หากอยู่ในปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมีเพียงสองตัวแปรเท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขแบบกราฟิกได้

พิจารณาปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวและ:
(1.1) ;
(1.2)
ที่นี่มีตัวเลขตามใจชอบ งานอาจเป็นได้ทั้งการค้นหาค่าสูงสุด (สูงสุด) หรือการค้นหาค่าต่ำสุด (นาที) ระบบข้อจำกัดอาจมีทั้งป้ายและป้าย

การสร้างขอบเขตของโซลูชันที่เป็นไปได้

วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหา (1) มีดังต่อไปนี้
ขั้นแรก เราวาดแกนพิกัดและเลือกมาตราส่วน อสมการแต่ละข้อของระบบข้อจำกัด (1.2) กำหนดครึ่งระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงที่สอดคล้องกัน

ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันประการแรก
(1.2.1)
กำหนดครึ่งระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง

ด้านหนึ่งของเส้นตรงนี้และอีกด้านหนึ่ง

บนเส้นตรงมาก

หากต้องการทราบว่าอสมการด้านใด (1.2.1) เราจะเลือกจุดใดก็ได้ที่ไม่อยู่บนเส้น ต่อไป เราแทนที่พิกัดของจุดนี้เป็น (1.2.1) หากความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ แสดงว่าครึ่งระนาบจะมีจุดที่เลือกไว้ หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เกิดขึ้น แสดงว่าฮาล์ฟเพลนจะอยู่อีกด้านหนึ่ง (ไม่มีจุดที่เลือก) แรเงาครึ่งระนาบซึ่งมีความไม่เท่าเทียมกัน (1.2.1) เก็บไว้
(2)
จากนั้นเลือกจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นเหล่านี้ แทนพิกัดของจุดนี้ลงในระบบอสมการ (1.2) ถ้าความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ ขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถูกจำกัดด้วยเส้นตรงที่สร้างขึ้นและรวมถึงจุดที่เลือกด้วย เราแรเงาขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ตามขอบเขตของเส้นเพื่อให้รวมจุดที่เลือกไว้ด้วย

หากไม่พอใจอย่างน้อยหนึ่งข้อ ให้เลือกจุดอื่น และต่อไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งพบจุดหนึ่งซึ่งพิกัดเป็นไปตามระบบ (1.2)

การหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ดังนั้นเราจึงมีขอบเขตสีเทาของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (ADA) มันถูกจำกัดด้วยเส้นประที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ และรังสีที่เป็นของเส้นตรงที่สร้างขึ้น (2) ODS จะเป็นเซตนูนเสมอ อาจเป็นเซตที่มีขอบเขตหรือไม่มีขอบเขตตามทิศทางใดทิศทางหนึ่งก็ได้

ตอนนี้เราสามารถหาปลายสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้แล้ว
(1.1) .

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เลือกตัวเลขใดก็ได้และสร้างเส้นตรง
(3) .
เพื่อความสะดวกในการนำเสนอต่อไป เราถือว่าเส้นตรงนี้ผ่าน ODR บนเส้นตรงนี้ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์คงที่และเท่าเทียมกัน
.
เส้นตรงดังกล่าวเรียกว่าเส้นระดับฟังก์ชัน
.
เส้นตรงนี้แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง บนเครื่องบินครึ่งลำ

บนอีกครึ่งระนาบ

นั่นคือด้านหนึ่งของเส้นตรง (3) ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะเพิ่มขึ้น และยิ่งเราย้ายจุดจากเส้นตรง (3) มากเท่าไร ค่าก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ลองพิจารณากรณีที่เส้นสุดขั้วขนานกับเส้นใดๆ ของรูปแบบ (3) ผ่านจุดยอดหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยม ODR จากกราฟเราจะกำหนดพิกัดของจุดยอดนี้ จากนั้นค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะถูกกำหนดโดยสูตร:
.
วิธีแก้ไขปัญหาก็คือ
.

อาจมีกรณีที่เส้นตรงขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของ ODR จากนั้นเส้นตรงจะลากผ่านจุดยอดสองจุดของรูปหลายเหลี่ยม ODR เรากำหนดพิกัดของจุดยอดเหล่านี้ ในการกำหนดค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ คุณสามารถใช้พิกัดของจุดยอดใดๆ เหล่านี้ได้:
.
ปัญหามีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วน วิธีแก้คือจุดใดๆ ที่อยู่ในส่วนที่อยู่ระหว่างจุด และ รวมถึงจุดและจุดนั้นด้วย

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีกราฟิก

สภาพปัญหา

บริษัทผลิตชุดเดรส 2 รุ่น A และ B ใช้ผ้า 3 แบบ ในการทำชุดรุ่น A หนึ่งชุด ต้องใช้ผ้าประเภทแรก 2 ม. ผ้าประเภทที่สอง 1 ม. ผ้าประเภทที่สาม 2 ม. ในการทำเดรสรุ่น B หนึ่งชุด ต้องใช้ผ้าประเภทแรก 3 ม. ผ้าประเภทที่สอง 1 ม. ผ้าประเภทที่สาม 2 ม. สต็อกผ้าประเภทแรกคือ 21 ม. ประเภทที่สอง - 10 ม. ประเภทที่สาม - 16 ม. การเปิดตัวผลิตภัณฑ์ประเภท A หนึ่งรายการสร้างรายได้ 400 เดน หน่วยหนึ่งผลิตภัณฑ์ประเภท B - 300 den หน่วย

จัดทำแผนการผลิตที่ช่วยให้บริษัทมีรายได้สูงสุด แก้ไขปัญหาแบบกราฟิก

สารละลาย

ให้ตัวแปรและแทนจำนวนชุดที่ผลิต รุ่น A และ B ตามลำดับ จากนั้นปริมาณผ้าประเภทแรกที่ใช้จะเป็น:
(ม.)
ปริมาณผ้าประเภทที่สองที่ใช้จะเป็น:
(ม.)
ปริมาณผ้าประเภทที่สามที่ใช้จะเป็น:
(ม.)
เนื่องจากจำนวนชุดที่ผลิตไม่สามารถติดลบได้
และ .
รายได้จากชุดที่ผลิตจะเป็น:
(จำนวนหน่วย)

แล้วเรื่องเศรษฐกิจ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์งานมีรูปแบบ:

เราแก้มันแบบกราฟิก
เราวาดแกนพิกัดและ .

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ที่ .
ที่ .
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 7) และ (10.5; 0)

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ที่ .
ที่ .
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 10) และ (10; 0)

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ที่ .
ที่ .
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 8) และ (8; 0)

เราแรเงาพื้นที่เพื่อให้จุด (2; 2) ตกลงไปในส่วนที่แรเงา เราได้ OABC รูปสี่เหลี่ยม

(A1.1) .
ที่ .
ที่ .
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 4) และ (3; 0)

เรายังสังเกตอีกว่าเนื่องจากสัมประสิทธิ์ของและของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นบวก (400 และ 300) ค่านี้จะเพิ่มขึ้นตามและเพิ่มขึ้น
.

เราวาดเส้นตรงขนานกับเส้นตรง (A1.1) ให้ไกลที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในทิศทางที่เพิ่มขึ้น และผ่านจุด OABC ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอย่างน้อยหนึ่งจุด เส้นดังกล่าวผ่านจุด C จากการก่อสร้างเราจะกำหนดพิกัดของมัน

วิธีแก้ไขปัญหา: ;

.
คำตอบ

นั่นคือเพื่อให้ได้รายได้สูงสุดจำเป็นต้องสร้างชุดโมเดล A จำนวน 8 ชุด รายได้จะอยู่ที่ 3200 เด็น หน่วย

สภาพปัญหา

ตัวอย่างที่ 2

สารละลาย

เราแก้มันแบบกราฟิก
เราวาดแกนพิกัดและ .

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ที่ .
ที่ .
แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 6) และ (6; 0)
ที่ .
ที่ .
จากที่นี่.

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ลากเส้นตรงผ่านจุด (3; 0) และ (7; 2)

เราสร้างเส้นตรง (แกน abscissa)

ขอบเขตของสารละลายที่ยอมรับได้ (ADA) ถูกจำกัดด้วยเส้นตรงที่สร้างขึ้น หากต้องการทราบว่าด้านใด เราสังเกตว่าจุดนั้นเป็นของ ODR เนื่องจากเป็นไปตามระบบอสมการ:

เราแรเงาพื้นที่ตามแนวขอบเขตของเส้นที่สร้างขึ้นเพื่อให้จุด (4; 1) ตกลงไปในส่วนที่แรเงา เราได้สามเหลี่ยม ABC
.
ที่ .
ที่ .
เราสร้างเส้นระดับของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ตามอำเภอใจเช่น
ลากเส้นระดับตรงผ่านจุด (0; 6) และ (4; 0)
.

เราวาดเส้นตรงขนานกับเส้นตรง (A1.1) ให้ไกลที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ในทิศทางที่เพิ่มขึ้น และผ่านจุด OABC ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอย่างน้อยหนึ่งจุด เส้นดังกล่าวผ่านจุด C จากการก่อสร้างเราจะกำหนดพิกัดของมัน

วิธีแก้ไขปัญหา: ;

เนื่องจากฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์เพิ่มขึ้นตามการเพิ่มขึ้น และ เราจึงวาดเส้นตรงขนานกับเส้นระดับและไกลที่สุดเท่าที่เป็นไปได้จากมันในทิศทางที่ เพิ่มขึ้น และผ่านจุดสามเหลี่ยม ABC อย่างน้อยหนึ่งจุด เส้นดังกล่าวผ่านจุด C จากการก่อสร้างเราจะกำหนดพิกัดของมัน

สภาพปัญหา

ตัวอย่างการไม่มีวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก ค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์
เราวาดแกนพิกัดและ .

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ที่ .
ที่ .
เราแก้ไขปัญหาแบบกราฟิก

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ที่ .
ที่ .
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 8) และ (2.667; 0)

เรากำลังสร้างเส้นตรง
ที่ .
ที่ .
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 3) และ (6; 0)

ลากเส้นตรงผ่านจุด (3; 0) และ (6; 3)

เส้นตรงคือแกนพิกัด

ขอบเขตของสารละลายที่ยอมรับได้ (ADA) ถูกจำกัดด้วยเส้นตรงและแกนพิกัดที่สร้างขึ้น หากต้องการทราบว่าด้านใด เราสังเกตว่าจุดนั้นเป็นของ ODR เนื่องจากเป็นไปตามระบบอสมการ:

เราแรเงาพื้นที่ตามแนวขอบเขตของเส้นที่สร้างขึ้นเพื่อให้จุด (4; 1) ตกลงไปในส่วนที่แรเงา เราได้สามเหลี่ยม ABC
เราแรเงาพื้นที่เพื่อให้จุด (3; 3) ตกลงไปในส่วนที่แรเงา เราได้พื้นที่ไม่จำกัดที่ล้อมรอบด้วยเส้นหัก ABCDE .
ที่ .
ที่ .
(A3.1)
ลากเส้นตรงผ่านจุด (0; 7) และ (7; 0)

ในการหาค่าสูงสุด คุณจะต้องวาดเส้นขนานซึ่งอยู่ห่างจากทิศทางที่เพิ่มขึ้นให้มากที่สุด และผ่านจุดหนึ่งของขอบเขต ABCDE อย่างน้อยหนึ่งจุด อย่างไรก็ตาม เนื่องจากพื้นที่นั้นไม่จำกัดในด้านของค่าขนาดใหญ่ของ และ จึงไม่สามารถวาดเส้นตรงดังกล่าวได้ ไม่ว่าเราจะลากเส้นไหนก็จะมีจุดในภูมิภาคที่ห่างไกลออกไปในทิศทางที่เพิ่มขึ้นและ .

ดังนั้นจึงไม่มีสูงสุด คุณสามารถทำให้มันใหญ่เท่าที่คุณต้องการ
.
เรากำลังมองหาขั้นต่ำ เราวาดเส้นตรงขนานกับเส้นตรง (A3.1) และไกลที่สุดเท่าที่เป็นไปได้จากเส้นนั้นในทิศทางที่ลดลง และผ่านจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดของขอบเขต ABCDE เส้นดังกล่าวผ่านจุด C จากการก่อสร้างเราจะกำหนดพิกัดของมันค่าต่ำสุด

วิธีแก้ไขปัญหา: ;

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์:ค่าสูงสุด
ไม่มีอยู่จริง
.

ค่าต่ำสุดวิธีการแบบกราฟิก เกี่ยวข้องกับเป็นหลักภาพเรขาคณิต การพึ่งพาการทำงานโดยใช้เส้นบนเครื่องบิน กราฟใช้เพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันอย่างรวดเร็วตามค่าที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์สำหรับการแสดงภาพ.
การพึ่งพาการทำงาน กราฟเกือบทุกประเภทถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์: แผนภูมิเปรียบเทียบ, แผนภูมิอนุกรมเวลา, เส้นโค้งการกระจาย, กราฟสนามสหสัมพันธ์, การทำแผนที่ทางสถิติ แผนภาพเปรียบเทียบมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ - สำหรับการเปรียบเทียบตัวบ่งชี้การรายงานกับตัวบ่งชี้ที่วางแผนไว้ ช่วงเวลาก่อนหน้า และองค์กรชั้นนำขององค์กรในประเทศหรือต่างประเทศ สำหรับการแสดงภาพพลวัตของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจ (และในการวิเคราะห์ด้วยอนุกรมเวลา
ต้องจัดการบ่อยมาก) มีการใช้แผนภาพอนุกรมเวลา
การใช้ตารางพิกัดกราฟของการพึ่งพาเช่นระดับต้นทุนต่อปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตและขายตลอดจนที่สร้างขึ้น กราฟที่คุณสามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวบ่งชี้ได้ ในระบบแกนพิกัด รูปภาพจะแสดงอิทธิพลของปัจจัยต่างๆ ที่มีต่อตัวบ่งชี้เฉพาะ

วิธีการแบบกราฟิกถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษากระบวนการผลิต โครงสร้างองค์กร กระบวนการการเขียนโปรแกรม ฯลฯ ตัวอย่างเช่น เพื่อวิเคราะห์ประสิทธิภาพของการใช้อุปกรณ์การผลิต กราฟการคำนวณจะถูกสร้างขึ้น รวมถึงกราฟของปัจจัยหลายประการ หมายเหตุ: แต่ละวงกลมถือเป็นจุดยอดหนึ่งของกราฟ หมายเลขในเซกเตอร์ส่วนบนของแต่ละจุดยอดหมายถึงหมายเลขซีเรียล รหัสงานจะถูกสร้างขึ้นตามจำนวนจุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกัน ตัวเลขในเซกเตอร์ด้านล่างของแต่ละจุดยอดคือจุดยอดก่อนหน้าและเส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดทั้งสองนี้หมายถึง งานบางอย่าง- ด้านล่างของเส้นคือระยะเวลาที่วางแผนไว้ของงานนี้ ตัวเลขในภาคด้านซ้ายของแต่ละจุดยอดหมายถึงระยะเวลารวมของงานก่อนหน้าทั้งหมด ตัวเลขในภาคด้านขวาแตกต่างจากตัวเลขด้านซ้ายด้วยปริมาณสำรอง (เวลาสำรอง) ดังนั้น สำหรับจุดยอดที่วางอยู่บนเส้นทางวิกฤต ตัวเลขในภาคซ้ายและขวาของจุดยอดจะตรงกัน เนื่องจากระยะขอบของเวลาคือ 0

ในระบบการวิเคราะห์ การวางแผน และการจัดการที่เป็นทางการทางคณิตศาสตร์ ไดอะแกรมเครือข่ายจะครอบครองสถานที่พิเศษ มีผลกระทบทางเศรษฐกิจอย่างมากในการก่อสร้างและติดตั้งโรงงานอุตสาหกรรมและสถานประกอบการอื่น ๆ
แผนภาพเครือข่าย (รูปที่ 6.1) ช่วยให้คุณสามารถระบุสิ่งที่สำคัญที่สุดจากงานที่ซับซ้อนทั้งหมดซึ่งอยู่บนเส้นทางวิกฤติและมุ่งความสนใจไปที่ทรัพยากรหลักขององค์กรก่อสร้างเพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่างองค์กรเฉพาะทางต่าง ๆ และประสานงานของพวกเขา งาน. กิจกรรมบนเส้นทางวิกฤติต้องใช้เวลารอนานที่สุดก่อนที่เหตุการณ์ถัดไปจะมาถึง บนเวที การวิเคราะห์การดำเนินงานและการจัดการ ตารางเครือข่ายทำให้สามารถติดตามความคืบหน้าของการก่อสร้างได้อย่างมีประสิทธิภาพและใช้มาตรการแก้ไขได้ทันท่วงที ความล่าช้าที่เป็นไปได้ที่ทำงาน
แอปพลิเคชัน ไดอะแกรมเครือข่ายการวิเคราะห์ การวางแผน และการจัดการ ดังตัวอย่างมากมายที่แสดงให้เห็น ลดเวลาในการก่อสร้างลง 20-30% เพิ่มผลิตภาพแรงงาน 15-20%
ในการวิเคราะห์ดำเนินการโดยตรงในสถานที่ก่อสร้าง การใช้วัสดุ การวางแผนเครือข่ายและฝ่ายบริหารมีส่วนช่วย คำจำกัดความที่ถูกต้องเหตุผลที่ส่งผลต่อความคืบหน้าของการก่อสร้างและการระบุองค์กรที่ไม่รับประกันว่างานที่ได้รับมอบหมายหรือการส่งมอบอุปกรณ์จะเสร็จสิ้นภายในระยะเวลาที่กำหนดตามกำหนดการ
การพัฒนาตารางเครือข่ายในการก่อสร้างดำเนินการภายใต้: มาตรฐานสำหรับระยะเวลาของการก่อสร้างและระยะเวลาการว่าจ้างของวัตถุหรือวัตถุที่ซับซ้อน, เอกสารการออกแบบและประมาณการ, โครงการสำหรับจัดการก่อสร้างและการผลิตงาน, มาตรฐาน แผนที่เทคโนโลยีมาตรฐานปัจจุบันด้านต้นทุนค่าแรง วัสดุ และการทำงานของเครื่องจักร นอกจากนี้ เมื่อจัดทำกำหนดการ จะใช้ประสบการณ์ในการดำเนินการ ผลงานแต่ละชิ้นตลอดจนข้อมูลเกี่ยวกับฐานการผลิตขององค์กรก่อสร้างและติดตั้ง
จากข้อมูลทั้งหมดนี้ ตารางงานและทรัพยากรจะถูกรวบรวม โดยในลำดับทางเทคโนโลยีของการผลิตงาน ลักษณะ ปริมาณ ความเข้มข้นของแรงงานในวันคน นักแสดง (องค์กรและทีม) จำนวนคนงาน กะ ความต้องการ กลไกและวัสดุ ระบุแหล่งที่มาของการจัดหา ระยะเวลารวมของงานเป็นวันตลอดจนงานก่อนหน้าหลังจากนั้นคุณสามารถเริ่มต้นได้ งานนี้- ตามตัวบ่งชี้ของตารางดังกล่าวจะมีการจัดเตรียมไดอะแกรมเครือข่ายซึ่งสามารถมีระดับรายละเอียดที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับรูปแบบการผลิตที่นำมาใช้
การจัดการงานและระดับการจัดการ ยกเว้น กำหนดการทั่วไปนักแสดงจะจัดตารางเวลาสำหรับงานที่พวกเขาแสดง
องค์ประกอบหลักของไดอะแกรมเครือข่าย: เหตุการณ์ งาน การรอ การพึ่งพา
เมื่อวิเคราะห์ความคืบหน้าของการก่อสร้างวัตถุ ควรกำหนดว่ากำหนดการเครือข่ายได้รับการวาดอย่างถูกต้องหรือไม่ ไม่ว่าเส้นทางวิกฤตจะไม่ได้รับการประเมินสูงเกินไป ไม่ว่าจะคำนึงถึงความเป็นไปได้ทั้งหมดในการลดตารางเวลาหรือไม่ เมื่อปรับกำหนดการให้เหมาะสมหรือไม่ งานใด ๆ ที่สามารถดำเนินการแบบคู่ขนานหรือเวลาที่ใช้ในงานสามารถลดลงได้โดยการเพิ่มเครื่องมือเครื่องจักร ฯลฯ สิ่งนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในกรณีที่ระยะเวลาของงานตามกำหนดเวลาไม่รับประกันว่าการก่อสร้างจะเสร็จสิ้นตรงเวลา
เนื้อหาหลักในการวางแผนเครือข่ายที่ใช้ในการวิเคราะห์คือข้อมูลเกี่ยวกับความคืบหน้าของงานตามกำหนดเวลาซึ่งโดยปกติจะจัดทำขึ้นอย่างน้อยทศวรรษละครั้ง ตัวอย่างเช่นจะได้รับแผนที่ของงานและข้อมูลเกี่ยวกับความคืบหน้าของงานในโครงการก่อสร้างที่ดำเนินการตามตารางเครือข่าย (ตารางที่ 6.1) ตามแผนที่ งานสำคัญได้ดำเนินการเมื่อต้นเดือนก่อนกำหนด แต่จากนั้นการติดตั้งคานเครนตามแถว B ก็ปล่อยให้ล่าช้าและงานต่อมา - การติดตั้งคานเครนตามแถว A - เสร็จสมบูรณ์ ช้ากว่ากำหนดหนึ่งวัน
การเพิ่มประสิทธิภาพตารางเวลาเครือข่ายจะดำเนินการในขั้นตอนการวางแผนโดยการลดเส้นทางที่สำคัญ เช่น ลดเวลาของงานก่อสร้างให้เหลือน้อยที่สุดในระดับทรัพยากรที่กำหนด ลดระดับการใช้วัสดุ แรงงาน และทรัพยากรทางการเงินให้เหลือน้อยที่สุดตามกำหนดเวลาที่แน่นอนสำหรับงานก่อสร้างให้เสร็จสิ้น วิธีการแบบผสมผสานก็เป็นไปได้เช่นกัน: สำหรับส่วนหนึ่งของงาน (แพงกว่า) - เพื่อลดระดับการใช้ทรัพยากรให้เหลือน้อยที่สุดโดยมีกำหนดเวลาตายตัวในการทำงานให้เสร็จ ส่วนอีกส่วนหนึ่ง - เพื่อลดกำหนดเวลาสำหรับทรัพยากรในระดับคงที่
การแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมได้รับการอำนวยความสะดวกอย่างมากจากความพร้อมใช้งานของแพ็คเกจ แอพพลิเคชั่น(PPP) ดัดแปลงเพื่อรวบรวมไดอะแกรมเครือข่ายที่เหมาะสมที่สุดบนคอมพิวเตอร์
ในการปฏิบัติของต่างประเทศ การวิเคราะห์ระบบวิธีกราฟโฟ-คณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "แผนผังการตัดสินใจ" ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย สาระสำคัญของวิธีนี้มีดังนี้
โดย การประเมินเบื้องต้นความต้องการ การวิเคราะห์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ขององค์กร เทคนิค หรือ เงื่อนไขทางเทคโนโลยีมีการสรุปตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหานี้ ได้รับการพัฒนาครั้งแรก

	ออกกำลังกาย					ข้อมูล				สำรองเวลาทำงาน		ตัวเลข คุณ
ชื่อ ทำงาน	การเข้ารหัส	วันที่ เริ่ม	วันที่ หลังจากเสร็จสิ้น	วางแผนไว้ อย่างต่อเนื่อง	อีกครั้ง จอง เวลา	% เหล่านั้น-	เวลาที่ต้องการสำหรับ	ที่ อันดับ	วันที่จริง	การค้นหา ปัจจุบัน	ไม่ได้ตั้งอยู่	จองเวลาด้วย
	ทำงาน	ทำงาน (วางแผน)	เนีย ทำงาน (วางแผน)	ผู้อยู่อาศัย เนส, วัน	ฉัน	ว้าว พร้อม เนส	หลังจากเสร็จสิ้น เนีย ทำงาน วัน	ซาเดอร์ ผู้หญิง	หลังจากเสร็จสิ้น เนีย ทำงาน	บนเส้นทางวิกฤติ	aa เส้นทางวิกฤติ	ต้นเดือน, วัน
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
การพัฒนาดิน	1-2	1/IV	6/IV	5	0	100	-	-	6/IV	¦-	-	-
การเทฐานรากสำหรับหม้อไอน้ำ	2-3	7/IV	17/1V	9	0	100	14/IV	2	2
การเทคอนกรีตฐานรากตามแถว A	2-4	7/IV	14/1V	7	2	100	14/IV
เช่นเดียวกับแถว B	2-5	7/IV	14/IV	7	2	100	-	-	14/IV
อุปกรณ์กระจายท่อ	6-18	18/IV	21/IV	4	19	100	-	-	29/IV	-7
อุปกรณ์ทดแทน	6-7	18/IV	19/IV	2	0	100	17/IV	2	2
การติดตั้งโครงสร้างคอนกรีตสำเร็จรูป
ลอน: ตามแถวบี	7-8	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	_	-	-
ตามแถว A	7-9	20/IV	22/IV	3	1	100	-	-	22/IV	-	-	-

ก่อสร้างรางเครนและติดตั้งทาวเวอร์เครน 7-10
การติดตั้งโครงรองรับบนฐานสำหรับอุปกรณ์ 7-16 การติดตั้งคานเครน:
ตามแถว B 8-11
20/IV 24/IV 4
20/IV 24/IV 4
24/IV 25/IV 2

ตามแนว A 10-12 25/IV 26/IV
การติดตั้งคานส่วนแรกและแผ่นปิด 12-13 27/IV 4/V
งานติดตั้งรางเครนสำหรับสะพาน lt;3 เครน 12-14 27/IV 3/V

6	7	8	9	10	11	12	13
0	100	-	-	22/IV	1	-	1
14	100.	-	-	29/IV	-	-5	-
1	100	สำหรับ-	27/IV	-2

27/IV -1
สนับสนุนการจัดหาโครงสร้างคอนกรีตเสริมเหล็ก

1. 100 -

ตัวเลือกที่ขยายใหญ่ขึ้น จากนั้นตามที่คุณแนะนำ เงื่อนไขเพิ่มเติมแต่ละรายการแบ่งออกเป็นหลายตัวเลือก การแสดงกราฟิกตัวเลือกเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถแยกตัวเลือกที่ทำกำไรได้น้อยกว่าและเลือกตัวเลือกที่ยอมรับได้มากที่สุด
วิธีการนี้สามารถใช้ในการกำหนดลำดับการประมวลผลของชิ้นส่วนบางส่วนบนเครื่องจักรหลายเครื่อง เพื่อลดเวลาการประมวลผลทั้งหมดให้เหลือน้อยที่สุด เมื่อกำหนดขนาดของทรัพยากรเพื่อลดต้นทุนการผลิตโดยรวม เมื่อกระจายการลงทุนและทรัพยากรอื่น ๆ ไปทั่ว สิ่งอำนวยความสะดวกทางอุตสาหกรรม- เมื่อแก้ไขปัญหาการขนส่งและปัญหาอื่น ๆ

วิธีการแบบกราฟิกนั้นค่อนข้างง่ายและใช้งานง่ายสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว มันขึ้นอยู่กับ เรขาคณิตการนำเสนอแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้และ TFs ของปัญหา

ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละประการของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (1.2) กำหนดครึ่งระนาบที่แน่นอนบนระนาบพิกัด (รูปที่ 2.1) และระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยรวมจะกำหนดจุดตัดของระนาบที่สอดคล้องกัน เซตของจุดตัดกันของระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้เรียกว่า พื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้(โอดีอาร์) ODR เป็นตัวแทนเสมอ นูนรูปเช่น มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: หากจุด A และ B สองจุดอยู่ในรูปนี้แสดงว่าส่วน AB ทั้งหมดเป็นของมัน ODR สามารถแสดงเป็นกราฟิกด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูน พื้นที่โพลิกอนนูนไม่จำกัด ส่วน รังสี หรือจุดเดียว หากระบบข้อจำกัดในปัญหา (1.2) ไม่สอดคล้องกัน ODS จะเป็นเซตว่าง

ทั้งหมดข้างต้นยังใช้กับกรณีที่ระบบข้อจำกัด (1.2) มีความเท่าเทียมกัน เนื่องจากความเท่าเทียมกันใดๆ

สามารถแสดงเป็นระบบของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองได้ (ดูรูปที่ 2.1)

ตัวกรองดิจิทัลที่มีค่าคงที่จะกำหนดเส้นตรงบนระนาบ โดยการเปลี่ยนค่าของ L เราจะได้ตระกูลเส้นคู่ขนานที่เรียกว่า เส้นระดับ.

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการเปลี่ยนแปลงค่า L จะนำมาซึ่งการเปลี่ยนแปลงเฉพาะในความยาวของส่วนที่ถูกตัดออกโดยเส้นระดับบนแกน (กำหนดเริ่มต้น) และค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงจะยังคงที่ (ดู มะเดื่อ 2.1) ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหามันจะเพียงพอที่จะสร้างเส้นระดับหนึ่งเส้นโดยเลือกค่าของ L โดยพลการ

เวกเตอร์ที่มีพิกัดจากค่าสัมประสิทธิ์ CF ที่ และ ตั้งฉากกับเส้นระดับแต่ละเส้น (ดูรูปที่ 2.1) ทิศทางของเวกเตอร์เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทาง เพิ่มขึ้นซีเอฟ ซึ่งก็คือ จุดสำคัญเพื่อแก้ไขปัญหา ทิศทาง จากมากไปน้อย CF อยู่ตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์

สาระสำคัญของวิธีกราฟิกมีดังนี้ ในทิศทาง (ตรงข้าม) ของเวกเตอร์ใน ODR จุดที่เหมาะสมที่สุดจะถูกค้นหา จุดที่เหมาะสมที่สุดคือจุดที่เส้นระดับผ่าน ซึ่งสอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน วิธีแก้ไขที่ดีที่สุดจะอยู่ที่ขอบเขตของ ODD เสมอ เช่น ที่จุดยอดสุดท้ายของรูปหลายเหลี่ยม ODD ที่เส้นเป้าหมายจะผ่านไป หรือที่ด้านข้างทั้งหมด

เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น ก็เป็นไปได้ สถานการณ์ต่อไปนี้: มีวิธีแก้ไขปัญหาที่ไม่เหมือนใคร มีวิธีการแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ (ทางเลือก); TF ไม่จำกัด; ขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้คือจุดเดียว ปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

รูปที่ 2.1 การตีความทางเรขาคณิตของข้อจำกัดและ CF ของปัญหา

ระเบียบวิธีในการแก้ปัญหา LP โดยใช้วิธีกราฟิก

I. ในข้อจำกัดของปัญหา (1.2) ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันทุกประการ และสร้างเส้นตรงที่สอดคล้องกัน

ครั้งที่สอง ค้นหาและแรเงาครึ่งระนาบที่อนุญาตโดยข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันของปัญหา (1.2) ในการดำเนินการนี้ คุณต้องแทนที่พิกัดของจุด [เช่น (0;0)] ลงในความไม่เท่าเทียมกันเฉพาะ และตรวจสอบความจริงของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น

ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

ที่จำเป็นต้องแรเงาครึ่งระนาบที่มีจุดนี้

มิฉะนั้น(ความไม่เท่าเทียมกันเป็นเท็จ) เราต้องแรเงาครึ่งระนาบที่ไม่มีจุดที่กำหนด

เนื่องจาก และ ต้องไม่เป็นลบ ดังนั้นพวกเขา ค่าที่ถูกต้องจะอยู่เหนือแกนและไปทางขวาของแกนเสมอเช่น ในจตุภาคแรก

ข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกันอนุญาตเฉพาะจุดที่อยู่ในเส้นตรงเท่านั้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเน้นเส้นตรงดังกล่าวบนกราฟ

III. กำหนด ODR ให้เป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่เป็นของพื้นที่ที่ได้รับอนุญาตทั้งหมดพร้อมกัน และเลือก ในกรณีที่ไม่มี ODD ปัญหาก็ไม่มีทางแก้ไข

IV. หาก ODR ไม่ใช่เซตว่าง คุณจะต้องสร้างเส้นเป้าหมาย เช่น เส้นระดับใดๆ (โดยที่ L คือ หมายเลขใดก็ได้ตัวอย่างเช่น ผลคูณของ และ เช่น สะดวกในการคำนวณ) วิธีการก่อสร้างจะคล้ายกับการสร้างข้อจำกัดโดยตรง

V. สร้างเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุด (0;0) และสิ้นสุดที่จุด หากเส้นเป้าหมายและเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง ก็จะเป็นเช่นนั้น ตั้งฉาก.

วี. เมื่อค้นหา CF สูงสุด คุณจะต้องย้ายเส้นเป้าหมาย ในทิศทางเวกเตอร์เมื่อค้นหา CF ขั้นต่ำ - ต่อต้านทิศทางเวกเตอร์ จุดบนสุดของ ODR ในทิศทางการเคลื่อนที่จะเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของ CF หากไม่มีประเด็นดังกล่าว เราก็สามารถสรุปได้ว่า TF ไม่ จำกัด ในหลาย ๆ แผนจากด้านบน (เมื่อค้นหาสูงสุด) หรือจากด้านล่าง (เมื่อค้นหาขั้นต่ำ)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว กำหนดพิกัดของจุดสูงสุด (นาที) ของตัวกรองดิจิทัล และคำนวณค่าของตัวกรองดิจิทัล ในการคำนวณพิกัดของจุดที่เหมาะสมที่สุดจำเป็นต้องแก้ระบบสมการของเส้นตรงจุดตัดที่จุดนั้นตั้งอยู่

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เครื่องคิดเลขออนไลน์ที่ออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น วิธีเริมโดยไปที่ เคแซดแอลพีและ สซล- ในกรณีนี้ ปัญหาในการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะลดลงเหลือเพียงปัญหาในการหาค่าสูงสุดผ่านการแปลงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ F*(X) = -F(X) นอกจากนี้ยังสามารถสร้างปัญหาสองประการได้

การแก้ปัญหาเกิดขึ้นในสามขั้นตอน:

1. เปลี่ยนไปใช้ KZLP LLP ใด ๆ ของรูปแบบ ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b (F(X) → extr) ลดลงเป็นรูปแบบ ax = b , F(X) → max ;
2. การเปลี่ยนไปใช้ SZLP A CLLP ของรูปแบบ ax = b ลดลงเป็นรูปแบบ ax ≤ b , F(X) → max ;
3. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์

คำแนะนำ. เลือกจำนวนตัวแปรและจำนวนแถว (จำนวนข้อจำกัด) ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word

จำนวนตัวแปร 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จำนวนแถว (จำนวนข้อจำกัด) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

การเปลี่ยนจากปัญหาการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไปสู่ปัญหาการขยายใหญ่สุด

ปัญหาในการลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ F(X) ให้เหลือน้อยที่สุดสามารถลดให้เหลือเพียงปัญหาในการขยายฟังก์ชัน F*(X) ให้ใหญ่สุดได้อย่างง่ายดายภายใต้ข้อจำกัดเดียวกันโดยการแนะนำฟังก์ชัน: F*(X) = -F(X) ปัญหาทั้งสองมีวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน X* และในเวลาเดียวกัน min(F(X)) = -max(F*(X))
เรามาอธิบายข้อเท็จจริงนี้กันแบบกราฟิก:

F(x) → นาที

F(x) → สูงสุด

เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันเป้าหมาย เราใช้แนวคิดและวิธีการต่อไปนี้
แผนพื้นฐาน– แผนที่กำหนดผ่านตัวแปรพื้นฐานฟรี
แผนพื้นฐาน– แผนอ้างอิงที่มีตัวแปรพื้นฐานเป็นศูนย์
แผนที่เหมาะสมที่สุด– แผนพื้นฐานที่ตอบสนองความต้องการ ฟังก์ชั่นที่เหมาะสมที่สุดเป้าหมาย (เอฟซี)

องค์ประกอบชั้นนำ (การแก้ไข)คือค่าสัมประสิทธิ์ของค่าไม่ทราบอิสระ ซึ่งกลายเป็นค่าพื้นฐาน และค่าสัมประสิทธิ์เองก็ถูกแปลงเป็นเอกภาพ
เส้นไกด์– เส้นขององค์ประกอบนำหน้า ซึ่งไม่ทราบพื้นฐานอยู่ที่ค่าสัมประสิทธิ์หน่วย ซึ่งไม่รวมอยู่ในระหว่างการแปลง (สอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ขีดจำกัดต่ำสุด ดูด้านล่าง)
คอลัมน์แนะนำ– คอลัมน์ขององค์ประกอบนำหน้า ซึ่งไม่ทราบค่าว่างซึ่งจะถูกแปลงเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน (คอลัมน์ที่มี ผลประโยชน์สูงสุด, ดูด้านล่าง)

ตัวแปร x 1, …, x m รวมอยู่กับสัมประสิทธิ์เอกภาพในสมการเดียวของระบบเท่านั้น และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ เรียกว่า ขั้นพื้นฐานหรือ ขึ้นอยู่กับ- ในระบบ Canonical แต่ละสมการจะสอดคล้องกับตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวเท่านั้น การเปลี่ยนแปลงดำเนินการโดยใช้วิธีเกาส์-จอร์แดน แนวคิดหลักของวิธีนี้คือการลดระบบสมการ m โดยที่ไม่ทราบค่า รูปแบบบัญญัติด้วยความช่วยเหลือ การดำเนินงานเบื้องต้นเหนือเส้น
พักผ่อน ตัวแปรนาโนเมตร(x m +1 ,…, xn) ถูกเรียก ไม่ใช่พื้นฐานหรือ ตัวแปรอิสระ.

วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานเรียกว่า วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้หากค่าของตัวแปรพื้นฐานรวมอยู่ในนั้น x j ≥0 ซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ b j ≥0
วิธีแก้ไขพื้นฐานที่เป็นไปได้คือ จุดมุมเซต S ที่ยอมรับได้ของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น และบางครั้งเรียกว่า แผนอ้างอิง.
ถ้าในบรรดาตัวเลขที่ไม่เป็นลบ b j มี เท่ากับศูนย์จากนั้นจึงเรียกวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้ เสื่อมโทรม(จุดมุมเสื่อม) และเรียกว่าปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน เสื่อมโทรม.

ตัวอย่างหมายเลข 1 ลดปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นให้เป็น ZLP มาตรฐาน
F(X) = x 1 + 2x 2 - 2x 3 → นาที โดยมีข้อจำกัด:
4x 1 + 3x 2 - x 3 ≤10
- 2x 2 + 5x 3 ≥3
x 1 + 2x 3 =9
เพื่อนำ ปปส. ไป รูปแบบบัญญัติจำเป็น:
1. เปลี่ยนเครื่องหมายของฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ ขอให้เราลดปัญหา F(X) → นาที ให้กับปัญหา F(X) → สูงสุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณ F(X) ด้วย (-1) ในความไม่เท่าเทียมกันประการแรกของความหมาย (≤) เราจะแนะนำตัวแปรพื้นฐาน x 4 ; ในความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองของความหมาย (≥) เราจะแนะนำตัวแปรพื้นฐาน x 5 ด้วยเครื่องหมายลบ
4x 1 + 3x 2 -1x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 10
0x 1 -2x 2 + 5x 3 + 0x 4 -1x 5 = 3
1x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 9
ฉ(X) = - x 1 - 2x 2 + 2x 3
การเปลี่ยนไปใช้ SZLP.
เมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบข้อจำกัดความเท่าเทียมกันสำหรับปัญหานี้:

4	3	-1	1	0	10
0	-2	5	0	-1	3
1	0	2	0	0	9

ให้เราลดระบบให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยใช้วิธีการแปลงแบบจอร์แดน
1. คุณสามารถเลือก x 4 เป็นตัวแปรฐานได้
2. เราเลือก x 2 เป็นตัวแปรฐาน
องค์ประกอบความละเอียด RE=-2 เส้นที่สอดคล้องกับตัวแปร x 2 ได้มาจากการแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของเส้น x 2 ด้วยองค์ประกอบการแก้ปัญหา RE = -2 แทนที่องค์ประกอบการแก้ไขเราได้รับ 1 ในเซลล์ที่เหลือของคอลัมน์ x 2 เราเขียนศูนย์ องค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดถูกกำหนดโดยกฎสี่เหลี่ยม นำเสนอการคำนวณแต่ละองค์ประกอบในรูปแบบของตาราง:

4-(0 3):-2	3-(-2 3):-2	-1-(5 3):-2	1-(0 3):-2	0-(-1 3):-2	10-(3 3):-2
0: -2	-2: -2	5: -2	0: -2	-1: -2	3: -2
1-(0 0):-2	0-(-2 0):-2	2-(5 0):-2	0-(0 0):-2	0-(-1 0):-2	9-(3 0):-2

เราได้รับ เมทริกซ์ใหม่:

4	0	6 1 / 2	1	-1 1 / 2	14 1 / 2
0	1	-2 1 / 2	0	1 / 2	-1 1 / 2
1	0	2	0	0	9

3. เราเลือก x 3 เป็นตัวแปรฐาน
องค์ประกอบความละเอียด RE=2 เส้นที่สอดคล้องกับตัวแปร x 3 ได้มาจากการแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของเส้น x 3 ด้วยองค์ประกอบการแก้ปัญหา RE=2 แทนที่องค์ประกอบการแก้ไขเราได้รับ 1 ในเซลล์ที่เหลือของคอลัมน์ x 3 เราเขียนศูนย์ องค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดถูกกำหนดโดยกฎสี่เหลี่ยม นำเสนอการคำนวณแต่ละองค์ประกอบในรูปแบบของตาราง:

4-(1 6 1 / 2):2	0-(0 6 1 / 2):2	6 1 / 2 -(2 6 1 / 2):2	1-(0 6 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(0 6 1 / 2):2	14 1 / 2 -(9 6 1 / 2):2
0-(1 -2 1 / 2):2	1-(0 -2 1 / 2):2	-2 1 / 2 -(2 -2 1 / 2):2	0-(0 -2 1 / 2):2	1 / 2 -(0 -2 1 / 2):2	-1 1 / 2 -(9 -2 1 / 2):2
1: 2	0: 2	2: 2	0: 2	0: 2	9: 2

เราได้รับเมทริกซ์ใหม่:

3 / 4	0	0	1	-1 1 / 2	-14 3 / 4
1 1 / 4	1	0	0	1 / 2	9 3 / 4
1 / 2	0	1	0	0	4 1 / 2

เนื่องจากระบบมีเมทริกซ์เอกลักษณ์ เราจึงใช้ X = (4,2,3) เป็นตัวแปรพื้นฐาน
สมการที่เกี่ยวข้องคือ:
3/4 x 1 + x 4 - 1 1/2 x 5 = -14 3/4
1 1/4 x 1 + x 2 + 1/2 x 5 = 9 3/4
1/2 x 1 + x 3 = 4 1/2
เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของส่วนที่เหลือกันดีกว่า:
x 4 = - 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4
x 2 = - 1 1/4 x 1 - 1/2 x 5 +9 3/4
x 3 = - 1/2 x 1 +4 1/2
ลองแทนที่พวกมันลงในฟังก์ชันเป้าหมาย:
F(X) = - x 1 - 2(- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4) + 2(- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2)
หรือ

ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:
- 3/4x1 + 1 1/2x5 -14 3/4 ≥ 0
- 1 1/4 x 1 - 1/2 x 5 +9 3/4 ≥ 0
- 1/2 x 1 +4 1/2 ≥ 0
เราลดระบบความไม่เท่าเทียมลง มุมมองถัดไป:
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 5 ≤ -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + 1/2 x 5 ≤ 9 3/4
1/2 x 1 ≤ 4 1/2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 5 -10 1 / 2 → สูงสุด
มาทำให้ระบบง่ายขึ้น
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 2 ≤ -14 3 / 4
1 1/4 x 1 + 1/2 x 2 ≤ 9 3/4
1/2 x 1 ≤ 4 1/2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 2 -10 1 / 2 → สูงสุด

ตัวอย่างหมายเลข 2 ขั้นแรก ค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้วิธีกราฟิก จากนั้นจึงใช้วิธีซิมเพล็กซ์
F(X) = x 1 + x 2 - x 3 + x 5 +15 → สูงสุด (ต่ำสุด) โดยมีข้อจำกัด:
-3x 1 + x 2 + x 3 =3
4x 1 + 2x 2 - x 4 =12
2x 1 - x 2 + x 5 =2
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0

ทฤษฎีสั้น ๆ

การโปรแกรมเชิงเส้นเป็นสาขาหนึ่งของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการพัฒนาวิธีการหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรหลายตัวสำหรับเชิงเส้น ข้อ จำกัด เพิ่มเติมกำหนดให้กับตัวแปร ตามประเภทของปัญหาที่แก้ไขวิธีการของเขาแบ่งออกเป็นสากลและพิเศษ โดยการใช้ วิธีการสากลปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LPP) สามารถแก้ไขได้ วิธีการพิเศษคำนึงถึงคุณลักษณะของแบบจำลองปัญหา หน้าที่วัตถุประสงค์ และระบบข้อจำกัด คุณลักษณะหนึ่งของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นคือฟังก์ชันวัตถุประสงค์ไปถึงจุดสุดขีดที่ขอบเขตของขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้

วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทำให้สามารถเห็นภาพโครงสร้าง ระบุคุณลักษณะ และเปิดช่องทางในการศึกษาคุณสมบัติที่ซับซ้อนมากขึ้น ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวสามารถแก้ไขได้แบบกราฟิกเสมอ อย่างไรก็ตาม ในพื้นที่สามมิติแล้ว วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวมีความซับซ้อนมากขึ้น และในพื้นที่ที่มีมิติมากกว่าสามมิติ โดยทั่วไปแล้ววิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกนั้นเป็นไปไม่ได้ กรณีของตัวแปรสองตัวไม่มีอะไรพิเศษ ความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างไรก็ตามการพิจารณาจะชี้แจงคุณสมบัติของข้อ จำกัด ของ LLP นำไปสู่แนวคิดในการแก้ปัญหาทำให้วิธีการแก้ปัญหาและวิธีการนำไปใช้งานมีความชัดเจนทางเรขาคณิต

หากข้อจำกัดและฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีตัวแปรมากกว่าสองตัว แสดงว่าจำเป็น (หรือโดยวิธีการปรับปรุงการแก้ปัญหาตามลำดับ) เป็นสากลและสามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาใด ๆ สำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่ประยุกต์ใช้บางปัญหา เช่น ได้มีการพัฒนาวิธีการแก้ปัญหาแบบพิเศษ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

สภาพปัญหา

บริษัทผลิตผลิตภัณฑ์สองประเภท: ผลิตภัณฑ์ 1 และผลิตภัณฑ์ 2 ในการผลิตหน่วยผลิตภัณฑ์ 1 ต้องใช้วัตถุดิบเป็นกิโลกรัม ประเภทแรก, กิโลกรัมของวัตถุดิบประเภทที่สอง, กิโลกรัมของวัตถุดิบประเภทที่สาม ในการผลิตหน่วยของผลิตภัณฑ์ 2 จำเป็นต้องใช้กิโลกรัมของประเภทแรก วัตถุดิบของประเภทที่สอง และวัตถุดิบของประเภทที่สาม การผลิตมีการจัดหาวัตถุดิบแต่ละประเภทในปริมาณ กิโลกรัม กิโลกรัม กิโลกรัม ตามลำดับ ราคาตลาดของหน่วยของผลิตภัณฑ์ 1 คือพันรูเบิล และหน่วยของผลิตภัณฑ์ 2 คือพันรูเบิล

ที่จำเป็น:

• สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา
• จัดทำแผนการผลิตสำหรับผลิตภัณฑ์ที่รับประกันรายได้สูงสุดจากการขายโดยใช้วิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

เพื่อให้แน่ใจว่าการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นนั้นแม่นยำและถูกต้องที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มีการสั่งซื้อจำนวนมากในราคาไม่แพง ทดสอบงานบนเว็บไซต์นี้ รายละเอียด (วิธีการส่งคำขอ ราคา กำหนดเวลา วิธีการชำระเงิน) สามารถอ่านได้ที่หน้า ซื้อกระดาษทดสอบเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น...

การแก้ปัญหา

การสร้างแบบจำลอง

อนุญาตและแสดงจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตในประเภทที่ 1 และ 2

จากนั้นข้อ จำกัด ของทรัพยากร:

นอกจากนี้ตามความหมายของงาน

ฟังก์ชันเป้าหมายของแบบจำลองเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ซึ่งแสดงรายได้ที่ได้รับจากการขาย:

เราได้รับแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้:

การสร้างขอบเขตของโซลูชันที่เป็นไปได้

มาแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่เกิดขึ้นกัน แบบกราฟิก:

ในการสร้างขอบเขตการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ เราสร้างเส้นขอบเขตที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ในระบบพิกัด:

มาหาจุดที่เส้นผ่านกัน:

วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของระบบข้อจำกัด ZLP คือระนาบครึ่งระนาบที่มีเส้นแบ่งเขตและตั้งอยู่ด้านใดด้านหนึ่ง

ในการกำหนดครึ่งระนาบ ให้ใช้จุดใดก็ได้ เช่น ซึ่งไม่อยู่ในเส้นตรง (1) และแทนที่พิกัด (0;0) ลงในอสมการที่สอดคล้องกัน เพราะ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง:

ขอบเขตการแก้ปัญหาของอสมการที่ 1 สอดคล้องกันกับครึ่งระนาบด้านซ้าย

ลองพิจารณาจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้น (2) และแทนที่พิกัด (0;0) ลงในอสมการที่สอดคล้องกัน เพราะ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง:

ลองพิจารณาจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้น (3) และแทนที่พิกัด (0;0) ลงในอสมการที่สอดคล้องกัน เพราะ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง:

ขอบเขตการแก้ปัญหาของอสมการที่ 2 สอดคล้องกันกับครึ่งระนาบด้านซ้าย

ขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้คือตัวเลข

การค้นหาวิธีแก้ไขปัญหา LP

เราสร้างเวกเตอร์ซึ่งมีพิกัดเป็นสัดส่วนกับสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ นี่คือค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน

วาดเส้นระดับตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่สร้างขึ้น

เราย้ายเส้นระดับไปในทิศทางของเวกเตอร์เพื่อให้สัมผัสกับพื้นที่ของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่จุดสูงสุด วิธีแก้ค่าสูงสุดคือจุด ซึ่งพิกัดที่พบเป็นจุดตัดกันของเส้น (2) และ (1)

วิธีแก้ไขปัญหา: ;

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องผลิตผลิตภัณฑ์ประเภทที่ 1 จำนวน 56 รายการและผลิตภัณฑ์ประเภทที่ 2 จำนวน 64 รายการ ในกรณีนี้รายได้จากการขายผลิตภัณฑ์จะสูงสุดและเท่ากับ 5104 หน่วยการเงิน

วิธี โซลูชันกราฟิกหากปัญหาที่มีตัวแปรสองตัวมีข้อจำกัดเชิงเส้นและฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นแบบกำลังสอง เราจะอธิบายรายละเอียดที่นี่
หน้านี้จะแสดงการวิเคราะห์โดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์ และยังแสดงโครงสร้างอีกด้วย ปัญหาคู่การโปรแกรมเชิงเส้นและการค้นหาวิธีแก้ไขโดยการแก้ปัญหาโดยตรง

ปัญหาการขนส่งและวิธีการที่เป็นไปได้
ปัญหาการขนส่ง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ และวิธีการแก้ไขได้รับการพิจารณาโดยละเอียด โดยค้นหาแผนอ้างอิงโดยวิธีองค์ประกอบขั้นต่ำ และค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดโดยวิธีที่เป็นไปได้

การเขียนโปรแกรมนูน - วิธีกราฟิก
ให้ตัวอย่างการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมนูนกำลังสองโดยใช้วิธีกราฟิกมาให้