Серед різноманітних систем ортогональних функцій, які можуть використовуватися як базиси для представлення радіотехнічних сигналів, виняткове місце займають гармонійні (синусоїдальні та косинусоїдальні) функції. Значення гармонійних сигналів для радіотехніки обумовлено низкою причин.

Зокрема:

1. Гармонічні сигнали інваріантні щодо перетворень, що здійснюються стаціонарними лінійними електричними ланцюгами. Якщо такий ланцюг збуджений джерелом гармонійних коливань, то сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним з тією самою частотою, відрізняючись від вхідного сигналу лише амплітудою та початковою фазою.

2. Техніка генерування гармонійних сигналів щодо проста.

Якщо який-небудь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами, то кажуть, що здійснено спектральне розкладання цього сигналу. Окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють спектр.

2.1. Періодичні сигнали та ряди Фур'є

Математичною моделлю процесу, що повторюється в часі, є періодичний сигнал з наступною властивістю:

Тут Т – період сигналу.

Ставиться завдання знайти спектральне розкладання такого сигналу.

Ряд Фур'є.

Задамо на відрізку часу розглянутий у гол. I ортонормований базис, утворений гармонійними функціями з кратними частотами;

Будь-яка функція цього базису задовольняє умові періодичності (2.1). Тому, - виконавши ортогональне розкладання сигналу цьому базисі, т. е. обчисливши коефіцієнти

отримаємо спектральне розкладання

справедливе на всій нескінченності осі часу.

Ряд виду (2.4) називається поруч Фур'є даного сигналу. Введемо основну частоту послідовності, що утворює періодичний сигнал. Обчислюючи коефіцієнти розкладання за формулою (2.3), запишемо ряд Фур'є для періодичного сигналу

з коефіцієнтами

(2.6)

Отже, у випадку періодичний сигнал містить залежну від часу постійну складову і нескінченний набір гармонійних коливань, про гармонік з частотами кратними основний частоті послідовності.

Кожну гармоніку можна описати її амплітудою та початковою фазою. Для цього коефіцієнти ряду Фур'є слід записати у вигляді

Підставивши ці вирази (2.5), отримаємо іншу, - еквівалентну форму ряду Фур'є:

яка іноді виявляється зручнішою.

Спектральна діаграма періодичного сигналу.

Так називається графічне зображення коефіцієнтів низки Фур'є для конкретного сигналу. Розрізняють амплітудні та фазові спектральні діаграми (рис. 2.1).

Тут по горизонтальній осі в деякому масштабі відкладено частоти гармонік, а по вертикальній осі представлені їх амплітуди та початкові фази.

Мал. 2.1. Спектральні діаграми деякого періодичного сигналу: а – амплітудна; б - фазова

Особливо цікавляться амплітудною діаграмою, яка дозволяє судити про відсотковий зміст тих чи інших гармонік у спектрі періодичного сигналу.

Вивчимо кілька конкретних прикладів.

приклад 2.1. Ряд Фур'є періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів з відомими параметрами парної щодо точки t = 0.

У радіотехніці ставлення називають шпаруватістю послідовності. За формулами (2.6) знаходимо

Остаточну формулу ряду Фур'є зручно записати у вигляді

На рис. 2.2 представлені амплітудні діаграми послідовності, що розглядається, у двох крайніх випадках.

Важливо відзначити, що послідовність коротких імпульсів, наступних один за одним досить рідко, має багатий спектральний склад.

Мал. 2.2. Амплітудний спектр періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів: а - при великій шпаруватості; б - при малій шпаруватості

приклад 2.2. Ряд Фур'є періодичної послідовності імпульсів, утвореної гармонічним сигналом виду обмеженим лише на рівні (передбачається, що ).

Введемо спеціальний параметр - кут відсічки, що визначається зі співвідношення звідки

У співвідношенні з цим величина дорівнює тривалості одного імпульсу, вираженої в кутовій мірі:

Аналітичний запис імпульсу, що породжує послідовність, що розглядається, має вигляд

Постійна складова послідовності

Амплітудний коефіцієнт першої гармоніки

Аналогічно обчислюють амплітуди - гармонійних складових при

Отримані результати зазвичай записують так:

де так звані функції Берга:

Графіки деяких функцій Берга наведено на рис. 2.3.

Мал. 2.3. Графіки кількох перших функцій Берга

Комплексна форма ряду Фур'є.

Спектральне розкладання періодичного сигналу можна виконати і дещо іонному, використовуючи систему базисних функцій, що складається з експонентів з уявними показниками:

Легко бачити, що функції цієї системи періодичні з періодом ортонормовані на відрізку часу, оскільки

Ряд Фур'є довільного періодичного сигналу в даному випадку набуває вигляду

з коефіцієнтами

Зазвичай використовують таку форму запису:

Вираз (2.11) є рядом Фур'є в комплексній формі.

Спектр сигналу відповідно до формули (2.11) містить компоненти негативної півосі частот, причому . У ряді (2.11) складові з позитивними та негативними частотами об'єднуються в пари, наприклад: і будують суми векторів - у бік збільшення фазового кута, тоді як вектори обертаються у протилежному напрямку. Кінець результуючого вектора кожен момент часу визначає поточне значення сигналу.

Така наочна інтерпретація спектрального розкладання періодичного сигналу буде використана у наступному параграфі.

Аналіз ланцюга у часовій області методом змінних стану при постійних впливах

4.1 Розкладання ряд Фур'є заданої періодичної послідовності імпульсів

Схема електричного ланцюга з урахуванням таблиці 1 представлена ​​на рис. 7.

Будь-яку періодичну функцію f(t), яка б задовольняла умовам Дирихле можна розкласти до ряду Фур'є. Визначимо період функції T, а основну частоту _ . Ряд Фур'є можна записати подвійно.

Перша форма запису:

Друга форма запису:

В обох формах А0 - постійна складова ряду; А до - амплітуда k-ї гармоніки ряду; k – початкова фаза k-ї гармоніки;

З формули Ейлера випливає, що. Отже,

З огляду на це можна записати ряд Фур'є в комплексній формі.

Складемо вираз для комплексної амплітуди.

Враховуючи це, отримаємо вираз для періодичної функції часу:

Порівнюючи отриманий вираз із формулою (12), отримаємо:

У зв'язку з цим у нашому випадку можна отримати коефіцієнти для електротехнічної форми запису ряду Фур'є з отриманих попередньої частини значень амплітудного і фазового спектрів. Число членів апроксимації виберемо з урахуванням ширини спектра вхідного сигналу.

Дискретні амплітудний та фазовий спектри зображені на рисунках 25, 26. Їхні розрахунки зведені в таблицю 5.

"right">Таблиця 5.

Амплітуди та фази при відповідних гармоніках

№ гармоніки

Мал. 25. Дискретний амплітудний спектр вхідного сигналу

Біфуркація Андронова-Хопфа

Нам дана система: x1 = м * x1 + x2 + м * x12 - x12 - x1 * x22 x2 = - x1 + x22 Перша варіація біфуркаційного значення > > У ході рішення отримали 4 особливі точки, розглянемо кожну з них і визначимо їх тип. Перша особлива точка > > > > > Отримали, що в точці (0...

Дискретна математика

Нехай F – двійкова функція від n змінних. Припустимо, що F не дорівнює тотожному нулю. Нехай T1, T2, ..., Tk - всі точки її визначення, у яких F = 1. Можна довести, що справедлива така формула: , де, j = 1,2, ..., k ...

Диференціальні властивості гіперболічних функцій

Знайдемо розкладання основних гіперболічних функцій до ряду Тейлора на околиці точки, тобто. в ряд виду, який називають поруч Маклорена. Показова та гіперболічні функції Нехай тоді для будь-якого...

Математичні методи проектування

Потрібно виконати моделювання шуму із законом розподілу ймовірностей Релея та дисперсією D=12, де у=. Для отримання реалізацій шуму із заданим законом розподілу використовується метод зворотної функції.

Нормовані простори

Теорія інтерполяції має численні програми теорії рядів Фур'є.

Визначення. Нехай-періодична функція, така що. Нормою у просторі називається число, а коефіцієнтами Фур'є функції називаються числа...

Основні положення дискретної математики

Теорема 1. Будь-яка логічна функція може бути представлена ​​в СДНФ: , (1) де m, а диз'юнкція береться за всіма 2m наборами значень змінних х1, ... хm. Функція f розкладена за першими n-змінними...

Перетворення Фур'є та його деякі додатки

(1) інтегральна формула Фур'є. Спочатку запровадимо поняття головного значення інтеграла. Нехай функція інтегрується на будь-якому відрізку числової прямої. Визначення 1.1. Якщо існує кінцева межа,(1...

Розглянемо систему. Будуватимемо систему із заданою парною частиною. Нехай нам відома парна частина. Скористаємося формулою і перетворимо її Отже, можемо записати Звідси знаючи, отримаємо де - функція системи, що відображає...

Тригонометричні рівняння

Наводимо рівняння до виду f(x)=0 і представляємо ліву частину рівняння як твори f1(x)*f2(x)*...* fm(x). Тоді це рівняння наводиться до сукупності рівнянь: f1(x)=0, f2(x)=0,..., fm(x)=0. Слід пам'ятати...

Тригонометричні рівняння та нерівності

Метод розкладання на множники полягає в наступному: якщо всяке рішення рівняння є рішення сукупності рівнянь Зворотне твердження, взагалі кажучи невірно: не всяке рішення сукупності є рішенням рівняння...

Еліптичні функції Якобі

5. Лінійні електричні ланцюги у режимі періодичних негармонічних впливів. Теорія електричних кіл

5. Лінійні електричні ланцюги у режимі періодичних негармонічних впливів

5.1. Негармонічні періодичні сигнали

При передачі інформації каналами зв'язку в процесі перетворення сигналів у різних пристроях, як правило, використовують негармонічні коливання, оскільки суто гармонійні коливання не можуть бути носіями інформації. Для передачі повідомлень здійснюють модуляцію гармонійного коливання по амплітуді – амплітудна – амплітудно-імпульсна модуляція (AM); – широтно-імпульсна модуляція (ШІМ), тимчасовому положенню – час-імпульсна модуляція (ВІМ). Існують і інші, складніші сигнали, що формуються за спеціальними законами. Відмінною рисою зазначених сигналів є негармонійний складний характер. Несинусоїдальний вигляд мають струми і напруги, що формуються в різних імпульсних і цифрових пристроях (19. Дискретні сигнали та ланцюги), несинусоїдальний характер набувають гармонійних сигналів, що проходять через різні нелінійні пристрої (11. Нелінійні електричні ланцюги при гармонійних впливах) і т.д. це призводить до необхідності розробки спеціальних методів аналізу та синтезу електричних ланцюгів, що знаходяться під впливом періодичних несинусоїдальних та неперіодичних струмів та напруг. В основі цих методів лежать спектральні уявлення несинусоїдальних впливів, що базуються на розкладанні в ряд або інтеграл Фур'є.

З математичного аналізу відомо, що періодична негармонійна функція f(t), що задовольняє умовам Діріхле, може бути розкладена в ряд Фур'є:
(5.1)
де a k,b k -коефіцієнти розкладання, що визначаються рівняннями
(5.2)

Величина представляє середнє за період значення функції f(t)і називається постійною складовою.

У теоретичних дослідженнях зазвичай замість формули (5.1) використовують іншу, засновану на заміні незалежної змінної:
(5.3)
де
(5.4)

Рівняння (5.3) є тригонометричною формою ряду Фур'є. При аналізі ланцюгів часто зручніше користуватися комплексною формою ряду Фур'є, яка може бути отримана (5.3) за допомогою формул Ейлера:
(5.5)

Підставивши (5.5) до рівняння (5.3), після нескладних перетворень отримаємо комплексну форму ряду Фур'є:
(5.6)
де A k -комплексна амплітуда k-ї гармоніки:
(5.7)
де - Амплітуда; - Початкова фаза k-ї гармоніки.

Підставивши значення a kі b kз (5.4) до (5.7), отримаємо:
(5.8)

Сукупність амплітуд 0,5 А k = 0,5А –kу розкладанні (5.6), відкладених проти відповідних позитивних та негативних частот, утворює симетричний щодо осі координат (внаслідок парності коефіцієнтів а k) лінійний амплітудний спектр.

Сукупність ординат k = – –kз (5.7), що входять у розкладання (5.6) та відкладених проти відповідних позитивних та негативних частот, утворює симетричний щодо початку осі координат (внаслідок непарності коефіцієнтів b k)лінійний фазовий спектр.

Розкладання (5.3) можна уявити й іншій формі. Якщо врахувати, що а k = А k cos kі b k= А k sin k, то після підстановки (5.3) отримаємо:
(5.9)

Якщо розглядати постійну складову a 0 /2 як нульову гармоніку з початковою фазою 0 = 0, то розкладання (5.9) набуде вигляду
(5.10)

В окремому випадку, коли функція f(a) симетрична щодо осі ординат (рис. 5.1, а), у розкладанні (5.3) виявляться тільки парні (косинусоїдальні) гармоніки:

(5.11)

а при симетричності f(a) щодо початку координат (рис. 5.1, б) непарні гармоніки
(5.12)

При зрушенні початку відліку функції f(a) її амплітудний спектр не змінюється, а змінюється лише фазовий спектр. Справді, зрушимо функцію f(a) по осі часу вліво на t 0 і позначимо.

Тоді розкладання (5.9) набуде вигляду
(5.13)

приклад.Розкласти ряд Фур'є прямокутні коливання (рис. 5.1, б). Враховуючи що f(a) симетрична щодо початку координат у розкладанні (5.3) залишаться тільки синусоїдальні гармоніки (5.12), де b kвизначиться згідно (5.4):

Підставивши b kв (5.12), отримаємо розкладання до ряду Фур'є:
(5.14)

Далі ссунемо f(a) на p/2 вліво (див. рис. 5.1, а). Тоді згідно (5.13) отримаємо

(5.15)

Т. е. отримали розкладання по косинусоїдальних складових як і повинно бути для симетричного щодо осі ординат сигналу.

У ряді випадків, коли періодична функція f(a) задана графічно і має складну форму, її розкладання до ряду Фур'є можна здійснити графо-аналітичним способом. Його суть полягає в тому, що період сигналу Т(рис. 5.2) розбивають на mінтервалів, рівних , причому точки розриву f(a) не повинні потрапляти на середину ділянок розбиття; визначають значення сигналу f(a n) у середині кожної ділянки розбиття.

Знаходять коефіцієнти розкладання а kі b kшляхом заміни інтеграла в (5.2) кінцевою сумою
(5.16)

Рівняння (5.16) легко програмується і під час обчислення а kі b k, може використовуватися ЕОМ

5.2. Чинне, середнє значення та потужність періодичного негармонічного сигналу

Для певності припустимо, що f(t) має сенс струму i(t). Тоді чинне значення періодичного негармонічного струму визначається згідно (3.5), де i(t) визначається рівнянням (5.10):
(5.17)

Підставивши це значення струму (3.5), після інтегрування отримаємо
(5.18)

тобто чинне значення періодичного негармонічного струму Iповністю визначається чинними значеннями його гармонік I kі не залежить від їх початкових фаз k.

Аналогічним чином знаходимо діюче значення періодичної несинусоїдальної напруги:
(5.19)

Середнє значення струму визначається згідно із загальним виразом (3.9). Причому зазвичай беруть середнє значення i(t) за абсолютною величиною
(5.20)

Аналогічно визначається Uср(2) .

З точки зору теорії ланцюгів, великий інтерес становить середня активна потужність негармонічного сигналу та розподіл її між окремими гармоніками.

Середня активна потужність періодичного несинусоїдального сигналу
(5.21)
де
(5.22)

k- фазовий зсув між струмом та напругою k-ї гармоніки.

Підставляючи значення i(t) та u(t) з (5.22) до рівняння (5.21), після інтегрування отримуємо:
(5.23)
т, е. середня за період активна потужність періодичного негармонічного сигналу дорівнює сумі потужностей окремих гармонік. Формула (5.23) є однією з форм широко відомого рівності Парсеваля.

Аналогічно знаходимо реактивну потужність
(5.24)
та повну потужність
(5.25)

Слід наголосити, що на відміну від гармонійних сигналів для негармонічних сигналів.
(5.26)

Величина Pіск = носить назву потужності спотвореньта характеризує ступінь відмінності у формах струму i(t) та напруги u(t).

Крім потужності спотворень, періодичні негармонічні сигнали характеризуються ще поруч. коефіцієнтів:потужності, k м = P/S; форми K ф = U/U ср(2); амплітуди K a = U m /U; спотворень k = U 1 /U; гармонік kг = та ін.

Для синусоїдального сигналу kф = / 21,11; k a = 1,41; kі = 1; kг = 0.

5.3. Спектри періодичних негармонічних сигналів

Розглянемо послідовність прямокутних імпульсів, зображену на рис. 5.3, а. Сигнали подібної форми знаходять дуже широке застосування в радіотехніці та електрозв'язку: телеграфія, цифрові системи передачі, системи багатоканального зв'язку з тимчасовим поділом каналів, різні імпульсні та цифрові пристрої та ін. (Див. гл. 19). Імпульсна послідовність характеризується такими основними параметрами: амплітудою імпульсу Aі може мати сенс як напруги, і струму."> , його тривалістю tта й періодом прямування Т. Відношення періоду Тдо тривалості tі називається шпаруватістю імпульсіві позначається через q = T/t та. Зазвичай значення шпаруватості імпульсів лежать у межах від кількох одиниць (у вимірювальній техніці, пристроях дискретної передачі та обробки інформації), до кількох сотень або тисяч (у радіолокації).

Для знаходження спектру послідовності прямокутних імпульсів скористаємося поряд Фур'є у комплексній формі (5.6). Комплексна амплітуда k-ї гармоніки дорівнює згідно (5.8) після повернення до вихідної змінної t.

(5.27)

Підставивши значення A kв рівняння (5.6), отримаємо розкладання до ряду Фур'є:
(5.28)

На рис. 5.4 зображено спектр комплексних амплітуд для q= 2 і q= 4. Як видно з малюнка, спектр послідовності прямокутних імпульсів є дискретним спектром з огинаючою (штрихова лінія на рис. 5.4), яка описується функцією
(5.29)
носить назву функції відліків (див. гл. 19). Число спектральних ліній між початком відліку по осі частот і першим нулем огинаючої дорівнює q- 1. Постійна складова сигналу (середнє значення) , а чинне значення A= , тобто. чим більша шпаруватість, тим менший рівень постійної складової та значення сигналу, що діє. Зі збільшенням шпаруватості qкількість дискретних складових збільшується - спектр стає густішим (див. рис. 5.4, б), і амплітуда гармонік зменшується повільніше. Слід підкреслити, що відповідно (5.27) спектр аналізованої послідовності прямокутних імпульсів речовинний.

З спектра комплексних амплітуд (5.27) можна виділити амплітудний Як = |A k| та фазовий спектр k= arg A k, зображений на мал. 5.5 для випадку q= 4. З малюнків видно, що амплітудний спектр є парною, а фазовий – непарною функцією частоти. Причому фази окремих гармонік приймають або нульове значення між вузлами, де позитивний синус, або ±, де синус негативний (рис. 5.5, б)

На підставі формули (5.28) отримаємо тригонометричну форму розкладання до ряду Фур'є за парними гармоніками (порівняй з (5.15)):
(5.30)

При зрушенні імпульсної послідовності по осі часу (рис. 5.2 б) відповідно до (5.13) її амплітудний спектр залишиться колишнім, а фазовий спектр зміниться:
(5.31)

У випадку, коли періодична послідовність має різнополярну форму (див. рис. 5.1), у спектрі буде відсутня постійна складова (порівняйте (5.30) та (5.31) з (5.14) та (5.15)).

Аналогічно можна досліджувати спектральний склад періодичних негармонічних сигналів іншої форми. У табл.5.1 наведено розкладання ряд Фур'є деяких найбільш поширених сигналів.

Таблиця 5.1

	Типи сигналу	Розкладання в ряд Фур'є
1
2
3
4
5
6

5.4. Розрахунок ланцюгів при періодичних негармонійних впливах

В основі розрахунку лінійних електричних ланцюгів, що під впливом періодичних негармонічних сигналів, лежить принцип накладання. Його суть стосовно негармонійних впливів полягає в розкладанні негармонічного періодичного сигналу в одну з форм ряду Фур'є (див. 5.1. Негармонічні періодичні сигнали. Розкладання в ряд Фур'є) та визначенні реакції ланцюга від кожної гармоніки окремо. Результуюча реакція знаходиться шляхом суперпозиції отриманих часткових реакцій. Таким чином, розрахунок ланцюгів при періодичних негармонічних впливах включає завдання аналізу спектрального складу сигналу (розкладання його в ряд Фур'є), розрахунок ланцюга від кожної гармонійної складової і задачу синтезу, в результаті якого визначається результуючий вихідний сигнал як функція часу (частоти) або його чинне (амплітудне значення).

При вирішенні задачі аналізу зазвичай користуються тригонометричною (5.3) або комплексною (5.6) формою ряду Фур'є з обмеженою кількістю членів розкладання, що призводить до деякої похибки апроксимації істинного сигналу. Коефіцієнти розкладання a kі b kв (5.3) або Які kв (5.6) визначаються за допомогою рівнянь (5.4), (5.7) та (5.8). При цьому вхідний сигнал f(a) має бути заданий аналітично. Якщо сигнал задається графічно, наприклад у вигляді осцилограми, то для знаходження коефіцієнтів розкладання a kі b kможна використовувати графоаналітичний метод (див. (5.16)).

Розрахунок ланцюга від окремих гармонік ведеться зазвичай символічним способом. При цьому необхідно мати на увазі, що на k-й гармоніці індуктивний опір X L(k) = kL, а ємнісний опір X C(k) = 1/(kС), тобто на k-й гармоніці індуктивний опір у kразів більше, а ємнісне в kразів менше, ніж першої гармоніці. Цим зокрема пояснюється та обставина, що високі гармоніки у ємності виражені сильніше, а в індуктивності слабші, ніж у доданій до них напрузі. Активний опір Rна низьких і середніх частотах вважатимуться незалежно від частоти.

Після визначення шуканих струмів і напруги від окремих гармонік методом накладання знаходять результуючу реакцію ланцюга на негармонійний періодичний вплив. При цьому визначають миттєве значення результуючого сигналу на підставі розрахунку амплітуд і фаз окремих гармонік, або його амплітудні або діючі значення відповідно до рівнянь (5.18), (5.19). При визначенні результуючої реакції необхідно пам'ятати, що відповідно до подання періодичних негармонічних коливань комплексної площині вектори різних гармонік обертаються з різною кутовою частотою.

приклад.До ланцюга, зображеного на рис. 5.6, прикладена напруга u(t) у формі прямокутних імпульсів з періодом повторення T= 2tта і амплітудою Aі = 1В (див. рис. 5.3, б). Визначити миттєве та діюче значення напруги на ємності.

Розкладання даної напруги до ряду Фур'є визначається за формулою (5.31). Обмежимося першими трьома членами розкладання (5.31):k-й гармоніці називається такий стан електричного ланцюга, що складається з різнохарактерних реактивних елементів, при якому фазовий зсув між вхідним струмом і прикладеною напругою k-x гармонік дорівнює нулю. Явище резонансу можна використовувати виділення окремих гармонік з періодичного несинусоїдального сигналу. Слід підкреслити, що в ланцюзі може бути досягнутий резонанс струмівна одній частоті і резонанс напруг на іншій.

приклад.Для ланцюга, зображеного на рис. 5.7 при заданій 1 , L 1 знайти значення C 1 та C 2 , при яких одночасно виникає резонанс напруги на 1-й і резонанс струмів на 5-й гармоніці.

З умови резонансу напруги знаходимо, що вхідний реактивний опір ланцюга на першій гармоніці має дорівнювати нулю:
(5.32)

а на п'ятій - нескінченності (вхідна реактивна провідність на п'ятій гармоніці повинна дорівнювати нулю):
(5.33)

З умов (5.32) та (5.33) знаходимо шукане значення ємностей:

Вступні зауваження

У розділі буде розглянуто подання періодичних сигналів з допомогою низки Фур'є. Ряди Фур'є є основою теорії спектрального аналізу, тому що, як побачимо пізніше, перетворення Фур'є неперіодичного сигналу можна отримати як граничний перехід низки Фур'є при нескінченному періоді повторення. Через війну властивості низки Фур'є також справедливі й у перетворення Фур'є неперіодичних сигналів.

Ми розглянемо висловлювання ряду Фур'є в тригонометричній та комплексній формі, а також приділимо увагу умовам Диріхле збіжності ряду Фур'є. Крім того, ми докладно зупинимося на поясненні такого поняття, як негативна частота спектра сигналу, що часто викликає складність при знайомстві з теорією спектрального аналізу.

Періодичний сигнал Тригонометричний ряд Фур'є

Нехай є періодичний сигнал безперервного часу, який повторюється з періодом, тобто. де - довільне ціле число.

Як приклад на малюнку 1 показано послідовність прямокутних імпульсів тривалості c, що повторюються з періодом с.

Рисунок 1. Періодична послідовність

Прямокутних імпульсів

З курсу математичного аналізу відомо, що система тригонометричних функцій

з кратними частотами , де рад/с, - ціле число, утворює ортонормований базис для розкладання періодичних сигналів з періодом, що задовольняють умовам Диріхле.

Умови Дирихле збіжності низки Фур'є вимагають, щоб періодичний сигнал було встановлено на сегменті , у своїй задовольняв наступним умовам:

Наприклад, періодична функція не задовольняє умовам Діріхле, тому що функція має розриви другого роду і набуває нескінченних значень при , де - довільне ціле. Таким чином, функція може бути представлена ​​поруч Фур'є. Також можна навести приклад функції , яка є обмеженою, але також не задовольняє умовам Диріхле, оскільки має нескінченну кількість точок екстремуму при наближенні до нуля. Графік функції показаний малюнку 2.

Малюнок 2. Графік функції :

А - два періоди повторення; б - в околиці

На малюнку 2а показано два періоди повторення функції , а малюнку 2б — область на околиці . Можна бачити, що при наближенні до нуля частота коливань нескінченно зростає, і така функція не може бути представлена ​​поруч Фур'є, тому що вона не є шматково-монотонною.

Слід зазначити, що у практиці немає сигналів з нескінченними значеннями струму чи напруги. Функції з нескінченним числом екстремумів типу також у прикладних завданнях не зустрічаються. Всі реальні періодичні сигнали задовольняють умовам Діріхле і можуть бути представлені нескінченним тригонометричним рядом Фур'є виду:

У виразі (2) коефіцієнт задає постійну складову періодичного сигналу.

У всіх точках, де сигнал безперервний, ряд Фур'є (2) сходить до значень даного сигналу, а в точках розриву першого роду - до середнього значення, де і - межі зліва і праворуч від точки розриву відповідно.

Також з курсу математичного аналізу відомо, що використання усіченого ряду Фур'є, що містить тільки перших членів замість нескінченної суми, призводить до наближеного подання сигналу:

у якому забезпечується мінімум середнього квадрата помилки. Малюнок 3 ілюструє наближення періодичної послідовності прямокутних імпульсів та періодичного пилкоподібного сигналу при використанні різної кількості членів ряду Фур'є.

Малюнок 3. Наближення сигналів усіченим рядом Фур'є:

А - Прямокутних імпульсів; б - пилкоподібного сигналу

Ряд Фур'є у комплексній формі

У попередньому параграфі ми розглянули тригонометричний ряд Фур'є для розкладання довільного періодичного сигналу, що задовольняє умови Диріхле. Застосувавши формулу Ейлера, можна показати:
Тоді тригонометричний ряд Фур'є (2) з урахуванням (4):

Таким чином, періодичний сигнал може бути представлений сумою постійної складової та комплексних експонентів, що обертаються з частотами з коефіцієнтами для позитивних частот , і для комплексних експонентів, що обертаються з негативними частотами .

Розглянемо коефіцієнти для комплексних експонентів, що обертаються з позитивними частотами:

Вирази (6) і (7) збігаються, крім того, постійну складову також можна записати через комплексну експоненту на нульовій частоті:

Таким чином, (5) з урахуванням (6)-(8) можна подати як єдину суму при індексації від мінус нескінченності до нескінченності:

Вираз (9) є рядом Фур'є в комплексній формі. Коефіцієнти ряду Фур'є в комплексній формі пов'язані з коефіцієнтами і ряду в тригонометричній формі, і визначаються як для позитивних, так і для негативних частот. Індекс у позначенні частоти вказує номер дискретної гармоніки, причому негативні індекси відповідають негативним частотам.

З виразу (2) випливає, що для речового сигналу коефіцієнти та ряду (2) також є речовими. Однак (9) ставить у відповідність речовому сигналу , набір комплексно-сполучених коефіцієнтів , що відносяться як до позитивних, так і до негативних частот .

Деякі пояснення до ряду Фур'є у комплексній формі

У попередньому параграфі ми здійснили перехід від тригонометричного ряду Фур'є (2) до ряду Фур'є в комплексній формі (9). В результаті, замість розкладання періодичних сигналів у базисі речових тригонометричних функцій, ми отримали розкладання в базисі комплексних експонентів, з комплексними коефіцієнтами, та ще й з'явилися негативні частоти у розкладанні! Оскільки це питання часто зустрічає нерозуміння, необхідно дати деякі пояснення.

По-перше, працювати з комплексними експонентами здебільшого простіше, ніж із тригонометричними функціями. Наприклад, при множенні та розподілі комплексних експонентів достатньо лише скласти (відняти) показники, у той час як формули множення та розподілу тригонометричних функцій більш громіздкі.

Диференціювати та інтегрувати експоненти, нехай навіть комплексні, також простіше, ніж тригонометричні функції, які постійно змінюються при диференціюванні та інтегруванні (синус перетворюється на косинус і навпаки).

Якщо сигнал періодичний і речовий, то тригонометричний ряд Фур'є (2) здається наочнішим, тому що всі коефіцієнти розкладання і залишаються речовими. Однак, часто доводиться мати справу з комплексними періодичними сигналами (наприклад, при модуляції та демодуляції використовують квадратурне уявлення комплексної огинаючої). У цьому випадку при використанні тригонометричного ряду Фур'є всі коефіцієнти і розкладання (2) стануть комплексними, в той час як при використанні ряду Фур'є в комплексній формі (9) будуть використані одні й ті ж коефіцієнти розкладання як для речових, так і для комплексних вхідних. сигналів.

Ну і нарешті, необхідно зупинитись на поясненні негативних частот, які з'явилися у (9). Це питання часто викликає нерозуміння. У повсякденному житті ми не стикаємося із негативними частотами. Наприклад, ми ніколи не налаштовуємо свій радіоприймач на негативну частоту. Давайте розглянемо таку аналогію з механіки. Нехай є механічний пружинний маятник, який здійснює вільні коливання з деякою частотою. Чи може маятник вагатися з негативною частотою? Звичайно, ні. Як немає радіостанцій, які виходять в ефір на негативних частотах, і частота коливань маятника може бути негативною. Але пружинний маятник – одномірний об'єкт (маятник здійснює коливання вздовж однієї прямої).

Ми можемо також навести ще одну аналогію з механіки: колесо, що обертається із частотою . Колесо, на відміну маятника обертається, тобто. точка на поверхні колеса переміщається у площині, а не просто здійснює коливання вздовж однієї прямої. Тому для однозначного завдання обертання колеса задати частоту обертання недостатньо, тому що необхідно задати також напрямок обертання. Саме для цього ми і можемо використовувати знак частоти.

Так, якщо колесо обертається з частотою рад/с проти годинникової стрілки, то вважаємо, що колесо обертається з позитивною частотою, а якщо за годинниковою стрілкою, то частота обертання буде негативною. Таким чином, для завдання обертання негативна частота перестає бути нісенітницею і вказує напрямок обертання.

А тепер найголовніше, що ми маємо зрозуміти. Коливання одновимірного об'єкта (наприклад, пружинного маятника) може бути подане як сума обертань двох векторів, показаних на малюнку 4.

Малюнок 4. Коливання пружинного маятника

Як сума обертань двох векторів

на комплексній площині

Маятник здійснює коливання вздовж речової осі комплексної площини з частотою за гармонійним законом. Рух маятника показує горизонтальний вектор. Верхній вектор робить обертання на комплексній площині з позитивною частотою (проти годинникової стрілки), а нижній вектор обертається з негативною частотою (у напрямку годинникової стрілки). Малюнок 4 наочно ілюструє добре відоме з курсу тригонометрії співвідношення:

Таким чином, ряд Фур'є в комплексній формі (9) представляє періодичні одновимірні сигнали як суму векторів на комплексній площині, що обертаються з позитивними та негативними частотами. При цьому звернемо увагу, що у разі речового сигналу згідно з (9) коефіцієнти розкладання для негативних частот є комплексно-сполученими відповідним коефіцієнтам для позитивних частот. У разі комплексного сигналу ця властивість коефіцієнтів не виконується через те, що також є комплексними.

Спектр періодичних сигналів

Ряд Фур'є в комплексній формі являє собою розкладання періодичного сигналу на суму комплексних експонентів, що обертаються з позитивними і негативними кратними частотами рад/c з відповідними комплексними коефіцієнтами , які визначають спектр сигналу . Комплексні коефіцієнти можуть бути представлені за формулою Ейлера як , де амплітудний спектр, a фазовий спектр.

Оскільки періодичні сигнали розкладаються лише на фіксованій сітці частот , то спектр періодичних сигналів є лінійчастим (дискретним).

Рисунок 5. Спектр періодичної послідовності

Прямокутних імпульсів:

А - амплітудний спектр; б - фазовий спектр

На малюнку 5 наведено приклад амплітудного та фазового спектру періодичної послідовності прямокутних імпульсів (див. малюнок 1) при с, тривалості імпульсу c і амплітуді імпульсів.

Амплітудний спектр вихідного речовинного сигналу є симетричним щодо нульової частоти, а фазовий спектр антисиметричним. При цьому зауважимо, що значення фазового спектру та відповідають одній і тій же точці комплексної площини.

Можна дійти невтішного висновку, що це коефіцієнти розкладання наведеного сигналу є суто речовими, і фазовий спектр відповідає негативним коефіцієнтам.

Звернемо увагу, що розмірність амплітудного спектра збігається з розмірністю сигналу. Якщо описує зміну напруги в часі, що вимірюється у вольт, то амплітуди гармонік спектру також матимуть розмірність вольт.

Висновки

У цьому розділі розглянуто подання періодичних сигналів за допомогою низки Фур'є. Наведено вирази для ряду Фур'є в тригонометричній та комплексній формах. Ми приділили особливу увагу умовам Дирихле збіжності низки Фур'є і наведено приклади функцій, котрим ряд Фур'є розходиться.

Ми докладно зупинилися на вираженні ряду Фур'є в комплексній формі і показали, що періодичні сигнали як речові, так і комплексні представляються комплексними експонентами з позитивними і негативними частотами. При цьому коефіцієнти розкладання є комплексними і характеризують амплітудний і фазовий спектр періодичного сигналу.

У наступному розділі ми детальніше розглянемо властивості спектрів періодичних сигналів.

Програмна реалізація у бібліотеці DSPL

Дєч, Г. Посібник із практичного застосування перетворення Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

Форми запису ряду Фур'є. Сигнал називається періодичним,якщо його форма циклічно повторюється у часі Періодичний сигнал u(t)у загальному вигляді записується так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,...

Тут Т-період сигналу. Періодичні сигнали може бути як простими, і складними.

Для математичного подання періодичних сигналів з періодом Тчасто користуються поруч (2.2), в якому як базисні функції вибираються гармонійні (синусоїдальні та косинусоїдальні) коливання кратних частот

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; …, (2.3)

де w 1 =2p/T-основна кутова частота послідовності

функцій. При гармонійних базисних функціях із низки (2.2) отримуємо ряд Фур'є (Жан Фур'є - французький математик і фізик ХІХ століття).

Гармонічні функції виду (2.3) у ряді Фур'є мають такі переваги: ​​1) простий математичний опис; 2) інваріантність до лінійних перетворень, тобто якщо на вході лінійного ланцюга діє гармонійне коливання, то і на виході її також буде гармонійне коливання, що відрізняється від вхідного тільки амплітудою та початковою фазою; 3) як і сигнал, гармонійні функції періодичні та мають нескінченну тривалість; 4) техніка генерування гармонійних функцій досить проста.

З курсу математики відомо, що для розкладання періодичного сигналу в ряд гармонійних функцій (2.3) необхідне виконання умов Диріхле. Але всі реальні періодичні сигнали цим умовам задовольняють і їх можна у вигляді ряду Фур'є, який може бути записаний в одній з таких форм:

u(t)=A 0 /2+ (A' mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

де коефіцієнти

А 0 =

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

або в комплексній формі

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

З (2.4) - (2.9) слід, що у випадку періодичний сигнал u(t) містить постійну складову A 0 /2і набір гармонійних коливань основний частоти w 1 =2pf 1 і її гармонік з частотами w n =nw 1 , n=2 ,3,4,… Кожне з гармонійних

коливань ряду Фур'є характеризується амплітудойі початковою фазою y n .nn

Спектральна діаграма та спектр періодичного сигналу. Якщо якийсь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань із різними частотами, то кажуть, що здійснено спектральне розкладаннясигналу.

Спектральна діаграмасигналу прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів низки Фур'є цього сигналу. Розрізняють амплітудні та фазові діаграми. На рис. 2.6 в деякому масштабі горизонтальної осі відкладені значення частот гармонік, по зертикальній осі - їх амплітуди A mn і фази y n . Причому амплітуди гармонік можуть набувати лише позитивних значень, фази - як позитивних, так і негативних значень в інтервалі -p£y n £p

Спектр сигналу- це сукупність гармонійних складових з конкретними значеннями частот, амплітуд та початкових фаз, що утворюють у сумі сигнал. У технічних додатках практично спектральні діаграми називають коротше - амплітудний спектр фазовий спектр.Найчастіше цікавляться амплітудною спектральною діаграмою. По ній можна оцінити відсотковий зміст гармонік у діапазоні.

приклад 2.3. Розкласти ряд Фур'є періодичну послідовність прямокутних відеоімпульсів звідомими параметрами (U m , T, t z),парну "Щодо точки t=0. Побудувати спектральну діаграму амплітуд і фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t і =2 і 8.

Заданий періодичний сигнал на інтервалі одного періоду можна записати як

u(t) =

Скористайтеся для представлення цього сигналу формою запису ряду Фур'є ввигляді (2.4). Так як сигнал парний, то в розкладі залишаться тільки косинусоїдальні складові.

Мал. 2.6. Спектральні діаграми періодичного сигналу:

а - амплітудна; б- фазова

Інтеграл від непарної функції за період дорівнює нулю. За формулами (2.5) знаходимо коефіцієнти

що дозволяють записати ряд Фур'є:

Для побудови спектральних діаграм при конкретних числових даних задаємося я = 0, 1, 2, 3 ... і обчислюємо коефіцієнти гармонік. Результати розрахунку перших восьми складових спектра зведено у табл. 2.1. У ряді (2.4) А" mn = 0і згідно з (2.7) A mn =|A' mn |, основна частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплітудний спектр на рис.

2.7 побудований для таких n,при яких А mnбільше ніж 5% максимального значення.

З наведеного прикладу 2.3 випливає, що зі збільшенням шпаруватості збільшується кількість спектральних складових та зменшуються їх амплітуди. Кажуть, що такий сигнал має багатий спектр. Необхідно відзначити, що для багатьох практично застосовуваних сигналів немає необхідності проводити обчислення амплітуд та фаз гармонік за наведеними раніше формулами.

Таблиця 2.1. Амплітуди складових ряду Фур'є періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Мал. 2.7. Спектральні діаграми періодичної послідовності імпульсів: а-при шпаруватості S-2; - б-при шпаруватості S=8

У математичних довідниках є таблиці розкладів сигналів до ряду Фур'є. Одна з таких таблиць наведена в додатку (табл. П.2).

Часто виникає питання: скільки ж взяти спектральних складових (гармонік), щоб представити реальний сигнал поруч Фур'є? Адже ряд, строго кажучи, нескінченний. Однозначної відповіді тут не можна дати. Все залежить від форми сигналу та точності його подання поруч Фур'є. Більш плавна зміна сигналу - менше потрібно гармонік. Якщо сигнал має стрибки (розриви), необхідно сумувати більше гармонік задля досягнення такої ж похибки. Однак у багатьох випадках, наприклад у телеграфії, вважають, що й передачі прямокутних імпульсів із крутими фронтами досить трьох гармонік.