Ang mga handa na sagot sa pagsasama-sama ng mga function ay kinuha mula sa pagsusulit para sa 1st at 2nd year na mga mag-aaral ng mga departamento ng matematika. Upang matiyak na ang mga pormula sa mga problema at mga sagot ay hindi inuulit ang mga kondisyon ng mga gawain, hindi namin isusulat ang mga kundisyon. Alam mo na na sa mga problema kailangan mong "Hanapin ang integral" o "Kalkulahin ang integral". Samakatuwid, kung kailangan mo ng mga sagot sa pagsasama, simulang pag-aralan ang mga sumusunod na halimbawa.

Pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar

Halimbawa 18. Nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa ilalim ng integral. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, pinipili namin hindi lamang ang ugat, ngunit ang buong denominator para sa bagong variable. Pagkatapos ng naturang kapalit, ang integral ay binago sa kabuuan ng dalawang tabular integral, na hindi kailangang gawing simple.

Pagkatapos ng pagsasama, pinapalitan namin ang isang pagpapalit para sa variable.
Halimbawa 19. Maraming oras at espasyo ang ginugol sa pagsasama nitong fractional irrational function at hindi rin namin alam kung maiisip mo ito mula sa isang tablet o telepono. Upang mapupuksa ang hindi makatwiran, at dito tayo ay nakikipag-usap sa cube root, pipiliin natin ang root function sa ikatlong kapangyarihan para sa bagong variable. Susunod, nakita namin ang kaugalian at palitan ang nakaraang function na may integral

Ang pinaka-nakakaubos ng oras na bahagi ay ang pag-iskedyul ng isang bagong function para sa mga relasyon sa kapangyarihan at mga fraction.

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakita namin kaagad ang ilan sa mga integral, at isinusulat namin ang huli sa dalawa, na binago namin ayon sa mga formula ng pagsasama-sama ng tabular.

Matapos ang lahat ng mga kalkulasyon, huwag kalimutang bumalik sa kapalit na ginawa sa simula

Pagsasama ng mga function ng trigonometriko

Halimbawa 20. Kailangan nating hanapin ang integral ng sine hanggang sa ika-7 kapangyarihan. Ayon sa mga patakaran, ang isang sine ay kailangang itulak sa isang kaugalian (nakukuha natin ang kaugalian ng cosine), at ang sine hanggang sa ika-6 na kapangyarihan ay dapat na isulat sa pamamagitan ng cosine. Kaya dumating tayo sa integration mula sa function ng bagong variable t = cos (x).



Sa kasong ito, kailangan mong dalhin ang pagkakaiba sa kubo, at pagkatapos ay isama
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng polynomial ng order 7 sa cosine.


Halimbawa 22. Sa ilalim ng integral mayroon tayong produkto ng sine at cosine. Ayon sa mga trigonometric formula, isinusulat namin ang produkto sa pamamagitan ng pagkakaiba ng mga sine. Kung paano nakuha ang bow na ito ay mauunawaan mula sa pagsusuri ng mga coefficient para sa "x". Susunod na isasama namin ang mga sine

Halimbawa 23. Dito mayroon tayong parehong function ng sine at cosine sa denominator. Bukod dito, ang mga trigonometrikong formula ay hindi makakatulong upang gawing simple ang pagtitiwala. Upang mahanap ang integral, inilalapat namin ang unibersal na trigonometric na kapalit t=tan(x/2)

Mula sa tala ay malinaw na ang mga denominator ay magkansela at makakakuha tayo ng isang parisukat na trinomial sa denominator ng fraction. Sa loob nito pumili kami ng isang kumpletong parisukat at isang libreng bahagi. Pagkatapos ng pagsasama, dumating tayo sa logarithm ng pagkakaiba sa pagitan ng mga pangunahing kadahilanan ng denominator. Upang gawing simple ang notasyon, ang numerator at denominator sa ilalim ng logarithm ay pinarami ng dalawa.

Sa pagtatapos ng mga kalkulasyon, sa halip na ang variable, pinapalitan namin ang tangent ng kalahati ng argumento.
Halimbawa 24. Upang pagsamahin ang function, kinuha namin ang parisukat ng cosine mula sa mga bracket, at sa mga bracket ay binabawasan namin at nagdaragdag ng isa upang makuha ang cotangent.

Susunod, pipiliin natin ang cotangent u = ctg (x) para sa bagong variable, ang pagkakaiba nito ay magbibigay sa atin ng salik na kailangan natin para sa pagpapasimple. Pagkatapos ng pagpapalit dumating kami sa isang function na, kapag isinama, ay nagbibigay ng arctangent.

Well, huwag kalimutang palitan ka sa cotangent.
Halimbawa 25. Sa huling gawain ng pagsusulit, kailangan mong isama ang cotangent ng isang dobleng anggulo sa ika-4 na antas.


Sa puntong ito, nalutas na ang pagsubok sa pagsasama, at walang sinumang guro ang makakahanap ng mali sa mga sagot at katwiran para sa mga pagbabago.
Kung matutunan mo kung paano mag-integrate tulad nito, hindi nakakatakot para sa iyo ang mga pagsubok o seksyon sa paksa ng mga integral. Ang lahat ay may pagkakataong matuto o mag-order ng mga solusyon ng mga integral mula sa amin (o sa aming mga kakumpitensya :))).

Tatalakayin ng seksyong ito ang paraan ng pagsasama ng mga rational function. 7.1. Maikling impormasyon tungkol sa mga rational function Ang pinakasimpleng rational function ay isang polynomial ng tith degree, i.e. isang function ng form kung saan ang mga tunay na constants, at a0 Ф 0. Ang polynomial Qn(x) na ang coefficient a0 = 1 ay tinatawag na reduced. Ang tunay na bilang b ay tinatawag na ugat ng polynomial Qn(z) kung Q„(b) = 0. Alam na ang bawat polynomial Qn(x) na may tunay na coefficients ay natatanging nabubulok sa tunay na mga salik ng anyo kung saan ang p, q ay mga tunay na coefficient, at ang mga quadratic na salik ay walang tunay na ugat at, samakatuwid, ay hindi maaaring mabulok sa tunay na linear na salik. Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng magkatulad na mga kadahilanan (kung mayroon man) at sa pag-aakalang, para sa pagiging simple, na ang polynomial Qn(x) ay nabawasan, maaari nating isulat ang factorization nito sa anyo kung saan ang mga natural na numero. Dahil ang antas ng polynomial Qn(x) ay katumbas ng n, kung gayon ang kabuuan ng lahat ng exponents a, /3,..., A, na idinagdag sa double sum ng lahat ng exponents ω,..., q, ay katumbas sa n: Ang ugat a ng isang polynomial ay tinatawag na simple o single , kung a = 1, at multiple kung a > 1; ang bilang a ay tinatawag na multiplicity ng ugat a. Ang parehong naaangkop sa iba pang mga ugat ng polynomial. Ang rational function na f(x) o isang rational fraction ay ang ratio ng dalawang polynomial, at ipinapalagay na ang polynomial na Pm(x) at Qn(x) ay walang mga karaniwang salik. Ang rational fraction ay tinatawag na proper kung ang degree ng polynomial sa numerator ay mas mababa kaysa sa degree ng polynomial sa denominator, i.e. Kung m n, kung gayon ang rational fraction ay tinatawag na hindi tamang fraction, at sa kasong ito, ang paghahati ng numerator sa denominator ayon sa panuntunan para sa paghahati ng polynomials, maaari itong katawanin sa anyo kung saan mayroong ilang polynomial, at ^^ ay isang wastong rational fraction. Halimbawa 1. Ang rational fraction ay hindi tamang fraction. Paghahati sa pamamagitan ng isang "sulok", mayroon kaming Samakatuwid. Dito. at ito ay isang wastong fraction. Upang mahanap ang mga pare-parehong ito, ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (I) ay dinadala sa isang karaniwang denominator, at pagkatapos ay ang mga coefficient sa parehong mga kapangyarihan ng x sa mga numerator ng kaliwa at kanang bahagi ay equated. Nagbibigay ito ng isang sistema ng mga linear na equation kung saan matatagpuan ang mga kinakailangang constant. . Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng mga hindi kilalang constants ay tinatawag na paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent. Minsan ito ay mas maginhawang gumamit ng isa pang paraan ng paghahanap ng mga hindi kilalang constants, na binubuo sa katotohanan na pagkatapos ng equating ng mga numerator, ang isang pagkakakilanlan ay nakuha na may paggalang sa x, kung saan ang argumento x ay binibigyan ng ilang mga halaga, halimbawa, ang mga halaga ng mga ugat, na nagreresulta sa mga equation para sa paghahanap ng mga constant. Ito ay lalong maginhawa kung ang denominator Q„(x) ay mayroon lamang tunay na simpleng mga ugat. Halimbawa 2. I-decompose ang rational fraction sa mas simpleng fraction. Binubulok namin ang denominator sa multiplies: Dahil ang mga ugat ng denominator ay totoo at naiiba, kung gayon, batay sa formula (1), ang agnas ng fraction sa pinakasimple ay magkakaroon ng anyo: Ang pagbabawas ng tamang karangalan "ng pagkakapantay-pantay na iyon sa common denominator at tinutumbasan ang mga numerator sa kaliwa at kanang bahagi nito, nakukuha natin ang pagkakakilanlan o Nakahanap tayo ng hindi kilalang coefficient A. 2?, C sa dalawang paraan. Unang paraan Pagtutumbas ng mga coefficient para sa parehong kapangyarihan ng x, t.v. na may (free term), at ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakakilanlan, nakakakuha tayo ng linear na sistema ng mga equation para sa paghahanap ng hindi kilalang coefficient A, B, C: Ang sistemang ito ay may natatanging solusyon C Ang pangalawang paraan. Dahil ang mga ugat ng denominator ay napunit sa i 0, nakukuha natin ang 2 = 2A, kung saan ang A * 1; g i 1, nakukuha namin -1 * -B, kung saan 5 * 1; x i 2, nakukuha natin ang 2 = 2C. kung saan ang C» 1, at ang kinakailangang pagpapalawak ay may anyo 3. Rehlozhnt hindi ang pinakasimpleng mga fraction na rational fraction 4 Nabulok namin ang polynomial, na nasa kabaligtaran ng direksyon, sa mga salik: . Ang denominator ay may dalawang magkaibang tunay na ugat: x\ = 0 multiplicity ng multiplicity 3. Samakatuwid, ang agnas ng fraction na ito ay hindi ang pinakasimpleng: Ang pagbabawas ng kanang bahagi sa isang common denominator, makikita natin o Ang unang paraan. Pagtutumbas ng mga coefficient para sa parehong kapangyarihan ng x sa kaliwa at kanang bahagi ng huling pagkakakilanlan. nakakakuha tayo ng isang linear na sistema ng mga equation. Sa resultang pagkakakilanlan, paglalagay ng x = 0, makakakuha tayo ng 1 a A2, o A2 = 1; field* gay x = -1, nakukuha natin -3 i B), o Bj i -3. Kapag pinapalitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficient A\ at B) at ang pagkakakilanlan ay kukuha ng form o Paglalagay ng x = 0, at pagkatapos ay x = -I. nakita namin na = 0, B2 = 0 at. ang ibig sabihin nito ay B\ = 0. Kaya, muli nating makuha ang Halimbawa 4. Palawakin ang rational fraction 4 sa mas simpleng mga fraction Ang denominator ng fraction ay walang tunay na ugat, dahil ang function na x2 + 1 ay hindi nawawala para sa anumang tunay na halaga ng x. Samakatuwid, ang agnas sa mga simpleng fraction ay dapat magmukhang Mula dito ay nakukuha natin ang o. Ang equating ng mga coefficient ng synax powers ng x sa kaliwa at kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay, magkakaroon tayo kung saan natin matatagpuan at, samakatuwid, Dapat tandaan na sa ilang mga kaso, ang mga decomposition sa mga simpleng fraction ay maaaring makuha nang mas mabilis at mas madali sa pamamagitan ng pagkilos. sa ibang paraan, nang hindi ginagamit ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient Halimbawa, upang makuha ang agnas ng fraction sa halimbawa 3, maaari mong idagdag at ibawas sa numerator 3x2 at hatiin tulad ng ipinahiwatig sa ibaba. 7.2. Pagsasama-sama ng mga simpleng fraction, Gaya ng nabanggit sa itaas, ang anumang hindi wastong rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng ilang polynomial at tamang rational fraction (§7), at ang representasyong ito ay natatangi. Ang pagsasama ng isang polynomial ay hindi mahirap, kaya isaalang-alang ang tanong ng pagsasama ng isang wastong rational fraction. Dahil ang anumang wastong rational fraction ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng mga simpleng fraction, ang pagsasama nito ay nababawasan sa pagsasama ng mga simpleng fraction. Isaalang-alang natin ngayon ang tanong ng kanilang pagsasama. III. Upang mahanap ang integral ng pinakasimpleng fraction ng ikatlong uri, ihihiwalay namin ang kumpletong parisukat ng binomial mula sa square trinomial: Dahil ang pangalawang termino ay katumbas ng a2, kung saan at pagkatapos ay ginagawa namin ang pagpapalit. Pagkatapos, isinasaalang-alang ang mga linear na katangian ng integral, makikita natin ang: Halimbawa 5. Hanapin ang integral 4 Ang integrand function ay ang pinakasimpleng fraction ng ikatlong uri, dahil ang square trinomial x1 + Ax + 6 ay walang tunay na ugat (discriminant nito ay negatibo: , at ang numerator ay naglalaman ng isang polynomial ng unang degree Samakatuwid, magpatuloy tayo bilang mga sumusunod: 1) pumili ng isang perpektong parisukat sa denominator 2) gumawa ng isang pagpapalit (dito 3) ng * isang integral Upang mahanap ang integral ng. pinakasimpleng bahagi ng ikaapat na uri, inilalagay namin, tulad ng nasa itaas, . Pagkatapos ay makuha natin ang Integral sa kanang bahagi na tinutukoy ng A at binago ito tulad ng sumusunod: Ang integral sa kanang bahagi ay isinama ng mga bahagi, sa pag-aakalang mula sa kung saan o Pagsasama-sama ng mga rational function Maikling impormasyon tungkol sa mga rational function Pagsasama-sama ng mga simpleng fraction Pangkalahatang kaso Pagsasama ng hindi makatwiran functions Unang pagpapalit ni Euler Pangalawang pagpapalit ng Euler Pangatlong pagpapalit Euler Nakuha namin ang tinatawag na paulit-ulit na formula, na nagpapahintulot sa amin na mahanap ang integral Jk para sa anumang k = 2, 3,. .. . Sa katunayan, ang integral J\ ay tabular: Ang paglalagay sa recurrence formula, makikita natin ang Knowing at paglalagay ng A = 3, madali nating mahahanap ang Jj at iba pa. Sa huling resulta, ang pagpapalit sa lahat ng dako sa halip na t at a ang kanilang mga expression sa mga tuntunin ng x at coefficients p at q, nakuha namin para sa paunang integral ang pagpapahayag nito sa mga tuntunin ng x at ang mga ibinigay na numero M, LG, p, q. Halimbawa 8. Bagong integral “Ang integrand function ay ang pinakasimpleng fraction ng ikaapat na uri, dahil negatibo ang discriminant ng square trinomial, i.e. Nangangahulugan ito na ang denominator ay walang tunay na mga ugat, at ang numerator ay isang polynomial ng 1st degree. 1) Pumili kami ng kumpletong parisukat sa denominator 2) Gumagawa kami ng pagpapalit: Ang integral ay kukuha ng anyo: Paglalagay sa recurrence formula * = 2, a3 = 1. magkakaroon tayo, at, samakatuwid, ang kinakailangang integral ay pantay. Pagbabalik sa variable na x, sa wakas ay nakuha namin ang 7.3. Pangkalahatang kaso Mula sa mga resulta ng mga talata. Ang 1 at 2 ng seksyong ito ay agad na sumusunod sa isang mahalagang teorama. Teorama! 4. Ang hindi tiyak na integral ng anumang rational function ay palaging umiiral (sa mga pagitan kung saan ang denominator ng fraction Q„(x) φ 0) at ipinapahayag sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng elementary function, ibig sabihin, ito ay isang algebraic sum, ang mga termino na kung saan ay maaari lamang i-multiply , rational fractions, natural logarithms at arctangents. Kaya, upang mahanap ang hindi tiyak na integral ng isang fractional-rational function, dapat magpatuloy sa sumusunod na paraan: 1) kung ang rational fraction ay hindi wasto, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahati ng numerator sa denominator, ang buong bahagi ay ihiwalay, ibig sabihin, ang function na ito. ay kinakatawan bilang kabuuan ng isang polynomial at isang wastong rational fraction; 2) pagkatapos ay ang denominator ng nagresultang wastong fraction ay decomposed sa produkto ng linear at quadratic na mga kadahilanan; 3) ang wastong fraction na ito ay nabubulok sa kabuuan ng mga simpleng fraction; 4) gamit ang linearity ng integral at ang mga formula ng hakbang 2, ang mga integral ng bawat termino ay matatagpuan nang hiwalay. Halimbawa 7. Hanapin ang integral M Dahil ang denominator ay isang polynomial ng ikatlong order, ang integrand function ay isang hindi tamang fraction. Binibigyang-diin natin ang buong bahagi nito: Samakatuwid, magkakaroon tayo. Ang denominator ng isang wastong fraction ay may phi iba't ibang tunay na ugat: at samakatuwid ang agnas nito sa mga simpleng fraction ay may anyo Kaya't nakita natin. Ang pagbibigay ng argumentong x na mga halaga ay katumbas ng mga ugat ng denominator, makikita natin mula sa pagkakakilanlang ito na: Samakatuwid, ang kinakailangang integral ay magiging katumbas ng Halimbawa 8. Hanapin ang integral 4 Ang integrand ay isang wastong fraction, ang denominator na mayroong dalawang magkaibang tunay na ugat: x - O multiplicity ng 1 at x = 1 ng multiplicity 3, Samakatuwid, ang pagpapalawak ng integrand sa mga simpleng fraction ay may anyo na Dinadala ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa isang common denominator at binabawasan ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. sa pamamagitan ng denominator na ito, nakukuha natin o. Itinutumbas namin ang mga coefficient para sa parehong mga kapangyarihan ng x sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakakilanlan na ito: Mula dito nakita namin. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga ng mga coefficient sa pagpapalawak, magkakaroon tayo ng Integrating, makikita natin: Halimbawa 9. Hanapin ang integral 4 Ang denominator ng fraction ay walang tunay na ugat. Samakatuwid, ang pagpapalawak ng integrand sa mga simpleng fraction ay may anyo Hence or Equating the coefficients para sa parehong kapangyarihan ng x sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakakilanlang ito, magkakaroon tayo mula sa kung saan natin matatagpuan at, samakatuwid, Remark. Sa ibinigay na halimbawa, ang integrand function ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng mga simpleng fraction sa isang mas simpleng paraan, ibig sabihin, sa numerator ng fraction pipiliin natin ang binary na nasa denominator, at pagkatapos ay nagsasagawa tayo ng term-by-term division. : §8. Pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang function Ang isang function ng form kung saan ang Pm at £?„ ay mga polynomial ng degree type, ayon sa pagkakabanggit, sa mga variable uub2,... ay tinatawag na rational function ng ubu2j... Halimbawa, isang polynomial ng pangalawang degree sa dalawang variable na u\ at u2 ay may anyo kung saan - ilang tunay na constants, at Halimbawa 1, Ang function ay isang rational function ng mga variable r at y, dahil kinakatawan nito ang ratio ng isang polynomial ng ikatlong degree at isang polynomial ng ikalimang antas, ngunit hindi isang yew function. Sa kaso kapag ang mga variable, sa turn, ay mga function ng variable x: kung gayon ang function ] ay tinatawag na isang rational function ng mga function ng Halimbawa. Ang function ay isang rational function ng r at rvdikvlv Pryaivr 3. Ang isang function ng form ay hindi isang rational function ng x at ang radical y/r1 + 1, ngunit ito ay isang rational function ng mga function ang mga function ay hindi palaging ipinapahayag sa pamamagitan ng elementarya na mga function. Halimbawa, ang mga integral na madalas na nakatagpo sa mga aplikasyon ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar; ang mga integral na ito ay tinatawag na elliptic integral ng una at pangalawang uri, ayon sa pagkakabanggit. Isaalang-alang natin ang mga kasong iyon kapag ang pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar ay maaaring mabawasan, sa tulong ng ilang mga pagpapalit, sa pagsasama ng mga makatuwirang pag-andar. 1. Hayaang kailanganin upang mahanap ang integral kung saan ang R(x, y) ay isang rational function ng kanyang mga argumento x at y; m £ 2 - natural na numero; Ang a, 6, c, d ay mga tunay na constant na nakakatugon sa kundisyon ad - bc ^ O (para sa ad - be = 0, ang mga coefficient a at b ay proporsyonal sa mga coefficient c at d, at samakatuwid ang relasyon ay hindi nakadepende sa x ; Nangangahulugan ito na sa kasong ito ang integrand function ay magiging isang rational function ng variable x, na ang pagsasama ay tinalakay nang mas maaga). Susunod na makikita natin o, pagkatapos ng pagpapasimple, Samakatuwid kung saan ang A1 (t) ay isang rational function ng *, dahil ang rational funadia ng isang rational function, pati na rin ang produkto ng rational function, ay rational functions. Alam namin kung paano isama ang mga rational function. Hayaan Pagkatapos ang kinakailangang integral ay katumbas ng At. IvYti integral 4 Ang integrand* function ay isang rational function ng. Samakatuwid, itinakda namin ang t = Pagkatapos Pagsasama-sama ng mga rasyonal na pag-andar Maikling impormasyon tungkol sa mga rational na pag-andar Pagsasama-sama ng mga simpleng fraction Pangkalahatang kaso Pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar Unang pagpapalit ni Euler Pangalawang pagpapalit ni Euler Pangatlong pagpapalit ni Euler Kaya, nakuha namin ang Primar 5. Hanapin ang integral Ang karaniwang denominator ng fractional Ang mga exponents ng x ay katumbas ng 12, kaya ang integrand ang function ay maaaring katawanin sa form na 1 _ 1_ na nagpapakita na ito ay isang rational function ng: Isinasaalang-alang ito, ilagay natin. Dahil dito, 2. Isaalang-alang ang mga inteph ng form kung saan ang subintephal function ay tulad na sa pamamagitan ng pagpapalit ng radical na \/ax2 + bx + c dito sa pamamagitan ng y, makakakuha tayo ng function R(x) y) - rational na may kinalaman sa parehong argumento x at y. Ang integral na ito ay binabawasan sa integral ng isang rational function ng isa pang variable gamit ang mga substitution ni Euler. 8.1. Ang unang pagpapalit ni Euler Hayaan ang koepisyent na a > 0. Itakda natin o Kaya't nakita natin ang x bilang isang rational function ng u, na nangangahulugang Kaya, ang ipinahiwatig na pagpapalit ay nagpapahayag ng makatwiran sa mga tuntunin ng *. Samakatuwid, magkakaroon tayo ng komento. Ang unang pagpapalit ng Euler ay maaari ding kunin sa anyo Halimbawa 6. Hanapin natin ang integral Samakatuwid, magkakaroon tayo ng pagpapalit ng dx Euler, ipakita na Y 8.2. Ang pangalawang pagpapalit ni Euler Hayaang ang trinomial ax2 + bx + c ay may magkaibang tunay na mga ugat R] at x2 (ang koepisyent ay maaaring magkaroon ng anumang tanda). Sa kasong ito, ipinapalagay natin Mula noon ay nakuha natin Dahil ang x,dxn y/ax2 + be + c ay ipinahayag nang makatwiran sa mga tuntunin ng t, kung gayon ang orihinal na integral ay nabawasan sa integral ng isang rational function, ibig sabihin, kung saan Problema. Gamit ang unang pagpapalit ni Euler, ipakita na isang rational function ng t. Halimbawa 7. Hanapin ang integral dx M function ] - Ang x1 ay may iba't ibang tunay na ugat. Samakatuwid, inilalapat namin ang pangalawang pagpapalit ng Euler Mula dito makikita namin ang mga nahanap na expression sa Given?v*gyvl; nakakakuha tayo ng 8.3. Ikatlong Euler substascom Hayaan ang coefficient c > 0. Gumagawa kami ng pagbabago ng variable sa pamamagitan ng paglalagay. Tandaan na upang bawasan ang integral sa integral ng isang rational function, ang una at pangalawang Euler substitutions ay sapat. Sa katunayan, kung ang discriminant b2 -4ac > 0, kung gayon ang mga ugat ng quadratic trinomial ax + bx + c ay totoo, at sa kasong ito ang pangalawang Euler substitution ay naaangkop. Kung, kung gayon ang tanda ng trinomial ax2 + bx + c ay tumutugma sa tanda ng coefficient a, at dahil ang trinomial ay dapat na positibo, pagkatapos ay a > 0. Sa kasong ito, ang unang pagpapalit ni Euler ay naaangkop. Upang makahanap ng mga integral ng uri na ipinahiwatig sa itaas, hindi palaging ipinapayong gamitin ang mga pagpapalit ni Euler, dahil para sa kanila posible na makahanap ng iba pang mga paraan ng pagsasama na humahantong sa layunin nang mas mabilis. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga integral na ito. 1. Upang mahanap ang mga integral ng anyo, ihiwalay ang perpektong parisukat mula sa parisukat ng ika trinomial: kung saan Pagkatapos nito, gumawa ng pagpapalit at makuha kung saan ang mga coefficient a at P ay may magkaibang mga senyales o pareho silang positibo. Para sa, at para din sa isang > 0, ang integral ay mababawasan sa isang logarithm, at kung gayon, sa arcsine. Sa. Humanap ng imtegral 4 Sokak pagkatapos. Sa pag-aakalang, makukuha natin ang Prmmar 9. Hanapin. Sa pag-aakalang x -, magkakaroon tayo ng 2. Ang integral ng form ay binabawasan sa integral y mula sa hakbang 1 bilang mga sumusunod. Isinasaalang-alang na ang derivative ()" = 2, itinatampok natin ito sa numerator: 4 Nakikilala natin sa numerator ang derivative ng radical expression. Dahil (x, magkakaroon tayo, na isinasaalang-alang ang resulta ng halimbawa 9, 3. Ang mga integral ng anyo kung saan ang P„(x) ay isang polynomial n -th degree, ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng mga indefinite coefficients, na binubuo ng mga sumusunod Ipagpalagay natin na ang pagkakapantay-pantay ay Halimbawa 10. Makapangyarihang integral kung saan ang Qn-i (s) ay isang polynomial ng (n - 1) degree na may hindi tiyak na coefficients: Upang mahanap ang mga hindi alam na coefficients |. denominator ng kaliwang bahagi, i.e. y/ax2 + bx + c, na binabawasan ang magkabilang panig ng (2) kung saan nakuha natin ang pagkakakilanlan sa magkabilang panig na naglalaman ng mga polynomial ng degree n kaliwa at kanang bahagi ng (3), nakukuha namin ang n + 1 equation, kung saan makikita namin ang mga kinakailangang coefficient j4*(fc = 0,1,2,..., n ). ng (1) at paghahanap ng integral + c makuha natin ang sagot para sa integral na ito. Halimbawa 11. Hanapin ang integral Ilagay natin ang Differentiating both suits of the equality, magkakaroon tayo ng Bringing the right side to a common denominator and reduced both sides by it, we get the identity or. Pag-equate ng mga coefficient sa parehong mga kapangyarihan ng x, dumating tayo sa isang sistema ng mga equation kung saan makikita natin = Pagkatapos ay makikita natin ang integral sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (4): Dahil dito, ang kinakailangang integral ay magiging katumbas ng

Sa ilalim hindi makatwiran maunawaan ang isang expression kung saan ang independent variable na %%x%% o ang polynomial na %%P_n(x)%% ng degree %%n \in \mathbb(N)%% ay kasama sa ilalim ng sign radikal(mula sa Latin radix- ugat), ibig sabihin. itinaas sa isang fractional power. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang variable, ang ilang mga klase ng mga integrand na hindi makatwiran na may kinalaman sa %%x%% ay maaaring gawing mga makatwirang expression na may kinalaman sa isang bagong variable.

Ang konsepto ng isang rational function ng isang variable ay maaaring palawigin sa maraming argumento. Kung para sa bawat argument na %%u, v, \dotsc, w%% kapag kinakalkula ang halaga ng isang function, ang mga pagpapatakbo ng aritmetika at pagtaas sa isang integer na kapangyarihan ang ibinibigay, kung gayon ay nagsasalita tayo ng isang rational function ng mga argumentong ito, na kadalasan ay denoted %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Ang mga argumento ng naturang function ay maaaring maging function mismo ng independent variable na %%x%%, kabilang ang mga radical ng anyong %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Halimbawa, ang rational function na $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ na may %%u = x, v = \sqrt(x)%% at %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% ay isang rational function ng $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ mula sa %%x%% at mga radical %%\sqrt(x)%% at %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, habang ang function na %%f(x)%% ay magiging irrational (algebraic) function ng isang independent variable %%x%%.

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Ang mga nasabing integral ay narasyonal sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable na %%t = \sqrt[n](x)%%, pagkatapos ay %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Halimbawa 1

Hanapin ang %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Ang integrand ng ninanais na argumento ay nakasulat bilang isang function ng radicals ng degree %%2%% at %%3%%. Dahil ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng %%2%% at %%3%% ay %%6%%, ang integral na ito ay isang integral ng uri %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% at maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit ng %%\sqrt(x) = t%%. Pagkatapos ay %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Samakatuwid, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Kunin natin ang %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% at $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(array) $$

Ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ay isang espesyal na kaso ng fractional linear irrationalities, i.e. integral ng form na %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, kung saan %% ad - bc \neq 0%%, na maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit sa variable na %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Pagkatapos ay $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Halimbawa 2

Hanapin ang %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Kunin natin ang %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Samakatuwid, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\kanan) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga naturang integral ay binabawasan sa mga tabular kung, pagkatapos na ihiwalay ang kumpletong parisukat, isang pagbabago ng mga variable ay ginawa.

Halimbawa 3

Hanapin ang integral %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Isinasaalang-alang na ang %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, kukunin natin ang %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, pagkatapos ay $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\kanan| + C = \\ &= \ln\kaliwa|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\kanan| + C. \end(array) $$

Sa mas kumplikadong mga kaso, upang mahanap ang mga integral ng form na %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ay ginagamit

Ang klase ng mga hindi makatwirang pag-andar ay napakalawak, kaya hindi maaaring magkaroon ng isang unibersal na paraan upang pagsamahin ang mga ito. Sa artikulong ito susubukan naming tukuyin ang mga pinaka-katangiang uri ng hindi makatwiran na pagsasama at pag-andar at iugnay ang paraan ng pagsasama sa kanila.

May mga kaso kung kailan angkop na gamitin ang paraan ng pag-subscribe sa differential sign. Halimbawa, kapag naghahanap ng mga hindi tiyak na integral ng anyo, kung saan p– rational fraction.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral .

Solusyon.

Hindi mahirap pansinin iyon. Samakatuwid, inilalagay namin ito sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian at ginagamit ang talahanayan ng mga antiderivatives:

Sagot:

.

13. Fractional linear substitution

Ang mga integral ng uri kung saan ang a, b, c, d ay tunay na mga numero, a, b,..., d, g ay mga natural na numero, ay binabawasan sa mga integral ng isang rational function sa pamamagitan ng pagpapalit, kung saan ang K ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ang mga denominador ng mga fraction

Sa katunayan, mula sa pagpapalit ay sinusundan iyon

i.e. ang x at dx ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga rational function ng t. Bukod dito, ang bawat antas ng fraction ay ipinahayag sa pamamagitan ng isang rational function ng t.

Halimbawa 33.4. Hanapin ang integral

Solusyon: Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga fraction na 2/3 at 1/2 ay 6.

Samakatuwid, inilalagay namin ang x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Samakatuwid,

Halimbawa 33.5. Tukuyin ang pagpapalit para sa paghahanap ng mga integral:

Solusyon: Para sa I 1 substitution x=t 2, para sa I 2 substitution

14. Trigonometric substitution

Ang mga uri ng integral ay binabawasan sa mga integral ng mga function na makatwiran na nakadepende sa mga function na trigonometriko gamit ang mga sumusunod na mga pamalit na trigonometriko: x = isang sint para sa unang integral; x=a tgt para sa pangalawang integral;

Halimbawa 33.6. Hanapin ang integral

Solusyon: Ilagay natin ang x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Pagkatapos

Dito ang integrand ay isang rational function na may kinalaman sa x at Sa pamamagitan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat sa ilalim ng radikal at paggawa ng isang pagpapalit, ang mga integral ng ipinahiwatig na uri ay nababawasan sa mga integral ng uri na isinasaalang-alang na, ibig sabihin, sa mga integral ng uri Ang mga integral na ito ay maaaring kalkulahin gamit ang naaangkop na mga pamalit na trigonometriko.

Halimbawa 33.7. Hanapin ang integral

Solusyon: Dahil x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, pagkatapos x+1=t, x=t-1, dx=dt. kaya lang Ilagay natin

Tandaan: Integral na uri Ito ay nararapat na hanapin gamit ang pagpapalit na x=1/t.

15. Tiyak na integral

Hayaang tukuyin ang isang function sa isang segment at magkaroon ng antiderivative dito. Ang pagkakaiba ay tinatawag tiyak na integral function sa kahabaan ng segment at denote. Kaya,

Ang pagkakaiba ay nakasulat sa form, pagkatapos . Tinatawag ang mga numero mga limitasyon ng pagsasama .

Halimbawa, isa sa mga antiderivative para sa isang function. kaya lang

16 . Kung ang c ay isang pare-parehong numero at ang function na ƒ(x) ay maisasama sa , kung gayon

ibig sabihin, ang pare-parehong salik c ay maaaring alisin sa tanda ng tiyak na integral.

▼Buuin natin ang integral sum para sa function na may ƒ(x). Mayroon kaming:

Pagkatapos ay sumusunod na ang function na c ƒ(x) ay maisasama sa [a; b] at formula (38.1) ay wasto.▲

2. Kung ang mga function na ƒ 1 (x) at ƒ 2 (x) ay pinagsama-sama sa [a;b], pagkatapos ay mapagsasama sa [a; b] kanilang kabuuan u

ibig sabihin, ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral.

▼
▲

Nalalapat ang Property 2 sa kabuuan ng anumang may hangganang bilang ng mga termino.

3.

Maaaring tanggapin ang property na ito ayon sa kahulugan. Ang property na ito ay kinumpirma rin ng Newton-Leibniz formula.

4. Kung ang function na ƒ(x) ay maisasama sa [a; b] at a< с < b, то

ibig sabihin, ang integral sa buong segment ay katumbas ng kabuuan ng mga integral sa mga bahagi ng segment na ito. Ang katangiang ito ay tinatawag na additivity ng isang tiyak na integral (o ang additivity property).

Kapag hinahati ang segment [a;b] sa mga bahagi, isinasama namin ang point c sa bilang ng mga division point (maaari itong gawin dahil sa kalayaan ng limitasyon ng integral sum mula sa paraan ng paghahati ng segment [a;b] sa mga bahagi). Kung c = x m, kung gayon ang integral sum ay maaaring nahahati sa dalawang kabuuan:

Ang bawat isa sa mga nakasulat na kabuuan ay integral, ayon sa pagkakabanggit, para sa mga segment [a; b], [a; s] at [s; b]. Ang pagpasa sa limitasyon sa huling pagkakapantay-pantay bilang n → ∞ (λ → 0), nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay (38.3).

Ang Property 4 ay wasto para sa anumang lokasyon ng mga puntos na a, b, c (ipagpalagay namin na ang function na ƒ (x) ay maisasama sa mas malaki sa mga resultang segment).

Kaya, halimbawa, kung a< b < с, то

(properties 4 at 3 ang ginamit).

5. “Theorem on mean values.” Kung ang function na ƒ(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [a; b], pagkatapos ay mayroong isang tonka na may є [a; b] ganyan

▼Sa pamamagitan ng Newton-Leibniz formula na mayroon tayo

kung saan ang F"(x) = ƒ(x). Ang paglalapat ng Lagrange theorem (ang theorem sa finite increment ng isang function) sa pagkakaiba F(b)-F(a), nakukuha natin

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Ang Property 5 (“ang mean value theorem”) para sa ƒ (x) ≥ 0 ay may simpleng geometric na kahulugan: ang halaga ng definite integral ay pantay, para sa ilang c є (a; b), sa lugar ng isang rectangle na may taas ƒ (c) at base b-a (tingnan ang fig. 170). Numero

ay tinatawag na average na halaga ng function na ƒ(x) sa pagitan [a; b].

6. Kung ang function na ƒ (x) ay nagpapanatili ng sign nito sa segment [a; b], kung saan a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Sa pamamagitan ng “mean value theorem” (property 5)

kung saan c є [a; b]. At dahil ƒ(x) ≥ 0 para sa lahat ng x О [a; b], pagkatapos

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Samakatuwid ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. ▲

7. Hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng tuluy-tuloy na mga function sa pagitan [a; b], (a

▼Dahil ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, pagkatapos ay kapag ang isang< b, согласно свойству 6, имеем

O, ayon sa property 2,

Tandaan na imposibleng makilala ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

8. Pagtataya ng integral. Kung ang m at M ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function na y = ƒ (x) sa segment [a; b], (a< b), то

▼Dahil para sa anumang x є [a;b] mayroon kaming m≤ƒ(x)≤М, kung gayon, ayon sa property 7, mayroon kaming

Ang paglalapat ng Property 5 sa mga extreme integral, nakukuha namin

▲

Kung ƒ(x)≥0, kung gayon ang property 8 ay inilalarawan sa geometriko: ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay nakapaloob sa pagitan ng mga lugar ng mga parihaba na ang base ay , at ang taas ay m at M (tingnan ang Fig. 171).

9. Ang modulus ng isang tiyak na integral ay hindi lalampas sa integral ng modulus ng integrand:

▼Paglalapat ng property 7 sa mga halatang hindi pagkakapantay-pantay -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, nakukuha namin

Sinusundan nito iyon

▲

10. Ang derivative ng isang definite integral na may kinalaman sa isang variable na upper limit ay katumbas ng integrand kung saan ang integration variable ay pinapalitan ng limit na ito, i.e.

Ang pagkalkula ng lugar ng isang pigura ay isa sa pinakamahirap na problema sa teorya ng lugar. Sa kursong geometry ng paaralan, natutunan naming hanapin ang mga lugar ng mga pangunahing geometric na hugis, halimbawa, isang bilog, tatsulok, rhombus, atbp. Gayunpaman, mas madalas na kailangan mong harapin ang pagkalkula ng mga lugar ng mas kumplikadong mga numero. Kapag nilulutas ang mga naturang problema, kailangang gumamit ng integral calculus.

Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang problema ng pagkalkula ng lugar ng isang curvilinear trapezoid, at lalapitan natin ito sa isang geometric na kahulugan. Ito ay magpapahintulot sa amin na malaman ang direktang koneksyon sa pagitan ng tiyak na integral at ang lugar ng isang curvilinear trapezoid.

Kahulugan 1

Ang set ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function $y=f(x)$, na tinukoy sa isang partikular na segment, ay tinatawag na indefinite integral ng isang ibinigay na function $y=f(x)$. Ang di-tiyak na integral ay tinutukoy ng simbolo na $\int f(x)dx $.

Magkomento

Ang Depinisyon 2 ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Hindi lahat ng hindi makatwiran na pag-andar ay maaaring ipahayag bilang isang integral sa pamamagitan ng elementarya na mga pag-andar. Gayunpaman, ang karamihan sa mga integral na ito ay maaaring bawasan gamit ang mga pagpapalit sa mga integral ng mga rational function, na maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

ako

Kapag naghahanap ng integral ng form na $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ kailangang gawin ang sumusunod na pagpapalit:

Sa pagpapalit na ito, ang bawat fractional power ng variable na $x$ ay ipinahayag sa pamamagitan ng integer power ng variable na $t$. Bilang resulta, ang integrand function ay binago sa isang rational function ng variable na $t$.

Halimbawa 1

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Solusyon:

Ang $k=4$ ay ang karaniwang denominador ng mga fraction na $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(array)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Kapag naghahanap ng integral ng form na $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ kailangang gawin ang sumusunod na pagpapalit:

kung saan ang $k$ ay ang karaniwang denominator ng mga fraction na $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Bilang resulta ng pagpapalit na ito, ang integrand function ay binago sa isang rational function ng variable na $t$.

Halimbawa 2

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Solusyon:

Gawin natin ang sumusunod na pagpapalit:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \kanan|+C\]

Pagkatapos gawin ang reverse substitution, makuha namin ang huling resulta:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Kapag naghahanap ng integral ng form na $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, ginagawa ang tinatawag na Euler substitution (isa sa tatlong posibleng mga substitution ay ginamit).

Ang unang pagpapalit ni Euler

Para sa kaso $a>

Ang pagkuha ng “+” sign sa harap ng $\sqrt(a) $, nakukuha namin

Halimbawa 3

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Solusyon:

Gawin natin ang sumusunod na pagpapalit (case $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Pagkatapos gawin ang reverse substitution, makuha namin ang huling resulta:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Ang pangalawang pagpapalit ni Euler

Para sa kaso $c>0$ kinakailangan na gawin ang sumusunod na pagpapalit:

Ang pagkuha ng “+” sign sa harap ng $\sqrt(c) $, nakukuha namin

Halimbawa 4

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) )))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Solusyon:

Gawin natin ang sumusunod na pagpapalit:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Nagawa ang reverse pagpapalit, makuha namin ang huling resulta:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) )))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( array)\]

Ang ikatlong pagpapalit ni Euler