Як відомо, на вирішення деяких типових завдань електротехніки застосовують комплексні числа. Але навіщо їх використовують і чому це роблять саме так? У цьому ми і постараємося розібратися в ході цієї статті. Справа в тому, що комплексний метод, або метод комплексних амплітуд, зручний при розрахунках складних кіл змінного струму. І для початку згадаємо трохи математичних основ:

Як бачите, комплексне число z включає уявну і дійсну частини, які між собою розрізняються і позначаються в тексті по-різному. Саме комплексне число z може бути записано в алгебраїчній, тригонометричній або показовій формі:

Історичні передумови

Вважається, що уявлення про уявні числа почало зароджуватися в 1545 році, коли італійський математик, інженер, філософ, медик і астролог Джироламо Кардано у своєму трактаті «Велике мистецтво» опублікував даний методРішення рівнянь, де, до речі, зізнався, що ідею йому передав Нікколо Тарталья (італійський математик) за 6 років до публікації цієї роботи. Діяльність Крадано вирішував рівняння виду:

У процесі розв'язання даних рівнянь учений змушений був допустити існування певного «нереального» числа, квадрат якого дорівнював би мінус одиниці «-1», тобто нібито існує квадратний коріньз негативного числа, і якщо його тепер звести до квадрата, то вийде, відповідно, негативне число, що стоїть під коренем. Кардано вказав правило множення, згідно з яким:

Протягом трьох століть математична спільнота перебувала в процесі звикання до нового підходу, запропонованого Кардано. Уявні числа поступово приживалися, проте приймалися математиками неохоче. І лише з публікаціями робіт Гауса з алгебри, де він доводив основну теорему алгебри, комплексні числа нарешті ґрунтовно прийняли, надворі було 19 століття.

Уявні числа стали справжньою паличкою - виручалочкою для математиків, адже найскладніші завдання стали вирішуватися набагато простіше з прийняттям уявних чисел.

Так незабаром дійшло й до електротехніки. Електричні ланцюги змінного струму часом виявлялися дуже складними, і їх розрахунку доводилося обчислювати безліч інтегралів, що дуже незручно.

Нарешті, 1893 року геніальний електротехнік Карл Август Штейнмець виступає у Чикаго на Міжнародному електротехнічному конгресі з доповіддю «Комплексні числа та їх застосування в електротехніці», чим фактично знаменує початок практичного застосуванняінженерами комплексного методу розрахунків електричних ланцюгів змінного струму

З курсу фізики нам відомо, що це такий струм, який змінюється в часі як за величиною, так і за напрямом.

У техніці зустрічаються різні формизмінного струму, проте найбільш поширений сьогодні струм змінний синусоїдальний, саме такий використовується усюди, за допомогою нього електроенергія передається, у вигляді змінного струму вона генерується, перетворюється трансформаторами та споживається навантаженнями. Синусоїдальний струм періодично змінюється за синусоїдальним (гармонійним) законом.

У комплексному методі діючі значення струмів та напруг записують так:

Зверніть увагу, що в електротехніці уявна одиниця позначається буквою «j», оскільки буква «i» вже зайнята для позначення струму.

Із визначають комплексне значення опору:

Додавання та віднімання комплексних значень здійснюється в алгебраїчній формі, а множення та розподіл - у показовій формі.

Давайте розберемо метод комплексних амплітуд з прикладу конкретної схеми з певними значеннями основних параметрів.

Дано:

напруга на котушці 50 В,

опір резистора 25 Ом,

індуктивність котушки 500 мГн,

електроємність конденсатора 30 мкф,

опір дроту котушки 10 Ом,

частота мережі 50 Гц.

Знайти: показання амперметра та вольтметра, а також ватметра.

Рішення:

Для початку запишемо комплексний опір послідовно з'єднаних елементів, який складається з дійсної та уявної частин, потім знайдемо комплексний опір активно-індуктивного елемента.

Згадуємо! Для отримання показової форми знаходять модуль z, що дорівнює кореню квадратному із суми квадратів дійсної та уявної частин, а також фі, що дорівнює арктангенсу приватного від поділу уявної частини на дійсну.

Details 28 March 2017

Панове, у сьогоднішній статті я хотів би вам трохи розповісти про комплексні числа та сигнали. Ця стаття буде здебільшого теоретичною. Її завдання – підготувати деякий фундамент для можливості розуміння подальших статей. Просто коли мова заходить про фазу або, припустимо, про поведінку конденсатора в ланцюзі змінного струму, то відразу й починаю лізти всі ці комплексності. А про фазу таки хочеться поговорити, штука важлива. Ні, ця стаття в жодному разі не буде коротким курсомТФКП, ми розглянемо тільки дуже вузьку область з цієї поза всякого сумніву цікавої та великої теми. Тож поїхали!

Але перш ніж почати говорити безпосередньо про комплексні числа, я хотів би ще розповісти про таку цікаву штуку, як тригонометричне коло. Панове, ось ми з вами вже протягом аж трьох (раз, два, три) статей говоримо про синусоїдальний струм. Але як взагалі формується функція синусу? Та й косинуса теж? Можна по-різному відповісти на це питання, але в контексті цієї статті я вибрав таке пояснення. Подивіться, будь ласка, на малюнок 1. На ньому зображено так зване тригонометричне коло.

Малюнок 1 - Тригонометричне коло

Там багато всього намальовано, тому давайте розбиратися поступово, що там є що. По-перше, там є, власне, деяке коло, центр якого збігається з центром системи координат з осями Хі Y. Радіус цього кола дорівнює одиниці. Просто одиниці, без будь-яких вольт, ампер та іншого. Далі з центру цього кола проведено два радіус-вектори ОАі ОЕ. Очевидно, довжина цих векторів дорівнює одиниці, тому що у нас коло одиничного радіусу. Кут між вектором ОАі віссю Хдорівнює φ 1 , кут між вектором ОЕі віссю Хдорівнює φ 2

А тепер найцікавіше, панове. Давайте розглянемо, до чого рівні проекціїцих векторів на осі Хі Y. Вектор проекції ОАна вісь Х- Це відрізок ОВ, а на вісь Y- Це відрізок ОС. І всі разом (сам вектор ОАта його проекції ОВі ОС) утворює прямокутний трикутник ОАВ. За правилами роботи з прямокутним трикутником ми можемо знайти його сторони ОВі ОС, тобто проекції радіус вектора ОАна осі Хі Y:

Абсолютно аналогічно можна знайти співвідношення для вектора OE:

Якщо не зрозуміло чому так, рекомендую погуглить про співвідношення сторін у прямокутному трикутнику. Ну а ми собі зараз виносимо один важливий висновок - проекція одиничного вектора на вісь Х дорівнює косинусу кута між вектором та віссю Х, а проекція на вісьY – синусу цього кута.

А тепер давайте почнемо обертатирадіус вектор проти годинникової стрілки з деякою частотою. Ну так, щоб він своїм кінцем викреслював коло. І, як ви вже, мабуть, здогадалися, при такому обертанні проекція вектора на вісь Х вимальовуватиме функцію косинуса, а проекція на вісь Y – функцію синуса. Тобто, якщо цей наш радіус-вектор робить за секунду, наприклад, 50 оборотів (тобто обертається із частотою 50 Гц), це означає, що його проекція на вісь Х формує функцію

а його проекція на вісь Y – вимальовує функцію

Досить цікавий фактна мій погляд. І взагалі тригонометричне коло – цікава штука. Рекомендую познайомитися з ним ближче, погугливши на цю тему. Він дозволяє багато краще зрозуміти. Ми ж зараз розглянули лише деякі з фіч, які нам будуть потрібні. Зараз давайте поки що тимчасово залишимо цей факт і поговоримо безпосередньо про комплексні числа.

Отже, панове, комплексне число - це вираз виду

a- це дійсначастина комплексного числа z.

b- це уявначастина комплексного числа z.

Насправді у серйозних книжках з математики комплексне число визначають дещо по-іншому, проте нас цілком влаштує такий варіант.

По-науковому – це алгебраїчнаФорма запису комплексного числа. Є ще й інші, з ними познайомимося трохи згодом.

аі b- це звичайні числа, яких ми з вами все звикли. Наприклад, 42, 18, -94, 100500, 1.87 ну і так далі. Тобто абсолютно будь-які. Наприклад, можуть мати місце такі записи

А число j- це так звана уявна одиниця.Часто її позначають не j, а i, але i - це зазвичай струм в електротехніці, тому ми будемо використовувати літеру j. Що це таке? Формально це можна записати так

Трохи не зрозуміло, як це може бути корінь із негативного числа. Всі ми з дитинства звикли, що під корінням у нас тільки-но позитивні числа. Але математики ввели ось таку абстракцію, яка дозволяє витягти корінь і з негативних чисел. І, як не дивно, подібна абстракція непогано допомагає описувати цілком реальні, а зовсім ніякі не абстрактні процеси в електротехніці.

Тобто ми бачимо, що комплексне число саме по собі просто складається з двох самих звичайних чисел. Так, перед другим стоїть деяке міфічне j, але суті справи це не змінює.

Давайте тепер познайомимося з графічним подання комплексних чисел .

Панове, погляньте на малюнок 2. Там саме ця вистава і зображена.

Малюнок 2 - Комплексна площина

Отже, у чому тут, власне, фішка? А фішка в тому, що ми беремо та малюємо систему координат. У ній ми вісь Х обзиваємо Re, а вісь Y - Im. Re - це вісь дійсних чисел, аIm - це вісь уявних чисел.Тепер на осі Reми відкладаємо величину a, а на осі Im- величину bнашого комплексного числа z. У результаті ми отримуємо крапку на комплексній площині з координатами (а,b). І тепер можна провести радіус вектор із початку координат у цю точку. Власне, цей вектор можна вважати комплексним числом.

Цікавий факт: давайте уявімо, що bІ 0. Тоді виходить, що комплексне число вироджується в звичайно, «одномірне»: уявна частина легко обнуляється. І, природно, вектор у цьому випадку лежатиме на осі Re. Тобто, можна сказати, що всі числа, які нас оточують у звичайного життя, знаходяться на осі Re, А комплексне число - це вихід межі цієї осі, до певної міри розширення кордонів. Та не будемо заглиблюватися в це.

Давайте краще заглибимося в інше. А саме у те, як ще можна уявити комплексні числа. Щойно дійшли висновку, що комплексне число - по суті це вектор. А вектор можна характеризувати довгою та кутом нахилу, наприклад, до осі Х. Дійсно, ці два параметри повністю визначають будь-який вектор за умови, що у нас двовимірний простір само собою. Для обсягу або якогось багатовимірного простору (жах який) це не правильно, а для двовимірного - це так. Давайте тепер висловимо сказане математично. Отже, давайте тепер виходити з того, що нам відома довжина вектора (назвемо її | z|) та кут φ 1 .

Що ми можемо знайти, виходячи із цих знань? Та взагалі кажучи, чимало. По суті нам відома гіпотенуза прямокутного трикутника та один з його кутів, тобто, згідно з якимось там теоремами геометрії, прямокутний трикутник повністю визначено. Тому давайте знайдемо його катети аі b:

А тепер, панове, можна зробити невеликий фінт вухами? Пам'ятаєте запис алгебри комплексного числа? Ну, ось цю

Давайте підставимо сюди aі bпредставлені через синуси з косинусами. Отримаємо

Ми отримали цікавий вираз. Вираз виду

називається тригонометричноїформою запису комплексного числа. Вона хороша, якщо нам відома довжина нашого вектора |z|та кут його нахилу φ 1 . Коли мова піде про електротехніку, довжина вектора раптово перетвориться на амлітуду сиганалу, а кут нахилу - фазу сигналу. До речі, зверніть увагу, що тригонометрична форма запису комплексного числа чимось близька до тригонометричного кола, яке ми намалювали на початку статті. Але до цієї подібності ми повернемося трохи згодом.

Панове, тепер нам залишилося познайомитися з останньою формою запису комплексного числа - показовою. Для цього потрібно знати так звану формулу Ейлера. З вашого дозволу я не торкатимуся висновку цієї формули і розглядатиму, звідки вона взялася. Це трохи виходить за межі статті і, до того ж, є багато джерел, де, поза всяким сумнівом, вам розкажуть про виведення цієї формули набагато професійніше, ніж це зможу зробити я. Ми ж просто наведемо готовий результат. Отже, формула Ейлера має вигляд

де е- це експонентачи, як його ще називають, показова функція. Для математиків це деяка межа при прагненні чогось там до нескінченності, а якщо по-простому – звичайне число

Так, просто дві цілих і сімдесятих.

А тепер порівняйте формулу Ейлера та тригонометричним записом комплексного числа. Чи не помічаєте цікавої подібності? Схрестивши ці два вирази, можна отримати якраз показовуформу запису комплексного числа:

Як не дивно, цей складний запис використовується в електротехніці не так вже й рідко.

Отже, ми познайомилися з основними варіантами запису комплексних номерів. Тепер давайте поступово просуватися до нашої улюбленої електротехніки. Запишемо закон зміни косінусоїдальної напруги.

Ми вже записували цей закон неодноразово, наприклад, у першій статті, присвяченій змінному струму. Щоправда, там був синус, а тут косинус, але це абсолютно нічого не змінює насправді, просто тут косинус трохи зручніше для пояснення.

А зараз увага, панове. Дуже хитра послідовність дій.

По-перше, ніхто нам не заважає розглянути косинус, який стоїть у цьому виразі, на тригонометричному колі, яке ми креслили на малюнку 1 на самому початку статті. А що? Чому ні? Уявлятимемо собі, що деякий вектор Á m, рівний амплітуді нашої косінусоїдальної напруги, обертається в прямокутної системикоординат із круговою частотою ω . І тоді через викладені обставини його проекція на осі Х вимальовуватиме якраз наш закон v(t). Начебто ніякої каверзи поки немає.

Дивимося далі. На осі Х проекція малює нашу функцію часу, а вісь Y поки що взагалі не при справах. А щоб вона просто так не простоювала - давайте вважати, що це не просто аби яка вісьY, а вісь уявних чисел . Тобто ми зараз вводимо той самий комплексний простір. У цьому просторі при обертанні вектора Á m(вектори зазвичай позначаються буквою з точкою або стрілочкою зверху) у той час як його проекція на осі Х малює косинус, на осі Y у нас буде малюватись функція синуса. Вся фішка в тому, що ми зараз ніби схрещуємо тригонометричне коло з комплексною площиною. І в результаті отримуємо щось на кшталт того, що показано на малюнку 3 (картинка клікабельна).

Рисунок 3 - Подання напруги на комплексній площині

Що ми бачимо на ньому? Власне, те, про що щойно говорили. Вектор, що дорівнює за довжиною амплітуди нашої напруги, обертається в системі координат, на осі Х (яка Re) вимальовується закон косинуса (він повністю збігається з нашим сигналом v(t)). На осі Y (яка Im) вимальовується закон синуса. Разом на основі вищесказаного наш вихідний сигнал

ми можемо уявити у тригонометричній форміось так

або в показовою формоюось так

Давайте уявимо тепер, що у нас не косинусоїдальний сигнал, а синусоїдальний. До нього ми якось більше звикли. Тобто нехай напруга змінюється ось за таким законом

Проведемо всі міркування аналогічним чином. Єдина відмінність буде в тому, що тепер наш сигнал «малюється» на уявній осі Im, а вісь Re як би не при справах. Але вводячи комплексний простір, ми раптово отримуємо, що комплексний запис сигналу для даного випадкутака сама, як і для випадку косинуса. Тобто і для сигналу

ми можемо записати комплексне уявлення у тригонометричній форміось так

або в показовою формоюось так

Виходить, що комплексне уявлення для випадку синусоїдального та косинусоїдального сигналу має один і той же вид.До речі, це досить очевидно, якщо згадати, що при обертанні вектора по колу синус і косинус вимальовуються одночасно на різних осях. А саме комплексне число описує саме цей вектор, що обертається і, таким чином, містить в собі інфу як про вісь Х, так і про вісь Y.

Давайте тепер підемо від зворотного і уявімо, що у нас є запис деякого комплексного сигналуу вигляді

Або, наприклад, у такому вигляді

Як зрозуміти - що він описує: синус чи косинус? Відповідь - і ніяк. Він описує і те, і те водночас. І якщо ми маємо косинусоїдальнийсигнал, то ми повинні взяти дійснучастина цього комплексного сигналу, а якщо синусоїдальний - уявляю. Тобто для випадку косинусаце виглядає якось так:

або так

А для випадку синусаце виглядає ось так

або так

Тут Re()і Im()- функції взяття дійсної чи уявної частини комплексного числа. До речі, вони визначені в багатьох математичних САПРах і їх можна прямо в такому вигляді використовувати. Тобто передавати їм комплексне число, а на виході отримувати дійсну або уявну частину.

Можливо, ви запитаєте: а навіщо все так ускладнювати? Яка з цього вигода? У чому прибуток? Профіт, безумовно, є, але про нього ми поговоримо трохи згодом, у наступних статтях. На сьогодні поки все, панове. Спасибо що прочитали і поки!

Вступайте в нашу

Терміном комплексного числа (далі в тексті – КЧ) користуються для позначення виразів види: ċ=а+jb, у яких індекс "ċ" використовується для позначення КЧ, а "а" та "b"відображають дійсну та уявну частини. Значення "j"позначає уявну одиницю і так само √(-1) .

У англійськоюсловом Realприйнято характеризувати дійсність, а терміном Imaginary- уявні властивості. Від цих слів було створено позначення Re та Im, які використовуються для вираження величин "а"і "b" наступним способом:

а = Re (с), b = Im (с).

Для геометричного відображення КЧ у векторній формі застосовується комплексна площина. У неї горизонтальна вісь позначається знаком +1 , а вертикальна – символом +j. Термін дійсної (рідше речової) частини використовується для найменування горизонтальної осі, а для вертикальної - уявної.

Обидві складові (дійсна та уявна) КЧ є прямокутними проекціями вектора на відповідні осі.

У поданому графіку значення с=|ċ|називається модулем КЧ і дорівнює довжині вектора. Іншим параметром, що визначає положення радіус-вектора, є його кут повороту від осі +1 до поточного положення ċ , Який вважається аргументом. α=arqċ.

Катети трикутника подаються через співвідношення:

a=cosα, b=csinα.

Використовуючи тригонометричну форму для вираження КЧ можна уявити його видом:

==(cosα+jsinα).

Використовуючи формулу Ейлера e jα = cosα+jbsinα, можна отримати значення модуля у показовій формі ċ=се jα.

У полярній формі вираз має вигляд:

ċ=с∠α.

Положення одиничного вектора можна зобразити на комплексній площині:

Уявна одиниця має властивості:

j = e j90 ° , j 2 = -1 = e j180 ° , j 3 = jj 2 = -j = e j270 ° = e -j90 ° ,
j 4 =j 2 j 2 =1=e j0 =e j2Π , 1/J=1j/Jj=J/-1=-j.

До КЧ застосовується поняття сполучення. Їм називають ті числа, які рівні за величиною модулів та аргументів, але мають різні знакиу аргументів.

= a + jb = ce jα, ĉ = a-jb = ce jα.

З графіка видно, що зображені векторами КЧ симетричні стосовно горизонтальної осі.

КЧ та математичні дії. Для їх складання або віднімання робиться запис в алгебраїчному виразі:

ċ=ċ 1 +ċ 2 =(a 1 +jb 1)+(a 2 +jb 2)=(a 1 +a 2)+j(b 1 +b 2)=a+jb.

У цьому співвідношенні окремо підсумовуються уявні та речові складові: а = а 1 + а 2 b = b 1 + b 2 .

Дані алгебраїчні додавання чисел виражають виконання додавання відповідних їм векторів.

Виконуючи додавання сполучених чисел можна побачити, що й сума виражається подвоєним значенням речовинної складової:

?+?=(а+jb)+(а-jb)=2а.

Вирази КЧ у показовій формі зручні до виконання множення чи поділу. У цьому модулі перемножують чи ділять, значення аргументів складають чи віднімають.

ċ=ċ 1 ċ 2 =c 1 e jα1 c 2 e jα2 =c 1 c 2 e j(α1+α2) =ce jα ;
ċ=ċ 1 /ċ 2 =c 1 e jα1 /c 2 e jα2 =c 1 e j(α1-α2) /c 2 =ce jα .

У виразі с=с 1 /с 2 , = α 1 -α 2.

Неважко помітити, що за дії множення довжина вектора збільшується у величину з 2, А аргумент - на значення а 2. При поданні КЧ векторами дотримується закономірність: для множення вектора на КЧ виду aе jαдостатньо розтягнути вектор в араз і довернути на кут α .

Для обчислення добутку сполучених чисел достатньо взяти квадрат їх модуля:

ċĉ=(а+jb)(а-jb)=а 2 +b 2 , або ċĉ=сe jα сe -jα =с 2.

Для перемноження і поділу КЧ за певних умов зручно користуватися їх виразом алгебри. У такому вигляді дії проводяться за законами множення багаточленів та врахування значення j 2 =-1.

ċ=ċ 1 ċ 2 =(a 1 +jb 1)(a 2 +jb 2)=(a 1 a 2 -b 1 b 2)+j(b 1 a 2 +a 1 b 2).

Для поділу чисел достатньо позбутися значення j у виразі знаменника методом перемноження знаменника і чисельника на один і той же вираз сполученого знаменника:

ċ=ċ 1 /ċ 2 =((a 1 +jb 1)/(a 2 +jb 2))((a 2 -jb 2)/(a 2 -jb 2))=((a 1 a 2 + b 1 b 2)+(b 1 a 2 -a 1 b 2))/(a 2 2 +b 2 2)=a+jb;
a=(a 1 a 2 +b 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2);
b=(b 1 a 2 -a 1 b 2)/(a 2 2 +b 2 2).

Графіки побудованих векторних діаграм можуть мати зображення:

Для вираження значення струму із синусоїдальною формою користуються співвідношенням i=Imsin(ωt+ψ), яким зображують на комплексній площині вектор з довжиною Imта кутом нахилу ψ до горизонту. Його вираз Im=Imejψвважають комплексною амплітудою для струму. представляють графіком:

Щоб отримати діючу величину для струму, потрібно комплексну амплітуду розділити на √2 .

İ=İm/√2=e jψ Im/√2 =Ie jψ .

В електротехніці заголовні буквиз розташованими над ними точками (E, U, I)використовуються для позначення КЧ, що виражають синусоїдальні залежності від часу ЕРС, напруги та струму.

Позначення комплексної провідності та опору робиться великими літерами Yі Zдля показу їх модулів використовується рядкове написання уі z. Позначення комплексної потужностівиконується символом Sзі значком тільда "҇" над ним.

Електричний струм, щільність струму, електрична напруга, енергія при протіканні струму, потужність електричного струму
• Електричний струм
  Електричний струм - це явище впорядкованого руху електричних зарядів. За напрямок електричного струму приймається напрямок руху позитивних зарядів.

  Формула електричного струму:
  
  Електричний струм вимірюється у амперах. СІ: А.
  Електричний струм позначається латинськими літерами iабо I. Символом i(t)позначається «миттєве» значення струму, тобто. Струм довільного виду в будь-який момент часу. В окремому випадку він може бути постійним або змінним.
  
  Великий латинською літерою Iпозначається, зазвичай, постійне значення струму.
  У будь-якій ділянці нерозгалуженої електричного ланцюгапротікає однаковий за величиною струм, який прямо пропорційний напрузі на кінцях ділянки і обернено пропорційний його опору. Розмір струму визначається за законом Ома:
  1) для ланцюга постійного струму
  2) для ланцюга змінного струму ,
  де U- напруга, У;
  R- омічний опір, Ом;
  Z- Повний опір, Ом.
  Омічний опір провідника:
  ,
  де l- Довжина провідника, м;
  s- поперечний переріз, мм 2;
  ρ - питомий опір, (Ом · мм 2) / м.
  Залежність омічного опору від температури:
  R t = R 20,
  де R 20- опір при 20°C, Ом;
  R t- опір при t°C, Ом;
  α – температурний коефіцієнт опору.
  Повний опір ланцюга змінного струму:
  ,
  де - активний опір, Ом;
  - індуктивний опір, Ом;
  - індуктивність, Гн;
  - ємнісний опір, Ом;
  - ємність, Ф.
  Активний опір більший за омічний опір R:
  ,
  де - Коефіцієнт, що враховує збільшення опору при змінному струмі, що залежить від: частоти струму; магнітних властивостей, провідності та діаметра провідника.
  При промисловій частоті для нестальних провідників приймають і вважають .

• Щільність струму
  Щільність струму ( j) - це сила струму, розрахована на одиницю площі поперечного перерізу ( s)
  .
  Для рівномірного розподілу щільності струму і сонаправленности її з нормаллю до поверхні, якою протікає струм, формула щільності струму набуває вигляду:
  ,
  де I- сила струму через поперечний переріз провідника площею s.
  СІ: А/м 2
• Електрична напруга
  При протіканні струму, як і будь-якому переміщенні зарядів, відбувається процес перетворення енергії. Електрична напруга - кількість енергії, яку необхідно витратити на переміщення одиниці заряду з однієї точки до іншої.
  Формула електричної напруги:
  
  Електрична напруга позначається латинською літерою u. Символом u(t)позначається «миттєве» значення напруги, а великою латинською літерою Uпозначається, як правило, постійна напруга.
  Електрична напруга вимірюється у вольтах. СІ: У.
• Енергія при протіканні електричного струму
  Формула енергії при перебігу електричного струму:
  
  СІ: Дж
• Потужність при протіканні електричного струму
  Формула потужності при протіканні електричного струму:
  
  СІ: Вт.

Електричний ланцюг
• Електричний ланцюг- Це сукупність пристроїв, призначених для протікання ними електричного струму.
  Ці пристрої називаються елементами ланцюга.
• Джерела електричної енергії - Пристрої, що перетворюють різні видиенергії, наприклад, механічну або хімічну, в енергію електричного струму.
• Ідеальне джерело напруги- Джерело, напруга на затискачах якого не залежить від величини струму, що протікає через нього.
  
  Внутрішній опір ідеального джерела напруги можна умовно прийняти рівним нулю.
• Ідеальне джерело струму- Джерело, величина струму, що протікає через який не залежить від напруги на його затискачах.
  
  Внутрішнє опір такого джерела можна умовно прийняти рівним нескінченності.
• Приймач— це пристрій, що споживає енергію або перетворює електричну енергію на інші види енергії.
• Двополюсник- Це ланцюг, що має два затискачі для підключення (полюса).
• Ідеальний R-елемент (резистивний елемент, резистор)— це пасивний елемент ланцюга, у якому відбувається незворотний процес перетворення електричної енергії на теплову.
  Основний параметр резистора – це його опір.
  
  Опір вимірюється в омах. СІ: Ом
  Провідність- Це обернена величина по відношенню до опору.
  .
  Вимірюється провідність у сименсах. СІ: Див.
  Формула потужності R-елемента:
  .
  Формула енергії R-елемента:
  .
• Ідеальний С-елемент (ємнісний елемент, або конденсатор)— це пасивний елемент ланцюга, в якому відбувається процес перетворення енергії електричного струму в енергію. електричного поляі навпаки. В ідеальному C-елементі втрати енергії відсутні.
  Формула ємності:
  . Приклади: , .
  Струм у ємності:
  
  Напруги на ємності:
  .
  Закон комутації для ємнісного елемента.При струмі кінцевої амплітуди заряд на C-елементі не може змінитися стрибком: .
  .
  При незмінній ємності, напруга на ємнісному елементі не може змінитися стрибком: .
  Потужність C-елемента: .
  При p > 0- Енергія запасається, при p< 0
  Енергія C-елемента:
  , або
  .
  
  
  Місткість вимірюється у фарадах. СІ: Ф.
• Ідеальний L-елемент (індуктивний елемент або котушка індуктивності)— це такий пасивний елемент цін, у якому відбувається процес перетворення енергії електричного струму в енергію магнітного поля і навпаки. В ідеальному L-елементі втрати енергії відсутні.
  Для лінійного L-елементу формула індуктивності ( L) має вигляд:
  ,
  де – потокозчеплення.
  Індуктивність позначається буквою і відіграє роль коефіцієнта пропорційності між потоком та струмом.
  Напруга на індуктивному елементі:
  .
  Струм в індуктивному елементі:
  .
  Закон комутації індуктивного елемента.При напрузі кінцевої амплітуди, потокозчеплення не може змінитися стрибком: .
  .
  При постійної індуктивності струм в індуктивному елементі не може змінитися стрибком: .
  Потужність L-елемента: .
  При p > 0- Енергія запасається, при p< 0 - Енергія повертається в джерело.
  Енергія L-елемента:
  , або
  .
  Якщо на момент часу , енергія дорівнює 0, то
  
  Індуктивність вимірюється в генрі. СІ: Гн
  Приклад: .
• R, L, C- Основні пасивні двополюсні елементи електричних кіл.
  
  

Основні закони електричних кіл
• Закон Ома для ділянки ланцюга, що не містить джерело ЕРС.
  Закон Ома для ділянки ланцюга, що не містить джерело ЕРС, встановлює зв'язок між струмом та напругою на цій ділянці.
  
  Стосовно даного малюнка, математичне вираз закону Ома має вигляд:
  , або
  Формулюється ця рівність так: при постійному опорі провідника напруга у ньому пропорційно струму у провіднику.
• Закон Ома для ділянки ланцюга, що містить джерело ЕРС
  Для схеми
  
  
  .
  Для схеми
  
  
  .
  У загальному випадку
  .
• Закон Джоуля-Ленца. Енергія, що виділяється на опорі Rпри протіканні по ньому струму I, пропорційна добутку квадрата сили струму та величини опору:
  
• Закони Кірхгофа.
  Топологія (будова) ланцюга.
  Електрична схема — графічне зображенняелектричного кола.
  Гілка‐ ділянка ланцюга, що містить один або кілька послідовно з'єднаних елементів і укладена між двома вузлами.
  Вузол‐ точка ланцюга, де сходиться не менше трьох гілок. Вузли нумерують довільно, зазвичай, арабською цифрою. На схемі вузол може бути позначений точкою, а може й бути не позначений. Як правило, не позначають ті вузли, розташування яких очевидне (т-подібні з'єднання). Якщо гілки, що перетинаються, утворюють вузол, то він позначається точкою. Якщо місці перетину гілок точки немає, те й вузла немає (проводи лежать друг на друге).
  Контур– замкнутий шлях, що проходить кількома гілками. Контури є незалежними, якщо відрізняються хоча б однією гілкою. Контура позначають стрілкою із зазначеним напрямом обходу та римською цифрою. Напрямок обходу вибирають довільно. Незалежних контурів у схемі може бути багато, при цьому не всі контури необхідні для складання достатньої для вирішення задачі кількості рівнянь.
  
  
  1) алгебраїчна сума струмів, що підтікають до будь-якого вузла схеми, дорівнює нулю:
  ;
  
  2) сума струмів, що підтікають до будь-якого вузла, дорівнює сумі струмів, що витікають від вузла:
  . .
  Другий закон Кірхгофа:
  1) алгебраїчна сума падінь напруги в будь-якому замкнутому контурі дорівнює сумі алгебри ЕРС вздовж того ж контуру:
  
  2) алгебраїчна сума напруг (не падінь напруги!) вздовж будь-якого замкнутого контуру дорівнює нулю:
  . .
• Матрична форма запису рівнянь Кірхгофа:
  ,
  де А, У- Коефіцієнтів при струмах і напругах порядку p х p (p- Число гілок схеми; q- Число вузлів схеми);
  I, E- невідомих струмів та заданих ЕРС
  Елементами матриці Ає коефіцієнти при струмах у лівій частині рівнянь, складених за першим і другим законам Кірхгофа. Перші рядки матриці Амістять коефіцієнти при струмах у рівняннях, складених за першим законом Кірхгофа, та мають елементи +1, -1, 0 залежно від того, з яким знаком входить даний струмрівняння.
  Елементи наступних рядків матриці Арівні значенням опору при відповідних струмах у рівняннях, складених за другим законом Кірхгофа, з відповідним знаком. Елементи матриці Урівні коефіцієнтам при ЕРС у правій частині рівнянь, складених за законами Кірхгофа. Перші рядки матриці мають нульові елементи, оскільки ЕРС у правій частині рівнянь, записаних за першим законом Кірхгофа, відсутні. Інші рядки містять елементи +1, -1 в залежності від того, з яким знаком входить ЕРС до рівняння, і 0, якщо ЕРС до рівняння не входить.
  Загальне рішення рівнянь, складених за законами Кірхгофа:
  ,
  де - матриця провідностей.
  .
  Струми в кожній галузі:
  ;
  ;
  
  .
Режими роботи електричних кіл
• Номінальний режим роботи елемента електричного кола— це режим, коли він працює з номінальними параметрами.
• Узгоджений режим- це режим, при якому потужність, що віддається джерелом або споживана приймачем, має максимальне значення. Таке значення виходить за певного співвідношення (узгодження) параметрів електричного ланцюга.
• Режим холостого ходу — це такий режим, коли через джерело чи приймач не протікає електричний струм. При цьому джерело не віддає енергії в зовнішню частинуланцюга, а приймач не споживає її. Для двигуна це буде режим без механічного навантаження навалу.
• Режим короткого замикання - це режим, що виникає при з'єднанні між собою різноіменних затискачів джерела або пасивного елемента, а також ділянки електричного кола, що знаходиться під напругою.
Електричні ланцюги постійного струму
• Якщо постійний струм, то відсутнє явище самоіндукції і напруга на котушці індуктивності дорівнює нулю:
  , так як
• Постійний струм через ємність не проходить.
• це ланцюг з одним джерелом при послідовному, паралельному або змішаному з'єднанніприймачів.
  
  При послідовному з'єднанніприймачів:
  I×R екв;
  R екв = ΣR i.
  При паралельному з'єднанні приймачів напруга на всіх приймачах однакова.
  За законом Ома струми в кожній галузі:
  .
  За першим законом Кірхгофа загальний струм:
  E×G екв;
  G екв = G 1 + G 2 + ... + G n; R екв =1/G екв.
  При змішаному з'єднанні:
  R екв =.
• Метод контурних струмів.
  Метод заснований на застосуванні другого закону Кірхгофа та дозволяє скоротити при розрахунку складних системчисло розв'язуваних рівнянь.
  У взаємно незалежних контурах, де для кожного контуру хоча б одна гілка входить тільки до цього контуру, розглядають умовні контурні струми у всіх гілках контуру.
  Контурні струми, на відміну струмів гілок, мають такі індекси: або
  Рівняння становлять за другим законом Кірхгофа для контурних струмів.
  Струми гілок виражають через контурні струми за першим законом Кірхгофа.
  Число вибраних контурів і число розв'язуваних рівнянь дорівнює кількості рівнянь, що складаються за другим законом Кірхгофа: .
  Сума опорів всіх резистивних елементів кожного контуру зі знаком плюс є коефіцієнтом при струмі контуру, що має наступні індекси: або
  Знак коефіцієнта при струмі суміжних контурів залежить від збігу або розбіжності напряму суміжних контурних струмів. ЕРС входять у рівняння зі знаком плюс, якщо напрями ЕРС і напрям струму контуру збігаються. .
• Метод вузлових потенціалів.
  Метод заснований на застосуванні першого закону Кірхгофа і дозволяє скоротити кількість розв'язуваних рівнянь при знаходженні невідомих струмів до . При складанні рівнянь потенціал одного з вузлів схеми приймають рівним нулю, а струми гілок виражають через невідомі потенціали решти інших вузлів схеми і для них записують рівняння за першим законом Кірхгофа. Вирішення системи рівнянь дозволяє визначити невідомі потенціали, а через них знайти струми гілок.
  При http:="" title="U_(12)=(sum(i=1)(m)(E_i/R_i))/(sum(i=1)(n)(1/R_i) )=(sum(i=1)(m)(E_i*G_i))/(sum(i=1)(n)(G_i))">.!}
  .
• Метод пропорційної величі.
  Метод застосовують для знаходження невідомих струмів при ланцюжковому з'єднанні резистивних елементів електричних ланцюгах з одним джерелом. Струми та напруги, а також і відому ЕРС ланцюга виражають через струм найвіддаленішої від джерела гілки. Завдання зводиться вирішення одного рівняння з одним невідомим.
• Баланс потужностей
  На підставі закону збереження енергії потужність, що розвивається джерелами електричної енергії, повинна дорівнювати потужності перетворення в ланцюги електричної енергії в інші види енергії:
  .
  - Сума потужностей, що розвиваються джерелами;
  - Сума потужностей всіх приймачів і незворотних перетворень енергії всередині джерел.
  Баланс потужностей складають, щоби перевірити правильність знайденого рішення. При цьому порівнюють потужність, внесену в коло джерелами енергії з потужністю, що витрачається споживачами.
  Формула потужності для одного резистора:
  
  Сумарна потужність споживачів:
  P П=
  Потужність джерел:
  P іст = P E + P J,
  де P E = ±EI- Потужність джерела ЕРС(визначаться множенням його ЕРС на струм, що протікає в цій галузі. Струм беруть зі знаком, отриманим в результаті розрахунку. Мінус перед добутком ставлять, якщо напрям струму та ЕРС не збігаються на схемі);
  P J = JU J- Потужність джерела струму (визначаться множенням струму джерела на падіння напруги на ньому).
  Для визначення U J вибирають будь-який контур, який включав би джерело струму. Позначають падіння U Jна схемі проти струму джерела і записують контурне рівняння. Усі величини, крім U J, в даному рівнянні вже відомі, що дозволяє розрахувати падіння напруги U J.
  Порівняння потужностей: P іст = P П. Якщо рівність дотримано, отже, баланс зійшовся і розрахунок струмів є вірним.
• Алгоритм розрахунку ланцюга за законами Кірхгофа
  1. Довільно наносимо на схему номера та напрями невідомих струмів.
  2. Довільно наносимо на схему номера вузлів.
  3. Складаємо вузлові рівняння для довільно обраних вузлів (за першим законом).
  4. Позначаємо на схемі контуру та вибираємо напрямки їхнього обходу.
  5. Кількість контурів, що позначаються, дорівнює кількості рівнянь, що складаються за другим законом Кірхгофа. При цьому жоден з контурів не повинен включати галузь з джерелом струму.
  6. Складаємо контурні рівняння для вибраних контурів (за другим законом).
  7. Об'єднуємо складені рівняння у систему. Відомі величини переносимо в праву частинурівнянь. Коефіцієнти при струмах, що шукаються, вносимо в матрицю А(ліві частини рівнянь) (про матриці читаємо). Заповнюємо матрицю F, заносячи до неї праві частини рівнянь.
  8. Вирішуємо отриману систему рівнянь ().
  9. Перевіряємо правильність рішення складанням балансу потужностей.
     Приклад: .
Електричні ланцюги змінного струму
• Електричний ланцюг синусоїдального струму— це електричний ланцюг, в якому ЕРС, напруги та струми, що змінюються за синусоїдальним законом:
  
• Змінний струм— це струм, який періодично змінюється за величиною і напрямом і характеризується амплітудою, періодом, частотою та фазою.
• Амплітуда змінного струму- це найбільше значення, Позитивне або негативне, що приймається змінним струмом.
• Період- Це час, протягом якого відбувається повне коливання струму в провіднику.
• Частота— це величина, обернена до періоду.
• Фаза- Це кут або , що стоїть під знаком синуса. Фаза характеризує стан змінного струму з часом. При t=0 фаза називається початковою.
• Періодичний режим: . До такого режиму може бути віднесений синусоїдальний:
  ,
  де - Амплітуда;
  - Початкова фаза;
  - Кутова швидкість обертання ротора генератора.
  При f= 50 Гц рад/с.
• Синусоїдальний струм— це струм, що змінюється у часі за синусоїдальним законом:
  .
• Середнє значення синусоїдального струму (ЕРС, напруга), формула:
  ,
  тобто середнє значення синусоїдального струму становить від амплітудного. Аналогічно,
  .
• Чинне значення синусоїдального струму (ЕРС, напруга), формула:
  . Аналогічно,
  .
• Кількість теплоти, виділена за один період синусоїдальним струмом, формула:
  .
  Чинне значення синусоїдального струму Iчисельно дорівнює значенню такого постійного струму, який за час, що дорівнює періоду синусоїдального струму, виділяє таку ж кількість теплоти, що і синусоїдальний струм.
  =R×I пост 2×Tабо I пост=I=
• Коефіцієнт амплітуди синусоїдального струму (κ a)- це відношення амплітуди синусоїдального струму до чинного значення синусоїдального струму: .
• Коефіцієнт форми синусоїдального струму (κ ф)- це відношення чинного значеннясинусоїдального струму до середнього за пів періоду значення синусоїдального струму:
  κ ф=.
  Для несинусоїдальних періодичних струмів κ a≠, κ ф≠1,11. Це відхилення побічно свідчить у тому, наскільки несинусоїдальний струм відрізняється від синусоїдального.
Основи комплексного методу розрахунку електричних кіл
• будь-яке комплексне число можна уявити:
  а) в формі алгебри
  б) у тригонометричній формі
  в) у показовій формі
  де - Формула Ейлера;
  г) вектором на комплексній площині
  
  де - уявна одиниця;
  - Реальна частина комплексного числа (проекція вектора на вісь речових);
  - уявна частина комплексного числа (проекція вектора на вісь уявних);
  - модуль комплексного числа;
  - Головне значення аргументу комплексного числа.
  Розв'язані приклади щодо дій над комплексними числами.
• Синусоїдальний струм i .
• Комплексна амплітуда струму— комплексне число модуль і аргумент якого відповідно дорівнюють амплітуді та початковій фазі синусоїдального струму:
  .
• Комплексний струм (комплексний струм, що діє):
  
  
• Синусоїдальній напрузі uможе бути поставлене у відповідність комплексне число .
• Комплексна амплітуда напруги— комплексне число модуль і аргумент якого відповідно дорівнюють амплітуді та початковій фазі синусоїдальної напруги:
  .
• Комплексний опір:
  
  Активний опір у комплексній формівиражається дійсним позитивним числом.
  Реактивний опір у комплексній формівиражається уявними числами, причому індуктивний опір ( X L) позитивно, а ємнісне ( X C) Негативно.
  Повний опір ділянки ланцюгапри послідовному з'єднанні Rі Xвиражається комплексним числом, дійсна частинадорівнює активному опору, а уявна частина реактивному опору цієї ділянки.
• Трикутник опорів:
  
  
  
• Трикутник напруг:
  
  
  
  
• Трикутник потужностей:
  
  Повна потужність:
  Активна потужність:
  Реактивна потужність:
  
• Закон Ома у комплексній формі:
  .
• Перший закон Кірхгофа у комплексній формі:
  .
• Другий закон Кірхгофа у комплексній формі:
  .
Резонансні явища в електричних ланцюгах
Ідеальний активний опір не залежить від частоти, індуктивний опір лінійно залежить від частоти, ємнісний опір залежить від частоти за гіперболічним законом:





• Резонанс напруги.
  Резонансом в електричних ланцюгах називається режим ділянки електричного ланцюга, що містить індуктивний і ємнісний елементи, при якому різниця фаз між напругою і струмом дорівнює нулю.
  Режим резонансу можна отримати при зміні частоти ω напруги живлення або зміною параметрів Lі C.
  При послідовному з'єднанні виникає резонанс напруги.
  
  
  Струм у схемі дорівнює:
  
  При збігу вектора струму з вектором напруги фазою:
  
  
  
  де - Резонансна частота напруги, що визначається з умови
  
  Тоді
  
  Хвильовий чи характеристичний опір послідовного контуру:
  
  Добротність контуру- Це відношення напруги на індуктивності або ємності до напруги на вході в режимі резонансу:
  
  Добротність контуру є коефіцієнт посилення по напрузі:
  U Lрез=I рез X рез=
  У промислових мережахРезонанс напруги є аварійним режимом, оскільки збільшення напруги на конденсаторі може призвести до його пробою, а зростання струму - до нагрівання проводів та ізоляції.
• Резонанс струмів.
  
  
  Резонанс струмів може виникнути при паралельному з'єднанні реактивних елементів у ланцюгах змінного струму. У цьому випадку: де
  
  тоді
  
  При резонансній частоті реактивні складові провідності можуть зрівнятися за модулем і сумарна провідність буде мінімальною. При цьому загальний опірстає максимальним, загальний струм мінімальним, вектор струму збігається з вектором напруги. Таке явище називається резонансом струмів.
  Хвильова провідність: .
  При g<< b L струм у галузі з індуктивністю значно більше загального струму, тому таке явище називається резонансом струмів.
  Резонансна частота:
  ω* =
  З формули випливає:
  1) резонансна частота залежить від параметрів як реактивних опорів, а й активних;
  2) резонанс можливий, якщо R Lі R CБільше або менше ρ , інакше частота буде уявною величиною і резонанс не можливий;
  3) якщо R L = R C = ρто частота буде мати невизначене значення, що означає можливість існування резонансу на будь-якій частоті при збігу фаз напруги живлення і загального струму;
  4) при R L = R C<< ρ Резонансна частота напруги дорівнює резонансній частоті струму.
  Енергетичні процеси в ланцюзі при резонансі струмів аналогічні процесам при резонансі напруги.
  Реактивна потужність при резонансі струмів дорівнює нулю. Детально, реактивна потужністьрозглянута

З листа клієнта:
Підкажіть, заради Бога, чому потужність ДБЖ вказується у Вольт-Амперах, а не у звичних для всіх кіловат. Це сильно напружує. Адже всі вже давно звикли до кіловатів. Та й потужність всіх приладів здебільшого вказана у кВт.
Олексій. 21 червня 2007

У технічних характеристиках будь-якого ДБЖ вказані повна потужність [кВА] та активна потужність [кВт] – вони характеризують здатність навантаження ДБЖ. Наприклад, див. фотографії нижче:

Потужність не всіх приладів вказана у Вт, наприклад:

• Потужність трансформаторів вказується у ВА:
  http://www.mstator.ru/products/sonstige/powertransf (трансформатори ТП: см додаток)
  http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (трансформатори ТСГЛ: см додаток)
• Потужність конденсаторів вказується у Варах:
  http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (конденсатори K78-39: см додаток)
  http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (конденсатори КК: см додаток)
• Приклади інших навантажень - див.

Потужні характеристики навантаження можна точно задати одним єдиним параметром (активна потужність в Вт) тільки для випадку постійного струму, так як в ланцюзі постійного струму існує єдиний тип опору - активний опір.

Потужні характеристики навантаження для випадку змінного струму неможливо точно задати одним єдиним параметром, так як в ланцюзі змінного струму існує два різні типи опору - активний і реактивний. Тому лише два параметри: активна потужність та реактивна потужність точно характеризують навантаження.

Принцип дії активного та реактивного опорів зовсім різний. Активний опір – незворотно перетворює електричну енергію на інші види енергії (теплову, світлову тощо) – приклади: лампа розжарювання, електронагрівач (параграф 39, Фізика 11 клас В.А. Касьянов М.: Дрофа, 2007).

Реактивне опір – поперемінно накопичує енергію потім видає її у мережу – приклади: конденсатор, котушка індуктивності (параграф 40,41, Фізика 11 клас В.А. Касьянов М.: Дрофа, 2007).

Далі в будь-якому підручнику з електротехніки Ви можете прочитати, що активна потужність (розсіювана на активному опорі) вимірюється у ВАТ, а реактивна потужність (циркулює через реактивний опір) вимірюється у варах; так само для характеристики потужності навантаження використовують ще два параметри: повну потужність та коефіцієнт потужності. Всі ці 4 параметри:

1. Активна потужність: позначення P, одиниця виміру: Ватт
2. Реактивна потужність: позначення Q, одиниця виміру: ВАр(Вольт Ампер реактивний)
3. Повна потужність: позначення S, одиниця виміру: ВА(Вольт Ампер)
4. Коефіцієнт потужності: позначення kабо cosФ, одиниця виміру: безрозмірна величина

Ці параметри пов'язані співвідношеннями: S * S = P * P + Q * Q, cos Ф = k = P / S

Також cosФназивається коефіцієнтом потужності ( Power Factor – PF)

Тому в електротехніці для характеристики потужності задаються будь-які два з цих параметрів, оскільки інші можуть бути знайдені з цих двох.

Наприклад, електромотори, лампи (розрядні) – у тих. даних зазначені P[кВт] та cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (двигуни АІР: див. додаток)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 (лампи ДРЛ: див. додаток)
(Приклади технічних даних різних навантажень див. додаток нижче)

Те саме і з джерелами харчування. Їхня потужність (навантажувальна здатність) характеризується одним параметром для джерел живлення постійного струму – активна потужність (Вт), і двома параметрами для іст. живлення змінного струму. Зазвичай цими двома параметрами є повна потужність (ВА) та активна (Вт). наприклад, параметри ДГУ та ДБЖ.

Більшість офісної та побутової техніки, активні (реактивний опір відсутня чи мало), тому їх потужність вказується у Ваттах. У цьому випадку під час розрахунку навантаження використовується значення потужності ДБЖ у Ваттах. Якщо навантаженням є комп'ютери з блоками живлення (БП) без корекції вхідного коефіцієнта потужності (APFC), лазерний принтер, холодильник, кондиціонер, електромотор (наприклад, занурювальний насос або мотор у складі верстата), люмінісцентні баластові лампи та ін. – при розрахунку використовуються всі вих . дані ібп: кВА, кВт, перевантажувальні характеристики та ін.

Див. підручники з електротехніки, наприклад:

1. Євдокимов Ф. Є. Теоретичні основиелектротехніки. - М: Видавничий центр "Академія", 2004.

2. Нємцов М. В. Електротехніка та електроніка. - М: Видавничий центр "Академія", 2007.

3. Частоїдів Л. А. Електротехніка. - М: Вища школа, 1989.

Також див. AC power, Power factor, Electrical resistance, Reactance http://en.wikipedia.org
(Переклад: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

додаток

Приклад 1: потужність трансформаторів та автотрансформаторів вказується у ВА (Вольт·Амперах)

http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (трансформатори ТСГЛ)

Однофазні автотрансформатори
TDGC2-0.5 kVa, 2A		АОСН-2-220-82
TDGC2-1.0 kVa, 4A	Латр 1.25	АОСН-4-220-82
TDGC2-2.0 kVa, 8A	Латр 2.5	АОСН-8-220-82
TDGC2-3.0 kVa, 12A
TDGC2-4.0 kVa, 16A
TDGC2-5.0 kVa, 20A		АОСН-20-220
TDGC2-7.0 kVa, 28A
TDGC2-10 kVa, 40A		АОМН-40-220
TDGC2-15 kVa, 60A
TDGC2-20 kVa, 80A

http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (ЛАТР / лабораторні автотрансформатори TDGC2)

Приклад 2: потужність конденсаторів вказується у Варах (Вольт Амперах реактивних)

http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (конденсатори K78-39)

http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (конденсатори КК)

Приклад 3: технічні дані електромоторів містять активну потужність (кВт) та cosФ

Для таких навантажень як електромотори, лампи (розрядні), комп'ютерні блоки живлення, комбіновані навантаження та ін. - в технічних даних зазначені P [кВт] та cosФ (активна потужність та коефіцієнт потужності) або S [кВА] та cosФ (повна потужність та коефіцієнт потужності).

http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(Комбінована навантаження - верстат плазмового різання сталі / Inverter Plasma cutter LGK160 (IGBT)

http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (блок живлення ПК)

Додаток 1

Якщо навантаження має високий коефіцієнт потужності (0.8…1.0), то її властивості наближаються до активного навантаження. Таке навантаження є ідеальним як мережної лінії, так джерел електроенергії, т.к. не породжує реактивних струмів та потужностей у системі.

Тому в багатьох країнах прийнято стандарти, що нормують коефіцієнт потужності обладнання.

Додаток 2

Устаткування однонавантажувальне (наприклад, БП ПК) та багатоскладове комбіноване (наприклад, фрезерний промисловий верстат, що має у складі кілька моторів, ПК, освітлення та ін.) мають низькі коефіцієнти потужності (менше 0.8) внутрішніх агрегатів (наприклад, випрямляч БП ПК або електромотор мають коефіцієнт потужності 0.6.. 0.8). Тому в даний час більшість обладнання має вхідний блок коректора коефіцієнта потужності. В цьому випадку вхідний коефіцієнт потужності дорівнює 0.9...1.0, що відповідає нормативним стандартам.

Додаток 3. Важливе зауваження щодо коефіцієнта потужності ДБЖ та стабілізаторів напруги

Навантажувальна здатність ДБЖ та ДДУ нормована на стандартне промислове навантаження (коефіцієнт потужності 0.8 з індуктивним характером). Наприклад, ДБЖ 100 кВА/80 кВт. Це означає, що пристрій може мати активне навантаження максимальної потужності 80 кВт, або змішане (активно-реактивне) навантаження максимальної потужності 100 кВА з індуктивним коефіцієнтом потужності 0.8.

У стабілізаторах напруги справа інакша. Для стабілізатора коефіцієнт потужності навантаження байдужий. Наприклад, стабілізатор напруги 100 кВА. Це означає, що пристрій може живити активне навантаження максимальної потужності 100 кВт, або будь-яку іншу (чисто активну, реактивну, змішану) потужністю 100 кВА або 100 кВАр з будь-яким коефіцієнтом потужності ємнісного або індуктивного характеру. Зверніть увагу, що це справедливо для лінійного навантаження (без вищих гармонік струму). При великих гармонічних спотвореннях струму навантаження (високий КНД) вихідна потужність стабілізатора знижується.

Додаток 4

Наочні приклади чистого активного та чистого реактивних навантажень:

• До мережі змінного струму 220 VAC підключена лампа розжарювання 100 Вт – скрізь у ланцюзі є струм провідності (через провідники проводів та вольфрамову волосину лампи). Характеристики навантаження (лампи): потужність S=P~=100 ВА=100 Вт, PF=1 => вся електрична потужністьактивна, а значить вона повністю поглинається в лампі і перетворюється на потужність тепла та світла.
• До мережі змінного струму 220 VAC підключений неполярний конденсатор 7 мкФ - в ланцюзі проводів є струм провідності, всередині конденсатора йде струм зміщення (через діелектрик). Характеристики навантаження (конденсатора): потужність S = Q ~ = 100 ВА = 100 ВАр, PF = 0 => вся електрична потужність реактивна, а значить вона постійно циркулює від джерела до навантаження і назад, знову до навантаження і т.д.

Додаток 5

Для позначення переважаючого реактивного опору (індуктивного чи ємнісного) коефіцієнту потужності приписується символ:

+ (Плюс)– якщо сумарний реактивний опір індуктивний (приклад: PF=+0.5). Фаза струму відстає від фази напруги кут Ф.

- (мінус)– якщо сумарний реактивний опір є ємнісним (наприклад: PF=-0,5). Фаза струму випереджає фазу напруги кут Ф.

Додаток 6

Додаткові запитання

Питання 1:
Чому в усіх підручниках електротехніки при розрахунку ланцюгів змінного струму використовують уявні числа/величини (наприклад, реактивна потужність, реактивний опір та ін.), які не існують у реальності?

Відповідь:
Так, всі окремі величини в навколишньому світі – дійсні. У тому числі температура, реактивний опір і т.д. Використання уявних (комплексних) чисел – це лише математичний прийом, який полегшує обчислення. В результаті обчислення виходить обов'язково дійсне число. Приклад: реактивна потужність навантаження (конденсатора) 20кВАр – це реальний потік енергії, тобто реальні Вати, що циркулюють у ланцюзі джерело-навантаження. Але щоб відрізнити ці Ватти від Ваттов, безповоротно поглащаемых навантаженням, ці «Ватти, що циркулюють» вирішили називати Вольт·Амперами реактивними.

Примітка:
Раніше у фізиці використовувалися лише одиночні величини і при розрахунку всі математичні величини відповідали реальним величинам навколишнього світу. Наприклад, відстань дорівнює швидкість помножити на час (S = v * t). Потім з розвитком фізики, тобто в міру вивчення більш складних об'єктів(світло, хвилі, змінний електричний струм, атом, космос та ін.) з'явилося таке велика кількість фізичних величин, Що розраховувати кожну окремо стало неможливо. Це проблема як ручного обчислення, а й проблема складання програм для ЕОМ. Для вирішення це завданняблизькі одиночні величини стали об'єднувати у складніші (що включають 2 і більше одиночних величин), що підпорядковуються відомим у математиці законам перетворення. Так з'явилися скалярні (поодинокі) величини (температура та ін), векторні та комплексні здвоєні (імпеданс та ін), векторні будовені (вектор магнітного поля та ін), і більш складні величини – матриці та тензори (тензор діелектричної проникності, тензор Річчі та ін.). Для спрощення розрахунків в електротехніці використовуються такі уявні (комплексні) здвоєні величини:

1. Повний опір (імпеданс) Z = R + iX
2. Повна потужність S = P + iQ
3. Діелектрична проникність e=e"+ie"
4. Магнітна проникність m=m"+im"
5. та ін.

Питання 2:

На сторінці http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power показані S P Q Ф на комплексній, тобто уявній/неіснуючій площині. Який стосунок це все має до реальності?

Відповідь:
Проводити розрахунки з реальними синусоїдами складно, тому для спрощення обчислень використовують векторне (комплексне) подання як на рис. вище. Але це не означає, що показані на малюнку S P Q не мають відношення до реальності. Реальні величини S P Q можуть бути представлені у звичайному вигляді на основі вимірювань синусоїдальних сигналів осцилографом. Величини S P Q Ф I U в ланцюзі змінного струму «джерело-навантаження» залежать від навантаження. Нижче показаний приклад реальних синусоїдальних сигналів S P Q і Ф для випадку навантаження що складається з послідовно з'єднаних активного та реактивного (індуктивного) опорів.

Питання 3:
Звичайними струмовими кліщами і мультиметром виміряний струм навантаження 10 A, і напруга на навантаженні 225 В. Перемножуємо та отримуємо потужність навантаження Вт: 10 A · 225В = 2250 Вт.

Відповідь:
Ви отримали (розрахували) повну потужність навантаження 2250 ВА. Тому ваша відповідь буде справедливою тільки, якщо ваше навантаження чисто активне, тоді справді Вольт Ампер дорівнює Ватту. Для інших типів навантажень (наприклад електромотор) – немає. Для вимірювання всіх характеристик будь-якого довільного навантаження необхідно використовувати аналізатор мережі, наприклад APPA137:

Див. додаткову літературу, наприклад:

Євдокимов Ф. Є. Теоретичні основи електротехніки. - М: Видавничий центр "Академія", 2004.

Нємцов М. В. Електротехніка та електроніка. - М: Видавничий центр "Академія", 2007.

Частоєдов Л. А. Електротехніка. - М: Вища школа, 1989.

AC Power, Power factor, Electrical resistance, Reactance
http://en.wikipedia.org (переклад: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Теорія та розрахунок трансформаторів малої потужності Ю.Н.Стародубцев / РадіоСофт Москва 2005 / rev d25d5r4feb2013