คำตอบสำเร็จรูปเกี่ยวกับฟังก์ชันอินทิเกรตนำมาจากแบบทดสอบสำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 1 และ 2 สาขาวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อให้แน่ใจว่าสูตรในปัญหาและคำตอบไม่ซ้ำเงื่อนไขของงาน เราจะไม่เขียนเงื่อนไขออกมา คุณรู้อยู่แล้วว่าในปัญหาคุณต้อง "ค้นหาอินทิกรัล" หรือ "คำนวณอินทิกรัล" ดังนั้น หากคุณต้องการคำตอบเกี่ยวกับการบูรณาการ ให้เริ่มศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้

บูรณาการของฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว

ตัวอย่างที่ 18 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรภายใต้อินทิกรัล เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราไม่เพียงแต่เลือกรากเท่านั้น แต่ยังเลือกตัวส่วนทั้งหมดสำหรับตัวแปรใหม่อีกด้วย หลังจากการแทนที่ อินทิกรัลจะถูกแปลงเป็นผลรวมของอินทิกรัลแบบตารางสองตัว ซึ่งไม่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น

หลังจากการรวมเข้าด้วยกัน เราจะทดแทนการทดแทนตัวแปร
ตัวอย่างที่ 19 เราใช้เวลาและพื้นที่ไปมากในการรวมฟังก์ชันเศษส่วนไม่ลงตัวนี้ และเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าคุณจะคิดจากแท็บเล็ตหรือโทรศัพท์ได้หรือไม่ เพื่อกำจัดความไม่ลงตัว และที่นี่เรากำลังจัดการกับรากที่สาม เราเลือกฟังก์ชันรูทเป็นกำลังสามสำหรับตัวแปรใหม่ ต่อไปเราจะค้นหาส่วนต่างและแทนที่ฟังก์ชันก่อนหน้าด้วยอินทิกรัล

ส่วนที่ใช้เวลานานที่สุดคือการจัดตารางเวลาฟังก์ชันใหม่สำหรับความสัมพันธ์เชิงกำลังและเศษส่วน

หลังจากการแปลง เราจะพบอินทิกรัลบางส่วนทันที และเราเขียนอันสุดท้ายออกเป็นสอง ซึ่งเราจะแปลงตามสูตรการรวมแบบตาราง

หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้วอย่าลืมกลับไปใช้การเปลี่ยนที่ดำเนินการตั้งแต่เริ่มต้น

การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 20 เราต้องหาอินทิกรัลของไซน์กำลัง 7 ตามกฎแล้ว ไซน์หนึ่งตัวจะต้องถูกผลักเข้าไปในดิฟเฟอเรนเชียล (เราได้ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของโคไซน์) และไซน์กำลัง 6 จะต้องเขียนผ่านโคไซน์ ดังนั้นเราจึงมาถึงการอินทิเกรตจากฟังก์ชันของตัวแปรใหม่ t = cos (x)



ในกรณีนี้ คุณจะต้องนำความแตกต่างมาสู่คิวบ์ จากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน
เป็นผลให้เราได้พหุนามอันดับ 7 ในโคไซน์


ตัวอย่างที่ 22 ภายใต้อินทิกรัล เรามีผลคูณของไซน์และโคไซน์ ตามสูตรตรีโกณมิติ เราเขียนผลคูณผ่านผลต่างของไซน์ วิธีหาธนูนี้สามารถเข้าใจได้จากการวิเคราะห์ค่าสัมประสิทธิ์ของ "x" ต่อไปเราจะรวมไซน์เข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 23 ตรงนี้เรามีทั้งฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในตัวส่วน นอกจากนี้สูตรตรีโกณมิติจะไม่ช่วยให้การพึ่งพาง่ายขึ้น ในการค้นหาอินทิกรัล เราใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากล t=tan(x/2)

จากบันทึกชัดเจนว่าตัวส่วนจะหักล้างและเราจะได้กำลังสองในตัวส่วนของเศษส่วน ในนั้นเราเลือกสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์และส่วนที่ว่าง หลังจากการอินทิเกรตแล้ว เราก็มาถึงลอการิทึมของความแตกต่างระหว่างตัวประกอบเฉพาะของตัวส่วน เพื่อให้สัญลักษณ์ง่ายขึ้น ทั้งตัวเศษและส่วนใต้ลอการิทึมจะต้องคูณด้วยสอง

ในตอนท้ายของการคำนวณ เราจะแทนที่ค่าแทนเจนต์ของอาร์กิวเมนต์ครึ่งหนึ่งแทนตัวแปร
ตัวอย่างที่ 24 ในการอินทิเกรตฟังก์ชัน เราจะนำกำลังสองของโคไซน์ออกจากวงเล็บ และในวงเล็บเราจะลบและเพิ่มหนึ่งค่าเพื่อให้ได้โคแทนเจนต์

ต่อไป เราเลือกโคแทนเจนต์ u = ctg (x) สำหรับตัวแปรใหม่ ส่วนต่างของมันจะให้ปัจจัยที่เราต้องการในการทำให้ง่ายขึ้น หลังจากการทดแทนเรามาถึงฟังก์ชันซึ่งเมื่อรวมเข้าแล้วจะให้ค่าอาร์กแทนเจนต์

อย่าลืมเปลี่ยนคุณเป็นโคแทนเจนต์
ตัวอย่างที่ 25 ในงานสุดท้ายของการทดสอบ คุณต้องรวมโคแทนเจนต์ของมุมสองเท่าเข้ากับระดับที่ 4


ณ จุดนี้ การทดสอบบูรณาการได้รับการแก้ไขแล้ว และไม่มีครูเพียงคนเดียวที่จะจับผิดกับคำตอบและเหตุผลสำหรับการเปลี่ยนแปลง
หากคุณเรียนรู้วิธีบูรณาการเช่นนี้ การทดสอบหรือส่วนต่างๆ ในหัวข้อปริพันธ์ก็ไม่น่ากลัวสำหรับคุณ คนอื่นๆ มีโอกาสที่จะเรียนรู้หรือสั่งซื้อโซลูชันอินทิกรัลจากเรา (หรือคู่แข่งของเรา :)))

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะ 7.1. ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ ฟังก์ชันตรรกยะที่ง่ายที่สุดคือพหุนามของระดับสิบ เช่น ฟังก์ชันของรูปแบบที่มีค่าคงที่จริง และ a0 Φ 0 พหุนาม Qn(x) ซึ่งสัมประสิทธิ์ a0 = 1 เรียกว่ารีดิวซ์ จำนวนจริง b เรียกว่ารากของพหุนาม Qn(z) ถ้า Q„(b) = 0 เป็นที่ทราบกันว่าพหุนาม Qn(x) แต่ละตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงจะถูกแยกย่อยเป็นปัจจัยที่แท้จริงของรูปแบบโดยที่ p, q เป็นค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง และตัวประกอบกำลังสองไม่มีรากจริง ดังนั้นจึงไม่สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้นจริงได้ ด้วยการรวมตัวประกอบที่เหมือนกัน (ถ้ามี) และสมมุติว่าพหุนาม Qn(x) ลดลง เราสามารถเขียนการแยกตัวประกอบในรูปแบบที่เป็นจำนวนธรรมชาติได้ เนื่องจากดีกรีของพหุนาม Qn(x) เท่ากับ n ดังนั้นผลรวมของเลขชี้กำลังทั้งหมด a, /3,..., A จึงบวกเข้ากับผลรวมสองเท่าของเลขชี้กำลังทั้งหมด ω,..., q เท่ากัน ถึง n: ราก a ของพหุนามเรียกว่า simple หรือ single ถ้า a = 1 และหลายรายการถ้า a > 1; จำนวน a เรียกว่าหลายหลากของรูท a เช่นเดียวกับรากอื่นของพหุนาม ฟังก์ชันตรรกยะ f(x) หรือเศษส่วนตรรกยะคืออัตราส่วนของพหุนามสองตัว และสันนิษฐานว่าพหุนาม Pm(x) และ Qn(x) ไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกัน เศษส่วนตรรกยะเรียกว่าเหมาะสม หากระดับของพหุนามในตัวเศษน้อยกว่าระดับของพหุนามในตัวส่วน เช่น ถ้า m n เศษส่วนตรรกยะจะเรียกว่าเศษส่วนเกิน และในกรณีนี้ การหารตัวเศษด้วยตัวส่วนตามกฎสำหรับการหารพหุนาม ก็สามารถแสดงในรูปแบบที่มีพหุนามบางตัวได้ และ ^^ เป็นค่าที่เหมาะสม เศษส่วนตรรกยะ ตัวอย่างที่ 1 เศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นเศษส่วนเกิน หารด้วย "มุม" เราก็เลยได้ ที่นี่. และมันเป็นเศษส่วนแท้. ในการค้นหาค่าคงที่เหล่านี้ ทางขวามือของความเสมอภาค (I) จะถูกหาด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นสัมประสิทธิ์ที่มีกำลังเท่ากันของ x ในตัวเศษของด้านซ้ายและขวาจะถูกนำมาเท่ากัน สิ่งนี้ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ใช้หาค่าคงที่ที่ต้องการ - วิธีการหาค่าคงที่ที่ไม่รู้จักนี้เรียกว่าวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ บางครั้งการใช้วิธีอื่นในการค้นหาค่าคงที่ที่ไม่รู้จักจะสะดวกกว่าซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าหลังจากการทำให้ตัวเศษเท่ากันแล้วจะได้รับข้อมูลประจำตัวด้วยความเคารพต่อ x ซึ่งอาร์กิวเมนต์ x จะได้รับค่าบางค่าเช่นค่า ​ของรากทำให้เกิดสมการในการหาค่าคงที่ จะสะดวกเป็นพิเศษถ้าตัวส่วน Q„(x) มีเพียงรากที่เรียบง่ายจริง ๆ เท่านั้น ตัวอย่างที่ 2 แยกเศษส่วนที่เป็นตรรกยะเป็นเศษส่วนอย่างง่าย เราแยกตัวส่วนออกเป็นทวีคูณ: เนื่องจากรากของตัวส่วนมีจริงและต่างกัน ดังนั้นตามสูตร (1) การสลายตัวของเศษส่วนให้กลายเป็นค่าที่ง่ายที่สุดจึงจะมีรูปแบบ: การลดเกียรติที่ถูกต้อง” ของความเท่าเทียมกันนั้นให้เหลือ ตัวหารร่วมและตัวเศษเท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวา เราจะได้ข้อมูลประจำตัวหรือพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก A. 2?, C ในสองวิธี วิธีแรก การเท่ากันค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังเท่ากันของ x, tv ด้วย (เทอมอิสระ) และด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์ เราได้ระบบสมการเชิงเส้นสำหรับการค้นหาสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก A, B, C: ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ C วิธีที่สอง เนื่องจากรากของตัวส่วนขาดที่ i 0 เราจึงได้ 2 = 2A ดังนั้น A * 1; g ฉัน 1 เราได้ -1 * -B ซึ่ง 5 * 1; x i 2 เราจะได้ 2 = 2C โดยที่ C» 1 และการขยายตัวที่ต้องการมีรูปแบบ 3 Rehlozhnt ไม่ใช่เศษส่วนที่ง่ายที่สุด เศษส่วนเหตุผล 4 เราแยกพหุนามซึ่งอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามออกเป็นปัจจัย: . ตัวส่วนมีรากจริงที่แตกต่างกันสองแบบ: x\ = 0 หลายหลากของการคูณ 3 ดังนั้นการสลายตัวของเศษส่วนนี้จึงไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด: เราพบการลดด้านขวามือให้เป็นตัวส่วนร่วม หรือ วิธีแรก การหาค่าสัมประสิทธิ์ของกำลัง x ที่เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของอัตลักษณ์สุดท้าย เราได้รับระบบสมการเชิงเส้น ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและการขยายที่ต้องการจะเป็นวิธีที่สอง ในผลลัพธ์เอกลักษณ์ เมื่อใส่ x = 0 เราจะได้ 1 a A2 หรือ A2 = 1; field* เกย์ x = -1 เราได้ -3 i B) หรือ Bj i -3 เมื่อแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ A\ และ B) และเอกลักษณ์จะอยู่ในรูปหรือการใส่ x = 0 แล้ว x = -I เราพบว่า = 0, B2 = 0 และ นี่หมายความว่า B\ = 0 ดังนั้นเราจึงได้ตัวอย่างที่ 4 อีกครั้ง ขยายเศษส่วนที่เป็นเหตุเป็นผล 4 เป็นเศษส่วนที่เรียบง่ายกว่า ตัวส่วนของเศษส่วนไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจากฟังก์ชัน x2 + 1 จะไม่หายไปสำหรับค่าจริงของ x ดังนั้นการแตกตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่ายควรมีรูปแบบ จากตรงนี้เราจะได้หรือ เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของกำลังไซแนกซ์ของ x ทางด้านซ้ายและด้านขวาของความเสมอภาคสุดท้าย เราจะได้ตำแหน่งที่เราค้นหา ดังนั้น ควรสังเกตว่าในบางกรณี การสลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่ายสามารถรับได้เร็วและง่ายขึ้นโดยการกระทำ ด้วยวิธีอื่นโดยไม่ใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาการสลายตัวของเศษส่วนในตัวอย่างที่ 3 คุณสามารถเพิ่มและลบในตัวเศษ 3x2 แล้วหารตามที่ระบุด้านล่าง 7.2. การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เศษส่วนตรรกยะที่ไม่เหมาะสมสามารถแสดงเป็นผลรวมของพหุนามบางส่วนและเศษส่วนตรรกยะแท้ (§7) และการแทนค่านี้จะไม่ซ้ำกัน การอินทิเกรตพหุนามไม่ใช่เรื่องยาก ดังนั้น ให้ลองพิจารณาคำถามเรื่องการอินทิเกรตเศษส่วนที่เป็นตรรกยะที่เหมาะสม เนื่องจากเศษส่วนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย การอินทิเกรตจึงลดลงเหลือเพียงการอินทิเกรตเศษส่วนอย่างง่าย ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการบูรณาการของพวกเขา III. ในการค้นหาอินทิกรัลของเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สาม เราแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ของทวินามออกจากกำลังสองของตรีโนเมียล: เนื่องจากเทอมที่สองเท่ากับ a2 โดยที่แล้วจึงทำการทดแทน จากนั้นเมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลแล้วเราจะพบว่า: ตัวอย่างที่ 5 ค้นหาอินทิกรัล 4 ฟังก์ชันจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สาม เนื่องจากกำลังสองตรีโนเมียล x1 + Ax + 6 ไม่มีรากที่แท้จริง (จำแนกได้ เป็นลบ: และตัวเศษมีพหุนามของดีกรีแรก ดังนั้นเราจึงดำเนินการดังนี้: 1) เลือกกำลังสองสมบูรณ์ในตัวส่วน 2) ทำการทดแทน (ในที่นี้ 3) ด้วย * หนึ่งอินทิกรัล เพื่อค้นหาอินทิกรัลของ เศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สี่ เราใส่ไว้ข้างต้น จากนั้นเราจะได้อินทิกรัลทางด้านขวาซึ่งแสดงด้วย A และแปลงมันดังนี้ อินทิกรัลทางด้านขวาถูกอินทิกรัลด้วยส่วนต่าง ๆ โดยสมมติว่ามาจากที่ไหนหรือ การอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การอินทิเกรตของจำนวนตรรกยะ ฟังก์ชัน การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ การแทนที่ออยเลอร์ที่สอง การแทนที่ที่สาม ออยเลอร์ เราได้สูตรที่เรียกว่าการเกิดซ้ำ ซึ่งช่วยให้เราสามารถค้นหาอินทิกรัล Jk สำหรับ k = 2, 3, ใดๆ - แท้จริงแล้ว อินทิกรัล J\ นั้นเป็นตาราง: เมื่อใส่สูตรการเกิดซ้ำ เราจะพบว่าการรู้และการใส่ A = 3 เราสามารถหา Jj ได้อย่างง่ายดาย และอื่นๆ ในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อแทนที่ทุกที่แทนที่จะเป็น t และ a นิพจน์ในรูปของ x และสัมประสิทธิ์ p และ q เราจะได้นิพจน์ในรูปของ x และตัวเลขที่กำหนด M, LG, p, q สำหรับอินทิกรัลเริ่มต้น ตัวอย่างที่ 8 อินทิกรัลใหม่ “ฟังก์ชันจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนที่ง่ายที่สุดของประเภทที่สี่ เนื่องจากการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองนั้นเป็นลบ กล่าวคือ ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนไม่มีรากที่แท้จริง และตัวเศษเป็นพหุนามของดีกรี 1 1) เราเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในตัวส่วน 2) เราทำการทดแทน: อินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ: ใส่สูตรการเกิดซ้ำ * = 2, a3 = 1 เราจะได้และดังนั้นอินทิกรัลที่ต้องการจึงเท่ากับ เมื่อกลับไปที่ตัวแปร x ในที่สุดเราก็ได้ 7.3 กรณีทั่วไป จากผลของย่อหน้า ส่วนที่ 1 และ 2 ของส่วนนี้จะเป็นไปตามทฤษฎีบทที่สำคัญทันที ทฤษฎีบท! 4. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันตรรกยะใด ๆ นั้นมีอยู่เสมอ (ในช่วงเวลาที่ตัวส่วนของเศษส่วน Q″ (x) φ 0) และแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานจำนวน จำกัด กล่าวคือมันคือผลรวมพีชคณิตเงื่อนไข ซึ่งสามารถคูณได้เท่านั้น เศษส่วนตรรกยะ ลอการิทึมธรรมชาติ และอาร์กแทนเจนต์ ดังนั้น ในการค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ ควรทำดังนี้: 1) ถ้าเศษส่วนตรรกยะไม่เหมาะสม จากนั้นหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ส่วนทั้งหมดจะถูกแยกออก กล่าวคือ ฟังก์ชันนี้ แสดงเป็นผลรวมของพหุนามและเศษส่วนตรรกยะแท้ 2) จากนั้นตัวส่วนของเศษส่วนที่เหมาะสมที่ได้จะถูกแบ่งออกเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและกำลังสอง 3) เศษส่วนแท้นี้จะถูกแยกย่อยเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่าย 4) การใช้ความเป็นเส้นตรงของอินทิกรัลและสูตรของขั้นตอนที่ 2 จะพบอินทิกรัลของแต่ละเทอมแยกจากกัน ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอินทิกรัล M เนื่องจากตัวส่วนเป็นพหุนามของลำดับที่สาม ฟังก์ชันจำนวนเต็มจึงเป็นเศษส่วนเกิน เราเน้นส่วนทั้งหมดในนั้น: ดังนั้นเราจะมี ตัวส่วนของเศษส่วนแท้มีรากจริงต่างกันที่ phi ดังนั้นการสลายตัวของเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ ดังนั้น เราจึงพบ การให้ค่าอาร์กิวเมนต์ x เท่ากับรากของตัวส่วนเราพบจากเอกลักษณ์นี้ว่า: ดังนั้นอินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับตัวอย่างที่ 8 ค้นหาอินทิกรัล 4 อินทิกรัลเป็นเศษส่วนแท้ซึ่งตัวส่วนมี รากจำนวนจริงที่แตกต่างกันสองตัว: x - O ผลคูณของ 1 และ x = 1 ของการคูณ 3 ดังนั้น การขยายตัวของปริพันธ์เป็นเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ นำด้านขวาของความเสมอภาคนี้มาเป็นตัวส่วนร่วมและลดความเท่ากันทั้งสองข้าง โดยตัวส่วนนี้ เราได้หรือ เราหาค่าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลัง x ที่เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นี้: จากตรงนี้ เราจะพบ เราจะได้การแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ในการขยายตัว: ตัวอย่างที่ 9 ค้นหาอินทิกรัล 4 ตัวส่วนของเศษส่วนไม่มีรากที่แท้จริง ดังนั้น การขยายตัวของปริพันธ์ให้เป็นเศษส่วนอย่างง่ายจึงมีรูปแบบ Hence หรือ เท่ากับสัมประสิทธิ์สำหรับกำลัง x เท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของเอกลักษณ์นี้ เราจะได้จากจุดที่เราค้นหา ดังนั้น หมายเหตุ ในตัวอย่างที่ให้มา ฟังก์ชันจำนวนเต็มสามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายด้วยวิธีที่ง่ายกว่า กล่าวคือ ในตัวเศษของเศษส่วนเราเลือกเลขฐานสองที่อยู่ในตัวส่วน จากนั้นจึงทำการหารแบบเทอมต่อเทอม : §8 การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว ฟังก์ชันในรูปแบบที่ Pm และ £?„ เป็นพหุนามประเภทดีกรี ตามลำดับ ในตัวแปร uub2... เรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะของ ubu2j... ตัวอย่างเช่น พหุนามของดีกรีที่สอง ในตัวแปรสองตัว u\ และ u2 มีรูปแบบโดยที่ - ค่าคงที่จริงบางตัว และตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร r และ y เนื่องจากมันแทนอัตราส่วนของพหุนามของดีกรีที่สามและพหุนามของ ระดับที่ 5 แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันต้นยู ในกรณีที่ตัวแปรเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x ในทางกลับกัน ฟังก์ชัน ] จะเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะของฟังก์ชันในตัวอย่าง ฟังก์ชันคือฟังก์ชันตรรกยะของ r และ rvdikvlv Pryaivr 3 ฟังก์ชันในรูปแบบไม่ใช่ฟังก์ชันตรรกยะของ x และรากศัพท์ y/r1 + 1 แต่เป็นฟังก์ชันตรรกยะของฟังก์ชัน ดังตัวอย่างที่แสดง ปริพันธ์ของการไม่มีเหตุผล ฟังก์ชันไม่ได้แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานเสมอไป ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลที่มักพบในแอปพลิเคชันจะไม่แสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน อินทิกรัลเหล่านี้เรียกว่าอินทิกรัลทรงรีของชนิดที่หนึ่งและสองตามลำดับ ขอให้เราพิจารณากรณีเหล่านั้นเมื่ออินทิเกรตของฟังก์ชันอตรรกยะสามารถลดลงได้ด้วยความช่วยเหลือของการแทนที่บางอย่าง ไปจนถึงอินทิเกรตของฟังก์ชันตรรกยะ 1. จำเป็นต้องค้นหาอินทิกรัลโดยที่ R(x, y) เป็นฟังก์ชันตรรกยะของอาร์กิวเมนต์ x และ y ม. 2 - จำนวนธรรมชาติ a, 6, c, d เป็นค่าคงที่จริงที่ตรงตามเงื่อนไข ad - bc ^ O (สำหรับ ad - be = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ a และ b จะเป็นสัดส่วนกับสัมประสิทธิ์ c และ d ดังนั้นความสัมพันธ์จึงไม่ขึ้นอยู่กับ x หมายความว่าในกรณีนี้ฟังก์ชันปริพันธ์จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร x ซึ่งจะมีการกล่าวถึงไปแล้วก่อนหน้านี้) ต่อไปเราจะพบ หรือ หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย ดังนั้น โดยที่ A1 (t) เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ * เนื่องจากฟูนาเดียเชิงตรรกยะของฟังก์ชันตรรกยะ เช่นเดียวกับผลคูณของฟังก์ชันตรรกยะ จึงเป็นฟังก์ชันตรรกยะ เรารู้วิธีบูรณาการฟังก์ชันตรรกศาสตร์ ให้อินทิกรัลที่ต้องการเท่ากับ At อินทิกรัล IvYti 4 ฟังก์ชันปริพันธ์* เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ ดังนั้นเราจึงตั้งค่า t = จากนั้น การรวมฟังก์ชันตรรกยะ ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะ การรวมเศษส่วนอย่างง่าย กรณีทั่วไป การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ การแทนที่ครั้งที่สองของออยเลอร์ การแทนที่ครั้งที่สามของออยเลอร์ ดังนั้นเราจึงได้ไพรมาร์ 5 ค้นหาอินทิกรัล ตัวส่วนร่วมของเศษส่วน เลขชี้กำลังของ x เท่ากับ 12 ดังนั้นปริพันธ์ของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปแบบ 1 _ 1_ ซึ่งแสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันตรรกยะของ: เมื่อนำสิ่งนี้มาพิจารณาแล้ว ดังนั้น 2. พิจารณา intephs ของรูปแบบที่ฟังก์ชัน subinTPal เป็นเช่นนั้น โดยแทนที่ราก \/ax2 + bx + c ในนั้นด้วย y เราจะได้ฟังก์ชัน R(x) y) - ตรรกยะเทียบกับอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง x และคุณ อินทิกรัลนี้ลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรอื่นโดยใช้การแทนที่ออยเลอร์ 8.1. การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ ให้ค่าสัมประสิทธิ์ a > 0 ให้เราตั้งค่า หรือ ดังนั้นเราจึงพบว่า x เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ u ซึ่งหมายความว่า ดังนั้น การแทนที่ที่ระบุจึงแสดงออกอย่างมีเหตุผลในรูปของ * ดังนั้นเราจะมีข้อสังเกต การแทนที่ออยเลอร์ครั้งแรกสามารถทำได้ในรูปแบบตัวอย่างที่ 6 เช่นกัน ลองหาอินทิกรัล ดังนั้นเราจะได้การแทนที่ของ dx ออยเลอร์ จะได้ว่า Y 8.2 การแทนที่ครั้งที่สองของออยเลอร์ ปล่อยให้ตรีโกณมิติ ax2 + bx + c มีรากจริง R] และ x2 ต่างกัน (สัมประสิทธิ์สามารถมีเครื่องหมายใดๆ ก็ได้) ในกรณีนี้ เราถือว่า ตั้งแต่นั้นมา เราได้ เนื่องจาก x,dxn y/ax2 + be + c ถูกแสดงอย่างมีเหตุผลในรูปของ t จากนั้นอินทิกรัลดั้งเดิมจะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ นั่นคือ โดยที่ ปัญหา ใช้การแทนที่ครั้งแรกของออยเลอร์ แสดงว่านั่นคือฟังก์ชันตรรกยะของ t ตัวอย่างที่ 7 ค้นหาอินทิกรัล dx M ฟังก์ชัน ] - x1 มีรากจริงต่างกัน ดังนั้นเราจึงใช้การแทนค่าออยเลอร์ที่สอง จากที่นี่ เราจะพบการแทนค่านิพจน์ที่พบลงในค่า Give?v*gyvl; เราได้ 8.3 ออยเลอร์ตัวที่สาม substascom ปล่อยให้สัมประสิทธิ์ c > 0 เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรโดยการใส่ โปรดทราบว่าหากต้องการลดอินทิกรัลให้เหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ การแทนที่ออยเลอร์ตัวแรกและตัวที่สองก็เพียงพอแล้ว ที่จริงแล้ว ถ้าค่าจำแนก b2 -4ac > 0 แสดงว่ารากของขวานตรีโนเมียลกำลังสอง + bx + c เป็นจำนวนจริง และในกรณีนี้ สามารถใช้การแทนที่ออยเลอร์ครั้งที่สองได้ ถ้าหากเครื่องหมายของตรีนาม ax2 + bx + c เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ a และเนื่องจากเครื่องหมายตรีโกณมิติต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น a > 0 ในกรณีนี้ สามารถใช้การทดแทนครั้งแรกของออยเลอร์ได้ ในการค้นหาอินทิกรัลประเภทที่ระบุไว้ข้างต้น ไม่แนะนำให้ใช้การแทนที่ออยเลอร์เสมอไป เนื่องจากสำหรับอินทิกรัลเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะค้นหาวิธีการอินทิเกรตอื่นที่นำไปสู่เป้าหมายได้เร็วขึ้น ลองพิจารณาอินทิกรัลพวกนี้บ้าง 1. ในการค้นหาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม ให้แยกกำลังสองด้านขวาออกจากกำลังสองของตรีโกณมิติที่ 3 โดยที่หลังจากนี้ ให้ทำการทดแทนและหาค่าสัมประสิทธิ์ a และ P มีเครื่องหมายต่างกันหรือเป็นบวกทั้งคู่ สำหรับและสำหรับ a > 0 อินทิกรัลจะลดลงเหลือลอการิทึม และถ้าเป็นเช่นนั้น จะลดเหลืออาร์คไซน์ ที่. ค้นหา imtegral 4 Sokak แล้ว สมมติว่าเราได้ Prmmar 9 ค้นหา สมมติว่า x - เราจะได้ 2 อินทิกรัลของแบบฟอร์มจะลดลงเหลืออินทิกรัล y จากขั้นตอนที่ 1 ดังนี้ เมื่อพิจารณาว่าอนุพันธ์ ()" = 2 เราเน้นในตัวเศษ: 4 เราระบุอนุพันธ์ของนิพจน์รากในตัวเศษ เนื่องจาก (x จากนั้นเราจะได้โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ของตัวอย่างที่ 9, 3 อินทิกรัลของรูปแบบโดยที่ P„(x) เป็นพหุนามดีกรีที่ n -th สามารถพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ซึ่งประกอบด้วยดังต่อไปนี้ (s) เป็นพหุนามของระดับ (n - 1) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน: ในการค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก เราแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของ (1): จากนั้นเราลดด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (2) ให้เป็นตัวหารร่วมเท่ากับ ตัวส่วนของด้านซ้าย เช่น y/ax2 + bx + c ลดทั้งสองด้านของ (2) โดยที่เราได้รับเอกลักษณ์ทั้งสองด้านซึ่งมีพหุนามของดีกรี n เท่ากับสัมประสิทธิ์สำหรับดีกรีเท่ากันของ x ใน ด้านซ้ายและด้านขวาของ (3) เราได้รับสมการ n + 1 ซึ่งเราพบค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ j4*(fc = 0,1,2,..., n ) ของ (1) และการหาอินทิกรัล + c จะได้คำตอบสำหรับอินทิกรัลนี้ ตัวอย่างที่ 11. ค้นหาอินทิกรัล ลองใส่ความแตกต่างของทั้งสองชุดของความเท่าเทียมกัน เราจะได้ นำด้านขวามาหาตัวส่วนร่วมและลดทั้งสองด้านลง เราจะได้เอกลักษณ์ หรือ เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ x เราก็มาถึงระบบสมการที่เราหา = จากนั้นเราจะพบอินทิกรัลทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (4): ดังนั้น อินทิกรัลที่ต้องการจะเท่ากับ

ภายใต้ ไม่มีเหตุผลเข้าใจนิพจน์ที่ตัวแปรอิสระ %%x%% หรือพหุนาม %%P_n(x)%% ของดีกรี %%n \in \mathbb(N)%% รวมอยู่ใต้เครื่องหมาย หัวรุนแรง(จากภาษาละติน ฐานราก- รูต) เช่น ยกกำลังเป็นเศษส่วน ด้วยการแทนที่ตัวแปร คลาสของปริพันธ์บางคลาสที่ไม่ลงตัวเมื่อเทียบกับ %%x%% ก็สามารถลดลงเป็นนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรใหม่ได้

แนวคิดของฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรตัวเดียวสามารถขยายไปยังอาร์กิวเมนต์หลายตัวได้ ถ้าสำหรับแต่ละอาร์กิวเมนต์ %%u, v, \dotsc, w%% เมื่อคำนวณค่าของฟังก์ชัน จะมีเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการยกกำลังเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น เราจะพูดถึงฟังก์ชันตรรกยะของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปคือ แสดงว่า %%R(u, v, \ dotsc, w)%% อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันดังกล่าวอาจเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ %%x%% รวมถึงรากในรูปแบบ %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันตรรกยะ $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ โดยมี %%u = x, v = \sqrt(x)%% และ %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% เป็นฟังก์ชันตรรกยะของ $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ จาก %%x%% และอนุมูล %%\sqrt(x)%% และ %%\sqrt(x ^2 + 1 )%% ในขณะที่ฟังก์ชัน %%f(x)%% จะเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลงตัว (พีชคณิต) ของตัวแปรอิสระตัวหนึ่ง %%x%%

ลองพิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% อินทิกรัลดังกล่าวหาเหตุผลเข้าข้างตนเองโดยการแทนที่ตัวแปร %%t = \sqrt[n](x)%% จากนั้น %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%

ตัวอย่างที่ 1

หา %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%

จำนวนเต็มของอาร์กิวเมนต์ที่ต้องการเขียนเป็นฟังก์ชันของอนุมูลระดับ %%2%% และ %%3%% เนื่องจากตัวคูณร่วมน้อยของ %%2%% และ %%3%% คือ %%6%% อินทิกรัลนี้จึงเป็นอินทิกรัลประเภท %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% และสามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้โดยการแทนที่ %%\sqrt(x) = t%% จากนั้น %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%% ดังนั้น $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t $$ ลองใช้ %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% และ $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(อาร์เรย์) $$

อินทิกรัลของรูปแบบ %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% เป็นกรณีพิเศษของการไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน กล่าวคือ อินทิกรัลของแบบฟอร์ม %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%% โดยที่ %% ad - bc \neq 0%% ซึ่งสามารถหาเหตุผลเข้าข้างตนเองได้โดยการแทนที่ตัวแปร %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%% จากนั้น %%x = \dfrac (dt^n - b)(ก - ct^n)%% จากนั้น $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t -

ตัวอย่างที่ 2

หา %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%

ลองใช้ %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% จากนั้น %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2) \end(array) $$ ดังนั้น $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(อาร์เรย์) $$

ลองพิจารณาอินทิกรัลในรูปแบบ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ในกรณีที่ง่ายที่สุด อินทิกรัลดังกล่าวจะลดลงเหลือแบบตาราง หากหลังจากแยกกำลังสองทั้งหมดแล้ว มีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

หาอินทิกรัล %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%

เมื่อพิจารณาว่า %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% เราจะได้ %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, จากนั้น $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\ซ้าย|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(อาร์เรย์) $$

ในกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ เมื่อต้องการค้นหาอินทิกรัลในรูปแบบ %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% จะถูกใช้

คลาสของฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวนั้นกว้างมาก ดังนั้นจึงไม่มีวิธีสากลในการรวมฟังก์ชันเหล่านี้เข้าด้วยกัน ในบทความนี้ เราจะพยายามระบุประเภทลักษณะเฉพาะที่สุดของฟังก์ชันปริพันธ์ไร้เหตุผล และเชื่อมโยงวิธีการอินทิเกรตเข้ากับฟังก์ชันเหล่านั้น

มีหลายกรณีที่เหมาะสมที่จะใช้วิธีการสมัครรับเครื่องหมายส่วนต่าง ตัวอย่างเช่นเมื่อค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของแบบฟอร์มโดยที่ พี– เศษส่วนตรรกยะ

ตัวอย่าง.

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด .

สารละลาย.

สังเกตได้ไม่ยากว่า ดังนั้นเราจึงวางไว้ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์และใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟ:

คำตอบ:

.

13. การทดแทนเชิงเส้นแบบเศษส่วน

อินทิกรัลชนิดที่ a, b, c, d เป็นจำนวนจริง, a, b,..., d, g เป็นจำนวนธรรมชาติ จะถูกรีดิวซ์เป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการแทนที่ โดยที่ K คือตัวคูณร่วมน้อยของ ตัวส่วนของเศษส่วน

อันที่จริงจากการทดแทนเป็นไปตามนั้น

นั่นคือ x และ dx แสดงผ่านฟังก์ชันตรรกยะของ t ยิ่งไปกว่านั้น ระดับของเศษส่วนแต่ละระดับจะแสดงผ่านฟังก์ชันตรรกยะของ t

ตัวอย่างที่ 33.4- ค้นหาอินทิกรัล

วิธีแก้: ตัวหารร่วมน้อยที่สุดของเศษส่วน 2/3 และ 1/2 คือ 6

ดังนั้นเราจึงใส่ x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 33.5ระบุการทดแทนเพื่อค้นหาอินทิกรัล:

วิธีแก้ปัญหา: สำหรับการแทนที่ I 1 x=t 2 สำหรับการแทนที่ I 2

14. การทดแทนตรีโกณมิติ

อินทิกรัลประเภทจะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างมีเหตุผลโดยใช้การแทนที่ตรีโกณมิติต่อไปนี้: x = sint สำหรับอินทิกรัลตัวแรก; x=a tgt สำหรับอินทิกรัลตัวที่สอง; สำหรับอินทิกรัลตัวที่สาม

ตัวอย่างที่ 33.6ค้นหาอินทิกรัล

วิธีแก้ปัญหา: ลองใส่ x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2 แล้ว

ตรงนี้ปริพันธ์เป็นฟังก์ชันตรรกยะเทียบกับ x และ โดยการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ภายใต้รากและทำการทดแทน อินทิกรัลของประเภทที่ระบุจะลดลงเหลืออินทิกรัลของประเภทที่พิจารณาแล้ว เช่น ถึงอินทิกรัลของประเภท อินทิกรัลเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้การทดแทนตรีโกณมิติที่เหมาะสม

ตัวอย่างที่ 33.7ค้นหาอินทิกรัล

วิธีแก้: เนื่องจาก x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5 แล้ว x+1=t, x=t-1, dx=dt นั่นเป็นเหตุผล เอาล่ะใส่

หมายเหตุ: ประเภทอินทิกรัล เป็นการสมควรที่จะค้นหาโดยใช้การแทนที่ x=1/t

15. อินทิกรัลจำกัดจำนวน

ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดบนเซ็กเมนต์และมีแอนติเดริเวทีฟอยู่ด้วย ที่เรียกว่าความแตกต่าง อินทิกรัลที่แน่นอน ฟังก์ชั่นตามส่วนและแสดงถึง ดังนั้น,

ส่วนต่างก็เขียนอยู่ในรูปแล้ว - ตัวเลขถูกเรียก ขีดจำกัดของการบูรณาการ .

ตัวอย่างเช่น หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน นั่นเป็นเหตุผล

16 . ถ้า c เป็นจำนวนคงที่และฟังก์ชัน ƒ(x) สามารถปริพันธ์บน ได้แล้ว

นั่นคือ ตัวประกอบคงที่ c สามารถดึงออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตได้

▼ลองเขียนผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชันด้วย ƒ(x) กัน เรามี:

จากนั้นจึงเป็นไปตามว่าฟังก์ชัน c ƒ(x) สามารถอินทิเกรตบน [a; b] และสูตร (38.1) ใช้ได้▲

2. ถ้าฟังก์ชัน ƒ 1 (x) และ ƒ 2 (x) สามารถอินทิเกรตบน [a;b] ได้ ดังนั้นอินทิเกรตบน [a; b] ผลรวมของคุณ

นั่นคือ อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล

▼
▲

คุณสมบัติ 2 ใช้กับผลรวมของจำนวนเทอมที่มีจำกัด

3.

คุณสมบัตินี้สามารถยอมรับได้ตามคำจำกัดความ คุณสมบัตินี้ยังได้รับการยืนยันโดยสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

4. ถ้าฟังก์ชัน ƒ(x) สามารถอินทิเกรตบน [a; ข] และก< с < b, то

นั่นคือ อินทิกรัลส่วนส่วนทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลส่วนส่วนต่างๆ ของส่วนนี้ คุณสมบัตินี้เรียกว่าการบวกของอินทิกรัลจำกัดเขต (หรือคุณสมบัติการบวก)

เมื่อแบ่งส่วน [a;b] ออกเป็นส่วนๆ เราจะรวมจุด c ไว้ในจำนวนจุดหาร (ซึ่งสามารถทำได้เนื่องจากความเป็นอิสระของขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลจากวิธีการแบ่งส่วน [a;b] เป็นส่วนๆ) ถ้า c = x m ผลรวมอินทิกรัลสามารถแบ่งออกเป็นสองผลรวม:

ผลรวมที่เป็นลายลักษณ์อักษรแต่ละรายการเป็นอินทิกรัลตามลำดับสำหรับส่วน [a; ข], [ก; ส] และ [s; ข] เมื่อผ่านไปยังขีดจำกัดในความเท่าเทียมกันสุดท้ายเป็น n → ∞ (แล → 0) เราจะได้ความเท่าเทียมกัน (38.3)

คุณสมบัติ 4 ใช้ได้กับตำแหน่งใดๆ ของจุด a, b, c (เราถือว่าฟังก์ชัน ƒ (x) สามารถอินทิเกรตกับส่วนที่ใหญ่กว่าของส่วนที่เป็นผลลัพธ์ได้)

ตัวอย่างเช่น ถ้า ก< b < с, то

(ใช้คุณสมบัติ 4 และ 3)

5. “ทฤษฎีบทว่าด้วยค่าเฉลี่ย” ถ้าฟังก์ชัน ƒ(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [a; b] แล้วก็มี tonka ที่มี є [a; ข] เช่นนั้น

▼ตามสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซที่เรามี

โดยที่ F"(x) = ƒ(x) เราใช้ทฤษฎีบทลากรองจ์ (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นอันจำกัดของฟังก์ชัน) กับค่าความแตกต่าง F(b)-F(a) ที่เราได้รับ

F(b)-F(a) = F"(c) (ba) = ƒ(c) (b-a).▲

คุณสมบัติ 5 (“ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย”) สำหรับ ƒ (x) ≥ 0 มีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย: ค่าของอินทิกรัลจำกัดจำนวนเท่ากันสำหรับ c บางส่วน (a; b) ถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ด้วยความสูง ƒ (c) และฐาน b-a ( ดูรูปที่ 170) ตัวเลข

เรียกว่าค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน ƒ(x) ในช่วงเวลา [a; ข]

6. ถ้าฟังก์ชัน ƒ (x) คงเครื่องหมายไว้บนส่วน [a; ข] โดยที่< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼ตาม “ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย” (คุณสมบัติ 5)

โดยที่ c є [a; ข] และเนื่องจาก ƒ(x) ≥ 0 สำหรับ x О ทั้งหมด [a; ข] จากนั้น

ƒ(с)≥0, b-และ>0.

ดังนั้น ƒ(с) (b-а) ≥ 0 คือ ▲

7. ความไม่เท่าเทียมกันระหว่างฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา [a; ข], (ก

▼ตั้งแต่ ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0 แล้วเมื่อ a< b, согласно свойству 6, имеем

หรือตามทรัพย์สินที่ 2

โปรดทราบว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกแยะความไม่เท่าเทียมกัน

8. การประมาณค่าอินทิกรัล ถ้า m และ M เป็นค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = ƒ (x) ตามลำดับ [a; ข], (ก< b), то

▼เนื่องจาก x є [a;b] ใดๆ เรามี m≤ƒ(x)≤M ดังนั้นตามคุณสมบัติที่ 7 เราได้

เราได้นำคุณสมบัติ 5 ไปใช้กับอินทิกรัลสุดขั้วแล้ว

▲

ถ้า ƒ(x)≥0 แสดงว่าคุณสมบัติ 8 จะแสดงเป็นรูปทรงเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งนั้นอยู่ระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็น และซึ่งมีความสูงเป็น m และ M (ดูรูปที่ 171)

9. โมดูลัสของอินทิกรัลจำกัดจำนวนไม่เกินอินทิกรัลของโมดูลัสของปริพันธ์:

▼การนำคุณสมบัติ 7 ไปใช้กับอสมการชัดเจน -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)| เราจะได้

มันเป็นไปตามนั้น

▲

10. อนุพันธ์ของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตเทียบกับขีดจำกัดบนของตัวแปรจะเท่ากับปริพันธ์ที่ตัวแปรอินทิกรัลถูกแทนที่ด้วยขีดจำกัดนี้ กล่าวคือ

การคำนวณพื้นที่ของรูปเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในทฤษฎีพื้นที่ ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน เราได้เรียนรู้การหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐาน เช่น วงกลม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เป็นต้น อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่คุณต้องจัดการกับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว เราต้องใช้แคลคูลัสอินทิกรัล

ในบทความนี้เราจะพิจารณาปัญหาในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งและเราจะเข้าใกล้มันในแง่เรขาคณิต สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถค้นหาความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างอินทิกรัลที่แน่นอนกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งได้

คำจำกัดความ 1

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ ซึ่งกำหนดบนเซกเมนต์หนึ่งๆ เรียกว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ อินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดด้วยสัญลักษณ์ $\int f(x)dx $

ความคิดเห็น

คำจำกัดความที่ 2 สามารถเขียนได้ดังนี้:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

ไม่ใช่ว่าฟังก์ชันอตรรกยะทุกฟังก์ชันจะสามารถแสดงเป็นอินทิกรัลผ่านฟังก์ชันพื้นฐานได้ อย่างไรก็ตาม อินทิกรัลเหล่านี้ส่วนใหญ่สามารถลดลงได้โดยใช้การแทนที่อินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ขวาน+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ขวาน+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $

ฉัน

เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ จำเป็นต้องทำการทดแทนต่อไปนี้:

ด้วยการทดแทนนี้ แต่ละกำลังเศษส่วนของตัวแปร $x$ จะแสดงผ่านกำลังจำนวนเต็มของตัวแปร $t$ เป็นผลให้ฟังก์ชันปริพันธ์ถูกแปลงเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร $t$

ตัวอย่างที่ 1

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

สารละลาย:

$k=4$ เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(อาร์เรย์)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

ครั้งที่สอง

เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ จำเป็นต้องทำการทดแทนต่อไปนี้:

โดยที่ $k$ เป็นตัวหารร่วมของเศษส่วน $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $

ผลจากการแทนที่นี้ ทำให้ปริพันธ์ถูกแปลงเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร $t$

ตัวอย่างที่ 2

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

สารละลาย:

มาทำการทดแทนต่อไปนี้:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]

ที่สาม

เมื่อค้นหาอินทิกรัลของรูปแบบ $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ จะเรียกว่าการแทนที่ออยเลอร์ (หนึ่งในสามการแทนที่ที่เป็นไปได้คือ ใช้แล้ว).

การเปลี่ยนตัวครั้งแรกของออยเลอร์

สำหรับกรณี $a>

เมื่อนำเครื่องหมาย “+” หน้า $\sqrt(a) $ เราก็จะได้

ตัวอย่างที่ 3

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

สารละลาย:

มาทำการทดแทนต่อไปนี้ (กรณี $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

หลังจากทำการทดแทนแบบย้อนกลับ เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

การเปลี่ยนตัวคนที่สองของออยเลอร์

สำหรับกรณี $c>0$ จำเป็นต้องทำการทดแทนดังต่อไปนี้:

เมื่อนำเครื่องหมาย “+” หน้า $\sqrt(c) $ เราก็จะได้

ตัวอย่างที่ 4

ดำเนินการบูรณาการ:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

สารละลาย:

มาทำการทดแทนต่อไปนี้:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ เมื่อกลับด้านแล้ว การทดแทนเราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( อาร์เรย์)\]

การเปลี่ยนตัวคนที่สามของออยเลอร์