Ang konsepto ng matrix rank ay malapit na nauugnay sa konsepto ng linear dependence (independence) ng mga row o column nito. Sa hinaharap, ipapakita namin ang materyal para sa mga hanay;

Sa matrix A Tukuyin natin ang mga linya nito tulad ng sumusunod:

, , …. ,

Dalawang row ng isang matrix ay sinasabing pantay, kung ang kanilang mga katumbas na elemento ay pantay: , if , .

Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga hilera ng matrix (pag-multiply ng isang hilera sa isang numero, pagdaragdag ng mga hilera) ay ipinakilala habang isinasagawa ang mga operasyon sa bawat elemento:

Linya e tinatawag na linear na kumbinasyon ng mga string..., matrix, kung ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga row na ito sa pamamagitan ng mga arbitrary na tunay na numero:

Ang mga hilera ng matrix ay tinatawag nakadepende sa linear, kung may mga numero na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, na ang isang linear na kumbinasyon ng mga row ng matrix ay katumbas ng zero na row:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorama 3.3Ang mga row ng isang matrix ay linearly dependent kung ang kahit isang row ng matrix ay linear na kumbinasyon ng iba.

□ Sa katunayan, hayaan, para sa katiyakan, sa formula (3.3) , Pagkatapos

Kaya, ang hilera ay isang linear na kumbinasyon ng natitirang mga hilera. ■

Kung ang isang linear na kumbinasyon ng mga row (3.3) ay katumbas ng zero kung at kung ang lahat ng coefficient ay katumbas ng zero, ang mga row ay tinatawag na linearly independent.

Teorama 3.4.(tungkol sa ranggo ng matrix) Ang ranggo ng isang matrix ay katumbas ng maximum na bilang ng mga linearly independent na row o column nito kung saan ang lahat ng iba pang row nito (columns) ay linearly na ipinahayag.

□ Hayaan ang matrix A may ranggo ang laki m n r(r min). Ibig sabihin mayroong non-zero minor r-ika-utos. Anumang non-zero minor r Ang ika-utos ay tatawaging batayang minor.

Para sa katiyakan, hayaan ang batayang minor nangunguna o sulok na menor. Pagkatapos ang mga hilera ng matrix ay linearly independent. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran, iyon ay, ang isa sa mga string na ito, halimbawa, ay isang linear na kumbinasyon ng iba. Ibawas mula sa mga elemento r- ng 1st row, ang mga elemento ng 1st row, pinarami ng , pagkatapos ay ang mga elemento ng 2nd row, na pinarami ng , ... at ang mga elemento ( r- 1) - ang mga hilera na pinarami ng . Batay sa ari-arian 8, na may ganitong mga pagbabago sa matrix nito determinant D ay hindi magbabago, ngunit dahil r- ang row ay bubuuin na ngayon ng mga zero, pagkatapos ay ang D = 0 ay isang kontradiksyon. Samakatuwid, ang aming palagay na ang mga hilera ng matrix ay linearly na umaasa ay hindi tama.

Tawagan natin ang mga linya basic. Ipakita natin na ang anumang (r+1) na row ng matrix ay linearly dependent, i.e. anumang string ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pangunahing.

Isaalang-alang natin ang isang menor de edad (r +1) ng unang pagkakasunud-sunod, na nakukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa menor na pinag-uusapan ng mga elemento ng isa pang hilera i at kolum j. Ang menor de edad na ito ay zero dahil ang ranggo ng matrix ay r, kaya ang anumang mas mataas na order minor ay zero.

Ang pagpapalawak nito ayon sa mga elemento ng huling (idinagdag) na hanay, nakukuha namin

Kung saan ang modulus ng huling algebraic complement ay tumutugma sa batayang minor D at samakatuwid ay naiiba mula sa zero, i.e. 0.

kung saan ang ilang mga numero (ang ilan sa mga numerong ito o maging ang lahat ng mga ito ay maaaring katumbas ng zero). Nangangahulugan ito na mayroong mga sumusunod na pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga elemento ng mga column:

o , .

Mula sa (3.3.1) ito ay sumusunod na

(3.3.2)

nasaan ang zero string.

Kahulugan. Ang mga hilera ng matrix A ay linearly dependent kung mayroong mga numero na hindi lahat ay katumbas ng zero sa parehong oras, tulad na

(3.3.3)

Kung ang pagkakapantay-pantay (3.3.3) ay totoo kung at kung , ang mga row ay tinatawag na linearly independent. Ang kaugnayan (3.3.2) ay nagpapakita na kung ang isa sa mga row ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba, ang mga row ay linearly na umaasa.

Madaling makita ang kabaligtaran: kung linearly dependent ang mga string, may string na magiging linear na kumbinasyon ng natitirang mga string.

Hayaan, halimbawa, sa (3.3.3), pagkatapos .

Kahulugan. Hayaang pumili ng isang menor de edad sa matrix A r ika-utos at hayaan ang menor de edad ( r Ang +1)th order ng parehong matrix ay ganap na naglalaman ng minor . Sasabihin namin na sa kasong ito ang menor de edad ay nasa hangganan ng menor de edad (o nasa hangganan para sa ).

Ngayon ay patunayan natin ang isang mahalagang lemma.

Lemmatungkol sa hangganan ng mga menor de edad. Kung ang menor de edad ay nasa kaayusan r Ang matrix A = ay iba sa zero, at ang lahat ng menor de edad na nasa hangganan nito ay katumbas ng zero, kung gayon ang anumang row (column) ng matrix A ay isang linear na kumbinasyon ng mga row nito (column) na bumubuo sa .

Patunay. Nang hindi nawawala ang pangkalahatan ng pangangatwiran, ipagpalagay natin na isang nonzero minor r ang ika-order ay nasa kaliwang sulok sa itaas ng matrix A =:

.

Para sa unang k mga hilera ng matrix A, ang pahayag ng lemma ay halata: sapat na upang isama sa isang linear na kumbinasyon ang parehong hilera na may isang koepisyent na katumbas ng isa, at ang natitira - na may mga coefficient na katumbas ng zero.

Patunayan natin ngayon na ang natitirang mga hilera ng matrix A ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng una k mga linya. Upang gawin ito, gagawa kami ng isang menor de edad ( r +1)th order sa pamamagitan ng pagdaragdag sa menor de edad k -ika linya () at l ika-column():

.

Ang resultang menor ay katumbas ng zero para sa lahat k at l . Kung , kung gayon ito ay katumbas ng zero bilang naglalaman ng dalawang magkaparehong column. Kung , kung gayon ang nagresultang minor ay isang edge minor para sa at, samakatuwid, ay katumbas ng zero sa pamamagitan ng mga kondisyon ng lemma.

I-decompose natin ang minor ayon sa mga elemento ng hulil ika-kolum:

(3.3.4)

kung saan ang mga algebraic na pandagdag sa mga elemento. Ang algebraic complement ay isang minor ng matrix A, samakatuwid . Hatiin ang (3.3.4) at ipahayag ito sa pamamagitan ng:

(3.3.5)

Saan , .

Sa pag-aakalang , nakukuha natin ang:

(3.3.6)

Ang pagpapahayag (3.3.6) ay nangangahulugan na k Ang th row ng matrix A ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng una r linya.

Dahil kapag ang isang matrix ay nailipat, ang mga halaga ng mga menor de edad nito ay hindi nagbabago (dahil sa pag-aari ng mga determinant), kung gayon ang lahat ng napatunayan ay totoo din para sa mga haligi. Ang teorama ay napatunayan.

Corollary I . Anumang row (column) ng isang matrix ay isang linear na kumbinasyon ng mga base row nito (columns). Sa katunayan, ang batayang minor ng matrix ay nonzero, at ang lahat ng menor de edad na nasa hangganan nito ay katumbas ng zero.

Corollary II. Determinant n ng order ay katumbas ng zero kung at kung naglalaman lamang ito ng mga linearly dependent row (columns). Ang kasapatan ng linear dependence ng mga row (columns) para sa determinant na maging katumbas ng zero ay napatunayang mas maaga bilang isang property ng mga determinant.

Patunayan natin ang pangangailangan. Hayaang magbigay ng square matrix n ika-utos, ang tanging menor na kung saan ay zero. Ito ay sumusunod na ang ranggo ng matrix na ito ay mas mababa n , ibig sabihin. mayroong hindi bababa sa isang row na isang linear na kumbinasyon ng mga batayang row ng matrix na ito.

Patunayan natin ang isa pang teorama tungkol sa ranggo ng matris.

Teorama.Ang maximum na bilang ng mga linearly independent na row ng isang matrix ay katumbas ng maximum na bilang ng mga linearly independent na column nito at katumbas ng ranggo ng matrix na ito.

Patunay. Hayaan ang ranggo ng matrix A= ay katumbas ng r. Pagkatapos ay alinman sa kanyang k ang mga base row ay linearly independent, kung hindi, ang batayang minor ay magiging zero. Sa kabilang banda, anuman r Ang +1 o higit pang mga row ay linearly dependent. Kung ipagpalagay na ang kabaligtaran, maaari kaming makahanap ng isang menor de edad ng order na mas malaki kaysa sa r , naiiba sa zero sa pamamagitan ng Corollary 2 ng nakaraang lemma. Ang huli ay sumasalungat sa katotohanan na ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na menor de edad ay katumbas ng r . Lahat ng napatunayan para sa mga hilera ay totoo rin para sa mga hanay.

Sa konklusyon, magbabalangkas kami ng isa pang paraan para sa paghahanap ng ranggo ng isang matrix. Ang ranggo ng isang matrix ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng paghahanap ng isang menor de edad ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod na iba sa zero.

Sa unang tingin, ito ay nangangailangan ng pagkalkula ng isang may hangganan, ngunit marahil napakalaking bilang ng mga menor de edad ng matrix na ito.

Ang sumusunod na teorama ay nagbibigay-daan, gayunpaman, upang ipakilala ang mga makabuluhang pagpapasimple dito.

Teorama.Kung ang menor de edad ng matrix A ay hindi zero, at ang lahat ng menor de edad na nasa hangganan nito ay katumbas ng zero, kung gayon ang ranggo ng matrix ay katumbas ng r.

Patunay. Ito ay sapat na upang ipakita na ang anumang subsystem ng mga hilera ng matrix ay may S>r ay linearly dependent sa ilalim ng mga kondisyon ng theorem (ito ay susundan mula dito na ang r ay ang maximum na bilang ng mga linearly independent na row ng matrix o alinman sa mga minor nito ng order na mas malaki kaysa sa k ay katumbas ng zero).

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaang maging linearly independent ang mga row. Sa pamamagitan ng lemma tungkol sa hangganan ng mga menor de edad, ang bawat isa sa kanila ay linearly na ipahahayag sa mga tuntunin ng mga linya na naglalaman ng menor de edad at kung saan, dahil sa katotohanan na ang mga ito ay hindi zero, ay linearly independent:

(3.3.7)

Isaalang-alang ang matrix K mula sa mga coefficient ng mga linear na expression (3.3.7):

.

Ang mga hilera ng matrix na ito ay ilalarawan ng . Sila ay magiging linearly na umaasa, dahil ang ranggo ng matrix K, i.e. ang maximum na bilang ng mga linearly independent na linya nito ay hindi lalampas r< S . Samakatuwid, may mga numero, hindi lahat ay katumbas ng zero, iyon

Lumipat tayo sa pagkakapantay-pantay ng mga bahagi

(3.3.8)

Ngayon isaalang-alang ang sumusunod na linear na kumbinasyon:

o

Hayaan

Mga column ng matrix ng dimensyon. Linear na kumbinasyon ng mga column ng matrix tinatawag na column matrix, na may ilang tunay o kumplikadong mga numero na tinatawag linear na kumbinasyon coefficients. Kung sa isang linear na kumbinasyon ay kinukuha namin ang lahat ng mga coefficient na katumbas ng zero, kung gayon ang linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero column matrix.

Tinatawag ang mga column ng matrix linearly independent , kung ang kanilang linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero lamang kapag ang lahat ng mga coefficient ng linear na kumbinasyon ay katumbas ng zero. Tinatawag ang mga column ng matrix nakadepende sa linear , kung mayroong isang hanay ng mga numero kung saan hindi bababa sa isa ang hindi zero, at ang linear na kumbinasyon ng mga column na may mga coefficient na ito ay katumbas ng zero

Katulad nito, maaaring ibigay ang mga kahulugan ng linear dependence at linear independence ng matrix row. Sa kung ano ang sumusunod, ang lahat ng theorems ay binuo para sa mga haligi ng matrix.

Teorama 5

Kung mayroong zero sa mga column ng matrix, ang mga column ng matrix ay linearly na umaasa.

Patunay. Isaalang-alang ang isang linear na kumbinasyon kung saan ang lahat ng coefficient ay katumbas ng zero para sa lahat ng hindi zero na column at isa para sa lahat ng zero na column. Ito ay katumbas ng zero, at kabilang sa mga coefficient ng linear na kumbinasyon ay mayroong isang nonzero coefficient. Samakatuwid, ang mga column ng matrix ay linearly dependent.

Teorama 6

Kung mga hanay ng matrix ay linearly dependent, iyon lang linearly dependent ang mga column ng matrix.

Patunay. Para sa katiyakan, ipagpalagay natin na ang mga unang hanay ng matrix nakadepende sa linear. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang linear dependence, mayroong isang hanay ng mga numero kung saan hindi bababa sa isa ang nonzero, at ang linear na kumbinasyon ng mga column na may mga coefficient na ito ay katumbas ng zero

Gumawa tayo ng linear na kumbinasyon ng lahat ng column ng matrix, kasama ang mga natitirang column na may zero coefficients

Pero . Samakatuwid, ang lahat ng mga column ng matrix ay linearly dependent.

Bunga. Sa mga linearly independent na matrix column, alinman ay linearly independent. (Ang pahayag na ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng kontradiksyon.)

Teorama 7

Upang maging linearly dependent ang mga column ng isang matrix, kinakailangan at sapat na kahit isang column ng matrix ay maging linear na kumbinasyon ng iba.

Patunay.

Pangangailangan. Hayaang maging linearly dependent ang mga column ng matrix, ibig sabihin, mayroong isang set ng mga numero kung saan kahit isa ay naiiba sa zero, at ang linear na kumbinasyon ng mga column na may mga coefficient na ito ay katumbas ng zero

Ipagpalagay natin para sa katiyakan na . Pagkatapos iyon ay, ang unang hanay ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

Kasapatan. Hayaan ang hindi bababa sa isang column ng matrix ay isang linear na kumbinasyon ng iba, halimbawa, , kung saan ang ilang mga numero.

Pagkatapos , ibig sabihin, ang linear na kumbinasyon ng mga column ay katumbas ng zero, at kabilang sa mga numero sa linear na kumbinasyon kahit isa (at ) ay iba sa zero.

Hayaang ang ranggo ng matris ay . Anumang non-zero minor ng order 1 ay tinatawag basic . Tinatawag ang mga row at column sa intersection kung saan mayroong batayang minor basic .

Ang mga konsepto ng linear dependence at linear independence ay pantay na tinukoy para sa mga row at column. Samakatuwid, ang mga katangiang nauugnay sa mga konseptong ito na binuo para sa mga column ay, siyempre, wasto din para sa mga row.

1. Kung ang isang column system ay may kasamang zero column, ito ay linearly dependent.

2. Kung ang isang sistema ng hanay ay may dalawang pantay na hanay, ito ay linearly na umaasa.

3. Kung ang isang sistema ng hanay ay may dalawang proporsyonal na hanay, ito ay linearly na umaasa.

4. Ang isang sistema ng mga column ay linearly dependent kung at kung hindi bababa sa isa sa mga column ay linear na kumbinasyon ng iba.

5. Anumang mga column na kasama sa isang linearly independent system ay bumubuo ng isang linearly independent subsystem.

6. Ang isang column system na naglalaman ng isang linearly dependent subsystem ay linearly dependent.

7. Kung ang isang sistema ng mga haligi ay linearly na independyente, at pagkatapos magdagdag ng isang haligi dito, ito ay lumalabas na linearly na umaasa, kung gayon ang haligi ay maaaring mapalawak sa mga haligi, at, bukod dito, sa isang natatanging paraan, i.e. ang mga koepisyent ng pagpapalawak ay maaaring matagpuan nang kakaiba.

Patunayan natin, halimbawa, ang huling pag-aari. Dahil ang sistema ng mga column ay linearly dependent, may mga numero na hindi lahat ay katumbas ng 0, na

Sa pagkakapantay-pantay na ito. Sa katunayan, kung , pagkatapos

Nangangahulugan ito na ang isang nontrivial linear na kumbinasyon ng mga column ay katumbas ng zero column, na sumasalungat sa linear na kalayaan ng system. Samakatuwid, at pagkatapos, i.e. ang column ay isang linear na kumbinasyon ng mga column. Ito ay nananatiling ipakita ang pagiging natatangi ng naturang representasyon. Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaang magkaroon ng dalawang pagpapalawak at , at hindi lahat ng koepisyent ng mga pagpapalawak ay pantay-pantay sa bawat isa (halimbawa, ). Pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay

Nakukuha namin ang (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

sunud-sunod, ang linear na kumbinasyon ng mga column ay katumbas ng zero column. Dahil hindi lahat ng mga coefficient nito ay katumbas ng zero (hindi bababa sa), ang kumbinasyong ito ay hindi mahalaga, na sumasalungat sa kondisyon ng linear na kalayaan ng mga haligi. Ang nagresultang kontradiksyon ay nagpapatunay sa pagiging natatangi ng pagpapalawak.

Halimbawa 3.2. Patunayan na ang dalawang non-zero na column at ay linearly na umaasa kung at kung proporsyonal lang ang mga ito, i.e. .

Solusyon. Sa katunayan, kung ang mga column ay linearly dependent, may mga numero na hindi katumbas ng zero sa parehong oras, tulad na . At sa pagkakapantay-pantay na ito. Sa katunayan, sa pag-aakalang , nakakakuha tayo ng kontradiksyon, dahil hindi zero din ang column. Ibig sabihin, . Samakatuwid, mayroong isang bilang na . Ang pangangailangan ay napatunayan.

Sa kabaligtaran, kung , pagkatapos . Nakakuha kami ng di-trivial na linear na kumbinasyon ng mga column na katumbas ng zero column. Nangangahulugan ito na ang mga column ay linearly dependent.

Halimbawa 3.3. Isaalang-alang ang lahat ng uri ng mga sistemang nabuo mula sa mga column

Suriin ang bawat sistema para sa linear dependence.
Solusyon. Isaalang-alang natin ang limang system na naglalaman ng tig-iisang column. Ayon sa talata 1 ng Remarks 3.1: ang mga system ay linearly independent, at ang isang system na binubuo ng isang zero column ay linearly dependent.

Isaalang-alang natin ang mga system na naglalaman ng dalawang column:

– ang bawat isa sa apat na sistema ay linearly dependent, dahil naglalaman ito ng zero column (property 1);

– linearly dependent ang system, dahil proporsyonal ang mga column (property 3): ;

– ang bawat isa sa limang sistema ay linearly independent, dahil ang mga column ay hindi proporsyonal (tingnan ang pahayag ng halimbawa 3.2).

Isaalang-alang ang mga system na naglalaman ng tatlong column:

– bawat isa sa anim na sistema ay linearly na umaasa, dahil naglalaman ito ng zero column (property 1);

– ang mga system ay linearly dependent, dahil naglalaman ang mga ito ng linearly dependent subsystem (property 6);

– mga system at linearly dependent, dahil ang huling column ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng iba (property 4): at, ayon sa pagkakabanggit.

Sa wakas, ang mga sistema ng apat o limang column ay linearly na umaasa (sa pamamagitan ng property 6).

Ranggo ng matrix

Sa seksyong ito, isasaalang-alang namin ang isa pang mahalagang katangiang numero ng isang matrix, na nauugnay sa lawak kung saan nakadepende ang mga hilera (column) nito sa isa't isa.

Kahulugan 14.10 Hayaan ang isang matrix ng mga sukat at isang numero na hindi lalampas sa pinakamaliit sa mga numero at ibigay: . Piliin natin nang random ang mga row at column ng matrix (maaaring iba ang mga numero ng row sa mga numero ng column). Ang determinant ng isang matrix na binubuo ng mga elemento sa intersection ng mga napiling row at column ay tinatawag na matrix order minor.

Halimbawa 14.9 Hayaan .

Ang first-order minor ay anumang elemento ng matrix. Kaya 2, , ay mga menor de edad ng unang order.

Pangalawang order menor de edad:

1. kumuha ng row 1, 2, column 1, 2, nakakakuha tayo ng minor ;

2. kumuha ng row 1, 3, column 2, 4, nakakakuha tayo ng minor ;

3. kunin ang mga row 2, 3, columns 1, 4, nakakakuha tayo ng minor

Mga menor de edad sa ikatlong order:

ang mga row dito ay maaari lamang piliin sa isang paraan,

1. kunin ang column 1, 3, 4, nakakakuha tayo ng minor ;

2. kunin ang column 1, 2, 3, nakakakuha tayo ng minor .

Panukala 14.23 Kung ang lahat ng menor de edad ng isang order matrix ay katumbas ng zero, ang lahat ng menor de edad ng order , kung mayroon sila, ay katumbas din ng zero.

Patunay. Kumuha tayo ng di-makatwirang menor de edad ng pagkakasunud-sunod. Ito ang determinant ng order matrix. Hatiin natin ito sa unang linya. Pagkatapos sa bawat termino ng pagpapalawak, ang isa sa mga kadahilanan ay magiging isang menor de edad ng pagkakasunud-sunod ng orihinal na matrix. Ayon sa kundisyon, ang mga order na menor de edad ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang menor de edad ng order ay magiging katumbas ng zero.

Kahulugan 14.11 Ang ranggo ng isang matrix ay ang pinakamalaking pagkakasunud-sunod ng mga menor de edad ng matrix maliban sa zero. Ang ranggo ng isang zero matrix ay itinuturing na zero.

Walang solong, karaniwang pagtatalaga para sa ranggo ng matrix. Kasunod ng aklat-aralin, ipapakita namin ito.

Halimbawa 14.10 Ang matrix ng Halimbawa 14.9 ay may ranggong 3 dahil mayroong ikatlong-order na menor maliban sa zero, ngunit walang pang-apat na order na menor de edad.

Ranggo ng matrix ay katumbas ng 1, dahil mayroong isang non-zero minor ng unang order (matrix element), at lahat ng menor sa pangalawang order ay katumbas ng zero.

Ang rank ng isang non-singular square matrix of order ay katumbas ng , dahil ang determinant nito ay minor ng order at hindi-zero para sa non-singular na matrix.

Panukala 14.24 Kapag ang isang matrix ay inilipat, ang ranggo nito ay hindi nagbabago, iyon ay, .

Patunay. Ang transposed minor ng orihinal na matrix ay magiging minor ng transposed matrix, at vice versa, anumang minor ay isang transposed minor ng orihinal na matrix. Kapag nag-transpose, hindi nagbabago ang determinant (minor) (Proposisyon 14.6). Samakatuwid, kung ang lahat ng mga menor de edad ng isang order sa orihinal na matrix ay katumbas ng zero, kung gayon ang lahat ng mga menor de edad ng parehong pagkakasunud-sunod sa ay katumbas din ng zero. Kung ang menor ng pagkakasunud-sunod sa orihinal na matrix ay naiiba sa zero, kung gayon ang b ay isang menor de edad ng parehong pagkakasunud-sunod, naiiba sa zero. Kaya naman, .

Kahulugan 14.12 Hayaang ang ranggo ng matris ay . Kung gayon ang anumang minor ng order , maliban sa zero, ay tinatawag na isang batayang minor.

Halimbawa 14.11 Hayaan . Ang determinant ng matrix ay zero, dahil ang ikatlong hilera ay katumbas ng kabuuan ng unang dalawa. Ang pangalawang order minor, na matatagpuan sa unang dalawang row at unang dalawang column, ay katumbas ng . Dahil dito, ang ranggo ng matrix ay dalawa, at ang itinuturing na menor de edad ay basic.

Ang pangunahing menor de edad ay isa ring menor de edad na matatagpuan, halimbawa, sa una at ikatlong hanay, una at ikatlong hanay: . Magiging basic ang minor sa pangalawa at pangatlong hanay, una at pangatlong column: .

Ang menor sa una at ikalawang hanay at ang pangalawa at pangatlong column ay zero at samakatuwid ay hindi magiging batayan. Ang mambabasa ay maaaring independiyenteng suriin kung alin ang iba pang mga pangalawang-order na menor de edad ang magiging basic at alin ang hindi.

Dahil ang mga column (mga hilera) ng isang matrix ay maaaring idagdag, i-multiply sa mga numero, at nabuo ang mga linear na kumbinasyon, posibleng ipakilala ang mga kahulugan ng linear dependence at linear na kalayaan ng isang sistema ng mga column (row) ng isang matrix. Ang mga kahulugang ito ay katulad ng parehong mga kahulugan 10.14, 10.15 para sa mga vector.

Kahulugan 14.13 Ang isang sistema ng mga column (mga hilera) ay tinatawag na linearly dependent kung mayroong ganoong set ng mga coefficient, kahit isa man lang ay iba sa zero, na ang linear na kumbinasyon ng mga column (row) na may mga coefficient na ito ay magiging katumbas ng zero.

Kahulugan 14.14 Ang isang sistema ng mga column (mga row) ay linearly independent kung ang pagkakapantay-pantay sa zero ng isang linear na kumbinasyon ng mga column na ito (mga row) ay nagpapahiwatig na ang lahat ng coefficient ng linear na kumbinasyong ito ay katumbas ng zero.

Ang sumusunod na proposisyon, katulad ng Proposisyon 10.6, ay totoo rin.

Pangungusap 14.25 Ang isang sistema ng mga column (mga row) ay linearly na nakadepende kung at kung ang isa sa mga column (isa sa mga row) ay linear na kumbinasyon ng iba pang column (row) ng system na ito.

Bumuo tayo ng isang teorama na tinatawag batayang minor theorem.

Teorama 14.2 Ang anumang matrix column ay isang linear na kumbinasyon ng mga column na dumadaan sa batayang minor.

Ang patunay ay matatagpuan sa mga linear algebra textbook, halimbawa, sa,.

Panukala 14.26 Ang ranggo ng isang matrix ay katumbas ng maximum na bilang ng mga column nito na bumubuo ng isang linearly independent system.

Patunay. Hayaang ang ranggo ng matris ay . Kunin natin ang mga column na dumadaan sa batayang minor. Ipagpalagay natin na ang mga column na ito ay bumubuo ng isang linearly dependent system. Pagkatapos ang isa sa mga column ay isang linear na kumbinasyon ng iba. Samakatuwid, sa isang batayang minor, ang isang column ay magiging linear na kumbinasyon ng iba pang column. Sa pamamagitan ng Proposisyon 14.15 at 14.18, ang batayang minor na ito ay dapat na katumbas ng zero, na sumasalungat sa kahulugan ng isang batayang minor. Samakatuwid, ang pagpapalagay na ang mga column na dumadaan sa batayang minor ay linearly dependent ay hindi totoo. Kaya, ang maximum na bilang ng mga column na bumubuo ng isang linearly independent system ay mas malaki sa o katumbas ng .

Ipagpalagay natin na ang mga column ay bumubuo ng isang linearly independent system. Gumawa tayo ng matrix sa kanila. Ang lahat ng matrix minors ay matrix minors. Samakatuwid, ang batayang minor ng matrix ay may order na hindi hihigit sa . Ayon sa base minor theorem, ang isang column na hindi dumadaan sa batayang minor ng isang matrix ay isang linear na kumbinasyon ng mga column na dumadaan sa batayang minor, iyon ay, ang matrix column ay bumubuo ng isang linearly dependent system. Taliwas ito sa pagpili ng mga column na bumubuo sa matrix. Dahil dito, ang maximum na bilang ng mga column na bumubuo ng isang linearly independent system ay hindi maaaring mas malaki sa . Nangangahulugan ito na ito ay katumbas ng kung ano ang nakasaad.

Panukala 14.27 Ang ranggo ng isang matrix ay katumbas ng maximum na bilang ng mga hilera nito na bumubuo ng isang linearly independent system.

Patunay. Ayon sa Proposisyon 14.24, ang ranggo ng matrix ay hindi nagbabago sa panahon ng transposisyon. Ang mga hilera ng matrix ay nagiging mga haligi nito. Ang maximum na bilang ng mga bagong column ng transposed matrix (dating row ng orihinal) na bumubuo ng linearly independent system ay katumbas ng ranggo ng matrix.

Panukala 14.28 Kung ang determinant ng isang matrix ay zero, kung gayon ang isa sa mga haligi nito (isa sa mga hilera) ay isang linear na kumbinasyon ng natitirang mga haligi (mga hilera).

Patunay. Hayaang ang matrix order ay katumbas ng . Ang determinant ay ang tanging menor de edad ng isang parisukat na matrix na may kaayusan. Dahil ito ay katumbas ng zero, kung gayon . Dahil dito, ang isang sistema ng mga hanay (mga hilera) ay linearly na umaasa, iyon ay, ang isa sa mga hanay (isa sa mga hilera) ay isang linear na kumbinasyon ng iba.

Ang mga resulta ng Proposisyon 14.15, 14.18 at 14.28 ay nagbibigay ng sumusunod na teorama.

Teorama 14.3 Ang determinant ng isang matrix ay katumbas ng zero kung at kung ang isa sa mga haligi nito (isa sa mga hilera) ay isang linear na kumbinasyon ng natitirang mga haligi (mga hilera).

Ang paghahanap ng ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng pagkalkula ng lahat ng mga menor de edad nito ay nangangailangan ng masyadong maraming computational work. (Maaaring tingnan ng mambabasa na mayroong 36 second-order na menor de edad sa isang fourth-order square matrix.) Samakatuwid, ibang algorithm ang ginagamit upang mahanap ang ranggo. Upang ilarawan ito, kakailanganin ng ilang karagdagang impormasyon.

Kahulugan 14.15 Tawagan natin ang mga sumusunod na aksyon sa mga ito ng elementarya na pagbabago ng mga matrice:

1) muling pagsasaayos ng mga hilera o haligi;
2) pagpaparami ng row o column sa isang numero maliban sa zero;
3) pagdaragdag sa isa sa mga row ng isa pang row na pinarami ng numero o pagdaragdag sa isa sa mga column ng isa pang column na pinarami ng numero.

Panukala 14.29 Sa panahon ng mga pagbabagong elementarya, ang ranggo ng matrix ay hindi nagbabago.

Patunay. Hayaang ang ranggo ng matrix ay katumbas ng , - ang matrix na nagreresulta mula sa pagsasagawa ng elementarya na pagbabago.

Isaalang-alang natin ang permutation ng mga string. Hayaan ang isang menor de edad ng matrix, pagkatapos ang matrix ay may isang menor na maaaring magkatugma o naiiba mula dito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. At sa kabaligtaran, ang anumang matrix minor ay maaaring iugnay sa isang matrix minor na maaaring magkatugma o naiiba mula dito sa row order. Samakatuwid, mula sa katotohanan na ang lahat ng mga menor de edad ng isang order sa isang matrix ay katumbas ng zero, ito ay sumusunod na sa matrix lahat ng mga menor de edad ng order na ito ay katumbas din ng zero. At dahil ang matrix ay may minor of order , iba sa zero, ang matrix ay mayroon ding minor of order, iba sa zero, iyon ay .

Isaalang-alang ang pagpaparami ng string sa isang numero maliban sa zero. Ang isang menor mula sa isang matrix ay tumutugma sa isang menor mula sa isang matrix na maaaring magkatugma o naiiba mula dito sa isang hilera lamang, na nakukuha mula sa menor na hilera sa pamamagitan ng pagpaparami ng isang numero maliban sa zero. Sa huling kaso. Sa lahat ng mga kaso, alinman at ay sabay-sabay na katumbas ng zero, o sa parehong oras ay naiiba mula sa zero. Kaya naman, .