Sasaklawin ng paksang ito ang mga operasyon tulad ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice, pagpaparami ng isang matrix sa isang numero, pagpaparami ng isang matrix sa isang matrix, at paglipat ng isang matrix. Ang lahat ng mga simbolo na ginamit sa pahinang ito ay kinuha mula sa nakaraang paksa.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice.

Ang kabuuan ng $A+B$ ng mga matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay tinatawag na matrix $C_(m \times n) =(c_(ij))$, kung saan $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline( 1,n) $.

Ang isang katulad na kahulugan ay ipinakilala para sa pagkakaiba ng mga matrice:

Ang pagkakaiba sa pagitan ng $A-B$ matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ at $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ay ang matrix $C_(m\times n)=( c_(ij))$, kung saan $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1, n)$.

Paliwanag para sa entry na $i=\overline(1,m)$: ipakita\itago

Ang notasyong "$i=\overline(1,m)$" ay nangangahulugan na ang parameter na $i$ ay nag-iiba mula 1 hanggang m. Halimbawa, ang entry na $i=\overline(1,5)$ ay nagpapahiwatig na ang parameter na $i$ ay kumukuha ng mga halaga 1, 2, 3, 4, 5.

Kapansin-pansin na ang mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas ay tinukoy lamang para sa mga matrice na may parehong laki. Sa pangkalahatan, ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga matrice ay mga operasyong malinaw na intuitive, dahil ang ibig sabihin ng mga ito ay ang kabuuan o pagbabawas lamang ng mga kaukulang elemento.

Halimbawa Blg. 1

Tatlong matrice ang ibinigay:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Posible bang mahanap ang matrix na $A+F$? Maghanap ng mga matrice na $C$ at $D$ kung $C=A+B$ at $D=A-B$.

Ang matrix $A$ ay naglalaman ng 2 row at 3 column (sa madaling salita, ang laki ng matrix $A$ ay $2\times 3$), at ang matrix $F$ ay naglalaman ng 2 row at 2 column. Ang mga sukat ng mga matrice na $A$ at $F$ ay hindi magkatugma, kaya hindi namin maidaragdag ang mga ito, i.e. ang $A+F$ na operasyon ay hindi tinukoy para sa mga matrice na ito.

Ang mga sukat ng mga matrice na $A$ at $B$ ay pareho, i.e. Ang data ng matrix ay naglalaman ng pantay na bilang ng mga row at column, kaya naaangkop sa kanila ang pagpapatakbo ng karagdagan.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Hanapin natin ang matrix $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Sagot: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Pagpaparami ng matrix sa isang numero.

Ang produkto ng matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ sa numerong $\alpha$ ay ang matrix $B_(m\times n)=(b_(ij))$, kung saan $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para sa lahat ng $i=\overline(1,m)$ at $j=\overline(1,n)$.

Sa madaling salita, ang pagpaparami ng isang matrix sa isang tiyak na numero ay nangangahulugan ng pagpaparami ng bawat elemento ng isang ibinigay na matrix sa bilang na iyon.

Halimbawa Blg. 2

Ang matrix ay ibinigay: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Maghanap ng mga matrice na $3\cdot A$, $-5\cdot A$ at $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \kanan). $$

Ang notasyong $-A$ ay isang shorthand notation para sa $-1\cdot A$. Iyon ay, upang mahanap ang $-A$ kailangan mong i-multiply ang lahat ng elemento ng matrix na $A$ sa (-1). Sa esensya, nangangahulugan ito na ang tanda ng lahat ng elemento ng matrix na $A$ ay magbabago sa kabaligtaran:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ kaliwa(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Sagot: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produkto ng dalawang matrice.

Ang kahulugan ng operasyong ito ay mahirap at, sa unang tingin, hindi malinaw. Samakatuwid, una kong ituturo pangkalahatang kahulugan, at pagkatapos ay titingnan namin nang detalyado kung ano ang ibig sabihin nito at kung paano ito gagawin.

Ang produkto ng matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ng matrix $B_(n\times k)=(b_(ij))$ ay ang matrix $C_(m\times k )=(c_(ij))$, kung saan ang bawat elemento $c_(ij)$ ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng katumbas na mga elemento ng i-th mga hilera ng matrix $A$ hanggang sa mga elemento ng j-th column ng matrix $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \ ;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Tingnan natin ang matrix multiplication step by step gamit ang isang halimbawa. Gayunpaman, dapat mong agad na tandaan na hindi lahat ng matrice ay maaaring i-multiply. Kung gusto nating i-multiply ang matrix $A$ sa matrix na $B$, kailangan muna nating tiyakin na ang bilang ng mga column ng matrix $A$ ay katumbas ng bilang ng mga row ng matrix $B$ (madalas na tinatawag ang ganitong mga matrice. napagkasunduan). Halimbawa, ang matrix na $A_(5\times 4)$ (ang matrix ay naglalaman ng 5 row at 4 na column) ay hindi maaaring i-multiply sa matrix na $F_(9\times 8)$ (9 row at 8 column), dahil ang numero ng mga column ng matrix na $A $ ay hindi katumbas ng bilang ng mga row ng matrix na $F$, i.e. $4\neq 9$. Ngunit maaari mong i-multiply ang matrix $A_(5\times 4)$ sa matrix na $B_(4\times 9)$, dahil ang bilang ng mga column ng matrix $A$ ay katumbas ng bilang ng mga row ng matrix $ B$. Sa kasong ito, ang resulta ng pagpaparami ng mga matrice na $A_(5\times 4)$ at $B_(4\times 9)$ ang magiging matrix na $C_(5\times 9)$, na naglalaman ng 5 row at 9 na column:

Halimbawa Blg. 3

Mga ibinigay na matrice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ at $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Hanapin ang matrix na $C=A\cdot B$.

Una, agad nating tukuyin ang laki ng matrix na $C$. Dahil ang matrix $A$ ay may sukat na $3\beses 4$, at ang matrix na $B$ ay may sukat na $4\beses 2$, ang laki ng matrix $C$ ay: $3\beses 2$:

Kaya, bilang resulta ng produkto ng mga matrice na $A$ at $B$, dapat tayong kumuha ng matrix na $C$, na binubuo ng tatlong row at dalawang column: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) at c_( 12) \\ c_(21) at c_(22) \\ c_(31) at c_(32) \end(array) \right)$. Kung ang mga pagtatalaga ng mga elemento ay nagtataas ng mga tanong, maaari kang tumingin nakaraang paksa: "Matrixes. Mga uri ng matrice. Basic terms", sa simula kung saan ipinaliwanag ang pagtatalaga ng mga elemento ng matrix. Ang aming layunin: upang mahanap ang mga halaga ng lahat ng mga elemento ng matrix $C$.

Magsimula tayo sa elementong $c_(11)$. Upang makuha ang elementong $c_(11)$, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng unang hilera ng matrix na $A$ at ang unang column ng matrix na $B$:

Upang mahanap ang elementong $c_(11)$ mismo, kailangan mong i-multiply ang mga elemento ng unang hilera ng matrix na $A$ sa mga kaukulang elemento ng unang column ng matrix na $B$, i.e. ang unang elemento sa una, ang pangalawa hanggang sa pangalawa, ang ikatlo sa ikatlo, ang ikaapat hanggang sa ikaapat. Binubuod namin ang mga resultang nakuha:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Ipagpatuloy natin ang solusyon at hanapin ang $c_(12)$. Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang mga elemento ng unang hilera ng matrix $A$ at ang pangalawang column ng matrix $B$:

Katulad ng nauna, mayroon kaming:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Nahanap na ang lahat ng elemento ng unang hilera ng matrix $C$. Lumipat tayo sa pangalawang linya, na nagsisimula sa elementong $c_(21)$. Upang mahanap ito, kailangan mong i-multiply ang mga elemento ng pangalawang row ng matrix $A$ at ang unang column ng matrix $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Nahanap namin ang susunod na elemento $c_(22)$ sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga elemento ng pangalawang hilera ng matrix $A$ sa mga kaukulang elemento ng pangalawang column ng matrix $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Upang mahanap ang $c_(31)$, i-multiply ang mga elemento ng ikatlong row ng matrix na $A$ sa mga elemento ng unang column ng matrix na $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

At sa wakas, upang mahanap ang elementong $c_(32)$, kakailanganin mong i-multiply ang mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na $A$ sa mga katumbas na elemento ng pangalawang column ng matrix na $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Ang lahat ng mga elemento ng matrix na $C$ ay natagpuan, ang natitira lamang ay isulat na $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( array) \right)$ . O, upang magsulat nang buo:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Sagot: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Sa pamamagitan ng paraan, madalas na walang dahilan upang ilarawan nang detalyado ang lokasyon ng bawat elemento ng resulta ng matrix. Para sa mga matrice na ang laki ay maliit, magagawa mo ito:

Dapat ding tandaan na ang pagpaparami ng matrix ay hindi commutative. Nangangahulugan ito na sa pangkalahatang kaso $A\cdot B\neq B\cdot A$. Para lamang sa ilang uri ng matrice, na tinatawag nababago(o pag-commute), totoo ang pagkakapantay-pantay na $A\cdot B=B\cdot A$. Ito ay tiyak na nakabatay sa non-commutativity ng multiplication na kailangan nating ipahiwatig nang eksakto kung paano natin i-multiply ang expression sa isang partikular na matrix: sa kanan o sa kaliwa. Halimbawa, ang pariralang "multiply both sides of the equality $3E-F=Y$ by the matrix $A$ on the right" ay nangangahulugang gusto mong makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Ang transposed na may paggalang sa matrix $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ay ang matrix $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para sa mga elemento na $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Sa madaling salita, para makakuha ng transposed matrix na $A^T$, kailangan mong palitan ang mga column sa orihinal na matrix na $A$ ng kaukulang mga row ayon sa prinsipyong ito: nagkaroon ng unang row - magkakaroon ng unang column ; nagkaroon ng pangalawang hilera - magkakaroon ng pangalawang hanay; nagkaroon ng ikatlong hanay - magkakaroon ng ikatlong hanay at iba pa. Halimbawa, hanapin natin ang transposed matrix sa matrix $A_(3\times 5)$:

Alinsunod dito, kung ang orihinal na matrix ay may sukat na $3\beses 5$, ang transposed matrix ay may sukat na $5\beses 3$.

Ang ilang mga katangian ng mga operasyon sa mga matrice.

Dito ipinapalagay na ang $\alpha$, $\beta$ ay ilang mga numero, at ang $A$, $B$, $C$ ay mga matrice. Para sa unang apat na katangian ay ipinahiwatig ko ang mga pangalan;

1. $A+B=B+A$ (commutativity ng karagdagan)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (associativity ng karagdagan)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivity ng multiplication sa isang matrix na may kinalaman sa pagdaragdag ng mga numero)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivity ng multiplication sa isang numero na nauugnay sa matrix addition)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, kung saan ang $E$ ay ang identity matrix ng kaukulang order.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, kung saan ang $O$ ay isang zero matrix ng naaangkop na laki.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Sa susunod na bahagi, isasaalang-alang namin ang pagpapatakbo ng pagtaas ng isang matrix sa isang di-negatibong kapangyarihan ng integer, at lutasin din ang mga halimbawa kung saan kinakailangan na magsagawa ng ilang mga operasyon sa mga matrice.

Sunud-sunod naming "ibubukod" ang mga hindi alam. Upang gawin ito, iiwan namin ang unang equation ng system na hindi nagbabago, at baguhin ang pangalawa at pangatlo:

1) sa pangalawang equation idinagdag namin ang una, pinarami ng –2, at dinadala ito sa anyo –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) sa ikatlong equation idinagdag namin ang una, pinarami ng – 4, at dinadala ito sa anyo –3 x 2 – 4x 3 = 2.

Bilang resulta, ang hindi alam ay ibubukod sa pangalawa at pangatlong equation x 1 at ang sistema ay kukuha ng form

I-multiply namin ang pangalawa at pangatlong equation ng system sa -1, nakukuha namin

Coefficient 1 sa unang equation para sa unang hindi alam X 1 ang tinatawag nangungunang elemento ang unang hakbang ng pag-aalis.

Sa ikalawang hakbang, ang una at pangalawang equation ay nananatiling hindi nagbabago, at ang parehong paraan ng pag-aalis ng variable ay inilalapat sa ikatlong equation. x 2 . Nangungunang elemento ng ikalawang hakbang ay ang koepisyent 3. Sa ikatlong equation idinagdag namin ang pangalawa, pinarami ng –1, pagkatapos ay binago ang sistema sa anyo

(1.2)

Ang proseso ng pagbabawas ng sistema (1.1) upang bumuo (1.2) ay tinatawag na direkta pag-unlad ng pamamaraan Gauss.

Ang pamamaraan para sa paglutas ng sistema (1.2) ay tinatawag sa kabaligtaran. Mula sa huling equation na nakuha namin X 3 = –2. Ang pagpapalit ng halagang ito sa pangalawang equation, nakukuha natin X 2 = 2. Pagkatapos nito, ang unang equation ay nagbibigay X 1 = 1. Kaya, ay isang solusyon sa system (1.1).

Konsepto ng matrix

Isaalang-alang natin ang mga dami na kasama sa system (1.1). Ang isang set ng siyam na numerical coefficient na lumalabas bago ang mga hindi alam sa mga equation ay bumubuo ng isang talahanayan ng mga numero na tinatawag na matris:

A= .

(1.3)

Tinatawag ang mga numero ng talahanayan elemento matrice. Nabuo ang mga elemento mga row at column matrice. Ang bilang ng mga row at ang bilang ng mga column ay nabuo sukat matrice. Matrix A ay may sukat na 3'3 (“tatlo sa tatlo”), na ang unang numero ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga hilera, at ang pangalawa ay ang bilang ng mga hanay. Kadalasan ang isang matrix ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng sukat nito A (3 ´ 3). Dahil ang bilang ng mga row at column sa matrix A pareho, ang matrix ay tinatawag parisukat. Ang bilang ng mga hilera (at mga haligi) sa isang parisukat na matrix ay tinatawag na nito sa ayos, Kaya naman A– matris ikatlong order.

Ang mga kanang bahagi ng mga equation ay bumubuo rin ng isang talahanayan ng mga numero, i.e. matris:

Ang bawat hilera ng matrix na ito ay nabuo ng isang elemento, kaya B(3 ´ 1) ay tinatawag matrix-column, ang dimensyon nito ay 3'1. Ang hanay ng mga hindi alam ay maaari ding katawanin bilang isang column matrix:

Pag-multiply ng square matrix sa column matrix

Sa mga matrice posible na makagawa iba't ibang operasyon, na tatalakayin nang detalyado sa ibang pagkakataon. Dito ay susuriin lamang natin ang panuntunan para sa pag-multiply ng square matrix sa column matrix. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang resulta ng pagpaparami ng matrix A(3 ´ 3) bawat hanay SA(3 ´ 1) ay ang hanay D(3 ´ 1), na ang mga elemento ay katumbas ng mga kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng mga hilera ng matrix A sa mga elemento ng column SA:

2)pangalawa elemento ng hanay D katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento pangalawa mga hilera ng matrix A sa mga elemento ng column SA:

Mula sa mga formula sa itaas ay malinaw na ang pagpaparami ng isang matrix sa isang haligi SA ay posible lamang kung ang bilang ng mga haligi ng matrix A katumbas ng bilang ng mga elemento sa column SA.

Tingnan natin ang dalawa pang numerical na halimbawa ng matrix multiplication (3 ´3) bawat hanay (3 ´1):

Halimbawa 1.1

AB =
.

Halimbawa 1.2

AB= .

1st year, higher mathematics, nag-aaral matrice at mga pangunahing aksyon sa kanila. Dito namin na-systematize ang mga pangunahing operasyon na maaaring gawin sa mga matrice. Saan magsisimulang maging pamilyar sa mga matrice? Siyempre, mula sa pinakasimpleng bagay - mga kahulugan, pangunahing konsepto at simpleng operasyon. Tinitiyak namin sa iyo na ang mga matrice ay mauunawaan ng lahat na naglalaan ng kahit kaunting oras sa kanila!

Kahulugan ng Matrix

Matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan ng mga elemento. Well, paano kung sa simpleng wika– talaan ng mga numero.

Karaniwan ang mga matrice ay tinutukoy sa mga capitals sa mga letrang Latin. Halimbawa, matrix A , matris B at iba pa. Ang mga matrice ay maaaring iba't ibang laki: parihaba, parisukat, mayroon ding mga row matrice at column matrice na tinatawag na vectors. Ang laki ng matrix ay tinutukoy ng bilang ng mga hilera at haligi. Halimbawa, magsulat tayo hugis-parihaba na matris laki m sa n , Saan m – bilang ng mga linya, at n – bilang ng mga hanay.

Mga bagay para saan i=j (a11, a22, .. ) bumubuo sa pangunahing dayagonal ng matris at tinatawag na dayagonal.

Ano ang maaari mong gawin sa matrices? Magdagdag/Magbawas, multiply sa isang numero, magparami sa kanilang sarili, transpose. Ngayon tungkol sa lahat ng mga pangunahing operasyong ito sa mga matrice sa pagkakasunud-sunod.

Mga operasyon sa pagdaragdag at pagbabawas ng matrix

Ipaalam sa amin kaagad na balaan ka na maaari ka lamang magdagdag ng mga matrice ng parehong laki. Ang resulta ay isang matrix ng parehong laki. Ang pagdaragdag (o pagbabawas) ng mga matrice ay simple - kailangan mo lamang magdagdag ng kanilang mga kaukulang elemento . Magbigay tayo ng halimbawa. Gawin natin ang pagdaragdag ng dalawang matrice A at B na may sukat na dalawa sa dalawa.

Ang pagbabawas ay ginagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad, tanging sa kabaligtaran na tanda.

Naka-on arbitrary na numero Maaari mong i-multiply ang anumang matrix. Upang gawin ito kailangan mong i-multiply ang bawat elemento nito sa numerong ito. Halimbawa, i-multiply natin ang matrix A mula sa unang halimbawa sa numero 5:

Pagpaparami ng matrix

Hindi lahat ng matrice ay maaaring i-multiply nang sama-sama. Halimbawa, mayroon kaming dalawang matrice - A at B. Maaari lamang silang i-multiply sa isa't isa kung ang bilang ng mga column ng matrix A ay katumbas ng bilang ng mga row ng matrix B. Sa kasong ito bawat elemento ng resultang matrix na matatagpuan sa i-th row at jth column, ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga kaukulang elemento sa i-ika linya ang unang salik at ang j-th column ng pangalawa. Upang maunawaan ang algorithm na ito, isulat natin kung paano pinaparami ang dalawang square matrice:

At isang halimbawa na may totoong mga numero. I-multiply natin ang mga matrice:

Matrix transpose na operasyon

Ang matrix transposition ay isang operasyon kung saan ang mga katumbas na row at column ay pinagpalit. Halimbawa, i-transpose natin ang matrix A mula sa unang halimbawa:

Matrix determinant

Ang determinant, o determinant, ay isa sa mga pangunahing konsepto ng linear algebra. Minsan ang mga tao ay dumating sa mga linear na equation, at sa likod nila kailangan naming magkaroon ng determinant. Sa huli, ikaw ang bahala sa lahat ng ito, kaya, ang huling push!

Ang determinant ay isang numerical na katangian ng isang square matrix, na kinakailangan upang malutas ang maraming mga problema.
Upang kalkulahin ang determinant ng pinakasimpleng square matrix, kailangan mong kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng mga elemento ng pangunahing at pangalawang diagonal.

Ang determinant ng isang matrix ng unang pagkakasunud-sunod, iyon ay, na binubuo ng isang elemento, ay katumbas ng elementong ito.

Paano kung ang matrix ay tatlo sa tatlo? Ito ay mas mahirap, ngunit maaari mong pamahalaan ito.

Para sa naturang matrix, ang halaga ng determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal at ang mga produkto ng mga elemento na nakahiga sa mga tatsulok na may isang mukha na kahanay sa pangunahing dayagonal, kung saan ang produkto ng Ang mga elemento ng pangalawang dayagonal at ang produkto ng mga elemento na nakahiga sa mga tatsulok na may mukha ng magkatulad na pangalawang dayagonal ay ibinabawas.

Sa kabutihang palad, ang pagkalkula ng mga determinant ng matrices malalaking sukat sa pagsasagawa ito ay bihirang kinakailangan.

Dito ay tiningnan namin ang mga pangunahing operasyon sa mga matrice. Siyempre, sa totoong buhay Maaaring hindi ka makatagpo ng kahit isang pahiwatig ng isang matrix system ng mga equation, o, sa kabaligtaran, maaari kang makatagpo ng mas kumplikadong mga kaso kapag kailangan mo talagang i-rack ang iyong mga utak. Para sa mga ganitong kaso mayroon ang mga propesyonal na serbisyo ng mag-aaral. Humingi ng tulong, makakuha ng kalidad at detalyadong solusyon, tamasahin ang iyong tagumpay sa akademiko at libreng oras.

Ang mga pangunahing aplikasyon ng mga matrice ay nauugnay sa operasyon pagpaparami.

Dalawang matrice ang ibinibigay:

A – laki mn

B – laki n k

kasi ang haba ng isang row sa matrix A ay tumutugma sa taas ng isang column sa matrix B, maaari mong tukuyin ang isang matrix C=AB, na magkakaroon ng mga sukat m k. Elemento matrix C, na matatagpuan sa isang arbitrary na i-th row (i=1,...,m) at isang arbitrary na j-th column (j=1,...,k), ayon sa kahulugan, ay katumbas ng scalar product ng dalawang vectors mula sa
:i-th row ng matrix A at j-th column ng matrix B:

Mga Katangian:

Paano tinukoy ang operasyon ng pagpaparami ng isang matrix A sa isang numero λ?

Ang produkto ng A at ang bilang na λ ay isang matrix kung saan ang bawat elemento ay katumbas ng produkto ng katumbas na elemento ng A at λ. Bunga: Kabuuang multiplier lahat ng elemento ng matrix ay maaaring alisin sa matrix sign.

13. Kahulugan ng inverse matrix at mga katangian nito.

Kahulugan. Kung mayroong mga parisukat na matrice X at A ng parehong pagkakasunud-sunod na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon:

kung saan ang E ay ang identity matrix ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix A, pagkatapos ay ang matrix X ay tinatawag reverse sa matrix A at tinutukoy ng A -1.

Mga katangian ng inverse matrice

Ipahiwatig natin ang mga sumusunod na katangian ng inverse matrices:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Kung baligtad na matris umiiral, kung gayon ito ay isa lamang.

2. Hindi lahat ng non-zero square matrix ay may inverse.

14. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng mga determinant. Suriin ang bisa ng ari-arian |AB|=|A|*|B| para sa mga matrice

A= at B=

Mga katangian ng mga determinant:

1. Kung ang anumang hilera ng determinant ay binubuo ng mga zero, kung gayon ang determinant mismo ay katumbas ng zero.

2. Kapag muling inaayos ang dalawang row, ang determinant ay pinarami ng -1.

3. Ang determinant na may dalawang magkaparehong row ay katumbas ng zero.

4. Ang karaniwang kadahilanan ng mga elemento ng anumang hilera ay maaaring alisin sa determinant sign.

5. Kung ang mga elemento ng isang tiyak na hilera ng determinant A ay ipinakita bilang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon ang determinant mismo ay katumbas ng kabuuan ng dalawang determinant B at D. Sa determinant B, ang tinukoy na linya ay binubuo ng mga unang termino, sa D - ng pangalawang termino. Ang natitirang mga linya ng determinants B at D ay pareho sa A.

6. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago kung ang isa pang linya ay idinagdag sa isa sa mga linya, na i-multiply sa anumang numero.

7. Ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang hilera sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan sa mga katumbas na elemento ng kabilang hilera ay katumbas ng 0.

8. Ang determinant ng matrix A ay katumbas ng determinant ng transposed matrix A m, i.e. hindi nagbabago ang determinant kapag inilipat.

15. Tukuyin ang modulus at argumento ng isang complex number. Isulat ang mga numerong √3+ sa anyong trigonometrici, -1+ i.

Ang bawat complex number z=a+ib ay maaaring iugnay sa isang vector (a,b)€R 2. Ang haba ng vector na ito na katumbas ng √a 2 + b 2 ay tinatawag modulus ng isang complex number z at ipinapahiwatig ng |z|. Ang anggulo φ sa pagitan ng isang naibigay na vector at ang positibong direksyon ng axis ng Ox ay tinatawag kumplikadong argumento ng numero z at ipinapahiwatig ng arg z.

Ang anumang kumplikadong numero z≠0 ay maaaring katawanin bilang z=|z|(cosφ +isinφ).

Ang paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero ay tinatawag na trigonometriko.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Ang bawat kumplikadong numero Z = a + ib ay maaaring italaga ng isang vector (a; b) na kabilang sa R^2. Ang haba ng vector na ito, katumbas ng KB mula sa a^2 + b^2, ay tinatawag na modulus ng isang complex number at tinutukoy ng modulus Z. Ang anggulo sa pagitan ng vector na ito at ng positibong direksyon ng Ox axis ay tinatawag na argumento ng kumplikadong numero (na tinukoy ng arg Z).

Pagdaragdag ng matrix:

Pagbabawas at pagdaragdag ng mga matrice bumababa sa kaukulang mga operasyon sa kanilang mga elemento. Pagpapatakbo ng pagdaragdag ng matrix ipinasok para lamang sa matrice ang parehong laki, ibig sabihin, para sa matrice, kung saan ang bilang ng mga row at column ay pantay-pantay. Kabuuan ng mga matrice A at B ay tinatawag matris C, na ang mga elemento ay katumbas ng kabuuan ng mga kaukulang elemento. C = A + B c ij = a ij + b ij Parehong tinukoy pagkakaiba ng matrix.

Pagpaparami ng matrix sa isang numero:

Matrix multiplication (division) operation ng anumang sukat sa pamamagitan ng isang di-makatwirang numero ay binabawasan sa pagpaparami (paghahati) sa bawat elemento matrice para sa numerong ito. Produkto ng matrix At tinawag ang numerong k matris B, ganyan

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrix- A = (-1) × A ay tinatawag na kabaligtaran matris A.

Mga katangian ng pagdaragdag ng mga matrice at pagpaparami ng isang matrix sa isang numero:

Mga operasyon sa pagdaragdag ng matrix At pagpaparami ng matrix sa isang numero ay may mga sumusunod na katangian: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , kung saan ang A, B at C ay mga matrice, ang α at β ay mga numero.

Pagpaparami ng matrix (produkto ng Matrix):

Operasyon ng pagpaparami ng dalawang matrice ay ipinasok lamang para sa kaso kapag ang bilang ng mga haligi ng una matrice katumbas ng bilang ng mga linya ng pangalawa matrice. Produkto ng matrix At m×n on matris Sa n×p, tinatawag matris Sa m×p tulad na may ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , ibig sabihin, ang kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng i-th row ay matatagpuan matrice At sa mga kaukulang elemento ng jth column matrice B. Kung matrice Ang A at B ay mga parisukat na magkapareho ang laki, pagkatapos ay palaging umiiral ang mga produktong AB at BA. Madaling ipakita na ang A × E = E × A = A, kung saan ang A ay parisukat matris, E - yunit matris parehong laki.

Mga katangian ng pagpaparami ng matrix:

Pagpaparami ng matris hindi commutative, i.e. AB ≠ BA kahit na ang parehong mga produkto ay tinukoy. Gayunpaman, kung para sa alinman matrice ang relasyon AB=BA ay nasiyahan, pagkatapos ay tulad matrice ay tinatawag na commutative. Ang pinakakaraniwang halimbawa ay isang solong matris, na nagko-commute kasama ng iba pa matris parehong laki. Ang mga parisukat lamang ang maaaring permutable matrice ng parehong pagkakasunud-sunod. A × E = E × A = A

Pagpaparami ng matris ay may mga sumusunod na katangian: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T AT; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Mga Determinant ng ika-2 at ika-3 order. Mga katangian ng mga determinant.

Matrix determinant pangalawang order, o determinant Ang pangalawang order ay isang numero na kinakalkula ng formula:

Matrix determinant ikatlong order, o determinant Ang ikatlong order ay isang numero na kinakalkula ng formula:

Ang numerong ito ay kumakatawan sa isang algebraic sum na binubuo ng anim na termino. Ang bawat termino ay naglalaman ng eksaktong isang elemento mula sa bawat row at bawat column matrice. Ang bawat termino ay binubuo ng produkto ng tatlong salik.

Mga palatandaan kung sino ang mga miyembro determinant ng matrix kasama sa formula paghahanap ng determinant ng matrix Ang ikatlong pagkakasunud-sunod ay maaaring matukoy gamit ang ibinigay na pamamaraan, na tinatawag na panuntunan ng mga tatsulok o panuntunan ni Sarrus. Ang unang tatlong termino ay kinuha gamit ang plus sign at tinutukoy mula sa kaliwang figure, at ang susunod na tatlong termino ay kinuha gamit ang minus sign at tinutukoy mula sa tamang figure.

Tukuyin ang bilang ng mga terminong hahanapin determinant ng matrix, sa isang algebraic sum, maaari mong kalkulahin ang factorial: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Mga katangian ng matrix determinants

Mga katangian ng matrix determinants:

Ari-arian #1:

Matrix determinant ay hindi magbabago kung ang mga row nito ay papalitan ng mga column, bawat row ay may column na may parehong numero, at vice versa (Transposition). |A| = |A| T

Bunga:

Mga Hanay at Hanay determinant ng matrix ay pantay, samakatuwid, ang mga katangian na likas sa mga hilera ay nalalapat din sa mga column.

Ari-arian #2:

Kapag muling inaayos ang 2 row o column matrix determinant ay babaguhin ang sign sa kabaligtaran, pinapanatili ang ganap na halaga, ibig sabihin:

Ari-arian #3:

Matrix determinant ang pagkakaroon ng dalawang magkaparehong row ay katumbas ng zero.

Ari-arian #4:

Karaniwang kadahilanan ng mga elemento ng anumang serye determinant ng matrix maaaring kunin bilang tanda determinant.

Corollaries mula sa mga ari-arian No. 3 at No. 4:

Kung ang lahat ng mga elemento ng isang tiyak na serye (hilera o haligi) ay proporsyonal sa mga katumbas na elemento ng isang magkatulad na serye, kung gayon ang matrix determinant katumbas ng zero.

Ari-arian #5:

determinant ng matrix ay katumbas ng zero, kung gayon matrix determinant katumbas ng zero.

Ari-arian #6:

Kung ang lahat ng elemento ng isang row o column determinant ipinakita bilang kabuuan ng 2 termino, pagkatapos determinant matrice ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng 2 mga determinant ayon sa formula:

Ari-arian #7:

Kung sa anumang row (o column) determinant idagdag ang mga katumbas na elemento ng isa pang row (o column), na pinarami ng parehong numero, pagkatapos matrix determinant hindi magbabago ang halaga nito.

Halimbawa ng paggamit ng mga katangian para sa pagkalkula determinant ng matrix: