимо кілька прикладів. Почнемо з електричний ланцюгкраще зрозуміти аналогію побудови bond-graph.

Приклад 1

Почнемо побудову bond-graph із джерела напруги. Просто пишемо Se та ставимо стрілку.

Бачите просто! Дивимося далі, R і L з'єднані послідовно, значить в них тече однаковий струм, якщо говорити в потужних змінних - однаковий потік. Який вузол має однаковий потік? Правильна відповідь 1-вузол. Приєднуємо до 1-вузла джерело, опір (компонент – R) та індуктивність (компонент – I).

Далі у нас ємність та опір у паралелі, значить вони мають однакову напругу чи зусилля. 0-вузол підійде як ніхто інший. З'єднуємо ємність (компонент С) та опір (компонент R) до 0-вузла.

Вузли 1 та 0 теж з'єднуємо між собою. Напрямок стрілок вибирається довільний, напрямок зв'язку впливає лише на знак рівняннях.

Вийде наступний граф зв'язків:

Тепер слід проставити причинні зв'язки. Дотримуючись вказівок щодо послідовності їх проставлення, почнемо з джерела.

1. Ми маємо джерело напруги (зусилля), таке джерело має лише один варіант причинності – вихідну. Ставимо.
2. Далі є компонент I, дивимося, що рекомендують. Ставимо
3. Проставляємо для 1-вузла. Є
4. 0-вузол повинен мати один вхід і всі вихідні причинні зв'язки. У нас є поки що одна вихідна. Шукаємо компоненти З чи I. Знайшли. Ставимо
5. Проставляємо що залишилося

От і все. Bond-graph побудовано. УРА товариші!

Залишилося справа за малим, написати рівняння, що описують нашу систему. Для цього складемо таблицю із 3 стовпцями. У першому будуть всі компоненти системи, у другому вхідна змінна кожного елемента, а третьому – вихідна змінна, такого самого компонента. Вхід і вихід ми вже визначили причинними зв'язками. Тож проблем виникнути не повинно.

Пронумеруємо кожен зв'язок для зручності запису рівнів. Рівняння кожного елемента беремо з переліку компонентів C,R,I.

Склавши таблицю визначимо змінні стани, їх у цьому прикладі 2, p3 і q5. Далі потрібно записати рівняння стану:

Ось і вся модель готова.

Приклад 2. Відразу хочу вибачитись за якість фото, головне що можна прочитати

Вирішимо ще один приклад для механічної системи, той же, що ми вирішували методом Лагранжа. Я покажу рішення без коментарів. Перевіримо який із даних методів простіше, легше.

У матболі були складені обидві мат моделі з однаковими параметрами, отримані методом Лагранжа та bond-graph. Результат нижче: Додати теги

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку:
(1) .
Існує три способи розв'язання цього рівняння:

• метод постійної варіації (Лагранжа).

Розглянемо рішення лінійного диференціального рівняння першого ладу методом Лагранжа.

Метод варіації постійної (Лагранжа)

У методі постійної варіації ми вирішуємо рівняння в два етапи. На першому етапі ми спрощуємо вихідне рівняння та вирішуємо однорідне рівняння. З другого краю етапі замінимо постійну інтегрування, отриману першої стадії рішення, на функцію. Після чого шукаємо загальне рішеннявихідного рівняння.

Розглянемо рівняння:
(1)

Крок 1 Розв'язання однорідного рівняння

Шукаємо рішення однорідного рівняння:

Це рівняння з змінними, що розділяються

Розділяємо змінні - множимо на dx, ділимо на y:

Інтегруємо:

Інтеграл по y-табличний:

Тоді

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та приберемо знак модуля, що зводиться до множення на постійну ±1, яку включимо в C:

Крок 2 Замінимо постійну C на функцію

Тепер замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)
Тобто, шукатимемо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(2)
Знаходимо похідну.

За правилом диференціювання складної функції:
.
За правилом диференціювання твору:

.
Підставляємо у вихідне рівняння (1) :
(1) ;

.
Два члени скорочуються:
;
.
Інтегруємо:
.
Підставляємо в (2) :
.
В результаті одержуємо загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку:
.

Приклад розв'язання лінійного диференціального рівняння першого порядку методом Лагранжа

Вирішити рівняння

Рішення

Вирішуємо однорідне рівняння:

Розділяємо змінні:

Помножимо на:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні:

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та прибираємо знаки модуля:

Звідси:

Замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)

Знаходимо похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння:
;
;
Або:
;
.
Інтегруємо:
;
Вирішення рівняння:
.

Спочатку розглянемо випадок функції двох змінних. Умовним екстремумом функції $z=f(x,y)$ у точці $M_0(x_0;y_0)$ називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні $x$ і $y$ в околиці цієї точки задовольняють рівняння зв'язку $\ varphi (x, y) = 0 $.

Назва «умовний» екстремум пов'язана з тим, що на змінні накладено додаткова умова$ \ Varphi (x, y) = 0 $. Якщо з рівняння зв'язку можна виразити одну змінну через іншу, то завдання визначення умовного екстремуму зводиться до завдання на звичайний екстремум функції однієї змінної. Наприклад, якщо з рівняння зв'язку випливає $y=\psi(x)$, то підставивши $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$, отримаємо функцію однієї змінної $z=f\left (x, \ psi (x) \ right) $. У загальному випадку, однак, такий метод є малопридатним, тому потрібно введення нового алгоритму.

Метод множників Лагранжа для функцій двох змінних.

Метод множників Лагранжа полягає в тому, що для відшукання умовного екстремуму складають функцію Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$ (параметр $lambda$ називають множником Лагранжа ). Необхідні умовиекстремуму задаються системою рівнянь, з якої визначаються стаціонарні точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.

Достатньою умовою, з якої можна з'ясувати характер екстремуму, є знак $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Якщо стаціонарної точці $d^2F > 0$, то функція $z=f(x,y)$ має у цій точці умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, то условный максимум.

Є й інший спосіб визначення характеру екстремуму. З рівняння зв'язку отримуємо: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_ (y)^("))dx$, тому в будь-якій стаціонарній точці маємо:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Другий помножувач (розташований у дужці) можна представити у такій формі:

Червоним кольором виділено елементи визначника $ \ left | \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, який є гесіаном функції Лагранжа. Якщо $H > 0$, то $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, тобто. маємо умовний мінімум функції $ z = f (x, y) $.

Примітка щодо форми запису визначника $H$. показати\сховати

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

У цій ситуації сформульоване вище правило зміниться так: якщо $H > 0$, то функція має умовний мінімум, а при $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритм дослідження функції двох змінних на умовний екстремум

1. Скласти функцію Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$
2. Вирішити систему $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$
3. Визначити характер екстремуму у кожній із знайдених у попередньому пункті стаціонарних точок. Для цього застосувати будь-який із зазначених способів:
   • Скласти визначник $H$ та з'ясувати його знак
   • З урахуванням рівняння зв'язку обчислити знак $d^2F$

Метод множників Лагранжа для функцій n змінних

Допустимо, ми маємо функцію $n$ змінних $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ і $m$ рівнянь зв'язку ($n > m$):

$ $ \ Varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Позначивши множники Лагранжа як $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, складемо функцію Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необхідні умови умовного екстремуму задаються системою рівнянь, з якої знаходяться координати стаціонарних точок і значення множників Лагранжа:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

З'ясувати, умовний мінімум чи умовний максимум має функція в знайденій точці, можна, як і раніше, за допомогою символу $d^2F$. Якщо знайденою точці $d^2F > 0$, то функція має умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Визначник матриці $ \ left | \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, виділеної в матриці $L$ червоним, є гессиан функції Лагранжа. Використовуємо таке правило:

• Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матриці $L$ збігаються зі знаком $(-1)^m$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного мінімуму функції $z=f(x_1,x_2 , x_3, \ ldots, x_n) $.
• Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ чергуються, причому знак мінору $H_(2m+1)$ збігається зі знаком числа $(-1)^(m+1)$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного максимуму функції $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.

Приклад №1

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=x+3y$ за умови $x^2+y^2=10$.

Геометрична інтерпретація цього завдання така: потрібно знайти найбільше і найменше значенняаплікати площини $z=x+3y$ для точок її перетину з циліндром $x^2+y^2=10$.

Виразити одну змінну через іншу з рівняння зв'язку і підставити її у функцію $z(x,y)=x+3y$ дещо важко, тому будемо використовувати метод Лагранжа.

Позначивши $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, складемо функцію Лагранжа:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Запишемо систему рівнянь визначення стаціонарних точок функції Лагранжа:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligned) \right.

Якщо припустити $\lambda=0$, перше рівняння стане таким: $1=0$. Отримане протиріччя свідчить, що $lambdaneq 0$. За умови $\lambda\neq 0$ з першого та другого рівнянь маємо: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda)$. Підставляючи отримані значення третє рівняння, отримаємо:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Отже, система має два рішення: $ x_1 = 1; \; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ і $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці: $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$. І тому обчислимо визначник $H$ у кожному з точок.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda. \ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

У точці $ M_1 (1; 3) $ отримаємо: $ H = 8 \ cdot \ left | \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, тому в точці $M_1(1;3)$ функція $z(x,y)=x+3y$ має умовний максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Аналогічно, у точці $M_2(-1;-3)$ знайдемо: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Оскільки $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Зазначу, що замість обчислення значення визначника $H$ у кожній точці набагато зручніше розкрити його в загальному вигляді. Щоб не захаращувати текст подробицями, цей спосіб приховую під примітку.

Запис визначника $H$ у загальному вигляді. показати\сховати

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\x&\lambda&0\y&0&lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

У принципі, очевидно, який знак має $H$. Оскільки жодна з точок $M_1$ або $M_2$ не збігається з початком координат, $y^2+x^2>0$. Отже, знак $H$ протилежний символу $\lambda$. Можна і довести обчислення до кінця:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$

Питання характер екстремуму в стаціонарних точках $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$ можна вирішити без використання визначника $H$. Знайдемо знак $d^2F$ у кожній стаціонарній точці:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Зазначу, що запис $dx^2$ означає саме $dx$, зведений на другий ступінь, тобто. $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Звідси маємо: $dx^2+dy^2>0$, тому при $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ отримаємо $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Відповідь: у точці $(-1;-3)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=-10$. У точці $(1;3)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=10$

Приклад №2

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ за умови $x+y=0$.

Перший спосіб (метод множників Лагранжа)

Позначивши $\varphi(x,y)=x+y$ складемо функцію Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y) = 9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0

Вирішивши систему, отримаємо: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ і $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9)$ , $ \ lambda_2 = -10 $. Маємо дві стаціонарні точки: $M_1(0;0)$ і $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці з використанням визначника $H$.

$ $ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

У точці $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, тому у цій точці функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Досліджуємо характер екстремуму в кожній з точок іншим способом, ґрунтуючись на знаку $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy^2 $$

З рівняння зв'язку $x+y=0$ маємо: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Оскільки $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ є точкою умовного мінімуму функції $z(x,y)=3y^3+4x^ 2-xy$. Аналогічно $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Другий спосіб

З рівняння зв'язку $x+y=0$ отримаємо $y=-x$. Підставивши $y=-x$ у функцію $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, отримаємо деяку функцію змінної $x$. Позначимо цю функцію як $u(x)$:

$$u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Таким чином, задачу про знаходження умовного екстремуму функції двох змінних ми звели до завдання визначення екстремуму функції однієї змінної.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\ -9x^2+10x=0; \;x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ ;y_1=-x_1=0;\x_2=\frac(10)(9);

Отримали точки $M_1(0;0)$ і $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Подальше дослідження відоме з курсу диференціального обчисленняфункцій однією зміною. Досліджуючи знак $u_(xx)^("")$ у кожній стаціонарній точці або перевіряючи зміну знака $u_(x)^(")$ у знайдених точках, отримаємо ті самі висновки, що і при вирішенні першим способом. Наприклад, перевіримо знак $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Оскільки $u_(xx)^("")(M_1)>0$, то $M_1$ - точка мінімуму функції $u(x)$, у своїй $u_(\min)=u(0)=0$ . Оскільки $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Значення функції $u(x)$ за заданої умови зв'язку збігаються зі значеннями функції $z(x,y)$, тобто. знайдені екстремуми функції $u(x)$ і є умовні екстремуми функції $z(x,y)$, що шукаються.

Відповідь: у точці $(0;0)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=0$. У точці $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Розглянемо ще один приклад, у якому характер екстремуму з'ясуємо у вигляді визначення знака $d^2F$.

Приклад №3

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=5xy-4$, якщо змінні $x$ і $y$ позитивні та задовольняють рівняння зв'язку $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2) -1 = 0 $.

Складемо функцію Лагранжа: $ F = 5xy-4 + lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\x > 0; \y; 0. \end(aligned)

Усі подальші перетворення здійснюються з урахуванням $x>0; \; y > 0$ (це обумовлено за умови завдання). З другого рівняння виразимо $\lambda=-\frac(5x)(y)$ і підставимо знайдене значення в перше рівняння: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Підставляючи $x=2y$ у третє рівняння, отримаємо: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.

Оскільки $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер екстремуму у точці $(2;1)$ визначимо, з знаку $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Оскільки $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, то:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

В принципі, тут можна відразу підставити координати стаціонарної точки $x=2$, $y=1$ та параметра $\lambda=-10$, отримавши при цьому:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Однак в інших завданнях на умовний екстремум стаціонарних точок може бути декілька. У таких випадках краще $d^2F$ уявити в загальному вигляді, а потім підставляти в отриманий вираз координати кожної зі знайдених стаціонарних точок:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\=\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Підставляючи $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, отримаємо:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Оскільки $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Відповідь: у точці $(2;1)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=6$.

У наступній частині розглянемо застосування методу Лагранжа для функцій більшої кількостізмінних.