Finite element method sa mathcad. May hangganan na paraan ng elemento. Mga coordinate ng ke nodes

Narito ang isang pagtatanghal ng isang pinasimple na algorithm para sa paglutas ng isang problema sa eroplano ng mga mekanika ng isang deformable solid gamit ang finite element method sa Mathcad package, na inilathala sa aking artikulo sa Exponenta.Pro magazine (No. 3, 2003), pati na rin ang sa forum ng Exponenta.ru. Itinakda ko ang petsa ng post nang naaayon.

Isinasaalang-alang namin ang pinakasimpleng at sa parehong oras ang pinakakaraniwang opsyon sa paghahati ng lugar sa mga elementong tatsulok. (Sa daan, ginabayan ako ng algorithm na nakabalangkas sa aklat Fadeev A.B. May hangganan na paraan ng elemento sa geomechanics. - M.: Nedra, 1987).

1. Paghahanda ng paunang datos.

Dahil kinakailangan upang tukuyin ang impormasyon tungkol sa bawat isa sa mga elemento at node ng computational domain, ito ay pinaka-maginhawang gamitin ang Excel spreadsheet editor upang maghanda ng data, lalo na dahil ang Mathcad ay nagbibigay ng kakayahang mag-import ng data mula sa .prn format na mga file. Dalawang file ang nilikha sa Excel na may mga talahanayan na naglalaman ng impormasyon tungkol sa mga elemento at node. Ang istraktura ng mga talahanayan at ang mga sukat ng mga dami sa kanila ay ipinapakita sa Fig. 1 at 2. Sa talahanayan ng data ng node mayroong dalawang hanay ng mga espesyal na variable na Px at Ru, na itinalaga ang tanda ng pag-aayos ng paggalaw sa kahabaan ng 0x o 0y axis, ayon sa pagkakabanggit (kumukuha ng halaga 1 kung zero na paggalaw ay tinukoy at 0 kung ang kilusan ay hindi kilala).

kanin. 1. Structure ng source data table na may impormasyon tungkol sa mga elemento.

kanin. 2. Structure ng source data table na may impormasyon tungkol sa mga node at tinukoy na nodal forces at displacements.

Upang i-save ang mga talahanayan sa kinakailangang format, piliin ang File->I-save Bilang..., ipahiwatig ang pangalan ng file at i-type ang naaangkop na mga patlang - Rich text (tinatanggalan ng space). Pagkatapos i-click ang pindutang I-save, i-click ang Oo sa lalabas na window. Kaya, nakakakuha kami ng mga file na may mga pangalan, halimbawa, EL_1.prn at KN_1.prn.

2. Naglo-load ng data sa Mathcad. Paghahanda ng mga variable.

Para sa kaginhawahan ng pagnunumero ng mga elemento ng array, sa ibang pagkakataon sa Mathcad book ang index ng mga unang elemento sa arrays ay nakatakdang katumbas ng isa:

Upang makakuha ng data mula sa mga file sa Mathcad, gamitin ang READPRN("filename.prn") function (maaari mong tukuyin ang buong path sa file, kung hindi man ang kasalukuyang folder ay ginagamit, ang path kung saan makikita gamit ang CWD function).

Ipagpalagay natin na ang mga naunang ginawang file ay matatagpuan sa DATA folder sa drive D: Ang kanilang mga nilalaman ay nakatalaga sa DEL at DKN matrice:

Magtalaga tayo ng mga halaga mula sa mga matrice hanggang sa kaukulang mga variable:

Upang suriin ang kawastuhan ng paunang data at gamitin ito sa karagdagang mga kalkulasyon, kinakailangan upang makabuo ng isang vector ng mga puwersa ng nodal na isinasaalang-alang ang pagkilos ng mga pwersang masa, isang vector ng mga tinukoy na displacement, mga palatandaan ng pag-aayos ng mga displacement, at kalkulahin ang mga lugar. ng mga elemento.

Ito ay maginhawa upang itakda ang lugar ng nth elemento bilang isang function ng gumagamit (nilista ng vector V ang mga pandaigdigang bilang ng mga node ng elemento):

Kabuuang lugar ng lugar ng pagkalkula:

Ang bigat ng mga elemento ay na-convert sa mass forces, pantay para sa bawat isa sa kanilang mga node:

Ang mga puwersa ng nodal, mga displacement at ang kanilang mga katangian ay inilalagay sa mga vector sa magkakasunod na pares ng mga halaga: mga vertical na bahagi sa kahit na mga posisyon, pahalang na mga bahagi sa mga kakaiba:

3. Pagkalkula ng system stiffness matrix.

Ang system stiffness matrix ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng element stiffness matrices [K], na kung saan ay kinakalkula gamit ang sumusunod na expression

Kung saan ang Delta ay ang lugar ng elemento; [B] - matrix ng mga derivatives ng mga function ng hugis (function ng impluwensya ng mga node), [D] - matrix ng mga relasyon sa stress at strain:

Ang lugar ng elemento ay kinakalkula ng dating tinukoy na function ng user A(n) . Maginhawa din na tukuyin ang matrix [D] bilang isang function ng user; para sa mga kondisyon ng pagpapapangit ng eroplano ito ay magkakaroon ng anyo

Ang Matrix [B] ay nag-uugnay sa mga paggalaw ng mga node ng isang elemento kasama ang pagpapapangit nito:

(Ang mga expression para sa mga function ng form na Nj, Nk ay nakuha sa pamamagitan ng pabilog na pagpapalit ng mga indeks sa order i, j, k),

i, j, k - mga bilang ng mga node ng elemento, xi,j,k, yi,j,k - mga coordinate ng mga node.

Pagkatapos ng mga simpleng pagbabago, ang matrix [B] ay maaaring katawanin bilang

Katawanin natin ang matrix [B] bilang isang function ng user, na unang tinukoy ang isang auxiliary matrix P, na tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng permutation ng mga indeks sa mga function ng form:

Ang system stiffness matrix ay kinakalkula sa sumusunod na bloke ng programa:

(ang kumbinasyon ng mga stiffness matrice ng mga elemento sa MLS ay isinasagawa ayon sa sumusunod na panuntunan: ang miyembro ng MHS na Kci,j ay ang kabuuan ng mga terminong Ki,j mula sa stiffness matrice ng lahat ng elemento na katabi ng node na may i -ika na antas ng kalayaan).

4. Solusyon ng sistema ng mga equation

Pagkatapos nito, ang i-th column at i-th row ng MLS, gayundin ang i-th unknown term sa force vector ay maaaring tanggalin. Upang alisin ang mga row at column mula sa MLS, gumagamit kami ng mga submatrice na tinukoy ng mga function ng user; M11 - tinatanggal ang unang hilera at haligi, Mnn - ang huli, MI-IV - mga intermediate.

Kaya, ito ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng linear algebraic equation (SLAE). Sa kasong ito, ang mga kakayahan ng sistema ng Mathcad ay maaaring lubos na gawing simple ang gawain. Para sa layuning ito, ang lsolve(M,V) function ay ibinigay upang mahanap ang solution vector ng SLAE, ang mga coefficient nito ay nakapaloob sa array M, at ang mga free terms ay nakapaloob sa vector V.

Ang software module sa kaliwa ay nagbabalik ng tinukoy na mga paggalaw ng nodal, na dati nang inalis dito, "sa kanilang mga lugar" sa pangkalahatang vector. Ang pangalawang bloke ay lumilikha ng dalawang vector na may mga bahagi ng ehe ng mga displacement ng nodal.

5. Paghahanap ng axial strains at stresses sa mga elemento

Alam ang nakuha na mga displacement ng nodal, posibleng kalkulahin ang deformation at stress para sa bawat elemento gamit ang mga relasyon na binanggit sa talata 3 (sigma at epsilon):

Sa bawat elemento, ang mga pangunahing stress at ang anggulo sa pagitan ng 0y axis at ang vector ng pinakamataas na pangunahing stress ay kinakalkula din. Upang maiwasan ang paghahati sa pamamagitan ng zero, ginagamit ang isang conditional expression sa linya ng pagkalkula ng anggulo, na, kung ang expression sa denominator ng fraction ay katumbas ng zero, itinatalaga ang halaga sa anggulo.
.

6. Pag-save ng mga resulta.

Ang pagkalkula gamit ang pamamaraan sa itaas ay tumatagal ng medyo maikling oras (halimbawa, sa isang PC na may isang Pentium-IV-1300 MHz processor; 128 MB RAM, ang oras ng pagkalkula para sa isang lugar na 119 elemento 95 node ay ~3 segundo), gayunpaman, ipinapayong i-save ang mga resulta para sa pagsusuri sa ibang pagkakataon.

Upang gawin ito, bubuo kami ng mga matrice na nagpapakilala sa estado ng stress-strain at field ng displacement, na nagsusulat din sa kanila ng mga coordinate ng mga sentro ng mga elemento at node:

(upang mahanap ang mga sentro ng mga elemento, ginamit ang mean() function, ibinabalik ang average na halaga ng mga elemento ng vector)

Upang magsulat ng data sa isang file, ang Mathcad ay nagbibigay ng WRITEPRN("filename.prn") function; Bago ito gamitin, maaari mong paunang itakda ang bilang ng mga decimal na lugar sa PRNPRECISION variable at ang lapad ng column sa PRNCOLWIDTH variable file:

kanin. 3. Ang scheme ng disenyo at ang representasyon ng may hangganang elemento nito.

Sa kasong ito, kapag nahahati sa mga triangular na elemento, ang resulta ay isang network ng 95 node at 119 na elemento. Ang pagnunumero ay arbitraryo.

Ang lahat ng mga uri ng mga load na kumikilos sa lugar na pinag-aaralan at bumubuo ng isang tiyak na estado ng stress-strain dito ay nababawasan sa statically equivalent forces na inilapat sa mga node.

Dahil sa simetrya, ang mga kundisyon ng hangganan para sa mga displacement ay ang mga sumusunod: ang mga pahalang na bahagi sa kahabaan ng patayo (x=0) at patayong mga bahagi sa pahalang (y=0) na mga gilid ng parisukat ay katumbas ng zero. Ang mga paggalaw ng lahat ng nodal point sa loob ng array, sa excavation contour at sa gilid ng lugar ay hindi alam.

Ang mga resulta ng pagkalkula ay maaaring iharap sa anyo ng mga diagram (Fig. 4), stress o displacement isolines (Fig. 5, a), mga antas ng ibabaw (Larawan 5, b). Ang pag-save at pagpapakita ng mga resulta ng pagkalkula sa anyo ng mga vectors (matrices) ay nagbibigay-daan sa iyo na gawin ito nang walang kahirapan.

kanin. 4. Mga diagram ng stress sa kahabaan ng pahalang na axis (upang pakinisin ang mga halaga, ang mga halaga ng stress ay binabawasan sa mga sentro ng mga parihaba na binubuo ng mga katabing tatsulok).

kanin. 5. Mga halimbawa ng visualization ng mga resulta ng pagkalkula.

Panitikan:

Fadeev A.B. May hangganan na paraan ng elemento sa geomechanics. – M.: Nedra, 1987. – 221 p.
Erzhanov Zh.S., Karimbaev T.D. May hangganan na paraan ng elemento sa mga problema sa mekanika ng bato. – Alma-Ata: Agham, 1975. – 239 p.
Zinkevich O. Finite element method sa teknolohiya: Per. mula sa Ingles – M.: Mir, 1975. - 542 p.
Norrie D., de Vries J.. Panimula sa paraan ng finite element: Transl. mula sa Ingles – M.: Mir, 1981. – 304 p.
Carlos A. Felippa. Panimula sa Finite Element Methods. – Department of Aerospace Engineering Sciences at Center for Aerospace Structures University of Colorado, Boulder. – 2001.
Kyran D. Mish, Leonard R. Herrmann, LaDawn Haws. Mga Finite Element Procedure sa Applied Mechanics (natagpuan ito sa isang lugar sa Internet).
Zenkevich O., Morgan K. Mga may hangganang elemento at approximation. – M.: Mir, 1986. – 318 p.
Zenkevich O., Chang I. Finite element method ng theory of structures at sa continuum mechanics. – M.: Nedra, 1974. – 240 p.

Mga link:

http://www.fea.ru/ ...Ang website ng FEA.RU ay nakatuon sa mga kasalukuyang problema ng finite element mechanics at computer-aided engineering (CAE), FEM at mga kalkulasyon ng lakas;
http://www.cae.ru/ forum ng CAD at CAE system, kabilang ang teoretikal at inilapat na aspeto ng pagmomodelo ng FE at paglutas ng mga problema sa mekanika ng isang deformable na solid. Mechanics ng mga istruktura, makina, istruktura at instalasyon;
- Napakahusay na katalogo ng mga mapagkukunang nauugnay sa FEM;
http://www.isib.cnr.it/~secchi/EdMultifield/ - Website ng programa para sa mga kalkulasyon ng finite element na may magandang paglalarawan ng pamamaraan.

Mayroong isang tonelada ng mga programa na nagkalkula gamit ang FEM. Nang hindi naglalagay ng mga detalye kung bakit napakahusay at malawak na naaangkop ang pamamaraan, tingnan natin ang proseso ng pagkalkula mula sa loob. Tila ang lahat ay simple, bakit hindi subukan na mag-ipon ng iyong sariling bike, i.e. gumawa ng sarili mong programa. Sa unang yugto, maaari mong i-debug, subukan at i-configure ang pagkalkula sa MathCAD. Sa ibang pagkakataon, ang na-debug na algorithm ng pagkalkula ay maaaring muling isulat sa C# para sa kadalian ng pagpasok ng data at pagsusuri ng mga resulta, pagdaragdag ng kaunting mga graphic.

Saan magsisimula? Dahil ang aking pandaigdigang gawain ay pagmomodelo ng lupa, sisimulan ko ang mga kalkulasyon na may mga problema sa teorya ng pagkalastiko.

Narito ang isang halimbawa ng problema na kailangang suriin. Nababanat na tatsulok na pinakasimpleng FE. Ang circuit ay pinagsama-sama at nalutas sa programa ng FEMmodels 2.0. Ulitin natin ito sa MathCAD.

discretization ng rehiyon,

Kahulugan ng approximating function para sa isang elemento.

Pagguhit ng mga equation na naglalarawan sa buong sistema.

Paglutas ng mga equation

Magsisimula ako ng kaunti hindi sa paghati sa lugar, ngunit sa pangalawang punto - pagtukoy ng mga function para sa may hangganan na elemento. Ang pinakasimpleng finite element para sa pagkalkula ng isang plane problem sa elasticity theory ay isang tatsulok na may linear approximation function:

kanin. 1. Tinatayang function at pagkuha ng mga coefficient para dito.
Dahil mayroon tayong dalawang antas ng kalayaan sa bawat node (sa X at Y), idinagdag ang isa pang katulad na function.
Ang kakanyahan ng lahat ng mga manipulasyon ay upang makakuha ng isang relasyon sa pagitan ng mga paggalaw ng mga node ng elemento at ang mga deformation na nangyayari dito. Dahil mayroon kaming 6 na bahagi ng displacement at 3 deformation, ang koneksyon ay isinasagawa sa pamamagitan ng ilang matrix B dimensyon 3x6 (matrix ng mga derivatives ng mga function ng hugis). Ito ang unang matrix para sa pagbuo ng elemento.
Kailangan din natin ng matrix na nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga strain at stress (matrix D). Para sa isang nababanat na katawan, ang pag-asa na ito ay isang pangkalahatang batas ni Hooke.

Ang isa pang maliit na paglihis mula sa paksa, ang matrix D para sa kaso ng estado ng stress ng eroplano ng ibang uri. Kapag kailangan mong kalkulahin, halimbawa, ang base ng isang dike para sa isang riles ng tren o ang base ng isang pinahabang gusali, maaari mo itong isaalang-alang na isang problema sa eroplano, dahil ang mga deformation sa kahabaan ng embankment o gusali ay maaaring ipagpalagay na zero. Upang makuha ang D ay tinutumbasan natin ang e z =0. Kung isasaalang-alang natin ang dingding ng isang gusali, kung saan ang mga puwersa ay kumikilos lamang sa eroplano ng dingding, maaari rin nating isaalang-alang ito na isang problema sa eroplano, magkakaroon lamang ng mga deformation mula sa eroplano ng seksyon, ngunit walang mga stress, ipinapalagay namin ang sigma z = 0.

Pangkalahatang element matrix K e:=B T D B V

Hindi ko na muling sasabihin ang mathematical na batayan ng konklusyong ito, sasabihin ko sa iyo ang isang maikling pisikal na kahulugan.
Halimbawa ng matrix K e:

Ang bilang ng mga row at column ay tumutugma sa bilang ng mga degree ng kalayaan. K i,j = puwersa sa direksyon ng antas ng kalayaan j mula sa paggamit ng isang unit displacement sa direksyon ng antas ng kalayaan i. Pagkatapos, halimbawa, para sa aming elemento, bilang isang tseke, maaari kaming magdagdag ng kahit na / kakaibang mga elemento sa anumang hilera o haligi ayon sa kahulugan ng aming elemento, ang mga ito ay magiging mga reaksyon sa mga pag-aayos kasama ang X o Y, ayon sa pagkakabanggit, at ang kanilang kabuuan; ay natural na katumbas ng zero. Ang matrix ay degenerate, ayon sa physics. Sa esensya, nangangahulugan ito na ang maluwag na elemento ay may hindi tiyak na pwersa/reaksyon sa mga node.

Pagkatapos ay mas madali. Kinakailangan na mag-ipon ng isang pandaigdigang matrix ng system mula sa mga indibidwal na elemento. Para sa lahat ng antas ng kalayaan ng system (mga hilera at haligi ng matrix K), isinulat namin ang mga kaukulang reaksyon mula sa mga indibidwal na elemento. Ginugol ko ang pinakamahabang oras sa kalikot sa pagbabagong ito, ngunit ang resulta ay ang simpleng algorithm na ito na may 5 nested na mga loop:

Mas simple pa, nangongolekta kami ng mga force vector para sa lahat ng hindi naayos na antas ng kalayaan P, mula sa SA tinatawid namin ang mga hilera at haligi na may mga nakapirming antas ng kalayaan at kumuha ng isang sistema ng mga linear na equation: K * u = P; malulutas namin ang u = K -1 P nang hindi man lang nag-iisip ng labis tungkol sa kawalan ng kahusayan ng pamamaraang ito sa mga tuntunin ng kapangyarihan ng pag-compute, dahil maliit ang problema.

Ang pinaka-hindi kasiya-siyang aspeto ng solusyon sa MathCAD ay ang abala sa pagpasok ng paunang data at pagsusuri sa mga resulta. Gayunpaman, ang lahat ng mga pamamaraan ay naka-algoritmo at, halimbawa, ang pag-andar ng pag-aayos ng lahat ng mga fastening ay tumatagal ng 8 linya, at 11 na linya ay naglalaman ng isang listahan ng n x n x 2 elemento (242 piraso sa halimbawa).

Ang aking dalawang susunod na gawain: mga elemento na may mas kumplikadong pagtatantya, na nagpapahintulot na bawasan ang bilang ng mga elemento at pinuhin ang solusyon, at ang pangunahing isa, mga nonlinear na elemento. Sa kasong ito, ang matrix K ay nakasalalay sa mga displacement at ang solusyon ay magiging mas kumplikado. K(u)*u=P(u). Sa pangkalahatang kaso, ang vector ng mga panlabas na pwersa ay nakasalalay din sa displacement u.

Mga mapagkukunan ng kaalaman:
1. Mga Lektura 2008 sa Departamento ng Physical Sciences ng PGUPS. Shashkin K.G.
2. Segerlind "Paglalapat ng paraan ng may hangganan na elemento" (1979)
3. A.L. Rozin

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation

Institusyong pang-edukasyon ng estado

mas mataas na propesyonal na edukasyon

"Pacific State University"

Mga patnubay at kontrol na gawain na dapat tapusin

gawaing laboratoryo sa kursong "Analytical at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mathematical physics" para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa master's program Khabarovsk Publishing House TOGU 2011 UDC 539.3/6. (076.5) Paglutas ng isang two-dimensional heat conduction problem gamit ang finite element method sa MATHCAD: methodological instructions at control tasks para sa pagsasagawa ng laboratory work sa kursong “Analytical and numerical method for solving equation of mathematical physics” para sa mga estudyanteng nag-aaral sa master's degree / comp. L. M. Ivannikov. – Khabarovsk: Pacific Publishing House. estado Unibersidad, 2011.

Ang mga tagubiling metodolohikal ay pinagsama-sama sa Department of Mechanics of Deformable Solids. Kasama ang nilalaman ng gawaing laboratoryo at mga rekomendasyon para sa pag-aaral ng mga seksyon ng kursong "Mga Paraan ng Analytical at Numerical para sa Paglutas ng mga Equation ng Mathematical Physics" na kinakailangan para sa pagpapatupad nito, isang listahan ng mga inirerekomendang literatura at mga gawain para sa gawaing laboratoryo.

Nai-publish alinsunod sa mga desisyon ng Department of Mechanics of Deformable Solids at Methodological Council ng Institute of Construction and Architecture.

PANGKALAHATANG PROBISYON

Ang layunin ng gawaing laboratoryo ay upang makabisado ang algorithm para sa pagkalkula ng dalawang-dimensional na mga problema sa pagpapadaloy ng init gamit ang paraan ng may hangganan na elemento.

HEAT TRANSFER EQUATION

Ang equation ng plane heat conduction problem ay may anyo na 2T (x, y) 2T (x, y) Ky Q(x, y) 0, (1) Kx x 2 y kW kung saan ang K x, K y ay ang thermal conductivity coefficients sa direksyon ng x, y axes , ;

(m K) T (x, y) - ang nais na function ng temperatura; Q(x, y) – pinagmumulan ng init sa loob ng katawan, kW. Q(x, y) 0 kung ang init ay ibinibigay sa katawan.

m Ang mga kondisyon sa hangganan ay itinakda ng dalawang uri:

T TG (Г), 1. (2) kung ang temperatura T ay kilala sa ilang bahagi ng hangganan Г, kung saan ang TG (Г) ay ang kilalang temperatura sa mga punto ng hangganan, depende sa mga coordinate ng mga surface point s sa hangganan Г;

T (x, y) T (x, y) l Ky m h(T T) q(x, y) 0, 2. (3) Kx x y kung nangyayari ang convective heat exchange sa bahagi ng surface Г 1, na nailalarawan sa halaga h(T T), o ang heat flux q(x, y) ay tinukoy sa isang bahagi ng surface Г 2, at Г Г1 Г 2. Mga notasyon sa (2) at (3): h – heat transfer coefficient kW, ; T (x, y) – hindi kilalang temperatura sa hangganan, K; T – (m2 K) kilalang ambient temperature, K; l, m - gabay na braces; Ang q(x, y) ay isang kilalang heat flux, itinuturing na positibo kung ang m init ay nawala ng katawan. Ang daloy ng init at convective heat transfer sa parehong lugar ay hindi maaaring kumilos nang sabay.

Kung mayroong isang thermally insulated na hangganan, kung gayon ang heat flux ay zero at walang convective heat transfer, kung gayon ang kundisyon ng hangganan ay isusulat tulad ng sumusunod:

dT 0, dn kung saan ang n ay ang panlabas na normal sa hangganan ng rehiyon na isinasaalang-alang.

FUNCTIONAL PARA SOLUSYON SA THERMAL CONDUCTION PROBLEM

Ang paglutas ng equation (1) sa isang rehiyon s na may hangganan na kundisyon (2) at (3) sa Г ay katumbas ng paghahanap ng minimum ng functional Kapag nilulutas ang isang problema sa FEM, ang mga rehiyon ay nahahati sa n subdomain (finite elements). na kadalasang kinukuha sa anyo ng mga tatsulok (Larawan 1). Sa ibaba, ibinibigay ang lahat ng formula para sa mga triangular na FE. Ang functional ay isinulat bilang kabuuan ng mga kontribusyon ng lahat ng may hangganang elemento sa rehiyon. Pagkatapos (4) ay magkakaroon ng anyo ng conductivity.

O Hayaan nating katawanin ang pagbabago ng temperatura sa loob ng FE sa pamamagitan ng mga halaga ng nodal:

kung saan ang [ N (e) ] ay ang matrix ng mga function ng hugis ng FE, na isinasaalang-alang ang distribusyon ng temperatura sa loob ng FE.

Kung saan ang [ B (e) ] ay ang matrix ng mga gradient ng mga function ng hugis ng FE.

Para sa bawat FE, maaari na nating isulat ang kontribusyon ng bawat FE sa expression para sa functional (4):

Ang minimum na functionality (4) ay nangangailangan ng sumusunod na kundisyon upang matugunan:

Para sa isang indibidwal na FE nakukuha namin kung saan ang FE thermal conductivity matrix ay may anyo at ang vector ng panlabas na impluwensya ay magiging Para sa buong isinasaalang-alang na lugar na nakuha namin o kung saan ang Equation (6) ay ang pangunahing equation para sa paglutas ng problema sa thermal conductivity gamit ang finite element paraan.

TWO-DIMENSIONAL SIMPLEX ELEMENT

Upang malutas ang isang problema sa pagpapadaloy ng init ng eroplano, isang tatsulok na FE na may mga tuwid na gilid ay ginagamit (tingnan ang Fig. 1). Ang pag-numero ng mga node ay isinasagawa sa counterclockwise, simula sa isang tiyak na node, na tinutukoy ng isa.

Ang pagnunumero ng mga panig ng FE ay ipinapakita sa Fig. 1.

Ang mga halaga ng temperatura ng nodal ay itinalagang T1, T2, T3. Ang temperatura sa isang FE point na may mga coordinate x, y ay tinutukoy ng formula Nasa ibaba ang mga function ng hugis na ginagamit para sa FE na ito.

Ang lugar ng FE ay kinakalkula gamit ang kilalang formula Ang mga coefficient na kasama sa mga function ng hugis ay nakasalalay sa mga coordinate ng mga node, ang mga ito ay ibinigay sa ibaba.

APPLICATION NG QUADAGONAL FE PARA SA MESH GENERATION

Upang paunang mag-apply ng grid na may malaking cell (paghahati sa lugar sa mga zone), ginagamit ang mga quadrangular quadratic na elemento (Larawan 2).

Tatlong node ang ipinakilala sa bawat panig ng FE.

Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 2 ang mga lokal na relative coordinate axes kung saan ang node 7 (1, 1). Ang pagbilang ng mga node ng naturang FE, simula sa node 1, ay isinasagawa nang pakaliwa. Ang mga node 2, 4, 6, 8 ay maaaring matatagpuan sa isang arbitrary na punto sa kaukulang panig, na nagbibigay-daan sa karagdagang pagbuo ng isang mas siksik na mata malapit sa mga epekto sa punto. Kasunod nito, ang bawat panig ng naturang FE ay nahahati sa isang ibinigay na bilang ng mga seksyon. Ang mga node ay binibilang tulad ng sumusunod: patayo mula sa node na may mga coordinate (1, 1) pababa sa axis at mula kaliwa hanggang kanan kasama ang axis. Kaya, ang mga malalaking elemento ay nahahati sa mas maliliit, na kung saan ay nahahati naman sa mga tatsulok na FE na may mas maikling haba ng dayagonal. Ang mga triangular na seksyon ng zone ay kinakatawan din sa anyo ng mga quadrangular quadratic na elemento (Larawan 3).

kanin. 3. Representasyon ng isang triangular na lugar sa anyo ng isang quadrangular quadratic na elemento

FE THERMAL CONDUCTIVITY MATRIX

Para sa isang tatsulok na FE, ang thermal conductivity matrix ay may anyo kung saan ang L1 2, L2 3, L31 ay ang mga haba ng kaukulang panig ng FE. Isinasaalang-alang ng huling tatlong termino ang convective heat transfer sa bawat panig ng FE. Dahil ang FE ay isang mahalagang bahagi ng rehiyon na isinasaalang-alang, ang convective heat transfer ay karaniwang nangyayari sa isa o dalawang panig ng FE.

VECTOR NG MGA PANLABAS NA IMPLUWENSYA SA FE

Ang mga panlabas (kilalang) impluwensya ay:

1. Pinagmumulan ng init sa loob ng FE ng pare-pareho ang intensity Q (e).

2. Pagdagsa ng init dahil sa daloy ng init q (e).

3. Convective heat transfer sa hindi hihigit sa dalawang panig ng FE na may heat transfer coefficient h (e).

4. Point heat source Q * (X 0, Y0), na matatagpuan sa loob ng FE.

Ang vector ng mga panlabas na impluwensya sa FE ay may anyo

MGA GRADIENT NG TEMPERATURA AT AVERAGE NA TEMPERATURA NG FE

Ang mga gradient ng temperatura at average na temperatura ayon sa FE ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

PAMAMARAAN PARA SA PAGSOLUSYON SA THERMAL CONDUCTION PROBLEM

PAGLALAPAT NG GRID NG MGA NODE SA LUGAR SA Isinasaalang-alang

Ang lugar ng solusyon sa problema ay inilalagay sa global coordinate system X, Y. Ang lugar na isinasaalang-alang ay dapat na sakop ng isang grid ng mga node. Kung mas maliit ang grid cell, magiging mas tumpak ang solusyon sa problema. Ang mesh ay inilapat sa 2 yugto.

Stage I. Ang lugar na isinasaalang-alang ay nahahati sa isang bilang ng mga hugis-parihaba at tatsulok na mga zone (quadrangular quadratic na elemento). Ang mga zone ay binibilang sa random na pagkakasunud-sunod. Para sa bawat naturang zone, 8 nodal point ang tinukoy (tatlo sa bawat panig, kabilang ang mga corner point). Para sa isang triangular zone, ang isa sa mga gilid ay tumutugma sa dalawang gilid ng parihaba (5 puntos).

Kaya, kapag naghahati sa mga zone, ginagamit ang mga quadrilateral quadratic na elemento.

Ang mga sumusunod na talahanayan ng pinagmumulan ng data ay pinagsama-sama:

a) Talahanayan. 1 mga koneksyon sa zone, na tumutukoy kung aling mga gilid ng mga zone ang nakikipag-ugnayan sa isa't isa.

Koneksyon ng mga zone sa lugar na isinasaalang-alang. Talahanayan 1.

Sa ibinigay na talahanayan. Ipinapakita ng 1 na ang zone 1 ay nakikipag-ugnayan lamang sa zone sa unang bahagi, ang zone 2 ay nakikipag-ugnayan sa zone 1 sa unang bahagi at may zone 3 sa ika-apat na bahagi. Ang Zone 3 ay nakikipag-ugnayan lamang sa zone 2 sa pangalawang bahagi (Larawan 4). Ang pag-numero ng mga panig ay nakasalalay sa oryentasyon ng mga lokal na palakol sa mga kamag-anak na coordinate, na ipinapakita sa mga naka-bold na numero sa figure. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 4 ang direksyon ng pagnunumero ng mga zone node mula sa paunang node N.

kanin. 4. Pagbuo ng isang talahanayan ng koneksyon sa zone b). mesa 2 coordinate ng mga node na minarkahan sa mga hangganan ng mga zone sa tinatanggap na global coordinate system.

Mga coordinate ng mga node sa mga hangganan ng zone Talahanayan 2.

V). mesa 3, na nagpapahiwatig ng bilang ng mga patayo at pahalang na guhit kung saan nahahati ang bawat zone upang makakuha ng grid na may mga cell na mas maliliit ang laki.

Pagbuo ng grid na may mas maliliit na cell Talahanayan 3.

Ang Zone 1 ay nahahati sa limang guhit sa taas at anim na guhit sa lapad.

G). mesa 4, kung saan ang mga naunang inilapat na node ay ipinahiwatig para sa bawat zone.

Mga bilang ng paunang grid node para sa bawat zone Talahanayan 4.

Sa mesa Ang 4 ay nagpapahiwatig na ang walong node ng pangalawang zone ay may mga ganoong numero kapag nilalampasan ang zone na pinag-uusapan nang counterclockwise.

Stage II. Susunod, ipinapatupad ng Mathcad ang programang "grid", na nagtatakda ng bilang ng mga guhit sa taas at lapad para sa bawat zone, na nagpapahintulot sa iyo na hatiin ang bawat zone sa mas maliit na mga parihaba. Pagkatapos ang bawat isa sa mga maliliit na parihaba na ito ay nahahati sa dalawang tatsulok sa pamamagitan ng isang mas maikling dayagonal, at ang buong lugar na isinasaalang-alang ay natatakpan ng isang grid na may isang triangular na cell.

Bilang resulta ng programang ito, ang sumusunod na data ay ginawa:

a). Bilang ng mga triangular na FE (Kol_Elem).

b) Ang mga sumusunod na talahanayan. 5, 6, 7.

Pagbilang ng mga grid node sa mga gilid ng mga zone Talahanayan Ang talahanayan ay inilabas sa anyo ng isang matrix ng laki (bilang ng mga zone stripes sa taas, bilang ng mga zone stripes sa lapad) para sa bawat zone, na pinapasimple ang pagbuo ng grid.

Ang ibinigay na matrix ay nagpapakita na sa zone 3 sa gilid 1 mayroong mga node 23, 24, 25, 26; sa gilid 2 mayroong mga node 26, 22, 1; sa gilid 3 - node 1, 16, 13, 10; sa gilid ay may 4 na node 10, 19, 23. I-bypass ang zone ng counterclockwise. Ang pagnunumero na ito ay ipinapakita sa halimbawa sa ibaba.

Lokasyon ng FE at pag-aari ng FE node sa isang triangular mesh Table Tables ay maaari ding ipakita na nagli-link sa zone number, FE number at mga coordinate ng FE node.

Ang isang grid na may pagnunumero ng mga FE at ang kanilang mga node ay manu-manong inilalapat sa diagram ng lugar na isinasaalang-alang.

PAGBUO NG ISANG VECTOR NG MGA PANLABAS NA IMPLUWENSIYA

Batay sa itinayong grid para sa lugar na isinasaalang-alang, ang mga sumusunod ay nabanggit:

a) Mga bilang ng mga panig kung saan nangyayari ang convective heat exchange.

b) Mga bilang ng mga node kung saan nakatakda ang temperatura.

c) Mga numero ng FE kung saan matatagpuan ang mga concentrated na pinagmumulan ng init sa kanilang mga gilid, node o sa loob.

Ang mga sumusunod na talahanayan ay pinagsama-sama. 8, 9, 10.

Mga gilid ng rehiyon na may convective heat transfer Talahanayan Ipinapalagay na ang convective heat transfer ay posible lamang sa dalawa sa tatlong panig ng FE.

Talahanayan ng mga puntong pinagmumulan ng init Talahanayan Talahanayan ng mga halaga ng temperatura sa mga FE node.

Talaan ng mga gradient ng temperatura Gradx, Grady kasama ang X at Y axes, ayon sa pagkakabanggit.

Talaan ng average na temperatura Tsred para sa bawat EC.

Pamamahagi ng temperatura sa rehiyon na isinasaalang-alang, na nagpapahiwatig ng mga halaga ng isotherm.

HALIMBAWA NG TRABAHO SA LABORATORY

Mayroong 4 na cable na tumatakbo sa pamamagitan ng heat-conducting medium, tulad ng ipinapakita sa Fig. 5. Ang medium ay may thermal conductivity coefficients K x K y 10. Thermal exchange coefficient sa ibabaw ng medium ay h 5. Sa lateral sides, isaalang-alang ang 2 K Ang medium ay limitado ng makapal na layer ng insulation. Ang temperatura ng hangin sa ibabaw ng daluyan ay T 30 0 C. Ang temperatura ng mas mababang layer ng daluyan ay T 20 0 C.

Ang kapangyarihan ng heat radiation ng bawat cable ay Q 200 W.

Kinakailangan:

INSTRUCTIONS:

a) kapag nagsasagawa ng gawaing laboratoryo, isaalang-alang ang simetrya ng lugar at ang simetrya ng epekto ng temperatura;

b) hatiin ang kinakalkula na bahagi ng lugar sa tatlo o apat na zone;

c) hatiin ang bawat zone mula tatlo hanggang limang guhit sa taas at lapad upang gawing simple ang paglalapat ng grid sa lugar.

SOLUSYON SA PROBLEMA

Isinasaalang-alang ang simetrya ng rehiyon na isinasaalang-alang, isasaalang-alang lamang namin ang kalahati ng rehiyon na ito sa pagkalkula (Larawan 6).

Ilagay natin ang lugar sa ilalim ng pagsasaalang-alang sa sistema ng mga global axes X at Y at hatiin ito sa tatlong mga zone, sa mga gilid kung saan ilalapat natin ang mga node, na isinasaalang-alang ang mga zone na mga quadrangular quadratic na elemento sa Fig. 7. Bilangin natin ang mga zone at node, na umiikot sa lugar na pakaliwa. Upang matukoy ang mga side number ng mga zone, isang sistema ng mga lokal na axes ay itinatag para sa bawat zone.

kanin. 7. Paunang paghahati ng lugar sa mga zone Para sa isang mas tumpak na solusyon ng problema, kinakailangan na maglagay ng mga node sa mga hangganan ng zone na mas malapit sa mga pinagmumulan ng init.

Ang paunang data para sa mga itinalagang zone at node ay pinagsama-sama (Tables 1, 2, 3, 4). Ang programa ng pagkalkula ay gumagawa ng isang talahanayan. 5, 6, 7, na nagpapakita ng kumpletong impormasyon tungkol sa triangular na mesh na inilapat sa lugar na ginamit sa karagdagang mga kalkulasyon. Batay sa mga talahanayang ito, ang isang grid ay itinayo sa sheet (Larawan 8).

kanin. 8. Triangular mesh na inilapat sa lugar Gamit ang resultang mesh, ang mga epekto ng panlabas na temperatura ay isinasaalang-alang at ang mga talahanayan ay pinagsama-sama. 8, 9, 10. Pagkatapos nito, ang mga resulta ng paglutas ng problema at ang kanilang graphical na representasyon sa Fig. 1 ay ipinapakita sa tabular form. 9 at

1. MGA RESULTA NG SOLUSYON PARA SA PAGLIKHA NG FE GRID

MGA GRID NODE SA KASABAY NG MGA BORDER NG ZONE

TALAAN NG FE

MGA COORDINATE NG FE NODE

PAGBUO NG VECTOR

MGA PANLABAS NA IMPLUWENSYA

stor

2. RESULTA NG PAGSOLUSYON SA PROBLEMA

Mga gradient ng temperatura at average na temperatura ayon sa mga temperatura ng FE sa rehiyon

MGA OPSYON SA GAWAIN PARA SA TRABAHO SA LABORATORY

Sa isang heat-conducting medium, tulad ng ipinapakita sa diagram, may mga cable na nagpapalabas ng init. Ang daluyan ay may thermal conductivity coefficients K x at K y. Heat transfer coefficient sa ibabaw ng medium h. Sa ilang mga lugar, ang kapaligiran na pinag-uusapan ay limitado ng isang makapal na layer ng pagkakabukod. Ang temperatura ng hangin sa ilang mga lugar ng kapaligiran kung saan nangyayari ang convective heat exchange, T. Sa ilang mga lugar ng kapaligiran ang temperatura T ay nakatakda.

Ang radiated heat power ng bawat cable ay Q.

Kinakailangan, gamit ang paunang data para sa iyong bersyon at ang task diagram (Talahanayan 11, Fig. 11):

1. Tukuyin ang distribusyon ng temperatura sa isang partikular na lugar.

2. Tukuyin ang mga gradient ng temperatura at average na temperatura sa rehiyon.

3. Bumuo ng mga graph ng mga pagbabago sa mga nakuhang halaga.

INITIAL DATA

Paunang data para sa gawaing laboratoryo sa mga opsyon Talahanayan Hoh, anta Fig. 11. Mga scheme ng mga opsyon sa likuran para sa gawaing laboratoryo

MGA TANONG SA PAGSUBOK

Isulat ang heat equation para sa isang two-dimensional na problema.

Isulat ang mga kondisyon ng hangganan para sa problema sa pagpapadaloy ng init ng dalawang-dimensional.

Isulat ang kumpletong functional para sa paglutas ng problema sa pagpapadaloy ng init.

Kunin ang pangunahing equation para sa paglutas ng isang dalawang-dimensional na problema sa pagpapadaloy ng init gamit ang finite element method.

5. Anong mga finite elements ang ginagamit upang malutas ang isang two-dimensional heat conduction problem?

6. Paano tinutukoy ang mga function ng hugis para sa isang two-dimensional simplex na elemento?

7. Para sa anong layunin ginagamit ang mga quadratic na elemento?

8. Paano pinipili ang local coordinate system at binibilang ang mga gilid ng quadrangular quadratic element?

9. Isulat ang thermal conductivity matrix para sa triangular na FE.

10. Paano nabuo ang thermal conductivity matrix para sa rehiyong isinasaalang-alang?

11. Paano nabuo ang vector ng mga panlabas na thermal influence para sa FE?

12. Paano nabuo ang vector ng mga panlabas na impluwensya para sa lugar na isinasaalang-alang?

13. Paano tinutukoy ng FE ang mga gradient ng temperatura at average na temperatura?

14. Paano inilalapat ang mesh sa lugar na isinasaalang-alang?

15. Anong paunang data ang dapat ihanda upang mailapat ang mesh?

16. Anong output ang ginagamit sa pagbuo ng mesh at paano ito inilalapat sa lugar?

17. Anong data ang dapat ipasok upang mabuo ang vector ng mga panlabas na thermal influence?

18. Paano isaalang-alang ang tanda ng magnitude ng isang punto ng pinagmulan ng init? Nadagdagan ng init?

19. Anong data ng output ang nakuha bilang resulta ng paglutas ng problema sa pagpapadaloy ng init?

1. Zenkevich O. Finite element method sa teknolohiya / O. Zenkevich. – M.:

Mir, 1975. – 452 p.

2. Segerlind L. Application ng finite element method / L. Segerlind. – M.:

Mir, 1979. – 392 p.

PANGKALAHATANG PROBISYON……………………………………………. Heat transfer equation…………………….…………………………………… … Nagagamit para sa paglutas ng problema sa pagpapadaloy ng init…………………………. Dalawang-dimensional na simplex na elemento…………………… ………. ………………………. Paglalapat ng quadrangular FE para sa pagbuo ng mesh………………… FE thermal conductivity matrix……………………………………………………... Vector ng mga panlabas na impluwensya sa FE……………… ………… ………… …... Temperature gradients at average temperature ayon sa FE…………… …… Ang pamamaraan para sa paglutas ng problema ng thermal conductivity sa Mathcad 14………….… HALIMBAWA NG PAGGANAP NG LABORATORY GAWAIN…….… ….. SOLUSYON NG PROBLEMA…… ………………………………………………………. Printout ng solusyon sa problema………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………. Bibliograpiya……………………………………………………

SOLUSYON NG TWO-DIMENSIONAL HEAT CONDUCTION PROBLEM

SA PAMAMAGITAN NG FINITE ELEMENT METHOD SA MATHCAD

Mga tagubiling metodolohikal at mga gawaing kontrol para sa pagsasagawa ng gawaing laboratoryo sa kursong "Analytical at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mathematical physics" para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa master's program.

Editor-in-chief A. A. Suevalova Editor T. F. Sheikina Computer layout operator L. M. Ivannikov Lagda para sa pag-imprenta ng Writing paper. Times typeface. Digital printing.

May kundisyon hurno l. Sirkulasyon 50 kopya. Order Pacific State University Press.

680035, Khabarovsk, st. Pasipiko, 136.

Department of operational printing ng publishing house ng Pacific State University. 680035, Khabarovsk, st. Pasipiko, 136.

Mga katulad na gawa:

“V.B. Ponomarev A.E. Zamuraev ASPIRATION AND PURIFICATION OF INDUSTRIAL EMISSIONS AND DISCHARGES Federal Agency for Education State Educational Institution of Higher Professional Education Ural State Technical University – UPI V.B. Ponomarev A.E. Zamuraev ASPIRATION AND PURIFICATION OF INDUSTRIAL EMISSIONS AND DISCHARGES METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS FOR THE COURSE MACHINES AND UNITS OF BUILDING MATERIALS ENTERPRISES Scientific editor – prof., Ph.D. tech. Sciences V.Ya.Dzyuzer Yekaterinburg UDC 666.9.001.575 (042.4) BBK 35.41v P Mga Tagasuri: Ponomarev V.B. P56 Aspirasyon at...”

“Ministry of Education and Science of the Russian Federation Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education Pacific State University PRODUKSIYON NG GAWAING BATO Mga Alituntunin para sa pagsasagawa ng praktikal na gawain para sa mga mag-aaral sa undergraduate na mga programa Konstruksyon, Arkitektura, Arkitektural na Disenyo ng Kapaligiran, Pamamahala, Teknolohikal na Makinarya at Kagamitan , Landscape Architecture at mga programa sa pagsasanay ng espesyalista..."

“MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION Federal Agency for Education Institusyong pang-edukasyon ng estado ng mas mataas na propesyonal na edukasyon ROSTOV STATE CONSTRUCTION UNIVERSITY NA aprubahan sa isang pulong ng Department of Economics and Management in Construction noong Enero 26, 2010. METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS para sa pagsasakatuparan ng gawaing pananaliksik para sa mga mag-aaral, undergraduate at nagtapos na mga mag-aaral ng mga specialty sa ekonomiya at mga lugar ng Rostov-on-Don, UDC 69.003(07)...”

"Batayan ng normatibong dokumentasyon: www.complexdoc.ru Mga materyales sa sanggunian Mga materyales at teknolohiya ng siglo Dobromyslov A.Ya., Sankova N.V. Mga plastik na tubo at makabagong teknolohiya para sa pagtatayo at pagkukumpuni ng mga pipeline DISENYO, PAG-INSTALL AT PAG-OPERASYON NG MGA SEWERAGE SYSTEMS MULA SA MGA PLASTIC NA PIPES PARA SA MGA BUILDING AT KAPITBAHAY MGA REKOMENDASYON Moscow 2004 PREFACE Kabanata 1. MGA PIPES AT FITTINGS MULA SA MGA PILIPINAS NA PILIPINAS NG PILIPINAS S AT KAPITBAHAY 1.1. Panloob...”

"MINISTRY NG EDUKASYON NG RUSSIAN FEDERATION Institusyon ng edukasyon ng estado ng mas mataas na propesyonal na edukasyon "Orenburg State University" Kagawaran ng Teknolohiya ng Mga Materyales at Produkto sa Konstruksyon T.I. SHEVTSOVA MATERIALS SCIENCE METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS PARA SA PAG-AARAL NG DISIPLINA "MATERIALS SCIENCE" Inirerekomenda para sa publikasyon ng Editoryal at Publishing Council ng State Educational Institution of Higher Professional Education "Orenburg State University"..."

“Ministry of Education and Science of the Russian Federation St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering G. P. KOMINA, A. O. PROSHUTINSKY HYDRAULIC CALCULATION AND DESIGN OF GAS PIPELINES Textbook St. Petersburg 2010 UDC 622.691.4 (075.8) Mga Reviewer: Ph.D. tech. Agham, Associate Professor M. A. Kochergin, punong espesyalista ng departamento ng teknikal na pangangasiwa ng Capital Construction Department ng OJSC Gazpromregionaz; A. G. Matveev, representante Pangkalahatang Direktor ng Institute..."

“DEPARTMENT OF LABOR AND SOCIAL SUPPORT OF THE POPULASYON NG YAROSLAV REGION Pagpapatupad ng target na programa sa rehiyon Accessible environment. Organisasyon ng gawain ng mga katawan ng proteksyon sa lipunan at mga institusyon ng serbisyong panlipunan ng rehiyon ng Yaroslavl para sa rehabilitasyon ng lipunan ng mga taong may mga kapansanan KOLEKSYON NG MGA IMPORMASYONAL AT METODOLOHIKAL NA MATERYAL Yaroslavl 2011 Pagpapatupad ng target na programa sa rehiyon Maa-access na kapaligiran. Organisasyon ng gawain ng mga katawan ng proteksyong panlipunan at mga institusyon ng serbisyong panlipunan..."

“MINISTRY NG EDUKASYON AT AGHAM NG RUSSIAN FEDERATION Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education TYUMEN STATE ARCHITECTURAL AND CONSTRUCTION UNIVERSITY Department of State and Municipal Administration and Law Khramtsov A. B. GEOPOLITICS METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS PARA SA PRAKTIKAL NA MGA PAGSASANAY10 PAGSASANAY10 PAGSASANAY NG MGA STUDYO10. 62 full-time at part-time na edukasyon ng estado at munisipyo Tyumen,...”

"Federal Agency for Education KAZAN STATE ARCHITECTURAL AND CONSTRUCTION UNIVERSITY N.S. Gromakov CHEMICAL COMMUNICATION Mga Alituntunin sa chemistry para sa 1st year na mga mag-aaral ng full-time, part-time at distance learning Kazan 2007 1 UDC 539.19: 541.5 (0245 K.B.K.B.K.) SA. Komunikasyon sa kemikal: Mga patnubay sa kimika para sa full-time, part-time at distance learning na mga mag-aaral, Kazan: KGASU, 2007. -37p. Ang mga alituntunin ay naglalaman ng pangunahing impormasyon na materyal..."

“MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF UKRAINE KHARKIV NATIONAL ACADEMY OF URBAN ECONOMY V.I. OSPISCHEV FUNDAMENTALS OF MARKETING Textbook (para sa mga mag-aaral ng specialty 6.070101 – Transport technologies) Kharkov Publishing house “FORT” 2009 UDC 339.138(075.8) BBK 65.290-2я7 O75 Mga Tagasuri: A.S. Ivanilov, Doktor ng Economics, Propesor, Pinuno. Department of Economics, Kharkov State Technical University of Construction and Architecture; G.V. Kovalevsky, Doktor ng Economics, Propesor ng Kagawaran ng Marketing at Ako..."

“Federal Agency for Education State educational institution of higher professional education Vladimir State University Department of Building Structures MGA METHODOLOGICAL INSTRUCTIONS PARA SA PAG-AARAL NG SECTION OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES OF THE COURSE OF CONSTRUCTION OF CITY BUILDINGS AND STRUCTURES Compiled by: V.V. Mikhailov V.I. VORONOV Vladimir 2009 UDC 624.012.3/4 BBK 38.53 M54 Reviewer Kandidato ng Technical Sciences, Associate Professor Head. Department of Building Structures ng Vladimir...”

"MINISTRY NG EDUKASYON NG RUSSIAN FEDERATION Ang institusyong pang-edukasyon ng estado ng mas mataas na propesyonal na edukasyon - Orenburg State University A.S. KILOV PAGPROSESO NG MGA MATERYAL SA PAMAMAGITAN NG PRESSURE SA INDUSTRY Inirerekomenda ng Academic Council ng institusyong pang-edukasyon ng estado ng mas mataas na propesyonal na edukasyon Orenburg State University bilang isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral na naka-enrol sa mga programa ng mas mataas na propesyonal na edukasyon sa...”

“Federal Agency for Education Ulyanovsk State Technical University Water Chemistry Textbook para sa mga mag-aaral ng non-chemical specialty Compiled by: L.V. Petrova, E.N. Kalyukova Ulyanovsk 2004 UDC 541.1(075.8) BBK 24 Y7 X 46 Mga Reviewer: Head. Departamento ng pananaliksik at produksyon ng Transstroykomplekt LLC, Ph.D. tech. Sci. I.A. Dorofeev, Ulo Department of Chemistry UlSPU, Associate Professor, Kandidato ng Sciences. chem. Sciences I. T. Guseva Inaprubahan ng editoryal at publishing council ng unibersidad bilang isang pang-edukasyon..."

“Ministry of Education and Science State educational institution of higher professional education Perm State University NATURAL SCIENCE INSTITUTE N.G. Maximovich, E.A. Khairulina GEOCHEMICAL BARRIERS AND ENVIRONMENTAL PROTECTION Textbook Perm 2011 UDC 504.06:550.4 BBK 20.18:26.30 M 18 Maksimovich, N.G. M18 Geochemical barriers at pangangalaga sa kapaligiran: textbook. allowance / N.G. Maximovich, E.A. Khairulina; Perm. estado univ. – Perm, 2011. – 248 p.: may sakit. ISBN..."

“MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF UKRAINE KHARKIV NATIONAL UNIVERSITY OF URBAN ECONOMY NAMEED A. N. BEKETOV ROOFING AND WATERPROOFING WORKS TUTORIAL para sa mga mag-aaral ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon na nag-aaral sa specialty Industrial at civil engineering ) Na-edit ni V. D. BBK 207 (B. 38.654.3ya73-6+38.637ya73-6 K83 Mga May-akda: Zhvan Viktor Denisovich – Kandidato ng Teknikal na Agham, Propesor, Propesor ng Kagawaran ng Teknolohiya...”

«MANAGEMENT Textbook Para sa mga mag-aaral sa unibersidad Sa dalawang bahagi Bahagi 1 Kemerovo 2008 2 UDC 65.018 (075) BBK 30.607ya7 M 31 Mga Tagasuri: E.G. Yagupa, Ph.D. econ. Sciences, Associate Professor, Head. Department of Economic Theory and Enterprise Economics ng KGSAR; CM. Bugrova, Ph.D. econ. Sciences, Associate Professor ng Department of Economics at Organization of Mechanical Engineering...”

"Ministry of Education and Science ng Russian Federation State Educational Institution of Higher Professional Education Tambov State Technical University O.V. UMNOVA, O.V. EVDOKIMTSEV STEEL FRAME NG ISANG PAVILION TYPE BUILDING Inaprubahan ng Academic Council ng Unibersidad bilang tulong sa pagtuturo Tambov Publishing House TSTU 2008 UDC 624.014.2(075) BBK N549 U545 R e c e s e n Vs., Doctor of Technical Sciences Ledenev General Director ng FSK Tambovregionstroy LLC V.I. Skrylev Umnova, O.V. U545 Steel frame ng pavilion building...”

“Ministry of Education and Science ng Russian Federation Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education Kazan State University of Architecture and Civil Engineering Department of Economics and Entrepreneurship in Construction Guidelines Organisasyon ng mga presentasyon. Ang paggamit ng mga mapagkukunang multimedia para sa mga mag-aaral ng mga sumusunod na specialty at mga lugar ng pagsasanay: 070603 Interior art, 190702 Organisasyon at kaligtasan ng trapiko, 190205 Pag-angat at transportasyon, konstruksiyon, makinarya at kagamitan sa kalsada, 270100.62..."

“MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION ST. PETERSBURG NATIONAL RESEARCH UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLOGY, MECHANICS AND OPTICS A.A. Vorobyova TUTORYAL PARA SA KURSO GEOINFORMATION SYSTEMS OF TERRITORIAL MANAGEMENT St. Petersburg 2012 1 Ang aklat-aralin ay nakatuon sa geospatial na pagmomodelo ng mga bagay gamit ang GIS at ang paggamit ng semantikong impormasyon na kasama nito. Bilang karagdagan, ang mga isyu ng koleksyon at paghahanda...”

"MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION KAZAN STATE ARCHITECTURAL AND CONSTRUCTION UNIVERSITY Department of Industrial Safety and Law LIFE SAFETY Mga Alituntunin para sa pagkumpleto ng pagsusulit para sa part-time na mga mag-aaral sa larangan ng Construction specialty 270106.65 at profile 270804.62 Produksyon at paggamit ng mga materyales sa gusali. , mga produkto at istruktura Kazan 2013 UDC 69.05 : 658.382 BBK K 66 K 66 Kaligtasan sa buhay:..."

A.V. Ignatiev, N.A. Mikhailova, T.V. Ereshchenko FINITE ELEMENT METHOD AT IMPLEMENTATION NITO SA MATHCAD ENVIRONMENT Laboratory workshop sa disiplina na "Analytical at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mathematical physics" Volgograd 2010 Ministry of Education and Science ng Russian Federation Volgograd State University of Appure and Civil Engineering Department Mathematics at Computer Engineering A.V. Ignatiev, N.A. Mikhailova, T.V. Ereshchenko FINITE ELEMENT METHOD AT IMPLEMENTATION NITO SA MATHCAD ENVIRONMENT Laboratory workshop sa disiplina na "Analytical at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mathematical physics" Volgograd 2010 UDC 624.04.004.982(076.982) 2я73 I 266 Pagsusuri ng mga Mananaliksik: Kandidato ng Technical Sciences M.M. Stepanov, propesor ng Department of Applied Mathematics at Computer Science ng Volga State University of Civil Engineering; Doktor ng Teknikal na Agham N.G. Bandurin, Propesor ng Departamento ng Structural Mechanics ng Volga State University of Civil Engineering Inaprubahan ng Editoryal at Publishing Council ng Unibersidad bilang tulong na pang-edukasyon at praktikal na si Ignatiev A.V. I 266 Ang finite element method at ang pagpapatupad nito sa Mathcad environment: laboratory workshop sa disiplina na "Analytical at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng mathematical physics" / A.V. Ignatiev, N.A. Mikhailova, T.V. Ereshchenko; Volgogr. estado arkitekto.nagtatayo. univ. Volgograd: VolgGASU, 2010. 31 p. ISBN 978-5-98276-372-3 Naglalaman ng maikling teoretikal na impormasyon na kinakailangan para sa pagsasagawa ng gawaing laboratoryo sa disiplina na "Mga pamamaraan ng analytical at numerical para sa paglutas ng mga equation ng mathematical physics", ay nagbibigay ng mga opsyon para sa mga indibidwal na gawain, mga halimbawa ng pagsasagawa ng mga gawain sa laboratoryo, at gayundin bumubuo ng mga tanong sa pagsusulit para sa paksang pinag-aaralan. Para sa mga master ng specialty AD, SM at VV full-time na edukasyon. UDC 624.04:004.92(076.5) BBK 38.112я73+32.973-018.2я73 ISBN 978-5-98276-372-3 State educational institution of higher professional education "Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering", 20tory10 FINITE ELEMENT METHOD AT IMPLEMENTATION NITO SA MATHCAD SYSTEM Layunin ng gawain: pag-aralan ang finite element method at makakuha ng mga kasanayan sa pagpapatupad nito sa Mathcad system. Mga pangunahing konsepto at konsepto ng FEM Ang pangunahing ideya ng pamamaraan Ang pangunahing ideya ng pamamaraan ay upang kumatawan sa istraktura na kinakalkula bilang isang hanay ng mga elemento ng isang simpleng form na konektado sa bawat isa sa magkahiwalay na mga punto. Sa esensya, ang isang tuluy-tuloy na daluyan na may walang katapusang bilang ng mga antas ng kalayaan ay pinapalitan ng isang hanay ng mga subrehiyon na may hangganan na bilang ng mga antas ng kalayaan. Sa diskarteng ito, ang nais na tuluy-tuloy na dami (mga displacement, stress, deformation, atbp.) sa loob ng bawat finite element (FE) ay ipinahayag gamit ang approximating function sa pamamagitan ng mga nodal value ng mga dami na ito. Ang mga ibinahagi na panlabas na load ay pinapalitan ng katumbas na puwersa ng nodal. Sa mga termino sa matematika, ang problema ay upang bawasan ang mga differential equation o energy functional na naglalarawan sa istraktura na isinasaalang-alang sa isang sistema ng algebraic equation, ang solusyon kung saan ay nagbibigay ng mga halaga ng nais na nodal na hindi alam. Ang paraan ng may hangganan na elemento ay napakalawak sa pagsasanay ng pagkalkula ng lakas, katatagan at panginginig ng boses ng gusali, mechanical engineering, at mga istruktura ng sasakyang panghimpapawid. Gamit ang FEM, maaari mong matagumpay na pag-aralan ang isang malawak na klase ng mga sistema ng baras (trusses, frame, atbp.), manipis na pader na spatial na istruktura (floor slab, coating shell, atbp.), napakalaking three-dimensional na katawan, pati na rin ang mga pinagsamang sistema na binubuo ng one-dimensional , two-dimensional at three-dimensional na mga elemento. Ang FEM ay nakikilala sa pamamagitan ng isang malawak na hanay ng kakayahang magamit, invariance na may paggalang sa geometry ng istraktura at mga pisikal na katangian ng mga materyales, kamag-anak na pagiging simple ng pagsasaalang-alang sa pakikipag-ugnayan ng mga istraktura sa kapaligiran (mekanikal, temperatura, mga epekto ng kaagnasan, mga kondisyon ng hangganan, atbp.), isang mataas na antas ng kakayahang umangkop sa automation ng lahat ng mga yugto ng pagkalkula . Ang pamamaraan ay may isang simpleng pisikal na interpretasyon at malapit na nauugnay sa paraan ng pag-aalis, na malawakang ginagamit sa mga mekanika ng istruktura. 3 Batay sa finite element approach, isang malaking bilang ng mga makapangyarihang software system ang nabuo. Kabilang sa mga ito ang ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS/M, MSC/NASTRAN, LIRA, SCAD, STARK, STADIO. Karamihan sa kanila ay may malawak na library ng mga may hangganang elemento at ginagawang posible na magsagawa ng mga kalkulasyon para sa lakas, katatagan at panginginig ng boses, isinasaalang-alang ang mga pisikal at geometric na nonlinearities, materyal na orthotropy, mga pagkarga ng temperatura, atbp. Ang listahan sa itaas ng mga produkto ng software na nagpapatupad ng FEM ay malayo sa kumpleto at sumasalamin lamang sa sitwasyon sa lugar na ito sa kasalukuyan. Walang alinlangan, ang FEM ay may makabuluhang mga pakinabang sa iba pang mga diskarte at higit sa lahat ay pangkalahatan. Kasabay nito, dapat itong isaalang-alang bilang isa sa maraming yugto sa pagbuo ng mga numerical research tool sa disenyo. Pangkalahatang pamamaraan ng algorithm ng FEM Ang paraan ng finite element ay nagbibigay ng mga sumusunod na pangunahing yugto: 1. Idealization ng isang pisikal na sistema. Ang idealization ay nauunawaan bilang proseso ng paglipat mula sa orihinal na pisikal na sistema patungo sa isang modelong matematikal. Ang prosesong ito ay ang pinakamahalagang hakbang sa paglutas ng problemang teknikal o engineering. Ang pangunahing punto sa prosesong ito ay ang konsepto ng isang modelo, na maaaring tukuyin bilang isang simbolikong aparato na binuo upang modelo at hulaan ang pag-uugali ng isang system. Ang mathematical modeling, o idealization, ay ang proseso kung saan ang isang engineer ay gumagalaw mula sa isang aktwal na pisikal na sistema patungo sa isang mathematical na modelo ng system. Ang prosesong ito ay tinatawag na idealisasyon, dahil ang modelong matematikal ay dapat na i-abstract mula sa pisikal na realidad. Bilang isang halimbawa ng isang tunay na pisikal na sistema, isaalang-alang ang isang istraktura ng engineering sa anyo ng isang flat plate na puno ng mga puwersa ng paggugupit. Ang mga matematikal na modelo ng sistemang ito na magagamit ng isang inhinyero upang pag-aralan ang mga stress sa plato ay maaaring ang mga sumusunod: 1) isang modelo ng isang napakanipis na plato batay sa teorya ng pagbaluktot ng lamad; 4 2) modelo ng manipis na plato batay sa klasikal na teorya ng Kirchhoff; 3) isang modelo ng isang sapat na makapal na plato, batay, halimbawa, sa teorya ng Mindlin-Reissner; 4) isang napakakapal na modelo ng plato batay sa three-dimensional na teorya ng elasticity. Malinaw, ang inhinyero ay dapat magkaroon ng sapat na teoretikal na kaalaman upang mapili nang tama ang naaangkop na modelo ng matematika ng sistema (istraktura) na kailangan niyang pag-aralan. 2. Discretization ng rehiyon na isinasaalang-alang. Ang disenyong kinakalkula ay hinati sa pamamagitan ng mga haka-haka na punto, linya o ibabaw sa mga elemento ng may hangganang sukat (finite elements). Ipinapalagay na ang mga elemento ay konektado sa isa't isa sa mga nodal point na matatagpuan sa kanilang mga hangganan. Sa ilang mga problema ng structural mechanics, bilang karagdagan sa mga nodal displacements, ang kanilang mga partial derivatives ay kinukuha din bilang hindi alam. 3. Pagbubuo ng mga interpolating function. Pinipili ang isang sistema ng mga pag-andar (madalas na piecewise polynomial) na natatanging tinutukoy ang mga displacement sa loob ng bawat finite element sa pamamagitan ng mga displacement ng nodal point. Ang mga interpolating function ay pinili sa paraang upang matiyak ang pagpapatuloy ng mga nais na dami (mga displacement at ang kanilang mga derivatives) kasama ang mga hangganan ng elemento. 4. Pinagmulan ng mga pangunahing geometriko at pisikal na relasyon. Batay sa napiling sistema ng interpolating function, ang mga dependency sa pagitan ng mga deformation at displacement (mga geometriko na relasyon), pati na rin sa pagitan ng mga stress at deformation (mga pisikal na relasyon), ay nagmula. 5. Konstruksyon ng finite element stiffness matrix. Gamit ang prinsipyo ng Lagrange, ang isang stiffness matrix ng finite element ay binuo batay sa nakuha na geometric at pisikal na relasyon. 6. Pagkuha ng sistema ng mga equation para sa finite element method. Ang bawat indibidwal na finite element stiffness matrix ay kasama sa global stiffness matrix sa isang element-by-element loop. Sa ganitong paraan, nabuo ang isang sistema ng algebraic equation ng buong istraktura (equilibrium equation), na may anyo na Kz = P, 5 kung saan ang K ay ang stiffness matrix ng system (ensemble) ng mga may hangganang elemento; z ay ang vector ng hindi kilalang nodal displacements; Ang P ay ang vector ng mga nodal load. Sa stiffness matrix K, na nakasulat sa itaas ng sistema ng mga equation, kinakailangang isaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan, dahil kung hindi man ang matrix na ito ay magiging isahan. 7. Paglutas ng isang sistema ng mga algebraic equation. Upang lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation (SLAE), parehong eksaktong at (kung ang sistema ay mataas ang pagkakasunud-sunod) ang mga iterative na pamamaraan ay ginagamit. Isinasaalang-alang ng mga epektibong numerical procedure na binuo sa kanilang batayan ang symmetry at band structure ng stiffness matrix ng system. 8. Pagpapasiya ng mga deformation at stress. Ang mga deformation, stress at pwersa sa istraktura ay tinutukoy gamit ang mga nahanap na nodal displacements batay sa geometric at pisikal na mga relasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga hakbang na ito nang mas detalyado. Discretization ng rehiyon na isinasaalang-alang Ang paghahati ng istraktura sa mga may hangganang elemento ay isang napakahalagang hakbang sa pamamaraan para sa paglutas ng problema gamit ang FEM, dahil ang katumpakan ng resultang solusyon ay higit na nakasalalay dito. Ang tagumpay sa yugtong ito ay sinisiguro, una sa lahat, sa pamamagitan ng umiiral na mga kasanayan sa engineering. Maaaring humantong sa mga maling resulta ang hindi maayos na paghati sa isang lugar sa mga may hangganang elemento. Kapag nagtatalaga ng isang FE mesh, ang problema ng mahusay na paghahati ng istraktura sa mga subregion ay lumitaw. Dapat tandaan na ang mga sukat ng mga elemento ay dapat na sapat na maliit upang matiyak ang katanggap-tanggap na katumpakan ng solusyon sa kabilang banda, ang paggamit ng isang siksik na mesh ay humahantong sa malalaking sistema ng mga algebraic equation, ang solusyon kung saan ay nagsasangkot ng isang makabuluhang; dami ng computational work. Sa proseso ng paghahati ng lugar sa mga may hangganan na elemento, kinakailangang isaalang-alang ang ilang mga pangkalahatang ideya tungkol sa mga huling resulta ng pagkalkula upang mabawasan ang mga sukat ng mga may hangganan na elemento sa mga zone ng konsentrasyon ng stress, kung saan nagbabago ang mga nais na halaga. mabilis, at dagdagan ang mga laki ng FE kung saan dahan-dahang nagbabago ang mga nais na halaga. Ang isang mahalagang punto sa proseso ng paglutas ng isang problema gamit ang FEM ay ang pag-numero ng mga grid node, dahil ang lapad ng tape 6 ng matrix ng paglutas ng mga equation ay nakasalalay dito, ayon sa pagkakabanggit, ang oras ng pagkalkula at ang dami ng memorya ng computer na ginamit. Sa kasalukuyan, ang mga programa ng serbisyo ay binuo para sa awtomatikong pagkasira ng isang istraktura sa mga may hangganang elemento at makatwirang pagnunumero ng mga node. Pagbuo ng mga interpolating function Ang FEM ay batay sa pagtatantya ng isang tuluy-tuloy na function na tinukoy sa buong domain ng isang discrete na modelo gamit ang piecewise continuous function na tinukoy sa mga subdomain (finite elements). Isulat natin ang mga displacement, na mga function ng mga coordinate ng isang arbitrary point ng finite element, sa pamamagitan ng mga bahagi ng nodal displacement vector gamit ang interpolating function (shape function o basis function): u = Nz, (1) kung saan N = [ N1 N 2 … N s ] ay ang shape function matrix ; z = ( z1 z2 … zs ) - vector ng mga nodal displacement ng finite element (FE); s ay ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng FE. Dapat matugunan ng mga function (1) ang pamantayan ng pagiging kumpleto at pagiging tugma. Tingnan natin sila. 1. Pamantayan ng pagkakumpleto. Ang interpolating function ay dapat magbigay ng mga pare-parehong halaga ng mga itinuturing na dami habang bumababa ang mga dimensyon ng elemento. Upang matugunan ang kundisyong ito, ang interpolating function ay dapat na isang kumpletong polynomial ng hindi bababa sa degree p, kung saan ang p ay ang pinakamataas na pagkakasunod-sunod ng derivative na kasama sa functional. T Ang kondisyon ng pagkakumpleto ay nasiyahan sa kaso kapag s ∑ Ni = 1 . i =1 2. Pamantayan sa pagiging tugma. Ang interpolating function ay dapat na tuloy-tuloy kasama ang mga derivative nito hanggang sa (n – 1)th order inclusive (kung saan ang n ay ang maximum na order ng derivative sa integrand ng energy functional) sa hangganan sa pagitan ng mga elemento. Ang mga pamantayan sa pagiging kumpleto at pagiging tugma ay kumakatawan sa sapat na mga kundisyon para sa convergence ng finite element method. Kapag ang mga ito ay ginanap na may bumababang dimensyon ng finite element, humigit-kumulang 7 FEM na solusyon ang monotonikong nagtatagpo sa eksaktong solusyon. Hindi ito nangangahulugan na ang paglabag sa mga pamantayang ito ay humahantong sa imposibilidad ng pagkuha ng isang maaasahang solusyon. May mga hindi pare-pareho at kahit na hindi kumpletong mga elemento na nagbibigay ng mataas na katumpakan at mabilis na convergence. Pinagmulan ng mga pangunahing geometriko at pisikal na relasyon Sa pangkalahatan, ang relasyon sa pagitan ng mga deformation at displacement (mga geometriko na relasyon) ay nakasulat tulad ng sumusunod: ε = Bz, (2) kung saan ang ε ay ang vector ng mga deformation; z ay ang vector ng nodal displacements; Ang B ay isang matrix na nagkokonekta sa vector ng mga nodal displacement sa vector na naglalaman ng mga bahagi ng deformation tensor. Kaya, ipinapalagay na ang relasyon (2) sa pagitan ng mga deformation at nodal displacements ay linear. Ang isang linear na pag-asa ay tumutugma sa naturang mga kondisyon ng pagpapatakbo ng istraktura kapag ang mga deformation at mga anggulo ng pag-ikot ay maliit kumpara sa pagkakaisa, at ang mga parisukat ng mga anggulo ng pag-ikot ay maliit kumpara sa kaukulang mga bahagi ng pagpapapangit. Ang mga pisikal na relasyon na tumutukoy sa relasyon sa pagitan ng mga stress at strain ay may anyo na σ = Dε, (3) kung saan ang σ ay isang vector na naglalaman ng mga bahagi ng stress tensor; Ang D ay ang elasticity matrix. Ang mga equation ng estado (3) ay isang pangkalahatang batas ng Hooke, na nagtatatag ng direktang proporsyonal na relasyon sa pagitan ng mga stress at strain, na wasto para sa isang partikular na klase ng mga materyales sa isang partikular na seksyon ng σ − ε graph. Pagbuo ng isang finite element stiffness matrix Ang paglutas ng mga problema sa pagkalkula ng istruktura ay batay sa dalawang pangunahing diskarte. Sa unang kaso, ang mga differential equation na may ibinigay na mga kundisyon sa hangganan ay malulutas. Sa pangalawang kaso, ang kondisyon ng stationarity ng integral na dami na nauugnay sa gawain ng mga stress at panlabas na inilapat na pagkarga at kumakatawan sa kabuuang potensyal na enerhiya ng system ay nakasulat. Upang kalkulahin ang mga istruktura sa loob ng balangkas ng FEM, ginagamit ang pangalawang diskarte. Tulad ng nalalaman, ang kabuuang potensyal na enerhiya ng isang nababanat na sistema ay tinutukoy ng formula 8 Π (z) = W (z) − A(z), kung saan ang W ay ang potensyal na enerhiya ng pagpapapangit; Ang A ay ang potensyal ng mga panlabas na puwersa. Ang potensyal na enerhiya ng pagpapapangit ng isang nababanat na sistema ay tinutukoy ng kaugnayan W= 1 T ∫ ε σ dV , 2V kung saan ang V ay ang volume na inookupahan ng katawan, at ang potensyal ng panlabas na ipinamahagi na mga load ay tinutukoy ng formula A = ∫ uT p dS , S kung saan ang p ay ang vector ng mga panlabas na distributed load; Ang S ay ang lugar kung saan inilalapat ang pagkarga. Sa kasong ito, ang mga deformation at stress na kasama sa formula para sa potensyal na enerhiya ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga displacement ng nodal. Ang derivation ng mga equation ng FEM para sa mga displacement ay batay sa isa sa mga pangunahing prinsipyo ng enerhiya ng mekanika - ang prinsipyo ng Lagrange, ayon sa kung saan para sa isang sistema sa isang estado ng equilibrium, ang kabuuang potensyal na enerhiya ay tumatagal sa isang nakatigil na halaga. Ang kundisyong ito ay nakasulat sa anyong ∂Π = 0. ∂z Ipinapalagay namin na ang halaga ng kabuuang potensyal na enerhiya para sa buong rehiyon V ay katumbas ng kabuuan ng mga energies ng mga indibidwal na may hangganang elemento: m () m (() ( )) Π (z) = ∑ Π z = ∑ W i z i − Ai z i , i =1 i i i =1 (4) kung saan ang m ay ang bilang ng mga may hangganang elemento. Pagkatapos ∂Π m  ∂W i (z) ∂Ai (z) ⁇ = ∑⎜ − ⎟ = 0. ∂z i =1 ⎝ ∂z ∂z ⎠ (5) Isaalang-alang ang isang hiwalay na finite element, na inalis ang index i: 1 T 1 T (Bz)T DBz dV − ∫ (Nz)T p dS = ε σ dV − u p dS = ∫ ∫ ∫ 2V 2V S S 1 1 = zT (∫ BT DBz dV) z − = N zT ∫ zT Kz − zT P, (6) 2 2 S Π(z) = kung saan ang K = ∫ BT DB dV ay ang stiffness matrix ng finite element, at (7) V T P = ∫ N p dS ang vector ng mga nodal load. (8) S Pagkuha ng isang sistema ng mga equation ng finite element method Upang maisagawa ang summation operation, kinakailangan na ibahin ang anyo ng mga vectors ng nodal displacements z(i) at nodal load P(i) para sa isang indibidwal na finite element sa kaukulang mga vector. z at P para sa buong sistema, na maaaring gawin gamit ang ilang Boolean matrix H(i) na naglalaman lamang ng mga zero at isa bilang mga elemento: z (i) = H (i) z; P(i) = H(i)P. (9) Ang pagpapalit ng mga formula (9) sa expression para sa kabuuang potensyal na enerhiya ng finite element (6) ay nagbibigay ng: () () T 1 (i) T (i) (i) H z K H z − H (i) z H (i ) P = 2 T T 1 = zT H (i) K (i) H (i) z − zT H (i) H (i) P. 2 Pagkatapos pagkita ng kaibhan na may kinalaman sa z, alinsunod sa formula ( 5), humahantong sa mga equation ng system: Π (i) = m ∑ i =1 (T T) H (i) K (i) H (i) z − H (i) H (i) P = 0 , (10 ) kung saan ginagamit ang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng mga relasyon sa matrix ∂ T z Kz = 2 Kz . Ang ∂z System (10), na maaaring isulat sa anyong () Kz = P, (11) 10 ay isang sistema ng linear algebraic equation ng finite element method, na mga equilibrium equation sa mga displacement. Bilang isang tuntunin, ang solusyon ng system (11) ay isinasagawa gamit ang Gaussian method o iterative method. (i)T Ang stiffness matrix ng isang indibidwal na elemento H K (i) H (i) na lumalabas sa formula (10) ay isang pinahabang matrix na ang dimensyon ay katumbas ng dimensyon ng global matrix. Samakatuwid, ang paggamit ng pamamaraan ng pagsusuma sa formula (10) sa numerical na pagpapatupad ng FEM ay hindi epektibo. Sa mga praktikal na kalkulasyon, ang global stiffness matrix ay direktang itinayo. Sa kasong ito, ang matrix K ay itinayo para sa isang indibidwal na may hangganang elemento ayon sa formula (7), na may sukat na S×S. Pagkatapos, ang mga row at column ng matrix na ito ay itinalaga ng mga bilang ng pandaigdigang antas ng kalayaan, na ginagawang posible upang matukoy ang lokasyon ng FE stiffness matrix coefficients sa global stiffness matrix. Pagkatapos nito, ang mga coefficient ng FE stiffness matrix ay ipinasok sa pre-zeroed global matrix sa lugar na tinutukoy ng kanilang address. Hayaan, halimbawa, ang sistema ay binubuo ng dalawang FE na naglalaman ng dalawang node, bawat isa ay may isang hindi alam (isang antas ng kalayaan). Ang kabuuang bilang ng mga node ng system ay 3, ang dimensyon ng global matrix ay 3 × 3, ang mga elemento ay konektado sa isa't isa sa 2nd node. Ang stiffness matrice ng 1st at 2nd FE, na may kaukulang pagnunumero ng mga coefficient, at ang global matrix ay may anyo na K (1) = 1 ⎡ k11 ⎢ 1 ⎣⎢ k21 1 ⎤ k12 ⎥; 1 k22 ⎦⎥ K (2) = 2 ⎡ k22 ⎢ 2 ⎢⎣ k32 1 1 ⎡ k11 k12 2 ⎤ ⎢ 1 k23 1 2 = ; K ⎥ ⎢ k21 k22 + k22 2 k33 ⎥⎦ ⎢ 2 k32 ⎢⎣ 0 0 ⎤ ⎥ 2 k23 ⎥. 2 ⎥ k33 ⎥⎦ Sa matrix K ng sistema ng mga equation (11), kinakailangang isaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan, kung hindi man ito ay magiging degenerate, iyon ay, ang determinant nito ay magiging katumbas ng zero. Maaaring isaalang-alang ang mga kundisyon sa hangganan sa tatlong magkakaibang paraan: 1. Ang kth row at kth column na tumutugma sa displacement zk = 0 ay inalis mula sa matrix K. Pagkatapos nito, ang mga row at column ng matrix 11 ay muling binibilang. Alinsunod dito, bumababa ang dimensyon ng nodal displacement vector. 2. Ang equation na zk = 0, na tumutugma sa kondisyon ng hangganan, ay nabuo bilang bahagi ng matrix K. Upang makuha ang zk = 0 sa matrix K, ang k-th row at k-th column, pati na rin ang kaukulang elemento sa vector ng mga panlabas na load P, ay puno ng mga zero. Ang lugar ng diagonal na elemento rrr sa matrix K ay pinalitan ng isa. Bilang isang resulta, ang pagkakasunud-sunod ng matrix ay hindi nagbabago, at ang mga tinukoy na paggalaw ay tumatanggap ng mga zero na halaga. 3. Upang makakuha ng zk = 0, ang diagonal na elemento rrr ay pinarami ng malaking bilang. Ang pagkakasunud-sunod ng matrix ay hindi nagbabago. Pagpapasiya ng mga deformation at stress Bilang resulta ng paglutas ng sistema ng mga equation (11), ang vector ng mga nodal displacements ng buong istraktura ay tinutukoy. Batay sa mga nahanap na halaga ng mga nodal displacement, ang FE deformation vector ay tinutukoy gamit ang formula (2), at ang stress vector ay tinutukoy gamit ang formula (3). Dalawang-dimensional na elemento ng simplex Ang pag-uuri ng mga may hangganan na elemento ay maaaring isagawa alinsunod sa pagkakasunud-sunod ng mga polynomial - mga pag-andar ng mga elementong ito. Sa kasong ito, tatlong grupo ng mga elemento ang isinasaalang-alang: 1) simplex na mga elemento; 2) mga kumplikadong elemento; 3) mga elemento ng multiplex. Ang mga elemento ng simplex ay tumutugma sa mga polynomial ng unang antas. Ang mga kumplikadong elemento ay mga polynomial na may mas mataas na pagkakasunud-sunod. Sa isang simplex na elemento, ang bilang ng mga node ay katumbas ng dimensyon ng espasyo +1. Sa isang kumplikadong elemento ang bilang ng mga node ay mas malaki kaysa sa halagang ito. Para sa mga elemento ng multiplex, ginagamit din ang mga high-order na polynomial, ngunit ang mga hangganan ng mga elemento ay dapat na parallel sa mga coordinate axes. Isaalang-alang natin ang pagbuo ng isang stiffness matrix para sa isang two-dimensional simplex na elemento. Ang isang two-dimensional simplex na elemento ay isang tatsulok na may mga node na matatagpuan sa mga vertices nito (Larawan 1). 12 Fig. 1. Ang dalawang-dimensional na simplex na elementong FE node ay binibilang na counterclockwise, simula sa ilang arbitraryong napiling i-th node. Ang mga coordinate ng i-th, j-th at k-th node sa kahabaan ng x axis ay itinalaga ng xi, x j, xk, at sa kahabaan ng y axis - ng yi, y j, yk. Ang bawat node ay may dalawang antas ng kalayaan - paggalaw ng u kasama ang x-axis at paggalaw ng v kasama ang y-axis. Ang mga interpolating function na tumutukoy sa paggalaw ng isang arbitrary na FE point sa kahabaan ng x at y axes ay kinuha sa anyong u (x, y) = α 0 + α1 x + α 2 y; (12) v(x, y) = α3 + α 4 x + α5 y. Ang mga koepisyent α 0 ,…, α5 ay tinutukoy gamit ang mga kundisyon sa hangganan: u = ui, v = vi para sa x = xi at y = yi; u = u j, v = v j para sa x = x j at y = y j; u = uk, v = vk para sa x = xk at y = yk. Tukuyin natin ang mga coefficient α 0 , α1 , α 2 . Upang gawin ito, pinapalitan natin ang mga kundisyon ng hangganan para sa function at sa unang expression (12), na hahantong sa isang sistema ng mga equation: ui = α 0 + α1 xi + α 2 yi ; u j = α 0 + α1 x j + α 2 y j ; uk = α 0 + α1 xk + α 2 yk . 13 ⎡1 xi ⎢ O ⎢1 x j ⎢1 x k ⎣ yi ⎤ ⎧α 0 ⎫ ⎧ ui ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y j ⎥ ⎨ α1 ⎬ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk ⎥⎦ ⎩α 2 ⎭ ⎩uk ⎭ (13) Ang determinant ng system (13) ay katumbas ng dalawang beses sa area F ng triangular na elemento: 1 xi 1 xj yi y j = 2F . 1 xk yk (14) Pagkatapos, ayon sa panuntunan ni Cramer, α0 = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 1 xi 1 xj yi yj 1 xk yk = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 2F o x j ⎡ − x k y j − u j (xi yk − x k yi) − uk xi y j − x j yi ⎤ . ⎣ ⎦ 2F Ang mga coefficient na α1 at α 2 ay tinutukoy nang katulad. Matapos palitan ang mga expression para sa α0 , α1 , α 2 sa unang formula (12) mayroon tayong 1 ⎡ u(x, y) = (ai + bi x + c i y) ui + a j + bj x + c j y u j + 2F ⎣ + ( ak + bk x + c k y) uk ⎤⎦ , (15) α0 = () (()) kung saan ai = x j yk − x k y j ; bi = y j − yk ; ci = xk − x j . (16) Ang natitirang mga coefficient sa (15) ay nakuha mula sa mga formula (16) sa pamamagitan ng cyclic permutation ng mga indeks (index i ay pinalitan ng index j, index j ng index k, index k ng index i). Katulad nito: v(x, y) = 1 ⎡ (ai + bi x + c i y) vi + a j + bj x + c j y v j + 2F ⎣ + (ak + bk x + c k y) vk ⎤⎦ . () 14 (17) Pagkatapos ay nasa anyong matrix ⎡ Ni ⎧u ⎫ u = ⎨ ⎬ = Nz = ⎢ ⎩v ⎭ ⎢⎣ 0 0 Nj 0 Nk Ni 0 Nj 0 ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ i⎪⎪v ⎪ i⎪ u j ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬, N k ⎥⎦ ⎪ v j ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 1 1 a j + bj x + c j y ; (ai + bi x + c i y); N j = 2F 2F (18) 1 Nk = (ak + bk x + c k y). 2F Ang mga geometriko na relasyon na nag-uugnay sa mga deformasyon at displacement sa loob ng balangkas ng isang plane problem of elasticity theory ay isinulat gamit ang mga formula (15), (17) tulad ng sumusunod: (kung saan Ni =) ∂u 1 ∂v 1 bi ui + b j u j + bk uk ; ε y = ci vi + c j v j + ck vk ; = = ∂x 2 F ∂y 2 F ∂u ∂v 1 ci ui + c j u j + ck uk + bi vi + b j v j + bk vk γ xy = + = ∂y ∂x 2 F o sa anyong matrix: εx = () ((⎧ε ⎫ ⎡bi x ⎪ ⎪ 1 ⎢ ε = ⎨ εy ⎬ = ⎢0 ⎪ ⎪ 2F ⎢ ⎩ γ xy ⎭ ⎣ci ⎡bi 1 ⎡bi 1 ⎢) kung saan B2 ⎢ 0 bk ci . ⎦ ⎪ ⎪ u ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 0⎤ ⎥ ck ⎥ - gradient matrix. ⎥ bk ⎦ 15 (19) Ang halaga ng dobleng lugar ng finite element 2F sa expression (19) ay kinakalkula gamit ang formula (14). Ang mga pisikal na relasyon na tumutukoy sa ugnayan sa pagitan ng mga stress at strain sa isang plane problem ng theory of elasticity ay nakasulat sa form na σ = Dε , ⎡ ⎤ ⎢ 1 ν1 0 ⎥ ⎥ E1 ⎢ kung saan ang D = 1 0 ν 1 ⎥ ay ang elasticity matris. 2 ⎢ 1 − ν1 ⎢ 1 − ν1 ⎥ ⎢0 0 ⎥ 2 ⎦ ⎣ (20) Sa kaso ng pagpapapangit ng eroplano (ε z = 0), sa formula (20) dapat nating kunin ang E1 = E ν ; ν = , 1 1− ν 1 − ν12 (21) at para sa pangkalahatang estado ng stress ng eroplano (σ z = 0) E1 = E ; ν1 = ν. (22) Ang mga formula (21) at (22) ay tumutugma sa isang isotropic na materyal na may elastic modulus E at ratio ng Poisson na ν. Hindi mahirap na bumuo ng mga elasticity matrice para sa isang orthotropic na materyal kapag ang mga katangian ng stiffness ay naiiba sa dalawang magkaparehong patayo na direksyon. Dahil ang mga matrice B at D ay naglalaman lamang ng mga constant, ang volume integral na tumutukoy sa stiffness matrix ng elemento sa formula (7) ay madaling kalkulahin: K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV V (23) V o K = BT DB tF . (24) Sa formula (24) t ay ang kapal ng elemento; Ang F ay ang lugar ng elemento. Karaniwan, ang stiffness matrix (24) ay tinutukoy ayon sa numero. Upang gawin ito, una ang mga numerical na halaga ng mga coefficient ng matrice B at D ay matatagpuan, at pagkatapos ay ang multiplikasyon ay isinasagawa alinsunod sa expression (23) o (24). HALIMBAWA NG PAGSASAGAWA NG TRABAHO SA LABORATORY Bago magsagawa ng gawaing laboratoryo, muli nating alalahanin ang mga pangunahing yugto ng pamamaraang FEM: 1. Ang elastic body ay nahahati sa mga elemento. Volumetric na katawan sa mga tetrahedron o parallelepiped. Flat na katawan - sa mga tatsulok at parihaba. 2. Para sa bawat elemento, ang isang stiffness matrix ay binuo gamit ang function ng hugis. Ang function ng hugis ay isang paraan ng pagtatantya ng hindi kilalang displacement function. 3. Ang mga elemento ng stiffness matrice ay pinagsama sa isang solong stiffness matrix para sa buong katawan. 4. Sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation, ang mga nodal displacement ay matatagpuan. 5. Gamit ang mga equation ng theory of elasticity, natutukoy ang mga deformation at stress sa mga nodal point ng katawan. Sa ibinigay na halimbawa, isang problema sa eroplano sa teorya ng pagkalastiko ay nalutas. Ang isang singsing na puno ng dalawang pwersa (Larawan 2, c) ay may dalawang axes ng simetrya, samakatuwid, upang madagdagan ang katumpakan ng pagkalkula, isinasaalang-alang namin ang isang ikaapat na bahagi ng singsing (Larawan 3). Sa mga palakol ng mahusay na proporsyon, ang mga kondisyon ng hangganan ng mga zero displacement na patayo sa mga axes ng simetrya ay dapat masiyahan. Hinahati namin ang itinuturing na quarter ng singsing sa tatsulok na may hangganan na mga elemento (tingnan ang Fig. 2, b). Ang triangular na elemento ay may 6 na antas ng kalayaan (mga independiyenteng paggalaw ng nodal). Ang pagbilang ng mga paggalaw ng nodal sa isang elemento ay nagsisimula sa ibabang kaliwang node ng tatsulok at nagpapatuloy sa counterclockwise. Ang mga pahalang na paggalaw ay kakaiba, ang mga patayong paggalaw ay pantay. Ang pagnunumero ng mga node ng buong katawan at mga may hangganang elemento ay nasa mga hanay mula sa itaas hanggang sa ibaba, mula kaliwa hanggang kanan. Ang mga sukat ng mga elemento ay maaaring magkakaiba (mas maliit ang elemento, mas mataas ang katumpakan ng mga kalkulasyon). Sa aming halimbawa mayroon lamang 66 na node at 100 may hangganang elemento. Ang posisyon ng kinakalkula na mga node ay ipinapakita sa Fig. 3, b. Ang pagkalkula ng mga coordinate ng node ay ipinapakita sa Fig. 4. Ang pagpasok sa mga coordinate ng mga node ay maingat na trabaho, at sa isang malaking bilang ng mga node ay mas mahusay na i-automate ang gawaing ito. 17 a b c Fig. 2. Naglo-load ng diagram at tatsulok na may hangganang elemento a b Fig. 3. Diagram ng disenyo at mga coordinate ng mga node Sa Fig. Ipinapakita ng 4 ang pagkalkula ng mga polar coordinate ng mga node at ang kanilang pagbabago sa hugis-parihaba (Cartesian) na mga coordinate. Narito ang r1 at r2 ay ang panlabas at panloob na radii ng singsing; t - kapal ng singsing; φ1 at φ2 - paunang at panghuling halaga ng angular coordinate; X0 at Y0 - Cartesian coordinate ng pole (pinagmulan ng polar coordinate); nr at nφ - ang bilang ng mga node sa isang column (kasama ang radius) at sa isang hilera (sa kahabaan ng coverage angle ng bahagi ng katawan na isinasaalang-alang). Ang mga resulta ng mga kalkulasyon ng mga coordinate ng node ay ipinapakita sa graph (Larawan 5). 18 Fig. 4. Pagkalkula ng mga coordinate ng mga node ng elemento Fig. 5. Grid ng mga node 19 Ang gawain ng pag-compile ng isang index matrix ay napakasakit din at nakakaubos ng oras. Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 6 ang programa para sa pag-compile ng index matrix na ginamit sa halimbawa. Ipinapakita rin nito ang awtomatikong pagkalkula ng mga kundisyon ng hangganan at, depende sa bilang ng mga node, ang mga bilang ng mga paggalaw kung saan ang paggalaw sa mga axes ng symmetry ay zero. Ang pag-automate ng mga kalkulasyon ng mga coordinate ng node, index matrice at mga kondisyon ng hangganan ay nagbibigay-daan para sa isang ibinigay na scheme na baguhin ang bilang ng mga node (Larawan 7). kanin. 6. Programa para sa pagkalkula ng index matrix 20 Fig. 7. Ang index matrix, mga coordinate ng node, mga numero at tinukoy na mga paggalaw ay maaaring isulat sa mga hiwalay na file, tulad ng ipinapakita sa Fig. 8. Ang mga file na ito ay maaaring basahin sa ibang pagkakataon gamit ang READPRN function at gamitin sa ibang dokumento. 21 Fig. 8. Pagsusulat ng mga coordinate, index matrice at mga kondisyon ng hangganan sa mga panlabas na file Ang pagkalkula na ito ay isinagawa na isinasaalang-alang ang mga sukat (Larawan 4). Ang pagsasaalang-alang sa mga sukat ay nagpapakilala ng mga karagdagang paghihirap sa isang medyo kumplikadong pagkalkula, lalo na kapag nagpapasok ng mga matrice batay sa mga halaga ng dimensyon (Larawan 9). kanin. 9. Vector ng mga puwersa at matrix ng mga indeks ng displacement 22 Ang bawat triangular na elemento ay may 3 node at 6 na nodal displacement. Ang matrix ng mga indeks ng displacement (ang matrix ng koneksyon sa pagitan ng mga pandaigdigang bilang ng mga paggalaw ng nodal ng katawan at ang mga lokal na bilang ng mga paggalaw ng nodal ng mga elemento) ay nakuha sa pamamagitan ng pagdodoble sa MIU matrix. Ang element stiffness matrix ay kinakalkula gamit ang formula K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV . V (23) V Dito B = ∂T N, kung saan ang D ay ang internal stiffness matrix na naglalaman ng elastic constants ng materyal na E, ν; ∂ - operator ng pagkakaiba-iba ng matrix, ibig sabihin ay isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng pagtatalaga ng isang palatandaan ng pagkakaiba; Ang N ay isang matrix ng mga function ng hugis. Para sa isang tatsulok na elemento, ang function ng hugis ay ang equation ng eroplano, na tinutukoy ng mga expression (18). Tulad ng ipinakita sa itaas (tingnan. expression (19)), ang matrix B = ∂T N ay naglalaman ng mga constant na nakadepende lamang sa mga coordinate ng mga node. Ipakita natin ang pagkalkula ng mga coefficient para sa pagbuo ng elemento ng stiffness matrix (Fig. 10) at ang pagkalkula ng lugar ng mga elemento (Fig. 11). kanin. 10. Pagkalkula ng mga coefficient para sa pagbuo ng elemento ng stiffness matrix 23 Fig. 11. Pagkalkula ng lugar ng mga elemento Ang matrix ng panloob na katigasan D ay ipinapakita sa ibaba (Larawan 12) at nakasulat sa anyo ng isang conditional operator: iba't ibang mga matrice para sa eroplano na naka-stress na estado NDS = 0 at ang plane strained state NDS = 1. Fig. 12. Pagbubuo ng internal stiffness matrix Para sa isang triangular na elemento, ang volume integral ay katumbas ng produkto ng integrand at ang volume. Formula (23) para sa pagkalkula ng element stiffness matrix ay ibinibigay sa itaas. Ang system stiffness matrix ay nabuo gamit ang isang index matrix. 24 Isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan ay sinamahan ng muling pagsasaayos ng system stiffness matrix at ang force vector (Fig. 13). kanin. 13. Ang pagbuo ng system stiffness matrix at isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng hangganan Ang mga nodal displacement ay tinutukoy sa pamamagitan ng pag-invert ng stiffness matrix. kanin. 14. Pagtukoy ng mga displacement ng node, deformation at stress sa gitna ng elemento Ayon sa mga equation ng theory of elasticity ε = ∂T u, kung saan ang u ay ang displacement vector. Ayon sa mga equation ng koneksyon sa pagitan ng nodal displacements ∆ at displacements u ng isang arbitrary point u = N ∆. 25 () Kaya ang pagpapapangit ng elemento ε = ∂T N ∆. Mula sa mga pisikal na equation ng theory of elasticity (Hooke's law) stress σ = Dε. Ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ay nakasalalay sa maingat na paggamit ng mga indeks ng mga elemento, node, column, row, at pagtatalaga ng mga halaga sa mga indeks na kinuha mula sa index matrix. Para sa isang triangular na elemento, ang function ng hugis ay linear, kaya ang mga derivatives ng function ng hugis, strain at stress, ay matatagpuan sa Fig. 14, ay pare-pareho sa buong lugar ng elemento. Ang mga stress sa body node ay tinukoy bilang ang arithmetic mean ng mga stress o strain sa lahat ng elementong nagtatagpo sa isang node. Ang pagkalkula ng mga stress at strain sa mga node ng katawan ay ipinapakita sa Fig. 15. Fig. 15. Pagpapasiya ng mga displacements ng body nodes, stresses at deformations sa gitna ng bawat elemento 26 Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 15 ang kahulugan ng ika-4 na halaga ng deformation at stress sa bawat elemento, na hindi isinasaalang-alang sa panloob na stiffness matrix D. Paggawa gamit ang dokumentong Mathcad, kung aalisin natin ang expression na NDS: = 1 sa ibaba ng expression na NDS: = 0 , pagkatapos ay makikita natin ang mga resulta ng pagkalkula na wala na sa estado ng stress ng eroplano, at sa estado ng pagpapapangit ng eroplano. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinapakita sa Fig. 16. Fig. 16. Mga resulta ng pagkalkula 27 Gawain sa laboratoryo Lutasin ang isang plane problem sa teorya ng elasticity gamit ang finite element method (FEM). Ang isang singsing na puno ng dalawang puwersa (Larawan 3, b) ay may dalawang axes ng simetrya, samakatuwid, upang madagdagan ang katumpakan ng pagkalkula, kinakailangang isaalang-alang ang isang ikaapat na bahagi ng singsing. Gamit ang isang angkop na mesh, ito ay nahahati sa isang sistema ng tatsulok na may hangganan na mga elemento. Ang bilang ng mga node sa kahabaan ng radius nr at ang bilang ng mga node sa kahabaan ng anggulo ng saklaw ng itinuturing na bahagi ng katawan nφ ay pinili mula sa talahanayan ng mga indibidwal na gawain alinsunod sa opsyon. Tukuyin ang mga strain at stress sa isang plane stress state at sa isang plane deformed state. Mga opsyon para sa mga indibidwal na gawain Blg. Bilang ng mga node sa kahabaan ng radius, nr 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 8 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 8 14 9 15 10 kasama ang saklaw ng Bilang ng mga node anggulo, nφ 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 4 6 7 8 Numero ng opsyon 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Bilang ng mga node sa kahabaan ng radius, nr 1 1 1 1 2 13 10 11 12 13 11 12 13 Bilang ng mga node ayon sa anggulo ng saklaw, nφ 9 4 5 6 4 8 9 7 5 6 7 6 4 5 6 Mga nilalaman ng ulat Dalawang file ang dapat gawin sa working directory ng mag-aaral na naglalaman ng mga debugged na dokumento sa Mathcad system na tumutugma sa mga kalkulasyon sa isang plane stress state at sa isang flat deformed state. 28 Ang ulat sa gawaing laboratoryo ay dapat maglaman ng: 1) ang pangalan ng gawaing laboratoryo; 2) ang layunin ng gawaing laboratoryo; 3) gawain; 4) na-debug na mga dokumento sa pagpapatupad ng gawain na kinopya mula sa screen ng monitor. Mga tanong sa pagsusulit 1. Para saan ang paraan ng finite element na ginamit? 2. Magbigay ng pangkalahatang pamamaraan ng pagkalkula gamit ang paraan ng finite element. 3. Ano ang ideyal na disenyo? 4. Mula sa anong sistema ng linear algebraic equation natutukoy ang mga displacement ng mga node? 5. Paano tinutukoy ang uri ng approximating polynomial? 6. Anong mga function ang tinatawag na mga base function? 7. Paano tinutukoy ang mga function ng hugis? 8. Paano tinutukoy ang mga function ng displacement? 9. Paano natutukoy ang mga deformation function? 10. Paano tinutukoy ang mga boltahe? 11. Anong prinsipyo ang ginagamit upang matukoy ang mga pangkalahatang pwersa? 12. Paano natutukoy ang element stiffness matrix? 13. Paano pinagsama ang system stiffness matrix? 14. Sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang kung ano ang nakakaimpluwensya sa mga libreng termino ng sistema ng canonical equation ay nakuha? 15. Ano ang maaaring maging sanhi ng mga paunang pagpapapangit? 16. Ano ang maaaring maging sanhi ng prestress? 17. Paano tinutukoy ang mga reaktibong pwersa dahil sa mga indibidwal na epekto? 18. Paano kinakalkula ng Mathcad system ang mga coordinate ng mga grid point? 29 Bibliograpiya 1. Darkov V.A. Mekanika ng istruktura: aklat-aralin. para sa mga build. espesyalista. unibersidad / V.A. Darkov, N. N. Shaposhnikov. Ed. Ika-8, binago at karagdagang M.: Mas mataas. paaralan, 1986. 607 p. 2. Makarov E.G. Mga kalkulasyon ng engineering sa Mathcad 14: kurso sa pagsasanay. St. Petersburg : Peter, 2007. 592 p. 3. Trushin S.I. May hangganan na paraan ng elemento. Teorya at mga gawain: aklat-aralin. M.: Publishing house ASV, 2008. 256 p. 4. Khechumov R.A. Application ng paraan ng may hangganan na elemento sa pagkalkula ng mga istruktura / R.A. Khechumov, H. Keppler, V.I. Prokopyev. M.: Publishing house ASV, 1994. 353 p. 30 Educational publication Ignatiev Alexander Vladimirovich, Mikhailova Natalia Anatolyevna, Ereshchenko Tatyana Vladimirovna FINITE ELEMENT METHOD AT IMPLEMENTATION NITO SA MATHCAD ENVIRONMENT Laboratory workshop sa disiplina na "Analytical at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng matematika" Headmatical equation. RIO O.E. Ulo ng Goryacheva inedit ni M.L. Peschanaya Editor O.A. Shipunova Computer editing at layout N.A. Pumirma si Derina para sa publikasyon noong 06/30/10. Format 60x84/16. Offset na papel. Screen printing. Times typeface. May kundisyon hurno l. 1.9. Pang-akademikong ed. l. 1.7. Sirkulasyon 100 kopya. Order No. 70 Institusyong pang-edukasyon ng estado ng mas mataas na propesyonal na edukasyon "Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering" Editoryal at Publishing Department Sektor ng pagpapatakbo ng pag-print CIT 400074, Volgograd, st. Akademicheskaya, 1 31