Isaalang-alang natin ang mga integral na may ugat ng isang linear fractional function:
(1) ,
kung saan ang R ay ang rational function ng mga argumento nito. Iyon ay, isang function na binubuo ng kanyang mga argumento at arbitrary constants gamit ang isang may hangganang bilang ng mga operasyon ng karagdagan (pagbabawas), multiplikasyon at paghahati (pagtaas sa isang integer na kapangyarihan).

Mga halimbawa ng itinuturing na integral na may fractional linear irrationality

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga integral na may mga ugat ng anyo (1) .

Halimbawa 1

Bagama't dito ang integral sign ay kinabibilangan ng mga ugat ng iba't ibang antas, ang integrand expression ay maaaring mabago tulad ng sumusunod:
;
;
.

Kaya, ang integrand ay binubuo ng integration variable x at ang ugat ng linear function gamit ang isang finite number of subtraction, division, at multiplication operations. Samakatuwid ito ay isang rational function ng x at at nabibilang sa uri na isinasaalang-alang (1) na may pare-parehong halaga n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Halimbawa 2

Dito ginagawa namin ang conversion:
.
Ito ay nagpapakita na ang integrand ay isang rational function ng x at .

Samakatuwid ito ay kabilang sa uri na pinag-uusapan.

Pangkalahatang halimbawa ng fractional linear irrationality
(2) ,
Sa isang mas pangkalahatang kaso, ang integrand ay maaaring magsama ng anumang limitadong bilang ng mga ugat ng parehong linear fractional function:
kung saan ang R ay ang rational function ng mga argumento nito,
- mga makatwirang numero, m 1, n 1, ..., m s, n s
- mga integer.
,
Sa katunayan, hayaan n ang karaniwang denominator ng mga numero r 1, ..., r s. Pagkatapos ay maaari silang katawanin bilang: saan k (2) 1 , k 2 , ..., k s
,
,
. . . . .
.

- mga integer. Pagkatapos ay kasama ang lahat (2) Ang mga ugat ay mga kapangyarihan ng:
.

Iyon ay, ang buong integrand

binubuo ng x at ang ugat gamit ang isang may hangganang bilang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan, pagpaparami, at paghahati. Samakatuwid ito ay isang rational function ng x at :
(1)
Paraan ng pagsasama ng ugat
(3) .

Integral sa fractional linear irrationality

binabawasan sa integral ng isang rational function sa pamamagitan ng pagpapalit (3) :
.

Patunay (3) :
;
;
.

Kinukuha ang ugat ng degree n mula sa magkabilang panig

;
;
.
Magtransform tayo
.

Paghahanap ng derivative: (1) :
.

Ipinapakita nito na ang integrand function ay binubuo ng mga constants at isang integration variable t gamit ang isang may hangganang bilang ng karagdagan (pagbabawas), multiplikasyon (pagtaas sa isang integer na kapangyarihan) at division operations. Samakatuwid, ang integrand ay isang rational function ng integration variable. Kaya, ang pagkalkula ng integral ay nabawasan sa pagsasama ng isang rational function. Q.E.D.

Halimbawa ng linear irrationality integration

Hanapin ang integral:

Solusyon

Dahil ang integral ay kinabibilangan ng mga ugat ng parehong (fractional) linear function x + 1 , at ang integrand ay nabuo gamit ang mga operasyon ng pagbabawas at paghahati, kung gayon ang integral na ito ay kabilang sa uri na isinasaalang-alang.

Ibahin natin ang integrand upang kasama nito ang mga ugat ng parehong antas:
;
;
.

Paggawa ng pagpapalit
x+ 1 = t 6.
Kunin natin ang pagkakaiba:
d (x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt.
Palitan natin:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Pinipili namin ang buong bahagi ng fraction, tandaan iyon
t 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Pagkatapos

.

Sagot

,
saan .

Halimbawa ng integrasyon ng fractional-linear irrationality

Hanapin ang integral

Solusyon

Piliin natin ang ugat ng linear fractional function:
.
Pagkatapos
.
Paggawa ng pagpapalit
.
Kunin ang kaugalian
.
Paghahanap ng derivative
.
Pagkatapos
.
Susunod na mapapansin natin iyon
.
Palitan sa integrand


.

Sagot

Ginamit na panitikan:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Ang mga handa na sagot sa pagsasama-sama ng mga function ay kinuha mula sa pagsusulit para sa 1st at 2nd year na mga mag-aaral ng mga departamento ng matematika. Upang matiyak na ang mga pormula sa mga problema at mga sagot ay hindi inuulit ang mga kondisyon ng mga gawain, hindi namin isusulat ang mga kundisyon. Alam mo na na sa mga problema kailangan mong "Hanapin ang integral" o "Kalkulahin ang integral". Samakatuwid, kung kailangan mo ng mga sagot sa pagsasama, simulang pag-aralan ang mga sumusunod na halimbawa.

Pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar

Halimbawa 18. Nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa ilalim ng integral. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, pinipili namin hindi lamang ang ugat, ngunit ang buong denominator para sa bagong variable. Pagkatapos ng naturang kapalit, ang integral ay binago sa kabuuan ng dalawang tabular integral, na hindi kailangang gawing simple.

Pagkatapos ng pagsasama, pinapalitan namin ang isang pagpapalit para sa variable.
Halimbawa 19. Sa pagsasama ng fractional na ito hindi makatwiran na pag-andar Nag-aksaya kami ng maraming oras at espasyo at hindi namin alam kung maiintindihan mo ang isang bagay mula sa iyong tablet o telepono. Upang mapupuksa ang hindi makatwiran, at dito tayo ay nakikipag-usap sa cube root, pipiliin natin ang root function sa ikatlong kapangyarihan para sa bagong variable. Susunod na hanapin namin ang kaugalian at palitan ito nakaraang function sa ilalim ng integral

Ang iskedyul ay tumatagal ng pinakamaraming oras bagong feature sa mga relasyon sa kapangyarihan at mga fraction

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakita namin kaagad ang ilan sa mga integral, at isinusulat namin ang huli sa dalawa, na binago namin ayon sa mga formula ng pagsasama-sama ng tabular.

Matapos ang lahat ng mga kalkulasyon, huwag kalimutang bumalik sa kapalit na ginawa sa simula

Pagsasama ng mga function ng trigonometriko

Halimbawa 20. Kailangan nating hanapin ang integral ng sine hanggang sa ika-7 kapangyarihan. Ayon sa mga patakaran, ang isang sine ay kailangang itulak sa isang kaugalian (nakukuha natin ang kaugalian ng cosine), at ang sine hanggang sa ika-6 na kapangyarihan ay dapat na isulat sa pamamagitan ng cosine. Kaya dumating tayo sa integrasyon mula sa function ng bagong variable t = cos (x).



Sa kasong ito, kailangan mong dalhin ang pagkakaiba sa kubo, at pagkatapos ay isama
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng polynomial ng order 7 sa cosine.


Halimbawa 21. Sa integral na ito, kinakailangang isulat ang cosine ng ika-4 na degree sa mga trigonometrikong formula sa pamamagitan ng pag-asa sa cosine ng unang degree. Susunod, inilalapat namin ang tabular na formula para sa pagsasama ng cosine.

Halimbawa 22. Sa ilalim ng integral mayroon tayong produkto ng sine at cosine. Ayon sa mga trigonometric formula, isinusulat namin ang produkto sa pamamagitan ng pagkakaiba ng mga sine. Kung paano nakuha ang bow na ito ay mauunawaan mula sa pagsusuri ng mga coefficient para sa "x". Susunod na isasama namin ang mga sine

Halimbawa 23. Dito mayroon tayong parehong function ng sine at cosine sa denominator. Bukod dito, ang mga trigonometrikong formula ay hindi makakatulong upang gawing simple ang pagtitiwala. Upang mahanap ang integral, inilalapat namin ang unibersal na trigonometric na kapalit t=tan(x/2)

Mula sa tala ay malinaw na ang mga denominator ay magkansela at makakakuha tayo ng isang parisukat na trinomial sa denominator ng fraction. Sa loob nito pumili kami ng isang kumpletong parisukat at isang libreng bahagi. Pagkatapos ng pagsasama, dumating tayo sa logarithm ng pagkakaiba sa pagitan ng mga pangunahing kadahilanan ng denominator. Upang gawing simple ang notasyon, ang numerator at denominator sa ilalim ng logarithm ay pinarami ng dalawa.
Sa pagtatapos ng mga kalkulasyon, sa halip na ang variable, pinapalitan namin ang tangent ng kalahati ng argumento.

Halimbawa 24. Upang pagsamahin ang function, kinuha namin ang parisukat ng cosine sa labas ng mga bracket, at sa mga bracket ay binabawasan namin at magdagdag ng isa upang makuha ang cotangent.

Susunod, pipiliin natin ang cotangent u = ctg (x) para sa bagong variable, ang pagkakaiba nito ay magbibigay sa atin ng salik na kailangan natin para sa pagpapasimple. Pagkatapos ng pagpapalit dumating kami sa isang function na, kapag isinama, ay nagbibigay ng arctangent.
Well, huwag kalimutang palitan ka sa cotangent.


Halimbawa 25. Sa huling gawain ng pagsusulit, kailangan mong isama ang cotangent ng isang dobleng anggulo sa ika-4 na antas. Tungkol dito pagsubok
Kung matutunan mo kung paano mag-integrate tulad nito, hindi nakakatakot para sa iyo ang mga pagsubok o seksyon sa paksa ng mga integral. Ang iba ay may pagkakataong matuto o mag-order ng mga solusyon ng mga integral mula sa amin (o sa aming mga kakumpitensya :))).

Ang klase ng mga hindi makatwiran na pag-andar ay napakalawak, kaya hindi maaaring magkaroon ng isang unibersal na paraan upang pagsamahin ang mga ito. Sa artikulong ito susubukan naming i-highlight ang pinaka katangian ng mga species irrational integrand function at iugnay ang paraan ng integration sa kanila.

May mga kaso kung kailan angkop na gamitin ang paraan ng pag-subscribe sa differential sign. Halimbawa, kapag naghahanap ng mga hindi tiyak na integral ng anyo, kung saan p– rational fraction.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi tiyak na integral .

Solusyon.

Hindi mahirap pansinin iyon. Samakatuwid, inilalagay namin ito sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian at ginagamit ang talahanayan ng mga antiderivatives:

Sagot:

.

13. Fractional linear substitution

Ang mga integral ng uri kung saan ang a, b, c, d ay tunay na mga numero, a, b,..., d, g ay mga natural na numero, ay binabawasan sa mga integral ng isang rational function sa pamamagitan ng pagpapalit, kung saan ang K ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ang mga denominador ng mga fraction

Sa katunayan, mula sa pagpapalit ay sinusundan iyon

i.e. ang x at dx ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga rational function ng t. Bukod dito, ang bawat antas ng fraction ay ipinahayag sa pamamagitan ng makatwirang pag-andar mula sa t.

Halimbawa 33.4. Hanapin ang integral

Solusyon: Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga fraction na 2/3 at 1/2 ay 6.

Samakatuwid, inilalagay namin ang x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Samakatuwid,

Halimbawa 33.5. Tukuyin ang pagpapalit para sa paghahanap ng mga integral:

Solusyon: Para sa I 1 substitution x=t 2, para sa I 2 substitution

14. Trigonometric substitution

Ang mga uri ng integral ay binabawasan sa mga integral ng mga function na makatwiran na nakadepende sa mga function na trigonometriko gamit ang mga sumusunod na mga pamalit na trigonometriko: x = isang sint para sa unang integral; x=a tgt para sa pangalawang integral;

Halimbawa 33.6. Hanapin ang integral

Solusyon: Ilagay natin ang x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Pagkatapos

Dito ang integrand ay isang rational function na may kinalaman sa x at Sa pamamagitan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat sa ilalim ng radikal at paggawa ng isang pagpapalit, ang mga integral ng ipinahiwatig na uri ay nababawasan sa mga integral ng uri na isinasaalang-alang na, ibig sabihin, sa mga integral ng uri Ang mga integral na ito ay maaaring kalkulahin gamit ang naaangkop na mga pamalit na trigonometriko.

Halimbawa 33.7. Hanapin ang integral

Solusyon: Dahil x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, pagkatapos x+1=t, x=t-1, dx=dt. kaya lang Ilagay natin

Tandaan: Integral na uri Ito ay kapaki-pakinabang upang mahanap gamit ang pagpapalit x=1/t.

15. Tiyak na integral

Hayaang tukuyin ang isang function sa isang segment at magkaroon ng antiderivative dito. Ang pagkakaiba ay tinatawag tiyak na integral function sa kahabaan ng segment at denote. Kaya,

Ang pagkakaiba ay nakasulat sa form, pagkatapos . Tinatawag ang mga numero mga limitasyon ng pagsasama .

Halimbawa, isa sa mga antiderivative para sa isang function. kaya lang

16 . Kung ang c ay isang pare-parehong numero at ang function na ƒ(x) ay maisasama sa , kung gayon

ibig sabihin, ang pare-parehong salik c ay maaaring alisin sa tanda ng tiyak na integral.

▼Buuin natin ang integral sum para sa function na may ƒ(x). Mayroon kaming:

Pagkatapos ito ay sumusunod na ang function c ƒ(x) ay integrable sa [a; b] at formula (38.1) ay wasto.▲

2. Kung ang mga function na ƒ 1 (x) at ƒ 2 (x) ay pinagsama-sama sa [a;b], pagkatapos ay mapagsasama sa [a; b] kanilang kabuuan u

ibig sabihin, ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral.

▼
▲

Nalalapat ang Property 2 sa kabuuan ng anumang may hangganang bilang ng mga termino.

3.

Maaaring tanggapin ang property na ito ayon sa kahulugan. Ang property na ito ay kinumpirma rin ng Newton-Leibniz formula.

4. Kung ang function na ƒ(x) ay maisasama sa [a; b] at a< с < b, то

ibig sabihin, ang integral sa buong segment ay katumbas ng kabuuan ng mga integral sa mga bahagi ng segment na ito. Ang katangiang ito ay tinatawag na additivity ng isang tiyak na integral (o ang additivity property).

Kapag hinahati ang segment [a;b] sa mga bahagi, isinasama namin ang point c sa bilang ng mga division point (maaari itong gawin dahil sa kalayaan ng limitasyon ng integral sum mula sa paraan ng paghahati ng segment [a;b] sa mga bahagi). Kung c = x m, kung gayon ang integral sum ay maaaring nahahati sa dalawang kabuuan:

Ang bawat isa sa mga nakasulat na kabuuan ay integral, ayon sa pagkakabanggit, para sa mga segment [a; b], [a; s] at [s; b]. Ang pagpasa sa limitasyon sa huling pagkakapantay-pantay bilang n → ∞ (λ → 0), nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay (38.3).

Ang Property 4 ay wasto para sa anumang lokasyon ng mga puntos na a, b, c (ipagpalagay namin na ang function na ƒ (x) ay maisasama sa mas malaki sa mga resultang segment).

Kaya, halimbawa, kung a< b < с, то

(properties 4 at 3 ang ginamit).

5. “Theorem on mean values.” Kung ang function na ƒ(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [a; b], pagkatapos ay mayroong isang tonka na may є [a; b] ganyan

▼Sa pamamagitan ng Newton-Leibniz formula na mayroon tayo

kung saan ang F"(x) = ƒ(x). Ang paglalapat ng Lagrange theorem (ang theorem sa finite increment ng isang function) sa pagkakaiba F(b)-F(a), nakukuha natin

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Ang Property 5 (“ang mean value theorem”) para sa ƒ (x) ≥ 0 ay may simpleng geometric na kahulugan: ang halaga ng definite integral ay pantay, para sa ilang c є (a; b), sa lugar ng isang rectangle na may taas ƒ (c) at base b-a (tingnan ang fig. 170). Numero

ay tinatawag na average na halaga ng function na ƒ(x) sa pagitan [a; b].

6. Kung ang function na ƒ (x) ay nagpapanatili ng sign nito sa segment [a; b], kung saan a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Sa pamamagitan ng “mean value theorem” (property 5)

kung saan c є [a; b]. At dahil ƒ(x) ≥ 0 para sa lahat ng x О [a; b], pagkatapos

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Samakatuwid ƒ(с) (b-а) ≥ 0, i.e. ▲

7. Hindi pagkakapantay-pantay sa pagitan ng tuluy-tuloy na mga function sa pagitan [a; b], (a

▼Dahil ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, pagkatapos ay kapag ang isang< b, согласно свойству 6, имеем

O, ayon sa property 2,

Tandaan na imposibleng makilala ang mga hindi pagkakapantay-pantay.

8. Pagtataya ng integral. Kung ang m at M ay, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function na y = ƒ (x) sa segment [a; b], (a< b), то

▼Dahil para sa anumang x є [a;b] mayroon tayong m≤ƒ(x)≤M, kung gayon, ayon sa property 7, mayroon tayong

Ang paglalapat ng Property 5 sa mga extreme integral, nakukuha namin

▲

Kung ƒ(x)≥0, kung gayon ang property 8 ay inilalarawan sa geometriko: ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay nakapaloob sa pagitan ng mga lugar ng mga parihaba na ang base ay , at ang taas ay m at M (tingnan ang Fig. 171).

9. Ang modulus ng isang tiyak na integral ay hindi lalampas sa integral ng modulus ng integrand:

▼Paglalapat ng property 7 sa mga halatang hindi pagkakapantay-pantay -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, nakukuha namin

Sinusundan nito iyon

▲

10. Ang derivative ng isang definite integral na may kinalaman sa isang variable na upper limit ay katumbas ng integrand kung saan ang integration variable ay pinapalitan ng limit na ito, i.e.

Ang pagkalkula ng lugar ng isang pigura ay isa sa pinakamahirap na problema sa teorya ng lugar. Sa kursong geometry ng paaralan, natutunan naming hanapin ang mga lugar ng mga pangunahing geometric na hugis, halimbawa, isang bilog, tatsulok, rhombus, atbp. Gayunpaman, mas madalas na kailangan mong harapin ang pagkalkula ng mga lugar ng mas kumplikadong mga numero. Kapag nilulutas ang mga naturang problema, kailangang gumamit ng integral calculus.

Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang problema sa pagkalkula ng lugar ng isang curvilinear trapezoid, at lalapitan natin ito sa isang geometric na kahulugan. Ito ay magpapahintulot sa amin na malaman ang direktang koneksyon sa pagitan ng tiyak na integral at ang lugar ng isang curvilinear trapezoid.

Sa ilalim hindi makatwiran maunawaan ang isang expression kung saan ang independent variable na %%x%% o ang polynomial na %%P_n(x)%% ng degree %%n \in \mathbb(N)%% ay kasama sa ilalim ng sign radikal(mula sa Latin radix- ugat), ibig sabihin. itinaas sa isang fractional na kapangyarihan. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang variable, ang ilang mga klase ng mga integrand na hindi makatwiran na may kinalaman sa %%x%% ay maaaring gawing mga makatwirang expression na may kinalaman sa isang bagong variable.

Ang konsepto ng isang rational function ng isang variable ay maaaring palawigin sa maraming argumento. Kung para sa bawat argument na %%u, v, \dotsc, w%% kapag kinakalkula ang halaga ng isang function, ang mga pagpapatakbo ng aritmetika at pagtaas sa isang integer na kapangyarihan ang ibinibigay, kung gayon ay nagsasalita tayo ng isang rational function ng mga argumentong ito, na kadalasan ay denoted %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Ang mga argumento ng naturang function ay maaaring maging function mismo ng independent variable na %%x%%, kabilang ang mga radical ng anyong %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Halimbawa, ang rational function na $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ na may %%u = x, v = \sqrt(x)%% at %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% ay isang rational function ng $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ mula sa %%x%% at mga radical %%\sqrt(x)%% at %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, habang ang function na %%f(x)%% ay magiging irrational (algebraic) function ng isang independent variable %%x%%.

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Ang mga naturang integral ay narasyonal sa pamamagitan ng pagpapalit sa variable na %%t = \sqrt[n](x)%%, pagkatapos ay %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Halimbawa 1

Hanapin ang %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Ang integrand ng ninanais na argumento ay nakasulat bilang isang function ng radicals ng degree %%2%% at %%3%%. Dahil ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng %%2%% at %%3%% ay %%6%%, ang integral na ito ay isang integral ng uri %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% at maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit ng %%\sqrt(x) = t%%. Pagkatapos ay %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Samakatuwid, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Kunin natin ang %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% at $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\kanan) - 6 \ln\kaliwa|\sqrt(x) + 1\kanan| + C \end(array) $$

Ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ay isang espesyal na kaso ng fractional linear irrationalities, i.e. integral ng form na %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, kung saan %% ad - bc \neq 0%%, na maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit sa variable na %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Pagkatapos ay $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Halimbawa 2

Hanapin ang %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Kunin natin ang %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Samakatuwid, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\kanan) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga naturang integral ay binabawasan sa mga tabular kung, pagkatapos na ihiwalay ang kumpletong parisukat, isang pagbabago ng mga variable ay ginawa.

Halimbawa 3

Hanapin ang integral %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Isinasaalang-alang na ang %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, kukunin natin ang %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, pagkatapos ay $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\kanan| + C = \\ &= \ln\kaliwa|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\kanan| + C. \end(array) $$

Sa mas kumplikadong mga kaso, upang mahanap ang mga integral ng form na %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ay ginagamit