ระบบของเวกเตอร์ที่มีลำดับเดียวกันเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หากเวกเตอร์เป็นศูนย์สามารถหาได้จากเวกเตอร์เหล่านี้ผ่านผลรวมเชิงเส้นที่เหมาะสม (ไม่อนุญาตให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ เนื่องจากนี่เป็นเรื่องเล็กน้อย) มิฉะนั้น เวกเตอร์จะเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สามตัวต่อไปนี้:

เป็นแบบเชิงเส้น เนื่องจากตรวจสอบได้ง่าย ในกรณีของการพึ่งพาเชิงเส้น เวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงผ่านผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นได้เสมอ ในตัวอย่างของเรา: อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบด้วยการคำนวณที่เหมาะสม สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความต่อไปนี้: เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงจากเวกเตอร์อื่น ๆ หากไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ได้

ขอให้เราพิจารณาระบบของเวกเตอร์โดยไม่ต้องระบุว่ามันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระเชิงเส้น สำหรับแต่ละระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ a สามารถระบุจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดที่เป็นไปได้ ตัวเลขนี้แสดงด้วยตัวอักษร คืออันดับของระบบเวกเตอร์นี้ เนื่องจากแต่ละเมทริกซ์สามารถดูเป็นระบบของเวกเตอร์คอลัมน์ได้ อันดับของเมทริกซ์จึงถูกกำหนดให้เป็นจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นที่มีอยู่ เวกเตอร์แถวยังใช้เพื่อกำหนดอันดับของเมทริกซ์อีกด้วย ทั้งสองวิธีให้ผลลัพธ์เหมือนกันสำหรับเมทริกซ์เดียวกัน และต้องไม่เกินค่าที่น้อยที่สุดของ หรือ อันดับของเมทริกซ์จตุรัสของลำดับตั้งแต่ 0 ถึง หากเวกเตอร์ทั้งหมดเป็นศูนย์ อันดับของเมทริกซ์ดังกล่าวจะเป็นศูนย์ หากเวกเตอร์ทั้งหมดเป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งกันและกัน อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากัน หากเราสร้างเมทริกซ์จากเวกเตอร์ด้านบน อันดับของเมทริกซ์นี้คือ 2 เนื่องจากเวกเตอร์ทุกๆ 2 ตัวสามารถลดลงเหลือ 1 ใน 3 ด้วยผลรวมเชิงเส้น ดังนั้นอันดับจึงน้อยกว่า 3

แต่เราแน่ใจได้ว่าเวกเตอร์สองตัวใดๆ ก็ตามจะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นอันดับ

เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่าเอกพจน์หากเวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวมีค่าเท่ากับศูนย์และไม่มีเมทริกซ์ผกผันตามที่ระบุไว้ข้างต้น ข้อสรุปเหล่านี้เทียบเท่ากัน เป็นผลให้เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่าไม่เอกพจน์หรือไม่ใช่เอกพจน์หากเวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวไม่เป็นอิสระจากกัน ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวไม่เท่ากับศูนย์และมีเมทริกซ์ผกผันอยู่ (เปรียบเทียบกับหน้า 43)

อันดับของเมทริกซ์มีการตีความทางเรขาคณิตที่ค่อนข้างชัดเจน หากอันดับของเมทริกซ์เท่ากับ แสดงว่าปริภูมิ -มิติถูกขยายด้วยเวกเตอร์ หากอันดับเป็นเวกเตอร์ก็จะอยู่ในสเปซย่อย - มิติที่รวมพวกมันทั้งหมดไว้ ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์จึงสอดคล้องกับมิติที่ต้องการขั้นต่ำของปริภูมิ "ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมด" โดยปริภูมิย่อยมิติในปริภูมิมิติเรียกว่าไฮเปอร์เพลนมิติ อันดับของเมทริกซ์สอดคล้องกับมิติที่เล็กที่สุดของไฮเปอร์เพลนซึ่งเวกเตอร์ทั้งหมดยังคงอยู่

มุมฉาก เวกเตอร์ a และ b สองตัวตั้งฉากร่วมกันถ้าผลคูณสเกลาร์ของพวกมันเป็นศูนย์ หากเมทริกซ์ลำดับมีความเท่าเทียมกันโดยที่ D คือเมทริกซ์แนวทแยง ดังนั้นเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์ A จะเป็นมุมตั้งฉากร่วมกันในทิศทางคู่ หากเวกเตอร์คอลัมน์เหล่านี้ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน นั่นคือ ลดลงเหลือความยาวเท่ากับ 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่ และเราพูดถึงเวกเตอร์ออร์โธนอร์มอล ถ้า B เป็นเมทริกซ์จตุรัสและมีค่าเท่ากัน เมทริกซ์ B จะเรียกว่ามุมฉาก ในกรณีนี้ ตามมาจากสูตร (1.22) ว่าเมทริกซ์มุมฉากจะไม่เป็นเอกพจน์เสมอ ดังนั้น จากมุมตั้งฉากของเมทริกซ์ ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์คอลัมน์จึงเป็นไปตามนั้น ข้อความตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง: ความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ไม่ได้หมายความถึงความตั้งฉากแบบคู่ของเวกเตอร์เหล่านี้

โดยที่ตัวเลขบางตัว (ตัวเลขเหล่านี้บางส่วนหรือทั้งหมดอาจมีค่าเท่ากับศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ระหว่างองค์ประกอบของคอลัมน์:

จาก (3.3.1) เป็นไปตามนั้น

หากความเท่าเทียมกัน (3.3.3) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ แถวนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น ความสัมพันธ์ (3.3.2) แสดงว่าหากแถวใดแถวหนึ่งแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของแถวอื่นๆ แถวนั้นก็จะขึ้นต่อกันเป็นเส้นตรง

มันง่ายที่จะมองเห็นสิ่งที่ตรงกันข้าม: หากสตริงนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ก็จะมีสตริงที่จะเป็นการรวมกันเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ

สมมุติว่าใน (3.3.3) แล้ว .

คำนิยาม. ให้ระบุลำดับรองลำดับที่ r ที่แน่นอนในเมทริกซ์ A และปล่อยให้ลำดับรองลำดับที่ (r+1) ของเมทริกซ์เดียวกันมีลำดับรองทั้งหมด เราจะบอกว่าในกรณีนี้ผู้เยาว์มีพรมแดนติดกับผู้เยาว์ (หรือกำลังมีพรมแดนสำหรับ )

ตอนนี้เราจะพิสูจน์บทแทรกที่สำคัญ

เล็มมาเกี่ยวกับผู้เยาว์ที่มีพรมแดนติด หากลำดับรอง r ของเมทริกซ์ A= แตกต่างจากศูนย์ และลำดับรองทั้งหมดที่ล้อมรอบเมทริกซ์นั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นแถว (คอลัมน์) ใดๆ ของเมทริกซ์ A จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ของมันที่ประกอบกันเป็น

การพิสูจน์. โดยไม่สูญเสียเหตุผลทั่วไป เราจะถือว่าลำดับที่ r ที่ไม่ใช่ศูนย์รองอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A =:

.

สำหรับ k แถวแรกของเมทริกซ์ A คำสั่งของบทแทรกนั้นชัดเจน: ก็เพียงพอที่จะรวมแถวเดียวกันที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับหนึ่งและส่วนที่เหลือ - โดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์ก็เพียงพอแล้ว

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าแถวที่เหลือของเมทริกซ์ A ถูกเขียนเป็นเส้นตรงผ่าน k แถวแรก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราสร้างลำดับรองของ (r+1) โดยการเพิ่มบรรทัด kth () ให้กับลำดับรองและ ลคอลัมน์ที่ ():

.

ผลรองที่ได้จะเท่ากับศูนย์สำหรับ k และ l ทั้งหมด ถ้า จะเท่ากับศูนย์เนื่องจากมีคอลัมน์ที่เหมือนกันสองคอลัมน์ ถ้า แล้วผลไมเนอร์ที่ได้จะเป็นขอบเขตไมเนอร์ของ และ ดังนั้น จึงเท่ากับศูนย์ตามเงื่อนไขของบทแทรก

มาแยกย่อยตามองค์ประกอบของหลังกัน ลคอลัมน์ที่:

สมมติว่าเราได้รับ:

(3.3.6)

นิพจน์ (3.3.6) หมายความว่าแถวที่ k ของเมทริกซ์ A ถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านแถว r แรก

เนื่องจากเมื่อเมทริกซ์ถูกย้ายค่าของผู้เยาว์จะไม่เปลี่ยนแปลง (เนื่องจากคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์) ดังนั้นทุกสิ่งที่พิสูจน์แล้วก็เป็นจริงสำหรับคอลัมน์เช่นกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์ I. แถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์) แท้จริงแล้ว ฐานรองของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นศูนย์ และผู้รองทั้งหมดที่อยู่ติดกับเมทริกซ์จะเท่ากับศูนย์

ข้อพิสูจน์ II. ปัจจัยลำดับที่ n จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อมีแถว (คอลัมน์) ที่ขึ้นต่อเชิงเส้นเท่านั้น ความเพียงพอของการพึ่งพาเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ให้เท่ากับศูนย์ได้รับการพิสูจน์ก่อนหน้านี้ว่าเป็นคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

มาพิสูจน์ความจำเป็นกัน ขอให้เราได้รับเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ n ซึ่งมีเพียงค่ารองเท่านั้นที่เป็นศูนย์ ตามมาว่าอันดับของเมทริกซ์นี้น้อยกว่า n นั่นคือ มีอย่างน้อยหนึ่งแถวที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานของเมทริกซ์นี้

ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่นเกี่ยวกับอันดับของเมทริกซ์กัน

ทฤษฎีบท.จำนวนสูงสุดของแถวอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของคอลัมน์อิสระเชิงเส้นและเท่ากับอันดับของเมทริกซ์นี้

การพิสูจน์. ให้อันดับของเมทริกซ์ A= เท่ากับ r แล้วแถวฐาน k ใดๆ ของมันเป็นอิสระเชิงเส้น ไม่เช่นนั้น ฐานรองจะเท่ากับศูนย์ ในทางกลับกัน แถวใดๆ r+1 ขึ้นไปจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ในทางกลับกัน เราอาจพบลำดับรองที่มากกว่า r ซึ่งไม่เป็นศูนย์ตามข้อพิสูจน์ที่ 2 ของบทแทรกก่อนหน้า อย่างหลังขัดแย้งกับความจริงที่ว่าลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์คือ r ทุกอย่างที่พิสูจน์แล้วสำหรับแถวก็เป็นจริงสำหรับคอลัมน์เช่นกัน

โดยสรุป เราจะสรุปวิธีการอื่นในการค้นหาอันดับของเมทริกซ์ อันดับของเมทริกซ์สามารถกำหนดได้โดยการค้นหาอันดับรองของลำดับสูงสุดที่แตกต่างจากศูนย์

เมื่อดูเผินๆ จะต้องคำนวณเมทริกซ์รองที่มีขอบเขตจำกัด แต่อาจมีจำนวนมากมาก

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทต่อไปนี้อนุญาตให้แนะนำการลดความซับซ้อนที่สำคัญในเรื่องนี้

ทฤษฎีบท.ถ้าค่ารองของเมทริกซ์ A ไม่เป็นศูนย์ และผู้เยาว์ทั้งหมดที่ล้อมรอบมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ r

การพิสูจน์. ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่าระบบย่อยใดๆ ของแถวเมทริกซ์สำหรับ S>r จะขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของทฤษฎีบท (ซึ่งจะตามมาว่า r คือจำนวนสูงสุดของแถวเมทริกซ์อิสระเชิงเส้น หรือลำดับรองใดๆ ที่มากกว่า k มีค่าเท่ากับศูนย์)

สมมติว่าตรงกันข้าม ปล่อยให้แถวเป็นอิสระเชิงเส้น โดยบทแทรกเกี่ยวกับขอบเขตผู้เยาว์ แต่ละรายการจะแสดงเป็นเส้นตรงในแง่ของบรรทัดที่มีผู้เยาว์ และเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่เป็นศูนย์ จึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น:

พิจารณาผลรวมเชิงเส้นต่อไปนี้:

หรือ

เราได้รับโดยใช้ (3.3.7) และ (3.3.8)

,

ซึ่งขัดแย้งกับความเป็นอิสระของแถวเชิงเส้น

ด้วยเหตุนี้ สมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้อง ดังนั้น แถว S>r ใดๆ ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบทจึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลองพิจารณากฎสำหรับการคำนวณอันดับของเมทริกซ์ - วิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์ตามทฤษฎีบทนี้

เมื่อคำนวณอันดับของเมทริกซ์ เราควรย้ายจากลำดับรองที่มีลำดับต่ำกว่าไปยังลำดับรองที่สูงกว่า หากพบผู้เยาว์ในลำดับที่ r ซึ่งแตกต่างจากศูนย์แล้ว จำเป็นต้องคำนวณเฉพาะผู้เยาว์ในลำดับที่ (r+1) ที่อยู่ติดกับผู้เยาว์ หากมีค่าเท่ากับศูนย์อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ r วิธีนี้ยังใช้ถ้าเราไม่เพียงแต่คำนวณอันดับของเมทริกซ์เท่านั้น แต่ยังกำหนดด้วยว่าคอลัมน์ (แถว) ใดที่ประกอบขึ้นเป็นฐานรองของเมทริกซ์ด้วย

ตัวอย่าง. คำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีรองแบบมีขอบ

.

สารละลาย. ตัวรองลำดับที่สอง ซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A ไม่ใช่ศูนย์:

.

อย่างไรก็ตาม ผู้เยาว์ลำดับที่สามทั้งหมดที่ล้อมรอบจะเท่ากับศูนย์:

;	;
;	;
;	.

ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ A จึงเท่ากับ 2:

แถวที่หนึ่งและที่สอง คอลัมน์ที่หนึ่งและที่สองในเมทริกซ์นี้เป็นพื้นฐาน แถวและคอลัมน์ที่เหลือเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้น อันที่จริง ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นสตริง:

โดยสรุป เราสังเกตความถูกต้องของคุณสมบัติต่อไปนี้:

1) อันดับผลคูณของเมทริกซ์ไม่มากกว่าอันดับของแต่ละปัจจัย

2) อันดับผลคูณของเมทริกซ์ A ใดๆ ทางด้านขวาหรือซ้ายโดยเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์ Q เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ A

เมทริกซ์พหุนาม

คำนิยาม. เมทริกซ์พหุนามหรือ -matrix เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีองค์ประกอบเป็นพหุนามในตัวแปรเดียวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข

การแปลงเบื้องต้นสามารถทำได้บน -เมทริกซ์ ซึ่งรวมถึง:

จัดเรียงสองแถวใหม่ (คอลัมน์);

การคูณแถว (คอลัมน์) ด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

บวกหนึ่งแถว (คอลัมน์) อีกแถวหนึ่ง (คอลัมน์) คูณด้วยพหุนามใดๆ

เมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากันกล่าวกันว่าเทียบเท่ากัน: หากใครสามารถเปลี่ยนจากเมทริกซ์ไปใช้การแปลงเบื้องต้นในจำนวนจำกัดได้

ตัวอย่าง. พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์

,

.

1. สลับคอลัมน์แรกและคอลัมน์ที่สองในเมทริกซ์:

.

2. จากบรรทัดที่สอง ลบบรรทัดแรก คูณด้วย ():

.

3. คูณบรรทัดที่สองด้วย (–1) แล้วสังเกตว่า

.

4. ลบคอลัมน์แรกออกจากคอลัมน์ที่สอง คูณด้วย เราจะได้

.

ชุดของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีขนาดที่กำหนดจะถูกแบ่งออกเป็นคลาสที่ไม่ต่อเนื่องกันของเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากัน เมทริกซ์ที่เทียบเท่ากันจะก่อตัวเป็นคลาสหนึ่ง และเมทริกซ์ที่ไม่เท่ากันจะก่อตัวเป็นอีกคลาสหนึ่ง

เมทริกซ์ที่เทียบเท่าแต่ละคลาสจะมีลักษณะเฉพาะด้วยเมทริกซ์มาตรฐานหรือเมทริกซ์ปกติของมิติที่กำหนด

คำนิยาม. เมทริกซ์ขนาดบัญญัติหรือปกติของมิติคือเมทริกซ์ที่มีเส้นทแยงมุมหลักประกอบด้วยพหุนาม โดยที่ p คือค่าที่น้อยกว่าของตัวเลข m และ n ( ) และพหุนามที่ไม่เท่ากับศูนย์จะมีสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1 และพหุนามที่ตามมาแต่ละตัวจะถูกหารด้วยพหุนามก่อนหน้า องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักคือ 0

จากคำจำกัดความจะตามมาว่าหากในบรรดาพหุนามมีพหุนามที่มีดีกรีเป็นศูนย์ ก็แสดงว่าพวกมันอยู่ที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลัก หากมีศูนย์ ก็จะอยู่ที่ปลายเส้นทแยงมุมหลัก

เมทริกซ์ของตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นแบบบัญญัติ เมทริกซ์

ยังเป็นที่ยอมรับ

-เมทริกซ์แต่ละคลาสมี -เมทริกซ์ตามรูปแบบบัญญัติที่แตกต่างกัน เช่น ทุกเมทริกซ์จะเทียบเท่ากับเมทริกซ์มาตรฐานเฉพาะซึ่งเรียกว่ารูปแบบมาตรฐานหรือรูปแบบปกติของเมทริกซ์นั้น

พหุนามที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักของรูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ที่กำหนดเรียกว่าปัจจัยไม่แปรเปลี่ยนของเมทริกซ์นี้

วิธีหนึ่งในการคำนวณปัจจัยไม่แปรเปลี่ยนคือการลดเมทริกซ์ที่กำหนดให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน

ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ของตัวอย่างที่แล้ว ปัจจัยคงที่คือ

, , , .

จากที่กล่าวมาข้างต้น การมีอยู่ของตัวประกอบที่ไม่แปรเปลี่ยนชุดเดียวกันนั้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการสมมูลของ -เมทริกซ์

การลดเมทริกซ์ให้เป็นรูปแบบมาตรฐานจะลดลงเพื่อกำหนดปัจจัยที่ไม่แปรเปลี่ยน

, ; ,

โดยที่ r คืออันดับของเมทริกซ์ - ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวรองอันดับที่ k โดยมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ 1

ตัวอย่าง. ให้กำหนด -เมทริกซ์

.

สารละลาย. แน่นอนว่าตัวหารร่วมมากของลำดับแรกคือ -

มากำหนดผู้เยาว์ลำดับที่สองกัน:

,

ฯลฯ

ข้อมูลเหล่านี้เพียงพอที่จะสรุปได้: ดังนั้น .

เรากำหนด

,

เพราะฉะนั้น, .

ดังนั้นรูปแบบบัญญัติของเมทริกซ์นี้จึงเป็นเมทริกซ์ต่อไปนี้:

.

พหุนามเมทริกซ์คือการแสดงออกของรูปแบบ

ตัวแปรอยู่ที่ไหน - เมทริกซ์จตุรัสของลำดับ n พร้อมองค์ประกอบตัวเลข

ถ้า แล้ว S เรียกว่าดีกรีของพหุนามเมทริกซ์ ส่วน n คือลำดับของเมทริกซ์พหุนาม

เมทริกซ์กำลังสองใดๆ สามารถแสดงเป็นพหุนามเมทริกซ์ได้ เห็นได้ชัดว่าข้อความที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ พหุนามเมทริกซ์ใดๆ สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์จตุรัสได้

ความถูกต้องของข้อความเหล่านี้เป็นไปตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับเมทริกซ์อย่างชัดเจน ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่าง. แทนเมทริกซ์พหุนาม

ในรูปพหุนามเมทริกซ์ดังนี้

.

ตัวอย่าง. พหุนามเมทริกซ์

สามารถแสดงเป็นเมทริกซ์พหุนามต่อไปนี้ ( -matrix)

.

ความสามารถในการสับเปลี่ยนระหว่างเมทริกซ์พหุนามและเมทริกซ์พหุนามมีบทบาทสำคัญในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของวิธีการวิเคราะห์ปัจจัยและองค์ประกอบ

พหุนามเมทริกซ์ในลำดับเดียวกันสามารถบวก ลบ และคูณได้ในลักษณะเดียวกับพหุนามสามัญที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าการคูณของพหุนามเมทริกซ์ โดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่การสับเปลี่ยน เนื่องจาก การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน

พหุนามเมทริกซ์สองตัวจะเท่ากันถ้าค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน กล่าวคือ เมทริกซ์ที่สอดคล้องกันสำหรับกำลังเท่ากันของตัวแปร

ผลรวม (ผลต่าง) ของพหุนามเมทริกซ์สองตัวคือพหุนามเมทริกซ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละระดับของตัวแปรเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของสัมประสิทธิ์สำหรับระดับเดียวกันในพหุนามและ

ในการคูณพหุนามเมทริกซ์ด้วยพหุนามเมทริกซ์ คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามเมทริกซ์ด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามเมทริกซ์ เพิ่มผลลัพธ์ที่ได้และนำพจน์ที่คล้ายกันมา

ระดับของพหุนามเมทริกซ์คือผลคูณที่น้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของระดับของตัวประกอบ

การดำเนินการกับเมทริกซ์พหุนามสามารถดำเนินการได้โดยใช้การดำเนินการกับเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน

ในการเพิ่ม (ลบ) พหุนามเมทริกซ์ ก็เพียงพอที่จะบวก (ลบ) เมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน เช่นเดียวกับการคูณ -เมทริกซ์ของผลคูณของเมทริกซ์พหุนาม เท่ากับผลคูณของ -เมทริกซ์ของปัจจัย

ในทางกลับกันและสามารถเขียนในรูปแบบได้

โดยที่ B 0 เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์

เมื่อหารด้วยจะมีความฉลาดทางขวาเฉพาะและเศษเหลือทางขวา

โดยที่ดีกรีของ R 1 น้อยกว่าดีกรี หรือ (การหารโดยไม่มีเศษ) เช่นเดียวกับผลหารซ้ายและเศษเหลือ หากและเพียงในกรณีที่ ตามลำดับ

พิจารณาเมทริกซ์ A ขนาด mxn ใดๆ ก็ได้ โดยไม่จำเป็นต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

อันดับเมทริกซ์

แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องการพึ่งพาเชิงเส้น (ความเป็นอิสระ) ของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ ลองพิจารณาแนวคิดนี้สำหรับสตริง สำหรับคอลัมน์ - ในทำนองเดียวกัน

ให้เราแสดงถึงท่อระบายน้ำของเมทริกซ์ A:

อี 1 =(ก 11,ก 12,…,ก 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

e k =e s ถ้า kj =a sj , j=1,2,…,n

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในแถวเมทริกซ์ (การบวก การคูณด้วยตัวเลข) ถูกนำมาใช้เป็นการดำเนินการที่ดำเนินการโดยองค์ประกอบตามองค์ประกอบ: แลม k =(แลม k1 ,แลม k2 ,…,แลม kn);

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)]

สาย e เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นแถว e 1, e 2,…, e k ถ้ามันเท่ากับผลรวมของผลคูณของเส้นเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงตามอำเภอใจ:

e=แลมบ์ดา 1 อี 1 +แลมบ์ 2 อี 2 +…+แล้ค อีเค

บรรทัด e 1, e 2,…, em m ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีจำนวนจริง แลมบ์ดา 1 ,แลมบ์ 2 ,…,แลมม ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของสตริงเหล่านี้จะเท่ากับสตริงศูนย์: แลมบ์ดา 1 อี 1 +แลม 2 อี 2 +…+แลม ฉัน อี ม = 0 ,ที่ไหน 0 =(0,0,…,0) (1)

หากผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ถ้าหากสัมประสิทธิ์ทั้งหมด แลมโบ มีค่าเท่ากับศูนย์ (แลมบ์ดา 1 =แลมบ์ดา 2 =...=แลมม =0) ดังนั้นแถว e 1, e 2,..., ฉันถูกเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 1- เพื่อให้สตริง e 1 , e 2 ,…, em m เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่สตริงใดสตริงหนึ่งจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ

การพิสูจน์. ความจำเป็น- ปล่อยให้สตริง e 1, e 2,…, em m เป็นอิสระเชิงเส้น ขอให้เพื่อความแน่นอน (1) แลมบ์ ≠0 ดังนั้น

ที่. สตริง e m คือผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ ฯลฯ

ความเพียงพอ- ให้สตริงตัวใดตัวหนึ่ง เช่น em m เป็นผลรวมเชิงเส้นของสตริงที่เหลือ จากนั้นจะมีตัวเลขที่มีความเท่าเทียมกันซึ่งสามารถเขียนใหม่ในรูปแบบได้

โดยที่อย่างน้อย 1 สัมประสิทธิ์ (-1) ไม่เท่ากับศูนย์ เหล่านั้น. แถวนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ฯลฯ

คำนิยาม. ลำดับที่ k รองเมทริกซ์ A ที่มีขนาด mxn เรียกว่าปัจจัยกำหนดลำดับที่ k โดยมีองค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของแถว k ใดๆ และคอลัมน์ k ใดๆ ของเมทริกซ์ A (k≤min(m,n)) -

ตัวอย่าง., ผู้เยาว์ลำดับที่ 1: =, =;

ผู้เยาว์ลำดับที่ 2: , ลำดับที่ 3

เมทริกซ์ลำดับที่ 3 มีรายย่อยลำดับที่ 1 จำนวน 9 ราย รายย่อยลำดับที่ 2 จำนวน 9 ราย และรายย่อยลำดับที่ 3 จำนวน 1 ราย (ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้)

คำนิยาม. อันดับของเมทริกซ์ Aคือลำดับสูงสุดของตัวรองที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์นี้ การกำหนด - rg A หรือ r(A)

คุณสมบัติอันดับเมทริกซ์.

1) อันดับของเมทริกซ์ A nxm ไม่เกินขนาดที่เล็กกว่านั่นคือ

r(A)≤นาที(m,n)

2) r(A)=0 เมื่อองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดเท่ากับ 0 เช่น ก=0.

3) สำหรับเมทริกซ์จตุรัส A ในลำดับที่ n r(A)=n เมื่อ A ไม่เสื่อมลง

(อันดับของเมทริกซ์แนวทแยงเท่ากับจำนวนองค์ประกอบในแนวทแยงที่ไม่เป็นศูนย์)

4) หากอันดับของเมทริกซ์เท่ากับ r แสดงว่าเมทริกซ์มีลำดับรองอย่างน้อยหนึ่งลำดับ r ที่ไม่เท่ากับศูนย์และผู้รองที่มีลำดับสูงกว่าทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็นอันดับของเมทริกซ์:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤นาที(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(อัตตา)=r(A);

5) r(AB)=r(A) ถ้า B เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A หรือแถวของเมทริกซ์ B

คำนิยาม.เรียกลำดับรองที่ไม่เป็นศูนย์ r(A) ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน- (เมทริกซ์ A อาจมีผู้เยาว์ที่เป็นพื้นฐานหลายรายการ) แถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีพื้นฐานรองเรียกว่าตามลำดับ สายฐานและ คอลัมน์ฐาน.

ทฤษฎีบท 2 (เกี่ยวกับพื้นฐานรอง)แถวด้านล่าง (คอลัมน์) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรง แถวใดๆ (คอลัมน์ใดก็ได้) ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์)

การพิสูจน์- (สำหรับสตริง) หากแถวพื้นฐานขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นตามทฤษฎีบท (1) หนึ่งในแถวเหล่านี้จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐานอื่น ๆ จากนั้นคุณสามารถลบค่ารวมเชิงเส้นที่ระบุออกจากแถวนี้ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าของรองพื้นฐาน และได้แถวศูนย์ ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าฐานรองนั้นแตกต่างจากศูนย์ ที่. แถวพื้นฐานมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ขอให้เราพิสูจน์ว่าแถวใดๆ ของเมทริกซ์ A คือผลรวมเชิงเส้นของแถวฐาน เพราะ ด้วยการเปลี่ยนแปลงแถว (คอลัมน์) โดยพลการ ดีเทอร์มิแนนต์จะรักษาคุณสมบัติของการเท่ากับศูนย์ จากนั้นโดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าฐานรองอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์

ก=,เหล่านั้น. อยู่ที่แถวแรกและคอลัมน์แรก ให้ 1£j£n, 1£i£m ให้เราแสดงว่าดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับ (r+1)

ถ้า j£r หรือ i£r แล้วดีเทอร์มิแนนต์นี้จะเท่ากับศูนย์ เพราะ จะมีสองคอลัมน์ที่เหมือนกันหรือสองแถวที่เหมือนกัน

ถ้า j>r และ i>r แล้วดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นลำดับรองของเมทริกซ์ A (r+1) เนื่องจาก อันดับของเมทริกซ์เท่ากับ r ซึ่งหมายความว่าลำดับรองใด ๆ ที่สูงกว่าจะเท่ากับ 0

เราได้ขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์สุดท้าย (เพิ่ม)

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0 โดยที่ส่วนเสริมพีชคณิตตัวสุดท้าย A ij เกิดขึ้นพร้อมกับฐานรอง M r ดังนั้น A ij = M r ≠0

การหารความเท่าเทียมกันสุดท้ายด้วย A ij เราสามารถแสดงองค์ประกอบ a ij เป็นการรวมกันเชิงเส้นได้: โดยที่

ขอให้เราแก้ไขค่าของ i (i>r) และค้นหาว่าสำหรับ j ใดๆ (j=1,2,...,n) องค์ประกอบของแถวที่ i e i จะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านองค์ประกอบของแถว e 1, e 2,...,e r, i.e. e แถวที่ i คือผลรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน: ฯลฯ

ทฤษฎีบท 3 (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ที่จะเท่ากับศูนย์)เพื่อให้ปัจจัยลำดับที่ n D เท่ากับศูนย์ จำเป็นและเพียงพอที่แถว (คอลัมน์) ของมันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

พิสูจน์ (หน้า 40). ความจำเป็น- หากปัจจัยลำดับที่ n D เท่ากับศูนย์แสดงว่าเมทริกซ์รองของเมทริกซ์นั้นมีลำดับ r

ดังนั้นแถวหนึ่งจึงเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 แถวของดีเทอร์มิแนนต์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ความเพียงพอ- หากแถว D มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 หนึ่งแถว A i จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวที่เหลือ การลบชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ระบุออกจากสตริง A i โดยไม่เปลี่ยนค่าของ D เราจะได้สตริงเป็นศูนย์ ดังนั้นตามคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ D=0 ฯลฯ

ทฤษฎีบท 4ในระหว่างการแปลงเบื้องต้น อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

การพิสูจน์- ดังที่แสดงไว้เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ เมื่อทำการแปลงเมทริกซ์กำลังสอง ดีเทอร์มิแนนต์ของพวกมันจะไม่เปลี่ยนแปลง หรือคูณด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ หรือเปลี่ยนเครื่องหมาย ในกรณีนี้ ลำดับสูงสุดของผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะยังคงอยู่ เช่น อันดับของเมทริกซ์ไม่เปลี่ยนแปลง ฯลฯ

ถ้า r(A)=r(B) แล้ว A และ B เป็น เทียบเท่า: A~B

ทฤษฎีบท 5เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น คุณสามารถลดเมทริกซ์เป็นได้ มุมมองขั้นบันไดเมทริกซ์เรียกว่า ถ้ามีรูปแบบดังนี้

A= โดยที่ ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k

เงื่อนไข r≤k สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนตำแหน่ง

ทฤษฎีบท 6อันดับของเมทริกซ์ระดับนั้นเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ .

เหล่านั้น. อันดับของเมทริกซ์ขั้นตอนเท่ากับ r เพราะ มีลำดับรองที่ไม่ใช่ศูนย์ r:

แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องการพึ่งพาเชิงเส้น (ความเป็นอิสระ) ของแถวหรือคอลัมน์ ในอนาคตเราจะนำเสนอเนื้อหาสำหรับแถว สำหรับคอลัมน์ การนำเสนอจะคล้ายกัน

ในเมทริกซ์ กเรามาแสดงเส้นของมันดังนี้:

, , …. ,

เมทริกซ์สองแถวเรียกว่าเท่ากันหากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากัน: , ถ้า , .

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในแถวเมทริกซ์ (การคูณแถวด้วยตัวเลข การเพิ่มแถว) ถูกนำมาใช้เป็นการดำเนินการที่ดำเนินการทีละองค์ประกอบ:

เส้น จเรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของสตริง..., เมทริกซ์ถ้ามันเท่ากับผลรวมของผลคูณของแถวเหล่านี้ด้วยจำนวนจริงตามอำเภอใจ:

เรียกแถวของเมทริกซ์ว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของแถวเมทริกซ์จะเท่ากับแถวศูนย์:

, =(0,0,...,0). (3.3)

ทฤษฎีบท 3.3แถวของเมทริกซ์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหากอย่างน้อยหนึ่งแถวของเมทริกซ์เป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่นๆ

□ อันที่จริง ให้เพื่อความแน่นอนในสูตร (3.3) , แล้ว

ดังนั้นแถวจึงเป็นการรวมเชิงเส้นของแถวที่เหลือ

หากผลรวมเชิงเส้นของแถว (3.3) เท่ากับศูนย์ ถ้าหากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ แถวนั้นจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 3.4(ประมาณอันดับของเมทริกซ์) อันดับของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนสูงสุดของแถวหรือคอลัมน์อิสระเชิงเส้นซึ่งแถวอื่น ๆ ทั้งหมด (คอลัมน์) จะแสดงเป็นเส้นตรง

□ ปล่อยให้เมทริกซ์ กไซส์ m n มีอันดับ ร(รนาที). ซึ่งหมายความว่ามีผู้เยาว์ที่ไม่เป็นศูนย์ ร-ลำดับที่ รายย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ รลำดับที่ 3 จะเรียกว่าฐานรอง

เพื่อความชัดเจน ให้พื้นฐานรองเป็น ผู้เยาว์นำหน้าหรือมุม จากนั้นแถวของเมทริกซ์จะเป็นอิสระเชิงเส้น สมมติว่าตรงกันข้าม นั่นคือ หนึ่งในสตริงเหล่านี้ เป็นการรวมเชิงเส้นของสตริงอื่นๆ ลบออกจากองค์ประกอบ ร- ของแถวที่ 1 องค์ประกอบของแถวที่ 1 คูณด้วย ตามด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 2 คูณด้วย , ... และองค์ประกอบ ( ร- 1) - แถวที่ 2 คูณด้วย . จากคุณสมบัติ 8 ด้วยการแปลงเมทริกซ์ดังกล่าว ดีเทอร์มีแนนต์ D จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เนื่องจาก ร- แถวนี้จะมีเพียงศูนย์เท่านั้น ดังนั้น D = 0 จึงขัดแย้งกัน ดังนั้น สมมติฐานของเราที่ว่าแถวของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นจึงไม่ถูกต้อง

มาเรียกสายกันเถอะ ขั้นพื้นฐาน- ให้เราแสดงว่าแถวใดๆ (r+1) ของเมทริกซ์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง กล่าวคือ สตริงใดๆ จะแสดงในรูปของสตริงพื้นฐาน

ลองพิจารณาผู้เยาว์ (r +1) ของลำดับแรก ซึ่งได้มาจากการเสริมผู้เยาว์ที่เป็นปัญหาด้วยองค์ประกอบของแถวอื่น ฉันและคอลัมน์ เจ- รายย่อยนี้เป็นศูนย์เนื่องจากอันดับของเมทริกซ์คือ รดังนั้นลำดับรองที่สูงกว่าใดๆ จะเป็นศูนย์

เราได้ขยายตามองค์ประกอบของคอลัมน์สุดท้าย (เพิ่ม)

โดยที่โมดูลัสของการเสริมพีชคณิตสุดท้ายเกิดขึ้นพร้อมกับฐานรอง ดีและแตกต่างจากศูนย์นั่นคือ 0.

เมทริกซ์– ตารางสี่เหลี่ยมที่มีตัวเลขเรียงกันตามลำดับ ขนาด m*n (เรียงเป็นแถว) องค์ประกอบของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยที่ i คือหมายเลขแถว aj คือหมายเลขคอลัมน์

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป (การลบ)เมทริกซ์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์มิติเดียวเท่านั้น ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ซึ่งมีองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ คือผลรวม (ผลต่าง) ขององค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิม

การคูณ (การหาร)ต่อหมายเลข– การคูณ (การหาร) ของแต่ละองค์ประกอบเมทริกซ์ด้วยจำนวนนี้

การคูณเมทริกซ์ถูกกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์เท่านั้น จำนวนคอลัมน์ของคอลัมน์แรกจะเท่ากับจำนวนแถวของคอลัมน์ที่สอง

การคูณเมทริกซ์– เมทริกซ์องค์ประกอบที่กำหนดโดยสูตร:

เมทริกซ์ทรานสโพส– เมทริกซ์ B ดังกล่าว แถว (คอลัมน์) ซึ่งเป็นคอลัมน์ (แถว) ในเมทริกซ์ A ดั้งเดิม กำหนด

เมทริกซ์ผกผัน

สมการเมทริกซ์– สมการในรูปแบบ A*X=B เป็นผลคูณของเมทริกซ์ คำตอบของสมการนี้คือเมทริกซ์ X ซึ่งพบได้โดยใช้กฎ:

1. การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของคอลัมน์ (แถว) ของเมทริกซ์ เกณฑ์การพึ่งพาเชิงเส้น เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของคอลัมน์เมทริกซ์ (แถว)

เรียกว่าระบบแถว (คอลัมน์) เป็นอิสระเชิงเส้นหากผลรวมเชิงเส้นไม่สำคัญ (จะพึงพอใจเมื่อ a1...n=0 เท่านั้น) โดยที่ A1...n คือคอลัมน์ (แถว) aa1...n คือสัมประสิทธิ์การขยาย

เกณฑ์: เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ของระบบอย่างน้อยหนึ่งตัวจะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ของระบบ

สภาพที่เพียงพอ:

1. ปัจจัยกำหนดเมทริกซ์และคุณสมบัติของพวกมัน

เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ (ดีเทอร์มิแนนต์)คือตัวเลขที่สำหรับเมทริกซ์จตุรัส A สามารถคำนวณได้จากองค์ประกอบของเมทริกซ์โดยใช้สูตร:

โดยที่ คือส่วนย่อยเพิ่มเติมขององค์ประกอบ

คุณสมบัติ:

1. เมทริกซ์ผกผัน อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน– เมทริกซ์จตุรัส X ซึ่งเมื่อรวมกับเมทริกซ์จตุรัส A ที่มีลำดับเดียวกัน จะเป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีลำดับเดียวกันกับ A เมทริกซ์จตุรัสใดๆ ที่มีดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์จะมีเมทริกซ์ผกผัน 1 ตัว พบโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้นและใช้สูตร:

แนวคิดเรื่องอันดับเมทริกซ์ ทฤษฎีบทบนพื้นฐานรอง เกณฑ์สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ให้เท่ากับศูนย์

การแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์การคำนวณอันดับโดยวิธีการแปลงเบื้องต้น การคำนวณเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

อันดับเมทริกซ์ –ลำดับพื้นฐานรอง (rg A)

พื้นฐานรอง –ลำดับรอง r ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นลำดับรองทั้งหมด r+1 และสูงกว่าจะเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

ทฤษฎีบทรองพื้นฐาน -ในเมทริกซ์ A ที่กำหนดเอง แต่ละคอลัมน์ (แถว) คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ (แถว) ซึ่งมีฐานรองอยู่

การพิสูจน์: ปล่อยให้ฐานรองในเมทริกซ์ A ของมิติ m*n อยู่ในแถว r แรกและคอลัมน์ r แรก ให้เราพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งได้มาจากการกำหนดองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ s และคอลัมน์ที่ k ให้กับฐานรองของเมทริกซ์ A โปรดทราบว่าสำหรับคุณใดๆ ดีเทอร์มีแนนต์นี้จะเท่ากับศูนย์ ถ้า หรือ ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ D จะมีแถวที่เหมือนกันสองแถวหรือคอลัมน์ที่เหมือนกันสองคอลัมน์ ถ้าเป็นเช่นนั้น ดีเทอร์มีแนนต์ D จะเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมันเป็นลำดับรองของ (r+แล)-ro เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์ไปตามแถวสุดท้าย เราจะได้: โดยที่ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของแถวสุดท้ายอยู่ที่ไหน โปรดทราบว่าเนื่องจากนี่คือผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน ดังนั้นที่ไหน

การเขียนความเสมอภาคสุดท้ายสำหรับ เราได้, เช่น. คอลัมน์ที่ k (สำหรับค่าใดๆ) คือผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ของฐานรอง ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์เกณฑ์ ง

และเอตเอ=0:

– ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อแถว (คอลัมน์) ของมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงเท่านั้น

การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น

1) การคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์

2) การเพิ่มองค์ประกอบของบรรทัดอื่นให้กับองค์ประกอบของบรรทัดเดียว

5) การขนย้าย;

การคำนวณอันดับ –จากทฤษฎีบทย่อยพื้นฐาน อันดับของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวอิสระเชิงเส้นสูงสุด (คอลัมน์ในเมทริกซ์) ดังนั้น หน้าที่ของการแปลงเบื้องต้นคือการค้นหาแถว (คอลัมน์อิสระเชิงเส้นทั้งหมด)

การคำนวณเมทริกซ์ผกผัน- การแปลงสามารถทำได้โดยการคูณด้วยเมทริกซ์ A เมทริกซ์ T บางตัว ซึ่งเป็นผลคูณของเมทริกซ์เบื้องต้นที่สอดคล้องกัน: TA = E

สมการนี้หมายความว่าเมทริกซ์การแปลง T คือค่าผกผันของเมทริกซ์ ดังนั้นแล้ว