ต้นฉบับและรูปภาพ วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

สมมติว่าคุณมีรูปภาพบางประเภท (ภาพวาด รูปภาพ ภาพถ่าย) และคุณต้องการค้นหารูปภาพเดียวกัน (ซ้ำ) หรือคล้ายกันบนอินเทอร์เน็ต ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เครื่องมือพิเศษจากเครื่องมือค้นหาของ Google และ Yandex บริการ TinEye รวมถึงส่วนขยายเบราว์เซอร์ PhotoTracker Lite ที่น่าทึ่งซึ่งรวมวิธีการเหล่านี้ทั้งหมดเข้าด้วยกัน มาดูกันทีละอัน

ค้นหาด้วยภาพถ่ายใน Google

ระบุลิงก์ไปยังรูปภาพบนอินเทอร์เน็ต
การอัพโหลดไฟล์จากคอมพิวเตอร์

ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้รับรายการรูปภาพที่คล้ายกันทั้งหมดจากรูปภาพที่เลือกไว้เป็นตัวอย่าง:

มีวิธีที่ดีอีกวิธีหนึ่งที่ทำงานในเบราว์เซอร์ Chrome ขณะอยู่บนหน้าที่มีรูปภาพที่คุณสนใจ ให้เลื่อนเคอร์เซอร์ของเมาส์ไปที่รูปภาพนั้น คลิกขวา และในคำแนะนำเครื่องมือที่เปิดขึ้น ให้เลือก "ค้นหารูปภาพ (Google)":

คุณจะถูกนำไปที่หน้าผลการค้นหาทันที!

ค้นหาตามภาพใน Yandex

ด้วย Yandex ทุกอย่างไม่ง่ายไปกว่า Google :) ตามลิงค์ https://yandex.by/images/ และคลิกไอคอนกล้องที่มุมขวาบน:

ป้อนที่อยู่ของรูปภาพบนอินเทอร์เน็ตหรืออัปโหลดจากคอมพิวเตอร์ของคุณ (คุณสามารถลากไปยังพื้นที่พิเศษที่ด้านบนของหน้าต่างเบราว์เซอร์):

ผลการค้นหามีลักษณะดังนี้:

คุณสามารถเข้าถึงข้อมูลต่อไปนี้ได้ทันที:

รูปภาพที่คุณอัปโหลดทางออนไลน์มีขนาดเท่าใดเพื่อใช้เป็นตัวอย่างในการค้นหา
รายชื่อเว็บไซต์ที่ปรากฏ
รูปภาพที่คล้ายกัน (แก้ไขตามต้นฉบับหรือตามที่อัลกอริธึมตัดสินใจเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกันทางความหมาย)

หลายคนคงเคยได้ยินเกี่ยวกับบริการออนไลน์ TinEye ซึ่งผู้ใช้ที่พูดภาษารัสเซียมักเรียกว่า Tinai ได้รับการพัฒนาโดยผู้เชี่ยวชาญในด้านการเรียนรู้ของเครื่องและการจดจำวัตถุ จากผลที่ตามมาทั้งหมดนี้ Tinay ไม่เพียงแต่ยอดเยี่ยมในการค้นหารูปภาพและรูปถ่ายที่คล้ายกันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงส่วนประกอบต่างๆ อีกด้วย

ฐานข้อมูลภาพที่จัดทำดัชนีของ TinEye มีรายการมากกว่า 1 หมื่นล้านรายการ และใหญ่ที่สุดในอินเทอร์เน็ตทั้งหมด “ ทุกสิ่งสามารถพบได้ที่นี่” - วลีนี้บ่งบอกถึงบริการได้อย่างสมบูรณ์แบบ

มีวิธีอื่นในการค้นหาในคลิกเดียว ตามค่าเริ่มต้น รายการ "แสดงไอคอนค้นหาด่วน" จะเปิดใช้งานในการตั้งค่าแอปพลิเคชัน เมื่อคุณชี้ไปที่ภาพถ่ายหรือรูปภาพ ไอคอนกลมสีเขียวจะปรากฏขึ้น คลิกเพื่อเริ่มการค้นหาภาพที่คล้ายกัน - ผลการค้นหาสำหรับ Google, Yandex, Tinay และ Bing จะเปิดขึ้นโดยอัตโนมัติในแท็บใหม่

ส่วนขยายนี้สร้างขึ้นโดยเพื่อนร่วมชาติของเราซึ่งมีงานอดิเรกเกี่ยวข้องกับการถ่ายภาพอย่างใกล้ชิด เดิมทีเขาสร้างเครื่องมือนี้เพื่อค้นหารูปภาพของเขาบนเว็บไซต์ของผู้อื่นอย่างรวดเร็ว

เมื่อคุณอาจต้องการมัน

คุณเป็นช่างภาพ คุณโพสต์ภาพถ่ายของคุณบนอินเทอร์เน็ต และต้องการดูว่ามีการใช้งานเว็บไซต์ใดและลิขสิทธิ์ของคุณอาจถูกละเมิดที่ใดบ้าง
คุณเป็นบล็อกเกอร์หรือนักเขียนคำโฆษณา เขียนบทความ และต้องการเลือกรูปภาพที่ "ไม่ผ่านการแฮ็ก" สำหรับเนื้อหาของคุณ
จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีคนใช้รูปถ่ายของคุณจากโปรไฟล์ VKontakte หรือ Facebook ของคุณเป็นอวตารในฟอรัมหรือบัญชีปลอมในเครือข่ายโซเชียลบางแห่ง? แต่นี่มันเกินกว่าจะเป็นไปได้!
คุณพบรูปถ่ายของนักแสดงที่คุณรู้จักและต้องการจำชื่อของเขา

ที่จริงแล้วมีหลายกรณีที่การค้นหาด้วยภาพถ่ายอาจมีประโยชน์ คุณสามารถยกตัวอย่างอื่นได้ ...

วิธีค้นหาต้นฉบับของรูปภาพที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น คุณมีรูปถ่ายบางประเภท อาจถูกครอบตัดหรือโฟโต้ช็อป และคุณต้องการค้นหาต้นฉบับหรือเวอร์ชันที่มีคุณภาพดีกว่า วิธีการทำเช่นนี้? ทำการค้นหาใน Yandex และ Google ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น หรือใช้ PhotoTracker Lite และรับรายการภาพทั้งหมดที่พบ ต่อไป ให้ปฏิบัติตามดังต่อไปนี้:

รูปภาพต้นฉบับมักจะมีขนาดใหญ่กว่าและมีคุณภาพดีกว่าสำเนาที่แก้ไขซึ่งเกิดจากการครอบตัด แน่นอนคุณสามารถตั้งค่ารูปภาพเป็นขนาดใดก็ได้ใน Photoshop แต่เมื่อคุณขยายรูปภาพให้สัมพันธ์กับต้นฉบับ สิ่งประดิษฐ์ต่างๆ จะถูกสังเกตเสมอ สามารถสังเกตเห็นได้ง่ายแม้จะตรวจสอบด้วยสายตาคร่าวๆ
ภาพถ่ายต้นฉบับมักจะมีลายน้ำที่ระบุถึงผู้เขียนภาพถ่าย (นามสกุล ที่อยู่เว็บไซต์ ชื่อบริษัท ฯลฯ) แน่นอนว่าใครๆ ก็สามารถเพิ่มลายน้ำให้กับภาพใดๆ ก็ได้ แต่ในกรณีนี้ คุณสามารถค้นหาภาพตัวอย่างบนเว็บไซต์หรือจากนามสกุลของผู้เขียนได้ เขาอาจจะโพสต์ผลงานของเขาทางออนไลน์ที่ไหนสักแห่ง
และสุดท้ายคือสัญญาณที่ง่ายมาก หากภาพถ่ายตัวอย่างของคุณเป็นภาพขาวดำ (ซีเปีย ฯลฯ) และคุณพบภาพเดียวกันแต่เป็นภาพสี แสดงว่าคุณไม่มีภาพต้นฉบับ ยากกว่าการแปลงภาพถ่ายสีเป็นขาวดำมาก :)

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์
วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ?

ในบทนี้ เราจะตรวจสอบรายละเอียดงานการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนโดยทั่วไปและแพร่หลาย - ค้นหาคำตอบเฉพาะของ DE ลำดับที่ 2 ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ- ครั้งแล้วครั้งเล่า ฉันกำจัดคุณจากอคติที่ว่าเนื้อหานั้นซับซ้อนเกินกว่าจะจินตนาการและไม่สามารถเข้าถึงได้ มันตลกดี แต่เพื่อที่จะเชี่ยวชาญตัวอย่าง คุณอาจไม่สามารถแยกแยะ บูรณาการ และแม้แต่ไม่รู้ว่ามันคืออะไร จำนวนเชิงซ้อน- ทักษะการใช้งานที่จำเป็น วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนซึ่งจะกล่าวถึงโดยละเอียดในบทความ การบูรณาการฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ- จริงๆ แล้ว รากฐานที่สำคัญของงานนี้คือการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตแบบง่ายๆ และฉันมั่นใจว่าเนื้อหานี้สามารถเข้าถึงได้แม้กระทั่งนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายก็ตาม

ขั้นแรก ข้อมูลทางทฤษฎีที่กระชับเกี่ยวกับส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่กำลังพิจารณา ประเด็นหลัก แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการเป็นดังนี้: ฟังก์ชั่น ถูกต้องตัวแปรโดยใช้สิ่งที่เรียกว่า การแปลงลาปลาซแสดงใน การทำงาน ครอบคลุมตัวแปร :

คำศัพท์และการกำหนด:
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ต้นฉบับ;
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ภาพ;
อักษรตัวใหญ่หมายถึง การแปลงลาปลาซ.

พูดง่ายๆ ก็คือ ตามกฎบางประการแล้ว ฟังก์ชันจริง (ดั้งเดิม) จะต้องถูกเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน (รูปภาพ) ลูกศรบ่งบอกถึงการเปลี่ยนแปลงนี้อย่างแม่นยำ และ "กฎเกณฑ์บางอย่าง" เองก็เป็นเช่นนั้น การแปลงลาปลาซซึ่งเราจะพิจารณาอย่างเป็นทางการเท่านั้นซึ่งจะเพียงพอสำหรับการแก้ปัญหา

การแปลงลาปลาซแบบผกผันก็เป็นไปได้เช่นกัน เมื่อรูปภาพถูกแปลงเป็นต้นฉบับ:

ทำไมทั้งหมดนี้ถึงจำเป็น? ในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นจำนวนหนึ่ง การเปลี่ยนจากต้นฉบับเป็นรูปภาพอาจเป็นประโยชน์อย่างมาก เนื่องจากในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายขึ้นอย่างมาก (ล้อเล่น) และเราจะพิจารณาปัญหาเหล่านี้เพียงข้อเดียว หากคุณเคยมีชีวิตอยู่เพื่อดูแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ สูตรนี้น่าจะคุ้นเคยกับคุณเป็นอย่างดี:

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการไม่เอกพันธ์อันดับสองด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่สำหรับเงื่อนไขตั้งต้นที่กำหนด

บันทึก: บางครั้งสมการเชิงอนุพันธ์อาจเป็นเนื้อเดียวกันได้: เนื่องจากในสูตรข้างต้นจึงใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติแล้ว DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่ 2หายากมาก และต่อไปเราจะพูดถึงสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

และตอนนี้เราจะพูดถึงวิธีที่สาม - การแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ ฉันขอเน้นย้ำความจริงที่ว่า เรากำลังพูดถึงการหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ, นอกจาก, เงื่อนไขเริ่มต้นมีรูปแบบอย่างเคร่งครัด(“X's” เท่ากับศูนย์)

โดยวิธีการเกี่ยวกับ "X's" สมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
โดยที่ “x” เป็นตัวแปรอิสระ และ “y” เป็นฟังก์ชัน ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันกำลังพูดถึงเรื่องนี้เนื่องจากในปัญหาที่กำลังพิจารณามักใช้ตัวอักษรอื่น:

นั่นคือบทบาทของตัวแปรอิสระจะเล่นโดยตัวแปร "te" (แทน "x") และบทบาทของฟังก์ชันจะเล่นโดยตัวแปร "x" (แทน "y")

ฉันเข้าใจว่ามันไม่สะดวกแน่นอน แต่จะดีกว่าถ้ายึดตามสัญลักษณ์ที่พบในหนังสือปัญหาและคู่มือการฝึกอบรมส่วนใหญ่

ดังนั้นปัญหาของเรากับตัวอักษรอื่นจึงเขียนดังนี้:

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการไม่เอกพันธ์อันดับสองด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่สำหรับเงื่อนไขตั้งต้นที่กำหนด .

ความหมายของงานไม่เปลี่ยนแปลงเลย มีเพียงตัวอักษรเท่านั้นที่เปลี่ยนไป

จะแก้ไขปัญหานี้โดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการได้อย่างไร?

ก่อนอื่นคุณจะต้องมี ตารางต้นฉบับและรูปภาพ- นี่เป็นเครื่องมือแก้ปัญหาที่สำคัญ และคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีมัน ดังนั้นหากเป็นไปได้ ให้ลองพิมพ์เอกสารอ้างอิงที่ให้มา ให้ฉันอธิบายทันทีว่าตัวอักษร "pe" หมายถึงอะไร: ตัวแปรที่ซับซ้อน (แทนที่จะเป็น "z" ปกติ) แม้ว่าความจริงข้อนี้ไม่สำคัญเป็นพิเศษในการแก้ปัญหา แต่ "pe" คือ "pe"

เมื่อใช้ตาราง ต้นฉบับจะต้องถูกแปลงเป็นภาพบางภาพ สิ่งต่อไปนี้คือชุดของการกระทำทั่วไป และใช้การแปลงลาปลาซแบบผกผัน (ในตารางด้วย) ดังนั้นจะพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ต้องการ

ปัญหาทั้งหมดซึ่งเป็นสิ่งที่ดีได้รับการแก้ไขตามอัลกอริธึมที่ค่อนข้างเข้มงวด

ตัวอย่างที่ 1

, ,

สารละลาย:ในขั้นตอนแรก เราจะย้ายจากต้นฉบับไปยังรูปภาพที่เกี่ยวข้อง เราใช้ด้านซ้าย

ก่อนอื่น ลองดูที่ด้านซ้ายของสมการดั้งเดิม สำหรับการแปลงลาปลาซที่เรามี กฎความเป็นเส้นตรงดังนั้นเราจึงละเว้นค่าคงที่ทั้งหมดและแยกฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันออกจากกัน

การใช้สูตรตารางหมายเลข 1 เราแปลงฟังก์ชัน:

ตามสูตรหมายเลข 2 โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้น เราจึงแปลงอนุพันธ์:

ใช้สูตรหมายเลข 3 โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้น เราแปลงอนุพันธ์อันดับสอง:

อย่าสับสนกับสัญญาณ!

ฉันยอมรับว่าการพูดว่า "การเปลี่ยนแปลง" นั้นถูกต้องมากกว่า "สูตร" แต่เพื่อความง่ายฉันจะเรียกเนื้อหาของสูตรตารางเป็นครั้งคราว

ทีนี้ ลองดูทางด้านขวา ซึ่งมีพหุนามอยู่ เพราะเหตุเดียวกัน กฎความเป็นเส้นตรงการแปลง Laplace เราทำงานร่วมกับแต่ละเทอมแยกกัน

ลองดูเทอมแรก: - นี่คือตัวแปรอิสระ “te” คูณด้วยค่าคงที่ เราเพิกเฉยต่อค่าคงที่และใช้จุดที่ 4 ของตารางเพื่อทำการเปลี่ยนแปลง:

ลองดูเทอมที่สอง: –5 เมื่อพบค่าคงที่เพียงอย่างเดียว จะไม่สามารถข้ามได้อีกต่อไป ด้วยค่าคงที่เดียว พวกเขาทำสิ่งนี้: เพื่อความชัดเจน มันสามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์: และการเปลี่ยนแปลงสามารถนำไปใช้กับความสามัคคี:

ดังนั้นสำหรับองค์ประกอบทั้งหมด (ต้นฉบับ) ของสมการเชิงอนุพันธ์จึงพบรูปภาพที่เกี่ยวข้องโดยใช้ตาราง:

ลองแทนที่รูปภาพที่พบลงในสมการดั้งเดิม:

ภารกิจต่อไปคือการแสดงออก โซลูชันของผู้ปฏิบัติงานผ่านสิ่งอื่นทั้งหมด กล่าวคือผ่านเศษส่วนหนึ่งอัน ในกรณีนี้ แนะนำให้ปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นแรก ให้เปิดวงเล็บทางด้านซ้าย:

เรานำเสนอคำที่คล้ายกันทางด้านซ้าย (ถ้ามี) ในกรณีนี้ เราจะบวกตัวเลข –2 และ –3 ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งว่ากาน้ำชาอย่าข้ามขั้นตอนนี้:

ทางด้านซ้ายเราจะปล่อยคำศัพท์ที่มี และย้ายคำศัพท์ที่เหลือไปทางขวาโดยมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย:

ทางด้านซ้ายเราใส่คำตอบของตัวดำเนินการออกจากวงเล็บ ทางด้านขวาเราลดนิพจน์ให้เป็นตัวส่วนร่วม:

พหุนามทางด้านซ้ายควรแยกตัวประกอบ (ถ้าเป็นไปได้) การแก้สมการกำลังสอง:

ดังนั้น:

เรารีเซ็ตเป็นตัวส่วนของด้านขวา:

บรรลุเป้าหมายแล้ว - โซลูชันของผู้ปฏิบัติงานแสดงเป็นเศษส่วนหนึ่งส่วน

พระราชบัญญัติที่สอง โดยใช้ วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนคำตอบของตัวดำเนินการของสมการควรขยายเป็นผลรวมของเศษส่วนมูลฐาน:

ให้เราเทียบสัมประสิทธิ์ด้วยกำลังที่สอดคล้องกันแล้วแก้ระบบ:

หากคุณมีปัญหาใดๆกับ โปรดติดตามบทความต่างๆ การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะและ จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?สิ่งนี้สำคัญมากเพราะว่าเศษส่วนเป็นส่วนที่สำคัญที่สุดของโจทย์

ดังนั้นจึงพบค่าสัมประสิทธิ์: และวิธีแก้ปัญหาของตัวดำเนินการปรากฏต่อหน้าเราในรูปแบบที่แยกชิ้นส่วน:

โปรดทราบว่าค่าคงที่ไม่ได้เขียนด้วยตัวเศษ การบันทึกรูปแบบนี้ให้ผลกำไรมากกว่า - และทำกำไรได้มากกว่า เนื่องจากการดำเนินการขั้นสุดท้ายจะเกิดขึ้นโดยไม่มีความสับสนและข้อผิดพลาด:

ขั้นตอนสุดท้ายของปัญหาคือการใช้การแปลงลาปลาซแบบผกผันเพื่อย้ายจากรูปภาพไปยังต้นฉบับที่เกี่ยวข้อง การใช้คอลัมน์ด้านขวา ตารางต้นฉบับและรูปภาพ.

บางทีไม่ใช่ทุกคนที่เข้าใจการเปลี่ยนใจเลื่อมใส ใช้สูตรของจุดที่ 5 ของตารางดังนี้: รายละเอียดเพิ่มเติม: - จริงๆ แล้ว ในกรณีที่คล้ายกัน สูตรสามารถแก้ไขได้: และสูตรตารางทั้งหมดของจุดที่ 5 นั้นเขียนใหม่ในลักษณะเดียวกันได้ง่ายมาก

หลังจากการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ จะได้สารละลาย DE บางส่วนที่ต้องการบนถาดเงิน:

เคยเป็น:

กลายเป็น:

คำตอบ:โซลูชันส่วนตัว:

หากคุณมีเวลาแนะนำให้ทำการตรวจสอบเสมอ การตรวจสอบจะดำเนินการตามแผนงานมาตรฐานซึ่งมีการพูดคุยกันในชั้นเรียนแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่ 2- ทำซ้ำ:

ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขเริ่มต้น:
- เสร็จแล้ว.

มาหาอนุพันธ์อันดับแรกกัน:

เรามาตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่สอง:
- เสร็จแล้ว.

มาหาอนุพันธ์อันดับสองกัน:

มาทดแทนกัน , และทางด้านซ้ายของสมการเดิม:

จะได้ด้านขวาของสมการดั้งเดิม

สรุป: งานเสร็จสมบูรณ์อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ สำหรับโซลูชันของคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 2

ใช้แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ภายใต้เงื่อนไขตั้งต้นที่กำหนด

ตัวอย่างงานมอบหมายสุดท้ายโดยประมาณเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

แขกที่พบบ่อยที่สุดในสมการเชิงอนุพันธ์ดังที่หลายคนสังเกตเห็นมานานแล้วคือเลขชี้กำลัง ดังนั้นลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนกับพวกเขาซึ่งเป็นญาติกัน:

ตัวอย่างที่ 3

, ,

สารละลาย:เมื่อใช้ตารางการแปลง Laplace (ด้านซ้ายของตาราง) เราย้ายจากต้นฉบับไปยังรูปภาพที่เกี่ยวข้อง

ลองดูที่ด้านซ้ายของสมการก่อน ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่งตรงนั้น แล้วไงล่ะ? ยอดเยี่ยม. งานน้อยลง. โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเริ่มต้นโดยใช้สูตรตารางหมายเลข 1, 3 เราพบรูปภาพ:

ตอนนี้ดูทางด้านขวา: – ผลคูณของสองฟังก์ชัน เพื่อจะได้ใช้ประโยชน์ คุณสมบัติเชิงเส้นการแปลง Laplace คุณต้องเปิดวงเล็บ: . เนื่องจากค่าคงที่อยู่ในผลคูณ เราจึงลืมมันไป และใช้สูตรตารางกลุ่มหมายเลข 5 เราจึงพบรูปภาพ:

ลองแทนที่รูปภาพที่พบลงในสมการดั้งเดิม:

ฉันขอเตือนคุณว่างานต่อไปคือแสดงผลเฉลยของตัวดำเนินการในรูปเศษส่วนตัวเดียว

ทางด้านซ้ายเราจะปล่อยคำศัพท์ที่มี และย้ายคำศัพท์ที่เหลือไปทางด้านขวา ในเวลาเดียวกัน ทางด้านขวาเราเริ่มค่อยๆ ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม:

ทางด้านซ้ายเรานำมันออกจากวงเล็บ ทางด้านขวาเรานำนิพจน์มาเป็นตัวส่วนร่วม:

ทางด้านซ้าย เราได้พหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ หากไม่สามารถแยกตัวประกอบพหุนามได้ ผู้น่าสงสารจะต้องถูกโยนไปที่ด้านล่างของด้านขวาทันที ขาของเขาแนบแน่นอยู่ในแอ่ง และในตัวเศษเราจะเปิดวงเล็บและแสดงคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

ขั้นตอนที่อุตสาหะที่สุดมาถึงแล้ว: วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนให้เราขยายคำตอบของตัวดำเนินการของสมการเป็นผลรวมของเศษส่วนเบื้องต้น:

ดังนั้น:

สังเกตว่าเศษส่วนสลายตัวอย่างไร: ฉันจะอธิบายเร็ว ๆ นี้ว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

เสร็จสิ้น: ย้ายจากรูปภาพไปยังต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกัน ใช้คอลัมน์ด้านขวาของตาราง:

ในการแปลงที่ต่ำกว่าสองครั้งนั้น มีการใช้สูตรหมายเลข 6 และ 7 ของตาราง และเศษส่วนจะถูกขยายไว้ล่วงหน้าเพียงเพื่อให้ "พอดี" กับการแปลงตาราง

เป็นผลให้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ:

คำตอบ:โซลูชันเฉพาะที่จำเป็น:

ตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับโซลูชัน DIY:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ในตัวอย่างที่ 4 เงื่อนไขเริ่มต้นข้อใดข้อหนึ่งคือศูนย์ สิ่งนี้ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างแน่นอน และทางเลือกที่เหมาะสมที่สุดคือเมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นทั้งสองเป็นศูนย์: - ในกรณีนี้ อนุพันธ์จะถูกแปลงเป็นรูปภาพที่ไม่มีส่วนท้าย:

ดังที่กล่าวไปแล้ว ด้านเทคนิคที่ยากที่สุดของปัญหาคือการขยายเศษส่วน วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอนและฉันมีตัวอย่างที่ต้องใช้แรงงานมากพอสมควร อย่างไรก็ตาม ฉันจะไม่ข่มขู่ใครด้วยสัตว์ประหลาด ลองพิจารณารูปแบบทั่วไปอีกสองสามแบบของสมการ:

ตัวอย่างที่ 5

ใช้วิธีแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
, ,

สารละลาย:เมื่อใช้ตารางการแปลง Laplace เราจะย้ายจากต้นฉบับไปยังรูปภาพที่เกี่ยวข้อง โดยคำนึงถึงเงื่อนไขเบื้องต้น :

ไม่มีปัญหากับด้านขวาเช่นกัน:

(โปรดจำไว้ว่าค่าคงที่ตัวคูณจะถูกละเว้น)

ลองแทนที่รูปภาพผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมและดำเนินการมาตรฐานซึ่งฉันหวังว่าคุณจะทำงานได้ดีอยู่แล้ว:

เราหาค่าคงที่ในตัวส่วนนอกเศษส่วน สิ่งสำคัญคืออย่าลืมมันในภายหลัง:

ฉันกำลังคิดว่าจะลบสองตัวเพิ่มเติมออกจากตัวเศษหรือไม่ อย่างไรก็ตาม หลังจากตรวจนับหุ้นแล้ว ฉันจึงได้ข้อสรุปว่าขั้นตอนนี้จริงๆ แล้วจะไม่ทำให้การตัดสินใจครั้งต่อไปง่ายขึ้น

ลักษณะเฉพาะของงานคือเศษส่วนผลลัพธ์ ดูเหมือนว่าการสลายตัวของมันจะยาวนานและยากลำบาก แต่รูปลักษณ์ภายนอกนั้นหลอกลวง โดยธรรมชาติแล้วมีสิ่งที่ยาก แต่ในกรณีใด ๆ - ไปข้างหน้าโดยไม่ต้องกลัวและสงสัย:

ความจริงที่ว่าอัตราต่อรองบางอย่างกลายเป็นเศษส่วนไม่ควรทำให้เกิดความสับสน สถานการณ์นี้ไม่ใช่เรื่องแปลก หากเพียงเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ไม่ล้มเหลว นอกจากนี้ยังมีโอกาสตรวจคำตอบอยู่เสมอ

ด้วยเหตุนี้ โซลูชันของผู้ปฏิบัติงาน:

เรามาต่อจากรูปภาพไปยังต้นฉบับที่เกี่ยวข้องกัน:

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ:

แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการเป็นหนึ่งในบทของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การแปลงอินทิกรัลลาปลาซและแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของมันเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (ทั้งอนุพันธ์สามัญและอนุพันธ์บางส่วน) ผลต่างเชิงอนุพันธ์และสมการอินทิกรัลซึ่งปัญหาในวิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมวิทยุ, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ วิศวกรรมความร้อนและกลศาสตร์ลดลงและสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอื่นๆ โปรดทราบว่าแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการยังขึ้นอยู่กับการแปลงอื่นๆ ด้วย เช่น ฟูริเยร์ แฮงเคิล เมลลิน เป็นต้น

แนวคิดในการใช้วิธีการดำเนินการมีดังนี้ สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชัน จากสมการบางสมการที่มีฟังก์ชันนี้อยู่ใต้เครื่องหมายอนุพันธ์และปริพันธ์ จากฟังก์ชันที่ต้องการ (เรียกว่าต้นฉบับ) ย้ายไปยังฟังก์ชันอื่น (เรียกว่าภาพ) ซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลง- ตามกฎของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ การดำเนินการกับต้นฉบับจะถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการที่สอดคล้องกันบนรูปภาพ ซึ่งง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น การสร้างความแตกต่าง สอดคล้องกับการคูณ บน บูรณาการ–หารด้วย รฯลฯ สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถย้ายจากสมการที่ซับซ้อนด้วยความเคารพ ให้เป็นสมการที่ง่ายกว่าเกี่ยวกับ เรียกว่าตัวดำเนินการ; เช่น จากสมการเชิงอนุพันธ์–พีชคณิต ต้องแก้สมการโอเปอเรเตอร์จากภาพแล้วไปที่ต้นฉบับ - ฟังก์ชั่นที่ต้องการ การแก้ปัญหาด้วยวิธีการปฏิบัติงานจึงมีสองขั้นตอนคือ โดยการหาภาพวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการแล้วกลับไปสู่จุดเดิม

การใช้วิธีการดำเนินการสามารถเปรียบเทียบได้กับลอการิทึมซึ่งช่วยให้การดำเนินการที่ซับซ้อนกับตัวเลขถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการที่ง่ายกว่าในลอการิทึม หลังจากนั้นจะดำเนินการจากลอการิทึมที่พบอีกครั้งเป็นจำนวนที่ต้องการ ในที่นี้บทบาทของต้นฉบับเล่นตามตัวเลข และบทบาทของรูปภาพคือลอการิทึม

1.1. ต้นฉบับและรูปภาพ

อนุญาต เป็นฟังก์ชันที่แท้จริงของอาร์กิวเมนต์จริง ซึ่งกำหนดไว้สำหรับไฟล์ .

คำนิยาม. เราจะเรียกฟังก์ชันเดิม หากเข้าเงื่อนไขดังต่อไปนี้

1. – ฟังก์ชันต่อเนื่องทีละชิ้นสำหรับ ; นี่หมายความว่ามันเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งต่อเนื่องหรือมีจุดไม่ต่อเนื่องของชนิดแรก จำนวนซึ่งมีจำกัดในช่วงเวลาจำกัดใดๆ

2. ที่ ;

3. อาจเพิ่มขึ้นตามการเพิ่มขึ้น แต่ไม่เร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังบางตัว ซึ่งหมายความว่ามีตัวเลขดังกล่าวและสำหรับตัวเลขทั้งหมดนั้น ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังการเติบโตของฟังก์ชัน - (สำหรับฟังก์ชั่นที่จำกัดสามารถยอมรับได้)

ลองดูเงื่อนไขเหล่านี้โดยละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย เงื่อนไข 1 และ 3 เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่สอดคล้องกับกระบวนการทางกายภาพซึ่ง ทีเข้าใจว่าเป็นเวลา เงื่อนไขที่ 2 ได้รับการพิสูจน์โดยข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อศึกษากระบวนการ ไม่สำคัญว่าฟังก์ชันที่พิจารณาจะมีพฤติกรรมอย่างไรในช่วงเวลาเริ่มต้นที่แน่นอน ซึ่งแน่นอนว่าสามารถใช้เป็นช่วงเวลาได้

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับเงื่อนไขที่ 2 ในการนำเสนอครั้งต่อไป ในกรณีที่จำเป็น เราจะเขียนเฉพาะนิพจน์เพื่อความกระชับเท่านั้น ซึ่งเธอมีไว้เพื่อ แปลว่านั่นเพื่อ - เช่น บันทึก ควรเข้าใจดังนี้: .

ในทำนองเดียวกัน หากกำหนดนิพจน์ โดยที่ จะเก็บเฉพาะสำหรับ เท่านั้น ในขณะที่สำหรับฟังก์ชัน .

โปรดทราบว่าหากฟังก์ชันไม่เป็นไปตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งในสามข้อนี้ แสดงว่าไม่ใช่ต้นฉบับ ดังนั้น ฟังก์ชันจึงละเมิดเงื่อนไข 1 (ถึงจุดหนึ่งที่ฟังก์ชันชนิดที่สองไม่ต่อเนื่อง) ฟังก์ชันไม่เป็นไปตามเงื่อนไข 3 (ขยายเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) ดังนั้นฟังก์ชันเหล่านี้จึงไม่สามารถเป็นต้นฉบับได้

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องพิจารณาต้นฉบับ ฟังก์ชั่นที่แท้จริง การทำงาน ก็สามารถมีค่าเชิงซ้อนได้เช่นกัน เช่น ดูเหมือน - ในกรณีนี้ ชิ้นส่วนจริงและจินตภาพจะต้องเป็นของจริง เช่น เป็นไปตามเงื่อนไข 1, 2, 3

คำนิยาม. รูปภาพของฟังก์ชั่น - ต้นฉบับ–เรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนที่กำหนดโดยอินทิกรัล

. (1.1)

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (1.1) เรียกว่าอินทิกรัลลาปลาส ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์

ดังนั้นฟังก์ชั่นต่างๆ ตัวแปรจริงสัมพันธ์กับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ความสัมพันธ์ (1.1) แปลงฟังก์ชันหนึ่งเป็นอีกฟังก์ชันหนึ่ง การดำเนินการเปลี่ยนจากเดิม ให้กับรูปภาพตามสูตร (1.1) เรียกว่า การแปลงลาปลาซหรือการแปลงลาปลาซโดยตรง

ความจริงที่ว่ามีรูปภาพ (พวกเขายังกล่าวอีกว่ารูปภาพตาม Laplace) มีการเขียนเชิงสัญลักษณ์ดังนี้: