Ang pinakasimple at pinakakaraniwang ginagamit na uri ng lokal na interpolation ay linear interpolation. Binubuo ito sa katotohanan na ang ibinigay na mga puntos ( x i , y i) sa ( i = 0. 1, ..., n) ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na segment, at ang function f(x) isang polyline na may mga vertex sa mga puntong ito ay papalapit na.
Ang mga equation ng bawat segment ng putol na linya ay karaniwang naiiba. Dahil mayroong n pagitan ( x i - 1, x i), pagkatapos para sa bawat isa sa kanila ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos ay ginagamit bilang equation ng interpolation polynomial. Sa partikular, para sa i-th interval maaari nating isulat ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos ( x i -1, y i -1 ) At ( x i , y i), sa anyo
|
y=a i x+b i , x i-1 xx i |
a i = 
Samakatuwid, kapag gumagamit ng linear interpolation, kailangan mo munang matukoy ang agwat kung saan bumagsak ang halaga ng argumentong x, at pagkatapos ay palitan ito sa formula (*) at hanapin ang tinatayang halaga ng function sa puntong ito
Figure 3-3-Linear na interpolation graph.
Paglutas ng isang propesyonal na problema
Pinapanatili namin ang pang-eksperimentong data
PINAGMULAN:=0 Simula ng hanay ng data - pagbibilang mula sa simula
i:=1..6 Bilang ng mga elemento sa array
Ang pang-eksperimentong data ay isinaayos sa dalawang vector 
Magsagawa tayo ng interpolation gamit ang built-in na MathCad function
Linear interpolation
Lf(x i):=linterp(x,y,x)
Cubic pine interpolation
CS:=cspline(x,y)
Pagbuo ng cubic spline gamit ang pang-eksperimentong data
Lf(x i):=linterp(x,y,x i)
B-spline interpolation
Itakda ang pagkakasunud-sunod ng interpolation. Ang vector u ay dapat na may (n-1) na mas kaunting elemento kaysa sa vector x, at ang unang elemento ay dapat na mas mababa sa o katumbas ng unang elemento x, at ang huli ay mas malaki sa o katumbas ng huling elemento ng x.
BS:=bspline(x,y,u,n)
Bumubuo kami ng B-spline batay sa pang-eksperimentong data
BSf(x i):=(BS, x,y,x i)
Bumubuo kami ng graph ng lahat ng approximation function sa isang coordinate plane.
Figure 4.1-Graph ng lahat ng approximation function sa isang coordinate plane.
Konklusyon
Sa computational mathematics, ang interpolation ng mga function ay may mahalagang papel, i.e. Gamit ang isang ibinigay na function, pagbuo ng isa pang (karaniwang mas simple) function na ang mga halaga ay nag-tutugma sa mga halaga ng ibinigay na function sa isang tiyak na bilang ng mga puntos. Bukod dito, ang interpolation ay may parehong praktikal at teoretikal na kahalagahan. Sa pagsasagawa, ang problema ay madalas na lumitaw sa muling pagtatayo ng isang tuluy-tuloy na pag-andar mula sa mga naka-tabulate na halaga nito, halimbawa, na nakuha sa kurso ng ilang eksperimento. Upang suriin ang maraming mga pag-andar, lumalabas na mabisa ang pagtatantya sa mga ito gamit ang mga polynomial o fractional rational function. Ang teorya ng interpolation ay ginagamit sa pagbuo at pag-aaral ng mga quadrature formula para sa numerical integration, upang makakuha ng mga pamamaraan para sa paglutas ng differential at integral equation. Ang pangunahing kawalan ng polynomial interpolation ay hindi ito matatag sa isa sa mga pinaka-maginhawa at karaniwang ginagamit na grids - ang grid na may mga equidistant node. Kung pinahihintulutan ng gawain, ang problemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpili ng isang mesh na may mga node ng Chebyshev. Kung hindi tayo malayang makakapili ng mga interpolation node, o kailangan lang natin ng algorithm na hindi masyadong hinihingi sa pagpili ng mga node, kung gayon ang rational interpolation ay maaaring isang angkop na alternatibo sa polynomial interpolation.
Kasama sa mga bentahe ng spline interpolation ang mataas na bilis ng pagproseso ng computational algorithm, dahil ang spline ay isang piecewise polynomial function at sa panahon ng interpolation, ang data ay sabay-sabay na pinoproseso para sa isang maliit na bilang ng mga measurement point na kabilang sa fragment na isinasaalang-alang sa sa ngayon. Inilalarawan ng interpolated surface ang spatial variability iba't ibang kaliskis at sa parehong oras ay makinis. Ginagawang posible ng huling pangyayari na direktang pag-aralan ang geometry at topology ng ibabaw gamit ang mga analytical na pamamaraan.
Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Interpolation. Tungkol sa function, tingnan ang: Interpolant.Interpolation, interpolation (mula sa lat. inter-polis - « smoothed, renewed, renewed; napagbagong loob") - sa computational mathematics, isang paraan ng paghahanap ng mga intermediate na halaga ng isang dami mula sa isang umiiral na discrete set ng mga kilalang halaga. Ang terminong "interpolation" ay unang ginamit ni John Wallis sa kanyang treatise na "The Arithmetic of the Infinite" (1656).
Sa functional analysis, interpolation mga linear na operator ay isang seksyon na isinasaalang-alang ang mga puwang ng Banach bilang mga elemento ng isang partikular na kategorya.
Marami sa mga nakatagpo ng siyentipiko at mga kalkulasyon ng engineering, madalas kang kailangang gumana nang may mga hanay ng mga halaga na nakuha sa eksperimento o sa pamamagitan ng pamamaraan random sample. Bilang isang patakaran, batay sa mga set na ito, kinakailangan na bumuo ng isang function na maaaring mataas na katumpakan pindutin ang iba pang mga resultang halaga. Ang problemang ito ay tinatawag na approximation. Ang interpolation ay isang uri ng approximation kung saan eksaktong dumadaan ang curve ng constructed function sa mga available na data point.
Mayroon ding isang gawain na malapit sa interpolation, na binubuo sa pagtatantya ng ilan kumplikadong pag-andar isa pa, mas simpleng function. Kung ang isang tiyak na function ay masyadong kumplikado para sa mga produktibong kalkulasyon, maaari mong subukang kalkulahin ang halaga nito sa ilang mga punto, at mula sa kanila ay bumuo, iyon ay, interpolate, higit pa simpleng function. Siyempre, ang paggamit ng pinasimpleng function ay hindi makakapagdulot ng mga resulta na kasing-tumpak ng orihinal na function. Ngunit sa ilang mga klase ng mga problema, ang nakamit na pakinabang sa pagiging simple at bilis ng mga kalkulasyon ay maaaring lumampas sa nagresultang pagkakamali sa mga resulta.
Dapat ding banggitin ang isang ganap na naiibang uri ng interpolation ng matematika na kilala bilang operator interpolation. SA mga gawang klasikal sa interpolation ng mga operator isama ang Riesz-Thorin theorem at ang Marcinkiewicz theorem, na kung saan ay ang batayan para sa maraming iba pang mga gawa.
Mga Kahulugan
Isaalang-alang ang isang sistema ng mga di-nagtutugmang puntos x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) mula sa ilang rehiyon D ( \displaystyle D) . Hayaang malaman lamang ang mga halaga ng function f (\displaystyle f) sa mga puntong ito:
Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)
Ang problema sa interpolation ay ang paghahanap ng isang function F (\displaystyle F) mula sa isang ibinigay na klase ng mga function na ganoon
F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)
- Tinatawag ang mga puntos x i (\displaystyle x_(i)). interpolation node, at ang kanilang kabuuan ay interpolation grid.
- Ang mga pares (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) ay tinatawag mga punto ng datos o base point.
- Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng "kapitbahay" Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - hakbang ng interpolation grid. Maaari itong maging variable o pare-pareho.
- Function F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolating function o interpolant.
Halimbawa
1. Magkaroon tayo ng function ng talahanayan, tulad ng inilarawan sa ibaba, na para sa ilang mga halaga ng x (\displaystyle x) ay tumutukoy sa mga katumbas na halaga ng f (\displaystyle f):
X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))
| 0 | |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Tinutulungan tayo ng interpolation na malaman kung anong halaga ang maaaring taglay ng naturang function sa isang punto maliban sa tinukoy na mga punto (halimbawa, kapag x = 2,5).
Sa ngayon ay marami na sa iba't ibang paraan interpolation. Ang pagpili ng pinaka-angkop na algorithm ay nakasalalay sa mga sagot sa mga tanong: gaano katumpak ang napiling pamamaraan, ano ang halaga ng paggamit nito, gaano kakinis ang interpolation function, kung gaano karaming mga punto ng data ang kailangan nito, atbp.
2. Hanapin ang intermediate na halaga (sa pamamagitan ng linear interpolation).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
15.5 + (6378 - 6000) 8000 15.5))(1))=16.1993)
Sa mga programming language
Isang halimbawa ng linear interpolation para sa function na y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Ang gumagamit ay maaaring magpasok ng isang numero mula 1 hanggang 10.
Fortran
program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimensyon x(10) dimensyon y(10) tumawag sa prisv(x, i) call func(x, y, i) write(*,*) "enter number: " basahin(*,*) xv kung ((xv >= 1).at.(xv xv)) pagkatapos ay yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end kung end do end subroutineC++
int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolation X1 - X2 "); system("echo Enter numero: "); cin >> ob; system("echo Halimbawa 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; pi = p2 / p1;Mga pamamaraan ng interpolation
Pinakamalapit na interpolation ng kapitbahay
Ang pinakasimpleng paraan ng interpolation ay ang pinakamalapit na neighbor interpolation method.
Interpolation sa pamamagitan ng polynomials
Sa pagsasagawa, ang interpolation ng polynomials ay kadalasang ginagamit. Pangunahin ito dahil sa ang katunayan na ang mga polynomial ay madaling kalkulahin, ang kanilang mga derivatives ay madaling mahanap nang analytical, at ang hanay ng mga polynomial ay siksik sa espasyo ng tuluy-tuloy na mga pag-andar (Weierstrass theorem).
- Linear interpolation
- Ang interpolation formula ni Newton
- Pamamaraan ng may hangganang pagkakaiba
- IMN-1 at IMN-2
- Lagrange polynomial (interpolation polynomial)
- Aitken scheme
- Spline function
- Kubiko spline
Inverse interpolation (pagkalkula ng x na ibinigay y)
- Lagrange polynomial
- Baliktarin ang interpolation gamit ang formula ni Newton
- Inverse interpolation gamit ang Gauss formula
Interpolation ng isang function ng ilang variable
- Bilinear interpolation
- Bicubic interpolation
Iba pang Paraan ng Interpolation
- Rational interpolation
- Trigonometric interpolation
Mga Kaugnay na Konsepto
- Extrapolation - mga paraan para sa paghahanap ng mga punto sa labas tinukoy na pagitan(extension ng curve)
- Approximation - mga pamamaraan para sa pagbuo ng tinatayang mga kurba
Baliktad na interpolation
sa klase ng mga function mula sa espasyo C2 na ang mga graph ay dumadaan sa mga punto ng array (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.
Solusyon. Sa lahat ng mga function na dumadaan sa mga reference point (xi, f(xi)) at nabibilang sa nabanggit na espasyo, ito ay ang cubic spline S(x), na nakakatugon sa mga kundisyon ng hangganan S00(a) = S00(b) = 0 , na nagbibigay ng extremum (minimum) functional na I(f).
Kadalasan sa pagsasagawa ang problema ay lumitaw sa paghahanap para sa halaga ng isang argumento gamit ang isang ibinigay na halaga ng isang function. Ang problemang ito ay nalulutas sa pamamagitan ng mga inverse interpolation na pamamaraan. Kung ibinigay na function ay monotonic, pagkatapos ay ang reverse interpolation ay pinakamadaling magawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng function ng isang argument at vice versa at pagkatapos ay interpolating. Kung ang ibinigay na function ay hindi monotonic, kung gayon ang pamamaraan na ito ay hindi maaaring gamitin. Pagkatapos, nang hindi binabago ang mga tungkulin ng function at argumento, isinusulat namin ang isa o isa pang formula ng interpolation; Gamit ang mga kilalang halaga ng argumento at, sa pag-aakalang kilala ang function, malulutas namin ang resultang equation na may paggalang sa argumento.
Ang pagsusuri ng natitirang termino kapag ginamit ang unang pamamaraan ay magiging kapareho ng sa direktang interpolation, tanging ang mga derivatives ng direktang function ang kailangang palitan ng derivatives ng baligtad na pag-andar. Tantyahin natin ang pagkakamali ng pangalawang paraan. Kung bibigyan tayo ng function na f(x) at ang Ln (x) ay isang Lagrange interpolation polynomial na binuo para sa function na ito mula sa mga node x0, x1, x2, . . . , xn, pagkatapos
f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x− x0) . . . (x− xn) .
Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang halaga ng x¯ kung saan ang f (¯x) = y¯ (y¯ ay ibinigay). Lutasin natin ang equation na Ln (x) = y¯. Kumuha tayo ng ilang halaga x¯. Ang pagpapalit sa nakaraang equation, nakukuha natin:
Mn+1 |
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) = |
|||||||||||
|
Ang paglalapat ng formula ng Langrange, nakukuha namin |
|||||||||||
|
(x¯ − x¯) f0 (η) = |
|||||||||||
|
kung saan ang η ay nasa pagitan ng x¯ at x¯. Kung ay isang pagitan na naglalaman ng x¯ at x¯ at min |
|||||||||||
Mula sa huling expression ito ay sumusunod:
|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n(x¯)| .
Sa kasong ito, siyempre, ipinapalagay na nalutas na natin ang equation na Ln (x) = y¯ eksakto.
Paggamit ng interpolation upang lumikha ng mga talahanayan
Ang teorya ng interpolation ay may mga aplikasyon sa pagsasama-sama ng mga talahanayan ng mga function. Ang pagkakaroon ng natanggap na ganoong problema, ang mathematician ay dapat malutas ang isang bilang ng mga katanungan bago simulan ang mga kalkulasyon. Dapat pumili ng isang formula kung saan isasagawa ang mga kalkulasyon. Maaaring mag-iba ang formula na ito sa bawat site. Karaniwan, ang mga formula para sa pagkalkula ng mga halaga ng pag-andar ay mahirap at samakatuwid ang mga ito ay ginagamit upang makakuha ng ilang mga halaga ng sanggunian at pagkatapos, sa pamamagitan ng subtabulation, ang talahanayan ay pinalapot. Ang formula na nagbibigay ng mga halaga ng sanggunian ng function ay dapat magbigay ng kinakailangang katumpakan ng mga talahanayan, na isinasaalang-alang ang sumusunod na subtabulation. Kung kailangan mong lumikha ng mga talahanayan na may patuloy na hakbang, kailangan mo munang matukoy ang hakbang nito.
Bumalik Una Nakaraan Susunod Huling Pumunta Index ng paksa
Kadalasan, ang mga function table ay pinagsama-sama upang ang linear na interpolation ay posible (iyon ay, interpolation gamit ang unang dalawang termino ng Taylor formula). Sa kasong ito, ang natitirang termino ay magkakaroon ng form
R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).
Narito ang ξ ay kabilang sa pagitan sa pagitan ng dalawang magkatabing halaga ng talahanayan ng argumento, kung saan matatagpuan ang x, at ang t ay nasa pagitan ng 0 at 1. Ang produktong t(t − 1) ay kumukuha ng pinakamalaking modulo
halaga sa t = 12. Ang halagang ito ay 14. Kaya,
Dapat tandaan na kasama ang error na ito - ang error ng pamamaraan - sa praktikal na pagkalkula ng mga intermediate na halaga, ang isang hindi naaalis na error at error sa pag-ikot ay lilitaw din. Tulad ng nakita natin kanina, ang nakamamatay na error sa linear interpolation ay magiging katumbas ng error sa mga naka-tabulate na halaga ng function. Ang error sa pag-round ay magdedepende sa mga pasilidad sa pag-compute at mula sa programa ng pagkalkula.
Bumalik Una Nakaraan Susunod Huling Pumunta Sa Index
Index ng paksa
pinaghiwalay na mga pagkakaiba ng pangalawang pagkakasunud-sunod, 8 unang pagkakasunud-sunod, 8
spline, 15
interpolation node, 4
Bumalik Una Nakaraan Susunod Huling Pumunta Sa Index
/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Paano magsagawa ng interpolation
Formula para sa interpolating data ng tabular
Ginamit sa ika-2 pagkilos, kapag ang halaga ng NHR (Q, t) mula sa kundisyon ay intermediate sa pagitan 100 t at 300 t.
(Exception: kung ang Q ayon sa kundisyon ay katumbas ng 100 o 300, hindi kailangan ang interpolation).
y o- Sa iyo orihinal na dami NHR mula sa kondisyon, sa tonelada
(kaayon ng letrang Q)
y 1 – mas maliit
(mula sa mga talahanayan 11-16, karaniwang katumbas ng 100).
y 2 – higit pa ang halaga ng dami ng NHR na pinakamalapit sa iyo, sa tonelada
(mula sa mga talahanayan 11-16, karaniwang katumbas ng 300).
x 1 y 1 (x 1 matatagpuan sa tapat y 1 ), km.
x 2 – halaga ng talahanayan ng lalim ng pamamahagi ng ulap ng kontaminadong hangin (Gt), ayon sa pagkakabanggit y 2 (x 2 matatagpuan sa tapat y 2 ), km.
x 0 – kinakailangang halaga G T nararapat y o(ayon sa formula).
Halimbawa.
NHR – murang luntian; Q = 120 t;
Uri ng SVSP (degree ng vertical air resistance) - inversion.
Hanapin G T- talahanayan ng halaga ng lalim ng pamamahagi ng ulap ng kontaminadong hangin.
Tinitingnan namin ang mga talahanayan 11-16 at hinahanap ang data na tumutugma sa iyong kondisyon (chlorine, inversion).
Angkop ang talahanayan 11.
Pagpili ng mga halaga y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Mahalaga – kunin ang bilis ng hangin na 1 m/s, kunin ang temperatura na 20 °C.
Pinapalitan namin ang mga napiling halaga sa formula at hanapin x 0 .
Mahalaga – tama ang kalkulasyon kung x 0 magkakaroon ng halaga sa pagitan x 1 , x 2 .
1.4. Lagrange interpolation formula
Ang algorithm na iminungkahi ni Lagrange para sa pagbuo ng interpolating
ang mga function mula sa mga talahanayan (1) ay nagbibigay para sa pagbuo ng isang interpolation polynomial Ln(x) sa anyo
Malinaw, ang katuparan ng mga kondisyon (11) para sa (10) ay tumutukoy sa katuparan ng mga kondisyon (2) para sa pagtatakda ng problema sa interpolation.
Ang mga polynomial na li(x) ay nakasulat bilang mga sumusunod
Tandaan na walang isang salik sa denominator ng formula (14) katumbas ng zero. Ang pagkakaroon ng pagkalkula ng mga halaga ng mga constants ci, maaari mong gamitin ang mga ito upang kalkulahin ang mga halaga ng interpolated function sa mga ibinigay na punto.
Ang formula para sa Lagrange interpolation polynomial (11), na isinasaalang-alang ang mga formula (13) at (14), ay maaaring isulat bilang
|
qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn) |
1.4.1.Organisasyon ng mga manu-manong kalkulasyon gamit ang Lagrange formula
Ang direktang paggamit ng formula ng Lagrange ay humahantong sa isang malaking bilang ng mga katulad na kalkulasyon. Para sa maliliit na talahanayan, ang mga kalkulasyong ito ay maaaring gawin nang manu-mano o sa software
Sa unang yugto, isasaalang-alang namin ang isang algorithm para sa mga manu-manong kalkulasyon. Sa hinaharap, ang parehong mga kalkulasyon ay dapat na ulitin sa kapaligiran
Microsoft Excel o OpenOffice.org Calc.
Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 6 ang isang halimbawa ng orihinal na talahanayan ng interpolated function, na tinukoy ng apat na node.
Fig.6. Talahanayan na naglalaman ng paunang data para sa apat na node ng interpolated function
Sa ikatlong hanay ng talahanayan isinulat namin ang mga halaga ng mga coefficient qi na kinakalkula gamit ang mga formula (14). Nasa ibaba ang isang talaan ng mga formula na ito para sa n=3.
q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)
Ang susunod na hakbang sa pagpapatupad ng mga manu-manong kalkulasyon ay ang pagkalkula ng mga halaga ng li(x) (j=0,1,2,3), na isinagawa ayon sa mga formula (13).
Isulat natin ang mga formula na ito para sa bersyon ng talahanayan na may apat na node na ating isinasaalang-alang:
l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),
l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),
l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .
Kalkulahin natin ang mga halaga ng mga polynomial li(xj) (j=0,1,2,3) at isulat ang mga ito sa mga cell ng talahanayan. Ang mga halaga ng function na Ycalc(x), ayon sa formula (11), ay makukuha bilang resulta ng pagbubuod ng mga halaga li(xj) ayon sa hilera.
Ang format ng talahanayan, kasama ang mga haligi ng mga kinakalkula na halaga li(xj) at isang hanay ng mga halaga Ycalc(x), ay ipinapakita sa Fig. 8.
kanin. 8. Talahanayan na may mga resulta ng manu-manong pagkalkula na isinagawa gamit ang mga formula (16), (17) at (11) para sa lahat ng mga halaga ng argumento xi
Ang pagkakaroon ng nabuong talahanayan na ipinapakita sa Fig. 8, gamit ang mga formula (17) at (11) maaari mong kalkulahin ang halaga ng interpolated function para sa anumang halaga ng argumento X. Halimbawa, para sa X=1 kinakalkula namin ang mga halaga li(1) (i=0, 1,2,3):
l0(1)= 0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)= 0.2966.
Ang pagbubuod ng mga halaga ng li(1) ay nakukuha natin ang halagang Yinterp(1)=3.1463.
1.4.2. Pagpapatupad ng isang interpolation algorithm gamit ang mga formula ng Lagrange sa kapaligiran ng programa ng Microsoft Excel
Ang pagpapatupad ng interpolation algorithm ay nagsisimula, tulad ng sa mga manu-manong kalkulasyon, sa pamamagitan ng pagsulat ng mga formula para sa pagkalkula ng mga coefficients qi Sa Fig. 9 ay nagpapakita ng mga haligi ng talahanayan na may ibinigay na mga halaga argumento, interpolated function at coefficients qi. Sa kanan ng talahanayang ito ay ang mga formula na nakasulat sa mga cell ng column C upang kalkulahin ang mga halaga ng coefficients qi.
ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ж q0
ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ж q1
ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ж q2
ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3
kanin. 9 Talaan ng mga coefficient qi at mga formula ng pagkalkula
Pagkatapos ipasok ang formula q0 sa cell C2, ito ay pinalawig sa pamamagitan ng mga cell C3 hanggang C5. Pagkatapos kung saan ang mga formula sa mga cell na ito ay nababagay alinsunod sa (16) sa form na ipinapakita sa Fig. 9.
Ycalc(xi), Ang pagpapatupad ng mga formula (17), nagsusulat kami ng mga formula para sa pagkalkula ng mga halaga li(x) (i=0,1,2,3) sa mga cell ng mga haligi D, E, F at G. Sa cell D2 para sa pagkalkula ng halaga l0(x0) isinusulat namin ang formula:
=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),
nakukuha namin ang mga halaga l0 (xi) (i=0,1,2,3).
Binibigyang-daan ka ng format ng link na $A2 na i-stretch ang formula sa mga column E, F, G upang bumuo ng mga computational formula para sa pagkalkula ng li(x0) (i=1,2,3). Kapag nag-drag ka ng formula sa isang row, hindi magbabago ang index ng column ng mga argumento. Upang kalkulahin ang li(x0) (i=1,2,3) pagkatapos iguhit ang formula l0(x0), kinakailangang itama ang mga ito ayon sa mga formula (17).
Sa hanay H namin inilalagay Mga formula ng Excel sa kabuuan ng li(x) gamit ang formula
(11)algorithm.
Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 10 ang isang talahanayan na ipinatupad sa kapaligiran Mga programa sa Microsoft Excel. Ang isang tanda ng kawastuhan ng mga formula na nakasulat sa mga cell ng talahanayan at ang mga pagpapatakbo ng computational na isinagawa ay ang nagresultang diagonal matrix li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), inuulit ang mga resulta na ipinapakita sa Fig. 8, at isang haligi ng mga halaga na kasabay ng mga halaga ng interpolated function sa mga node ng source table.
kanin. 10. Talaan ng mga halaga li(xj) (j=0,1,2,3) at Ycalc(xj)
Upang makalkula ang mga halaga sa ilan mga intermediate na puntos sapat na
Sa mga cell ng column A, simula sa cell A6, ipasok ang mga halaga ng argument X kung saan nais mong matukoy ang mga halaga ng interpolated function. Pumili
sa huling (5th) row ng table, ang mga cell mula l0(xn) hanggang Ycalc(xn) at i-stretch ang mga formula na nakasulat sa mga napiling cell hanggang sa linyang naglalaman ng huling
ang tinukoy na halaga ng argumentong x.
Sa Fig. Ang 11 ay nagpapakita ng isang talahanayan kung saan ang halaga ng function ay kinakalkula sa tatlong puntos: x=1, x=2 at x=3. Isang karagdagang column ang ipinakilala sa talahanayan na may mga row number ng source data table.
kanin. 11. Pagkalkula ng mga halaga ng mga interpolated na pag-andar gamit ang mga formula ng Lagrange
Para sa higit na kalinawan sa pagpapakita ng mga resulta ng interpolation, bubuo kami ng isang talahanayan na may kasamang column ng argumento X values na inayos sa pataas na pagkakasunud-sunod, column. mga paunang halaga functionsY(X) at column
Sabihin sa akin kung paano gamitin ang interpolation formula at kung alin sa paglutas ng mga problema sa thermodynamics (heat engineering)
Ivan Shestakovich
Ang pinakasimpleng, ngunit madalas na hindi sapat na tumpak na interpolation ay linear. Kapag mayroon ka nang dalawang kilalang puntos (X1 Y1) at (X2 Y2) at kailangan mong hanapin ang mga halaga ng Y ng araw ng ilang X na matatagpuan sa pagitan ng X1 at X2. Kung gayon ang formula ay simple.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+Y1
Sa pamamagitan ng paraan, ang formula na ito ay gumagana din para sa mga halaga ng X sa labas ng pagitan ng X1..X2, ngunit ito ay tinatawag na extrapolation at sa isang makabuluhang distansya mula sa pagitan na ito ay nagbibigay ito ng isang napakalaking error.
Marami pang pagmumura. mga pamamaraan ng interpolation - Pinapayuhan ko kayong magbasa ng isang aklat-aralin o magsaliksik sa Internet.
Posible rin ang paraan ng graphic interpolation - manu-manong gumuhit ng graph sa pamamagitan ng mga kilalang puntos at hanapin ang Y mula sa graph para sa kinakailangang X. ;)
nobela
Mayroon kang dalawang kahulugan. At humigit-kumulang sa dependence (linear, quadratic, ..)
Ang graph ng function na ito ay dumadaan sa iyong dalawang puntos. Kailangan mo ng halaga sa isang lugar sa pagitan. Well, ipahayag mo ito!
Halimbawa. Sa talahanayan, sa temperatura na 22 degrees, ang saturated vapor pressure ay 120,000 Pa, at sa 26, 124,000 Pa. Pagkatapos sa temperatura na 23 degrees 121000 Pa.
Interpolation (coordinate)
Mayroong coordinate grid sa mapa (larawan).
Mayroong ilang mga kilalang reference point (n>3) dito, bawat isa ay may dalawa mga halaga ng x,y- Mga coordinate sa mga pixel, at mga coordinate sa metro.
Kinakailangan na makahanap ng mga intermediate na halaga ng coordinate sa metro, alam ang mga coordinate sa mga pixel.
Ang linear interpolation ay hindi angkop - ang error sa labas ng linya ay masyadong malaki.
Tulad nito: (Ang Xc ay ang coordinate sa mga metro kasama ang ox, ang Xp ay ang coordinate sa mga pixel kasama ang ox, ang Xc3 ay ang nais na halaga sa ox)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2
Paano mahahanap ang parehong formula para sa paghahanap ng Xc at Yc, na isinasaalang-alang hindi dalawa (tulad ng dito), ngunit N kilalang mga sanggunian?
Joka fern lowd
Sa paghusga sa mga nakasulat na formula, ang mga axes ba ng mga coordinate system sa mga pixel at sa metro ay nag-tutugma?
Iyon ay, Xp -> Xc ay independiyenteng interpolated at Yp -> Yc ay independiyenteng interpolated. Kung hindi, kailangan mong gumamit ng dalawang-dimensional na interpolation na Xp,Yp->Xc at Xp,Yp->Yc, na medyo nagpapalubha sa gawain.
Ito ay higit na ipinapalagay na ang mga coordinate na Xp at Xc ay nauugnay sa pamamagitan ng ilang pag-asa.
Kung ang likas na katangian ng dependence ay kilala (o ipinapalagay, halimbawa, ipinapalagay namin na Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), kung gayon maaari nating makuha ang mga parameter ng dependence na ito (para sa ibinigay na dependence a, b, c) gamit pagsusuri ng regression(Paraan ng hindi bababa sa mga parisukat). Sa paraang ito, kung tinukoy mo ang isang tiyak na dependence Xc(Xp), maaari kang makakuha ng formula para sa mga parameter ng dependence sa reference na data. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan, sa partikular, upang mahanap at linear dependence, sa pinakamahusay na posibleng paraan kasiya-siya set na ito datos.
Disadvantage: Sa pamamaraang ito, ang mga Xc coordinate na nakuha mula sa data ng mga Xp control point ay maaaring mag-iba mula sa mga tinukoy. Halimbawa, ang isang tinatayang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng mga pang-eksperimentong punto ay hindi mismong dumadaan sa mga puntong ito.
Kung ang isang eksaktong sulat ay kinakailangan at ang likas na katangian ng pag-asa ay hindi alam, ang mga pamamaraan ng interpolation ay dapat gamitin. Ang pinakasimpleng mathematically ay ang Lagrange interpolation polynomial, na eksaktong dumadaan sa mga reference point. Gayunpaman, dahil sa mataas na antas polynomial na ito sa malaking bilang reference point at mahinang kalidad interpolation, ito ay mas mahusay na hindi gamitin ito. Ang kalamangan ay ang medyo simpleng formula.
Mas mainam na gumamit ng spline interpolation. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay na sa bawat seksyon sa pagitan ng dalawang magkalapit na punto, ang pag-asa sa ilalim ng pag-aaral ay isinasama ng isang polynomial, at ang mga kondisyon ng kinis ay nakasulat sa mga punto ng pagsasama ng dalawang pagitan. Ang bentahe ng pamamaraang ito ay ang kalidad ng interpolation. Mga disadvantages - halos imposibleng bawiin pangkalahatang pormula, kailangan mong hanapin ang mga coefficient ng polynomial sa bawat seksyon ayon sa algorithm. Ang isa pang disbentaha ay ang kahirapan ng pag-generalize sa two-dimensional na interpolation.
Ang interpolation ay isang uri ng approximation kung saan eksaktong dumadaan ang curve ng constructed function sa mga available na data point.
Mayroon ding isang gawain na malapit sa interpolation, na binubuo sa pagtatantya ng isang kumplikadong function ng isa pa, mas simpleng function. Kung ang isang tiyak na function ay masyadong kumplikado para sa mga produktibong kalkulasyon, maaari mong subukang kalkulahin ang halaga nito sa ilang mga punto, at mula sa kanila ay bumuo, iyon ay, interpolate, isang mas simpleng function. Siyempre, ang paggamit ng isang pinasimple na function ay hindi gumagawa ng mga resulta na kasing-tumpak ng orihinal na function. Ngunit sa ilang mga klase ng mga problema, ang nakamit na pakinabang sa pagiging simple at bilis ng mga kalkulasyon ay maaaring lumampas sa nagresultang pagkakamali sa mga resulta.
Dapat ding banggitin ang isang ganap na naiibang uri ng interpolation ng matematika na kilala bilang operator interpolation. Kasama sa mga klasikong gawa sa interpolation ng operator ang Riesz-Thorin theorem at ang Marcinkiewicz theorem, na siyang batayan para sa maraming iba pang mga gawa.
Mga Kahulugan
Isaalang-alang natin ang isang sistema ng mga di-nagtutugmang puntos () mula sa isang partikular na rehiyon. Hayaan ang mga halaga ng function na malaman lamang sa mga puntong ito:
Ang problema sa interpolation ay ang paghahanap ng isang function mula sa isang naibigay na klase ng mga function tulad na
Halimbawa
1. Magkaroon tayo ng function ng talahanayan, tulad ng inilarawan sa ibaba, na para sa ilang mga halaga ay tumutukoy sa mga kaukulang halaga:
| 0 | 0 |
| 1 | 0,8415 |
| 2 | 0,9093 |
| 3 | 0,1411 |
| 4 | −0,7568 |
| 5 | −0,9589 |
| 6 | −0,2794 |
Tinutulungan tayo ng interpolation na malaman kung anong halaga ang maaaring magkaroon ng isang function sa isang punto maliban sa mga ipinahiwatig (halimbawa, sa x = 2,5).
Sa ngayon, maraming iba't ibang paraan ng interpolation. Ang pagpili ng pinakaangkop na algorithm ay nakasalalay sa mga sagot sa mga tanong: gaano katumpak ang napiling pamamaraan, kung ano ang halaga ng paggamit nito, gaano kakinis ang interpolation function, gaano karaming mga punto ng data ang kailangan nito, atbp.
2. Hanapin ang intermediate na halaga (sa pamamagitan ng linear interpolation).
| 6000 | 15.5 |
| 6378 | ? |
| 8000 | 19.2 |
Mga pamamaraan ng interpolasyon
Pinakamalapit na interpolation ng kapitbahay
Ang pinakasimpleng paraan ng interpolation ay ang pinakamalapit na neighbor interpolation.
Interpolation sa pamamagitan ng polynomials
Sa pagsasagawa, ang interpolation ng polynomial ay kadalasang ginagamit. Pangunahin ito dahil sa ang katunayan na ang mga polynomial ay madaling kalkulahin, ang kanilang mga derivatives ay madaling hanapin ng analytically, at ang hanay ng mga polynomial ay siksik sa espasyo ng tuluy-tuloy na mga pag-andar (Weierstrass theorem).
- IMN-1 at IMN-2
- Lagrange polynomial (interpolation polynomial)
- Ayon sa pakana ni Aitken
Inverse interpolation (pagkalkula ng x na ibinigay y)
- Baliktarin ang interpolation gamit ang formula ni Newton
Interpolation ng isang function ng ilang variable
Iba pang Paraan ng Interpolation
- Trigonometric interpolation
Mga Kaugnay na Konsepto
- Extrapolation - mga paraan ng paghahanap ng mga punto sa labas ng isang naibigay na pagitan (curve extension)
- Approximation - mga pamamaraan para sa pagbuo ng tinatayang mga kurba
Tingnan din
- Pang-eksperimentong Data Smoothing
Wikimedia Foundation.
2010.:Mga kasingkahulugan
Tingnan kung ano ang "Interpolation" sa ibang mga diksyunaryo: 1) isang paraan upang matukoy, mula sa isang serye ng mga ibinigay na halaga ng anumang pagpapahayag ng matematika, ang mga intermediate na halaga nito; kaya, halimbawa, sa pamamagitan ng hanay ng paglipad ng cannonball sa isang elevation angle ng axis ng cannon channel na 1°, 2°, 3°, 4°, atbp., maaari itong matukoy gamit ang... ...
Diksyunaryo ng mga banyagang salita ng wikang Ruso Insertion, interpolation, inclusion, search Dictionary ng mga kasingkahulugan ng Russian. interpolation, tingnan ang kahon Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan ng wikang Ruso. Praktikal na gabay. M.: wikang Ruso. Z. E. Alexandrova. 2...
Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan interpolation - Pagkalkula ng mga intermediate na halaga sa pagitan ng dalawang kilalang puntos. Halimbawa: linear linear interpolation exponential exponential interpolation Ang proseso ng pag-output ng isang kulay na imahe kapag ang mga pixel na kabilang sa rehiyon sa pagitan ng dalawang kulay... ...
Gabay sa Teknikal na Tagasalin - (interpolation) Pagtatantya ng halaga ng isang hindi kilalang dami na matatagpuan sa pagitan ng dalawang puntos sa isang serye ng mga kilalang dami. Halimbawa, ang pag-alam sa mga tagapagpahiwatig ng populasyon ng bansa na nakuha mula sa isang census ng populasyon na isinagawa sa pagitan ng 10 taon, maaari mong... ...
Diksyunaryo ng mga termino ng negosyo Mula sa Latin, talaga, "pekeng." Ito ang pangalang ibinigay sa mga maling pag-amyenda o mga pagsingit sa ibang pagkakataon sa mga manuskrito na ginawa ng mga tagakopya o mga mambabasa. Ang terminong ito ay madalas na ginagamit sa pagpuna sa mga manuskrito ng mga sinaunang manunulat. Sa mga manuskrito na ito... ...
Ensiklopedya sa panitikan Paghahanap ng mga intermediate na halaga ng isang tiyak na pattern (function) batay sa isang bilang ng mga kilalang halaga nito. Sa English: Interpolation Tingnan din ang: Data transformations Financial Dictionary Finam...
Diksyunaryo ng mga kasingkahulugan Diksyunaryo sa pananalapi - at, f. interpolation f.
lat. pagbabago ng interpolasyon; pagbabago, pagbaluktot. 1. Paglalagay ng mas huling pinanggalingan kung saan l. teksto na hindi kabilang sa orihinal. BAS 1. Sa mga sinaunang manuskrito mayroong maraming interpolasyon na ipinakilala ng mga eskriba. Ush. 1934. 2 … Makasaysayang Diksyunaryo ng Gallicisms ng Wikang Ruso Great Medical Encyclopedia
- (mula sa Latin na pagbabago ng interpolatio, pagbabago), paghahanap ng mga intermediate na halaga ng isang dami batay sa ilan sa mga kilalang halaga nito. Halimbawa, ang paghahanap ng mga halaga ng function na y = f(x) sa mga puntong x na nasa pagitan ng mga puntos na x0 at xn, x0 ... Modernong encyclopedia
- (mula sa Latin na interpolatio change alteration), sa matematika at istatistika, paghahanap ng mga intermediate na halaga ng isang dami batay sa ilan sa mga kilalang halaga nito. Halimbawa, ang paghahanap ng mga halaga ng function na f(x) sa mga puntong x na nasa pagitan ng mga puntos na xo x1 ... xn, sa pamamagitan ng... ... Malaking Encyclopedic Dictionary
Mayroong isang sitwasyon kapag sa isang hanay ng mga kilalang halaga na kailangan mong hanapin mga intermediate na resulta. Sa matematika ito ay tinatawag na interpolation. SA Excel na binigay Ang pamamaraan ay maaaring gamitin kapwa para sa tabular na data at para sa pag-plot ng mga graph. Tingnan natin ang bawat isa sa mga pamamaraang ito.
Ang pangunahing kondisyon kung saan maaaring gamitin ang interpolation ay ang nais na halaga ay dapat nasa loob ng array ng data at hindi sa labas ng limitasyon nito. Halimbawa, kung mayroon tayong hanay ng mga argumento 15, 21, at 29, maaari nating gamitin ang interpolation upang mahanap ang function para sa argument 25. Ngunit wala nang anumang paraan upang mahanap ang katumbas na halaga para sa argumento 30. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng pamamaraang ito at extrapolation.
Paraan 1: Interpolation para sa Tabular Data
Una sa lahat, tingnan natin ang mga aplikasyon ng interpolation para sa data na matatagpuan sa isang talahanayan. Halimbawa, kunin natin ang isang hanay ng mga argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar, ang kaugnayan nito ay maaaring ilarawan linear equation. Ang data na ito ay ipinapakita sa talahanayan sa ibaba. Kailangan nating hanapin ang kaukulang function para sa argumento 28 . Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay ang paggamit ng operator PAGHULA.
Paraan 2: I-interpolate ang graph gamit ang mga setting nito
Ang interpolation procedure ay maaari ding gamitin kapag gumagawa ng mga function graph. May kaugnayan ito kung ang talahanayan kung saan nakabatay ang graph ay hindi nagpapahiwatig ng katumbas na halaga ng function para sa isa sa mga argumento, tulad ng sa larawan sa ibaba.
Gaya ng nakikita mo, ang graph ay naitama, at ang gap ay inalis gamit ang interpolation.
Paraan 3: Interpolate ang graph gamit ang isang function
Maaari mo ring i-interpolate ang graph gamit ang espesyal na function ND. Siya ay bumabalik hindi natukoy na mga halaga sa tinukoy na cell.
Magagawa mo ito nang mas madali nang hindi tumatakbo Function Wizard, at gamitin lamang ang keyboard upang ipasok ang halaga sa isang walang laman na cell "#N/A" walang quotes. Ngunit ito ay depende sa kung ano ang mas maginhawa para sa kung aling user.
Tulad ng nakikita mo, sa Excel maaari kang mag-interpolate bilang data ng tabular gamit ang function PAGHULA, at mga graphics. Sa huling kaso, maaari itong gawin gamit ang mga setting ng tsart o gamit ang function ND, nagdudulot ng error "#N/A". Ang pagpili kung aling paraan ang gagamitin ay depende sa pahayag ng problema, pati na rin ang mga personal na kagustuhan ng gumagamit.
Ito ay isang kabanata mula sa aklat ni Bill Jelen.
Hamon: Ang ilang mga problema sa disenyo ng engineering ay nangangailangan ng paggamit ng mga talahanayan upang kalkulahin ang mga halaga ng parameter. Dahil discrete ang mga talahanayan, gumagamit ang taga-disenyo ng linear interpolation upang makakuha ng intermediate na value ng parameter. Kasama sa talahanayan (Larawan 1) ang taas sa itaas ng lupa (parameter ng kontrol) at bilis ng hangin (kinakalkula na parameter). Halimbawa, kung kailangan mong hanapin ang bilis ng hangin na tumutugma sa taas na 47 metro, dapat mong ilapat ang formula: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/sec.
I-download ang tala sa o format, mga halimbawa sa format
Paano kung mayroong dalawang mga parameter ng kontrol? Posible bang magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang isang formula? Ang talahanayan (Larawan 2) ay nagpapakita ng mga halaga ng presyon ng hangin para sa iba't ibang taas at span ng mga istruktura. Kinakailangang kalkulahin ang presyon ng hangin sa taas na 25 metro at isang span na 300 metro.
Solusyon: Niresolba namin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalawak ng paraan na ginamit para sa kaso na may isang control parameter. Sundin ang mga hakbang na ito:
Magsimula sa talahanayan na ipinapakita sa Fig. 2. Magdagdag ng mga source cell para sa taas at span sa J1 at J2 ayon sa pagkakabanggit (Figure 3).
kanin. 3. Ipinapaliwanag ng mga formula sa mga cell J3:J17 ang operasyon ng megaformula
Para sa kadalian ng paggamit ng mga formula, tukuyin ang mga pangalan (Larawan 4).
Panoorin ang formula na gumagana sa pamamagitan ng sunud-sunod na paglipat mula sa cell J3 patungo sa cell J17.
Gumamit ng reverse sequential substitution para mabuo ang megaformula. Kopyahin ang formula text mula sa cell J17 hanggang J19. Palitan ang reference sa J15 sa formula ng value sa cell J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. At iba pa. Ang resulta ay isang formula na binubuo ng 984 character, na hindi makikita sa form na ito. Maaari mong tingnan ito sa naka-attach na Excel file. Hindi ako sigurado na ang ganitong uri ng megaformula ay kapaki-pakinabang na gamitin.
Buod: Ang linear interpolation ay ginagamit upang makakuha ng intermediate parameter value kung mga halaga ng talahanayan tinukoy lamang para sa mga hangganan ng saklaw; Ang isang paraan ng pagkalkula gamit ang dalawang mga parameter ng kontrol ay iminungkahi.
