Hayaan akong ipaalala sa iyo ang ilang impormasyon tungkol sa mga algebraic fraction, pati na rin ang mga ito mga katanggap-tanggap na halaga.

kasi pinag-uusapan natin tungkol sa mga algebraic fraction, maaari nating idagdag: ang denominator ay hindi katumbas ng zero para sa bawat wastong halaga ng mga variable.

Ang mga uri ng mga gawain ay may parehong kahulugan:

Upang makumpleto ang alinman sa mga gawaing ito, kailangan mong makahanap ng isang hanay ng mga wastong variable na halaga at, upang magawa ito, ibukod ang mga hindi wasto.

Itinutumbas namin ang denominator ng fraction sa 0 (ang pantay na tanda ay madalas na i-cross out), lutasin ang nagreresultang equation (karaniwan ay may naka-cross out na equality sign), at ibinubukod ang mga ugat nito mula sa hanay ng mga variable na halaga (na-cross out ang mga variable na halaga ay ang mga hindi kasamang ugat mula sa hanay ng mga variable na halaga).

Kaya, ang lahat ng mga variable na halaga, maliban sa mga natagpuan, ay isusulat sa tugon.

Halimbawa:



Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng mga algebraic fraction.

Kung ang denominator ay naglalaman ng isang polynomial na hindi nawawala sa anumang halaga ng mga variable, kung gayon ang fraction ay magkakaroon ng kahulugan sa buong linya ng numero, i.e. sa hanay ng mga tunay na numero (tingnan ang ika-2 halimbawa sa larawan sa ibaba), maliban kung ang problema ay nagsasaad din ng isa pang tiyak na hanay ng mga halaga ng mga variable kung saan ibinibigay ang fraction, halimbawa, mga rational na numero.

Halimbawa.



Ang isang algebraic fraction ay may katuturan lamang kung ang denominator nito ay hindi katumbas ng zero. Pagkatapos ng lahat, tulad ng alam mo, hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Kung kailangan mong matukoy ang mga halagang iyon para sa isang fraction kapag ito ay makatuwiran, kailangan mong isulat ang halaga serye ng numero maliban sa mga bilang na nakuha kapag nilulutas ang equation kapag ang denominator ay katumbas ng zero.

Sa aking opinyon, ang isang fraction ay palaging may katuturan, maliban sa kaso kapag ang denominator ay zero, dahil naaalala natin na hindi natin maaaring hatiin sa zero. Ito ay ibang bagay sa mas mataas na matematika, kung saan hinahati nila ang zero upang makakuha ng mga limitasyon sa matematika, atbp.

Sa tingin ko rin na ang algebraic fraction, o pagsulat ng isang numero bilang isang fraction, ay hindi makatuwiran kung ang numerator ay katumbas ng denominator. Sa kasong ito, maaari mong isulat ang expression na mas simple. Halimbawa, sa halip na 1/1 mas mainam na isulat lamang ang 1.

Well, ayon sa mga patakaran, ang pangunahing bagay ay walang 0 sa ilalim ng fraction.

Mas madaling sagutin ang tanong: kailan ito hindi makatwiran? Pagkatapos ay sasagutin natin iyon kapag ang denominator sa fraction ay zero. Pagkatapos ng lahat, hindi mo maaaring hatiin sa zero, tulad ng naaalala natin mula sa paaralan, dahil ginagawa nitong zero ang lahat.

Ang iyong tanong ay masasagot sa ganitong paraan: kapag ang denominator ay hindi zero (maging ito mga positibong numero, maging ito ay negatibo), ang fraction ay umiiral at nagdadala ng isang tiyak na kahulugan.

Para sa anumang halaga ng isang numero, ang isang fraction ay may katuturan, maliban sa isang kaso, maliban kung ang denominator ay zero, dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Ang isang fraction ay walang kahulugan kung ang denominator ay zero.

May naalala akong ganito sa school.

Ang isang algebraic fraction ay may katuturan lamang kapag ang denominator nito ay hindi zero. Kung hindi, kapag ang denominator ay zero, ang algebraic fraction ay walang kahulugan, dahil hindi mo mahahati sa zero.

Kapag pinag-uusapan ang mga fraction, mahalagang maunawaan na kapag gumagamit ng fraction sign (iyon ay, isang linya), ang ibig naming sabihin ay ang proseso ng paghahati. At dahil alam nating lahat na ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay hindi maaaring isakatuparan ayon sa mga patakaran, masasabi nating tiyak na ang isang algebraic fraction ay may katuturan sa kaso kapag ang halaga ng denominator ay iba sa zero.

Ang isang fraction ay may katuturan kung ang denominator nito ay hindi zero. SA matematika sa paaralan Mahalaga na ang numerator ay mahigpit na mas malaki kaysa minus infinity at mahigpit na mas mababa kaysa plus infinity, kung hindi, kahit na may non-zero denominator, ang fraction ay gugulong pa rin sa infinity.

Ang isa sa mga pangunahing katangian ng mga algebraic fraction, na pamilyar sa mga mathematician noong unang panahon, ay ang pagbabawal ng paghahati ng 0. Kapag ang walang laman na numerong ito ay lumitaw sa mga denominator ng fraction, nawawala ang kahulugan ng fraction. SA kurikulum ng paaralan Madalas mong mahahanap ang iba't ibang mga gawain na nagtatanong kung ang isang expression o fraction ay walang kahulugan, kung anong halaga ng variable X. Sa kasong ito, ang denominator ng fraction ay kinakatawan ng isang tiyak na expression, halimbawa 8x-4 o x+ 5. Upang mahanap ang sagot sa naturang mga gawain, ang denominator ay nakatakda sa zero at nalutas bilang isang equation. Ang mga halaga ng X na nakakatugon sa equation na ito ay ginagawang walang kabuluhan ang fraction. Sa mga halimbawang ito, ang isang fraction na may anumang numerator ay walang saysay kung sa unang halimbawa X = 0.5, at sa pangalawang X = -5.

Sa pagkakaalam ko, walang kahulugan ang isang algebraic fraction kapag ang denominator nito ay zero, dahil hindi ito mahahati dito. Kaya, sa lahat ng iba pang mga kaso, ang algebraic fraction ay may katuturan at maaaring ligtas na magamit para sa iba't ibang mga kalkulasyon.

Pangunahing Konsepto
Algebraic fractions. Mga operasyon sa aritmetika higit sa algebraic fractions

Naka-on ang araling ito Ang konsepto ng isang algebraic fraction ay isinasaalang-alang. Ang mga tao ay nakatagpo ng mga fraction sa pinakasimpleng mga sitwasyon sa buhay: kapag ito ay kinakailangan upang hatiin ang isang bagay sa ilang mga bahagi, halimbawa, upang i-cut ang isang cake nang pantay-pantay sa sampung tao. Malinaw, lahat ay nakakakuha ng isang piraso ng cake. Sa kasong ito, nahaharap tayo sa konsepto ng isang numerical fraction, ngunit ang isang sitwasyon ay posible kapag ang isang bagay ay nahahati sa isang hindi kilalang bilang ng mga bahagi, halimbawa, sa pamamagitan ng x. Sa kasong ito, lumitaw ang konsepto ng fractional expression. Nakilala mo na ang mga buong expression (hindi naglalaman ng paghahati sa mga expression na may mga variable) at ang kanilang mga katangian sa ika-7 baitang. Susunod na titingnan natin ang konsepto ng isang rational fraction, pati na rin ang mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable.

Ang mga makatwirang ekspresyon ay nahahati sa integer at fractional na mga expression.

Kahulugan.Rational fraction ay isang fractional expression ng form , kung saan ang polynomials. - numerator, - denominator.

Mga halimbawamakatwirang ekspresyon:- fractional expression; - buong expression. Sa unang expression, halimbawa, ang numerator ay , at ang denominator ay .

Ibig sabihin algebraic fraction, tulad ng sinuman algebraic expression, depende sa numerical value ng mga variable na kasama dito. Sa partikular, sa unang halimbawa ang halaga ng fraction ay nakasalalay sa mga halaga ng mga variable at , at sa pangalawang halimbawa lamang sa halaga ng variable .

Isaalang-alang natin ang unang karaniwang gawain: pagkalkula ng halaga rational fraction para sa iba't ibang mga halaga ng mga variable na kasama dito.

Halimbawa 1. Kalkulahin ang halaga ng fraction para sa a) , b) , c)

Solusyon. Palitan natin ang mga halaga ng mga variable sa ipinahiwatig na bahagi: a) , b) , c) - ay hindi umiiral (dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero).

Sagot: a) 3; b) 1; c) ay wala.

Sa nakikita natin, may dalawa karaniwang mga gawain para sa anumang fraction: 1) pagkalkula ng fraction, 2) paghahanap wasto at di-wastong mga halaga mga variable ng titik.

Kahulugan.Mga Valid na Variable Value- mga halaga ng mga variable kung saan ang expression ay may katuturan. Ang hanay ng lahat ng posibleng halaga ng mga variable ay tinatawag ODZ o domain ng kahulugan.

Ang halaga ng mga literal na variable ay maaaring hindi wasto kung ang denominator ng fraction sa mga halagang ito ay zero. Sa lahat ng iba pang mga kaso, ang mga halaga ng mga variable ay wasto, dahil ang fraction ay maaaring kalkulahin.

Halimbawa 2.

Solusyon. Upang expression na ito ito ay makabuluhan, kinakailangan at sapat para ang denominator ng fraction ay hindi katumbas ng zero. Kaya, ang mga halaga lamang ng variable ang magiging di-wasto kung saan ang denominator ay katumbas ng zero. Ang denominator ng fraction ay , kaya lutasin namin ang linear equation:

Samakatuwid, dahil sa halaga ng variable, ang fraction ay walang kahulugan.

Sagot: -5.

Mula sa solusyon ng halimbawa, ang panuntunan para sa paghahanap ng mga hindi wastong halaga ng mga variable ay sumusunod - ang denominator ng fraction ay katumbas ng zero at ang mga ugat ng kaukulang equation ay matatagpuan.

Tingnan natin ang ilang katulad na mga halimbawa.

Halimbawa 3. Itatag sa kung anong mga halaga ng variable ang fraction ay hindi makatwiran .

Solusyon..

Sagot..

Halimbawa 4. Itatag sa kung anong mga halaga ng variable ang fraction ay hindi makatwiran.

Solusyon..

Mayroong iba pang mga pormulasyon ng problemang ito - hanapin domain ng kahulugan o hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng expression (APV). Nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng wastong halaga ng mga variable. Sa aming halimbawa, ang lahat ng ito ay mga halaga maliban sa . Ito ay maginhawa upang ilarawan ang domain ng kahulugan sa isang numero ng axis.

Upang gawin ito, gupitin namin ang isang punto dito, tulad ng ipinahiwatig sa figure:

kanin. 1

kaya, domain ng kahulugan ng fraction magkakaroon ng lahat ng mga numero maliban sa 3.

Sagot..

Halimbawa 5. Itatag sa kung anong mga halaga ng variable ang fraction ay hindi makatwiran.

Solusyon..

Ilarawan natin ang nagresultang solusyon sa numerical axis:

kanin. 2

Sagot..

Halimbawa 6.

Solusyon.. Nakuha namin ang pagkakapantay-pantay ng dalawang variable, magbibigay kami ng mga numerical na halimbawa: o, atbp.

Ilarawan natin ang solusyong ito sa isang graph sa Sistema ng Cartesian mga coordinate:

kanin. 3. Graph ng isang function

Mga coordinate ng anumang puntong nakahiga ang tsart na ito, ay hindi kasama sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng fraction.

Sagot..

Sa mga halimbawang tinalakay, nakatagpo kami ng sitwasyon kung saan naganap ang paghahati sa zero. Ngayon isaalang-alang ang kaso kung saan lumitaw ang isang mas kawili-wiling sitwasyon sa paghahati ng uri.

Halimbawa 7. Itatag sa kung anong mga halaga ng mga variable ang fraction ay hindi makatwiran.

Solusyon..

Lumalabas na ang fraction ay walang kahulugan sa . Ngunit ang isa ay maaaring magtaltalan na hindi ito ang kaso dahil: .

Maaaring mukhang kung ang huling expression ay katumbas ng 8 sa , kung gayon ang orihinal ay maaari ding kalkulahin, at samakatuwid ay may katuturan sa . Gayunpaman, kung papalitan natin ito sa orihinal na expression, makukuha natin - wala itong saysay.

Sagot..

Upang maunawaan ang halimbawang ito nang mas detalyado, lutasin natin ang sumusunod na problema: sa anong mga halaga ang ipinahiwatig na bahagi ay katumbas ng zero?

Sinasaklaw ng araling ito ang konsepto ng isang algebraic fraction. Ang mga tao ay nakatagpo ng mga fraction sa pinakasimpleng mga sitwasyon sa buhay: kapag kinakailangan upang hatiin ang isang bagay sa ilang bahagi, halimbawa, upang i-cut ang isang cake nang pantay-pantay sa sampung tao. Malinaw, lahat ay nakakakuha ng isang piraso ng cake. Sa kasong ito, nahaharap tayo sa konsepto ng isang numerical fraction, ngunit ang isang sitwasyon ay posible kapag ang isang bagay ay nahahati sa isang hindi kilalang bilang ng mga bahagi, halimbawa, sa pamamagitan ng x. Sa kasong ito, lumitaw ang konsepto ng isang fractional expression. Nakilala mo na ang mga buong expression (hindi naglalaman ng paghahati sa mga expression na may mga variable) at ang kanilang mga katangian sa ika-7 baitang. Susunod na titingnan natin ang konsepto ng isang rational fraction, pati na rin ang mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable.

Ang mga makatwirang ekspresyon ay nahahati sa integer at fractional na mga expression.

Kahulugan.Rational fraction ay isang fractional expression ng form , kung saan ang polynomials. - numerator, - denominator.

Mga halimbawamakatwirang ekspresyon:- fractional expression; - buong expression. Sa unang expression, halimbawa, ang numerator ay , at ang denominator ay .

Ibig sabihin algebraic fraction, tulad ng sinuman algebraic expression, depende sa numerical value ng mga variable na kasama dito. Sa partikular, sa unang halimbawa ang halaga ng fraction ay nakasalalay sa mga halaga ng mga variable at , at sa pangalawang halimbawa lamang sa halaga ng variable .

Isaalang-alang natin ang unang karaniwang gawain: pagkalkula ng halaga rational fraction para sa iba't ibang mga halaga ng mga variable na kasama dito.

Halimbawa 1. Kalkulahin ang halaga ng fraction para sa a) , b) , c)

Solusyon. Palitan natin ang mga halaga ng mga variable sa ipinahiwatig na bahagi: a) , b) , c) - ay hindi umiiral (dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero).

Sagot: a) 3; b) 1; c) ay wala.

Gaya ng nakikita mo, dalawang karaniwang problema ang lumitaw para sa anumang fraction: 1) pagkalkula ng fraction, 2) paghahanap wasto at di-wastong mga halaga mga variable ng titik.

Kahulugan.Mga Valid na Variable Value- mga halaga ng mga variable kung saan ang expression ay may katuturan. Ang hanay ng lahat ng posibleng halaga ng mga variable ay tinatawag ODZ o domain ng kahulugan.

Ang halaga ng mga literal na variable ay maaaring hindi wasto kung ang denominator ng fraction sa mga halagang ito ay zero. Sa lahat ng iba pang mga kaso, ang mga halaga ng mga variable ay wasto, dahil ang fraction ay maaaring kalkulahin.

Halimbawa 2.

Solusyon. Para magkaroon ng kahulugan ang expression na ito, kinakailangan at sapat na ang denominator ng fraction ay hindi katumbas ng zero. Kaya, ang mga halaga lamang ng variable ang magiging di-wasto kung saan ang denominator ay katumbas ng zero. Ang denominator ng fraction ay , kaya lutasin namin ang linear equation:

Samakatuwid, dahil sa halaga ng variable, ang fraction ay walang kahulugan.

Sagot: -5.

Mula sa solusyon ng halimbawa, ang panuntunan para sa paghahanap ng mga hindi wastong halaga ng mga variable ay sumusunod - ang denominator ng fraction ay katumbas ng zero at ang mga ugat ng kaukulang equation ay matatagpuan.

Tingnan natin ang ilang katulad na mga halimbawa.

Halimbawa 3. Itatag sa kung anong mga halaga ng variable ang fraction ay hindi makatwiran .

Solusyon..

Sagot..

Halimbawa 4. Itatag sa kung anong mga halaga ng variable ang fraction ay hindi makatwiran.

Solusyon..

Mayroong iba pang mga pormulasyon ng problemang ito - hanapin domain ng kahulugan o hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng expression (APV). Nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng wastong halaga ng mga variable. Sa aming halimbawa, ang lahat ng ito ay mga halaga maliban sa . Ito ay maginhawa upang ilarawan ang domain ng kahulugan sa isang numero ng axis.

Upang gawin ito, gupitin namin ang isang punto dito, tulad ng ipinahiwatig sa figure:

kanin. 1

kaya, domain ng kahulugan ng fraction magkakaroon ng lahat ng mga numero maliban sa 3.

Sagot..

Halimbawa 5. Itatag sa kung anong mga halaga ng variable ang fraction ay hindi makatwiran.

Solusyon..

Ilarawan natin ang nagresultang solusyon sa numerical axis:

kanin. 2

Sagot..

Halimbawa 6.

Solusyon.. Nakuha namin ang pagkakapantay-pantay ng dalawang variable, magbibigay kami ng mga numerical na halimbawa: o, atbp.

Ilarawan natin ang solusyong ito sa isang graph sa Cartesian coordinate system:

kanin. 3. Graph ng isang function

Ang mga coordinate ng anumang puntong nasa graph na ito ay hindi kasama sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng fraction.

Sagot..

Sa mga halimbawang tinalakay, nakatagpo kami ng sitwasyon kung saan naganap ang paghahati sa zero. Ngayon isaalang-alang ang kaso kung saan lumitaw ang isang mas kawili-wiling sitwasyon sa paghahati ng uri.

Halimbawa 7. Itatag sa kung anong mga halaga ng mga variable ang fraction ay hindi makatwiran.

Solusyon..

Lumalabas na ang fraction ay walang kahulugan sa . Ngunit ang isa ay maaaring magtaltalan na hindi ito ang kaso dahil: .

Maaaring mukhang kung ang huling expression ay katumbas ng 8 sa , kung gayon ang orihinal ay maaari ding kalkulahin, at samakatuwid ay may katuturan sa . Gayunpaman, kung papalitan natin ito sa orihinal na expression, makukuha natin - wala itong saysay.

Sagot..

Upang maunawaan ang halimbawang ito nang mas detalyado, lutasin natin ang sumusunod na problema: sa anong mga halaga ang ipinahiwatig na bahagi ay katumbas ng zero?