Ang mga diagonal na matrice ay may pinakasimpleng istraktura. Ang tanong ay lumitaw kung posible na makahanap ng isang batayan kung saan ang matrix ng linear operator ay magkakaroon ng diagonal na anyo. Ang ganitong batayan ay umiiral.
Bigyan tayo ng linear space R n at linear operator A na kumikilos dito; sa kasong ito, kinukuha ng operator A ang R n sa sarili nito, iyon ay, A:R n → R n .

Kahulugan. Ang isang non-zero vector ay tinatawag na eigenvector ng operator A kung ang operator A ay nagmamapa sa isang vector collinear dito, ibig sabihin. Ang bilang na λ ay tinatawag na eigenvalue o eigenvalue ng operator A, na tumutugma sa eigenvector.
Tandaan natin ang ilang mga katangian ng eigenvalues ​​at eigenvectors.
1. Anuman linear na kumbinasyon eigenvectors operator Ang isang katumbas ng parehong eigenvalue λ ay isang eigenvector na may parehong eigenvalue.
2. Eigenvectors Ang operator A na may magkaibang mga eigenvalues ​​na magkapares λ 1 , λ 2 , …, λ m ay linearly independent.
3. Kung ang eigenvalues ​​​​λ 1 =λ 2 = λ m = λ, kung gayon ang eigenvalue λ ay tumutugma sa hindi hihigit sa m linearly independent eigenvectors.

Kaya, kung mayroong n linearly independent eigenvectors , na naaayon sa iba't ibang mga eigenvalues ​​​​λ 1, λ 2, ..., λ n, pagkatapos sila ay linearly independyente, samakatuwid, maaari silang kunin bilang batayan ng espasyo R n. Hanapin natin ang anyo ng matrix ng linear operator A sa batayan ng mga eigenvector nito, kung saan kikilos tayo kasama ang operator A sa mga batayang vectors: Pagkatapos .
Kaya, ang matrix ng linear operator A sa batayan ng mga eigenvector nito ay may diagonal na anyo, at ang mga eigenvalues ​​ng operator A ay nasa kahabaan ng dayagonal.
Mayroon bang ibang batayan kung saan ang matrix ay may diagonal na anyo? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng sumusunod na teorama.

Teorama. Ang matrix ng isang linear operator A sa batayan (i = 1..n) ay may diagonal na anyo kung at kung ang lahat ng mga vector ng batayan ay eigenvectors ng operator A.

Panuntunan para sa paghahanap ng mga eigenvalues ​​at eigenvectors

Hayaang magbigay ng vector , kung saan ang x 1, x 2, …, x n ay ang mga coordinate ng vector na nauugnay sa batayan at ang eigenvector ng linear operator A na tumutugma sa eigenvalue λ, iyon ay. Ang relasyon na ito ay maaaring isulat sa matrix form

. (*)

Ang equation (*) ay maaaring ituring bilang isang equation para sa paghahanap ng , at , ibig sabihin, interesado kami sa mga di-trivial na solusyon, dahil ang eigenvector ay hindi maaaring maging zero. Ito ay kilala na ang mga nontrivial na solusyon ng isang homogenous na sistema mga linear na equation umiiral kung at kung ang det(A - λE) = 0. Kaya, para ang λ ay isang eigenvalue ng operator A ito ay kinakailangan at sapat na ang det(A - λE) = 0.
Kung ang equation (*) ay nakasulat nang detalyado sa coordinate form, makakakuha tayo ng isang sistema ng linear homogeneous equation:

(1)
saan - linear operator matrix.

Ang system (1) ay may non-zero na solusyon kung ang determinant nito ay D katumbas ng zero

Nakatanggap kami ng equation para sa paghahanap ng mga eigenvalue.
Ang equation na ito ay tinatawag na characteristic equation, at nito kaliwang bahagi- ang katangiang polynomial ng matrix (operator) A. Kung ang katangiang polynomial ay walang tunay na ugat, kung gayon ang matrix A ay walang eigenvectors at hindi maaaring bawasan sa diagonal na anyo.
Hayaang ang λ 1, λ 2, …, λ n ang tunay na mga ugat ng katangiang equation, at kabilang sa mga ito ay maaaring mayroong multiple. Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa turn sa system (1), nakita namin ang eigenvectors.

Halimbawa 12. Ang linear operator A ay kumikilos sa R ​​3 ayon sa batas, kung saan ang x 1, x 2, .., x n ay ang mga coordinate ng vector sa batayan , , . Hanapin ang mga eigenvalues ​​at eigenvectors ng operator na ito.
Solusyon. Binubuo namin ang matrix ng operator na ito:
.
Lumilikha kami ng isang sistema para sa pagtukoy ng mga coordinate ng eigenvectors:

Bumubuo kami ng isang katangian na equation at lutasin ito:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Ang pagpapalit ng λ = -1 sa system, mayroon tayong:
o
kasi , pagkatapos ay mayroong dalawang umaasang variable at isang libreng variable.
Hayaan ang x 1 na maging isang libreng hindi kilala, kung gayon Niresolba namin ang sistemang ito sa anumang paraan at hinahanap pangkalahatang solusyon ng sistemang ito: Ang pangunahing sistema ng solusyon ay binubuo ng isang solusyon, dahil n - r = 3 - 2 = 1.
Ang set ng eigenvectors na tumutugma sa eigenvalue λ = -1 ay may anyo: , kung saan ang x 1 ay anumang numero maliban sa zero. Pumili tayo ng isang vector mula sa set na ito, halimbawa, paglalagay ng x 1 = 1: .
Sa katulad na pangangatwiran, nakita natin ang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = 3: .
Sa espasyo R 3, ang batayan ay binubuo ng tatlong linearly independent vectors, ngunit nakatanggap lamang kami ng dalawang linearly independent eigenvectors, kung saan ang batayan sa R ​​3 ay hindi maaaring binubuo. Dahil dito, hindi natin mababawasan ang matrix A ng isang linear operator sa diagonal na anyo.

Halimbawa 13. Binigyan ng matrix .
1. Patunayan na ang vector ay isang eigenvector ng matrix A. Hanapin ang eigenvalue na katumbas ng eigenvector na ito.
2. Maghanap ng batayan kung saan ang matrix A ay may dayagonal na anyo.
Solusyon.
1. Kung , kung gayon ay isang eigenvector

.
Ang Vector (1, 8, -1) ay isang eigenvector. Eigenvalue λ = -1.
Ang matrix ay may diagonal na anyo sa isang batayan na binubuo ng eigenvectors. Isa sa kanila ay sikat. Hanapin natin ang natitira.
Naghahanap kami ng mga eigenvector mula sa system:

Katangiang equation: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Hanapin natin ang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = -3:

Ang ranggo ng matrix ng sistemang ito ay dalawa at katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kaya ang sistemang ito ay mayroon lamang isang zero na solusyon x 1 = x 3 = 0. x 2 dito ay maaaring maging anumang bagay maliban sa zero, halimbawa, x 2 = 1. Kaya, ang vector (0 ,1,0) ay isang eigenvector na katumbas ng λ = -3. Suriin natin:
.
Kung λ = 1, pagkatapos ay makuha namin ang sistema
Ang ranggo ng matrix ay dalawa. Tinatanggal namin ang huling equation.
Hayaan ang x 3 na maging isang libreng hindi kilala. Pagkatapos x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Ipagpalagay na x 3 = 1, mayroon tayong (-3,-9,1) - isang eigenvector na tumutugma sa eigenvalue λ = 1. Suriin:

.
Dahil ang mga eigenvalues ​​ay totoo at naiiba, ang mga vector na nauugnay sa kanila ay linearly independent, kaya maaari silang kunin bilang batayan sa R ​​3 . Kaya, sa batayan , , Ang matrix A ay may anyo:
.
Hindi lahat ng matrix ng isang linear operator A:R n → R n ay maaaring bawasan sa diagonal na anyo, dahil para sa ilang mga linear operator ay maaaring mas mababa sa n linear independent eigenvectors. Gayunpaman, kung ang matrix ay simetriko, kung gayon ang ugat ng katangian na equation ng multiplicity m ay tumutugma sa eksaktong m linearly independent vectors.

Kahulugan. Ang simetriko matrix ay isang parisukat na matrix kung saan ang mga elementong simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal ay pantay, iyon ay, kung saan .
Mga Tala. 1. Ang lahat ng eigenvalues ​​ng isang simetriko matrix ay totoo.
2. Ang mga eigenvector ng isang simetriko na matrix na tumutugma sa magkaibang magkaibang mga eigenvalues ​​ay orthogonal.
Bilang isa sa maraming mga aplikasyon ng pinag-aralan na kagamitan, isinasaalang-alang namin ang problema sa pagtukoy ng uri ng isang second-order curve.

Vector X ≠ 0 ay tinatawag eigenvector linear operator na may matrix A, kung mayroong isang numero tulad na AX =X.

Sa kasong ito, tinawag ang numerong  eigenvalue operator (matrix A) na naaayon sa vector x.

Sa madaling salita, ang eigenvector ay isang vector na, sa ilalim ng pagkilos ng isang linear operator, ay nagiging isang collinear vector, i.e. multiply lang sa ilang numero. Sa kabaligtaran, ang mga hindi wastong vector ay mas kumplikadong baguhin.

Isulat natin ang kahulugan ng isang eigenvector sa anyo ng isang sistema ng mga equation:

Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi:

Ang huling sistema ay maaaring isulat sa matrix form tulad ng sumusunod:

(A - E)X = O

Ang resultang sistema ay palaging may zero na solusyon X = O. Ang mga ganitong sistema kung saan ang lahat ng libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous. Kung ang matrix ng naturang sistema ay parisukat at ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paggamit ng mga formula ng Cramer ay palaging makakakuha tayo ng isang natatanging solusyon - zero. Mapapatunayan na ang isang sistema ay may mga non-zero na solusyon kung at kung ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero, i.e.

|A - E| = = 0

Ang equation na ito na may hindi alam ay tinatawag katangian equation(katangiang polinomyal) matrix A (linear operator).

Mapapatunayan na ang katangiang polynomial ng isang linear operator ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan.

Halimbawa, hanapin natin eigenvalues at eigenvectors ng linear operator na tinukoy ng matrix A = .

Upang gawin ito, gumawa tayo ng isang katangiang equation |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Upang mahanap ang mga eigenvector, nilulutas namin ang dalawang sistema ng mga equation

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Para sa una sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

,

kung saan ang x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, ibig sabihin. X (1) = (-(2/3)s; s).

Para sa pangalawa sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

,

mula sa kung saan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, ibig sabihin. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Kaya, ang eigenvectors ng linear operator na ito ay lahat ng vectors ng form (-(2/3)с; с) na may eigenvalue (-5) at lahat ng vectors ng form ((2/3)с 1 ; с 1) na may eigenvalue 7 .

Mapapatunayan na ang matrix ng operator A sa batayan na binubuo ng mga eigenvectors nito ay dayagonal at may anyo:

,

kung saan  i ang mga eigenvalues ​​ng matrix na ito.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang matrix A sa ilang batayan ay dayagonal, kung gayon ang lahat ng mga vector ng batayan na ito ay magiging eigenvectors ng matrix na ito.

Mapapatunayan din na kung ang isang linear na operator ay may n pairwise na natatanging eigenvalues, kung gayon ang mga katumbas na eigenvectors ay linearly independent, at ang matrix ng operator na ito sa kaukulang batayan ay may diagonal na anyo.

Kahulugan 5.3. Nonzero vector x sa linear space Tinatawag si L eigenvector ng linear operator A: L → L, kung para sa ilang tunay na numero A ang kaugnayan ng Ax = λx ay hawak. Sa kasong ito, ang numerong λ ay tinatawag eigenvalue (eigenvalue) ng linear operator A.

Halimbawa 5.3. Ang linear space K n [x] ng polynomials ng degree sa karamihan n ay naglalaman ng polynomials ng degree zero, i.e. permanenteng pag-andar. Dahil ang dc/dx = 0 = 0 c, ang mga polynomial ng degree zero p(x) = c ≠ 0 ay ang eigenvectors ng linear differentiation operator, at ang numerong λ = 0 ay ang eigenvalue ng operator na ito. #

Ang hanay ng lahat ng eigenvalues ​​ng isang linear operator ay tinatawag spectrum ng linear operator . Ang bawat eigenvector ay nauugnay sa sarili nitong eigenvalue. Sa katunayan, kung ang isang vector x ay sabay-sabay na natutugunan ang dalawang equalities Ax = λx at Ax = μx, pagkatapos ay λx = μx, kung saan (λ - μ)x = 0. Kung λ - μ ≠ 0, i-multiply ang pagkakapantay-pantay sa numero (λ - μ ) -1 at bilang isang resulta ay nakukuha natin na x = 0. Ngunit ito ay sumasalungat sa kahulugan ng isang eigenvector, dahil ang isang eigenvector ay palaging non-zero.

Ang bawat eigenvalue ay may sariling eigenvectors, at mayroong walang katapusang marami sa kanila. Sa katunayan, kung ang x ay isang eigenvector ng isang linear operator A na may eigenvalue λ, i.e. Ах = λx, pagkatapos ay para sa anumang di-zero real number α mayroon kaming αx ≠ 0 at А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Nangangahulugan ito na ang vector αx ay isa ring eigenvector para sa linear operator.

Puna 5.1. Madalas nilang pinag-uusapan eigenvalues ​​​​(mga numero), spectrum at eigenvectors ng isang square matrix . Ang ibig sabihin nito ay ang mga sumusunod. Matrix A ng order n ay matris ilang linear operator sa isang nakapirming batayan, tumatakbo sa n-dimensional na linear na espasyo. Halimbawa, kung titigil tayo sa karaniwang batayan sa linear arithmetic space R n , pagkatapos ay ang matrix A ay tumutukoy sa isang linear operator A, na nagmamapa ng vector x ∈ R n na may coordinate column x sa isang vector na may coordinate column Ax. Ang Matrix A ay tiyak na matrix A. Natural na kilalanin ang isang operator na may matrix nito sa parehong paraan tulad ng pagkakakilala ng isang arithmetic vector sa isang column ng mga coordinate nito. Ang pagkakakilanlan na ito, na kadalasang ginagamit at hindi palaging tinukoy, ay ginagawang posible na ilipat ang mga termino ng "operator" sa mga matrice.

Ang spectrum ng isang linear operator ay malapit na nauugnay sa nito katangian equation.

Teorama 5.3. Upang ang isang tunay na numero λ ay maging isang eigenvalue ng isang linear operator, ito ay kinakailangan at sapat na ito ay ang ugat ng katangian na equation ng operator na ito.

◄ Pangangailangan. Hayaang ang numero λ ang eigenvalue ng linear operator A: L → L. Nangangahulugan ito na mayroong vector x ≠ 0 kung saan

Ax = λx. (5.2)

Tandaan na sa L meron operator ng pagkakakilanlan I: Ix = x para sa anumang vector x. Gamit ang operator na ito, binabago namin ang pagkakapantay-pantay (5.2): Ах = λIx, o

(A - λI)х = 0. (5.3)

Isulat natin ang pagkakapantay-pantay ng vector (5.3) sa ilang batayan b. Ang matrix ng linear operator A - λI ay magiging matrix A - λE, kung saan ang A ay ang matrix ng linear operator A sa batayang b, at ang E ay ang identity matrix, at hayaan ang x ang column ng mga coordinate ng eigenvector x . Pagkatapos x ≠ 0, at ang vector equality (5.3) ay katumbas ng matrix

(A - λE)x = 0, (5.4)

na isang matrix form ng pagsulat ng isang homogenous system ng linear algebraic equation (SLAE) na may parisukat na matris A - λE ng ayos n. Ang sistemang ito ay may nonzero na solusyon, na siyang x-coordinate column ng eigenvector x. Samakatuwid, ang matrix A - λE ng system (5.4) ay may zero determinant, i.e. det(A - λE) = 0. Nangangahulugan ito na ang λ ay ang ugat ng katangiang equation ng linear operator A.

Kasapatan. Madaling makita na ang pangangatwiran sa itaas ay maaaring isagawa sa reverse order. Kung ang λ ay ang ugat ng katangiang equation, kung gayon sa isang ibinigay na batayan b ang pagkakapantay-pantay det (A - λE) = 0 ay humahawak Dahil dito, ang matrix ng homogenous na SLAE (5.4), na nakasulat sa anyong matrix, ay bumababa, at ang matrix. ang sistema ay may di-zero na solusyon x. Ang di-zero na solusyon na ito ay isang hanay ng mga coordinate sa batayan b ng ilang di-zero na vector x kung saan ang pagkakapantay-pantay ng vector (5.3) o ang katumbas nitong pagkakapantay-pantay (5.2). Nakarating kami sa konklusyon na ang numero λ ay isang eigenvalue ng linear operator A.

Ang bawat eigenvalue λ ng matrix (linear operator) ay nauugnay sa nito multiplicity, paglalagay nito ng katumbas ng multiplicity ng root λ ng katangian na equation ng matrix na ito (ng linear operator na ito).

Ang set ng lahat ng eigenvector na tumutugma sa isang naibigay na eigenvalue ng isang linear operator ay hindi linear subspace, dahil walang laman ang set na ito zero vector, na, sa pamamagitan ng kahulugan, ay hindi maaaring maging wasto. Ngunit ang pormal at madaling matanggal na balakid na ito ay isa lamang. Tukuyin natin sa pamamagitan ng £(A, λ) ang set ng lahat ng eigenvectors ng linear operator A sa linear space L na naaayon sa eigenvalue λ, kasama ang zero vector na idinagdag sa set na ito.

Teorama 5.4. Ang set £(A,λ) ay isang linear subspace sa L.

◄ Pumili tayo ng arbitraryong dalawa vector x,y∈ £(A, λ) at patunayan na para sa anumang tunay na α at β ang vector αx + βу ay kabilang din sa £(A, λ). Upang gawin ito, kinakalkula namin ang imahe ng vector na ito sa ilalim ng pagkilos ng linear operator A:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Kaya, para sa vector z = αх + βу ang ugnayang Az = λz ay hawak. Kung ang z ay isang zero vector, kung gayon ito ay kabilang sa £(A,λ). Kung ito ay hindi zero, kung gayon, ayon sa napatunayang kaugnayan, ito ay isang eigenvalue na may eigenvalue λ at muli ay nabibilang sa set £(A, λ).

Ang linear subspace £(A,λ) ay tinatawag minsan eigensubspace ng linear operator *. Ito ay isang espesyal na kaso invariant subspace linear operator A - isang linear subspace na para sa anumang vector x ∈ H ang vector Ax ay kabilang din sa H.

Ang isang invariant subspace ng isang linear operator ay ang linear span din ng anumang sistema ng mga eigenvector nito. Ang isang invariant subspace ng isang linear operator na hindi nauugnay sa mga eigenvector nito ay larawan ng operator.

Sa matrix A, kung mayroong isang numero l tulad na AX = lX.

Sa kasong ito, ang numero l ay tinatawag eigenvalue operator (matrix A) na naaayon sa vector X.

Sa madaling salita, ang eigenvector ay isang vector na, sa ilalim ng pagkilos ng isang linear operator, ay nagiging isang collinear vector, i.e. multiply lang sa ilang numero. Sa kabaligtaran, ang mga hindi wastong vector ay mas kumplikadong baguhin.

Isulat natin ang kahulugan ng isang eigenvector sa anyo ng isang sistema ng mga equation:

Ilipat natin ang lahat ng termino sa kaliwang bahagi:

Ang huling sistema ay maaaring isulat sa matrix form tulad ng sumusunod:

(A - lE)X = O

Ang resultang sistema ay palaging may zero na solusyon X = O. Ang mga ganitong sistema kung saan ang lahat ng libreng termino ay katumbas ng zero ay tinatawag homogenous. Kung ang matrix ng naturang sistema ay parisukat at ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paggamit ng mga formula ng Cramer ay palaging makakakuha tayo ng isang natatanging solusyon - zero. Mapapatunayan na ang isang sistema ay may mga non-zero na solusyon kung at kung ang determinant ng matrix na ito ay katumbas ng zero, i.e.

|A - lE| = = 0

Ang equation na ito na may hindi kilalang l ay tinatawag katangian equation (katangiang polinomyal) matrix A (linear operator).

Mapapatunayan na ang katangiang polynomial ng isang linear operator ay hindi nakasalalay sa pagpili ng batayan.

Halimbawa, hanapin natin ang mga eigenvalues ​​at eigenvectors ng linear operator na tinukoy ng matrix A = .

Upang gawin ito, gumawa tayo ng isang katangiang equation |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues ​​​​l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Upang mahanap ang mga eigenvector, nilulutas namin ang dalawang sistema ng mga equation

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Para sa una sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

,

kung saan ang x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, ibig sabihin. X (1) = (-(2/3)s; s).

Para sa pangalawa sa kanila, ang pinalawak na matrix ay tumatagal ng anyo

,

mula sa kung saan x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, ibig sabihin. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Kaya, ang eigenvectors ng linear operator na ito ay lahat ng vectors ng form (-(2/3)с; с) na may eigenvalue (-5) at lahat ng vectors ng form ((2/3)с 1 ; с 1) na may eigenvalue 7 .

Mapapatunayan na ang matrix ng operator A sa batayan na binubuo ng mga eigenvector nito ay dayagonal at may anyo:

,

kung saan ako ang mga eigenvalues ​​ng matrix na ito.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang matrix A sa ilang batayan ay dayagonal, kung gayon ang lahat ng mga vector ng batayan na ito ay magiging eigenvectors ng matrix na ito.

Mapapatunayan din na kung ang isang linear na operator ay may n pairwise na natatanging eigenvalues, kung gayon ang mga katumbas na eigenvectors ay linearly independent, at ang matrix ng operator na ito sa kaukulang batayan ay may diagonal na anyo.

Ilarawan natin ito sa nakaraang halimbawa. Kunin natin ang mga di-zero na halaga c at c 1, ngunit ang mga vectors X (1) at X (2) ay linearly independent, i.e. magiging batayan. Halimbawa, hayaan ang c = c 1 = 3, pagkatapos X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Siguraduhin natin linear na kalayaan ang mga vector na ito:

12 ≠ 0. Sa bagong batayan na ito, ang matrix A ay kukuha ng anyong A * = .

Para ma-verify ito, gamitin natin ang formula A * = C -1 AC. Una, hanapin natin ang C -1.

C -1 = ;

Quadratic na mga hugis

Quadratic na hugis f(x 1, x 2, x n) ng n variable ay tinatawag na sum, na ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o produkto ng dalawang magkaibang variable, na kinuha gamit ang isang tiyak na koepisyent: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Ang matrix A na binubuo ng mga coefficient na ito ay tinatawag matris parisukat na anyo. Palagi naman simetriko matrix (i.e. isang matrix na simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, sumulat tayo anyo ng matris parisukat na anyo.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng quadratic form. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient ng mga squared variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng mga halves ng kaukulang coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-singular matrix ng nth order. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Kaya, sa isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng quadratic form ay tumatagal sa anyo: A * = C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang parisukat na anyo f(y 1, y 2), na nakuha mula sa parisukat na anyo f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(may canonical view), kung ang lahat ng mga coefficient nito a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(hindi ibinigay ang patunay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, bawasan natin ang quadratic form sa canonical form
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Upang gawin ito, pumili muna ng kumpletong parisukat na may variable na x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Ngayon pumili kami ng isang kumpletong parisukat na may variable na x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation na y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 at y 3 = x 3 ay dinadala ang quadratic form na ito sa canonical form f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi tiyak na tinutukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo sa iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang natanggap sa iba't ibang paraan Ang mga canonical form ay may bilang ng pangkalahatang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa paraan ng pagbabawas ng form sa form na ito (halimbawa, sa halimbawang isinasaalang-alang ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang pag-aari na ito ay tinatawag na batas ng pagkawalang-galaw ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagdadala ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 at y 3 = x 1 . Narito mayroong isang negatibong koepisyent -3 sa y 1 at dalawang positibong koepisyent 3 at 2 sa y 2 at y 3 (at gamit ang isa pang paraan nakakuha kami ng negatibong koepisyent (-5) sa y 2 at dalawang positibo: 2 sa y 1 at 1/20 sa y 3).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng quadratic form, na tinatawag ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga non-zero coefficient kanonikal na anyo at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang parisukat na anyo na f(X) ay tinatawag positibo (negatibo) tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).

Halimbawa, ang quadratic form f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 ay positive definite, dahil ay isang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang tiyak na tanda ng isang parisukat na anyo, kaya para dito ginagamit namin ang isa sa mga sumusunod na theorems (bubuuin namin ang mga ito nang walang patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Teorama(Sylvester criterion). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng nangungunang mga menor de edad ng matrix ng form na ito ay positibo.

Pangunahing (sulok) menor Ang kth order matrix A ng nth order ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na quadratic na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, suriin natin ang quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa katiyakan ng sign.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Suriin natin ang isa pang parisukat na anyo para sa katiyakan ng tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Dahil dito, ayon sa pamantayan ni Sylvester, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak (ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, simula sa minus).

At bilang isa pang halimbawa, sinusuri natin ang quadratic form na tinutukoy ng sign f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng quadratic form A = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Ang isa sa mga numerong ito ay negatibo at ang isa ay positibo. Ang mga palatandaan ng eigenvalues ​​ay iba. Dahil dito, ang parisukat na anyo ay maaaring hindi negatibo o positibong tiyak, i.e. ang quadratic form na ito ay hindi sign-definite (maaari itong kumuha ng mga halaga ng anumang sign).

Paraan 2. Pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matris A D 1 = a 11 = 2 > 0. Pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).