การแปลงฟูริเยร์เป็นวิธีการแปลงฟังก์ชันเวลาตามอำเภอใจที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดให้กลายเป็นชุดส่วนประกอบความถี่ในระนาบจำนวนเชิงซ้อน การแปลงนี้สามารถนำไปใช้กับฟังก์ชันอะคาบเพื่อกำหนดสเปกตรัมได้ ซึ่งในกรณีนี้ตัวดำเนินการเชิงซ้อน s สามารถถูกแทนที่ด้วย /co:
การบูรณาการเชิงตัวเลขบนระนาบเชิงซ้อนสามารถใช้เพื่อกำหนดความถี่ที่น่าสนใจที่สุด
เพื่อทำความคุ้นเคยกับพฤติกรรมพื้นฐานของอินทิกรัลเหล่านี้ ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ กัน ในรูป รูปที่ 14.6 (ซ้าย) แสดงชีพจรพื้นที่หน่วยในโดเมนเวลาและองค์ประกอบสเปกตรัม ตรงกลาง - ชีพจรของพื้นที่เดียวกัน แต่มีแอมพลิจูดใหญ่กว่าและทางด้านขวา - แอมพลิจูดของพัลส์นั้นไม่มีที่สิ้นสุด แต่พื้นที่ของมันยังคงเท่ากับความสามัคคี ภาพที่ถูกต้องน่าสนใจเป็นพิเศษเพราะสเปกตรัมของพัลส์ความกว้างเป็นศูนย์ประกอบด้วยความถี่ทั้งหมดที่มีแอมพลิจูดเท่ากัน
ข้าว. 14.6. สเปกตรัมของพัลส์ที่มีความกว้างเท่ากันในทิศทางเดียวกัน
ในปี ค.ศ. 1822 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เจ. บี.เจ. ฟูริเยร์แสดงให้เห็นในงานของเขาเกี่ยวกับการนำความร้อนว่าฟังก์ชันคาบใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบเริ่มต้นได้ รวมถึงความถี่การทำซ้ำและชุดของฮาร์โมนิกของความถี่นี้ ซึ่งฮาร์โมนิกแต่ละตัวมีแอมพลิจูดและเฟสของตัวเองตามความถี่ของการทำซ้ำ สูตรพื้นฐานที่ใช้ในการแปลงฟูริเยร์คือ:
โดยที่ A() แสดงถึงส่วนประกอบกระแสตรง และ A p และ B p คือฮาร์โมนิกของความถี่พื้นฐานของลำดับ และซึ่งอยู่ในเฟสและแอนติเฟสตามลำดับ ฟังก์ชัน /(*) คือผลรวมของฮาร์โมนิกเหล่านี้และ Lo-
ในกรณีที่ f(x) มีความสมมาตรเทียบกับ mc/2 กล่าวคือ f(x) บนขอบเขตจาก l ถึง 2l = -f(x) บนขอบเขตจาก 0 ถึง l และไม่มีส่วนประกอบของกระแสตรง สูตรการแปลงฟูริเยร์จะถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็น:
โดยที่ n = 1, 3.5, 7…
ฮาร์โมนิคทั้งหมดเป็นไซนูซอยด์ มีบางส่วนเท่านั้นที่อยู่ในเฟส และบางส่วนอยู่นอกเฟสตามความถี่พื้นฐาน รูปคลื่นส่วนใหญ่ที่พบในอิเล็กทรอนิกส์กำลังสามารถแก้ไขได้เป็นฮาร์โมนิคในลักษณะนี้
หากใช้การแปลงฟูริเยร์กับพัลส์สี่เหลี่ยมที่มีระยะเวลา 120° ฮาร์โมนิคจะเป็นเซตของลำดับ k = bi ± 1 โดยที่ n คือจำนวนเต็มตัวใดตัวหนึ่ง แอมพลิจูดของฮาร์มอนิกแต่ละตัว h ที่สัมพันธ์กับค่าแรกสัมพันธ์กับจำนวนของมันด้วยความสัมพันธ์ h = l//e ในกรณีนี้ ฮาร์มอนิกตัวแรกจะมีแอมพลิจูดมากกว่าแอมพลิจูดของสัญญาณสี่เหลี่ยม 1.1 เท่า
การแปลงฟูริเยร์จะสร้างค่าแอมพลิจูดสำหรับฮาร์มอนิกแต่ละตัว แต่เนื่องจากค่าเหล่านี้เป็นค่าไซน์ซอยด์ทั้งหมด ค่า RMS จึงได้มาง่ายๆ โดยการหารแอมพลิจูดที่สอดคล้องกันด้วยรากของ 2 ค่า RMS ของสัญญาณเชิงซ้อนคือรากที่สองของผลรวมของ กำลังสองของค่า RMS ของแต่ละฮาร์มอนิกรวมถึงค่าแรกด้วย
เมื่อทำงานกับฟังก์ชันพัลส์ซ้ำๆ จะมีประโยชน์ในการพิจารณารอบการทำงาน หากการเต้นซ้ำๆ ดังขึ้นในรูป 14.7 มีค่าราก-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองเป็น X สำหรับเวลา A ดังนั้นค่าราก-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองสำหรับเวลา B จะเท่ากับ X(A/B) 1 ‘ 2 ดังนั้นค่า rms ของพัลส์ที่ทำซ้ำจะเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของค่ารอบการทำงาน เมื่อนำหลักการนี้ไปใช้กับพัลส์สี่เหลี่ยมที่มีระยะเวลา 120° (รอบหน้าที่ 2/3) โดยมีแอมพลิจูดที่เป็นเอกภาพ เราจะได้ค่า rms ที่ (2/3) 1/2 = 0.8165
ข้าว. 14.7. การกำหนดค่ารูตค่าเฉลี่ยกำลังสอง (RMS) สำหรับการทำซ้ำ
แรงกระตุ้น
สิ่งที่น่าสนใจคือการตรวจสอบผลลัพธ์นี้โดยการรวมฮาร์โมนิกที่สอดคล้องกับลำดับพัลส์สี่เหลี่ยมที่กล่าวถึง ในตาราง 14.2 แสดงผลการรวมนี้ อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างตรงกัน
ตารางที่ 14.2. ผลรวมของฮาร์โมนิคที่สอดคล้องกัน
สัญญาณเป็นระยะโดยมีรอบหน้าที่ 2/3 และแอมพลิจูดของหน่วย
|
หมายเลขฮาร์มอนิก |
แอมพลิจูดฮาร์มอนิก |
ค่า RMS ทั้งหมด |
เพื่อวัตถุประสงค์ในการเปรียบเทียบ สามารถจัดกลุ่มฮาร์โมนิคชุดใดก็ได้และสามารถกำหนดระดับความผิดเพี้ยนของฮาร์มอนิกโดยรวมที่สอดคล้องกันได้ ค่ารากกำลังสองเฉลี่ยของสัญญาณถูกกำหนดโดยสูตร
โดยที่ h\ คือแอมพลิจูดของฮาร์โมนิคตัวแรก (พื้นฐาน) และ h„ คือแอมพลิจูดของฮาร์โมนิคลำดับ n > 1
ส่วนประกอบที่รับผิดชอบในการบิดเบือนสามารถเขียนแยกกันได้เป็น
โดยที่ n > 1 จากนั้น
โดยที่ Fund คือฮาร์มอนิกตัวแรก และปัจจัยการบิดเบือนแบบไม่เชิงเส้น (THD) จะเท่ากับ D/Fund
แม้ว่าการวิเคราะห์รถไฟคลื่นสี่เหลี่ยมจะน่าสนใจ แต่ก็ไม่ค่อยมีใครนำไปใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง เอฟเฟกต์การสลับและกระบวนการอื่นๆ ทำให้พัลส์สี่เหลี่ยมมีลักษณะคล้ายกับพัลส์สี่เหลี่ยมคางหมูมากขึ้น หรือในกรณีของคอนเวอร์เตอร์ จะมีขอบนำที่อธิบายโดย 1 cos(0) และขอบตกที่อธิบายโดย cos(0) โดยที่ 0< 0 ในระดับลอการิทึม ความชันของส่วนที่สอดคล้องกันของกราฟนี้คือ -2 และ -1 สำหรับระบบที่มีค่ารีแอกแตนซ์ทั่วไป การเปลี่ยนแปลงความชันจะเกิดขึ้นโดยประมาณที่ความถี่ตั้งแต่ฮาร์โมนิกที่ 11 ถึง 35 ของความถี่เครือข่าย และด้วย เมื่อรีแอกแตนซ์หรือกระแสในระบบเพิ่มขึ้น ความถี่ของการเปลี่ยนแปลงความชันจะลดลง ผลลัพธ์เชิงปฏิบัติของทั้งหมดนี้ก็คือฮาร์โมนิคที่สูงกว่ามีความสำคัญน้อยกว่าที่คุณคิด แม้ว่าการเพิ่มรีแอกแตนซ์จะช่วยลดฮาร์โมนิคลำดับที่สูงขึ้น แต่ก็มักจะไม่สามารถทำได้ จะดีกว่าถ้าลดส่วนประกอบฮาร์มอนิกในกระแสไฟฟ้าที่ใช้โดยการเพิ่มจำนวนพัลส์ระหว่างการแก้ไขหรือการแปลงแรงดันไฟฟ้า ซึ่งทำได้โดยการเปลี่ยนเฟส ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับหม้อแปลงไฟฟ้า หัวข้อนี้ได้รับการกล่าวถึงใน Chap 7. หากตัวแปลงไทริสเตอร์หรือวงจรเรียงกระแสได้รับพลังงานจากขดลวดของหม้อแปลงที่เชื่อมต่อแบบสตาร์และเดลต้า และเอาต์พุตของตัวแปลงหรือวงจรเรียงกระแสเชื่อมต่อแบบอนุกรมหรือขนาน จะได้การแก้ไขแบบ 12 พัลส์ ตัวเลขฮาร์มอนิกในชุดตอนนี้คือ k = \2n ± 1 แทนที่จะเป็น k = 6 และ + 1 โดยที่ n คือจำนวนเต็มตัวใดตัวหนึ่ง แทนที่จะเป็นฮาร์โมนิคของลำดับที่ 5 และ 7 ตอนนี้ฮาร์โมนิคของลำดับที่ 11 และ 13 ปรากฏขึ้น ซึ่งแอมพลิจูดนั้นเล็กกว่ามาก ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะใช้ระบบพัลส์มากขึ้น ตัวอย่างเช่น แหล่งจ่ายไฟขนาดใหญ่สำหรับโรงงานเคมีไฟฟ้าใช้ระบบ 48 พัลส์ เนื่องจากวงจรเรียงกระแสและตัวแปลงขนาดใหญ่ใช้ชุดไดโอดหรือไทริสเตอร์ที่เชื่อมต่อแบบขนาน ค่าใช้จ่ายเพิ่มเติมของขดลวดเปลี่ยนเฟสในหม้อแปลงส่วนใหญ่จะกำหนดราคาของมัน ในรูป รูปที่ 14.8 แสดงข้อดีของวงจร 12 พัลส์เหนือวงจร 6 พัลส์ ฮาร์โมนิคลำดับที่ 11 และ 13 ในวงจร 12 พัลส์มีค่าแอมพลิจูดโดยทั่วไปประมาณ 10% ของฮาร์มอนิกตัวแรก ในวงจรที่มีระลอกคลื่นจำนวนมาก ฮาร์โมนิคจะอยู่ในลำดับ k = pn + 1 โดยที่ p คือจำนวนระลอกคลื่น ที่น่าสนใจคือเราสังเกตว่าคู่ของชุดฮาร์มอนิกที่ถูกเลื่อนสัมพันธ์กัน 30° จะไม่ตัดกันในวงจร 6 พัลส์ กระแสฮาร์มอนิกเหล่านี้ไหลกลับผ่านหม้อแปลง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนเฟสเพิ่มเติมเพื่อให้สามารถทำลายล้างร่วมกันได้ ฮาร์โมนิคทั้งหมดไม่ได้อยู่ในเฟสเดียวกับตัวแรก ตัวอย่างเช่น ในรูปแบบฮาร์มอนิกสามเฟสที่สอดคล้องกับลำดับคลื่นสี่เหลี่ยม 120° เฟสของฮาร์โมนิคจะเปลี่ยนตามลำดับ -5, +7, -11, +13 เป็นต้น เมื่อไม่สมดุลในวงจรสามเฟส ส่วนประกอบเฟสเดียวอาจปรากฏขึ้น ซึ่งทำให้เกิดการฮาร์โมนิกสามเท่าโดยมีการเปลี่ยนเฟสเป็นศูนย์ ข้าว. 14.8. สเปกตรัมของตัวแปลงการเต้นเป็นจังหวะ 6 และ 12 ตัว หม้อแปลงแยกมักจะถูกมองว่าเป็นยาครอบจักรวาลสำหรับปัญหาฮาร์มอนิก หม้อแปลงเหล่านี้เพิ่มรีแอกแตนซ์ให้กับระบบและช่วยลดระดับฮาร์โมนิคที่สูงขึ้น อย่างไรก็ตาม นอกเหนือจากการระงับกระแสลำดับเป็นศูนย์และการแยกส่วนไฟฟ้าสถิตแล้ว หม้อแปลงเหล่านี้ยังมีประโยชน์น้อยอีกด้วย เพื่อตรวจสอบว่าโปรแกรมทำงานถูกต้องหรือไม่ เราจะสร้างอาร์เรย์ตัวอย่างเป็นผลรวมของไซนัสอยด์สองตัว sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) แล้วสอดเข้าไปในโปรแกรม . โปรแกรมดึงสิ่งต่อไปนี้: รูปที่ 1 กราฟของฟังก์ชันเวลาสัญญาณ รูปที่ 2 กราฟสเปกตรัมสัญญาณ บนกราฟสเปกตรัมมีสองแท่ง (ฮาร์มอนิก) 5 Hz ที่มีแอมพลิจูด 0.5 V และ 10 Hz ที่มีแอมพลิจูด 1 V ทุกอย่างเหมือนกับในสูตรของสัญญาณดั้งเดิม ทุกอย่างเรียบร้อยดี โปรแกรมเมอร์ทำได้ดีมาก! โปรแกรมทำงานได้อย่างถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าหากเราใช้สัญญาณจริงจากส่วนผสมของไซนัสอยด์สองตัวกับอินพุต ADC เราจะได้สเปกตรัมที่คล้ายกันซึ่งประกอบด้วยฮาร์โมนิกสองตัว รวมของเรา จริงสัญญาณที่วัดได้ ยาวนาน 5 วินาทีซึ่งแปลงเป็นดิจิทัลโดย ADC นั่นคือเป็นตัวแทน ไม่ต่อเนื่องนับได้ ไม่ต่อเนื่องกันเป็นระยะสเปกตรัม ดูเหมือนมีบางอย่างไม่ถูกต้อง! ฮาร์โมนิค 10 Hz จะถูกวาดตามปกติ แต่แทนที่จะใช้แท่ง 5 Hz กลับมีฮาร์โมนิคแปลกๆ ปรากฏขึ้นหลายตัว เราดูบนอินเทอร์เน็ตเพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้น... พวกเขาบอกว่าคุณต้องเพิ่มศูนย์ที่ส่วนท้ายของกลุ่มตัวอย่าง แล้วสเปกตรัมจะถูกวาดตามปกติ รูปที่ 5 เพิ่มศูนย์นานถึง 5 วินาที รูปที่ 6 สเปกตรัมที่ได้รับ มันยังคงไม่เหมือนเดิมใน 5 วินาที เราจะต้องจัดการกับทฤษฎี ไปกันเลย วิกิพีเดีย- แหล่งความรู้ K - หมายเลขฟังก์ชันตรีโกณมิติ (หมายเลขส่วนประกอบฮาร์มอนิก, หมายเลขฮาร์มอนิก) “แสดงฟังก์ชันเป็นผลรวมของอนุกรม” หมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าโดยการเพิ่มค่าของส่วนประกอบฮาร์มอนิกของอนุกรมฟูริเยร์ในแต่ละจุด เราจะได้ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ (ถ้าให้เจาะจงกว่านั้น ค่าเบี่ยงเบนราก-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองของอนุกรมจากฟังก์ชัน f(x) จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ถึงแม้จะมีการบรรจบกันระหว่างราก-ค่าเฉลี่ย-กำลังสอง อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชัน โดยทั่วไปแล้วก็ไม่จำเป็นต้องมี มาบรรจบกันตามจุด ดู https://ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series) ชุดนี้ยังสามารถเขียนเป็น: (2), ความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ (1) และ (3) แสดงโดยสูตรต่อไปนี้: โปรดทราบว่าการแทนค่าอนุกรมฟูริเยร์ทั้งสามนี้เทียบเท่ากันโดยสิ้นเชิง บางครั้ง เมื่อทำงานกับอนุกรมฟูริเยร์ การใช้เลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์จินตภาพจะสะดวกกว่าแทนไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ ใช้การแปลงฟูริเยร์ในรูปแบบที่ซับซ้อน แต่จะสะดวกสำหรับเราที่จะใช้สูตร (1) โดยที่อนุกรมฟูริเยร์ถูกนำเสนอเป็นผลรวมของคลื่นโคไซน์ที่มีแอมพลิจูดและเฟสที่สอดคล้องกัน ไม่ว่าในกรณีใด การบอกว่าการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณจริงจะส่งผลให้เกิดแอมพลิจูดฮาร์มอนิกที่ซับซ้อน ไม่ถูกต้อง ตามที่ Wiki กล่าวอย่างถูกต้อง “การแปลงฟูริเยร์ (?) เป็นการดำเนินการที่เชื่อมโยงฟังก์ชันหนึ่งของตัวแปรจริงกับฟังก์ชันอื่น ซึ่งก็คือตัวแปรจริงด้วย” ทั้งหมด: การแปลงฟูริเยร์ช่วยให้คุณแสดงฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) (สัญญาณ) ที่กำหนดบนเซ็กเมนต์ (0, T) เป็นผลรวมของจำนวนอนันต์ (อนุกรมอนันต์) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ไซน์และ/หรือโคไซน์) ด้วยค่าที่แน่นอน แอมพลิจูดและเฟส ซึ่งพิจารณาในส่วน (0, T) ด้วย อนุกรมดังกล่าวเรียกว่าอนุกรมฟูริเยร์ ให้เราทราบประเด็นเพิ่มเติมบางประการ ซึ่งเป็นความเข้าใจที่จำเป็นสำหรับการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์กับการวิเคราะห์สัญญาณอย่างถูกต้อง หากเราพิจารณาอนุกรมฟูริเยร์ (ผลรวมของไซน์ซอยด์) บนแกน X ทั้งหมด เราจะเห็นว่านอกเซ็กเมนต์ (0, T) ฟังก์ชันที่แสดงโดยอนุกรมฟูริเยร์จะทำซ้ำฟังก์ชันของเราเป็นระยะๆ ตัวอย่างเช่น ในกราฟของรูปที่ 7 ฟังก์ชันดั้งเดิมถูกกำหนดบนเซ็กเมนต์ (-T\2, +T\2) และอนุกรมฟูริเยร์แสดงถึงฟังก์ชันคาบที่กำหนดบนแกน x ทั้งหมด สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะไซนัสอยด์นั้นเป็นฟังก์ชันคาบ ดังนั้นผลรวมของพวกมันจะเป็นฟังก์ชันคาบ รูปที่ 7 การแสดงฟังก์ชันดั้งเดิมที่ไม่ใช่คาบโดยอนุกรมฟูริเยร์ ดังนั้น: ฟังก์ชันเดิมของเราเป็นแบบต่อเนื่อง ไม่ใช่คาบ ซึ่งกำหนดบนส่วนของความยาว T คาบของส่วนประกอบฮาร์มอนิกเป็นค่าทวีคูณของค่าของเซกเมนต์ (0, T) ที่กำหนดฟังก์ชันดั้งเดิม f(x) กล่าวอีกนัยหนึ่ง คาบฮาร์มอนิกจะคูณกับระยะเวลาการวัดสัญญาณ ตัวอย่างเช่น คาบของฮาร์โมนิคแรกของอนุกรมฟูเรียร์จะเท่ากับช่วง T ซึ่งฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้ คาบของฮาร์มอนิกที่สองของอนุกรมฟูเรียร์จะเท่ากับช่วง T/2 และอื่นๆ (ดูรูปที่ 8) รูปที่ 8 คาบ (ความถี่) ของส่วนประกอบฮาร์มอนิกของอนุกรมฟูริเยร์ (ในที่นี้คือ T = 2?) ดังนั้น ความถี่ของส่วนประกอบฮาร์มอนิกจึงเป็นทวีคูณของ 1/T นั่นคือ ความถี่ของส่วนประกอบฮาร์มอนิก Fk เท่ากับ Fk = k\T โดยที่ k มีช่วงตั้งแต่ 0 ถึง? เช่น k = 0 F0 = 0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (ที่ความถี่ศูนย์ - องค์ประกอบคงที่) ให้ฟังก์ชันดั้งเดิมของเราเป็นสัญญาณที่บันทึกระหว่าง T=1 วินาที จากนั้นคาบของฮาร์มอนิกแรกจะเท่ากับระยะเวลาของสัญญาณของเรา T1=T=1 วินาที และความถี่ฮาร์มอนิกจะเท่ากับ 1 Hz คาบของฮาร์โมนิคที่สองจะเท่ากับระยะเวลาของสัญญาณหารด้วย 2 (T2=T/2=0.5 วินาที) และความถี่จะเป็น 2 Hz สำหรับฮาร์มอนิกที่สาม T3=T/3 วินาที และความถี่คือ 3 Hz และอื่นๆ ขั้นตอนระหว่างฮาร์โมนิคในกรณีนี้คือ 1 Hz ดังนั้นสัญญาณที่มีระยะเวลา 1 วินาทีสามารถถูกแบ่งออกเป็นส่วนประกอบฮาร์มอนิก (การรับสเปกตรัม) ด้วยความละเอียดความถี่ 1 Hz มีวิธีเพิ่มระยะเวลาของสัญญาณโดยการเพิ่มศูนย์ให้กับอาร์เรย์ของตัวอย่าง แต่ไม่ได้เพิ่มความละเอียดความถี่จริง รูปแบบปกติสำหรับการวัดและการแปลงสัญญาณดิจิทัลมีดังนี้ รูปที่ 9 แผนภาพของช่องการวัด สัญญาณจากทรานสดิวเซอร์การวัดจะมาถึง ADC ในช่วงระยะเวลา T ตัวอย่างสัญญาณ (การสุ่มตัวอย่าง) ที่ได้รับในช่วงเวลา T จะถูกส่งไปยังคอมพิวเตอร์และจัดเก็บไว้ในหน่วยความจำ รูปที่ 10 สัญญาณดิจิทัล - ตัวอย่าง N ที่ได้รับในช่วงเวลา T ข้อกำหนดสำหรับพารามิเตอร์การแปลงสัญญาณดิจิทัลมีอะไรบ้าง อุปกรณ์ที่แปลงสัญญาณอะนาล็อกอินพุตเป็นรหัสแยก (สัญญาณดิจิทัล) เรียกว่าตัวแปลงแอนะล็อกเป็นดิจิทัล (ADC) (Wiki) หนึ่งในพารามิเตอร์หลักของ ADC คือความถี่ในการสุ่มตัวอย่างสูงสุด (หรืออัตราการสุ่มตัวอย่าง อัตราตัวอย่างภาษาอังกฤษ) - อัตราการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณต่อเนื่องตามเวลาเมื่อทำการสุ่มตัวอย่าง มีหน่วยวัดเป็นเฮิรตซ์ ((วิกิ)) ตามทฤษฎีบทของ Kotelnikov หากสัญญาณต่อเนื่องมีสเปกตรัมที่ถูกจำกัดด้วยความถี่ Fmax สัญญาณนั้นจะสามารถสร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์และไม่ซ้ำกันจากตัวอย่างที่แยกจากกันซึ่งถ่ายตามช่วงเวลา เช่น ด้วยความถี่ Fd? 2*Fmax โดยที่ Fd คือความถี่ในการสุ่มตัวอย่าง Fmax - ความถี่สูงสุดของสเปกตรัมสัญญาณ กล่าวอีกนัยหนึ่งความถี่การแปลงสัญญาณเป็นดิจิทัล (ความถี่สุ่มตัวอย่าง ADC) จะต้องสูงกว่าความถี่สูงสุดของสัญญาณที่เราต้องการวัดอย่างน้อย 2 เท่า จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเก็บตัวอย่างที่มีความถี่ต่ำกว่าที่กำหนดโดยทฤษฎีบทของ Kotelnikov ในกรณีนี้เอฟเฟกต์ "นามแฝง" เกิดขึ้น (หรือเรียกอีกอย่างว่าเอฟเฟกต์สโตรโบสโคปิกเอฟเฟกต์มัวร์) ซึ่งสัญญาณความถี่สูงหลังจากการแปลงเป็นดิจิทัลจะกลายเป็นสัญญาณความถี่ต่ำซึ่งไม่มีอยู่จริง ในรูป คลื่นไซน์ความถี่สูงสีแดง 5 คลื่นเป็นสัญญาณจริง ไซนัสอยด์สีน้ำเงินที่มีความถี่ต่ำกว่าเป็นสัญญาณสมมติที่เกิดขึ้นเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าในช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างสัญญาณความถี่สูงมากกว่าครึ่งช่วงมีเวลาผ่านไป ข้าว. 11. การปรากฏตัวของสัญญาณความถี่ต่ำเท็จที่อัตราการสุ่มตัวอย่างสูงไม่เพียงพอ เพื่อหลีกเลี่ยงผลกระทบจากนามแฝง ตัวกรองป้องกันนามแฝงพิเศษจะถูกวางไว้ด้านหน้า ADC ซึ่งเป็นตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน (LPF) ซึ่งส่งความถี่ต่ำกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่สุ่มตัวอย่าง ADC และตัดความถี่ที่สูงกว่าออก ในการคำนวณสเปกตรัมของสัญญาณจากตัวอย่างที่แยกจากกัน จะใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) โปรดทราบอีกครั้งว่าสเปกตรัมของสัญญาณแยก "ตามคำจำกัดความ" ถูกจำกัดโดยความถี่ Fmax ซึ่งน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของความถี่สุ่มตัวอย่าง Fd ดังนั้น สเปกตรัมของสัญญาณแยกสามารถแสดงด้วยผลรวมของจำนวนฮาร์โมนิกที่มีจำกัด ตรงกันข้ามกับผลรวมอนันต์สำหรับอนุกรมฟูริเยร์ของสัญญาณต่อเนื่อง ซึ่งสเปกตรัมสามารถไม่จำกัดได้ ตามทฤษฎีบทของ Kotelnikov ความถี่สูงสุดของฮาร์มอนิกจะต้องเป็นไปตามตัวอย่างอย่างน้อยสองตัวอย่าง ดังนั้น จำนวนฮาร์โมนิกจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนตัวอย่างของสัญญาณแยก นั่นคือ ถ้ามีตัวอย่าง N ตัวอย่าง จำนวนฮาร์โมนิคในสเปกตรัมจะเท่ากับ N/2 ให้เราพิจารณาการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) เปรียบเทียบกับซีรีย์ฟูริเยร์ เราเห็นว่ามันเกิดขึ้นพร้อมกัน ยกเว้นว่าเวลาใน DFT นั้นมีลักษณะไม่ต่อเนื่องกัน และจำนวนฮาร์โมนิคถูกจำกัดไว้ที่ N/2 - ครึ่งหนึ่งของจำนวนตัวอย่าง สูตร DFT เขียนด้วยตัวแปรจำนวนเต็มไร้มิติ k, s โดยที่ k คือจำนวนตัวอย่างสัญญาณ s คือจำนวนส่วนประกอบสเปกตรัม กลับไปสู่ผลลัพธ์ที่ได้รับตั้งแต่เริ่มต้น ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อขยายฟังก์ชันที่ไม่ใช่คาบ (สัญญาณของเรา) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ อนุกรมฟูริเยร์ที่ได้จะสอดคล้องกับฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T (รูปที่ 12) รูปที่ 12 ฟังก์ชันคาบ f(x) ที่มีคาบ T0 โดยมีคาบการวัด T>T0 ดังที่เห็นในรูปที่ 12 ฟังก์ชัน f(x) มีลักษณะเป็นคาบโดยมีจุด T0 อย่างไรก็ตาม เนื่องจากระยะเวลาของตัวอย่างการวัด T ไม่ตรงกับระยะเวลาของฟังก์ชัน T0 ฟังก์ชันที่ได้รับเป็นอนุกรมฟูริเยร์จึงไม่ต่อเนื่องที่จุด T ด้วยเหตุนี้ สเปกตรัมของฟังก์ชันนี้จึงประกอบด้วย ฮาร์โมนิกความถี่สูงจำนวนมาก หากระยะเวลาของตัวอย่างการวัด T ตรงกับคาบของฟังก์ชัน T0 ดังนั้นสเปกตรัมที่ได้รับหลังจากการแปลงฟูริเยร์จะมีเพียงฮาร์มอนิกตัวแรก (ไซนัสอยด์ที่มีคาบเท่ากับระยะเวลาการสุ่มตัวอย่าง) เนื่องจากฟังก์ชัน f(x) เป็นไซนัสอยด์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โปรแกรม DFT "ไม่ทราบ" ว่าสัญญาณของเราคือ "ชิ้นส่วนของไซนัสอยด์" แต่พยายามแสดงฟังก์ชันคาบในรูปแบบของอนุกรม ซึ่งมีความต่อเนื่องเนื่องจากความไม่สอดคล้องกันของชิ้นส่วนแต่ละชิ้น ไซนัสอยด์ เป็นผลให้ฮาร์โมนิกปรากฏในสเปกตรัม ซึ่งควรสรุปรูปร่างของฟังก์ชัน รวมถึงความไม่ต่อเนื่องนี้ด้วย ดังนั้น เพื่อให้ได้สเปกตรัมที่ "ถูกต้อง" ของสัญญาณ ซึ่งเป็นผลรวมของไซนัสอยด์หลายตัวที่มีคาบต่างกัน จึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จำนวนคาบของไซนัสอยด์แต่ละตัวจะต้องพอดีกับคาบการวัดสัญญาณ ในทางปฏิบัติ เงื่อนไขนี้สามารถบรรลุได้ในการวัดสัญญาณเป็นระยะเวลานานพอสมควร รูปที่ 13 ตัวอย่างฟังก์ชันและสเปกตรัมของสัญญาณข้อผิดพลาดจลนศาสตร์ของกระปุกเกียร์ หากใช้ระยะเวลาสั้นลง ภาพจะดู "แย่ลง": รูปที่ 14 ตัวอย่างฟังก์ชันและสเปกตรัมของสัญญาณการสั่นสะเทือนของโรเตอร์ ในทางปฏิบัติ อาจเป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจว่า "ส่วนประกอบที่แท้จริง" อยู่ที่ไหน และ "สิ่งประดิษฐ์" อยู่ที่ไหน ซึ่งเกิดจากส่วนประกอบที่ไม่ได้หลายช่วงและระยะเวลาของการสุ่มตัวอย่างสัญญาณหรือ "การกระโดดและแตก" ในรูปสัญญาณ . แน่นอนว่าคำว่า "ส่วนประกอบที่แท้จริง" และ "สิ่งประดิษฐ์" จะถูกใส่ไว้ในเครื่องหมายคำพูดด้วยเหตุผล การมีฮาร์โมนิคจำนวนมากบนกราฟสเปกตรัมไม่ได้หมายความว่าสัญญาณของเรา "ประกอบด้วย" ฮาร์โมนิกเหล่านั้นจริงๆ เช่นเดียวกับการคิดว่าเลข 7 "ประกอบด้วย" ของตัวเลข 3 และ 4 หมายเลข 7 สามารถแสดงเป็นผลรวมของตัวเลข 3 และ 4 ได้ซึ่งถูกต้อง ดังนั้นสัญญาณของเรา... หรือค่อนข้างจะไม่ใช่ "สัญญาณของเรา" ด้วยซ้ำ แต่ฟังก์ชันคาบที่ประกอบด้วยการทำซ้ำสัญญาณของเรา (การสุ่มตัวอย่าง) สามารถแสดงเป็นผลรวมของฮาร์โมนิกส์ (ไซนัสซอยด์) ที่มีแอมพลิจูดและเฟสที่แน่นอน แต่ในหลายกรณีที่มีความสำคัญสำหรับการปฏิบัติ (ดูรูปด้านบน) เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงฮาร์โมนิกที่ได้รับในสเปกตรัมกับกระบวนการจริงที่มีลักษณะเป็นวงจรและมีส่วนสำคัญต่อรูปร่างของสัญญาณ 2. สัญญาณแสดงด้วยชุดของค่าจริงและสเปกตรัมของสัญญาณแสดงด้วยชุดของค่าจริง ความถี่ฮาร์มอนิกเป็นบวก ความจริงที่ว่าสะดวกกว่าสำหรับนักคณิตศาสตร์ในการแสดงสเปกตรัมในรูปแบบที่ซับซ้อนโดยใช้ความถี่ลบไม่ได้หมายความว่า "สิ่งนี้ถูกต้อง" และ "ควรทำสิ่งนี้เสมอ" 3. สัญญาณที่วัดในช่วงเวลา T จะถูกกำหนดในช่วงเวลา T เท่านั้น สิ่งที่เกิดขึ้นก่อนที่เราจะเริ่มวัดสัญญาณ และสิ่งที่จะเกิดขึ้นหลังจากนั้นนั้น วิทยาศาสตร์ไม่ทราบ และในกรณีของเรา มันไม่น่าสนใจเลย DFT ของสัญญาณจำกัดเวลาจะให้สเปกตรัม "จริง" ในแง่ที่ว่า ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ช่วยให้สามารถคำนวณแอมพลิจูดและความถี่ของส่วนประกอบต่างๆ ได้ วัสดุที่ใช้และวัสดุที่มีประโยชน์อื่นๆ การขยายตัวของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ไซน์ซอยด์เป็นระยะ คำจำกัดความทั่วไป ส่วนที่ 1 ทฤษฎีวงจรเชิงเส้น (ต่อ) วิศวกรรมไฟฟ้า กรอบทฤษฎี หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้ากำลังเฉพาะทาง ต. วงจรไฟฟ้าของกระแสไม่ไซน์ซอยด์เป็นคาบ ดังที่ทราบกันดีว่า ในอุตสาหกรรมพลังงานไฟฟ้า รูปแบบไซน์ซอยด์ถูกนำมาใช้เป็นรูปแบบมาตรฐานสำหรับกระแสและแรงดันไฟฟ้า อย่างไรก็ตาม ในสภาวะจริง รูปร่างของเส้นโค้งกระแสและแรงดันไฟฟ้าอาจแตกต่างกันไปหนึ่งองศาหรืออย่างอื่นจากเส้นโค้งไซน์ การบิดเบือนรูปทรงของเส้นโค้งของฟังก์ชันเหล่านี้ที่ตัวรับทำให้เกิดการสูญเสียพลังงานเพิ่มเติมและประสิทธิภาพลดลง รูปร่างไซน์ของเส้นโค้งแรงดันไฟฟ้าของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นหนึ่งในตัวบ่งชี้คุณภาพพลังงานไฟฟ้าในฐานะผลิตภัณฑ์ สาเหตุต่อไปนี้สำหรับการบิดเบือนรูปร่างของเส้นโค้งกระแสและแรงดันไฟฟ้าในวงจรที่ซับซ้อนเป็นไปได้: 1) การมีอยู่ของวงจรไฟฟ้าขององค์ประกอบไม่เชิงเส้นซึ่งพารามิเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับค่ากระแสและแรงดันไฟฟ้าทันที [ R, L, C=ฉ(คุณฉัน)] (เช่น วงจรเรียงกระแส หน่วยเชื่อมไฟฟ้า เป็นต้น) 2) การมีอยู่ของวงจรไฟฟ้าขององค์ประกอบพาราเมตริกซึ่งพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา[ R, L, C=ฉ(ที)]; 3) แหล่งที่มาของพลังงานไฟฟ้า (เครื่องกำเนิดไฟฟ้าสามเฟส) เนื่องจากคุณสมบัติการออกแบบไม่สามารถให้แรงดันเอาต์พุตไซน์ซอยด์ในอุดมคติได้ 4) อิทธิพลจากการรวมกันของปัจจัยที่กล่าวข้างต้น วงจรไม่เชิงเส้นและพาราเมตริกจะกล่าวถึงในบทที่แยกจากกันของหลักสูตร TOE บทนี้ตรวจสอบพฤติกรรมของวงจรไฟฟ้าเชิงเส้นเมื่อสัมผัสกับแหล่งพลังงานที่มีรูปร่างโค้งที่ไม่ใช่ไซนูซอยด์ จากวิชาคณิตศาสตร์ เรารู้แล้วว่าฟังก์ชันคาบใดๆ ของเวลา ฉ(ที) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขไดริชเลต์ สามารถแสดงได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์ฮาร์มอนิก: ที่นี่ ก 0 – องค์ประกอบคงที่, - เค-i ส่วนประกอบฮาร์มอนิกหรือตัวย่อ เค- ฉันเป็นฮาร์โมนิก้า ฮาร์โมนิคที่ 1 เรียกว่า พื้นฐาน และฮาร์โมนิคที่ตามมาทั้งหมดเรียกว่าสูงกว่า แอมพลิจูดของฮาร์โมนิคแต่ละตัว และเพื่อไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการขยายฟังก์ชัน ฉ(ที) ลงในอนุกรมฟูริเยร์ ในเวลาเดียวกัน เฟสเริ่มต้นของแต่ละฮาร์โมนิกจะขึ้นอยู่กับการเลือกการอ้างอิงเวลา (แหล่งกำเนิด) ฮาร์โมนิกเฉพาะของอนุกรมฟูริเยร์สามารถแสดงเป็นผลรวมของส่วนประกอบไซน์และโคไซน์: จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์ทั้งหมดจะมีลักษณะดังนี้: ความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์ทั้งสองรูปแบบมีรูปแบบดังนี้ ถ้า เคส่วนประกอบฮาร์มอนิกและไซน์และโคไซน์ถูกแทนที่ด้วยจำนวนเชิงซ้อน จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์สามารถแสดงในรูปแบบที่ซับซ้อนได้: หากให้ฟังก์ชันเวลาแบบไม่ไซน์ซอยด์เป็นคาบ (หรือสามารถแสดงได้) ในเชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของสมการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์จะถูกกำหนดโดยสูตรที่รู้จักจากหลักสูตรคณิตศาสตร์: ในทางปฏิบัติ มีการศึกษาฟังก์ชันที่ไม่ใช่ไซนูซอยด์ ฉ(ที) โดยปกติจะได้รับในรูปแบบของแผนภาพกราฟิก (กราฟิก) (รูปที่ 118) หรือในรูปแบบของตารางพิกัดของจุด (ตาราง) ในช่วงเวลาหนึ่งช่วง (ตารางที่ 1) หากต้องการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกของฟังก์ชันดังกล่าวโดยใช้สมการข้างต้น จะต้องแทนที่ด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ก่อน การแทนที่ฟังก์ชันที่ระบุในรูปแบบกราฟิกหรือแบบตารางด้วยสมการทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการประมาณฟังก์ชัน ดังที่ทราบกันดีว่า ในอุตสาหกรรมพลังงานไฟฟ้า รูปแบบไซน์ซอยด์ถูกนำมาใช้เป็นรูปแบบมาตรฐานสำหรับกระแสและแรงดันไฟฟ้า อย่างไรก็ตาม ในสภาวะจริง รูปร่างของเส้นโค้งกระแสและแรงดันไฟฟ้าอาจแตกต่างกันไปหนึ่งองศาหรืออย่างอื่นจากเส้นโค้งไซน์ การบิดเบือนรูปทรงของเส้นโค้งของฟังก์ชันเหล่านี้ที่ตัวรับทำให้เกิดการสูญเสียพลังงานเพิ่มเติมและประสิทธิภาพลดลง รูปร่างไซน์ของเส้นโค้งแรงดันไฟฟ้าของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นหนึ่งในตัวบ่งชี้คุณภาพพลังงานไฟฟ้าในฐานะผลิตภัณฑ์ 1) การมีอยู่ขององค์ประกอบที่ไม่เชิงเส้นในวงจรไฟฟ้าซึ่งพารามิเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับค่ากระแสและแรงดันไฟฟ้าทันที (เช่นวงจรเรียงกระแสหน่วยเชื่อมไฟฟ้า ฯลฯ ) 2) การมีอยู่ของวงจรไฟฟ้าขององค์ประกอบพาราเมตริกซึ่งพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา 3) แหล่งที่มาของพลังงานไฟฟ้า (เครื่องกำเนิดไฟฟ้าสามเฟส) เนื่องจากคุณสมบัติการออกแบบไม่สามารถให้แรงดันเอาต์พุตไซน์ซอยด์ในอุดมคติได้ 4) อิทธิพลจากการรวมกันของปัจจัยที่กล่าวข้างต้น วงจรไม่เชิงเส้นและพาราเมตริกจะกล่าวถึงในบทที่แยกจากกันของหลักสูตร TOE บทนี้ตรวจสอบพฤติกรรมของวงจรไฟฟ้าเชิงเส้นเมื่อสัมผัสกับแหล่งพลังงานที่มีรูปร่างโค้งที่ไม่ใช่ไซนูซอยด์ จากหลักสูตรคณิตศาสตร์เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าฟังก์ชันคาบใดๆ ของเวลา f(t) ที่ตรงตามเงื่อนไขของดิริชเลต์สามารถแสดงได้ด้วยอนุกรมฟูริเยร์ฮาร์มอนิก: โดยที่ A0 คือส่วนประกอบคงที่ Ak*sin(kωt+ αk) คือส่วนประกอบฮาร์มอนิกที่ k หรือเรียกสั้น ๆ ว่าฮาร์มอนิกที่ k ฮาร์โมนิคที่ 1 เรียกว่า พื้นฐาน และฮาร์โมนิคที่ตามมาทั้งหมดเรียกว่าสูงกว่า แอมพลิจูดของฮาร์โมนิกแต่ละตัว Ak ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการขยายฟังก์ชัน f(t) ให้เป็นอนุกรมฟูริเยร์ ในขณะเดียวกัน เฟสเริ่มต้นของฮาร์โมนิกแต่ละตัว αk ขึ้นอยู่กับการเลือกการอ้างอิงเวลา (ที่มาของพิกัด) . ฮาร์โมนิกเฉพาะของอนุกรมฟูริเยร์สามารถแสดงเป็นผลรวมของส่วนประกอบไซน์และโคไซน์: จากนั้นอนุกรมฟูริเยร์ทั้งหมดจะมีลักษณะดังนี้: ความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์ทั้งสองรูปแบบมีรูปแบบดังนี้ หากฮาร์มอนิกที่ k และส่วนประกอบไซน์และโคไซน์ถูกแทนที่ด้วยจำนวนเชิงซ้อน ความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์สามารถแสดงในรูปแบบที่ซับซ้อนได้: หากให้ฟังก์ชันเวลาแบบไม่ไซน์ซอยด์เป็นคาบ (หรือสามารถแสดงได้) ในเชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของสมการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูริเยร์จะถูกกำหนดโดยสูตรที่รู้จักจากหลักสูตรคณิตศาสตร์: ในทางปฏิบัติฟังก์ชันที่ไม่ใช่ไซนัสซอยด์ f(t) ที่กำลังศึกษามักจะระบุในรูปแบบของแผนภาพกราฟิก (กราฟิก) (รูปที่ 46.1) หรือในรูปแบบของตารางพิกัดของจุด (ตาราง) ในช่วงเวลาของ ช่วงหนึ่ง (ตารางที่ 1) หากต้องการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกของฟังก์ชันดังกล่าวโดยใช้สมการข้างต้น จะต้องแทนที่ด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ก่อน การแทนที่ฟังก์ชันที่ระบุในรูปแบบกราฟิกหรือแบบตารางด้วยสมการทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการประมาณฟังก์ชัน ในปัจจุบัน การวิเคราะห์ฮาร์โมนิกของฟังก์ชันเวลาที่ไม่ใช่ไซน์ซอยด์ f(t) มักจะดำเนินการบนคอมพิวเตอร์ ในกรณีที่ง่ายที่สุด การประมาณเชิงเส้นแบบชิ้นเดียวจะใช้แทนฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ในการทำเช่นนี้ฟังก์ชันทั้งหมดในช่วงเวลาหนึ่งเต็มจะถูกแบ่งออกเป็นส่วน M = 20-30 เพื่อให้แต่ละส่วนใกล้เคียงกับเส้นตรงมากที่สุด (รูปที่ 1) ในแต่ละส่วน ฟังก์ชันจะถูกประมาณโดยสมการเส้นตรง fm(t)=am+bm*t โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์การประมาณ (am, bm) ถูกกำหนดสำหรับแต่ละส่วนผ่านพิกัดของจุดสิ้นสุด ตัวอย่างเช่น สำหรับ ส่วนที่ 1 เราได้รับ: คาบของฟังก์ชัน T แบ่งออกเป็นขั้นตอนการอินทิเกรตจำนวนมาก N, ขั้นตอนการอินทิเกรต Δt=h=T/N, เวลาปัจจุบัน ti=hi โดยที่ i คือเลขลำดับของขั้นตอนการอินทิเกรต อินทิกรัลจำกัดในสูตรการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมที่สอดคล้องกัน ซึ่งคำนวณบนคอมพิวเตอร์โดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูหรือสี่เหลี่ยม เช่น ในการหาแอมพลิจูดของฮาร์โมนิคที่สูงกว่าด้วยความแม่นยำเพียงพอ (δ≤1%) จำนวนขั้นตอนการอินทิเกรตต้องมีอย่างน้อย 100k โดยที่ k คือเลขฮาร์มอนิก ในเทคโนโลยี อุปกรณ์พิเศษที่เรียกว่าเครื่องวิเคราะห์ฮาร์มอนิกใช้เพื่อแยกฮาร์โมนิกแต่ละตัวออกจากแรงดันและกระแสที่ไม่ใช่ไซน์ซอยด์ 2.1. สเปกตรัมของสัญญาณเป็นระยะ
สัญญาณเป็นระยะ (กระแสหรือแรงดันไฟฟ้า) เป็นประเภทของอิทธิพลเมื่อรูปร่างของสัญญาณถูกทำซ้ำหลังจากช่วงเวลาหนึ่ง ตซึ่งเรียกว่าช่วงเวลา รูปแบบที่ง่ายที่สุดของสัญญาณคาบคือสัญญาณฮาร์มอนิกหรือคลื่นไซน์ ซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยแอมพลิจูด คาบ และเฟสเริ่มต้น สัญญาณอื่นๆทั้งหมดจะเป็น ไม่ฮาร์มอนิกหรือ ไม่ใช่ไซนัส- สามารถแสดงได้ และแบบฝึกหัดพิสูจน์ได้ว่าถ้าสัญญาณอินพุตของแหล่งจ่ายไฟเป็นคาบ กระแสและแรงดันไฟฟ้าอื่นๆ ทั้งหมดในแต่ละสาขา (สัญญาณเอาท์พุต) ก็จะเป็นคาบเช่นกัน ในกรณีนี้ รูปร่างของสัญญาณในสาขาต่างๆ จะแตกต่างกัน มีเทคนิคทั่วไปสำหรับการศึกษาสัญญาณที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิกเป็นระยะ (อิทธิพลของอินพุตและปฏิกิริยา) ในวงจรไฟฟ้า ซึ่งขึ้นอยู่กับการขยายสัญญาณเป็นอนุกรมฟูริเยร์ เทคนิคนี้ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นไปได้เสมอที่จะเลือกชุดของสัญญาณฮาร์มอนิก (เช่น ไซน์ซอยด์) ที่มีแอมพลิจูด ความถี่ และเฟสเริ่มต้นดังกล่าว ผลรวมเชิงพีชคณิตของเลขลำดับซึ่งเมื่อใดก็ได้จะเท่ากับเลขลำดับของ สัญญาณที่ไม่ใช่ไซน์ซอยด์ภายใต้การศึกษา ตัวอย่างเช่น แรงดันไฟฟ้า คุณในรูป 2.1. สามารถถูกแทนที่ด้วยผลรวมของความเครียด และ เนื่องจากมีความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน ณ เวลาใดก็ได้: สำหรับตัวอย่างที่พิจารณา เรามีคาบของฮาร์มอนิกแรกซึ่งตรงกับคาบของสัญญาณที่ไม่ใช่ฮาร์โมนิกต 1
=
ตและคาบของฮาร์โมนิคที่สองนั้นสั้นกว่าสองเท่าต 2
=
ต/2 เช่น ควรเขียนค่าฮาร์มอนิกทันทีในรูปแบบ: ที่นี่แอมพลิจูดของการสั่นฮาร์มอนิกมีค่าเท่ากัน ( ข้าว. 2.1. ตัวอย่างการเพิ่มฮาร์โมนิคตัวแรกและตัวที่สอง สัญญาณที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิก ในวิศวกรรมไฟฟ้า เรียกว่าส่วนประกอบฮาร์มอนิกซึ่งมีคาบเท่ากับคาบของสัญญาณที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิก อันดับแรกหรือ ขั้นพื้นฐานฮาร์โมนิคของสัญญาณ ส่วนประกอบอื่นๆ ทั้งหมดเรียกว่าส่วนประกอบฮาร์มอนิกที่สูงกว่า ฮาร์มอนิกที่มีความถี่มากกว่าฮาร์มอนิกตัวแรก k เท่า (และคาบตามลำดับ k น้อยกว่า) เรียกว่า k - ฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันในช่วงเวลานั้นก็มีความโดดเด่นเช่นกันซึ่งเรียกว่า โมฆะฮาร์มอนิก ในกรณีทั่วไป อนุกรมฟูริเยร์จะถูกเขียนเป็นผลรวมของส่วนประกอบฮาร์มอนิกที่มีความถี่ต่างกันจำนวนอนันต์: (2.1)
โดยที่ k คือเลขฮาร์มอนิก - ความถี่เชิงมุมของฮาร์มอนิก k ω 1 = ω =2 π / ต- ความถี่เชิงมุมของฮาร์มอนิกตัวแรก - ศูนย์ฮาร์มอนิก สำหรับสัญญาณของรูปแบบที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง สามารถดูการขยายอนุกรมฟูริเยร์ได้ในเอกสารเฉพาะทาง ตารางที่ 2 แสดงการสลายตัวของรูปคลื่นเป็นคาบแปดรูป ควรสังเกตว่าการขยายที่กำหนดในตารางที่ 2 จะเกิดขึ้นหากเลือกที่มาของระบบพิกัดตามที่ระบุในรูปด้านซ้าย เมื่อเปลี่ยนเวลาเริ่มต้น ทีเฟสเริ่มต้นของฮาร์โมนิคจะเปลี่ยนไป แต่แอมพลิจูดของฮาร์โมนิคจะยังคงเท่าเดิม ขึ้นอยู่กับประเภทของสัญญาณที่กำลังศึกษา V ควรเข้าใจว่าเป็นค่าที่วัดเป็นโวลต์ หากเป็นสัญญาณแรงดันไฟฟ้า หรือค่าที่วัดเป็นแอมแปร์ หากเป็นสัญญาณปัจจุบัน การขยายอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันคาบ ตารางที่ 2 กำหนดการ ฉ(ที)
อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันฉ(ที)
บันทึก เค=1,3,5,... เค=1,3,5,... เค=1,3,5,... เค=1,2,3,4,5 เค=1,3,5,... เค=1,2,3,4,5 ส=1,2,3,4,... เค=1,2,4,6,... สัญญาณ 7 และ 8 ถูกสร้างขึ้นจากไซนูซอยด์โดยวงจรโดยใช้องค์ประกอบวาล์ว ชุดของส่วนประกอบฮาร์มอนิกที่สร้างสัญญาณที่ไม่ใช่ไซน์ซอยด์เรียกว่าสเปกตรัมของสัญญาณที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิกนี้ จากฮาร์โมนิคชุดนี้ พวกมันจะถูกแยกและแยกแยะได้ แอมพลิจูดและ เฟสสเปกตรัม สเปกตรัมแอมพลิจูดคือชุดของแอมพลิจูดของฮาร์โมนิกทั้งหมดซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยแผนภาพในรูปแบบของชุดเส้นแนวตั้งซึ่งความยาวเป็นสัดส่วน (ในระดับที่เลือก) กับค่าแอมพลิจูดของฮาร์มอนิก ส่วนประกอบต่างๆ และสถานที่บนแกนนอนถูกกำหนดโดยความถี่ (หมายเลขฮาร์มอนิก) ของส่วนประกอบนี้ ในทำนองเดียวกัน สเปกตรัมเฟสถือเป็นชุดของเฟสเริ่มต้นของฮาร์โมนิกทั้งหมด นอกจากนี้ยังแสดงขนาดเป็นชุดของเส้นแนวตั้งด้วย ควรสังเกตว่าระยะเริ่มต้นในวิศวกรรมไฟฟ้ามักจะวัดในช่วงตั้งแต่ –180 0 ถึง +180 0 สเปกตรัมที่ประกอบด้วยแต่ละบรรทัดเรียกว่า เชิงเส้นหรือไม่ต่อเนื่อง- เส้นสเปกตรัมอยู่ในระยะไกล ฉจากกันที่ไหน ฉ- ช่วงความถี่เท่ากับความถี่ของฮาร์มอนิกแรก ฉดังนั้นสเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่องของสัญญาณเป็นระยะจึงมีส่วนประกอบสเปกตรัมที่มีหลายความถี่ - ฉ,
2ฉ, 3ฉ, 4ฉ, 5ฉฯลฯ ตัวอย่างที่ 2.1ค้นหาแอมพลิจูดและสเปกตรัมเฟสของสัญญาณสี่เหลี่ยม เมื่อระยะเวลาของสัญญาณบวกและลบเท่ากัน และค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันในช่วงเวลานั้นเป็นศูนย์ คุณ(ที) = ภาษีมูลค่าเพิ่ม 0<ที<ต/2
คุณ(ที) = -ภาษีมูลค่าเพิ่ม ต/2<ที<ต
สำหรับสัญญาณของรูปแบบที่เรียบง่ายและใช้บ่อยขอแนะนำให้ค้นหาวิธีแก้ไขโดยใช้ตาราง ข้าว. 2.2. สเปกตรัมแอมพลิจูดเส้นของสัญญาณสี่เหลี่ยม จากการขยายอนุกรมฟูเรียร์ของสัญญาณสี่เหลี่ยม (ดูตารางที่ 2 - 1) อนุกรมฮาร์มอนิกจะมีเฉพาะฮาร์โมนิคคี่เท่านั้น ในขณะที่แอมพลิจูดของฮาร์โมนิคลดลงตามสัดส่วนของเลขฮาร์มอนิก สเปกตรัมเส้นแอมพลิจูดของฮาร์โมนิคแสดงไว้ในรูปที่ 1 2.2. เมื่อสร้างจะถือว่าแอมพลิจูดของฮาร์มอนิกตัวแรก (แรงดันไฟฟ้าที่นี่) เท่ากับหนึ่งโวลต์: B; จากนั้นแอมพลิจูดของฮาร์มอนิกที่สามจะเท่ากับ B, ที่ห้า - B เป็นต้น เฟสเริ่มต้นของฮาร์โมนิคของสัญญาณทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น สเปกตรัมของเฟสจึงมีค่าพิกัดเป็นศูนย์เท่านั้น ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว ตัวอย่างที่ 2.2ค้นหาแอมพลิจูดและสเปกตรัมเฟสสำหรับแรงดันไฟฟ้าที่แตกต่างกันตามกฎหมาย: ที่ - ต/4<ที<ต/4; คุณ(ที) = 0 ณ ต/4<ที<3/4ต- สัญญาณดังกล่าวถูกสร้างขึ้นจากไซนัสอยด์โดยการกำจัด (โดยวงจรที่ใช้องค์ประกอบวาล์ว) ส่วนที่เป็นลบของสัญญาณฮาร์มอนิก ข้าว. 2.3. สเปกตรัมเส้นของสัญญาณการแก้ไขครึ่งคลื่น: ก) ความกว้าง; ข) เฟส สำหรับสัญญาณการแก้ไขครึ่งคลื่นของแรงดันไฟฟ้าไซน์ซอยด์ (ดูตารางที่ 2 - 8) อนุกรมฟูริเยร์ประกอบด้วยส่วนประกอบคงที่ (ศูนย์ฮาร์มอนิก) ฮาร์มอนิกตัวแรก จากนั้นชุดของฮาร์โมนิกคู่เท่านั้น ซึ่งแอมพลิจูดจะลดลงอย่างรวดเร็วด้วย การเพิ่มจำนวนฮาร์มอนิก ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใส่ค่า V = 100 V แล้วคูณแต่ละพจน์ด้วยตัวประกอบร่วม 2V/π เราจะพบว่า(2.2)
สเปกตรัมแอมพลิจูดและเฟสของสัญญาณนี้แสดงในรูปที่ 2.3a, b ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว ตามทฤษฎีอนุกรมฟูริเยร์ ความเท่าเทียมกันที่แน่นอนของสัญญาณที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิกกับผลรวมของฮาร์โมนิกจะเกิดขึ้นเฉพาะกับฮาร์โมนิคจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุดเท่านั้น การคำนวณส่วนประกอบฮาร์มอนิกบนคอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณสามารถวิเคราะห์ฮาร์โมนิกจำนวนเท่าใดก็ได้ซึ่งถูกกำหนดโดยวัตถุประสงค์ของการคำนวณความแม่นยำและรูปแบบของเอฟเฟกต์ที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิก หากสัญญาณมีระยะเวลาที
โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบนั้นน้อยกว่าช่วงเวลามาก ตจากนั้นแอมพลิจูดของฮาร์โมนิคจะลดลงอย่างช้าๆ และเพื่อให้คำอธิบายสัญญาณที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นจำเป็นต้องคำนึงถึงเงื่อนไขจำนวนมากของอนุกรม คุณลักษณะนี้สามารถตรวจสอบได้จากสัญญาณที่แสดงในตารางที่ 2 - 5 และ 6 หากตรงตามเงื่อนไข τ
<<ต- หากสัญญาณที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิกมีรูปร่างใกล้เคียงกับไซนัสอยด์ (เช่น สัญญาณ 2 และ 3 ในตารางที่ 2) ฮาร์โมนิกจะลดลงอย่างรวดเร็ว และเพื่อให้คำอธิบายสัญญาณที่แม่นยำ ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเองไว้ที่สามถึงห้าสัญญาณ ฮาร์โมนิคของซีรีส์
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ มีข้อผิดพลาดกี่ข้อในวลีนี้
ตอนนี้เจ้าหน้าที่ตัดสินใจแล้ว เราตัดสินใจว่า 5 วินาทีนั้นยาวเกินไป มาวัดสัญญาณใน 0.5 วินาทีกันดีกว่า 
รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) สำหรับระยะเวลาการวัด 0.5 วินาที
รูปที่ 4 สเปกตรัมของฟังก์ชัน2. ฟังก์ชันต่อเนื่องและการแสดงอนุกรมฟูริเยร์
ในทางคณิตศาสตร์ สัญญาณของเราที่มีระยะเวลา T วินาทีคือฟังก์ชันบางอย่าง f(x) ที่ระบุในช่วงเวลา (0, T) (X ในกรณีนี้คือเวลา) ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันฮาร์มอนิก (ไซน์หรือโคไซน์) ของรูปแบบได้เสมอ:
T - ส่วนที่กำหนดฟังก์ชัน (ระยะเวลาสัญญาณ)
Ak คือแอมพลิจูดของส่วนประกอบฮาร์มอนิก k-th
?k- เฟสเริ่มต้นขององค์ประกอบฮาร์มอนิกที่ k
ที่ไหน , k-th แอมพลิจูดเชิงซ้อน
พื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมของสัญญาณคือการแปลงฟูริเยร์
สเปกตรัมของฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่อง กล่าวคือ มันถูกนำเสนอในรูปแบบของชุดส่วนประกอบฮาร์มอนิกที่ไม่มีที่สิ้นสุด - ซีรีส์ฟูริเยร์
อันที่จริง อนุกรมฟูริเยร์กำหนดฟังก์ชันคาบที่แน่นอนซึ่งตรงกับของเราในส่วน (0, T) แต่สำหรับเราแล้ว คาบนี้ไม่มีนัยสำคัญ
ในการเพิ่มความละเอียด 2 เท่าเป็น 0.5 Hz คุณต้องเพิ่มระยะเวลาการวัด 2 เท่า - สูงสุด 2 วินาที สัญญาณที่กินเวลา 10 วินาทีสามารถถูกสลายเป็นส่วนประกอบฮาร์มอนิก (เพื่อให้ได้สเปกตรัม) โดยมีความละเอียดความถี่ 0.1 เฮิรตซ์ ไม่มีวิธีอื่นในการเพิ่มความละเอียดความถี่3. สัญญาณแยกและการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง
ด้วยการพัฒนาเทคโนโลยีดิจิทัล วิธีการจัดเก็บข้อมูลการวัด (สัญญาณ) ก็เปลี่ยนไปเช่นกัน หากก่อนหน้านี้สัญญาณสามารถบันทึกลงในเครื่องบันทึกเทปและจัดเก็บไว้ในเทปในรูปแบบอะนาล็อกได้ สัญญาณจะถูกแปลงเป็นดิจิทัลและจัดเก็บไว้ในไฟล์ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์เป็นชุดตัวเลข (ตัวอย่าง)
ค่า s แสดงจำนวนการสั่นฮาร์มอนิกที่สมบูรณ์ในช่วงเวลา T (ระยะเวลาของการวัดสัญญาณ) การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องใช้เพื่อค้นหาแอมพลิจูดและเฟสของฮาร์โมนิกส์โดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข เช่น "บนคอมพิวเตอร์"ผลลัพธ์บางอย่าง
1. สัญญาณที่วัดได้จริงด้วยระยะเวลา T วินาที ซึ่งแปลงเป็นดิจิทัลด้วย ADC ซึ่งแสดงด้วยชุดตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่อง (N ชิ้น) มีสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่องแบบไม่ต่อเนื่อง แสดงด้วยชุดฮาร์โมนิก (N/ 2 ชิ้น) 
- แต่ละคำเป็นไซน์ซอยด์ซึ่งมีความถี่สัมพันธ์กับคาบ ตอัตราส่วนจำนวนเต็ม
) และเฟสเริ่มต้นเป็นศูนย์
ก)ข)
