Sa ilalim hindi makatwiran maunawaan ang isang expression kung saan ang independent variable na %%x%% o ang polynomial na %%P_n(x)%% ng degree %%n \in \mathbb(N)%% ay kasama sa ilalim ng sign radikal(mula sa Latin radix- ugat), ibig sabihin. itinaas sa isang fractional na kapangyarihan. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang variable, ang ilang mga klase ng mga integrand na hindi makatwiran na may kinalaman sa %%x%% ay maaaring gawing mga makatwirang expression na may kinalaman sa isang bagong variable.

Ang konsepto ng isang rational function ng isang variable ay maaaring palawigin sa maraming argumento. Kung para sa bawat argument na %%u, v, \dotsc, w%% kapag kinakalkula ang halaga ng isang function, ang mga pagpapatakbo ng aritmetika at pagtaas sa isang integer na kapangyarihan ang ibinibigay, kung gayon ay nagsasalita tayo ng isang rational function ng mga argumentong ito, na kadalasan ay denoted %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Ang mga argumento ng naturang function ay maaaring maging function mismo ng independent variable na %%x%%, kabilang ang mga radical ng anyong %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Halimbawa, ang rational function na $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ na may %%u = x, v = \sqrt(x)%% at %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% ay isang rational function ng $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ mula sa %%x%% at mga radical %%\sqrt(x)%% at %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, habang ang function na %%f(x)%% ay magiging irrational (algebraic) function ng isang independent variable %%x%%.

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Ang mga nasabing integral ay narasyonal sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable na %%t = \sqrt[n](x)%%, pagkatapos ay %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Halimbawa 1

Hanapin ang %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Ang integrand ng ninanais na argumento ay nakasulat bilang isang function ng radicals ng degree %%2%% at %%3%%. Dahil ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng %%2%% at %%3%% ay %%6%%, ang integral na ito ay isang integral ng uri %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% at maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit ng %%\sqrt(x) = t%%. Pagkatapos ay %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Samakatuwid, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Kunin natin ang %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% at $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\kanan) - 6 \ln\kaliwa|\sqrt(x) + 1\kanan| + C \end(array) $$

Ang mga integral ng anyong %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ay isang espesyal na kaso ng fractional linear irrationalities, i.e. integral ng form na %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, kung saan %% ad - bc \neq 0%%, na maaaring i-rationalize sa pamamagitan ng pagpapalit sa variable na %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Pagkatapos ay $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Halimbawa 2

Hanapin ang %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Kunin natin ang %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, pagkatapos ay %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Samakatuwid, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\kanan) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Isaalang-alang natin ang mga integral ng anyong %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga naturang integral ay binabawasan sa mga tabular kung, pagkatapos na ihiwalay ang kumpletong parisukat, isang pagbabago ng mga variable ay ginawa.

Halimbawa 3

Hanapin ang integral %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Isinasaalang-alang na ang %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, kukunin natin ang %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, pagkatapos ay $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\kanan| + C = \\ &= \ln\kaliwa|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\kanan| + C. \end(array) $$

Sa mas kumplikadong mga kaso, upang mahanap ang mga integral ng form na %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ay ginagamit

Kahulugan 1

Ang set ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function $y=f(x)$, na tinukoy sa isang partikular na segment, ay tinatawag na indefinite integral ng isang ibinigay na function $y=f(x)$. Ang di-tiyak na integral ay tinutukoy ng simbolo na $\int f(x)dx $.

Magkomento

Ang kahulugan 2 ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Hindi lahat ng hindi makatwiran na pag-andar ay maaaring ipahayag bilang isang integral sa pamamagitan ng elementarya na mga pag-andar. Gayunpaman, ang karamihan sa mga integral na ito ay maaaring bawasan gamit ang mga pagpapalit sa mga integral ng mga rational function, na maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

ako

Kapag naghahanap ng integral ng form na $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ kailangang gawin ang sumusunod na pagpapalit:

Sa pagpapalit na ito, ang bawat fractional power ng variable na $x$ ay ipinahayag sa pamamagitan ng integer power ng variable na $t$. Bilang resulta, ang integrand function ay binago sa isang rational function ng variable na $t$.

Halimbawa 1

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Solusyon:

Ang $k=4$ ay ang karaniwang denominator ng mga fraction na $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(array)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Kapag naghahanap ng integral ng form na $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ kailangang gawin ang sumusunod na pagpapalit:

kung saan ang $k$ ay ang karaniwang denominator ng mga fraction na $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Bilang resulta ng pagpapalit na ito, ang integrand function ay binago sa isang rational function ng variable na $t$.

Halimbawa 2

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Solusyon:

Gawin natin ang sumusunod na pagpapalit:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \kanan|+C\]

Pagkatapos gawin ang reverse substitution, makuha namin ang huling resulta:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

III

Kapag naghahanap ng integral ng form na $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, ginagawa ang tinatawag na Euler substitution (isa sa tatlong posibleng mga substitution ay ginamit).

Ang unang pagpapalit ni Euler

Para sa kaso $a>

Ang pagkuha ng “+” sign sa harap ng $\sqrt(a) $, nakukuha namin

Halimbawa 3

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Solusyon:

Gawin natin ang sumusunod na pagpapalit (case $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Pagkatapos gawin ang reverse substitution, makuha namin ang huling resulta:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Ang pangalawang pagpapalit ni Euler

Para sa kaso $c>0$ kinakailangan na gawin ang sumusunod na pagpapalit:

Ang pagkuha ng “+” sign sa harap ng $\sqrt(c) $, nakukuha namin

Halimbawa 4

Magsagawa ng pagsasama:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) )))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Solusyon:

Gawin natin ang sumusunod na pagpapalit:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Nagawa ang reverse pagpapalit, makuha namin ang huling resulta:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) )))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( array)\]

Ang ikatlong pagpapalit ni Euler

Ang hindi makatwiran na function ng isang variable ay isang function na nabuo mula sa isang variable at arbitrary constants gamit ang isang may hangganan na bilang ng mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami (pagtaas sa isang integer na kapangyarihan), paghahati at pagkuha ng mga ugat. Ang isang hindi makatwiran na pag-andar ay naiiba sa isang nakapangangatwiran dahil ang hindi makatwiran na pag-andar ay naglalaman ng mga operasyon para sa pagkuha ng mga ugat.

Mayroong tatlong pangunahing uri ng mga di-makatuwirang pag-andar, ang mga hindi tiyak na integral na kung saan ay nababawasan sa mga integral ng mga makatuwirang pag-andar. Ang mga ito ay mga integral na naglalaman ng mga ugat ng arbitrary na integer na kapangyarihan mula sa isang linear fractional function (ang mga ugat ay maaaring may iba't ibang kapangyarihan, ngunit mula sa parehong linear fractional function); integral ng isang differential binomial at integral na may square root ng square trinomial.

Mahalagang tala. Ang mga ugat ay may maraming kahulugan!

Kapag kinakalkula ang mga integral na naglalaman ng mga ugat, ang mga expression ng form ay madalas na nakatagpo, kung saan ang ilang function ng variable ng pagsasama. Dapat itong isipin na. Ibig sabihin, sa t >< 0 , |t| = t. Sa t 0 0 , |t| = - t .< 0 Samakatuwid, kapag kinakalkula ang mga naturang integral, kinakailangang hiwalay na isaalang-alang ang mga kaso t > 0 at t< 0 .

Magagawa ito sa pamamagitan ng pagsulat ng mga palatandaan o kung saan kinakailangan. Sa pag-aakalang ang tuktok na palatandaan ay tumutukoy sa kaso t >

, at ang mas mababang isa - sa kaso t

.
,
Sa karagdagang pagbabago, ang mga palatandaang ito, bilang panuntunan, ay kanselahin ang bawat isa.
Posible rin ang pangalawang diskarte, kung saan ang integrand at ang resulta ng integration ay maituturing na kumplikadong function ng complex variable. Pagkatapos ay hindi mo kailangang bigyang-pansin ang mga palatandaan sa mga radikal na expression. Ang diskarte na ito ay naaangkop kung ang integrand ay analytic, iyon ay, isang differentiable function ng isang complex variable. Sa kasong ito, pareho ang integrand at ang integral nito ay multivalued function. Samakatuwid, pagkatapos ng pagsasama, kapag pinapalitan ang mga numerical na halaga, kinakailangan na pumili ng isang solong halaga na sangay (Riemann surface) ng integrand, at para dito piliin ang kaukulang sangay ng resulta ng pagsasama.
Fractional linear irrationality

Ito ay mga integral na may mga ugat mula sa parehong fractional linear function: kung saan ang R ay isang rational function, ay mga rational na numero, m 1, n 1, ..., m s, n s ay integers, α, β, γ, δ ay tunay na mga numero.), o sa integration variable x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Narito ang mga halimbawa ng naturang mga integral:
, .

Integrals mula sa differential binomials

Ang mga integral mula sa differential binomials ay may anyo:
,
kung saan ang m, n, p ay mga rational na numero, a, b ay tunay na mga numero.
Ang ganitong mga integral ay bumababa sa mga integral ng mga rational function sa tatlong kaso.

1) Kung ang p ay isang integer. Pagpapalit x = t N, kung saan ang N ay ang karaniwang denominator ng mga fraction na m at n.
2) Kung - isang integer. Pagpapalit ng a x n + b = t M, kung saan ang M ang denominator ng numerong p.
3) Kung - isang integer. Pagpapalit ng a + b x - n = t M, kung saan ang M ang denominator ng numerong p.

Sa ibang mga kaso, ang mga naturang integral ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng mga elementary function.

Minsan ang gayong mga integral ay maaaring gawing simple gamit ang mga formula ng pagbabawas:
;
.

Mga integral na naglalaman ng square root ng square trinomial

Ang ganitong mga integral ay may anyo:
,
kung saan ang R ay isang rational function. Para sa bawat naturang integral mayroong ilang mga paraan ng solusyon.
1) Ang paggamit ng mga pagbabago ay humahantong sa mas simpleng mga integral.
2) Ilapat ang trigonometriko o hyperbolic na mga pagpapalit.
3) Ilapat ang mga pamalit na Euler.

Tingnan natin ang mga pamamaraang ito nang mas detalyado.

1) Pagbabago ng integrand function

Ang paglalapat ng formula at pagsasagawa ng algebraic transformations, binabawasan namin ang integrand function sa form:
,
kung saan ang φ(x), ω(x) ay mga rational function.

Uri I

Integral ng form:
,
kung saan ang P n (x) ay isang polynomial ng degree n.

Ang ganitong mga integral ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient gamit ang pagkakakilanlan:

.
Ang pag-iiba ng equation na ito at pag-equate sa kaliwa at kanang panig, makikita natin ang mga coefficient A i.

Uri II

Integral ng form:
,
kung saan ang P m (x) ay isang polynomial ng degree m.

Pagpapalit t = (x - α) -1 ang integral na ito ay nabawasan sa naunang uri. Kung m ≥ n, kung gayon ang fraction ay dapat magkaroon ng integer na bahagi.

III uri

Dito ginagawa namin ang pagpapalit:
.
Pagkatapos nito ang integral ay kukuha ng anyo:
.
Susunod, ang mga constants α, β ay dapat piliin upang ang mga coefficient ng t sa denominator ay magiging zero:
B = 0, B 1 = 0.
Pagkatapos ang integral ay nabubulok sa kabuuan ng mga integral ng dalawang uri:
,
,
na pinagsama sa pamamagitan ng mga pamalit:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Trigonometric at hyperbolic substitutions

Para sa mga integral ng anyo, a > 0 ,
mayroon kaming tatlong pangunahing pamalit:
;
;
;

Para sa mga integral, a > 0 ,
mayroon kaming mga sumusunod na kapalit:
;
;
;

At sa wakas, para sa mga integral, a > 0 ,
ang mga pamalit ay ang mga sumusunod:
;
;
;

3) Mga pagpapalit ng Euler

Gayundin, ang mga integral ay maaaring bawasan sa mga integral ng rational function ng isa sa tatlong Euler substitutions:
, para sa isang > 0;
, para sa c > 0 ;
, kung saan ang x 1 ay ang ugat ng equation na a x 2 + b x + c = 0.

Mga elliptic integral

Sa konklusyon, isaalang-alang ang mga integral ng form:
,
kung saan ang R ay isang rational function, .

Ang ganitong mga integral ay tinatawag na elliptic. Sa pangkalahatan, ang mga ito ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng elementarya na mga pag-andar. Gayunpaman, may mga kaso kapag may mga ugnayan sa pagitan ng mga coefficient A, B, C, D, E, kung saan ang mga naturang integral ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga elementary function.
.

Nasa ibaba ang isang halimbawa na nauugnay sa mga reflexive polynomial. Ang pagkalkula ng naturang mga integral ay isinasagawa gamit ang mga pamalit:

Halimbawa
.

Kalkulahin ang integral:

Solusyon

.
Gumawa tayo ng substitution. 0 Dito sa x > 0 (u>< 0 ) kunin ang itaas na tanda na ′+′. Sa x< 0 (u

.

) - ibabang ′-′.

Sagot
Ginamit na panitikan:

N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Ang mga handa na sagot sa pagsasama-sama ng mga function ay kinuha mula sa pagsusulit para sa 1st at 2nd year na mga mag-aaral ng mga departamento ng matematika. Upang matiyak na ang mga pormula sa mga problema at mga sagot ay hindi inuulit ang mga kondisyon ng mga gawain, hindi namin isusulat ang mga kundisyon. Alam mo na na sa mga problema kailangan mong "Hanapin ang integral" o "Kalkulahin ang integral". Samakatuwid, kung kailangan mo ng mga sagot sa pagsasama, simulang pag-aralan ang mga sumusunod na halimbawa.

Pagsasama-sama ng mga hindi makatwirang pag-andar

Halimbawa 18. Nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa ilalim ng integral. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, pinipili namin hindi lamang ang ugat, ngunit ang buong denominator para sa bagong variable. Pagkatapos ng naturang kapalit, ang integral ay binago sa kabuuan ng dalawang tabular integral, na hindi kailangang gawing simple.
Pagkatapos ng pagsasama, pinapalitan namin ang isang pagpapalit para sa variable.

Halimbawa 19. Maraming oras at espasyo ang ginugol sa pagsasama ng fractional irrational na function na ito, at hindi rin namin alam kung malalaman mo ito mula sa isang tablet o telepono. Upang mapupuksa ang hindi makatwiran, at dito tayo ay nakikipag-usap sa cube root, pipiliin natin ang root function sa ikatlong kapangyarihan para sa bagong variable. Susunod, nakita namin ang kaugalian at palitan ang nakaraang function na may integral

Ang pinaka-nakakaubos ng oras na bahagi ay ang pag-iskedyul ng isang bagong function para sa mga relasyon sa kapangyarihan at mga fraction.

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakita namin kaagad ang ilan sa mga integral, at isinusulat namin ang huli sa dalawa, na binago namin ayon sa mga formula ng pagsasama-sama ng tabular.

Matapos ang lahat ng mga kalkulasyon, huwag kalimutang bumalik sa kapalit na ginawa sa simula

Halimbawa 20. Kailangan nating hanapin ang integral ng sine hanggang sa ika-7 kapangyarihan. Ayon sa mga patakaran, ang isang sine ay kailangang itulak sa isang kaugalian (nakukuha natin ang kaugalian ng cosine), at ang sine hanggang sa ika-6 na kapangyarihan ay dapat na isulat sa pamamagitan ng cosine. Kaya dumating tayo sa integrasyon mula sa function ng bagong variable t = cos (x).



Sa kasong ito, kailangan mong dalhin ang pagkakaiba sa kubo, at pagkatapos ay isama
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng polynomial ng order 7 sa cosine.


Halimbawa 21. Sa integral na ito, kinakailangang isulat ang cosine ng ika-4 na degree sa mga trigonometric formula sa pamamagitan ng pagtitiwala sa cosine ng unang degree. Susunod, inilalapat namin ang tabular na formula para sa pagsasama ng cosine.

Halimbawa 22. Sa ilalim ng integral mayroon tayong produkto ng sine at cosine. Ayon sa mga trigonometric formula, isinusulat namin ang produkto sa pamamagitan ng pagkakaiba ng mga sine. Kung paano nakuha ang bow na ito ay mauunawaan mula sa pagsusuri ng mga coefficient para sa "x". Susunod na isasama namin ang mga sine

Halimbawa 23. Dito mayroon tayong parehong function ng sine at cosine sa denominator. Bukod dito, ang mga trigonometrikong formula ay hindi makakatulong upang gawing simple ang pagtitiwala. Upang mahanap ang integral, inilalapat namin ang unibersal na trigonometric na kapalit t=tan(x/2)

Mula sa tala ay malinaw na ang mga denominator ay magkansela at makakakuha tayo ng isang parisukat na trinomial sa denominator ng fraction. Sa loob nito pumili kami ng isang kumpletong parisukat at isang libreng bahagi. Pagkatapos ng pagsasama, dumating tayo sa logarithm ng pagkakaiba sa pagitan ng mga pangunahing kadahilanan ng denominator. Upang gawing simple ang notasyon, ang numerator at denominator sa ilalim ng logarithm ay pinarami ng dalawa.
Sa pagtatapos ng mga kalkulasyon, sa halip na ang variable, pinapalitan namin ang tangent ng kalahati ng argumento.

Halimbawa 24. Upang pagsamahin ang function, kinuha namin ang parisukat ng cosine mula sa mga bracket, at sa mga bracket ay binabawasan namin at idinagdag ang isa upang makuha ang cotangent.

Susunod, pipiliin natin ang cotangent u = ctg (x) para sa bagong variable, ang pagkakaiba nito ay magbibigay sa atin ng salik na kailangan natin para sa pagpapasimple. Pagkatapos ng pagpapalit dumating kami sa isang function na, kapag isinama, ay nagbibigay ng arctangent.
Well, huwag kalimutang palitan ka sa cotangent.


Halimbawa 25. Sa huling gawain ng pagsusulit, kailangan mong isama ang cotangent ng isang dobleng anggulo sa ika-4 na antas.
Sa puntong ito, nalutas na ang pagsubok sa integrasyon, at walang sinumang guro ang makakahanap ng mali sa mga sagot at katwiran para sa mga pagbabago.

Kung matutunan mo kung paano mag-integrate tulad nito, hindi nakakatakot para sa iyo ang mga pagsubok o seksyon sa paksa ng mga integral. Ang lahat ay may pagkakataong matuto o mag-order ng mga solusyon ng mga integral mula sa amin (o sa aming mga kakumpitensya :))).

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga integral ng mga fraction at ugat. Hindi lahat ng mga ito ay sobrang kumplikado, ito ay para lamang sa isang kadahilanan o iba pang mga halimbawa ay medyo "off topic" sa ibang mga artikulo.

Halimbawa 9

Sa denominator sa ilalim ng ugat mayroong isang quadratic trinomial kasama ang isang "apendage" sa anyo ng isang "X" sa labas ng ugat. Ang isang integral ng ganitong uri ay maaaring malutas gamit ang isang karaniwang pagpapalit.

.

Ang kapalit dito ay simple:

Tingnan natin ang buhay pagkatapos ng kapalit:

(1) Pagkatapos ng pagpapalit, binabawasan namin ang mga termino sa ilalim ng ugat sa isang karaniwang denominator.

(2) Inalis namin ito mula sa ilalim ng ugat.

(3) Ang numerator at denominator ay binabawasan ng . Kasabay nito, inayos namin ang mga termino sa ilalim ng ugat sa isang maginhawang pagkakasunud-sunod. Sa ilang karanasan, ang mga hakbang (1), (2) ay maaaring laktawan sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga komentong aksyon nang pasalita.

(4) Ang resultang integral, gaya ng iyong naaalala, ay nalutas kumpletong paraan ng pagkuha ng parisukat. Pumili ng isang kumpletong parisukat.

(5) Sa pamamagitan ng pagsasama ay nakakakuha tayo ng ordinaryong "mahabang" logarithm.

(6) Isinasagawa namin ang reverse replacement. Kung sa una , pagkatapos ay bumalik: .

(7) Ang pangwakas na aksyon ay naglalayong ituwid ang resulta: sa ilalim ng ugat muli nating dinadala ang mga termino sa isang karaniwang denominator at alisin ang mga ito mula sa ilalim ng ugat.

Halimbawa 10

Halimbawa 9

.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Narito ang isang pare-pareho ay idinagdag sa nag-iisang "X", at ang kapalit ay halos pareho:

.

Ang tanging bagay na kailangan ay ang karagdagang ipahayag ang "x" mula sa kapalit na isinasagawa:

.

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Minsan sa naturang integral ay maaaring mayroong isang quadratic binomial sa ilalim ng ugat, hindi nito binabago ang paraan ng solusyon, ito ay magiging mas simple. Pakiramdam ang pagkakaiba:

Halimbawa 11

Halimbawa 9

Halimbawa 12

Halimbawa 9

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Dapat tandaan na ang Halimbawa 11 ay eksakto binomial integral, ang solusyon nito ay tinalakay sa klase Mga integral ng hindi makatwirang pag-andar.

Integral ng isang polynomial ng 2nd degree na hindi nabubulok sa denominator sa kapangyarihan

Isang mas bihirang uri ng integral, ngunit gayunpaman ay nakatagpo sa mga praktikal na halimbawa.

Halimbawa 13

Halimbawa 9

Ang denominator ng integrand ay naglalaman ng isang quadratic binomial na hindi maaaring i-factorize. Binibigyang-diin namin na ang non-factorizability ay isang mahalagang tampok. Kung ang polynomial ay factorized, kung gayon ang lahat ay mas malinaw, halimbawa:

Bumalik tayo sa halimbawa na may masuwerteng numero 13. Ang integral na ito ay isa rin sa mga maaaring maging masakit kung hindi mo alam kung paano lutasin.

Ang solusyon ay nagsisimula sa isang artipisyal na pagbabagong-anyo:

Sa tingin ko naiintindihan na ng lahat kung paano hatiin ang numerator sa termino ng denominator ayon sa termino.

Ang resultang integral ay kinuha sa mga bahagi:

Para sa isang integral ng form

saan ( k≥ 2) – natural na numero, hinango paulit-ulit formula ng pagbabawas:

; ay isang integral ng isang degree na mas mababa ng 1.

Paano kung mayroong karagdagang polynomial sa numerator? Sa kasong ito, ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient ay ginagamit, at ang integrand ay pinalawak sa kabuuan ng mga fraction. Kung nakatagpo ka ng isang mahalagang bahagi, tingnan ang aklat-aralin - ang lahat ay simple doon.