ระบบตัวเลข ถ่ายโอนจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง การแปลงตัวเลขเป็นระบบตัวเลขต่างๆ พร้อมเฉลย

เราพบระบบเลขฐานสองเมื่อศึกษาสาขาวิชาคอมพิวเตอร์ ท้ายที่สุดแล้วมันก็อยู่บนพื้นฐานของระบบนี้ที่ตัวประมวลผลและการเข้ารหัสบางประเภทถูกสร้างขึ้น มีอัลกอริธึมพิเศษสำหรับการเขียนเลขทศนิยมในระบบไบนารี่และในทางกลับกัน ถ้ารู้หลักการสร้างระบบแล้วจะดำเนินการได้ไม่ยาก

หลักการสร้างระบบศูนย์และศูนย์

ระบบเลขฐานสองถูกสร้างขึ้นโดยใช้ตัวเลขสองหลัก: ศูนย์และหนึ่ง ทำไมต้องเป็นตัวเลขเฉพาะเหล่านี้? นี่เป็นเพราะหลักการสร้างสัญญาณที่ใช้ในโปรเซสเซอร์ ที่ระดับต่ำสุด สัญญาณจะใช้เพียงสองค่าเท่านั้น: เท็จและจริง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะระบุว่าไม่มีสัญญาณ "เท็จ" เป็นศูนย์ และการมีอยู่ของสัญญาณ "จริง" โดยหนึ่งสัญญาณ ชุดค่าผสมนี้ง่ายต่อการนำไปใช้ในทางเทคนิค ตัวเลขในระบบไบนารี่มีรูปแบบเดียวกับในระบบทศนิยม เมื่อตัวเลขถึงขีดจำกัดบน ตัวเลขนั้นจะถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์และเพิ่มตัวเลขใหม่ หลักการนี้ใช้เพื่อเลื่อนผ่านเลขสิบในระบบทศนิยม ดังนั้น ตัวเลขจึงประกอบด้วยเลขศูนย์และเลขผสมกัน และการรวมกันนี้เรียกว่า "ระบบเลขฐานสอง"

การบันทึกตัวเลขในระบบ
เป็นทศนิยม	ในไบนารี่	เป็นทศนิยม	ในไบนารี่

จะเขียนเลขฐานสองเป็นเลขทศนิยมได้อย่างไร?

มีบริการออนไลน์แปลงตัวเลขเป็น ระบบไบนารี่และในทางกลับกัน แต่เป็นการดีกว่าถ้าคุณทำเองได้ เมื่อแปลแล้ว ระบบไบนารีจะแสดงด้วยตัวห้อย 2 เช่น 101 2 แต่ละตัวเลขในระบบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของตัวเลขได้ เช่น 1428 = 1,000 + 400 + 20 + 8 - ในระบบทศนิยม ตัวเลขยังแสดงเป็นเลขฐานสองด้วย เอาล่ะ หมายเลขใดก็ได้ 101 แล้วพิจารณาดูครับ. มี 3 หลัก ดังนั้นเราจึงจัดเรียงตัวเลขตามลำดับดังนี้ 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10 โดยที่ดัชนี 10 หมายถึง ระบบทศนิยม.

จะเขียนจำนวนเฉพาะในรูปแบบไบนารี่ได้อย่างไร?

การแปลงเป็นระบบเลขฐานสองทำได้ง่ายมากโดยการหารตัวเลขด้วยสอง จำเป็นต้องแบ่งจนสามารถทำให้มันสมบูรณ์ได้ ตัวอย่างเช่น เอาเลข 871 มาเริ่มหาร โดยจดส่วนที่เหลือไว้:

871:2=435 (เหลือ 1)

435:2=217 (เหลือ 1)

217:2=108 (เหลือ 1)

คำตอบถูกเขียนตามผลลัพธ์ที่เหลือในทิศทางตั้งแต่ต้นจนจบ: 871 10 =101100111 2. คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณได้โดยใช้การแปลย้อนกลับที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้

ทำไมคุณต้องรู้กฎการแปล?

ระบบเลขฐานสองถูกใช้ในสาขาวิชาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กทรอนิกส์ของไมโครโปรเซสเซอร์ การเข้ารหัส การส่งผ่าน และการเข้ารหัสข้อมูล ใน ทิศทางต่างๆการเขียนโปรแกรม ความรู้พื้นฐานของการแปลจากระบบใด ๆ ไปเป็นไบนารี่จะช่วยให้โปรแกรมเมอร์พัฒนาวงจรไมโครต่างๆและควบคุมการทำงานของโปรเซสเซอร์และระบบอื่นที่คล้ายคลึงกัน โดยทางโปรแกรม- ระบบเลขฐานสองยังจำเป็นสำหรับการใช้วิธีการส่งแพ็กเก็ตข้อมูลผ่านช่องทางที่เข้ารหัส และสร้างโครงการซอฟต์แวร์ไคลเอนต์-เซิร์ฟเวอร์ตามแพ็กเก็ตเหล่านั้น ในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์ของโรงเรียน พื้นฐานของการแปลงเป็นระบบไบนารีและในทางกลับกันเป็นเนื้อหาพื้นฐานสำหรับการศึกษาการเขียนโปรแกรมในอนาคตและการสร้างโปรแกรมง่ายๆ

การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่งเป็นส่วนสำคัญของเลขคณิตของเครื่องจักร พิจารณากฎพื้นฐานของการแปล

1. สำหรับการแปล เลขฐานสองในรูปทศนิยมจำเป็นต้องเขียนในรูปแบบของพหุนามซึ่งประกอบด้วยผลคูณของตัวเลขและกำลังที่สอดคล้องกันของ 2 และคำนวณตามกฎของเลขคณิตทศนิยม:

เมื่อแปลจะสะดวกในการใช้ตารางกำลังสอง:

ตารางที่ 4. พลังของหมายเลข 2

n (องศา)

ตัวอย่าง.

2. ในการแปลงเลขฐานแปดเป็นทศนิยมจำเป็นต้องเขียนในรูปของพหุนามซึ่งประกอบด้วยผลคูณของตัวเลขของตัวเลขและกำลังที่สอดคล้องกันของตัวเลข 8 แล้วคำนวณตามกฎ ของเลขคณิตทศนิยม:

เมื่อแปลจะสะดวกในการใช้ตารางเลขยกกำลังแปด:

ตารางที่ 5. พลังของหมายเลข 8

n (องศา)

ตัวอย่าง.แปลงตัวเลขเป็นระบบเลขทศนิยม

3. ในการแปลงเลขฐานสิบหกเป็นเลขฐานสิบนั้นจะต้องเขียนเป็นพหุนามซึ่งประกอบด้วยผลคูณของตัวเลขและกำลังที่สอดคล้องกันของหมายเลข 16 และคำนวณตามกฎของเลขคณิตทศนิยม:

เมื่อแปลก็ใช้งานได้สะดวก พลังสายฟ้าแลบแห่งหมายเลข 16:

ตารางที่ 6. พลังของหมายเลข 16

n (องศา)

ตัวอย่าง.แปลงตัวเลขเป็นระบบเลขทศนิยม

4. ในการแปลงเลขทศนิยมเป็นระบบไบนารี่นั้นจะต้องหารด้วย 2 ตามลำดับจนกระทั่งเหลือเศษน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 ตัวเลขในระบบไบนารี่จะเขียนเป็นลำดับของผลลัพธ์การหารสุดท้ายและเศษจาก การแบ่งในลำดับย้อนกลับ

ตัวอย่าง.แปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานสอง

5. การแปลงเลขทศนิยมให้เป็น ระบบฐานแปดต้องหารด้วย 8 ตามลำดับจนเหลือเศษน้อยกว่าหรือเท่ากับ 7 ตัวเลขในระบบฐานแปดจะเขียนเป็นลำดับตัวเลขของผลการหารครั้งล่าสุดและเศษของการหารในลำดับย้อนกลับ

ตัวอย่าง.แปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานแปด

6. การแปลงเลขทศนิยมให้เป็น ระบบเลขฐานสิบหกต้องหารด้วย 16 ตามลำดับจนกว่าจะเหลือเศษน้อยกว่าหรือเท่ากับ 15 ตัวเลขในเลขฐานสิบหกเขียนเป็นลำดับตัวเลขของผลการหารครั้งล่าสุดและเศษที่เหลือของการหารในลำดับย้อนกลับ

ตัวอย่าง.แปลงตัวเลขเป็นระบบเลขฐานสิบหก

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบจำนวนตำแหน่งจะดำเนินการโดยใช้อัลกอริธึมเดียว ดังนั้นการเพิ่มเลขฐานสองจึงเกิดขึ้นตามอัลกอริธึม "คอลัมน์" แบบคลาสสิกด้วยการโอนตัวเลขที่เป็นพหุคูณของสองต่อหนึ่งไปยังหลักถัดไป

ลองพิจารณาอัลกอริทึมนี้โดยใช้ตัวอย่างของเลขฐานสองสองตัว 1010101 2 และ 110111 2:

ผลลัพธ์ของการบวกดูเหมือน 10001100 2 ตรวจสอบผลลัพธ์ของการบวกซึ่งเราแปลงตัวเลขทั้งหมดเป็นระบบเลขทศนิยม:

1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .

ระบบไบนารีซึ่งเป็นพื้นฐานของการคำนวณทางคอมพิวเตอร์นั้นยุ่งยากมากและไม่สะดวกสำหรับการใช้งานของมนุษย์ ดังนั้นโปรแกรมเมอร์จึงใช้ระบบเลขฐานสองทวีคูณสองตัว: เลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก ในกรณีของเลขฐานสิบหก ตัวเลขอารบิกจะหายไป และใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่หกตัวแรกเป็นตัวเลข ตัวอักษรละติน- ตัวอย่างการเขียนจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 16 ในระบบตัวเลขสี่ระบบมีอยู่ในนั้น ตารางที่ 2.

ตารางที่ 2 ตัวอย่างการเขียนจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 16

ในระบบตัวเลขสี่ระบบ

จาก ตารางที่ 2จะเห็นได้ว่าในระบบไบนารี่ การบันทึกเลขแปดตัวที่สอง (จาก 8 ถึง 15) แตกต่างจากการบันทึกเลขแปดตัวแรก (จาก 0 ถึง 7) โดยมีหน่วยอยู่ในตัวที่สี่ (ขวา) ) หลัก อัลกอริทึมสำหรับการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด "โดย triads" ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ หากต้องการใช้อัลกอริทึมนี้ คุณจะต้องแบ่งเลขฐานสองออกเป็นสามหลัก (นับจากทางขวา) และเขียนเลขฐานแปดแทนแต่ละหลักสาม:

10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .

เลขสามตัวซ้ายสุดอาจไม่สมบูรณ์ (ดังตัวอย่าง) เพื่อให้ได้เลขสามตัวที่สมบูรณ์ คุณสามารถเพิ่มเลขศูนย์ที่หายไปทางด้านซ้ายได้

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าอัลกอริทึมถูกต้อง:

10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;

255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .

ในการแปลงตัวเลขจากระบบฐานแปดเป็นไบนารี่จะใช้อัลกอริธึมย้อนกลับ: เลขฐานแปดจะถูกแทนที่ด้วยแฝด เลขฐานสอง(หากจำเป็น ให้เพิ่มเลขศูนย์ที่หายไปทางด้านซ้าย):

325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .

ในการแปลงตัวเลขจากไบนารีเป็นเลขฐานสิบหก จะใช้อัลกอริธึม "โดย tetrad" สตริงของเลขฐานสองจะถูกแบ่งออกเป็นสี่เท่าและมีการเขียนเลขฐานสิบหกแทน:

10101101 2 → 1010 1101 → ค.ศ. 16

อัลกอริธึมย้อนกลับทำงานในลักษณะเดียวกัน: แทนที่เลขฐานสิบหกจะแทนที่เลขฐานสองสี่เท่า

การแปลงจากฐานแปดเป็นเลขฐานสิบหกและกลับง่ายกว่าโดยใช้ระบบไบนารี่:

D5 16 → D 5 →1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8 .

เมื่อดำเนินการบวกตัวเลขจากระบบตัวเลขต่างๆ จะต้องแปลงเป็นระบบตัวเลขเดียว ควรใช้ระบบที่ควรนำเสนอผลลัพธ์

ภารกิจที่ 14 (งาน A6 สาธิตเวอร์ชัน 2004)

คำนวณมูลค่าของผลรวมในรูปแบบทศนิยม:

10 2 +10 8 +10 16 = ? 10

สารละลาย.

ลองแปลงตัวเลขทั้งหมดให้เป็นทศนิยม:

10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .

คำตอบ: 26.

ภารกิจที่ 15

ค้นหาผลรวม x+y ถ้า x=1110101 2 , y=1011011 2 แสดงคำตอบของคุณในรูปแบบฐานแปด

สารละลาย.

มาหาผลรวม: 1110101 2 + 1011011 2:

1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2

แปลงตัวเลขผลลัพธ์จากระบบเลขฐานสองเป็นฐานแปด:

11 010 000 → 320 8 .

คำตอบ: 320.

ภารกิจที่ 16(งาน B1 ของการสาธิตปี 2004)

ในระบบตัวเลขที่มีฐานบางฐาน เลข 12 จะเขียนเป็น 110 จงหาฐานนี้

สารละลาย.

ให้เราแสดงฐานที่ต้องการด้วย n ตามกฎสำหรับการเขียนตัวเลขในรูปแบบสัญลักษณ์ตำแหน่ง 110 n =n 2 +n 1 +0 มาสร้างสมการกัน: n 2 +n=12 ค้นหาราก: n 1 =-4, n 2 =3 รูท n 1 = -4 ไม่เหมาะสม เนื่องจากฐานของระบบตัวเลขตามคำจำกัดความแล้วเป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ตรวจสอบว่ารูต n=3 เหมาะสมหรือไม่:

110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10

คำตอบ: 3.

ออกกำลังกาย17 .

ในชั้นเรียน 1111 มีเด็กหญิง 2 คน และเด็กชาย 2 คน 1100 คน มีนักเรียนกี่คนในชั้นเรียน?

สารละลาย.

1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .

1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10

15 10 +12 10 =27 10

คำตอบ: มีนักเรียน 27 คนในชั้นเรียน

ออกกำลังกาย18 .

ในสวนมีไม้ผล 100 ต้น แบ่งเป็นต้นแอปเปิ้ล 33 ต้น ลูกแพร์ 22 ต้น ลูกพลัม 16 ต้น และเชอร์รี่ 5 ต้น ต้นไม้นับในระบบเลขใด

สารละลาย.

100 x = 33 x + 22 x + 16 x + 5 x

1*x 2 =3*x 1 +3*x 0 +2*x 1 +2*x 0 + 1*x 1 +6*x 0 +5*x 0

x 2 = 3x+3+2x+2+ 1x+6+5

ง=ข 2 -4ac=36+4*16=36+64=100

x 1.2 =
= (6±10)/2

x 1 = - 2 – ไม่เป็นไปตามความหมายของปัญหา

x 2 = 8 – ฐานของระบบตัวเลขที่ต้องการ

คำตอบ: ต้นไม้นับตามระบบเลขฐานแปด

ออกกำลังกาย19 .

คั่นด้วยลูกน้ำตามลำดับจากน้อยไปมาก ระบุฐานทั้งหมดของระบบตัวเลขที่เลข 17 ลงท้ายด้วย 2

สารละลาย.

หลักสุดท้ายของตัวเลขคือเศษเมื่อหารตัวเลขด้วยฐานระบบตัวเลข เนื่องจาก 17-2=15 ฐานที่ต้องการของระบบตัวเลขจะเป็นตัวหารของ 15 ได้แก่ 3, 5, 15

ลองตรวจสอบคำตอบของเราโดยแสดงเลข 17 ในระบบตัวเลขที่เกี่ยวข้องกัน:

1. การนับเลขลำดับในระบบเลขต่างๆ

ใน ชีวิตสมัยใหม่เราใช้ ระบบกำหนดตำแหน่งสัญกรณ์นั่นคือระบบที่ตัวเลขแสดงด้วยตัวเลขขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขในสัญกรณ์ของตัวเลข ดังนั้นในอนาคตเราจะพูดถึงพวกเขาเท่านั้นโดยไม่ใช้คำว่า "ตำแหน่ง"

เพื่อเรียนรู้วิธีการแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง เราจะเข้าใจว่าการบันทึกตัวเลขตามลำดับเกิดขึ้นได้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างระบบทศนิยม

เนื่องจากเรามีระบบเลขฐานสิบ เราจึงมี 10 สัญลักษณ์ (หลัก) เพื่อสร้างตัวเลข เราเริ่มการนับลำดับ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ตัวเลขจบลงแล้ว เราเพิ่มความลึกของบิตของตัวเลขและรีเซ็ตตัวเลขที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด: 10 จากนั้นเราเพิ่มตัวเลขต่ำอีกครั้งจนกระทั่งตัวเลขทั้งหมดหายไป: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 เรา เพิ่มตัวเลขสูง 1 และรีเซ็ตตัวเลขต่ำ: 20 เมื่อเราใช้ตัวเลขทั้งหมดสำหรับทั้งสองหลัก (เราได้หมายเลข 99) เราจะเพิ่มความจุหลักของตัวเลขอีกครั้งและรีเซ็ตตัวเลขที่มีอยู่: 100 และดังนั้น บน.

ลองทำแบบเดียวกันในระบบที่ 2, 3 และ 5 (เราแนะนำสัญลักษณ์สำหรับระบบที่ 2 สำหรับระบบที่ 3 เป็นต้น):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

หากระบบตัวเลขมีฐานมากกว่า 10 เราจะต้องป้อนอักขระเพิ่มเติม เป็นเรื่องปกติที่จะป้อนตัวอักษรละติน ตัวอย่างเช่น สำหรับระบบ 12 หลัก นอกเหนือจากสิบหลักแล้ว เราต้องมีตัวอักษรสองตัว ( และ ):


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. การแปลงจากระบบเลขทศนิยมให้เป็นระบบอื่น

ในการแปลจำนวนเต็มบวก เลขทศนิยมเป็นระบบตัวเลขที่มีฐานต่างกัน คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยฐาน หารผลหารผลลัพธ์ด้วยฐานอีกครั้ง และหารต่อไปจนกว่าผลหารจะน้อยกว่าฐาน ด้วยเหตุนี้ ให้เขียนผลหารสุดท้ายและเศษที่เหลือทั้งหมดลงในบรรทัดเดียว โดยเริ่มจากบรรทัดสุดท้าย

ตัวอย่างที่ 1ลองแปลงเลขฐานสิบ 46 เป็นระบบเลขฐานสองกัน

ตัวอย่างที่ 2ลองแปลงเลขฐานสิบ 672 เป็นระบบเลขฐานแปดกัน

ตัวอย่างที่ 3ลองแปลงเลขฐานสิบ 934 เป็นระบบเลขฐานสิบหกกัน

3. การแปลงจากระบบตัวเลขใดๆ ให้เป็นทศนิยม

เพื่อเรียนรู้วิธีการแปลงตัวเลขจากระบบอื่นให้เป็นทศนิยม เรามาวิเคราะห์รูปแบบปกติสำหรับเลขทศนิยมกันดีกว่า
เช่น เลขทศนิยม 325 มี 5 หน่วย 2 สิบ และ 3 ร้อย เช่น

สถานการณ์จะเหมือนกันทุกประการในระบบตัวเลขอื่นๆ เพียงแต่เราจะไม่คูณด้วย 10, 100 ฯลฯ แต่จะคูณด้วยกำลังของฐานของระบบตัวเลข เช่น เอาเลข 1201 มาใส่ ระบบไตรภาคการคำนวณ ลองนับตัวเลขจากขวาไปซ้ายโดยเริ่มจากศูนย์แล้วจินตนาการว่าตัวเลขของเราเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของหลักและสามยกกำลังของตัวเลข:

นี่คือสัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลขของเราเช่น

ตัวอย่างที่ 4ลองแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบ เลขฐานแปด 511.

ตัวอย่างที่ 5ลองแปลงเป็นระบบเลขฐานสิบ เลขฐานสิบหก 1151.

4. การแปลงจากระบบไบนารี่เป็นระบบด้วยฐาน "กำลังสอง" (4, 8, 16 เป็นต้น)

ในการแปลงเลขฐานสองเป็นตัวเลขที่มีฐาน "กำลังสอง" จำเป็นต้องแบ่งลำดับเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มตามจำนวนหลักเท่ากับกำลังจากขวาไปซ้ายและแทนที่แต่ละกลุ่มด้วยตัวเลขที่เกี่ยวข้อง ระบบใหม่การคำนวณ

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเลขฐานสอง 1100001111010110 เป็นระบบฐานแปด ในการทำเช่นนี้เราจะแบ่งมันออกเป็นกลุ่ม ๆ 3 อักขระโดยเริ่มจากทางขวา (ตั้งแต่ ) จากนั้นใช้ตารางการติดต่อและแทนที่แต่ละกลุ่มด้วยตัวเลขใหม่: