Змінні стани динамічної системи. Визначення змінного стану

Аналіз та синтез систем управління у часовій області заснований на понятті стану системи. Стан системи-це сукупність таких змінних, знання яких, поряд із вхідними функціями та рівняннями, що описують динаміку системи, дозволяє визначити її майбутній стан та вихідну змінну. Для динамічної системи її стан описується набором змінних станів [ЛГ[(?), X2(t) Х„(0]- Це такі змінні, які визначають майбутню поведінку системи, якщо відомо її поточний стан та всі зовнішні впливи. Розглянемо систему, зображену на рис.3.1, де ^, ^) і y2 (t) є вихідні змінні, a ux (t) і u2 (t) - вхідні змінні. Для цієї системи змінні (*[, х2,..., хп) мають такий зміст: якщо в момент часу t0 відомі початкові значення [^(fo), x2(t0), ...,xn(tQ)] та вхідні сигнали щ(і) і u2(f) для t > t0, то цієї інформації достатньо, щоб визначити майбутні значення всіх змінних стану та вихідних змінних.

Змінні стани описують поведінку системи у майбутньому, якщо відомі поточний стан, зовнішні впливу та рівняння динаміки системи.

Загальний вид динамічної системи наведено на рис. 3.2.

Простим прикладом змінної стану може бути положення вимикача електролампочки. Вимикач може бути в одному з двох положень - "включено" або "вимкнено", тому його стану відповідає одне з двох можливих значень. Якщо ми знаємо, у якому стані (положенні) знаходиться вимикач у момент часу t0, і якщо ми прикладаємо до нього вплив, ми завжди можемо визначити майбутнє стан елемента.

xx(t)=y(i) І x2(t) = -

Диференціальне рівняння, що описує поведінку системи, зазвичай записується як

Ці рівняння власне описують поведінка системи у термінах швидкості зміни кожної змінної стану.

Іншим прикладом системи, яку можна описати змінними станами, є ТЛС-ланцюг, зображений на рис. 3.4.

Стан системи характеризується двома змінними (Х [, х2) де хх є напруга на конденсаторі vc (/), і х2 - Струм через індуктивність // (/). Вибір цих змінних інтуїтивно зрозумілий, тому що загальна енергія, запасена в ланцюзі, безпосередньо залежить від них, як

E=(l/2)Z,/£ +(1/2)Cvc2. (3.5)

Таким чином, Х](/0) та x2(t0) несуть інформацію про повну початкову енергію в ланцюгу і, отже, про стан системи в момент t = /0. Для опису пасивного ЛіС-ланцюга число необхідних змінних станів дорівнює числу незалежних елементів, що накопичують енергію. Використовуючи закон Кірхгофа для струмів, запишемо диференціальне рівняння першого порядку, що визначає швидкість зміни напруги на конденсаторі:

іс ~С - у - = u(t)~ і і (3.6)

Джерело4^ струму

Мал. 3.4. RLC-ланцюг

Закон Кірхгофа для напруги, застосований до правого контуру, дає рівняння, що визначає швидкість зміни струму через індуктивність:

L^=-Ri, + vc. (3.7)

Вихід системи визначається лінійним рівнянням алгебри:

Рівняння (3.6) та (3.7) ми можемо переписати у вигляді системи двох диференціальних рівнянь щодо змінних стану хх та х2:

*L-lx -Х Г3 9Ї

Тоді вихідний сигнал дорівнюватиме

^ i (0 = v0 (0 = R х2. (3.10)

Використовуючи рівняння (3.8) і (3.9), а також початкові умови, ми зможемо визначити майбутню поведінку системи та її вихідну змінну.

Змінні стани, що описують систему, не є єдиними, і завжди можна вибрати альтернативну комбінацію таких змінних. Наприклад, для системи другого порядку, такої як маса-пружина або RLC-ланцюг, як змінні стани можна вибрати будь-які дві лінійно незалежні комбінації xx(t) і x2(t). Так, для RLC-ланцюга ми могли б прийняти за змінні стани дві напруги, vc(/) та v; (/), де vL – напруга на індуктивності. Тоді нові змінні стани, х, їх "2", будуть пов'язані зі старими змінними хх і х2 співвідношеннями:

x = vc = x, (3.11)

х * = Vj = VC - RiL = х, - Rx2. (3.12)

Рівняння (3.12) пов'язує напругу індуктивності зі старими змінними стану vc і iL. У реальній системі завжди можна утворити кілька комбінацій змінних станів, які визначають енергію, запасену в системі, і, отже, адекватно описують її динаміку. На практиці як змінні стани часто вибирають такі фізичні змінні, які легко можуть бути виміряні.

Альтернативний метод отримання моделі в змінних станах заснований на використанні графа зв'язків. Такі графи можуть бути побудовані для електричних, механічних, гідравлічних та теплових елементів або систем, а також для комбінацій різних типів елементів. Графи зв'язків дозволяють отримати систему рівнянь відноси

тельно змінних станів.

Змінні стани характеризують динаміку системи. Інженера насамперед цікавлять фізичні системи, у яких змінними є напруги, струми, швидкості, переміщення, тиску, температури та інші аналогічні фізичні величини. Проте поняття стану застосовується до аналізу як фізичних, а й біологічних, соціальних та економічних систем. Для цих систем поняття стану не обмежується рамками уявлень про енергію і підходить до змінних стану в ширшому значенні, трактуючи їх як змінні будь-якої природи, що описують майбутню поведінку системи.

А Б В

Накопичувачем енергії - ємністю

Розрахунок перехідних процесів у ланцюгах з одним

Електромагнітні процеси при перехідному процесі в таких ланцюгах обумовлені запасом електричної енергії в ємності Зта розсіюванням цієї енергії у вигляді тепла на активних опорах ланцюга. При складанні диференціального рівняння слід як невідома функція вибрати напругу u Cна ємності. Слід зазначити, що з розрахунку встановилися режимів, т. е. щодо початкових умов і вимушеної складової, опір ємності в ланцюгах постійного струму дорівнює нескінченності.

Приклад 6.2.Включення послідовного кола R,C на постійну напругу.

Ланцюг (рис. 6.3, а), що складається з послідовно з'єднаних опору R= 1000 Ом та ємності З= 200 мкФ, в деякий момент часу підключається до постійної напруги U= 60 В. Потрібно визначити струм та напругу ємності в перехідному процесі та побудувати графіки u C(t), i(t).

R i R i, A u, B

U C U C t = 0.02,c

0 t 2t 3t t, з

Рішення.1. Визначаємо початкові умови. Початкова умова u C(-0) = 0, оскільки ланцюг до комутації було відключено (вважаємо досить тривалий час).

2. Зображаємо електричний ланцюг після комутації (рис. 6.3, б), вказуємо напрями струму та напруги і для неї складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа

або .

3. Перетворимо рівняння п.2 на диференціальне. Для цього, підставивши замість струму iвідоме рівняння , Отримаємо:

4. Розв'язання рівняння (шукана напруга на ємності) шукаємо у вигляді:

5. Визначаємо. Так як в ланцюзі постійного струму в режимі, що встановився, опір ємності дорівнює нескінченності (при цьому ), то вся напруга буде прикладена до ємності. Тому

u C пр =U= 60 Ст.

6. Складаємо однорідне диференціальне рівняння

рішенням якого буде функція

7. Складаємо характеристичне рівняння RC l + 1= 0, корінь якого дорівнює

Постійна часу

8. Запишемо рішення.

9. Згідно з другим законом комутації та початковими умовами

10. Визначимо постійну інтеграцію Ашляхом підстановки t=0 рівняння п.8

Напруга на ємності у перехідному процесі

11. Струм у ланцюгу можна визначити за рівнянням

або за рівнянням п. 2

Графіки u C(t) та i(t) представлені на рис. 6.3, в.

Миттєві значення струмів та напруги, що визначають енергетичний стан електричного ланцюга, називаються в даному методі змінними, а сам метод названий методом змінних стану.

Цей метод заснований на складанні системи диференціальних рівнянь і, як правило, чисельному їх вирішенні за допомогою ЕОМ.

Як невідомі тут слід приймати змінні, які мають розривів, тобто. за час не повинно бути стрибкоподібної зміни цих величин. Такими змінними, отже, мають бути струм iта потокозчеплення в індуктивності, напруга та заряд на ємності. В іншому випадку при чисельному рішенні похідних у точках, де є розрив, виникає нескінченно велика величина, що є неприпустимим.

Існують різноманітні чисельні методи розрахунку диференціальних рівнянь. Це методи Ейлера, Рунге-Кутта та інші, які відрізняються один від одного точністю розрахунку, обсягом та часом обчислень. При цьому чим більше точність обчислень, тим більше потрібно часу для вирішення.

1. Визначити початкові умови.

2. Скласти систему диференціальних рівнянь.

3. Усі змінні в рівняннях п.2 виразити через струми або потокозчеплення в індуктивностях та напруги чи заряди на ємностях.

4. Усі рівняння п.3 звести до нормальної форми Коші.

Основи > Теоретичні основи електротехніки

Метод змінних станів
Рівняння стануможна назвати будь-яку систему рівнянь, що визначають режим ланцюга. У вужчому значенні - це система диференціальних рівнянь першого порядку, дозволена щодо похідних.
Методом змінних стану назвемо аналіз ланцюга, що ґрунтується на вирішенні рівнянь стану (першого порядку), записаних у формі Коші. Отже, метод змінних стану - одне із методів розрахунку передусім перехідних процесів. Далі передбачається, що ланцюг має лише незалежні джерела і не містить індуктивних перерізів та ємнісних контурів. В іншому випадку складання рівнянь стає набагато складнішим.
Для лінійного ланцюга з постійними зосередженими параметрами струм кожної гілки, напруга між вибраними висновками, заряд на обкладках конденсатора тощо завжди можна знайти як рішення складеного для цього струму, напруги, заряду і т. д. диференціального рівняння (наприклад, винятком інших струмів та напруг із системи рівнянь Кірхгофа):

Введенням зміннихце рівняння зводиться до еквівалентної системи диференціальних рівнянь першого порядку:

Тут змінними, які називаютьсязмінними станами, служать змінна х та її похідні.
Як відомо, перехідний процес у будь-якому ланцюгу, крім його параметрів (значень r , L, С, М) та діючих джерел[ e(t) та J(t)], визначається незалежними початковими (t = 0) умовами - струмами в індуктивних елементахта напругами на ємнісних елементах, які мають бути відомі чи розраховані. Через них виражаються шукані величини під час перехідного процесу. Вони визначають енергетичний стан ланцюга. Тому як змінні стани доцільно вибирати струмита напруги . Чинні джерела можна назвати вхідними величинами, шукані величини - вихідними. Для ланцюга з n незалежними струмамита напруженнями повинні бути задані ще n незалежних початкових умов.

Скорочено диференціальні рівняння стану запишемо у матричній формі так:

або коротше

де X матриця-стовпець (розміру n x 1) змінні стани (вектор змінних стану); F - матриця-стовпець (розміру m x 1) ЕРС та струмів джерел (зовнішніх збурень); А – квадратна матриця порядку n (основна); В - матриця розміру пх m (матриця зв'язку). Елементи цих матриць визначаються топологією та параметрами ланцюга.
Для вихідних величин (якщо визначаються не струми в індуктивних та напруги на ємнісних елементах) у матричній формі система алгебраїчних рівнянь має вигляд

або коротше

де W - матриця-стовпець (розміру l x 1); M - матриця зв'язку (розміру l x n ); N - матриця зв'язку (розміру l x m ).
Елементи матриць залежать від топології та параметрів ланцюга. Для рівнянь стану розроблено і машинні алгоритми формування на основі топології та значень параметрів.
Рівняння у матричній формі (14.91) можна скласти, наприклад, із застосуванням методу накладання. Для отримання залежностей між похідними змінних стану, тобто.та змінними станами, і навіть ЕРС і струмами джерел, які у ланцюга, вважатимемо, що змінні стану задані. Розглянутий ланцюг, наприклад, на рис. 14.41 а, замінимо після комутації еквівалентної (рис. 14.41,6), у якої кожен заданий струмпредставлений джерелом струму, а кожна задана напруга- Джерелом напруги (ЕРС). Застосувавши метод накладання (позитивні напрямки обрані), запишемо напругуі струми (спочатку враховуємо дію джерелпотім і далі джерел, що діють у ланцюзі):

Оскільки , то

Звичайно, рівняння (14.93) можна отримати і з рівнянь Кірхгофа виключенням струмів і напруг резистивних елементів. Проте спільне вирішення рівнянь Кірхгофа зі збільшенням числа гілок ланцюга стає дедалі громіздкішим.
Рівняння стану можна формувати і одразу в матричній формі.
Якщо джерел струму та ЕРС немає, тобто F = 0, то рівняння (14.91) спрощуються

та характеризують вільні процеси в ланцюзі. Рішення запишемо у вигляді

де X(0) - матриця-стовпець початкових значень змінних стану; - Матрична експоненційна функція.
Підставивши (14.94) у (14.91в), переконаємося, що виходить тотожність.
Прирішення рівняння (14.91) подаємо у вигляді

де Ф(t ) - деяка матрична функція ланцюга. Після диференціювання (14.95) отримаємо

Порівняємо (14.96) з (14.91а)

і, помноживши на , після інтегрування знайдемо, що

де q - змінна інтегрування, або

Підставимо цей вираз у (14.95):

Зокрема, при t = 0 маємо
Отже, рішення для змінних стану записується у вигляді

(Реакція ланцюга дорівнює сумі реакцій при нульовому вході та при нульовому початковому стані).
Це рішення можна отримати та застосувавши операторний метод розрахунку перехідних процесів, що розглядається у розділі .
Вихідні величини можна знайти (14.92).
Якщо стан ланцюга задано не за t = 0, а за, то в (14.97) перший доданок записується так:, а нижня межа інтеграла не 0, а t .
Головна складність розрахунку полягає у обчисленні матричної експоненційної функції. Один із шляхів такий: спочатку знаходимо власні значення l матриці А, тобто коріння рівняння

де 1 - одинична матриця порядку n, які визначаються з рівняння

де - Елементи матриці А.
Власні значення збігаються з коріннямхарактеристичного рівняння ланцюга
Матрична експонента, аргумент якої – матриця А t , що має порядок n , представна кінцевим числом n доданків. Якщо власні значення різні, то

Де - Функції часу;і т.д.
Далі для визначенняскладаємо систему алгебри n рівнянь

Нарешті, визначившиз (14.100), по (14.99) знаходимоі потім X (t) (14.97).

Приклад 14.6. Визначити струм в ланцюзі на рис. 14.42 після комутації при.

Рішення. Вибираємо позитивні напрямки струмівв індуктивних елементах, тобто змінних станів, і струму. Незалежні початкові умови:. Диференціальні рівняння ланцюга

Виключивши струм , Отримаємо рівняння щодо похідних змінних стану:

тобто згідно (14.91)

і матриця-стовпець початкових значень

Обчислимо власні значення; (14.98)

звідки . Якщо прирівняти нулю головний визначник рівнянь зі змінними станами, то отримаємо ті самі значення.
Знаходимо коефіцієнти ак по (14.100), тобто із системи рівнянь

Значення струму обчислені у моментисекунд для інтервалу часу 0 - 0,1 с, в кінці якого струм відрізняється від встановленогоменш ніж на 1,5%, наведені у табл. 14.1. При обчислення цифри записувалися з 8 розрядами, а у всіх наведених у прикладі формулах і в табл. 14.1 вказані із округленням.

Таблиця 14.1



	0,005	0,010	0,015	0,020	0,025	0,030	0,035	0,040	0,045	0,050
	1,079	1,213	1,343	1,455	1,550	1,628	1,692	1,746	1,790	1,827

	0,055	0,060	0,065	0,070	0,075	0,080	0,085	0,090	0,095	0,100
, то для n - q різних коренів складається система (14.100), а для q кратних рівняння виходять після обчислення перших q - 1 похідних завід обох частин рівняння з коренем, тобто. Якщо в ланцюзі діє тільки одне джерело ЕРС (або струму), що представляє одиничний стрибок 1( t), тобто F(t) = 1(t ), та початкові умови нульові, то рішення (14.97) запишеться у вигляді Для вихідних величин (14.92а) отримаємо Це будуть перехідні функції ланцюга h(t). Імпульсні перехідні функції k (t ) визначаються (14.84) або (14.85). Більш загальним шляхом обчислення матричної експоненційної функції є її представлення нескінченним рядом але ряд у великих t повільно сходиться. При обмеженні кінцевим числом доданків обчислення зводиться до множення та підсумовування матриць. Такі операції є у математичному забезпеченні ЕОМ. Відомий метод обчислення матричної експоненційної функції, що ґрунтується на критерії Сільверста. Рівняння стану ланцюгів, порядок яких більше двох-трьох, простіше вирішуються не аналітичними, а чисельними методами, що дозволяють автоматизувати розрахунок у разі застосування ЕОМ.

Розрахунок перехідних процесів у лінійних електричних ланцюгах методом змінних станів

Це найбільш універсальний метод розрахунку ланцюгів як них, і нелінійних. Метод використовується для розрахунку кіл високого порядку, коли застосування інших методів розрахунку недоцільно або практично неможливо. Метод змінних стану заснований на вирішенні рівнянь стану (першого порядку), записаних у формі Коші. Для вирішення системи рівнянь першого порядку розроблено чисельні методи, що дозволяють автоматизувати розрахунок перехідних процесів із ЕОМ. Отже, метод змінних стану - одне із розрахунку перехідних процесів, орієнтований передусім застосування ЕОМ.

Для лінійного ланцюга з постійними зосередженими параметрами струм кожної гілки, напруга між висновками, заряд на обкладках, конденсатора і т. д. можна знайти як рішення диференціального рівняння, складеного для цього струму, напруги, заряду і т.д., виключенням інших струмів і напруг із системи рівнянь Кірхгофа:

Введенням змінних

рівняння (1.1) зводиться до еквівалентної системи диференціальних рівнянь першого порядку:

(1.2)

Тут змінними, які називаються змінними стану, служить змінна X та її похідні. При цьому передбачається, що ланцюг має лише незалежні джерела та не містить індуктивних перерізів та ємнісних контурів. В іншому випадку складання рівнянь стає набагато складнішим.

1. Формування рівнянь змінних стану

Енергетичний стан ланцюга, отже, і перехідний процес у будь-якого ланцюга визначається енергією магнітного поля, запасеної в індуктивностях, та енергією електричного поля, запасеної в ємностях. Запаси енергії в реактивних елементах визначають струми в індуктивності та напруги ємностей, тобто. вони визначають енергетичний стан ланцюга і тому приймаються як незалежні змінні стани.

Будь-яка система рівнянь, що визначає стан ланцюга, називається рівняннями стану. Струми в індуктивних елементах та напруги на ємнісних елементах
представляють незалежні початкові умови
ланцюги і мають бути відомі чи розраховані. Через них виражаються шукані величини під часперехідного процесу.

Чинні джерела енергії прийнято називати вхідними величинами
,а шукані величини (струми та напруги) - вихідними величинами
.

Для ланцюга з nнезалежними струмами та напруженнями
повинні бути задані ще nнезалежних початкових умов. Для операцій із великою кількістю змінних використовують методи матричного обчислення.

Скорочено диференціальні рівняння стану, що описують ланцюг за законами Кірхгофа, записуються в матричній формі:

, (1.3)

де X - вектор-стовпець (розміром n х 1) довільних змінних станів; V - вектор-стовпець (розміром m х 1) зовнішніх впливів (ЕРС та струмів джерел); А – квадратна матриця порядку n (основна); В - матриця зв'язку між входами ланцюга та змінними стану (розміру n х m). Елементи цих матриць визначаються топологією та параметрами ланцюга
m - число входів, n - число змінних стану.

Для вихідних величин (якщо визначаються не струми в індуктивності та напруги на ємнісних елементах) необхідно додати ще рівняння в матричній формі:

(1.4)

де Y - вектор - стовпець шуканих струмів і напруги на виході (розмірний 1 х 1), 1 - число виходів; С - матриця зв'язку змінних станів з виходами ланцюга (п х 1); D - матриця безпосереднього зв'язку входів та виходів ланцюга (розміром 1 х m). Елементи матриць залежать від топології та значень параметрів ланцюга
.

Систему матричних рівнянь

;
(1.5)

можна у вигляді структурної схеми (рис.1.3).

1.1. Складання рівнянь стану ланцюга

методом накладання

Нехай дана схема ланцюга після комутації

Вважатимемо, що змінні стани задані. Розглянутий ланцюг (рис.2) замінимо після комутації еквівалентної (рис.3), у якої заданий струм представлений джерелом струму ,задана напруга
джерелом напруги
.

Застосувавши метод накладання (позитивні напрямки обрані), запишемо напругу
і струми
(спочатку враховуємо дію джерела потім
і далі джерел, які у ланцюга).

Від дії :

;
;

від дії
:

;
;

від дії е:

;
,

а повний струм
і напруга.

(1.6)

Враховуючи що
і
отримаємо

тобто в матричному вигляді рівняння (1.7) запишемося

(1.8)

1.2. Складання рівнянь стану ланцюга за допомогою

законів Кірхгофа

Рівняння (1.7) можна отримати з рівнянь Кірхгофа виключенням струмів і напруг резистивних елементів. За законами Кірхгофа рівняння для ланцюга (див. мал. 2) запишемо у вигляді

(1.9)

Дозволимо перше рівняння системи щодо , атретє, враховуючи, що
щодо . Тоді

(1.10)

Змінні
і є змінними стану для розглянутого ланцюга. У правій частині системи (1.10) є змінна , що не є незалежною змінною станом. Для її виключення перепишемо друге рівняння системи (1.9) у вигляді

(1.11)

і підставимо сюди
.

Отримане з (1.11) значення струму

(1.12)

підставимо у систему (1.10).

Отримаємо систему рівнянь у змінних станах
для досліджуваного ланцюга

(1.13)

де X, X, V, А, відповідають системі рівнянь (1.7).

Нехай у прикладі потрібно визначити струми і . Отже і будуть вихідними величинами ланцюга їх необхідно подати у вигляді
,
.Струм вже визначено у потрібному вигляді (1.12), а струм
.Тоді друга система рівнянь у змінних станах
набуде вигляду

(1.14)

У матричній формі система рівнянь (1.14) запишеться як

(1.15)

В окремому випадку, якщо вихідними змінними є змінні стани
то матриця приймає вигляд діагональної матриці, а елементи матриці D дорівнюють нулю.

Рівняння стану вирішуються на комп'ютерах чисельними методами.

Рівняння стану електричного ланцюга називають будь-яку систему диференціальних рівнянь, яка описує стан (режим) даного ланцюга. Наприклад, система рівнянь Кірхгофа є рівняннями стану ланцюга, на яку вона складена.

У вужчому сенсі математики рівняннями стану називають систему диференціальних рівнянь 1-го порядку, дозволених щодо похідних (форма Коші). Система рівнянь стану в узагальненій формі має вигляд:

Та ж система рівнянь у матричній формі:

або в узагальненій матричній формі:

Система рівнянь стану форми Коші вирішується методом чисельного інтегрування (метод Ейлера або метод Рунге-Кутта) на ЕОМ за стандартною програмою, яка має бути в пакеті стандартних програм. За відсутності такої програми в пакеті вона легко може бути складена за наступним алгоритмом (метод Ейлера) для кроку:

Значення похідних на якомусь кроці:

Значення змінних на якомусь кроці:

Для визначення значень змінних та їх похідних на 1-му етапі інтегрування використовуються їх значення на момент t = 0, тобто. їх початкові умови x1(0), x2(0)...xn(0).

Рівні стану форми Коші для заданої схеми можуть бути отримані із системи рівнянь Кірхгофа шляхом їхнього перетворення. Для цієї мети: а) із системи рівнянь Кірхгофа методом підстановки виключаються "зайві" змінні, що мають залежні початкові умови, і залишають змінні iL(t) і uC(t), які не змінюються стрибком і мають незалежні початкові умови iL (0) та uC(0); б) рівняння, що залишилися, вирішуються щодо похідних і наводяться до форми Коші.

У разі складних схем рівняння стану форми Коші можуть бути складені топологічними методами з використанням матриць сполук [A] та [B].

Послідовність розрахунку перехідного процесу методом змінних стану виглядає так:

1. Проводиться розрахунок схеми в режимі до комутації і визначаються незалежні початкові умови iL(0) і uC(0).

2. Складається система диференціальних рівнянь за законами Кірхгофа для схеми після комутації.

3. Методом виключення " " зайвих " " змінних система рівнянь Кірхгофа перетворюється на систему рівнянь Коші, складаються матриці коефіцієнтів.

4. Вибирається розрахунковий час (тривалість перехідного процесу) та кількість кроків інтегрування N.

5. Розв'язання задачі виконується на ЕОМ за стандартною програмою. Вихідну функцію одержують у вигляді графічної діаграми x=f(t)або у вигляді таблиці координат функцій для заданих моментів часу.

приклад. Для схеми рис. 74.1 із заданими параметрами елементів (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) виконати розрахунок перехідного процесу та визначити функцію uab(t).