Застосування правил математики: двійкова система числення – переклад чисел. Двійкові числа, цифри та двійкова система числення. Переведення числа в двійкову систему числення з десяткової

Запишіть число у двійковій системі числення, а ступеня двійки праворуч наліво.Наприклад, хочемо перетворити двійкове число 10011011 2 в десяткове. Спочатку запишемо його. Потім запишемо ступеня двійки праворуч наліво. Почнемо з 20, що дорівнює "1". Збільшуємо ступінь на одиницю кожного наступного числа. Зупиняємось, коли кількість елементів у списку дорівнює числу цифр у двійковому числі. Наше число для прикладу, 10011011, включає вісім цифр, тому список з восьми елементів буде виглядати так: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Запишіть цифри двійкового числа під відповідними ступенями двійки.Тепер просто запишіть 10011011 під числами 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, і 1, щоб кожна двійкова цифра відповідала свого ступеня двійки. Найправіша "1" двійкового числа повинна відповідати правій "1" зі ступенів двійок, і так далі. Якщо вам зручніше, ви можете записати двійкове число над ступенями двійки. Найважливіше – щоб вони відповідали одне одному.

З'єднайте цифри у двійковому числі з відповідними ступенями двійки.Намалюйте лінії (справа ліворуч), які з'єднують кожну наступну цифру двійкового числа зі ступенем двійки, що знаходиться над нею. Почніть побудову ліній зі з'єднання першої цифри двійкового числа з першим ступенем двійки над нею. Потім намалюйте лінію від другої цифри двійкового числа до другого ступеня двійки. Продовжуйте з'єднувати кожну цифру з відповідним ступенем двійки. Це допоможе вам візуально побачити зв'язок між двома різними наборами чисел.

Запишіть кінцеве значення кожного ступеня двійки.Пройдіться по кожній цифрі двійкового числа. Якщо ця цифра 1, запишіть відповідний рівень двійки під цифрою. Якщо ця цифра є 0, запишіть під цифрою 0.

Оскільки "1" відповідає "1", вона залишається "1". Оскільки "2" відповідає "1", вона залишається "2". Оскільки "4" відповідає "0", вона стає "0". Так як "8" відповідає "1", вона стає "8", і так як "16" відповідає "1" вона стає "16". "32" відповідає "0" і стає "0", "64" відповідає "0" і тому стає "0", тоді як "128" відповідає "1" і стає 128.

Складіть значення, що вийшло.Тепер складіть цифри, що вийшли під лінією. Ось що ви повинні зробити: 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155. Це десятковий еквівалент бінарного числа 10011011.

Запишіть відповідь разом з нижнім індексом, що дорівнює системі числення.Тепер все, що вам залишилося зробити – це записати 155 10 , щоб показати, що ви працюєте з десятковою відповіддю, яка оперує ступенями десятки. Чим більше ви перетворюватимете двійкові числа в десяткові, тим простіше вам буде запам'ятати ступеня двійки, і тим швидше ви зможете виконувати дане завдання.

Використовуйте цей метод, щоб перетворити двійкове число з десятковою точкою на десяткову форму.Ви можете використовувати цей метод, навіть якщо ви хочете перетворити двійкове число, таке як 1.1 2 в десяткове. Все, що вам необхідно знати – це те, що число у лівій частині десяткового числа – це звичайне число, а число у правій частині десяткового числа – це число поділів надвоє, або 1 x (1/2).

"1" зліва від десяткового числа відповідає 20, або 1. 1 праворуч від десяткового числа відповідає 2 -1, або.5. Складіть 1 і.5 і ви отримаєте 1.5, що є еквівалентом 1.1 2 у десятковому вигляді.

Для мікросхем комп'ютера важливе лише одне. Або сигнал є (1), або його немає (0). Але записувати програми у двійковому коді – справа нелегка. На папері виходять дуже довгі комбінації з нулів та одиниць. Людині їх важко.

Використання звичної для всіх десяткової системи в комп'ютерній документації та програмуванні дуже незручно. Перетворення з двійкової на десяткову системи і назад - дуже трудомісткі процеси.

Походження восьмеричной системи, як і десяткової, пов'язують із рахунком на пальцях. Але рахувати треба не пальці, а проміжки між ними. Їх якраз вісім.

Вирішенням проблеми стала вісімкова. Принаймні на зорі комп'ютерної техніки. Коли розрядність процесорів була невелика. Восьмерична система дозволила з легкістю переводити як двійкові числа у вісімкові, так і навпаки.

Восьмерична система числення - система числення з основою 8. Для представлення чисел у ній використовуються цифри від 0 до 7.

Перетворення

Щоб перевести число в двійкове, необхідно замінити кожну цифру восьмеричного числа на трійку з двійкових цифр. Важливо лише запам'ятати, яка бінарна комбінація відповідає цифрам числа. Їх зовсім небагато. Усього вісім!

У всіх системах числення, крім десяткового, знаки читаються по одному. Наприклад, у вісімковій системі число 610 вимовляється "шість, один, нуль".

Відео на тему

У компонентів електронних машин, до яких належать і комп'ютери, є лише два помітні стани: є струм і немає струму. Їх позначають "1" та "0" відповідно. Оскільки таких станів лише два, багато процесів та операцій в електроніці можна описати за допомогою двійкових чисел.

Інструкція

Ділимо десяткове число на два до тих пір, поки не отримаємо неподільний на два залишки. На кроці отримаємо залишок 1 (якщо число було непарним) або 0 (якщо ділене ділиться на два без залишку). Усі ці залишки обов'язково мають бути враховані. Остання приватна, отримана в результаті такого покрокового поділу, завжди буде одиницею.
Записуємо останню одиницю старший розряд шуканого двійкового , а отримані у процесі залишки записуємо за цією одиницею у порядку. Тут треба бути уважним та не пропускати нулі.
Таким чином, числу 235 у двійковому коді буде відповідати число 11101011.

Тепер переведемо в двійкову систему числення дробову частину десяткового числа. Для цього послідовно множимо дробову частину числа на 2 і фіксуємо цілі отриманих. Ці цілі частини дописуємо до отриманого в попередньому етапі числа після двійкової в прямому порядку.
Тоді десятковому дрібному числу 235.62 відповідає двійкове дрібне 11101011.100111.

Відео на тему

Зверніть увагу

Двійкова дробова частина числа буде кінцевою, тільки якщо дробова частина вихідного числа кінцева і закінчується на 5. Найпростіший випадок: 0.5 х 2 = 1, отже 0.5 у десятковій системі – це 0.1 у двійковій.

Джерела:

Переклад десяткових чисел у двійкову систему числення у 2019

Порада 4: Як перевести в десяткову систему двійкові числа

Двійкова або бінарна система числення використовується для відображення електронної інформації. Будь-яке число можна записати у двійковому вигляді. Двійкова система використовується у всіх обчислювальних машинах. Кожен запис у них кодується за певними правилами за допомогою набору двох символів: 0 і 1. Перевести двійкове число в його десяткове уявлення, зручніше для користувача, можна за допомогою розробленого алгоритму.

Інструкція

Подайте число у вигляді запису ступенів по 2. Для цього всі вісім цифр послідовно множимо на число 2, зведене в . Ступінь має відповідати розряду цифри. Розряд вважається від нуля, починаючи з молодшого, найправішого символу двійкового числа. Усі вісім складених творів запишіть у .

Порада 5: Як записувати десяткове число в двійковій системі числення

Десяткова система числення- Одна з найпоширеніших в математичній теорії. Однак з появою інформаційних технологій, двійкова система набула не менш широкого поширення, оскільки вона є основним способом подання інформації в комп'ютерній пам'яті.

Інструкція

Перетворення з десяткової системи в двійкову реалізується як цілих чисел, так дробових. Переклад цілого десяткового числа виробляється методом послідовного поділу його на 2. При цьому кількість ітерацій (дій) збільшується доти, доки приватне не буде рівним нулю, а підсумкове двійкове числозаписується у вигляді отриманих залишків праворуч наліво.

Наприклад, перетворення числа 19 виглядає так:19/2 = 18/2 + 1 = 9, у залишку – 1, пишемо 1; 9/2 = 8/2 + 1 = 4, у залишку – 1, пишемо 1; 4/ 2 = 2, залишок відсутній, пишемо 0; 2/2 = 1, залишок відсутній, пишемо 0; 1/2 = 0 + 1, в залишку - 1, пишемо 1. число 10011.

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої становить важливу частину машинної арифметики. Розглянемо основні правила перекладу.

1. Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів двійки:

Таблиця 4. Ступені числа 2

n (ступінь)

приклад.

2. Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів вісімки:

Таблиця 5. Ступені числа 8

n (ступінь)

приклад.Число перевести до десяткової системи числення.

3. Для переведення шістнадцяткового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 16, та обчислити за правилами десяткової арифметики:

При перекладі зручно користуватися та блицьою ступенів числа 16:

Таблиця 6. Ступені числа 16

n (ступінь)

приклад.Число перевести до десяткової системи числення.

4. Для переведення десяткового числа в двійкову систему його необхідно послідовно ділити на 2 доти, доки залишиться залишок, менший чи рівний 1. Число в двійковій системі записується як послідовність останнього результату поділу і залишків від поділу у зворотному порядку.

приклад.Число перевести в двійкову систему числення.

5. Для переведення десяткового числа у вісімкову систему його необхідно послідовно ділити на 8 до тих пір, поки не залишиться залишок, менший або рівний 7. Число у вісімковій системі записується як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку.

приклад.Число перевести у вісімкову систему числення.

6. Для переведення десяткового числа в шістнадцяткову систему його необхідно послідовно ділити на 16 до тих пір, поки не залишиться залишок, менший або рівний 15. Число в шістнадцятковій системі записується як послідовність цифр останнього результату поділу та залишків від поділу у зворотному порядку.

приклад.Число перевести в шістнадцяткову систему числення.

Калькулятор дозволяє переводити цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Підстава системи числення може бути менше 2 і більше 36 (10 цифр і 26 латинських букв все-таки). Довжина чисел не повинна перевищувати 30 символів. Використовуйте символ для введення дробових чисел. або, . Щоб перевести число з однієї системи в іншу, введіть вихідне число в перше поле, основу вихідної системи числення в друге та основу системи числення, в яку потрібно перевести число, в третє поле, після чого натисніть кнопку "Отримати запис".

Початкове число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ой системі числення.

Хочу отримати запис числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системі числення.

Отримати запис

Виконано перекладів: 1237177

Системи числення

Системи числення поділяються на два типи: позиційніі не позиційні. Ми користуємося арабською системою, вона є позиційною, а є ще римська – вона якраз не позиційна. У позиційних системах становище цифри у числі однозначно визначає значення цього числа. Це легко зрозуміти, розглянувши на прикладі якогось числа.

Приклад 1. Візьмемо число 5921 у десятковій системі числення. Пронумеруємо число праворуч наліво починаючи з нуля:

Число 5921 можна записати в наступному вигляді: 5921 = 5000 +900 +20 +1 = 5 · 10 3 +9 · 10 2 +2 · 10 1 +1 · 10 0 . Число 10 є характеристикою, що визначає систему числення. В якості ступенів взято значення позиції даного числа.

Приклад 2. Розглянемо дійсне десяткове число 1234.567. Пронумеруємо його починаючи з нульової позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:

Число 1234.567 можна записати в наступному вигляді: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Найбільш простим способом переведення числа з однієї системи числення в іншу є переклад числа спочатку в десяткову систему числення, а потім, отриманого результату в необхідну систему числення.

Переказ чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення

Для переведення числа з будь-якої системи числення до десяткової достатньо пронумерувати його розряди, починаючи з нульового (розряд ліворуч від десяткової точки) аналогічно прикладам 1 або 2.

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десяткову систему числення.
Рішення: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Відповідь: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десяткову систему числення.
Рішення: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Відповідь: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Переклад чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення

Для переведення чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення цілу та дробову частини числа потрібно переводити окремо.

Переклад цілої частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Ціла частина переводиться з десяткової системи числення в іншу систему числення за допомогою послідовного поділу цілої частини числа на основу системи числення до отримання цілого залишку, меншої основи системи числення. Результатом перекладу буде запис із залишків, починаючи з останнього.

3. Перевести число 273 10 у восьмирічну систему числення.
Рішення: 273/8 = 34 і залишок 1, 34/8 = 4 і залишок 2, 4 менший за 8, тому обчислення завершено. Запис із залишків матиме такий вигляд: 421
Перевірка: 4 · 8 2 +2 · 8 1 +1 · 8 0 = 256 +16 +1 = 273 = 273, результат збігся. Отже переклад виконано правильно.
Відповідь: 273 10 = 421 8

Розглянемо переведення правильних десяткових дробів у різні системи числення.

Переведення дробової частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Нагадаємо, правильним десятковим дробом називається речове число з нульовою цілою частиною. Щоб перевести таке число в систему числення з основою N потрібно послідовно множити число на N до тих пір, поки дробова частина не обнулиться або не буде отримана необхідна кількість розрядів. Якщо при множенні виходить число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина далі не враховується, тому що послідовно заноситься до результату.

4. Перевести число 0.125 10 у двійкову систему числення.
Рішення: 0.125·2 = 0.25 (0 - ціла частина, яка стане першою цифрою результату), 0.25·2 = 0.5 (0 - друга цифра результату), 0.5·2 = 1.0 (1 - третя цифра результату, оскільки дробова частина дорівнює нулю , то переклад завершено).
Відповідь: 0.125 10 = 0.001 2

Призначення сервісу. Сервіс призначений для переведення чисел з однієї системи числення в іншу в онлайн режимі. Для цього виберіть основу системи, з якої потрібно перевести число. Вводити можна як цілі, так і числа з комою.

Можна вводити як цілі числа, наприклад 34 так і дробові, наприклад, 637.333 . Для дробових чисел вказується точність перекладу після коми.

Разом із цим калькулятором також використовують такі:

Способи подання чисел

Двійкові (binary) числа – кожна цифра означає значення одного біта (0 або 1), старший біт завжди пишеться ліворуч, після числа ставиться буква «b». Для зручності сприйняття зошити можуть бути розділені пробілами. Наприклад, 1010 0101b.
Шістнадцяткові (hexadecimal) числа – кожен зошит представляється одним символом 0...9, А, В, ..., F. Позначатись таке уявлення може по-різному, тут використовується лише символ «h» після останньої шістнадцяткової цифри. Наприклад, A5h. У текстах програм це число може позначатися як 0хА5, і як 0A5h, залежно від синтаксису мови програмування. Незначний нуль (0) додається ліворуч від старшої шістнадцяткової цифри, що зображується літерою, щоб розрізняти числа та символічні імена.
Десяткові (decimal) числа – кожен байт (слово, подвійне слово) представляється звичайним числом, а ознака десяткового уявлення (літеру «d») зазвичай опускають. Байт із попередніх прикладів має десяткове значення 165. На відміну від двійкової та шістнадцяткової форми запису, по десятковій важко в умі визначити значення кожного біта, що іноді доводиться робити.
Восьмирічні (octal) числа – кожна трійка біт (поділ починається з молодшого) записується як цифри 0–7, наприкінці ставиться ознака «про». Те саме число буде записано як 245о. Вісімкова система незручна тим, що байт неможливо розділити порівну.

Алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Переведення цілих десяткових чисел у будь-яку іншу системи числення здійснюється розподілом числа на підставу нової системи числення доти, поки в залишку не залишиться менше підстави нової системи числення. Нове число записується як залишків розподілу, починаючи з останнього.
Переведення правильного десяткового дробу в іншу ПСС здійснюється множенням тільки дробової частини числа на основу нової системи числення до тих пір, поки в дробовій частині не залишаться всі нулі або поки не буде досягнуто заданої точності перекладу. У результаті кожної операції множення формується одна цифра нового числа починаючи з старшого.
Переклад неправильного дробу здійснюється за 1 та 2 правилами. Цілу та дробову частину записують разом, відокремлюючи комою.

Приклад №1.

Переклад з 2 до 8 до 16 системи числення.
Ці системи кратні двом, отже переклад здійснюється з використанням таблиці відповідності (див. нижче).

Для переведення числа з двійкової системи числення у восьмирічну (шістнадцяткову) необхідно від коми вправо і вліво розбити двійкове число на групи по три (чотири – для шістнадцяткового) розряду, доповнюючи за необхідності нулями крайні групи. Кожну групу замінюють відповідною восьмирічною або шістнадцятковою цифрою.

Приклад №2. 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
тут 001 = 1; 010 = 2; 111 = 7; 010 = 2; 101 = 5; 001 = 1

При переведенні в шістнадцяткову систему необхідно ділити число на частини, по чотири цифри, дотримуючись тих же правил.
Приклад №3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
тут 0010 = 2; 1011 = B; 1010 = 12; 1011 = 13

Переведення чисел з 2 , 8 і 16 в десяткову систему обчислення проводять шляхом розбивання числа на окремі та множення його на основу системи (з якої перекладається число) зведене до ступеня відповідного його порядкового номера в числі, що переводиться. При цьому числа нумеруються вліво від коми (перше число має номер 0) зі зростанням, а в праву сторону зі зменшенням (тобто негативним знаком). Отримані результати складаються.

Приклад №4.
Приклад переведення з двійкової до десяткової системи числення.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2+1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Приклад переведення з восьмеричного до десяткової системи числення. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Приклад переведення з шістнадцяткового в десяткову систему числення. 108.5 16 = 1 · 16 2 +0 · 16 1 +8 · 16 0 + 5 · 16 -1 = 256 +0 +8 +0.3125 = 264.3125 10

Ще раз повторимо алгоритм переведення чисел з однієї системи числення до іншої ПСС

З десяткової системи числення:
- розділити число на основу перекладеної системи числення;
- знайти залишок від розподілу цілої частини числа;
- записати всі залишки від розподілу у зворотному порядку;
З двійкової системи числення
- Для переведення в десяткову систему числення необхідно знайти суму творів основи 2 на відповідний ступінь розряду;
- Для переведення числа у вісімкову необхідно розбити число на тріади.
  Наприклад, 1000110 = 1000110 = 106 8
- Для переведення числа з двійкової системи числення до шістнадцяткової необхідно розбити число на групи по 4 розряди.
  Наприклад, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Позиційною називається система, Для якої значимість або вага цифри залежить від її розташування в числі. Співвідношення між системами виражається таблицею.
Таблиця відповідності систем числення: