เรื่อง: แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่ จำกัด

เป้า: นักเรียนจะทดสอบและรวบรวมความรู้และทักษะในหัวข้อ “อินทิกรัลต้านอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่แน่นอน”

งาน:

ทางการศึกษา : เรียนรู้การคำนวณแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่ จำกัด โดยใช้คุณสมบัติและสูตร

พัฒนาการ : จะพัฒนาการคิดเชิงวิพากษ์ สามารถสังเกตและวิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ได้

ทางการศึกษา : นักเรียนเรียนรู้ที่จะเคารพความคิดเห็นของผู้อื่นและความสามารถในการทำงานเป็นกลุ่ม

ผลลัพธ์ที่คาดหวัง:

พวกเขาจะเจาะลึกและจัดระบบความรู้ทางทฤษฎี พัฒนาความสนใจทางปัญญา การคิด คำพูด และความคิดสร้างสรรค์

พิมพ์ : บทเรียนการเสริมกำลัง

รูปร่าง: หน้าผาก, บุคคล, คู่, กลุ่ม

วิธีการสอน : อิงจากการค้นหาบางส่วน ใช้งานได้จริง

วิธีการรับรู้ : การวิเคราะห์ ตรรกะ การเปรียบเทียบ

อุปกรณ์: หนังสือเรียนตาราง

คะแนนจากนักเรียน: การเห็นคุณค่าซึ่งกันและกันและความนับถือตนเอง การสังเกตเด็ก ๆ

เวลาเรียน

ความคืบหน้าของบทเรียน

เรียก.

การตั้งเป้าหมาย:

คุณและฉันรู้วิธีสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง เรารู้วิธีแก้สมการกำลังสองและอสมการกำลังสอง ตลอดจนแก้ระบบอสมการเชิงเส้นด้วย

คุณคิดว่าหัวข้อบทเรียนวันนี้จะเป็นอย่างไร

การสร้างอารมณ์ที่ดีในห้องเรียน (2-3 นาที)

การวาดอารมณ์:อารมณ์ของบุคคลสะท้อนให้เห็นเป็นหลักในผลงานของกิจกรรมของเขา: ภาพวาด เรื่องราว ข้อความ ฯลฯ “ อารมณ์ของฉัน”:บนกระดาษ Whatman ทั่วไป โดยใช้ดินสอ เด็กแต่ละคนจะวาดอารมณ์ของตนเป็นแถบ เมฆ หรือจุดเล็กๆ (ภายในหนึ่งนาที)

จากนั้นใบไม้ก็ปลิวเป็นวงกลม งานของทุกคนคือการกำหนดอารมณ์ของอีกฝ่ายและเสริมให้สมบูรณ์ สิ่งนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าใบไม้จะกลับคืนสู่เจ้าของ

หลังจากนั้นจะมีการหารือเกี่ยวกับการวาดภาพผลลัพธ์

ฉันครั้งที่สอง- แบบสำรวจหน้าผากนักเรียน “ข้อเท็จจริงหรือความคิดเห็น” 17 นาที

1. กำหนดคำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ

2. ฟังก์ชั่นใดเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

3. พิสูจน์ว่าฟังก์ชันคือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันในช่วงเวลา (0;∞)

4. กำหนดคุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ คุณสมบัตินี้ตีความทางเรขาคณิตได้อย่างไร?

5. สำหรับฟังก์ชั่นค้นหาแอนติเดริเวทีฟที่กราฟผ่านจุดนั้น- (คำตอบ:เอฟ( x) = ทีจีเอ็กซ์ + 2.)

6. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

7. ระบุทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

8. เขียนสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

9. ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลคืออะไร?

10. ยกตัวอย่างการประยุกต์ใช้อินทิกรัล

11. ข้อเสนอแนะ: “บวก-ลบ-น่าสนใจ”

IV- งานแต่ละคู่พร้อมการทดสอบร่วมกัน: 10 นาที

แก้หมายเลข 5,6,7

วี- งานภาคปฏิบัติ: แก้ในสมุดบันทึก 10 นาที

แก้ข้อที่ 8-10

วี- สรุปบทเรียน การให้คะแนน (OdO, OO) 2 นาที

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว- การบ้าน น. 1 ฉบับที่ 11,12 1 นาที

8- การสะท้อนกลับ: 2 นาที

บทเรียน:

ฉันถูกดึงดูดโดย...

ดูเหมือนน่าสนใจ...

ตื่นเต้น...

ทำให้ฉันคิด...

ทำให้ฉันคิด...

คุณประทับใจอะไรมากที่สุด?

ความรู้ที่ได้รับในบทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณในชีวิตบั้นปลายหรือไม่?

คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในบทเรียน?

คุณคิดว่าจะต้องจำอะไร?

10. จะต้องดำเนินการอะไรอีกบ้าง

ฉันสอนบทเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ในหัวข้อนี้“แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด“นี่คือบทเรียนในการตอกย้ำหัวข้อ.

ปัญหาที่จะแก้ไขระหว่างบทเรียน:

จะได้เรียนรู้การคำนวณอินทิกรัลแบบแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่แน่นอนโดยใช้คุณสมบัติและสูตร จะพัฒนาการคิดเชิงวิพากษ์ สามารถสังเกตและวิเคราะห์สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ นักเรียนเรียนรู้ที่จะเคารพความคิดเห็นของผู้อื่นและความสามารถในการทำงานเป็นกลุ่ม

หลังจากบทเรียนฉันคาดหวังผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

นักเรียนจะเจาะลึกและจัดระบบความรู้ทางทฤษฎี พัฒนาความสนใจทางปัญญา การคิด คำพูด และความคิดสร้างสรรค์

สร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนาความคิดสร้างสรรค์และการปฏิบัติ ส่งเสริมทัศนคติที่มีความรับผิดชอบต่องานวิชาการ ส่งเสริมความรู้สึกเคารพระหว่างนักเรียนเพื่อเพิ่มความสามารถสูงสุดผ่านการเรียนรู้แบบกลุ่ม

ในบทเรียนของฉัน ฉันใช้งานส่วนหน้า งานเดี่ยว งานคู่ และงานกลุ่ม

ฉันวางแผนบทเรียนนี้เพื่อเสริมแนวคิดเรื่องการอินทิกรัลแบบแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัดกับนักเรียน

ฉันคิดว่าการสร้างโปสเตอร์ "การวาดอารมณ์" ในตอนต้นบทเรียนเป็นงานที่ดีประการแรกอารมณ์ของบุคคลสะท้อนให้เห็นในผลงานของกิจกรรมของเขา: ภาพวาด เรื่องราว ข้อความ ฯลฯ “ อารมณ์ของฉัน”: เมื่อใดเด็กแต่ละคนจะวาดอารมณ์ของตนบนกระดาษ Whatman โดยใช้ดินสอ (ภายในหนึ่งนาที)

จากนั้นกระดาษ Whatman ก็หมุนเป็นวงกลม งานของทุกคนคือการกำหนดอารมณ์ของอีกฝ่ายและเสริมให้สมบูรณ์ สิ่งนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่ารูปภาพบนกระดาษ Whatman จะกลับไปหาเจ้าของหลังจากนั้นจะมีการหารือเกี่ยวกับการวาดภาพผลลัพธ์ เด็กแต่ละคนสามารถสะท้อนอารมณ์ของตนเองและเริ่มทำงานในบทเรียนได้

ในขั้นตอนต่อไปของบทเรียน โดยใช้วิธี "ข้อเท็จจริงหรือความคิดเห็น" นักเรียนพยายามพิสูจน์ว่าแนวคิดทั้งหมดในหัวข้อนี้เป็นข้อเท็จจริง แต่ไม่ใช่ความคิดเห็นส่วนตัว เมื่อแก้ไขตัวอย่างในหัวข้อนี้จะรับประกันการรับรู้ความเข้าใจและการท่องจำ กำลังสร้างระบบบูรณาการความรู้ชั้นนำในหัวข้อนี้

เมื่อติดตามและทดสอบความรู้ด้วยตนเอง คุณภาพและระดับของความรู้ตลอดจนวิธีดำเนินการจะถูกเปิดเผย และรับประกันการแก้ไข

ฉันรวมงานค้นหาบางส่วนไว้ในโครงสร้างของบทเรียน พวกเขาแก้ไขปัญหาด้วยตัวเอง เราตรวจสอบตัวเองในกลุ่ม เราได้รับคำปรึกษาเป็นรายบุคคล ฉันมองหาเทคนิคและวิธีการใหม่ๆ ในการทำงานกับเด็กๆ อยู่ตลอดเวลา ตามหลักการแล้ว ฉันอยากให้เด็กแต่ละคนวางแผนกิจกรรมของตนเองระหว่างและหลังบทเรียน เพื่อตอบคำถาม: ฉันต้องการที่จะบรรลุความสูงที่กำหนดหรือไม่ ฉันจำเป็นต้องได้รับการศึกษาระดับสูงหรือไม่ โดยใช้บทเรียนนี้เป็นตัวอย่าง ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าเด็กสามารถกำหนดทั้งหัวข้อและหลักสูตรของบทเรียนได้ตัวเขาเองสามารถปรับกิจกรรมและกิจกรรมของครูเพื่อให้บทเรียนและชั้นเรียนเพิ่มเติมตรงตามความต้องการของเขา

เมื่อเลือกงานประเภทนี้หรือประเภทนั้น ฉันคำนึงถึงวัตถุประสงค์ของบทเรียน เนื้อหาและความยากลำบากของสื่อการศึกษา ประเภทของบทเรียน วิธีการและวิธีการสอน อายุ และลักษณะทางจิตวิทยาของนักเรียน

ในระบบการสอนแบบดั้งเดิม เมื่อครูนำเสนอความรู้สำเร็จรูปและนักเรียนซึมซับความรู้นั้นอย่างอดทน ปัญหาเรื่องการไตร่ตรองมักจะไม่เกิดขึ้น

ฉันคิดว่างานนี้ออกมาดีเป็นพิเศษเมื่อรวบรวมการไตร่ตรองว่า "ฉันเรียนรู้อะไรในบทเรียนนี้..." งานนี้กระตุ้นความสนใจและช่วยเหลือเป็นพิเศษทำความเข้าใจวิธีที่ดีที่สุดในการจัดระเบียบงานนี้ในบทเรียนถัดไป

ฉันคิดว่าความภาคภูมิใจในตนเองและการประเมินร่วมกันไม่ได้ผล นักเรียนประเมินตนเองและเพื่อนมากเกินไป

จากการวิเคราะห์บทเรียน ฉันตระหนักว่านักเรียนมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับความหมายของสูตรและการนำไปใช้ในการแก้ปัญหา และเรียนรู้ที่จะใช้กลยุทธ์ต่างๆ ในขั้นตอนต่างๆ ของบทเรียน

ฉันต้องการดำเนินการบทเรียนต่อไปโดยใช้กลยุทธ์ "หมวกหกใบ" และดำเนินการไตร่ตรอง "ผีเสื้อ" ซึ่งจะช่วยให้ทุกคนแสดงความคิดเห็นของคุณเขียนลงไป

ประเภทบทเรียน:การสรุปทั่วไป

งาน:

ทางการศึกษา : จัดระบบ ขยาย และเจาะลึกความรู้ในหัวข้อนี้
พัฒนาการ : ส่งเสริมการพัฒนาความสามารถในการเปรียบเทียบ สรุป จำแนก วิเคราะห์ และสรุปผล
การให้ความรู้ : ส่งเสริมให้นักเรียนออกกำลังกายการควบคุมตนเองและร่วมกัน ปลูกฝังกิจกรรมการเรียนรู้ ความเป็นอิสระ และความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย

ความคืบหน้าของบทเรียน

ฉัน. ช่วงเวลาขององค์กร

การอุ่นเครื่องขั้นพื้นฐานและการปฏิบัติงาน เครื่องจำลองความเร็ว (องค์ประกอบของเทคโนโลยี Wasserman)

ครั้งที่สอง การทำซ้ำ

นักเรียนเป็นคู่ทำซ้ำทฤษฎีในหัวข้อและตอบคำถามของกันและกัน (ภาคผนวก 1) คำตอบที่ถูกต้องมีค่าหนึ่งคะแนน

III. ตรวจการบ้าน

นักเรียนเป็นคู่แลกเปลี่ยนสมุดบันทึกและดำเนินการตรวจสอบร่วมกัน เด็ก 5 คนเตรียมตัวอย่างล่วงหน้าหนึ่งตัวอย่างบนการ์ดสำหรับกระดานโต้ตอบจากการบ้านและแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของพวกเขา

IV. งานประมูล

1. คำนวณปริมาตรของกรวยที่มีพื้นที่ฐานเป็น P และสูง h

2.ต้องทำอย่างไรให้ยืดสปริงได้ 25 ซม.

3. ต้องใช้ความพยายามมากเพียงใดในการยกมวล m ให้สูง h โดยใช้จรวด?

4. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกน x, เส้นตรง x=0, x=π และกราฟของฟังก์ชัน y=sin x

5. คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น: y=-x², y=0, x=-2

V. งานอิสระ

สำหรับแต่ละปัญหามีสี่คำตอบ ซึ่งมีเพียงคำตอบที่ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น นักเรียนต้องใส่หมายเลขตัวเลือกลงในแบบฟอร์มพิเศษและขีดฆ่าจำนวนคำตอบที่เลือกสำหรับแต่ละงาน

ครูใช้เทมเพลตที่มีรู (รูมีแรเงา) และเมื่อวางไว้บนแบบฟอร์มนักเรียน เขาจะสร้างความถูกต้องของแนวทางแก้ไขสำหรับปัญหาทั้ง 4 ข้อ

การมอบหมายงานอิสระใน 4 ตัวเลือก แต่ละตัวเลือกประกอบด้วย 4 งาน:

วี. การแข่งขันวิ่งผลัดคณิตศาสตร์

การทำงานเป็นทีม บนโต๊ะสุดท้ายของแต่ละแถวจะมีกระดาษหนึ่งแผ่นที่มี 10 ภารกิจ (สองคำถามสำหรับแต่ละโต๊ะ) นักเรียนคู่แรกเมื่อทำสองงานเสร็จแล้วก็ส่งแผ่นงานให้คนที่นั่งข้างหน้า งานจะถือว่าเสร็จสมบูรณ์เมื่อครูได้รับแผ่นงานที่มีงานทำถูกต้อง 10 ชิ้น (ภาคผนวก 2)
ทีมที่แก้ไขงานทั้งหมดก่อนจะชนะ

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว จากประวัติศาสตร์

กลุ่มนักศึกษารายงานที่มาของคำศัพท์และการกำหนดในหัวข้อ “ปฐมกาล” อินทิกรัล” จากประวัติศาสตร์แคลคูลัสอินทิกรัล เกี่ยวกับนักคณิตศาสตร์ผู้ค้นพบหัวข้อนี้

8. การสะท้อนกลับ

คุณเรียนรู้อะไรในบทนี้?
คุณได้เรียนรู้อะไรบ้าง?
คุณได้อะไร?

การพัฒนาระเบียบวิธีของบทเรียนพีชคณิตในหัวข้อ: "แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล"

หัวข้อ: “แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล”

กลุ่ม: 82 (14-TTOครั้งที่สอง-118)

ความชำนาญพิเศษ: เทคโนโลยีผลิตภัณฑ์อาหารสาธารณะ

พิมพ์: บทเรียนเรื่องลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้ .

รูปร่าง: และ กรา

เป้าหมาย:

ง ไม่รู้:

การพัฒนาความสามารถทางการศึกษา ความรู้ความเข้าใจ และสารสนเทศ โดยการวางลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้ในหัวข้อ “ยุคดึกดำบรรพ์” อินทิกรัล" พัฒนาทักษะการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งได้หลายวิธี

การพัฒนา:

การก่อตัวของความสามารถด้านข้อมูลและวัฒนธรรมทั่วไปผ่านการพัฒนากิจกรรมการรับรู้ ความสนใจในวิชา ความสามารถเชิงสร้างสรรค์ของนักเรียน การขยายขอบเขตอันไกลโพ้น และการพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์

ทางการศึกษา:

การก่อตัวของความสามารถในการสื่อสารและความสามารถในการพัฒนาตนเองส่วนบุคคลผ่านการทำงานทักษะการสื่อสารความสามารถในการทำงานร่วมกันและการพัฒนาคุณสมบัติส่วนบุคคลเช่นองค์กรและระเบียบวินัย

เครื่องมือการเรียนรู้:

เทคนิค:พีซี โปรเจ็กเตอร์ จอภาพ

ความคืบหน้าของบทเรียน

ขั้นตอนการเตรียมการ: แบ่งกลุ่มออกเป็นสองทีมล่วงหน้า

I. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีทุกคน! ฉันดีใจที่ได้ต้อนรับคุณเข้าสู่บทเรียน ค จุดประสงค์ของบทเรียนของเราคือการสรุปและจัดระบบความรู้ในหัวข้อ "การต่อต้านและ integrated” เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการทดสอบที่กำลังจะมาถึง

คำขวัญของงานของเรา: "สำรวจทุกสิ่ง ปล่อยให้จิตใจของคุณมาก่อน" - คำเหล่านี้เป็นของพีทาโกรัสนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

เราจะขึ้นไปสู่จุดสูงสุดของ "จุดสูงสุดแห่งความรู้" อย่างผิดปกติ

การแข่งขันชิงแชมป์จะแข่งขันกันโดยสองกลุ่ม แต่ละกลุ่มมีผู้สอนของตนเองซึ่งจะประเมินอัตราการมีส่วนร่วมของ "นักท่องเที่ยว" แต่ละคนในการปีนขึ้นไปของเรา

กลุ่มที่ไปถึงจุดสูงสุดของความรู้ก่อนจะเป็นผู้ชนะ

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน: “มาตรวจกระเป๋าเป้กันเถอะ”

ก่อนการเดินทางไกล คุณต้องตรวจสอบว่าคุณเตรียมตัวสำหรับการปีนได้ดีแค่ไหน เรามาตรวจสอบการบ้านที่ได้รับมอบหมายในบทเรียนที่แล้วกัน:

ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

,

คนสองคนผลัดกันมาที่กระดานเพื่ออธิบายสั้นๆ เกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่พวกเขาเตรียมไว้ล่วงหน้าบนสไลด์ ส่วนที่เหลือกำลังตรวจสอบในเวลานี้

ฉัน ครั้งที่สอง อุ่นเครื่อง.

เป็นที่ยอมรับกันว่าบุคคลที่เตรียมตัวสำหรับการแข่งขันมักจะเริ่มต้นวันใหม่ด้วยการออกกำลังกายนั่นคือด้วยการวอร์มอัพ

มาอุ่นเครื่องกันหน่อย

มีงานทดสอบ 9 งานที่นำเสนอ แต่ละทีมผลัดกันเลือกคำถามและรับโทเค็นสำหรับคำตอบที่ถูกต้อง (สไลด์)

การดำเนินการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันเรียกว่า...

บูรณาการ;

ความแตกต่าง;

ลอการิทึม;

ยกอำนาจ;

การแยกราก

กรอกคำจำกัดความ:

อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน ย = ฉ (x) เรียกว่า:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เอฟ (x );

เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน ย = ฉ (x );

เซตของอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน ย = ฉ (x );

พิมพ์เครื่องหมาย

สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

กรอกคำจำกัดความ:

“ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(x) บนช่วง X หากอยู่ที่แต่ละจุดของช่วงนี้…”

ฉันวี . การแข่งขันวิ่งผลัดคณิตศาสตร์

ไปกันเลย! การปีนขึ้นสู่ “จุดสูงสุดแห่งความรู้” ไม่ใช่เรื่องง่าย อาจมีอุปสรรค ดินถล่ม และดินถล่มได้ แต่ยังมีจุดจอดที่ไม่เพียงแต่งานรอคุณอยู่เท่านั้น หากต้องการก้าวไปข้างหน้าคุณต้องแสดงความรู้

การทำงานเป็นทีม บนโต๊ะสุดท้ายของแต่ละแถวจะมีแผ่นงานที่มี 8 งาน (สองคำถามสำหรับแต่ละโต๊ะ) นักเรียนคู่แรกเมื่อทำสองงานเสร็จแล้วก็ส่งแผ่นงานให้คนที่นั่งข้างหน้า งานจะถือว่าเสร็จสมบูรณ์เมื่อครูได้รับแผ่นงานที่มี 8 งานที่ทำถูกต้อง งานเดียวกันจะถูกนำเสนอบนสไลด์ คุณสามารถแก้ไขได้ไม่เพียงแต่งานของคุณเองเท่านั้น แต่ยังตรวจสอบความถูกต้องของการตัดสินใจของสมาชิกในทีมของคุณด้วย

ทีมที่แก้ไขงานทั้งหมดก่อนจะชนะ ตรวจสอบงานโดยใช้สไลด์ คะแนนที่ได้รับจะถูกสรุป

และตอนนี้ก็ได้พักผ่อนแล้ว

วี. หยุด.

“อุบัติเหตุที่มีความสุขเกิดขึ้นได้กับจิตใจที่เตรียมพร้อมเท่านั้น” (หลุยส์ ปาสเตอร์) (สไลด์)

อ่านข้อมูลจากประวัติแคลคูลัสอินทิกรัล (สไลด์)

สัญลักษณ์สำคัญได้รับการแนะนำโดยไลบ์นิซ (1675) เครื่องหมายนี้เป็นการดัดแปลงอักษรละติน S (อักษรตัวแรกของคำว่า sum) คำว่าอินทิกรัลนั้นประดิษฐ์ขึ้นโดย J. Bernoulli (1690) อาจมาจากภาษาละตินจำนวนเต็มซึ่งแปลว่าการนำไปสู่สถานะก่อนหน้าและการฟื้นฟู (แท้จริงแล้ว การดำเนินการของอินทิกรัล "คืนค่า" ฟังก์ชันโดยการแยกความแตกต่างที่ได้รับอินทิกรัล) ที่มาของคำว่าอินทิกรัลอาจแตกต่างกัน: คำว่าจำนวนเต็มหมายถึงทั้งหมด

ในระหว่างการติดต่อกัน I. Bernoulli และ G. Leibniz เห็นด้วยกับข้อเสนอของ J. Bernoulli ในเวลาเดียวกันในปี 1696 ชื่อของสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ก็ปรากฏขึ้น - แคลคูลัสอินทิกรัล (แคลคูลัสอินทิกรัลลิส) ซึ่งได้รับการแนะนำโดย I. Bernoulli

การเกิดขึ้นของปัญหาแคลคูลัสอินทิกรัลสัมพันธ์กับการค้นหาพื้นที่และปริมาตร ปัญหาประเภทนี้จำนวนหนึ่งได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์โบราณ

กรีซ คณิตศาสตร์โบราณคาดการณ์แนวคิดเรื่องแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ไว้มากกว่าแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มาก วิธีการที่ละเอียดถี่ถ้วนที่สร้างขึ้นมีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาดังกล่าว

Eudoxus of Cnidus (ประมาณ 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล) และใช้กันอย่างแพร่หลาย

อาร์คิมีดีส (ประมาณ 287 - 212 ปีก่อนคริสตกาล)

ในศตวรรษที่ 17 มีการค้นพบมากมายที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอินทิกรัล ดังนั้น พี. แฟร์มาต์ในปี 1629 จึงแก้ปัญหาการหากำลังสองของเส้นโค้งใดๆ ได้ อย่างไรก็ตามแม้จะมีความสำคัญของผลลัพธ์ที่นักคณิตศาสตร์ได้รับก็ตาม

ศตวรรษที่ XVII ยังไม่มีการคำนวณ จำเป็นต้องเน้นแนวคิดทั่วไปที่เป็นรากฐานของการแก้ปัญหาเฉพาะหลายอย่าง ตลอดจนสร้างความเชื่อมโยงระหว่างการดำเนินการในการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการ ซึ่งจะให้อัลกอริธึมที่แม่นยำพอสมควร สิ่งนี้ทำโดยนิวตันและไลบ์นิซผู้ค้นพบข้อเท็จจริงที่คุณรู้จักในชื่อสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซโดยอิสระ

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย M. V. Ostrogradsky (1801 - 1862) และ V. Ya. Bunyakovsky มีส่วนร่วมในการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล การนำเสนอทฤษฎีอินทิกรัลอย่างเข้มงวดปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ผ่านมา

วิธีแก้ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของ O. Cauchy หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน B. Riemann (1826 - 1866) และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส G. Darboux (1842 - 1917)

คำตอบสำหรับคำถามมากมายที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของพื้นที่และปริมาตรของตัวเลขได้มาจากการสร้างทฤษฎีการวัดโดย C. Jordan (1826 - 1922)

การสรุปแนวคิดเรื่องปริพันธ์ต่างๆ ได้รับการเสนอไว้แล้วเมื่อต้นศตวรรษของเราโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส A. Lebesgue (1875 - 1941) และ

A. Denjoy (1884 - 1974) โดยนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต A. Ya.

วี. การปีนที่ยากที่สุด

งานต่อไปควรจะเสร็จสิ้นด้วยการเขียน ดังนั้นนักเรียนจึงเขียนสมุดบันทึก

งาน.คุณสามารถหาพื้นที่ของร่างที่ล้อมรอบด้วยเส้นได้กี่วิธี (สไลด์)

, , ,

ใครมีข้อเสนอแนะบ้าง? (รูปประกอบด้วยสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งสองอันและสี่เหลี่ยม) (เลือกสไลด์วิธีการแก้ปัญหา)

หลังจากหารือเกี่ยวกับปัญหานี้ รายการต่อไปนี้จะปรากฏบนสไลด์:

1 วิธี: ส =ส 1 +ส 2 +ส 3

วิธีที่ 2: S =S 1 +S ABCD -S OCD

นักเรียนสองคนแก้ปัญหาที่กระดาน ตามด้วยคำอธิบายวิธีแก้ปัญหา นักเรียนที่เหลือทำงานในสมุดบันทึก โดยเลือกวิธีแก้ไขปัญหาวิธีใดวิธีหนึ่ง (หนึ่งคนต่อทีม)

บทสรุป(นักเรียนทำ): เราพบสองวิธีในการแก้ปัญหานี้ และได้ผลลัพธ์เดียวกัน หารือเกี่ยวกับวิธีใดง่ายกว่า

วี ครั้งที่สอง ปีนครั้งสุดท้าย คำไขว้ (สไลด์)

ทุกคนเหนื่อยมาก แต่เมื่อใกล้ถึงเป้าหมาย งานก็จะง่ายขึ้นและง่ายขึ้น

ปีนครั้งสุดท้าย มีปริศนาอักษรไขว้อยู่บนสไลด์ งานของคุณคือการแก้ปัญหามัน ในทางกลับกัน แต่ละทีมจะทายคำที่พวกเขาชอบและจดคำตอบไว้

วีเอสเอช. สรุปบทเรียน (สไลด์)

หัวข้อบทเรียน : แอนติเดริเวทีฟ อินทิกรัลไม่จำกัดและคุณสมบัติของมัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา:

เพื่อแนะนำนักเรียนให้รู้จักแนวคิดเรื่องอินทิกรัลต้านอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่ จำกัด สมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟและกฎเกณฑ์ในการค้นหาอินทิกรัลต้านอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่ จำกัด

ทางการศึกษา:

พัฒนาทักษะกิจกรรมอิสระ

เปิดใช้งานกิจกรรมทางจิตและคำพูดทางคณิตศาสตร์

ทางการศึกษา:

ปลูกฝังความรับผิดชอบต่อคุณภาพและผลลัพธ์ของงานที่ทำ

สร้างความรับผิดชอบต่อผลลัพธ์สุดท้าย

พิมพ์ บทเรียน : ข้อความแห่งความรู้ใหม่

วิธีการดำเนินการ : วาจา การมองเห็น งานอิสระ

ความปลอดภัย บทเรียน :

อุปกรณ์มัลติมีเดียและซอฟต์แวร์สำหรับแสดงการนำเสนอและวิดีโอ

เอกสารประกอบการสอน: ตารางอินทิกรัลอย่างง่าย (ในขั้นตอนการรวมบัญชี)

โครงสร้างบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร (2 นาที.)

แรงจูงใจในการทำกิจกรรมการเรียนรู้ -5 นาที.)

การนำเสนอวัสดุใหม่ -50 นาที.)

การรวมเนื้อหาที่ศึกษา -25 นาที.)

สรุปบทเรียน. การสะท้อนกลับ -6 นาที.)

ข้อความการบ้าน -2 นาที.)

ความคืบหน้าของบทเรียน

ช่วงเวลาขององค์กร (2 นาที)

เทคนิคการสอน

เทคนิคการสอน

ครูทักทายนักเรียนและตรวจสอบผู้ที่อยู่ในกลุ่มผู้ฟัง

นักเรียนกำลังเตรียมตัวทำงาน ผู้ใหญ่บ้านกรอกรายงาน เจ้าหน้าที่กำลังแจกเอกสารแจก

แรงจูงใจในการทำกิจกรรมการเรียนรู้( 5 นาที)

เทคนิคการสอน

เทคนิคการสอน

หัวข้อบทเรียนวันนี้“ดึกดำบรรพ์อินทิกรัลไม่ จำกัด และคุณสมบัติของมัน”(สไลด์ 1)

เราจะใช้ความรู้ในหัวข้อนี้ในบทเรียนต่อไปนี้เมื่อค้นหาอินทิกรัลและพื้นที่ของรูปเครื่องบิน ให้ความสนใจอย่างมากกับแคลคูลัสอินทิกรัลในส่วนของคณิตศาสตร์ขั้นสูงในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาเมื่อแก้ไขปัญหาประยุกต์

บทเรียนของเราวันนี้คือการศึกษาเนื้อหาใหม่ ดังนั้นจึงเป็นไปตามธรรมชาติทางทฤษฎี จุดประสงค์ของบทเรียนคือเพื่อสร้างแนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัล ทำความเข้าใจแก่นแท้ของแคลคูลัส และพัฒนาทักษะในการหาแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่แน่นอน(สไลด์ 2)

นักเรียนจดวันที่และหัวข้อของบทเรียน

3. การนำเสนอวัสดุใหม่ (50 นาที)

เทคนิคการสอน

เทคนิคการสอน

1. เมื่อเร็วๆ นี้เราได้กล่าวถึงหัวข้อ “อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง” ตัวอย่างเช่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันฉ (เอ็กซ์)= เอ็กซ์ 9 , เรารู้ว่าฉ '(x)= 9x 8 . ตอนนี้เราจะดูตัวอย่างการค้นหาฟังก์ชันที่ทราบอนุพันธ์

สมมุติว่าได้รับอนุพันธ์มาฉ '(x)= 6x 5 - จากการใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ เราสามารถระบุได้ว่านี่คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันฉ (เอ็กซ์)= เอ็กซ์ 6 - ฟังก์ชันที่สามารถกำหนดได้จากอนุพันธ์ของมันเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ (ให้คำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ (สไลด์ 3))

คำจำกัดความ 1 : การทำงาน เอฟ ( x ) เรียกว่า แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ ( x ) บนเซ็กเมนต์ [ ก; ข], หากความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจทุกจุดของส่วนนี้ = ฉ ( x )

ตัวอย่างที่ 1 (สไลด์ 4): มาพิสูจน์กันดีกว่าxϵ(-∞;+∞) การทำงานเอฟ ( x )=x 5 -5x ฉ (เอ็กซ์)=5 เอ็กซ์ 4 -5.

พิสูจน์: เมื่อใช้คำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้

=(เอ็กซ์ 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 เอ็กซ์ 4 -5.

ตัวอย่างที่ 2 (สไลด์ 5): มาพิสูจน์กันดีกว่าxϵ(-∞;+∞) การทำงานเอฟ ( x )= ไม่คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันฉ (เอ็กซ์)= .

พิสูจน์กับนักเรียนบนกระดาน

เรารู้ว่าการหาอนุพันธ์เรียกว่าความแตกต่าง - เราจะเรียกการค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของมันบูรณาการ (สไลด์ 6) เป้าหมายของการอินทิเกรตคือการค้นหาแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น: (สไลด์ 7)

คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ:

ทฤษฎีบท: ถ้าเอฟ ( x ) - หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ฉ (เอ็กซ์) ในช่วง X ดังนั้นเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันนี้จะถูกกำหนดโดยสูตร ช ( x )= เอฟ ( x )+ ค โดยที่ C เป็นจำนวนจริง

(สไลด์ 8) ตารางแอนติเดริเวทีฟ

กฎสามข้อในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎ #1:ถ้า เอฟมีแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันนี้ฉ, ก ช– แอนติเดริเวทีฟสำหรับก, ที่ เอฟ+ ช- มีแอนติเดริเวทีฟสำหรับฉ+ ก.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

กฎ #2:ถ้า เอฟ– แอนติเดริเวทีฟสำหรับฉ, ก เคเป็นค่าคงที่แล้วจึงเป็นฟังก์ชันกิโลเอฟ– แอนติเดริเวทีฟสำหรับเคเอฟ.

(กิโลเอฟ)’ = กิโลเอฟ’ = เคเอฟ

กฎ #3:ถ้า เอฟ– แอนติเดริเวทีฟสำหรับฉ, ก เคและ ข– ค่าคงที่ () จากนั้นจึงเป็นฟังก์ชัน

สารต้านอนุพันธ์สำหรับฉ(เคเอ็กซ์+ ข).

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัลมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหาการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณและโรมเรียกว่าปัญหาเกี่ยวกับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของปัญหาตัวเลขเครื่องบินโดยเฉพาะซึ่งขณะนี้เราจัดว่าเป็นปัญหาสำหรับการคำนวณพื้นที่ Eudoxus แห่ง Cnidus เมื่อใช้วิธีนี้ Eudoxus พิสูจน์ว่า:

1. พื้นที่ของวงกลมสองวงสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง

2. ปริมาตรของกรวยเท่ากับ 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีความสูงและฐานเท่ากัน

วิธี Eudoxus ได้รับการปรับปรุงโดย Archimedes และสิ่งต่างๆ ต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว:

1. ที่มาของสูตรพื้นที่วงกลม

2. ปริมาตรของลูกบอลเท่ากับ 2/3 ของปริมาตรของกระบอกสูบ

ความสำเร็จทั้งหมดได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่โดยใช้อินทิกรัล

กลับไปที่ทฤษฎีบท 1 และรับคำจำกัดความใหม่

คำจำกัดความ 2 : การแสดงออก เอฟ ( x ) + ค , ที่ไหน ค - ค่าคงที่ตามอำเภอใจ เรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

จากคำจำกัดความที่เรามี:

(1)

อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันฉ(x) จึงแทนเซตของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฉ(x) .

ในความเท่าเทียมกัน (1) ฟังก์ชันฉ(x) เรียกว่า ฟังก์ชันอินทิเกรต และการแสดงออก ฉ(x) ดีเอ็กซ์– บูรณาการ , ตัวแปร x – ตัวแปรบูรณาการ , ภาคเรียน ค - ค่าคงที่การรวม .

บูรณาการคือการดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่าง เพื่อตรวจสอบว่าการรวมดำเนินการอย่างถูกต้องหรือไม่ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกความแตกต่างผลลัพธ์และรับฟังก์ชันปริพันธ์

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

จากคำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางฟังก์ชันจะเท่ากับฟังก์ชันนี้บวกค่าคงที่ใดก็ได้

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไปจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านั้น

ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้ กล่าวคือ ถ้าก= ค่าคงที่, ที่

นักเรียนบันทึกการบรรยายโดยใช้เอกสารประกอบคำบรรยายและคำอธิบายจากอาจารย์ ในการพิสูจน์คุณสมบัติของแอนติเดริเวทีฟและปริพันธ์ จะใช้ความรู้ในหัวข้อการหาอนุพันธ์

4. ตารางปริพันธ์อย่างง่าย

1. ,( n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

อินทิกรัลที่มีอยู่ในตารางนี้มักเรียกว่าแบบตาราง - ให้เราสังเกตกรณีพิเศษของสูตร 1:

ขออีกสูตรที่ชัดเจน:

คำอธิบายของวัสดุ: ฉันขอเสนอบทสรุปบทเรียนสำหรับนักเรียนมัธยมปลายในหัวข้อ “แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล” สื่อนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับครูในการสรุปและจัดระบบความรู้ที่ได้รับจากการศึกษาในส่วนนี้ และจะช่วยขยายความเข้าใจของนักเรียนเกี่ยวกับความสำคัญเชิงปฏิบัติของหัวข้อนี้

หัวข้อ: “แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล”

พิมพ์:บทเรียนเรื่องลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้

รูปร่าง:เกม

เป้าหมาย:

การสอน:

· การก่อตัวของความสามารถทางการศึกษา ความรู้ความเข้าใจและข้อมูลผ่านการสรุปทั่วไปและการจัดระบบความรู้ในหัวข้อ “ปฐมภูมิ อินทิกรัล" พัฒนาทักษะการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งได้หลายวิธี

การพัฒนา:

· การก่อตัวของความสามารถด้านข้อมูลและวัฒนธรรมทั่วไปผ่านการพัฒนากิจกรรมการรับรู้ ความสนใจในวิชา ความสามารถเชิงสร้างสรรค์ของนักเรียน การขยายขอบเขตอันไกลโพ้น และการพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์

ทางการศึกษา:

· การก่อตัวของความสามารถในการสื่อสารและความสามารถในการพัฒนาตนเองส่วนบุคคลผ่านการทำงานทักษะการสื่อสาร ความสามารถในการทำงานร่วมกัน และการพัฒนาคุณสมบัติส่วนบุคคลเช่นองค์กรและระเบียบวินัย

เครื่องมือการเรียนรู้:

เทคนิค: พีซี, โปรเจ็กเตอร์, หน้าจอ

ความคืบหน้าของบทเรียน

ขั้นตอนการเตรียมการ: แบ่งกลุ่มออกเป็นสองทีมล่วงหน้า

I. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีทุกคน! ฉันดีใจที่ได้ต้อนรับคุณเข้าสู่บทเรียน จุดประสงค์ของบทเรียนของเราคือการสรุปและจัดระบบความรู้ในหัวข้อ "แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล" และเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการทดสอบที่กำลังจะมาถึง

คำขวัญของงานของเรา: "สำรวจทุกสิ่ง ปล่อยให้จิตใจของคุณมาก่อน" - คำเหล่านี้เป็นของพีทาโกรัสนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (สไลด์)

เราจะขึ้นไปสู่จุดสูงสุดของ "จุดสูงสุดแห่งความรู้" อย่างผิดปกติ

การแข่งขันชิงแชมป์จะแข่งขันกันโดยสองกลุ่ม แต่ละกลุ่มมีผู้สอนของตนเองซึ่งจะประเมินอัตราการมีส่วนร่วมของ "นักท่องเที่ยว" แต่ละคนในการปีนขึ้นไปของเรา

กลุ่มที่ไปถึงจุดสูงสุดของความรู้ก่อนจะเป็นผู้ชนะ