วิธีคูณลากรองจ์(ในวรรณคดีอังกฤษ“ วิธีการของ LaGrange ของตัวคูณที่ไม่แน่นอน”) สเปนเป็นวิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ช่วยให้คุณกำหนดจุดสุดขั้ว "ตามเงื่อนไข" ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์(ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด)
เมื่อมีข้อจำกัดที่ระบุในตัวแปรในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน (เช่น พื้นที่ ค่าที่ยอมรับได้)
สเปน นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (พารามิเตอร์ที่ควบคุมได้) บนโดเมนจริงซึ่งค่าฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะสุดขีด การใช้ชื่อ "เงื่อนไข" สุดขั้วนั้นเกิดจากการที่ตัวแปรอยู่ภายใต้ เงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งจำกัดช่วงของค่าที่ยอมรับได้เมื่อค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน
วิธีตัวคูณลากรองจ์ช่วยให้เกิดปัญหาในการค้นหาส่วนปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในชุดของค่าที่ยอมรับได้เพื่อแปลงเป็นปัญหาของการเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันแบบไม่มีเงื่อนไข
ในกรณีที่มีฟังก์ชั่น 
และ 
มีความต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อย จากนั้นจะมีตัวแปรดังกล่าว แล ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน โดยเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
ดังนั้น ตามวิธีตัวคูณลากรองจ์ เพื่อค้นหาส่วนปลายสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์บนเซตของค่าที่ยอมรับได้ ฉันจึงเขียนฟังก์ชันลากรองจ์ L(x, แลมบ์ดา) ซึ่งได้รับการปรับให้เหมาะสมเพิ่มเติม:
โดยที่ θ เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรเพิ่มเติมที่เรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้
ดังนั้น ปัญหาในการค้นหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน f(x) จึงลดลงเหลือเพียงปัญหาในการค้นหาปลายสุดแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน L(x, แลมบ์)
และ 
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชันลากรองจ์นั้นกำหนดโดยระบบสมการ (ระบบประกอบด้วยสมการ "n + m"):
การแก้ระบบสมการนี้ช่วยให้เราสามารถระบุอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (X) โดยที่ค่าของฟังก์ชัน L(x, แลมบ์ดา) รวมถึงค่าของฟังก์ชันเป้าหมาย f(x) สอดคล้องกับค่าสุดขีด
ขนาดของตัวคูณลากรองจ์ (แล) มีประโยชน์ในทางปฏิบัติหากมีการนำเสนอข้อจำกัดในรูปแบบที่มีเงื่อนไขอิสระในสมการ (ค่าคงที่) ในกรณีนี้ เราสามารถพิจารณาค่าเพิ่มเติม (เพิ่ม/ลด) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้โดยการเปลี่ยนค่าคงที่ในระบบสมการ ดังนั้นตัวคูณลากรองจ์จึงแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงในค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อค่าคงที่จำกัดเปลี่ยนแปลง
มีหลายวิธีในการกำหนดลักษณะของส่วนปลายของฟังก์ชันผลลัพธ์:
วิธีแรก: กำหนดให้เป็นพิกัดของจุดสุดขั้ว และเป็นค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ จุดที่ใกล้กับจุดนั้นจะถูกนำมาคำนวณและคำนวณค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์:
ถ้า 
แล้วจะมีจุดสูงสุดที่จุดนั้น
ถ้า 
แล้วมีขั้นต่ำที่จุด
วิธีที่สอง: เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งสามารถกำหนดลักษณะของปลายสุดได้คือสัญญาณของดิฟเฟอเรนเชียลที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ถูกกำหนดไว้ดังนี้:
ถ้าเข้า. จุดที่กำหนดให้ 
ขั้นต่ำ, ถ้า 
แล้วฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(x) จะมีเงื่อนไข สูงสุด.
วิธีที่สาม: นอกจากนี้ ลักษณะของปลายสุดของฟังก์ชันสามารถกำหนดได้โดยพิจารณาจาก Hessian ของฟังก์ชันลากรองจ์ เมทริกซ์ Hessian เป็นแบบสมมาตร เมทริกซ์จตุรัสอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชัน ณ จุดที่องค์ประกอบของเมทริกซ์มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก
หากต้องการกำหนดประเภทของค่าสูงสุด (สูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน) คุณสามารถใช้กฎของซิลเวสเตอร์ได้:
1. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์มีเครื่องหมายบวก 
จำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันจะต้องเป็นบวก ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าขั้นต่ำ
2. เพื่อให้ส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์มีเครื่องหมายลบ 
จำเป็นที่ผู้เยาว์เชิงมุมของฟังก์ชันจะสลับกัน และองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ต้องเป็นค่าลบv ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะมีค่าสูงสุด
โดยเชิงมุมไมเนอร์ เราหมายถึงไมเนอร์ที่อยู่ใน k แถวแรกและ k คอลัมน์แรกของเมทริกซ์ดั้งเดิม
พื้นฐาน ความสำคัญในทางปฏิบัติวิธีการลากรองจ์คือช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากการเพิ่มประสิทธิภาพแบบมีเงื่อนไขไปสู่การปรับให้เหมาะสมแบบไม่มีเงื่อนไข และขยายคลังแสงตามไปด้วย วิธีการที่มีอยู่การแก้ปัญหา อย่างไรก็ตามปัญหาของการแก้ระบบสมการซึ่งเดือดลงไปนั้น วิธีนี้โดยทั่วไปแล้วมันไม่ง่ายไปกว่านี้แล้ว ปัญหาเดิมกำลังมองหาสุดขั้ว วิธีการดังกล่าวเรียกว่าทางอ้อม การใช้งานอธิบายได้จากความจำเป็นในการได้รับการแก้ไขปัญหาที่รุนแรงในรูปแบบการวิเคราะห์ (ตัวอย่างเช่น สำหรับการคำนวณทางทฤษฎีบางอย่าง) เมื่อแก้เฉพาะเจาะจง ปัญหาในทางปฏิบัติโดยปกติแล้วจะใช้วิธีการโดยตรงโดยขึ้นอยู่กับกระบวนการคำนวณซ้ำและเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ได้รับการปรับให้เหมาะสม
วิธีการคำนวณ
1 ขั้นตอน: เรากำหนดฟังก์ชันลากรองจ์จากฟังก์ชันวัตถุประสงค์และระบบข้อจำกัดที่กำหนด:
ซึ่งไปข้างหน้า
เพื่อที่จะเพิ่มความคิดเห็นของคุณในบทความ กรุณาลงทะเบียนบนเว็บไซต์
| ชื่อพารามิเตอร์ | ความหมาย |
| หัวข้อบทความ: | วิธีลากรองจ์ |
| รูบริก (หมวดหมู่เฉพาะเรื่อง) | คณิตศาสตร์ |
การค้นหาพหุนามหมายถึงการกำหนดค่าของสัมประสิทธิ์ 
- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โดยใช้เงื่อนไขการประมาณค่า คุณสามารถสร้างระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) ได้
ดีเทอร์มีแนนต์ของ SLAE นี้มักเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ของแวนเดอร์มอนด์ ปัจจัยกำหนดของแวนเดอร์มอนด์ไม่ใช่ เท่ากับศูนย์เมื่อ สำหรับ นั่นคือในกรณีที่ไม่มีโหนดที่ตรงกันในตารางการค้นหา อย่างไรก็ตาม อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาและโซลูชันนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว หลังจากแก้ไข SLAE และกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักแล้ว คุณสามารถสร้างพหุนามการประมาณค่าได้
พหุนามที่ตรงตามเงื่อนไขการประมาณค่า เมื่อประมาณค่าโดยวิธีลากรองจ์ จะถูกสร้างขึ้นในรูปแบบของการรวมกันเชิงเส้นของพหุนามระดับที่ n:
โดยทั่วไปจะเรียกว่าพหุนาม ขั้นพื้นฐานพหุนาม เพื่อ พหุนามลากรองจ์เป็นไปตามเงื่อนไขการประมาณค่า เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับพหุนามพื้นฐาน:
สำหรับ 
.
หากตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ เราจะมี:
นอกจากนี้ การปฏิบัติตามเงื่อนไขที่กำหนดสำหรับพหุนามพื้นฐานหมายความว่าเงื่อนไขการประมาณค่าเป็นไปตามนั้นด้วย
ให้เรากำหนดประเภทของพหุนามพื้นฐานตามข้อจำกัดที่กำหนด
เงื่อนไขที่ 1:ที่ .
เงื่อนไขที่ 2: .
ในที่สุด สำหรับพหุนามพื้นฐาน เราสามารถเขียนได้:
จากนั้น เมื่อแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับพหุนามพื้นฐานไปเป็นพหุนามดั้งเดิม เราจะได้รูปแบบสุดท้ายของพหุนามลากรองจ์:
แบบฟอร์มส่วนตัวพหุนามลากรองจ์ at มักเรียกว่าสูตรการประมาณค่าเชิงเส้น:
.
พหุนามลากรองจ์ที่ใช้โดยทั่วไปเรียกว่าสูตรการประมาณค่ากำลังสอง:
วิธีลากรองจ์ - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "วิธีลากรองจ์" 2017, 2018.
รีโมทคอนโทรลเชิงเส้น
สำหรับคำตอบประเภทนี้ เราจะพิจารณาสองวิธี: วิธีลากรองจ์ และวิธีเบอร์นูลลี พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์แบบเอกพันธ์ - ระบบควบคุมเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันและต่างกัน แนวคิดของการตัดสินใจทั่วไป วิธีลากรองจ์ของการแปรผันของค่าคงที่การผลิตคำนิยาม. ระบบควบคุมจะเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกันหากฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นความสัมพันธ์ระหว่างอาร์กิวเมนต์ได้
ปัญหาสุดขีดก็มี คุ้มค่ามากในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์ นี่คือการคำนวณ เช่น รายได้สูงสุด กำไร ต้นทุนขั้นต่ำ ขึ้นอยู่กับตัวแปรต่างๆ เช่น ทรัพยากร สินทรัพย์การผลิต ฯลฯ
- ต.2.3. DE ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น สมการในผลต่างรวม ต.2.4. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ วิธีลากรองจ์
3. 2. 1. DE พร้อมตัวแปรที่แยกได้ S.R. 3. ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ เทคโนโลยี และเศรษฐศาสตร์ มักเกี่ยวข้องกับสูตรเชิงประจักษ์ เช่น สูตรที่รวบรวมจากการประมวลผลข้อมูลทางสถิติหรือ...วิธีการกำหนดภาวะสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขเริ่มต้นด้วยการสร้าง ฟังก์ชั่นเสริม 1 ลากรองจ์ซึ่งในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถึงค่าสูงสุดสำหรับค่าตัวแปรเดียวกัน 2 x , x , ..., x n ซึ่งเหมือนกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ z - ปล่อยให้ปัญหาในการกำหนดปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชันได้รับการแก้ไข φ ซ = ฉ(X) ( ฟังก์ชั่นเสริม 1 , ฟังก์ชั่นเสริม 2 , ..., ฟังก์ชั่นเสริม , x ) = 0, ซ = ฉ(X) = 1, 2, ..., ภายใต้ข้อจำกัด , ภายใต้ข้อจำกัด < , x
ฉัน
ม ลองเขียนฟังก์ชันกัน. ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์ เอ็กซ์, - ปัจจัยคงที่ ( ตัวคูณลากรองจ์- โปรดทราบว่าสามารถให้ตัวคูณลากรองจ์ได้ ความรู้สึกทางเศรษฐกิจ 1 ลากรองจ์ซึ่งในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถึงค่าสูงสุดสำหรับค่าตัวแปรเดียวกัน 2 x , x ) - ถ้า ฉ(x 1 ลากรองจ์ซึ่งในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถึงค่าสูงสุดสำหรับค่าตัวแปรเดียวกัน 2 x , x ) - รายได้สอดคล้องกับแผน φ ซ = ฉ(X) X = (x 1 ลากรองจ์ซึ่งในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถึงค่าสูงสุดสำหรับค่าตัวแปรเดียวกัน 2 x , x ) และฟังก์ชัน ซึ่งเรียกว่า (x - ต้นทุนของทรัพยากร i-th ที่สอดคล้องกับแผนนี้ คือราคา (ประมาณการ) ของทรัพยากร i-th ซึ่งแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงในค่าสุดขีดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงขนาดของทรัพยากร i-th (การประมาณส่วนเพิ่ม) แอล(เอ็กซ์) - การทำงาน X = (x 1 ลากรองจ์ซึ่งในพื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถึงค่าสูงสุดสำหรับค่าตัวแปรเดียวกัน 2 x , x , λ 1 , λ 2 , ..., λ , x ) n+ม
|
|
ตัวแปร
- การหาจุดคงที่ของฟังก์ชันนี้นำไปสู่การแก้ระบบสมการ มันง่ายที่จะเห็นว่า
- ดังนั้นภารกิจในการค้นหาปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน ซ = ฉ(X)
ลดเพื่อค้นหาส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน แอล(เอ็กซ์)
2
ซ = ฉ(X)
- หากพบจุดที่คงที่ คำถามของการมีอยู่ของสุดขีดในกรณีที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขตามเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขีด - ศึกษาสัญลักษณ์ของส่วนต่างที่สอง ง
ซ = ฉ(X)
ที่จุดคงที่โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรเพิ่มขึ้น
|
|
∆x
- เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์
ได้มาจากการหาความแตกต่างของสมการคัปปลิ้ง การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นในค่าไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้เครื่องมือค้นหาโซลูชันการตั้งค่า
การหาทางแก้ไข 
ช่วยให้คุณค้นหาคำตอบของระบบสมการไม่เชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว: ฟังก์ชั่นเสริม
ที่ไหน
- ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของตัวแปร
,
และ
ย ฟังก์ชั่นเสริม , - ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของตัวแปร ) เป็นวิธีแก้ระบบสมการ (10) ก็ต่อเมื่อมันเป็นคำตอบของสมการต่อไปนี้ที่ไม่ทราบค่าสองตัว:
กับในทางกลับกัน ผลเฉลยของระบบ (10) คือจุดตัดของเส้นโค้งสองเส้น: ฉ ] (ฟังก์ชั่นเสริม, - ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของตัวแปร) = ค และ ฉ 2 (x, y) = ค 2 บนเครื่องบิน เอ็กซ์โอย.
สิ่งนี้นำไปสู่วิธีการค้นหารากของระบบ สมการไม่เชิงเส้น:
กำหนด (อย่างน้อยโดยประมาณ) ช่วงเวลาของการมีอยู่ของระบบสมการ (10) หรือสมการ (11) ที่นี่มีความจำเป็นต้องคำนึงถึงประเภทของสมการที่รวมอยู่ในระบบขอบเขตของคำจำกัดความของสมการแต่ละสมการ ฯลฯ บางครั้งจะใช้การเลือกการประมาณเริ่มต้นของการแก้ปัญหา
ตารางการแก้สมการ (11) สำหรับตัวแปร x และ y ในช่วงเวลาที่เลือก หรือสร้างกราฟของฟังก์ชัน ฉ 1 (ฟังก์ชั่นเสริม, - ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของตัวแปร) = ซีและ ฉ 2 (x,y) = ค 2 (ระบบ(10))
ค้นหารากของระบบสมการ - ค้นหาหลาย ๆ อัน ค่าต่ำสุดจากตาราง ให้จัดทำตารางรากของสมการ (11) หรือกำหนดจุดตัดของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบ (10)
4. ค้นหารากของระบบสมการ (10) โดยใช้ Add-in การหาทางแก้ไข
วิธีตัวคูณลากรองจ์
วิธีตัวคูณลากรองจ์เป็นหนึ่งในวิธีที่ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาได้โดยไม่ต้อง การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น.
การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเป็นสาขาหนึ่งของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวิธีการแก้ปัญหาขั้นสุดด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ไม่เชิงเส้นและขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่กำหนดโดยข้อจำกัดที่ไม่เชิงเส้น ในทางเศรษฐศาสตร์สิ่งนี้สอดคล้องกับความจริงที่ว่าผลลัพธ์ (ประสิทธิภาพ) เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างไม่เป็นสัดส่วนกับการเปลี่ยนแปลงขนาดการใช้ทรัพยากร (หรือที่เหมือนกันคือขนาดการผลิต): ตัวอย่างเช่นเนื่องจากการแบ่งต้นทุนการผลิตใน รัฐวิสาหกิจเข้าสู่ตัวแปรและกึ่งคงที่ เนื่องจากความต้องการสินค้าอิ่มตัวเมื่อแต่ละหน่วยต่อมาขายยากกว่าหน่วยก่อนหน้าเป็นต้น
ปัญหาการเขียนโปรแกรมไม่เชิงเส้นเป็นปัญหาในการค้นหาฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่เหมาะสมที่สุด
F(x 1 ,…xn) เอฟ (ฟังก์ชั่นเสริม) → สูงสุด
เมื่อตรงตามเงื่อนไข
ก.เจ (x 1 ,…xn)≥0, ก (ฟังก์ชั่นเสริม) ≤ ข , ฟังก์ชั่นเสริม ≥ 0
ที่ไหน ฟังก์ชั่นเสริม-เวกเตอร์ของตัวแปรที่ต้องการ
เอฟ (ฟังก์ชั่นเสริม) -ฟังก์ชันวัตถุประสงค์;
ก (ฟังก์ชั่นเสริม) - ฟังก์ชั่นข้อ จำกัด (หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง)
ข - เวกเตอร์ของค่าคงที่ข้อจำกัด
วิธีแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น (ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดทั่วโลก) อาจอยู่ในขอบเขตหรือภายในชุดที่ยอมรับได้
ต่างจากปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ในปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น ค่าที่เหมาะสมที่สุดไม่จำเป็นต้องอยู่บนขอบเขตของขอบเขตที่กำหนดโดยข้อจำกัด กล่าวอีกนัยหนึ่งงานคือการเลือกค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรภายใต้ระบบข้อ จำกัด ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งบรรลุค่าสูงสุด (หรือต่ำสุด) ของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ จะไม่มีการระบุรูปแบบของฟังก์ชันวัตถุประสงค์หรือความไม่เท่าเทียมกัน อาจจะมี กรณีที่แตกต่างกัน: ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไม่เป็นเชิงเส้น และข้อจำกัดเป็นแบบเชิงเส้น ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นแบบเชิงเส้น และข้อจำกัด (อย่างน้อยหนึ่งรายการ) ไม่เป็นเชิงเส้น ทั้งฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดไม่เป็นเชิงเส้น
ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นพบได้ในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ คณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ทางธุรกิจ และรัฐบาล
ตัวอย่างเช่น การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นเกี่ยวข้องกับพื้นฐาน งานทางเศรษฐกิจ- ดังนั้นในปัญหาการกระจายตัว ทรัพยากรที่จำกัดเพิ่มประสิทธิภาพให้สูงสุด หรือหากผู้บริโภคกำลังศึกษาอยู่ การบริโภคภายใต้ข้อจำกัดที่แสดงเงื่อนไขของการขาดแคลนทรัพยากร ในสูตรทั่วไปดังกล่าว สูตรทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอาจเป็นไปไม่ได้ แต่ในการใช้งานเฉพาะ รูปแบบเชิงปริมาณของฟังก์ชันทั้งหมดสามารถกำหนดได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น องค์กรอุตสาหกรรมผลิตผลิตภัณฑ์พลาสติก ประสิทธิภาพการผลิตที่นี่วัดจากกำไร และข้อจำกัดจะถูกตีความว่าเป็นแรงงานที่มีอยู่ พื้นที่การผลิต ผลผลิตของอุปกรณ์ ฯลฯ
วิธีการประหยัดต้นทุนยังเหมาะกับแผนการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นอีกด้วย วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาเพื่อใช้ในการตัดสินใจในภาครัฐ ฟังก์ชั่นทั่วไปประสิทธิภาพคือความเป็นอยู่ที่ดี ที่นี่ ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นสองปัญหาเกิดขึ้น ปัญหาแรกคือการเพิ่มผลกระทบสูงสุดด้วยต้นทุนที่จำกัด ปัญหาที่สองคือการลดต้นทุนให้เหลือน้อยที่สุด โดยมีเงื่อนไขว่าผลกระทบนั้นอยู่เหนือระดับขั้นต่ำที่แน่นอน ปัญหานี้มักจะถูกสร้างแบบจำลองอย่างดีโดยใช้การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น
ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นมีประโยชน์ในการตัดสินใจของรัฐบาล แน่นอนว่าวิธีแก้ปัญหาที่ได้นั้นเป็นสิ่งที่แนะนำ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบสมมติฐานและความถูกต้องของปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นก่อนตัดสินใจขั้นสุดท้าย
ปัญหาที่ไม่เชิงเส้นนั้นซับซ้อน มักจะทำให้ง่ายขึ้นโดยนำไปสู่ปัญหาเชิงเส้น ในการทำเช่นนี้ สันนิษฐานตามอัตภาพว่าในพื้นที่เฉพาะ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามสัดส่วนการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระ แนวทางนี้เรียกว่าวิธีการประมาณเชิงเส้นแบบเป็นชิ้น ๆ อย่างไรก็ตาม ใช้ได้กับปัญหาไม่เชิงเส้นบางประเภทเท่านั้น
ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นภายใต้เงื่อนไขบางประการได้รับการแก้ไขโดยใช้ฟังก์ชันลากรองจ์ โดยการค้นหาจุดอาน ก็จะพบวิธีแก้ไขปัญหา ในบรรดาอัลกอริธึมการคำนวณ N. p. สถานที่ที่ดีครอบครองวิธีการไล่ระดับ ไม่มีวิธีการที่เป็นสากลสำหรับปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นและดูเหมือนจะไม่มี เนื่องจากเป็นวิธีที่หลากหลายมาก ปัญหาแบบหลายขั้วนั้นแก้ไขได้ยากเป็นพิเศษ
วิธีหนึ่งที่ช่วยให้คุณลดปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นในการแก้ระบบสมการได้ก็คือวิธีการนั้น ตัวคูณที่ไม่ได้กำหนดลากรองจ์
เราสร้างโดยใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์ เงื่อนไขที่จำเป็นช่วยให้สามารถระบุจุดที่เหมาะสมที่สุดในปัญหาการปรับให้เหมาะสมด้วยข้อจำกัดในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้ ปัญหาที่มีข้อจำกัดจะถูกแปลงเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบไม่มีเงื่อนไขที่เทียบเท่ากัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักบางตัวที่เรียกว่าตัวคูณลากรองจ์
วิธีตัวคูณลากรองจ์ประกอบด้วยการลดปัญหาบนสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข ไปจนถึงปัญหาบนสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันเสริม - ที่เรียกว่า ฟังก์ชันลากรองจ์
สำหรับปัญหาปลายสุดของฟังก์ชัน ฉ(x 1, x 2,..., xn) ภายใต้เงื่อนไข (สมการจำกัด) φ ฉัน(x 1 , x 2 , ..., xn) = 0, ซ = ฉ(X)= 1, 2,..., ภายใต้ข้อจำกัดฟังก์ชันลากรองจ์มีรูปแบบ
L(x 1, x 2… x n, แลมบ์ดา 1, แลมบ์ 2, …เลม)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m แลมบ์ i φ i (x 1, x 2… x n)
ตัวคูณ แล 1 , แล 2 , ..., แลมเรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์
หากมีค่า x 1 , x 2 , ..., xn , แลมบ์ดา , แลมบ์ดา 2 , ..., แลมบ์สาระสำคัญของการแก้สมการที่กำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์กล่าวคือสำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้คือคำตอบของระบบสมการ
จากนั้น ภายใต้สมมติฐานทั่วไป x 1 , x 2 , ..., x n ให้ฟังก์ชัน f สุดขั้ว
พิจารณาปัญหาในการลดฟังก์ชันของตัวแปร n ตัวให้เหลือน้อยที่สุดภายใต้ข้อจำกัดเดียวในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน:
ย่อ f(x 1, x 2… x n) (1)
ภายใต้ข้อจำกัด h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
ตามวิธีตัวคูณ Lagrange ปัญหานี้จะถูกแปลงเป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ไม่มีข้อจำกัดต่อไปนี้:
ย่อ L(x, แลมบ์ดา) = f (x) - แลมบ์ h (x) (3)
โดยที่ฟังก์ชัน L(x; λ) เรียกว่าฟังก์ชันลากรองจ์
λ เป็นค่าคงที่ที่ไม่รู้จัก ซึ่งเรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ ไม่มีข้อกำหนดสำหรับสัญลักษณ์ของ แล
ให้ที่ ตั้งค่าแลมบ์ดา = แล 0 ค่าต่ำสุดที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชัน L(x, แลมบ์) เทียบกับ x ทำได้ที่จุด x=x 0 และ x 0 เป็นไปตามสมการ h 1 (x 0)=0 จากนั้นอย่างที่มองเห็นได้ง่าย x 0 ย่อเล็กสุด (1) โดยคำนึงถึง (2) เนื่องจากสำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่น่าพอใจ (2) h 1 (x)=0 และ L(x, แลมบ์ดา)=นาที ฉ(x)
แน่นอนว่าจำเป็นต้องเลือกค่า แลมบ์ดา=แล 0 เพื่อให้พิกัดของจุดต่ำสุดที่ไม่มีเงื่อนไข x 0 เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (2) ซึ่งสามารถทำได้หากพิจารณา แล เป็นตัวแปร ให้ค้นหาฟังก์ชันขั้นต่ำที่ไม่มีเงื่อนไข (3) ในรูปแบบของฟังก์ชัน แล แล้วเลือกค่า แล ที่ตรงตามความต้องการความเท่าเทียมกัน (2) เรามาอธิบายเรื่องนี้ด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกัน
ย่อ f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
ภายใต้ข้อจำกัด h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ไม่มีข้อจำกัดที่สอดคล้องกันถูกเขียนดังนี้:
ย่อ L(x, แลมบ์ดา)=x 1 2 +x 2 2 -แลม(2x 1 +x 2 -2)
สารละลาย. เราได้สมดุลสององค์ประกอบของการไล่ระดับสี L เป็นศูนย์
→ x 1 0 = แล
→ x 2 0 = แล/2
เพื่อตรวจสอบว่าจุดคงที่ x° สอดคล้องกับค่าต่ำสุดหรือไม่ เราจะคำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L(x;u) ซึ่งถือเป็นฟังก์ชันของ x
ซึ่งกลายเป็นว่าเป็นบวกแน่นอน
ซึ่งหมายความว่า L(x,u) เป็นฟังก์ชันนูนของ x ดังนั้นพิกัด x 1 0 = แล, x 2 0 = แล/2 จะกำหนดจุดต่ำสุดโดยรวม ค่าที่เหมาะสมที่สุดγ พบได้โดยการแทนค่า x 1 0 และ x 2 0 ลงในสมการ 2x 1 + x 2 =2 โดยที่ 2λ+แล/2=2 หรือ แล 0 =4/5 ดังนั้น ค่าต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขจะได้ที่ x 1 0 =4/5 และ x 2 0 =2/5 และเท่ากับค่าต่ำสุด f(x) = 4/5
เมื่อแก้ไขปัญหาจากตัวอย่าง เราถือว่า L(x; λ) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว x 1 และ x 2 และนอกจากนี้ ยังถือว่าค่าของพารามิเตอร์ แล ถูกเลือกเพื่อให้เป็นไปตามข้อจำกัด ถ้าจะแก้ระบบ
เจ=1,2,3,…,น
ไม่สามารถรับ lam ในรูปแบบของฟังก์ชันที่ชัดเจนได้ จากนั้นหาค่าของ x และ lam ได้โดยการแก้ระบบต่อไปนี้ซึ่งประกอบด้วยสมการ n+1 โดยไม่ทราบค่า n+1:
J=1,2,3,…,n., ชม. 1 (x)=0
เพื่อตามหาทุกคน แนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ระบบนี้สามารถใช้วิธีการค้นหาด้วยตัวเลข (เช่น วิธีของนิวตัน) สำหรับแต่ละวิธีแก้ปัญหา () เราควรคำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L ซึ่งถือเป็นฟังก์ชันของ x และค้นหาว่าเมทริกซ์นี้เป็นค่าบวกที่แน่นอน (ค่าต่ำสุดเฉพาะที่) หรือค่าลบที่แน่นอน (ค่าสูงสุดเฉพาะที่ ).
วิธีตัวคูณลากรองจ์สามารถขยายออกไปในกรณีที่ปัญหามีข้อจำกัดหลายประการในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน พิจารณาปัญหาทั่วไปที่ต้องการ
ย่อขนาด f(x) ให้เล็กสุด
ภายใต้ข้อจำกัด h k =0, k=1, 2, ..., K.
ฟังก์ชัน Lagrange ใช้เวลา มุมมองถัดไป:
ที่นี่ แล 1 , แล 2 , ..., แลม- ตัวคูณ Lagrange เช่น พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักซึ่งจำเป็นต้องกำหนดค่า เราได้ค่าอนุพันธ์ย่อยของ L เทียบกับ x ถึงศูนย์ ระบบต่อไปนี้ n สมการกับ n ไม่ทราบ:
หากเป็นเรื่องยากที่จะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบข้างต้นในรูปแบบของฟังก์ชันของเวกเตอร์ แลม คุณสามารถขยายระบบโดยรวมข้อ จำกัด ในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน
การแก้ระบบแบบขยายซึ่งประกอบด้วยสมการ n + K โดยไม่ทราบค่า n + K จะกำหนดจุดที่นิ่งของฟังก์ชัน L จากนั้นจึงใช้ขั้นตอนการตรวจสอบค่าต่ำสุดหรือสูงสุดซึ่งดำเนินการบนพื้นฐานของการคำนวณ องค์ประกอบของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชัน L ซึ่งถือเป็นฟังก์ชันของ x คล้ายกับที่เคยทำในกรณีที่เกิดปัญหากับข้อจำกัดเดียว สำหรับปัญหาบางอย่าง ระบบสมการ n+K แบบขยายที่ไม่ทราบค่า n+K อาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา และวิธีการตัวคูณลากรองจ์กลับกลายเป็นว่าใช้ไม่ได้ อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่างานดังกล่าวค่อนข้างหายากในทางปฏิบัติ
ลองพิจารณาดู กรณีพิเศษ งานทั่วไปการโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น โดยสมมติว่าระบบข้อจำกัดมีเพียงสมการเท่านั้น ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่มีค่าลบของตัวแปร และ และ - ฟังก์ชันจะต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อยของตัวแปรเหล่านั้น ดังนั้นโดยการแก้ระบบสมการ (7) เราจะได้คะแนนทั้งหมดที่ฟังก์ชัน (6) สามารถมีค่าสุดขั้วได้
อัลกอริทึมสำหรับวิธีตัวคูณลากรองจ์
1. เขียนฟังก์ชันลากรองจ์
2. ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์เทียบกับตัวแปร x J ,λ i และจัดให้เป็นศูนย์
3. เราแก้ระบบสมการ (7) ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาสามารถมีจุดสุดยอดได้
4. ในบรรดาจุดที่สงสัยว่าเป็นจุดสุดโต่ง เราจะพบจุดที่ถึงจุดสุดโต่งแล้วคำนวณค่าของฟังก์ชัน (6) ที่จุดเหล่านี้
ตัวอย่าง.
ข้อมูลเริ่มต้น:ตามแผนการผลิตบริษัทจำเป็นต้องผลิตสินค้าจำนวน 180 รายการ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถผลิตได้สองวิธีทางเทคโนโลยี เมื่อผลิตผลิตภัณฑ์ x 1 โดยใช้วิธีที่ 1 ต้นทุนคือ 4x 1 +x 1 2 รูเบิล และเมื่อผลิตผลิตภัณฑ์ x 2 โดยใช้วิธีที่ 2 จะเท่ากับ 8x 2 +x 2 2 รูเบิล กำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ควรผลิตในแต่ละวิธีเพื่อให้ต้นทุนการผลิตมีน้อยที่สุด
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของปัญหาที่ระบุมีรูปแบบ
® นาทีภายใต้เงื่อนไข x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0
1. เขียนฟังก์ชันลากรองจ์
.
2.
เราคำนวณอนุพันธ์บางส่วนด้วยความเคารพต่อ x 1, x 2, λ และจัดให้เป็นศูนย์: 
3.
เมื่อแก้ระบบสมการผลลัพธ์ เราจะพบว่า x 1 =91,x 2 =89
4. เมื่อทำการแทนที่ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ x 2 =180-x 1 เราจะได้ฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง นั่นคือ f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2
เราคำนวณหรือ 4x 1 -364=0 ,
โดยที่เรามี x 1 * =91, x 2 * =89
คำตอบ: จำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยวิธีแรกคือ x 1 =91 โดยวิธีที่สอง x 2 =89 ในขณะที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เท่ากับ 17,278 รูเบิล
- บทช่วยสอน
ทุกคน สวัสดีตอนบ่าย- ในบทความนี้ฉันต้องการจะแสดงอย่างใดอย่างหนึ่ง วิธีการกราฟิกการก่อสร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบไดนามิกซึ่งเรียกว่า กราฟพันธบัตร(“ พันธบัตร” - การเชื่อมต่อ, “กราฟ” - กราฟ) ในวรรณคดีรัสเซียฉันพบคำอธิบายของวิธีนี้เฉพาะในตำราเรียนของ Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 ยังแสดงวิธีการแบบคลาสสิกผ่านสมการลากรองจ์ประเภทที่ 2 ด้วย
วิธีลากรองจ์
ฉันจะไม่อธิบายทฤษฎี ฉันจะแสดงขั้นตอนการคำนวณพร้อมความคิดเห็นเล็กน้อย โดยส่วนตัวแล้ว ฉันเรียนรู้จากตัวอย่างได้ง่ายกว่าอ่านทฤษฎี 10 รอบ สำหรับฉันดูเหมือนว่าในวรรณคดีรัสเซียคำอธิบายของวิธีนี้และคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์โดยทั่วไปนั้นอุดมไปด้วยมาก สูตรที่ซับซ้อนซึ่งจำเป็นต้องมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่จริงจัง ในขณะที่ศึกษาวิธีลากรองจ์ (ฉันเรียนที่มหาวิทยาลัยโพลีเทคนิคแห่งตูริน ประเทศอิตาลี) ฉันศึกษาวรรณคดีรัสเซียเพื่อเปรียบเทียบวิธีการคำนวณ และเป็นการยากสำหรับฉันที่จะติดตามความคืบหน้าในการแก้ไขวิธีนี้ แม้จะจำหลักสูตรการสร้างแบบจำลองที่ Kharkov Aviation Institute ได้ แต่การได้มาของวิธีการดังกล่าวก็ยุ่งยากมากและไม่มีใครใส่ใจในการพยายามทำความเข้าใจปัญหานี้ นี่คือสิ่งที่ฉันตัดสินใจเขียนซึ่งเป็นคู่มือสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ตามลากรองจ์เนื่องจากปรากฎว่ามันไม่ยากเลย แต่ก็เพียงพอที่จะรู้วิธีคำนวณอนุพันธ์ตามเวลาและอนุพันธ์ย่อย สำหรับโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น จะมีการเพิ่มเมทริกซ์การหมุนด้วย แต่ก็ไม่มีอะไรซับซ้อนในนั้นเช่นกันคุณสมบัติของวิธีการสร้างแบบจำลอง:
- นิวตัน-ออยเลอร์: สมการเวกเตอร์ตามสมดุลไดนามิก บังคับและ ช่วงเวลา
- ลากรองจ์: สมการสเกลาร์ตามฟังก์ชันสถานะที่เกี่ยวข้องกับจลน์ศาสตร์และศักย์ไฟฟ้า พลังงาน
- จำนวนพันธบัตร: วิธีการตามการไหล พลังระหว่างองค์ประกอบระบบ
เริ่มต้นด้วย ตัวอย่างง่ายๆ- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์ เราละเลยแรงโน้มถ่วง
รูปที่ 1- มวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์
ก่อนอื่นเรากำหนด:
- ระบบเริ่มต้นพิกัด(NSK) หรือ SK คงที่ R0(i0,j0,k0)- ที่ไหน? คุณสามารถชี้นิ้วของคุณขึ้นไปบนฟ้าได้ แต่ด้วยการกระตุกส่วนปลายของเซลล์ประสาทในสมอง ความคิดนี้ก็ส่งผ่านไปยังการวาง NSC บนแนวการเคลื่อนไหวของร่างกาย M1
- ระบบพิกัดของร่างกายแต่ละส่วนด้วยมวล(เรามี M1 R1(i1,j1,k1)) การวางแนวอาจเป็นไปตามอำเภอใจ แต่เหตุใดชีวิตของคุณจึงซับซ้อนโดยตั้งค่าให้มีความแตกต่างน้อยที่สุดจาก NSC
- พิกัดทั่วไป คิว_ฉัน(จำนวนตัวแปรขั้นต่ำที่สามารถอธิบายการเคลื่อนไหวได้) ใน ในตัวอย่างนี้พิกัดทั่วไปหนึ่งพิกัด เคลื่อนที่ตามแกน j เท่านั้น
รูปที่ 2- เราวางระบบพิกัดและพิกัดทั่วไป
รูปที่ 3- ตำแหน่งและความเร็วของร่างกาย M1
จากนั้นเราจะค้นหาพลังงานจลน์ (C) และพลังงานศักย์ (P) และฟังก์ชันการกระจาย (D) สำหรับแดมเปอร์โดยใช้สูตร:
รูปที่ 4. ครบสูตรพลังงานจลน์
ในตัวอย่างของเรา ไม่มีการหมุน องค์ประกอบที่สองคือ 0
รูปที่ 5- การคำนวณจลน์ พลังงานศักย์ และฟังก์ชันการกระจาย
สมการลากรองจ์มีรูปแบบดังนี้
รูปที่ 6- สมการลากรองจ์และลากรองจ์
เดลต้า W_iนี้ งานเสมือนจริงสมบูรณ์แบบด้วยแรงและช่วงเวลาที่ใช้ มาหาเธอกันเถอะ:
รูปที่ 7- การคำนวณงานเสมือนจริง
ที่ไหน เดลต้า q_1การเคลื่อนไหวเสมือนจริง
เราแทนทุกอย่างลงในสมการลากรองจ์:
รูปที่ 8- ผลลัพธ์ที่ได้คือแบบจำลองมวลพร้อมสปริงและแดมเปอร์
นี่คือจุดที่วิธีการของลากรองจ์สิ้นสุดลง อย่างที่คุณเห็น มันไม่ได้ซับซ้อนขนาดนั้น แต่ก็ยังเป็นตัวอย่างง่ายๆ ซึ่งส่วนใหญ่แล้ววิธีของนิวตัน-ออยเลอร์จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ สำหรับระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีวัตถุหลายชิ้นหมุนสัมพันธ์กันในมุมที่ต่างกัน วิธีลากรองจ์จะง่ายกว่า
วิธีพันธบัตรกราฟ
ฉันจะแสดงให้คุณดูทันทีว่าแบบจำลองนี้มีลักษณะอย่างไรในกราฟบอนด์สำหรับตัวอย่างที่มีมวล สปริง และแดมเปอร์:
รูปที่ 9- มวลกราฟบอนด์พร้อมสปริงและแดมเปอร์
ที่นี่คุณจะต้องบอกทฤษฎีเล็กน้อยซึ่งเพียงพอที่จะสร้างได้ โมเดลที่เรียบง่าย- หากใครสนใจสามารถอ่านหนังสือได้ ( กราฟพันธบัตรระเบียบวิธี) หรือ ( โวโรนิน เอ.วี. การสร้างแบบจำลองระบบเมคคาทรอนิกส์: คู่มือการฝึกอบรม- – ตอมสค์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโปลีเทคนิคทอมสค์, 2551).
ให้เราพิจารณาก่อนว่า ระบบที่ซับซ้อนประกอบด้วยหลายโดเมน ตัวอย่างเช่น มอเตอร์ไฟฟ้าประกอบด้วยชิ้นส่วนหรือโดเมนทางไฟฟ้าและเครื่องกล
กราฟพันธบัตรโดยอาศัยการแลกเปลี่ยนอำนาจระหว่างโดเมนระบบย่อยเหล่านี้ โปรดทราบว่าการแลกเปลี่ยนพลังงานไม่ว่าจะในรูปแบบใดก็ตาม จะถูกกำหนดโดยตัวแปรสองตัวเสมอ ( พลังงานที่แปรผัน) ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเราสามารถศึกษาปฏิสัมพันธ์ของระบบย่อยต่าง ๆ ภายในระบบไดนามิก (ดูตาราง)
ดังที่เห็นจากตาราง การแสดงออกของอำนาจแทบจะเหมือนกันทุกที่ โดยสรุป พลัง- งานนี้” ไหล - ฉ" ถึง " ความพยายาม - อี».
ความพยายาม(ภาษาอังกฤษ) ความพยายาม) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือแรงดันไฟฟ้า (e) ในโดเมนทางกลคือแรง (F) หรือแรงบิด (T) ในระบบไฮดรอลิกคือความดัน (p)
ไหล(ภาษาอังกฤษ) ไหล) ในโดเมนทางไฟฟ้าคือกระแส (i) ในโดเมนทางกลคือความเร็ว (v) หรือความเร็วเชิงมุม (โอเมก้า) ในระบบไฮดรอลิกคือการไหลหรืออัตราการไหลของของไหล (Q)
จากสัญลักษณ์เหล่านี้ เราได้สำนวนแสดงพลัง:
รูปที่ 10- สูตรกำลังผ่านตัวแปรกำลัง
ในภาษากราฟบอนด์ การเชื่อมต่อระหว่างสองระบบย่อยที่แลกเปลี่ยนพลังงานจะแสดงด้วยพันธะ พันธบัตร- จึงเรียกวิธีนี้ว่า กราฟพันธบัตรหรือก การเชื่อมต่อ raf, กราฟที่เชื่อมต่อ- ลองพิจารณาดู แผนภาพบล็อกการเชื่อมต่อในรุ่นที่มีมอเตอร์ไฟฟ้า (ยังไม่ใช่กราฟบอนด์):
รูปที่ 11- บล็อกไดอะแกรมการไหลของพลังงานระหว่างโดเมน
หากเรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้าก็จะสร้างแรงดันไฟฟ้าและถ่ายโอนไปยังมอเตอร์เพื่อม้วน (นี่คือสาเหตุที่ลูกศรชี้ไปที่มอเตอร์) ขึ้นอยู่กับความต้านทานของขดลวดกระแสจะปรากฏขึ้นตามกฎของโอห์ม (กำกับ จากมอเตอร์ไปยังแหล่งกำเนิด) ดังนั้น ตัวแปรหนึ่งจะเป็นอินพุตไปยังระบบย่อย และตัวแปรตัวที่สองจะต้องเป็น ออกจากระบบย่อย นี่คือแรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) – อินพุต, กระแส ( ไหล) - ออก
หากคุณใช้แหล่งที่มาปัจจุบัน แผนภาพจะเปลี่ยนไปอย่างไร ขวา. กระแสไฟฟ้าจะถูกส่งไปยังมอเตอร์และแรงดันไฟฟ้าไปยังแหล่งกำเนิด แล้วปัจจุบัน ( ไหล) – อินพุต, แรงดันไฟฟ้า ( ความพยายาม) - ออก
ลองดูตัวอย่างในกลศาสตร์ แรงที่กระทำต่อมวล
รูปที่ 12- แรงที่กระทำต่อมวล
แผนภาพบล็อกจะเป็นดังนี้:
รูปที่ 13- บล็อกไดอะแกรม
ในตัวอย่างนี้ ความแรง ( ความพยายาม) – ตัวแปรอินพุตสำหรับมวล (แรงที่กระทำต่อมวล)
ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:
มวลตอบสนองด้วยความเร็ว:
ในตัวอย่างนี้ ถ้ามีตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ( ความแข็งแกร่ง - ความพยายาม) เป็น ทางเข้าเข้าสู่โดเมนทางกล จากนั้นก็มีตัวแปรกำลังอีกตัวหนึ่ง ( ความเร็ว - ไหล) – กลายเป็นโดยอัตโนมัติ ออก.
เพื่อแยกแยะว่าอินพุตอยู่ที่ไหนและเอาต์พุตอยู่ที่ไหน จะใช้ข้อมูลนั้น เส้นแนวตั้งที่ปลายลูกศร (การเชื่อมต่อ) ระหว่างองค์ประกอบต่างๆ เรียกว่าบรรทัดนี้ สัญญาณของสาเหตุ
หรือ สาเหตุ
(สาเหตุ- ปรากฎว่าแรงที่ใช้เป็นสาเหตุ และความเร็วเป็นผล เครื่องหมายนี้มีความสำคัญมากสำหรับการสร้างแบบจำลองระบบที่ถูกต้อง เนื่องจากความเป็นเหตุเป็นผลเป็นผลมาจากพฤติกรรมทางกายภาพและการแลกเปลี่ยนพลังของระบบย่อยทั้งสอง ดังนั้นการเลือกตำแหน่งของเครื่องหมายเชิงสาเหตุจึงไม่สามารถกำหนดเองได้
รูปที่ 14- การกำหนดสาเหตุ
เส้นแนวตั้งนี้แสดงว่าระบบย่อยใดที่ได้รับแรง ( ความพยายาม) และเป็นผลให้เกิดกระแส ( ไหล- ในตัวอย่างที่มีมวลมันจะเป็นดังนี้:
รูปที่ 14- ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุสำหรับแรงที่กระทำต่อมวล
จากลูกศรจะชัดเจนว่าอินพุตสำหรับมวลคือ - ความแข็งแกร่งและผลลัพธ์ก็คือ ความเร็ว- ทำเช่นนี้เพื่อไม่ให้แผนภาพมีลูกศรยุ่งเหยิงและจัดระบบการก่อสร้างแบบจำลอง
ต่อไป จุดสำคัญ. แรงกระตุ้นทั่วไป(ปริมาณการเคลื่อนไหว) และ การย้าย(ตัวแปรพลังงาน).
ตารางตัวแปรกำลังและพลังงานในโดเมนต่างๆ
ตารางด้านบนจะแนะนำปริมาณทางกายภาพเพิ่มเติมอีกสองปริมาณที่ใช้ในวิธีกราฟบอนด์ พวกเขาถูกเรียกว่า แรงกระตุ้นทั่วไป (ร) และ การเคลื่อนไหวทั่วไป (ถาม) หรือตัวแปรพลังงาน และสามารถได้รับโดยการรวมตัวแปรกำลังในช่วงเวลาหนึ่ง:
รูปที่ 15- ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกำลังและพลังงาน
ในด้านไฟฟ้า :
ตามกฎของฟาราเดย์ แรงดันไฟฟ้าที่ปลายตัวนำจะเท่ากับอนุพันธ์ของฟลักซ์แม่เหล็กที่ผ่านตัวนำนี้
ก ความแข็งแกร่งในปัจจุบัน - ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนประจุ Q ที่ผ่านหน้าตัดของตัวนำในช่วงเวลาหนึ่ง t ต่อค่าของช่วงเวลานี้
โดเมนเครื่องกล:
จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน จะได้ ความแข็งแกร่ง– อนุพันธ์ของเวลาของแรงกระตุ้น
และด้วยเหตุนี้ ความเร็ว- อนุพันธ์ตามเวลาของการกระจัด:
มาสรุปกัน:
องค์ประกอบพื้นฐาน
องค์ประกอบทั้งหมดใน ระบบไดนามิกสามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบสองขั้วและสี่ขั้วลองพิจารณาดู ส่วนประกอบสองขั้ว:
แหล่งที่มา
มีทั้งที่มาของความพยายามและความลื่นไหล การเปรียบเทียบในโดเมนทางไฟฟ้า: แหล่งที่มาของความพยายาม – แหล่งจ่ายแรงดันไฟฟ้า, แหล่งสตรีม – แหล่งที่มาปัจจุบัน- สัญญาณสาเหตุแหล่งที่มาควรเป็นเช่นนี้เท่านั้น
รูปที่ 16- การเชื่อมต่อเชิงสาเหตุและการกำหนดแหล่งที่มา
ส่วนประกอบอาร์
– องค์ประกอบกระจาย 
องค์ประกอบที่ 1
– องค์ประกอบเฉื่อย 
องค์ประกอบ C
– องค์ประกอบตัวเก็บประจุ 
ดังจะเห็นได้จากรูป องค์ประกอบที่แตกต่างกันหนึ่ง พิมพ์ R,C,Iอธิบายด้วยสมการเดียวกัน ความจุไฟฟ้ามีความแตกต่างกันเท่านั้น คุณเพียงแค่ต้องจำไว้!
ส่วนประกอบสี่เท่า:
ลองดูองค์ประกอบสองอย่าง: หม้อแปลงไฟฟ้าและไจเรเตอร์
ล่าสุด ส่วนประกอบที่สำคัญในวิธีกราฟบอนด์ จะใช้การเชื่อมต่อ โหนดมีสองประเภท:
นั่นก็คือส่วนประกอบนั่นเอง
ขั้นตอนหลักในการสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจากสร้างกราฟบอนด์:
- ให้การเชื่อมต่อเชิงสาเหตุกับทุกคน แหล่งที่มา
- ตรวจดูโหนดทั้งหมดและวางความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหลังจุดที่ 1
- สำหรับ ส่วนประกอบ Iกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุอินพุต (ความพยายามรวมอยู่ในองค์ประกอบนี้) สำหรับ ส่วนประกอบ Cกำหนดสาเหตุของผลลัพธ์ (ความพยายามออกมาจากองค์ประกอบนี้)
- ทำซ้ำจุดที่ 2
- แทรกการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุสำหรับ ส่วนประกอบอาร์
ลองแก้ตัวอย่างสองสามตัวอย่าง เริ่มต้นด้วย วงจรไฟฟ้าเป็นการดีกว่าที่จะเข้าใจการเปรียบเทียบการสร้างกราฟพันธบัตร
ตัวอย่างที่ 1
มาเริ่มสร้างกราฟบอนด์ที่มีแหล่งจ่ายแรงดันกันดีกว่า แค่เขียน Se แล้วใส่ลูกศร
ดูสิทุกอย่างเรียบง่าย! ลองดูเพิ่มเติมว่า R และ L เชื่อมต่อกันเป็นอนุกรมซึ่งหมายความว่ากระแสเดียวกันจะไหลในนั้นถ้าเราพูดในตัวแปรกำลัง - การไหลเดียวกัน โหนดใดมีโฟลว์เหมือนกัน คำตอบที่ถูกต้องคือ 1 โหนด เราเชื่อมต่อแหล่งกำเนิดความต้านทาน (ส่วนประกอบ - R) และการเหนี่ยวนำ (ส่วนประกอบ - I) กับ 1 โหนด
ต่อไป เรามีความจุและความต้านทานแบบขนาน ซึ่งหมายความว่าพวกมันมีแรงดันไฟฟ้าหรือแรงเท่ากัน 0-node มีความเหมาะสมไม่เหมือนใคร เราเชื่อมต่อความจุ (ส่วนประกอบ C) และความต้านทาน (ส่วนประกอบ R) กับ 0-node
เรายังเชื่อมต่อโหนด 1 และ 0 เข้าด้วยกัน ทิศทางของลูกศรถูกเลือกโดยพลการ ทิศทางของการเชื่อมต่อจะมีผลกับเครื่องหมายในสมการเท่านั้น
คุณจะได้กราฟการเชื่อมต่อดังนี้:
ตอนนี้เราจำเป็นต้องสร้างความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ ทำตามคำแนะนำสำหรับลำดับตำแหน่ง เรามาเริ่มกันที่แหล่งที่มากันก่อน
- เรามีแหล่งกำเนิดแรงดันไฟฟ้า (ความพยายาม) แหล่งกำเนิดดังกล่าวมีตัวเลือกเชิงสาเหตุเพียงตัวเลือกเดียว - เอาต์พุต มาใส่กันเถอะ
- ต่อไปเป็นส่วนประกอบ I มาดูสิ่งที่พวกเขาแนะนำกันดีกว่า เราใส่
- เราวางมันลงสำหรับ 1 โหนด กิน
- โหนด 0 ต้องมีหนึ่งอินพุตและการเชื่อมต่อเชิงสาเหตุเอาต์พุตทั้งหมด ตอนนี้เรามีวันหยุดหนึ่งวัน เรากำลังมองหาส่วนประกอบ C หรือ I เราพบแล้ว เราใส่
- มาแสดงรายการสิ่งที่เหลืออยู่
แค่นั้นแหละ. มีการสร้างกราฟพันธบัตร ไชโยสหาย!
สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนสมการที่อธิบายระบบของเรา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้สร้างตารางที่มี 3 คอลัมน์ อันแรกจะประกอบด้วยส่วนประกอบทั้งหมดของระบบ ส่วนอันที่สองจะมีตัวแปรอินพุตสำหรับแต่ละองค์ประกอบ และอันที่สามจะมีตัวแปรเอาต์พุตสำหรับส่วนประกอบเดียวกัน เราได้กำหนดอินพุตและเอาต์พุตตามความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแล้ว ดังนั้นจึงไม่น่าจะมีปัญหาใดๆ
เรามากำหนดหมายเลขการเชื่อมต่อแต่ละครั้งเพื่อความสะดวกในการบันทึกระดับ เราใช้สมการสำหรับแต่ละองค์ประกอบจากรายการส่วนประกอบ C, R, I
เมื่อรวบรวมตารางแล้ว เรากำหนดตัวแปรสถานะ ในตัวอย่างนี้มี 2 ตัวคือ p3 และ q5 ต่อไปคุณต้องเขียนสมการสถานะ:
เพียงเท่านี้โมเดลก็พร้อมแล้ว
ตัวอย่างที่ 2 ฉันอยากจะขอโทษทันทีสำหรับคุณภาพของภาพถ่าย สิ่งสำคัญคือคุณสามารถอ่านได้
ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับ ระบบเครื่องกลแบบเดียวกับที่เราแก้ไขโดยใช้วิธีลากรองจ์ ฉันจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยไม่มีความคิดเห็น เรามาตรวจสอบว่าวิธีใดต่อไปนี้ง่ายกว่าและง่ายกว่า
ใน Matbala มีการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทั้งสองที่มีพารามิเตอร์เดียวกัน ซึ่งได้มาจากวิธี Lagrange และกราฟบอนด์ ผลลัพธ์อยู่ด้านล่าง: เพิ่มแท็ก
