Даний методичний посібник допоможе Вам навчитися виконувати дії з матрицями: додавання (віднімання) матриць, транспонування матриці, множення матриць, знаходження зворотної матриці. Весь матеріал викладений у простій та доступній формі, наведено відповідні приклади, таким чином, навіть непідготовлена ​​людина зможе навчитися виконувати дії з матрицями. Для самоконтролю та самоперевірки Ви можете безкоштовно завантажити матричний калькулятор >>>.

Я намагатимуся мінімізувати теоретичні викладки, подекуди можливі пояснення «на пальцях» та використання ненаукових термінів. Любителі ґрунтовної теорії, будь ласка, не займайтеся критикою, наше завдання – навчитися виконувати дії з матрицями.

Для надшвидкої підготовки за темою (у кого «горить») є інтенсивний pdf-курс Матриця, визначник та залік!

Матриця – це прямокутна таблиця будь-яких елементів. В якості елементівми розглядатимемо числа, тобто числові матриці. ЕЛЕМЕНТ- Це термін. Термін бажано запам'ятати, він часто зустрічатиметься, не випадково я використав для його виділення жирний шрифт.

Позначення:матриці зазвичай позначають великими латинськими літерами

Приклад:розглянемо матрицю «два на три»:

Дана матриця складається з шести елементів:

Всі числа (елементи) всередині матриці існують самі по собі, тобто ні про яке віднімання не йдеться:

Це просто таблиця (набір) чисел!

Також домовимося не переставлятичисла, якщо іншого не сказано у поясненнях. У кожного числа своє місце розташування, і перетасовувати їх не можна!

Розглянута матриця має два рядки:

і три стовпці:

СТАНДАРТ: коли говорять про розміри матриці, то спочаткувказують кількість рядків, а потім – кількість стовпців. Ми тільки-но розібрали по кісточках матрицю «два на три».

Якщо кількість рядків та стовпців матриці збігається, то матрицю називають квадратний, наприклад: - матриця "три на три".

Якщо в матриці один стовпець або один рядок, такі матриці також називають векторами.

Насправді поняття матриці ми знаємо ще зі школи, розглянемо, наприклад, точку з координатами «ікс» і «ігрок»: . Фактично, координати точки записані в матрицю «один на два». До речі, ось Вам і приклад, чому порядок чисел має значення: і – це дві різні точки площини.

Тепер переходимо безпосередньо до вивчення дій із матрицями:

1) Дія перша. Винесення мінуса з матриці (внесення мінуса до матриці).

Повернемося до нашої матриці . Як ви напевно помітили, у цій матриці занадто багато негативних чисел. Це дуже незручно з погляду виконання різних дій з матрицею, незручно писати стільки мінусів, та й просто в оформленні виглядає некрасиво.

Винесемо мінус за межі матриці, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

У нуля, як Ви знаєте, знак не змінюється, нуль – він і в Африці нуль.

Зворотній приклад: . Виглядає потворно.

Внесемо мінус у матрицю, змінивши у КОЖНОГО елемента матриці знак:

Ну ось, набагато симпатичніше вийшло. І, найголовніше, виконувати будь-які дії з матрицею буде ПРОЩЕ. Тому що є така математична народна прикмета: чим більше мінусів – тим більше плутанини та помилок.

2) Дія друга. Розмноження матриці на число.

Приклад:

Все просто, щоб помножити матрицю на число, потрібно коженелемент матриці помножити на це число. У цьому випадку – на трійку.

Ще один корисний приклад:

– множення матриці на дріб

Спочатку розглянемо те, що робити НЕ ТРЕБА:

Вносити дріб у матрицю НЕ ТРЕБА, по-перше, це тільки ускладнює подальші дії з матрицею, по-друге, ускладнює перевірку рішення викладачем (особливо, якщо - Остаточна відповідь завдання).

Тим паче, НЕ ТРЕБАділити кожен елемент матриці на мінус сім:

Зі статті Математика для чайників або з чого початиМи пам'ятаємо, що десяткових дробів з комою у вищій математиці намагаються всіляко уникати.

Єдине що бажанозробити в цьому прикладі – це внести мінус у матрицю:

А от якби ВСІелементи матриці ділилися на 7 без залишку, Тоді можна (і треба!) було б поділити.

Приклад:

В цьому випадку можна і ПОТРІБНОпомножити всі елементи матриці на , тому що всі числа матриці поділяються на 2 без залишку.

Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «поділ» немає. Замість фрази "це поділити на це" завжди можна сказати "це помножити на дріб". Тобто поділ – це окремий випадок множення.

3) Дія третя. Транспонування матриці.

Щоб транспонувати матрицю, потрібно її рядки записати в стовпці транспонованої матриці.

Приклад:

Транспонувати матрицю

Рядок тут лише один і, згідно з правилом, його потрібно записати в стовпець:

– транспонована матриця.

Транспонована матриця зазвичай позначається надрядковим індексом або штрих праворуч угорі.

Покроковий приклад:

Транспонувати матрицю

Спочатку переписуємо перший рядок у перший стовпець:

Потім переписуємо другий рядок у другий стовпець:

І, нарешті, переписуємо третій рядок у третій стовпець:

Готово. Грубо кажучи, транспонувати це означає повернути матрицю набік.

4) Дія четверта. Сума (різниця) матриць.

Сума матриць дія нескладна.
НЕ ВСІ МАТРИЦІ МОЖНА СКЛАДАТИ. Для виконання складання (віднімання) матриць, необхідно, щоб вони були ОДНАКОВИМИ ЗА РОЗМІРОМ.

Наприклад, якщо дана матриця «два на два», то її можна складати тільки з матрицею «два на два» і жодною іншою!

Приклад:

Скласти матриці і

Для того, щоб скласти матриці, необхідно скласти їх відповідні елементи:

Для різниці матриць правило аналогічне, необхідно знайти різницю відповідних елементів.

Приклад:

Знайти різницю матриць ,

А як вирішити цей приклад простіше, щоб не заплутатися? Доцільно позбутися зайвих мінусів, для цього внесемо мінус у матрицю:

Примітка: теоретично вищої математики шкільного поняття «віднімання» немає. Замість фрази "від цього відняти це" завжди можна сказати "до цього додати негативне число". Тобто віднімання – це окремий випадок складання.

5) Дія п'ята. Розмноження матриць.

Які матриці можна множити?

Щоб матрицю можна було помножити на матрицю потрібно, щоб число стовпців матриці дорівнювало числу рядків матриці.

Приклад:
Чи можна помножити матрицю на матрицю?

Отже, множити дані матриці можна.

А от якщо матриці переставити місцями, то в даному випадку множення вже неможливо!

Отже, виконати множення неможливо:

Не так вже й рідко зустрічаються завдання з каверзою, коли студенту пропонується помножити матриці, множення яких свідомо неможливе.

Слід зазначити, що у ряді випадків можна множити матриці і так, і так.
Наприклад, для матриць, і можливо як множення, так і множення

У цій темі будуть розглянуті такі операції, як додавання та віднімання матриць, множення матриці на число, множення матриці на матрицю, транспонування матриці. Усі позначення, що використовуються на цій сторінці, взяті з попередньої теми .

Складання та віднімання матриць.

Сумою $A+B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n) =(c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n) $.

Аналогічне визначення вводять і для різниці матриць:

Різницею $A-B$ матриць $A_(m\times n)=(a_(ij))$ і $B_(m\times n)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times n)=( c_(ij))$, де $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Пояснення до запису $i=\overline(1,m)$: показати\приховати

Запис "$i=\overline(1,m)$" означає, що параметр $i$ змінюється від 1 до m. Наприклад, запис $i=\overline(1,5)$ говорить про те, що параметр $i$ приймає значення 1, 2, 3, 4, 5.

Варто звернути увагу, що операції додавання та віднімання визначені тільки для матриць однакового розміру. Взагалі, додавання і віднімання матриць - операції, ясні інтуїтивно, бо означають вони, по суті, лише підсумовування або віднімання відповідних елементів.

Приклад №1

Задано три матриці:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Чи можна знайти матрицю $A+F$? Знайти матриці $C$ і $D$, якщо $C=A+B$ і $D=A-B$.

Матриця $A$ містить 2 рядки та 3 стовпці (іншими словами - розмір матриці $A$ дорівнює $2\times 3$), а матриця $F$ містить 2 рядки та 2 стовпці. Розміри матриці $A$ і $F$ не збігаються, тому скласти їх ми можемо, тобто. операцію $A+F$ для даних матриць не визначено.

Розміри матриць $A$ і $B$ збігаються, тобто. дані матриці містять рівну кількість рядків і стовпців, тому до них застосовується операція додавання.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Знайдемо матрицю $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Множення матриці на число.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на число $\alpha$ називається матриця $B_(m\times n)=(b_(ij))$, де $b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ для всіх $i=\overline(1,m)$ і $j=\overline(1,n)$.

Простіше кажучи, помножити матрицю на деяке число - означає помножити кожен елемент заданої матриці на це число.

Приклад №2

Задано матрицю: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Знайти матриці $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ і $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Запис $-A$ є скороченим записом для $-1\cdot A$. Тобто, щоб знайти $-A$ потрібно всі елементи матриці $A$ помножити на (-1). По суті це означає, що знак всіх елементів матриці $A$ зміниться на протилежний:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Відповідь: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Добуток двох матриць.

Визначення цієї операції є громіздким і, на перший погляд, незрозумілим. Тому спочатку вкажу загальне визначення, а потім докладно розберемо, що воно означає і як із ним працювати.

Добутком матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ на матрицю $B_(n\times k)=(b_(ij))$ називається матриця $C_(m\times k)=(c_( ij))$, для якої кожен елемент $c_(ij)$ дорівнює сумі творів відповідних елементів i-го рядка матриці $A$ на елементи j-го стовпця матриці $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Покроково множення матриць розберемо з прикладу. Однак відразу варто звернути увагу, що перемножувати можна не всі матриці. Якщо ми хочемо помножити матрицю $A$ на матрицю $B$, то спочатку потрібно переконатися, що кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$ (такі матриці часто називають узгодженими). Наприклад, матрицю $A_(5\times 4)$ (матриця містить 5 рядків і 4 стовпці), не можна множити на матрицю $F_(9\times 8)$ (9 рядків і 8 стовпців), оскільки кількість стовпців матриці $A $ не дорівнює кількості рядків матриці $ F $, тобто. $4\neq 9$. А ось помножити матрицю $A_(5\times 4)$ на матрицю $B_(4\times 9)$ можна, оскільки кількість стовпців матриці $A$ дорівнює кількості рядків матриці $B$. При цьому результатом множення матриць $A_(5\times 4)$ і $B_(4\times 9)$ буде матриця $C_(5\times 9)$, що містить 5 рядків і 9 стовпців:

Приклад №3

Задано матриці: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ і $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Знайти матрицю $ C = A \ cdot B $.

Спочатку визначимо розмір матриці $C$. Оскільки матриця $A$ має розмір $3\times 4$, а матриця $B$ має розмір $4\times 2$, то розмір матриці $C$ такий: $3\times 2$:

Отже, в результаті добутку матриць $A$ і $B$ ми повинні отримати матрицю $C$, що складається з трьох рядків та двох стовпців: $ C = \ left ( \ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Якщо позначення елементів викликають питання, можна глянути попередню тему: " Матриці. Види матриць. Основні терміни " , на початку якої пояснюється позначення елементів матриці. Наша мета – знайти значення всіх елементів матриці $C$.

Почнемо з елемента $c_(11)$. Щоб отримати елемент $c_(11)$ потрібно знайти суму творів елементів першого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

Щоб знайти елемент $c_(11)$ потрібно перемножити елементи першого рядка матриці $A$ на відповідні елементи першого стовпця матриці $B$, тобто. перший елемент перший, другий другий, третій третій, четвертий четвертий. Отримані результати підсумовуємо:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продовжимо рішення та знайдемо $c_(12)$. Для цього доведеться перемножити елементи першого рядка матриці $A$ і другого шпальти матриці $B$:

Аналогічно попередньому, маємо:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Усі елементи першого рядка матриці $C$ знайдено. Переходимо до другого рядка, який починає елемент $c_(21)$. Щоб його знайти, доведеться перемножити елементи другого рядка матриці $A$ і першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Наступний елемент $c_(22)$ знаходимо, перемножуючи елементи другого рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Щоб знайти $c_(31)$ перемножимо елементи третього рядка матриці $A$ на елементи першого стовпця матриці $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

І, нарешті, знаходження елемента $c_(32)$ доведеться перемножити елементи третього рядка матриці $A$ на відповідні елементи другого стовпця матриці $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Всі елементи матриці $C$ знайдені, залишилося лише записати, що $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$ . Або, якщо вже писати повністю:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Відповідь: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

До речі, часто немає сенсу докладно розписувати знаходження кожного елемента матриці-результату. Для матриць, розмір яких невеликий, можна надходити і так:

Варто звернути увагу, що множення матриць некоммутативно. Це означає, що в загальному випадку $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лише для деяких типів матриць, які називають перестановочними(або комутуючими), вірна рівність $A cdot B = B cdot A $. Саме з некоммутативности множення, потрібно вказувати як ми домножуємо вираз ту чи іншу матрицю: справа чи зліва. Наприклад, фраза "домножимо обидві частини рівності $3E-F=Y$ на матрицю $A$ праворуч" означає, що потрібно отримати таку рівність: $(3E-F)\dot A=Y\cdot A$.

Транспонованою по відношенню до матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ називається матриця $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, для елементів якої $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Простіше кажучи, для того, щоб отримати транспоновану матрицю $A^T$, потрібно у вихідній матриці $A$ замінити стовпці відповідними рядками за таким принципом: був перший рядок - стане перший стовпець; був другий рядок - стане другий стовпець; був третій рядок - стане третій стовпець і таке інше. Наприклад, знайдемо транспоновану матрицю до матриці $A_(3\times 5)$:

Відповідно, якщо вихідна матриця мала розмір $3\times 5$, транспонована матриця має розмір $5\times 3$.

Деякі характеристики операцій над матрицями.

Тут передбачається, що $ alpha $, $ beta $ - деякі числа, а $ A $, $ B $, $ C $ - матриці. Для перших чотирьох властивостей я вказав назви, решту можна назвати за аналогією з першими чотирма.

1. $A+B=B+A$ (комутативність додавання)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (асоціативність додавання)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (дистрибутивність множення на матрицю щодо складання чисел)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (дистрибутивність множення на число щодо складання матриць)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\dot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, де $E$ - одинична матриця відповідного порядку.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, де $O$ - нульова матриця відповідного розміру.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

У наступній частині буде розглянуто операцію зведення матриці в цілий невід'ємний ступінь, а також вирішено приклади, в яких потрібно виконання декількох операцій над матрицями.

Отже, у попередньому уроці ми розібрали правила складання та віднімання матриць. Це настільки прості операції, що більшість студентів розуміють їх буквально відразу.

Однак ви рано радієте. Халява закінчилася - переходимо до множення. Відразу попереджу: помножити дві матриці - це зовсім не перемножити числа, що стоять у клітинах з однаковими координатами, як би ви могли подумати. Тут все набагато веселіше. І почати доведеться з попередніх визначень.

Узгоджені матриці

Одна з найважливіших показників матриці - це її розмір. Ми вже сто разів говорили про це: запис $A = \ left [m \ times n \ right] $ означає, що в матриці рівно $ m $ рядків і $ n $ стовпців. Як не плутати рядки зі стовпцями, ми також вже обговорювали. Зараз важливе інше.

Визначення. Матриці виду $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$, у яких кількість стовпців у першій матриці збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.

Ще раз: кількість стовпців у першій матриці дорівнює кількості рядків у другій! Звідси отримуємо одразу два висновки:

1. Нам важливий порядок матриць. Наприклад, матриці $A=\left[ 3\times 2 \right]$ і $B=\left[ 2\times 5 \right]$ є узгодженими (2 стовпці в першій матриці і 2 рядки в другій), а ось навпаки - матриці $ B = \ left [2 \ times 5 \ right] $ і $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ - вже не узгоджені (5 стовпців в першій матриці - це як би не 3 рядки в другій ).
2. Узгодженість легко перевірити, якщо виписати всі розміри один за одним. На прикладі попереднього пункту: «3 2 2 5» — посередині однакові числа, тому матриці узгоджені. А ось «2 5 3 2» — не узгоджені, оскільки всередині різні числа.

Крім того, капітан очевидність натякає, що квадратні матриці однакового розміру $ \ left [n \ times n \ right] $ узгоджені завжди.

У математиці, коли важливим є порядок перерахування об'єктів (наприклад, у розглянутому вище визначенні важливий порядок матриць), часто говорять про впорядковані пари. Ми зустрічалися з ними ще в школі: думаю, і їжу зрозуміло, що координати $ \ left (1; 0 \ right) $ і $ \ left (0; 1 \ right) $ задають різні точки на площині.

Так ось: координати - це теж упорядковані пари, які складаються з чисел. Але ніщо не заважає скласти таку пару із матриць. Тоді можна буде сказати: «Упорядкована пара матриць $\left(A;B \right)$ є узгодженою, якщо кількість стовпців у першій матриці збігається з кількістю рядків у другій».

Ну, і що з того?

Визначення множення

Розглянемо дві узгоджені матриці: $ A = \ left [m \ times n \ right] $ і $ B = \ left [n \ times k \ right] $. І визначимо їм операцію множення.

Визначення. Твір двох узгоджених матриць $A=\left[m\times n\right]$ і $B=\left[n\times k \right]$ - це нова матриця $C=\left[m\times k \right] $, елементи якої вважаються за формулою:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Позначається такий твір стандартно: $ C = A \ cdot B $.

У тих, хто вперше бачить це визначення, одразу виникає два питання:

1. Що це за люта дичина?
2. А чому так складно?

Що ж, про все по порядку. Почнемо з першого питання. Що означають усі ці індекси? І як не помилитися під час роботи з реальними матрицями?

Насамперед зауважимо, що довгий рядок для розрахунку $((c)_(i;j))$ (спеціально поставив крапку з комою між індексами, щоб не заплутатися, але взагалі їх ставити не треба — я сам задовбався набирати формулу у визначенні) насправді зводиться до простого правила:

1. Беремо $i$-й рядок у першій матриці;
2. Беремо $j$-й стовпець у другій матриці;
3. Отримуємо дві послідовності чисел. Перемножуємо елементи цих послідовностей з однаковими номерами, потім складаємо отримані твори.

Цей процес легко зрозуміти по картинці:

Схема перемноження двох матриць

Ще раз: фіксуємо рядок $i$ у першій матриці, стовпець $j$ у другій матриці, перемножуємо елементи з однаковими номерами, а потім отримані твори складаємо – отримуємо $((c)_(ij))$. І так для всіх $1\le i\le m$ і $1\le j\le k$. Тобто. всього $m\times k$ таких «збочень».

Насправді ми вже зустрічалися з перемноженням матриць у шкільній програмі, лише у сильно урізаному вигляді. Нехай дані вектора:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]

Тоді їх скалярним твором буде саме сума попарних творів:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

По суті, в ті далекі роки, коли дерева були зеленішими, а небо яскравішими, ми просто множили вектор-рядок $\overrightarrow(a)$ на вектор-стовпець $\overrightarrow(b)$.

Сьогодні нічого не змінилося. Просто тепер цих векторів-рядків та стовпців побільшало.

Але вистачить теорії! Погляньмо на реальні приклади. І почнемо з найпростішого випадку – квадратних матриць.

Розмноження квадратних матриць

Завдання 1. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Отже, у нас дві матриці: $ A = \ left [2 \ times 2 \ right] $ і $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. Зрозуміло, що вони узгоджені (квадратні матриці однакового розміру завжди узгоджені). Тому виконуємо множення:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \-3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(array) \right]. \end(align)\]

От і все!

Відповідь: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Завдання 2. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\end(array) \right]\]

Рішення. Знову узгоджені матриці, тому виконуємо дії: [[]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right] . \end(align)\]

Як бачимо, вийшла матриця, заповнена нулями

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

З наведених прикладів очевидно, що множення матриць — не така вже й складна операція. Принаймні квадратних матриць розміру 2 на 2.

У процесі обчислень ми склали проміжну матрицю, де прямо розписали, які числа входять у той чи інший осередок. Саме так і слід робити під час вирішення справжніх завдань.

Основні властивості матричного твору

В двох словах. Розмноження матриць:

1. Некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$ у загальному випадку. Бувають, звичайно, особливі матриці, для яких рівність $A cdot B = B cdot A $ (наприклад, якщо $ B = E $ - одиничної матриці), але в більшості випадків це не працює;
2. Асоціативно: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $. Тут без варіантів: матриці, що стоять поруч, можна перемножувати, не переживаючи за те, що стоїть лівіше і правіше цих двох матриць.
3. Дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ і $\left(A+B \right)\cdot C=Acdot C+Bcdot C $ (через некомутативність твору доводиться окремо прописувати дистрибутивність праворуч і ліворуч.

А тепер все те ж саме, але більш докладно.

Множення матриць багато в чому нагадує класичне множення чисел. Але є відмінності, найважливіша з яких полягає в тому, що множення матриць, взагалі кажучи, некомутативно.

Розглянемо ще раз матриці із завдання 1. Прямий їхній твір ми вже знаємо:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]\]

Але якщо змінити матриці місцями, то отримаємо зовсім інший результат:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\end(matrix ) \right]\]

Виходить, що $A\cdot B\ne B\cdot A$. Крім того, операція множення визначена тільки для узгоджених матриць $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$, але ніхто не гарантував, що вони залишаться узгодженими, якщо їх поміняти місцями. Наприклад, матриці $\left[ 2\times 3 \right]$ і $\left[ 3\times 5 \right]$ цілком узгоджені у вказаному порядку, але ті ж матриці $\left[ 3\times 5 \right] $ і $\left[ 2\times 3 \right]$, записані у зворотному порядку, не узгоджені. Печаль.:(

Серед квадратних матриць заданого розміру $n$ завжди знайдуться такі, які дають однаковий результат як за перемноженні у прямому, і у зворотному порядку. Як описати всі подібні матриці (і скільки їх взагалі) – тема для окремого уроку. Сьогодні не будемо про це.

Тим не менш, множення матриць асоціативно:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Отже, коли вам треба перемножити відразу кілька матриць поспіль, зовсім необов'язково робити це напролом: цілком можливо, що деякі матриці, що поряд стоять, при перемноженні дають цікавий результат. Наприклад, нульову матрицю, як у Задачі 2, розглянутої вище.

У реальних завданнях найчастіше доводиться перемножувати квадратні матриці розміру $ \ left [n \ times n \right] $. Безліч всіх таких матриць позначається $((M)^(n))$ (тобто записи $A=\left[ n\times n \right]$ і \ означають те саме), і в ньому обов'язково знайдеться матриця $E$, яку називають одиничною.

Визначення. Одинична матриця розміру $ n $ - це така матриця $ E $, що для будь-якої квадратної матриці $ A = \ left [n \ times n \ right] $ виконується рівність:

Така матриця завжди виглядає однаково: на головній діагоналі її стоять одиниці, а в решті всіх клітин — нулі.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Іншими словами, якщо потрібно помножити одну матрицю на суму двох інших, то можна помножити її на кожну з цих двох інших, а потім результати скласти. На практиці зазвичай доводиться виконувати зворотну операцію: помічаємо однакову матрицю, виносимо її за дужку, виконуємо додавання і тим самим спрощуємо собі життя.

Зауважте: для опису дистрибутивності нам довелося прописати дві формули: де сума коштує у другому множнику та де сума коштує у першому. Це відбувається саме через те, що множення матриць некоммутативно (і взагалі, в некомутативній алгебрі купа всяких приколів, які при роботі зі звичайними числами навіть не спадають на думку). І якщо, припустимо, вам на іспиті потрібно буде розписати цю властивість, то обов'язково пишіть обидві формули, інакше препод може трохи роздратуватися.

Гаразд, все це були казки про квадратні матриці. А що щодо прямокутних?

Випадок прямокутних матриць

А нічого — те саме, що й з квадратними.

Завдання 3. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Маємо дві матриці: $ A = \ left [3 \ times 2 \ right] $ і $ B = \ left [2 \ times 2 \ right] $. Випишемо числа, що позначають розміри, до ряду:

Як бачимо, центральні два числа збігаються. Значить, матриці узгоджені і їх можна перемножити. Причому на виході ми отримаємо матрицю $C=\left[3\times 2\right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(array) \right]. \end(align)\]

Все чітко: у підсумковій матриці 3 рядки та 2 стовпці. Цілком собі $ = \ left [3 \ times 2 \ right] $.

Відповідь: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\end(matrix) \\end(array) \right]$.

Зараз розглянемо одне з найкращих тренувальних завдань для тих, хто тільки-но починає працювати з матрицями. У ньому потрібно не просто перемножити якісь дві таблички, а спочатку визначити: чи допустиме таке множення?

Завдання 4. Знайдіть усі можливі попарні твори матриць:

\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrix) \\\end(matrix) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Рішення. Для початку запишемо розміри матриць:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Отримуємо, що матрицю $A$ можна узгодити лише з матрицею $B$, оскільки кількість стовпців $A$ дорівнює 4, а така кількість рядків тільки $B$. Отже, можемо знайти твір:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Проміжні кроки пропоную виконати читачеві самостійно. Зауважу лише, що розмір результуючої матриці краще визначати заздалегідь, ще до якихось обчислень:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Іншими словами, ми просто прибираємо "транзитні" коефіцієнти, які забезпечували узгодженість матриць.

Які можливі варіанти? Безумовно, можна знайти $B\cdot A$, оскільки $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, тому впорядкована пара $\left(B ;A \right)$ є узгодженою, а розмірність твору буде:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Коротше кажучи, на виході буде матриця $\left[4\times4\right]$, коефіцієнти якої легко вважаються:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\end(array) \right]\]

Очевидно, можна узгодити ще $ Ccdot A $ і $ B cdot C $ - і все. Тому просто запишемо отримані твори:

Це було легко.:)

Відповідь: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Взагалі дуже рекомендую виконати це завдання самостійно. І ще одне аналогічне завдання, яке є у домашній роботі. Ці прості, на перший погляд, роздуми допоможуть вам відпрацювати всі ключові етапи множення матриць.

Але на цьому історія не закінчується. Переходимо до окремих випадків множення.:)

Векторні рядки та векторні стовпці

Однією з найпоширеніших матричних операцій є множення на матрицю, в якій один рядок або один стовпець.

Визначення. Вектор-стовпець - це матриця розміру $ \ left [m \ times 1 \ right] $, тобто. що складається з кількох рядків і лише одного стовпця.

Вектор-рядок - це матриця розміру $ \ left [1 \ times n \ right] $, тобто. що складається з одного рядка та кількох стовпців.

Насправді ми вже зустрічалися із цими об'єктами. Наприклад, звичайний тривимірний вектор із стереометрії $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ - це не що інше як вектор-рядок. З погляду теорії різниці між рядками та стовпцями майже немає. Уважними треба бути хіба що при узгодженні з навколишніми матрицями-множниками.

Завдання 5. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Перед нами твір узгоджених матриць: $ \ left [3 \ times 3 \ right] \ cdot \ left [3 \ times 1 \ right] = \ left [3 \ times 1 \ right] $. Знайдемо цей твір:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \-1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\end(array) \right]\]

Відповідь: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Завдання 6. Виконайте множення:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Рішення. Знову все узгоджено: $\left[1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Вважаємо твір:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Як бачите, при множенні вектор-рядки та вектор-стовпчика на квадратну матрицю на виході ми завжди отримуємо рядок або стовпець того ж розміру. Цей факт має безліч додатків - від рішення лінійних рівнянь до всіляких перетворень координат (які в результаті теж зводяться до систем рівнянь, але не будемо сумним).

Думаю, тут було очевидно. Переходимо до завершальної частини сьогоднішнього уроку.

Зведення матриці до ступеня

Серед усіх операцій множення окремої уваги заслуговує зведення у ступінь — це коли ми кілька разів множимо один і той самий об'єкт на самого себе. Матриці - не виняток, їх теж можна зводити в різні ступені.

Такі твори завжди узгоджені:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

І позначаються так само, як і звичайні ступені:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \& A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

На перший погляд все просто. Подивимося, як це виглядає на практиці:

Завдання 7. Зведіть матрицю у вказаний ступінь:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Рішення. Ну, ОК, давайте зводити. Спочатку зведемо у квадрат:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right]= \\ & = \ left [ \ begin (array) (* (35) (r)) 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 & 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot 1 \ 0 \ cdot 1 +1 \ cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

От і все.:)

Відповідь: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Завдання 8. Зведіть матрицю у вказаний ступінь:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Рішення. Ось тільки не треба зараз плакати з приводу того, що «ступінь занадто великий», «світ не справедливий» і «виклади берега зовсім втратили». Насправді все легко:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Зауважте: у другому рядку ми використовували асоціативність множення. Власне, ми використовували її й у попередньому завданні, але це було неявно.

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Як бачите, нічого складного у зведенні матриці немає. Останній приклад можна узагальнити:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Це легко довести через математичну індукцію чи прямим перемноженням. Однак далеко не завжди при зведенні в ступінь можна виловити такі закономірності. Тому будьте уважні: часто перемножити кілька матриць «напролом» виявляється простіше і швидше, ніж шукати якісь там закономірності.

Загалом, не шукайте найвищого сенсу там, де його немає. На закінчення розглянемо зведення в ступінь матриці більшого розміру - аж $ \ left [3 \ times 3 \ right] $.

Завдання 9. Зведіть матрицю у вказаний ступінь:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Рішення. Не шукатимемо закономірності. Працюємо «напролом»:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrix)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\]

Для початку зведемо цю матрицю у квадрат:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Тепер зведемо в куб:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( array)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

От і все. Завдання вирішено.

Відповідь: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Як бачите, обсяг обчислень став більшим, але сенс від цього анітрохи не змінився.

На цьому урок можна закінчувати. Наступного разу ми розглянемо зворотну операцію: за твором будемо шукати вихідні множники.

Як ви вже, напевно, здогадалися, мова піде про зворотну матрицю та методи її знаходження.

Головні застосування матриць пов'язані операцією множення.

Дано дві матриці:

А – розміру mn

B – розміру n k

Т.к. довжина рядка в матриці А збігається з висотою стовпця в матриці, можна визначити матрицю С=АВ, яка буде мати розміри m k. Елемент матриці С, розташований у довільномуi-му рядку (i=1,…,m) і довільному j-му стовпці (j=1,…,k), за визначенням дорівнює скалярному твору двох векторів з
:i-й рядків мариці А та j-го стовпця матриці В:

Властивості:

Як визначається операція множення матриці А на число?

Твір А на число λ називається матриця, кожен елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента А на λ. Загальний множник всіх елементів матриці можна виносити за знак матриці.

13. Визначення зворотної матриці та її властивості.

Визначення. Якщо є квадратні матриці Х і А одного порядку, що задовольняють умові:

де Е - одинична матриця того самого порядку, що і матриця А, то матриця Х називається зворотнійдо матриці А і позначається А-1.

Властивості зворотних матриць

Вкажемо такі властивості зворотних матриць:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (AT -1) T .

1. Якщо зворотна матриця існує, вона єдина.

2. Не у всякої ненульової квадратної матриці існує зворотна.

14. Наведіть основні властивості визначників.Перевірте справедливість якості |АВ|=|А|*|В| для матриць

А = і В=

Властивості визначників:

1. Якщо якийсь рядок визначника складається з нулів, то й сам визначник дорівнює нулю.

2. При перестановці двох рядків визначник множиться на -1.

3. Визначник із двома однаковими рядками дорівнює нулю.

4. Загальний множник елементів будь-якого рядка можна винести за знак визначника.

5. Якщо елементи деякого рядка визначника А представлені у вигляді суми двох доданків, то і сам визначник дорівнює сумі двох визначників Б і Д. У визначнику Б зазначений рядок складається з перших доданків, Д - з других доданків. Інші рядки визначників Б і Д - ті ж, що й у А.

6. Величина визначника не зміниться, якщо до одного з рядків додати інший рядок, помножений на будь-яке число.

7. Сума творів елементів будь-якого рядка на додатки алгебри до відповідних елементів іншого рядка дорівнюють 0.

8. Визначник матриці А дорівнює визначнику матриці транспонованої А т, тобто. визначник не змінюється під час транспонування.

15. Дайте визначення модуля та аргументу комплексного числа. Запишіть у тригонометричній формі числа √3+i, -1+ i.

Кожному комплексному числу z=a+ib може бути поставлений у відповідність вектор (a,b)€R 2. Довжина цього вектора дорівнює √a 2 + b 2 називається модулем комплексного числа z та позначається через |z|. Кут φ між даним вектором та позитивним напрямком осі Ox називається аргументом комплексного числа z та позначається arg z.

Будь-яке комплексне число z≠0 може бути представлене у вигляді z=|z|(cosφ+isinφ).

Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Кожному комплексному числу Z = a + ib може бути поставлений вектор (а; b), що належить R^2. Довжина цього вектора, рівна КВ з a 2 + b 2, називається модулем комплексного числа і позначається через модуль Z. Кут між даним вектором і позитивним напрямом осі Оx називається аргументом комплексного числа (позначається arg Z).

Будемо послідовно "виключати" невідомі. Для цього перше рівняння системи залишимо без змін, а друге та третє перетворимо:

1) до другого рівняння додамо перше, помножене на -2, і наведемо його до виду -3 x 2 –2x 3 = –2;

2) до третього рівняння додамо перше, помножене на - 4, і приведемо його до виду -3 x 2 – 4x 3 = 2.

В результаті з другого та третього рівнянь буде виключено невідоме x 1 і система набуде вигляду

Друге та третє рівняння системи помножимо на –1, отримаємо

Коефіцієнт 1 у першому рівнянні при першому невідомому х 1 називається провідним елементомпершого кроку виключення.

На другому кроці перше і друге рівняння залишаються без змін, а до третього рівняння застосуємо той самий спосіб виключення змінної x 2 . Провідним елементомдругого кроку є коефіцієнт 3. До третього рівняння додамо друге, помножене на -1, тоді система перетворюється на вигляд

(1.2)

Процес приведення системи (1.1) до виду (1.2) називаються прямим ходом методуГауса.

Порядок дій розв'язання системи (1.2) називається зворотним ходом.З останнього рівняння отримаємо х 3 = -2. Підставляючи це значення у друге рівняння, отримаємо х 2 = 2. Після цього перше рівняння дає х 1 = 1. Отже, - рішення системи (1.1).

Поняття матриці

Розглянемо величини, що входять до системи (1.1). Набір із дев'яти числових коефіцієнтів, які стоять у рівняннях перед невідомими, утворює таблицю чисел, яка називається матрицею:

А= .

(1.3)

Числа таблиці називаються елементамиматриці. Елементи утворюють рядки та стовпціматриці. Кількість рядків та кількість стовпців утворюють розмірністьматриці. Матриця Амає розмірність 33 (“три на три”), причому перше число вказує кількість рядків, а друге – стовпців. Часто матрицю позначають, вказуючи її розмірність А (3 3). Так як число рядків та стовпців у матриці Аоднаково, матриця називається квадратний.Кількість рядків (і стовпців) у квадратній матриці називається її порядкомтому А- матриця третього порядку.

Праві частини рівнянь, також утворюють таблицю чисел, тобто. матрицю:

Кожен рядок цієї матриці утворений єдиним елементом, тому B(3 ´ 1) називається матрицею-стовпцем, її розмірність 3'1. Набір невідомих також можна представити як матрицю-стовпець:

Розмноження квадратної матриці на матрицю-стовпець

З матрицями можна проводити різні операції, які будуть детально розглянуті надалі. Тут же розберемо лише правило множення квадратної матриці на матрицю-стовпець. за визначенню, результатом множення матриці А(3 ´ 3) на стовпець У(3 ´ 1) є стовпець D(3 ´ 1) , елементи якого дорівнюють сумам творів елементів рядків матриці Ана елементи стовпця У:

2)другийелемент стовпця Dдорівнює сумі творів елементів другийрядки матриці Ана елементи стовпця У:

З наведених формул видно, що помножити матрицю на стовпець Уможна тільки у випадку, якщо кількість стовпців матриці Адорівнює числу елементів у стовпці У.

Розглянемо ще два числові приклади множення матриці (3 ´3) на стовпець (3 ´1) :

Приклад 1.1

АВ =
.

Приклад 1.2

АВ= .