อนุญาต และเป็นสองเท่าของฟังก์ชันสเกลาร์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องของอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน โดยมีเงื่อนไขว่าอาร์กิวเมนต์นั้นเป็นไปตามระบบข้อจำกัด:

(เงื่อนไขสุดท้ายเรียกอีกอย่างว่าเงื่อนไขการเชื่อมต่อ)

ที่สุด วิธีการง่ายๆการหาค่าสุดโต่งแบบมีเงื่อนไขคือการลดปัญหาการหาค่าสุดโต่งแบบไม่มีเงื่อนไขโดยการแก้สมการการเชื่อมต่อเทียบกับ มตัวแปรและการทดแทนที่ตามมาในฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ตัวอย่างที่ 3หาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันภายใต้เงื่อนไข

สารละลาย- จากสมการการเชื่อมต่อที่เราแสดงออกมา x2ผ่าน x1และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในฟังก์ชัน ที่:

ฟังก์ชั่นนี้มีจุดสุดขีด (ขั้นต่ำ) เดียวที่ x1=2. ตามลำดับ x2=1. ดังนั้น จุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข (ขั้นต่ำ) ฟังก์ชันที่กำหนดคือประเด็น

ในตัวอย่างที่พิจารณา สมการการควบคู่สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายด้วยตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ซับซ้อนกว่านั้น ไม่สามารถแสดงตัวแปรได้เสมอไป ดังนั้นแนวทางที่อธิบายไว้ข้างต้นจึงไม่สามารถใช้ได้กับทุกปัญหา

มากกว่า วิธีการสากลการแก้ปัญหาการหาจุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขคือ วิธีตัวคูณลากรองจ์- ขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ หากจุดเป็นจุดปลายสุดของฟังก์ชันในพื้นที่ที่กำหนดโดยสมการ ดังนั้น (ภายใต้เงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ) ก็จะมีจุดดังกล่าวอยู่ ม-มิติเวกเตอร์ที่จุดนั้นเป็นจุดคงที่ของฟังก์ชัน

อัลกอริทึมสำหรับวิธีตัวคูณลากรองจ์

ขั้นตอนที่ 1- เขียนฟังก์ชันลากรองจ์:

ตัวคูณลากรองจ์อยู่ที่ไหน ฉัน-ข้อจำกัด

ขั้นตอนที่ 2- ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์แล้วจัดให้เป็นศูนย์

ขั้นตอนที่ 3ต้องแก้ไขระบบผลลัพธ์จาก n+มสมการหาจุดคงที่

โปรดทราบว่า ณ จุดที่อยู่นิ่ง เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันจะเป็นที่พอใจ การวิเคราะห์จุดที่อยู่นิ่งสำหรับการมีอยู่ของส่วนปลายในนั้น ในกรณีนี้ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้น วิธีตัวคูณลากรองจ์จึงใช้เป็นหลักในกรณีที่ทราบค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชันที่กำลังศึกษาอยู่ล่วงหน้าจากการพิจารณาทางเรขาคณิตหรือสาระสำคัญ

เมื่อแก้ไขบางอย่างแล้ว งานทางเศรษฐกิจตัวคูณลากรองจ์มีเนื้อหาความหมายบางอย่าง ดังนั้นหาก - กำไรขององค์กรภายใต้แผนการผลิต nสินค้า - ต้นทุน ฉัน-ทรัพยากรที่แล้ว ฉัน- การประเมินทรัพยากรนี้โดยกำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมที่สุด ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลง ฉัน-ทรัพยากรที่

ตัวอย่างที่ 4จงหาจุดสุดโต่งของฟังก์ชันภายใต้เงื่อนไข

สารละลาย- ฟังก์ชันมีทั้งแบบต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ย่อยแบบต่อเนื่อง มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กัน:

ลองหาอนุพันธ์ย่อยแล้วจัดให้เป็นศูนย์

เราได้รับคะแนนคงที่สองคะแนน:

โดยคำนึงถึงธรรมชาติของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ เส้นระดับที่เป็นระนาบ และฟังก์ชัน (วงรี) เราสรุปได้ว่า ณ จุดนั้น ฟังก์ชันจะใช้ค่าต่ำสุด และที่จุดสูงสุด

ตัวอย่างที่ 5ในด้านโซลูชั่นระบบ

หาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันตามเงื่อนไข

สารละลาย- จุดตัดของขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้และเส้นตรงคือส่วน มน: ม(0,6), เอ็น(6.0) ดังนั้นฟังก์ชันสามารถรับค่าที่มากสุดได้ทั้งที่จุดคงที่หรือที่จุดต่างๆ มและ เอ็น- ในการค้นหาจุดคงที่ เราใช้วิธีลากรองจ์ มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กันดีกว่า

ลองหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์แล้วจัดให้เป็นศูนย์

การแก้ปัญหาระบบเราได้จุดคงที่ เค(2.2;3.8) ลองเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ณ จุดต่างๆ กัน เค, ม, เอ็น:

เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 6ความต้องการของตลาดสำหรับผลิตภัณฑ์บางอย่างมีประมาณ 180 ชิ้น ผลิตภัณฑ์นี้สามารถผลิตโดยสององค์กรที่มีข้อกังวลเดียวกันโดยใช้เทคโนโลยีที่แตกต่างกัน ในระหว่างการผลิต x1ผลิตภัณฑ์โดยองค์กรแรกต้นทุนจะเท่ากับ ถู. และระหว่างการผลิต x2ผลิตภัณฑ์โดยองค์กรที่สองที่พวกเขาสร้างขึ้น ถู.

กำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยใช้แต่ละเทคโนโลยีที่ข้อกังวลสามารถนำเสนอได้ เพื่อให้ต้นทุนรวมของการผลิตมีน้อยที่สุด

สารละลาย- แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา:

เพื่อค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ตาม x1+ x2=180 เช่น โดยไม่คำนึงถึงข้อกำหนดของการไม่ลบของตัวแปร เราเขียนฟังก์ชันลากรองจ์:

ให้เราหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันลากรองจ์เทียบกับ x1, x2, ลและจัดให้เป็น 0 เราได้ระบบสมการ:

การแก้ปัญหาระบบนี้ เราจะพบรากดังต่อไปนี้: , เช่น. เราได้รับพิกัดของจุดที่สงสัยว่าเป็นจุดสุดขั้ว

เพื่อพิจารณาว่าจุด ( ) ขั้นต่ำในพื้นที่ เราศึกษาดีเทอร์มิแนนต์ของ Hessian ซึ่งเราคำนวณอนุพันธ์ย่อยที่สองของฟังก์ชันวัตถุประสงค์:

เพราะ

จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของ Hessian จะเป็นค่าบวกที่แน่นอน ดังนั้นฟังก์ชันวัตถุประสงค์จึงนูนและอยู่ที่จุด ( ) เรามีขั้นต่ำในท้องถิ่น:

พิจารณาปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดที่มีข้อจำกัดซึ่งมีเพียงข้อจำกัดในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน

นาที

ที่ ข้อ จำกัด

,
.

โดยหลักการแล้ว ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในฐานะปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดที่ไม่มีข้อจำกัด ซึ่งได้รับโดยการกำจัดตัวแปรอิสระ m ออกจากฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยใช้ความเท่าเทียมกันที่กำหนด การมีอยู่ของข้อ จำกัด ในรูปแบบของความเท่าเทียมกันทำให้คุณสามารถลดมิติได้จริง ปัญหาเดิม- ปัญหาใหม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการปรับให้เหมาะสมที่ไม่มีข้อจำกัดที่เหมาะสม

ตัวอย่าง- จำเป็นต้องลดฟังก์ชันให้เหลือน้อยที่สุด

เมื่อถูกจำกัด

โดยการยกเว้นตัวแปร เมื่อใช้สมการ เราจะพบปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดโดยมีตัวแปรสองตัวโดยไม่มีข้อจำกัด:

ลดขนาด,

ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่มีเงื่อนไขวิธีใดวิธีหนึ่ง

อย่างไรก็ตาม วิธีการกำจัดตัวแปรใช้ได้เฉพาะในกรณีที่สมการที่แสดงถึงข้อจำกัดสามารถแก้ไขได้ด้วยความเคารพต่อชุดตัวแปรบางชุดเท่านั้น หากมีข้อจำกัดจำนวนมากในรูปแบบของความเท่าเทียมกัน กระบวนการกำจัดตัวแปรจะกลายเป็นขั้นตอนที่ต้องใช้แรงงานมาก นอกจากนี้ อาจมีสถานการณ์ที่ไม่สามารถแก้สมการตามตัวแปรได้ ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์

การใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์ เงื่อนไขที่จำเป็นได้รับการกำหนดขึ้นเพื่อให้สามารถระบุจุดที่ดีที่สุดในปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดที่มีข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกันได้

ลองพิจารณาปัญหา

นาที

ขึ้นอยู่กับข้อจำกัด

,
.

จากหลักสูตร การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นที่ทราบกันดีว่าจุดต่ำสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชัน เกิดขึ้นพร้อมกับจุดอานของฟังก์ชันลากรองจ์:

,

ในกรณีนี้ จุดอานต้องจัดให้มีตัวแปรขั้นต่ำ และพารามิเตอร์สูงสุด - พารามิเตอร์เหล่านี้เรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ การเท่ากันของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน โดย และโดย ถึงศูนย์ เราได้ เงื่อนไขที่จำเป็นจุดคงที่:

,
,

,
.

โซลูชั่นระบบ
สมการจะกำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์ เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของปัญหาดั้งเดิมขั้นต่ำนั้น นอกเหนือจากที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ความแน่นอนเชิงบวกของเมทริกซ์ Hessian ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

4.2. เงื่อนไขของคูน-ทัคเกอร์

ลองพิจารณาปัญหาไม่ได้ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยมีข้อจำกัดในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน

นาที

ภายใต้ข้อจำกัด

,
.

ให้เราลดข้อจำกัดในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันไปสู่ข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกันโดยการเพิ่มตัวแปรที่อ่อนลงให้กับแต่ละตัว ,
:

.

มาสร้างฟังก์ชันลากรองจ์กันดีกว่า:

จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับขั้นต่ำจะเกิดขึ้น

,
;

,
;

,
.

คุณสามารถคูณสมการสุดท้ายด้วย และแทนที่ตัวแปรลดทอนโดยแสดงจากสมการที่สอง สมการที่สองสามารถแปลงได้โดยการละทิ้งตัวแปรที่ลดทอนลงและเคลื่อนไปสู่ข้อจำกัดของความไม่เท่าเทียมกัน ควรเพิ่มเงื่อนไขอีกข้อหนึ่ง
ซึ่งจะต้องปฏิบัติตามที่จุดต่ำสุดที่มีเงื่อนไข

ในที่สุด เราได้รับเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นขั้นต่ำที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งเรียกว่าเงื่อนไขของ Kuhn-Tucker:

,
; (1)

,
; (2)

,
; (3)

,
. (4)

ข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน
เรียกว่าแอคทีฟ ณ จุดหนึ่ง ถ้ามันกลายเป็นความเท่าเทียมกัน
และถูกเรียกว่า inactive if
- หากเป็นไปได้ที่จะตรวจพบข้อจำกัดที่ไม่ได้ใช้งานอยู่ที่จุดที่เหมาะสม ก่อนที่จะแก้ไขปัญหาโดยตรง ข้อจำกัดเหล่านี้ก็สามารถแยกออกจากโมเดลได้ และด้วยเหตุนี้จึงลดขนาดของโมเดลลง

สมการ (3) หมายความว่าอย่างใดอย่างหนึ่ง
, หรือ
- ถ้า
, ที่
และข้อจำกัดนั้นทำงานอยู่และแสดงถึงข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน ในทางกลับกันหากข้อจำกัดคือความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด
จากนั้นตัวคูณลากรองจ์จะมีรูปแบบ
เหล่านั้น. ข้อจำกัด
ไม่ได้ใช้งานและสามารถละเว้นได้

แน่นอนว่าไม่มีใครทราบล่วงหน้าว่าข้อ จำกัด ใดที่สามารถละเลยได้

ทฤษฎีบท 1 ให้จุดเป็นจุดปลายสุดแบบมีเงื่อนไขของฟังก์ชันเมื่อสมการการเชื่อมต่อ (3) เป็นไปตามสมการ จากนั้นจะมีตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข ณ จุดนั้น

ผลที่ตามมา เอาล่ะใส่

ตัวเลขที่ระบุในทฤษฎีบทอยู่ที่ไหน ฟังก์ชัน (8) เรียกว่าฟังก์ชันลากรองจ์ ถ้าจุดเป็นจุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชัน จุดนั้นจะเป็นจุดที่อยู่นิ่งสำหรับฟังก์ชันลากรองจ์ กล่าวคือ ณ จุดนี้

การพิสูจน์ทฤษฎีบท อนุญาต เป็นจุดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชัน และปล่อยให้เงื่อนไข (4) เป็นไปตามเงื่อนไขที่จุดนี้เพื่อความแน่นอน จากนั้นจุดก็คือจุดสุดขั้วปกติของฟังก์ชัน ดังนั้นจึงอยู่ที่จุดนั้น

ดังนั้น การใช้ค่าคงที่ของรูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียลแรก สำหรับจุดที่เรามี

การแทนที่ (5) เป็น (3) และสร้างความแตกต่างให้กับเอกลักษณ์ผลลัพธ์ในย่านใกล้เคียงของจุด และด้วยเหตุนี้ ณ จุดนั้นเอง เราจึงได้

ในสูตร (11) เช่นเดียวกับในสูตร (10) ดิฟเฟอเรนเชียลคือดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระ และดิฟเฟอเรนเชียลคือดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน

ไม่ว่าจะเป็นตัวเลขใดก็ตาม เมื่อคูณความเท่าเทียมกัน (11) ณ จุดของฟังก์ชันแล้วบวกเข้าด้วยกันด้วยความเท่ากัน (10) เราจะได้

โดยเลือกให้มีความเสมอภาคกันตรงจุด

สิ่งนี้เป็นไปได้เสมอ เนื่องจาก (13) เป็นระบบสมการเชิงเส้นเทียบกับดีเทอร์มิแนนต์

ไม่เท่ากับศูนย์

ในที่นี้ ดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดคือดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระ ดังนั้น ตัวมันเองจึงเป็นตัวแปรอิสระที่สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ การสละและส่วนต่างอื่น ๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ในสูตร (14) เท่ากับศูนย์เราได้รับ

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์การดำรงอยู่ของเงื่อนไข (13) และ (15) เป็นที่พอใจนั่นคือ เงื่อนไข (7)

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชันโดยใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์

ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันของตัวแปร n f(x 1 ,x 2 ,…,x n) โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปร x 1 ,x 2 ,…,x n มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ (ข้อจำกัด)

โดยที่จำนวน m ของข้อจำกัดความเท่าเทียมกันน้อยกว่าจำนวน n ของตัวแปร และจำนวนและ r ของข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันสามารถกำหนดได้ตามใจชอบ

ในการค้นหาค่า (x 1 ,x 2 ,…,x n )=X ซึ่งจำเป็นต้องมีจุดสุดขีดของฟังก์ชัน f(X) คุณสามารถใช้วิธี Lagrange ของตัวคูณไม่แน่นอน:

• 1. ข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน g(X)0 จะลดลงเป็นรูปแบบ (X)0 โดยที่ (X) = - g(X)
• 2. ได้รับข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน

ในทางกลับกัน จะลดลงเหลือข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกันโดยการแนะนำ +r ตัวแปรเพิ่มเติม

เป็นผลให้ปัญหาในการค้นหาภาวะสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

โดยที่ความสัมพันธ์ m++r< n++r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. ฟังก์ชัน Lagrange ถูกคอมไพล์:

Ф(x 1 ,…,x n , 1 ,…, m++r) = f(x 1 ,x 2 ,…,x n)+ 1 q 1 + 2 q 2 +…+ m++r q m++r ,

โดยที่ตัวแปรเพิ่มเติม ( 1 ,…, m++r )= เรียกว่าตัวคูณลากรองจ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

สำหรับฟังก์ชันลากรองจ์ที่สร้างขึ้น เราสามารถเสนอปัญหาในการค้นหาจุดสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไขได้

ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาจะตรงกับวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการสำหรับปัญหาเดิมในการค้นหาภาวะสุดขั้วที่มีเงื่อนไข

4. สำหรับฟังก์ชัน Ф(H,) เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของส่วนปลายจะถูกวาดขึ้น:

5. ระบบสมการผลลัพธ์Ф(H,) = 0 ได้รับการแก้ไขแล้วและจากการแก้ค่าจะพบ

เป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสุดขั้ว

6. เพื่อแก้ปัญหาว่ามีจุดสูงสุดหรือต่ำสุดที่จุดที่พบ เราควรใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของเอ็กซ์ตรีมา ซึ่งสำหรับฟังก์ชันสมูท Ф() ได้รับการกำหนดไว้ดังนี้:

ถ้า ณ จุดใดจุดหนึ่งเมทริกซ์ของอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกแน่นอน ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน f(X) จะอยู่ที่จุดที่วิเคราะห์

การส่งผลงานที่ดีของคุณไปยังฐานความรู้เป็นเรื่องง่าย ใช้แบบฟอร์มด้านล่าง

งานที่ดีไปที่ไซต์">

นักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและการทำงาน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

วิทยาลัยกฎหมายเชเลียบินสค์

ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

งานหลักสูตร

ในสาขาวิชา "วิธีทางคณิตศาสตร์"

วิธีตัวคูณลากรองจ์

นักเรียน ก. PO-3-05 ภาควิชากฎหมายและเทคโนโลยีสารสนเทศ

หัวหน้างาน

เอ็นอาร์ คาบิบุลลินา

เชเลียบินสค์

การแนะนำ

1. การสร้างแบบจำลอง

2. ปัญหาลากรองจ์ สุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไขและมีเงื่อนไข

3. ปัญหาลากรองจ์มีข้อจำกัดเดียว

4. ความหมายของตัวคูณลากรองจ์

4.1. ทฤษฎีบทของลากรองจ์

4. 2. วิธีตัวคูณลากรองจ์

4.3. วิธีตัวคูณบึกบึนของลากรองจ์

4.4. กรณีสองมิติ

บทสรุป

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

การแนะนำ

วิธีการลากรองจ์มีพื้นฐานอยู่บนแนวคิดหลักหลายประการ หนึ่งในนั้นคือวิธีค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันหากมีข้อจำกัดบางประการในฟังก์ชัน เทคนิคนี้เรียกว่า “กฎตัวคูณลากรองจ์”

หัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องในยุคปัจจุบัน เนื่องจากมีการใช้วิธีตัวคูณ Lagrange ในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นที่เกิดขึ้นในหลายสาขา (เช่น ในสาขาเศรษฐศาสตร์)

สถานที่สำคัญในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของเศรษฐศาสตร์ถูกครอบครองโดย งานที่เหมาะสมที่สุด- ปัญหาที่ต้องการทางออกที่ดีที่สุดในแง่หนึ่ง ในทางปฏิบัติทางเศรษฐกิจ จำเป็นต้องใช้ทรัพยากรที่มีอยู่อย่างมีกำไรมากที่สุด ใน ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์จุดเริ่มต้นประการหนึ่งคือสมมุติฐานว่าแต่ละองค์กรทางเศรษฐกิจซึ่งมีอิสระในการเลือกพฤติกรรมของตน ค้นหาตัวเลือกที่ดีที่สุดจากมุมมองของตน และปัญหาการปรับให้เหมาะสมเป็นวิธีหนึ่งในการอธิบายพฤติกรรมของหน่วยงานทางเศรษฐกิจ ซึ่งเป็นเครื่องมือในการศึกษารูปแบบของพฤติกรรมนี้

1. การสร้างแบบจำลอง

ในการกำหนดปัญหาจำเป็นต้องวิเคราะห์ระบบศึกษาคุณลักษณะและ วิธีการที่เป็นไปได้การจัดการระบบ แผนภาพที่สร้างขึ้นจากการวิเคราะห์ดังกล่าวอาจเป็นแบบจำลองรูปภาพหรือแบบจำลองอะนาล็อกก็ได้ ดังนั้นขั้นตอนแรกของการสร้างแบบจำลองจึงดำเนินการในกระบวนการกำหนดปัญหา หลังจากการวิเคราะห์ระบบ รายการตัวเลือกต่างๆ สำหรับโซลูชันที่จำเป็นต้องได้รับการประเมินจะได้รับการชี้แจง จากนั้นจึงกำหนดมาตรการประสิทธิผลโดยรวมของตัวเลือกเหล่านี้ ดังนั้นขั้นตอนต่อไปคือการสร้างแบบจำลองที่สามารถแสดงประสิทธิภาพของระบบเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่กำหนดระบบได้ ตัวแปรเหล่านี้บางส่วนใน ระบบจริงเปลี่ยนแปลงได้ ตัวแปรอื่นๆ ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ เราจะเรียกตัวแปรเหล่านั้นว่า "ควบคุมได้" ตัวเลือกต่างๆการแก้ปัญหาจะต้องแสดงโดยใช้ตัวแปรควบคุม

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (เชิงสัญลักษณ์) ของระบบสามารถเริ่มต้นได้โดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมดของระบบที่ส่งผลต่อประสิทธิภาพของระบบ หากใช้ "ต้นทุนที่คาดหวังทั้งหมด" เป็นการวัดประสิทธิภาพโดยรวม ก็สามารถเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบแบบจำลองรูปภาพหรืออะนาล็อกที่ได้รับในขั้นตอนการกำหนดปัญหา คุณสามารถระบุการดำเนินงานและวัสดุที่กำหนดต้นทุนบางอย่างได้ ในกรณีนี้ เราได้รับรายการเริ่มต้นดังต่อไปนี้:

ต้นทุนการผลิต:

ก) ราคาซื้อวัตถุดิบ

b) ต้นทุนการขนส่งวัตถุดิบ

c) ต้นทุนการรับวัตถุดิบ

d) ต้นทุนการจัดเก็บวัตถุดิบ

จ) การวางแผนต้นทุนการผลิต

f) ค่าใช้จ่ายในการปรับแต่งในการประชุมเชิงปฏิบัติการ

g) ต้นทุนของกระบวนการประมวลผล

h) ค่าใช้จ่ายในการจัดเก็บสินค้าคงคลังในระหว่างกระบวนการผลิต

i) ต้นทุนในการผลิตให้เสร็จสิ้นและโอนผลิตภัณฑ์สำเร็จรูปไปยังคลังสินค้า

j) ค่าใช้จ่ายในการวิเคราะห์ผลงานโดยกลุ่มการวางแผน

k) ต้นทุนการจัดเก็บผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป

ต้นทุนการขาย.

ค่าโสหุ้ย

2. ปัญหาลากรองจ์ . สุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไขและมีเงื่อนไข

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมหลายประการมีการกำหนดไว้ดังนี้ การตัดสินใจที่ผู้ทดสอบต้องทำนั้นอธิบายได้ด้วยชุดตัวเลข x 1, x 2,..., xn (หรือจุด X = (x 1, x 2,..., xn) ของปริภูมิ n มิติ) ข้อดีของการแก้ปัญหาเฉพาะถูกกำหนดโดยค่าของฟังก์ชัน f(X) = f(x 1, x 2,…, x n) -- ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์. ทางออกที่ดีที่สุด-- นี่คือจุด X ที่ฟังก์ชัน f(X) ใช้ มูลค่าสูงสุด- ปัญหาในการหาจุดดังกล่าวมีรายละเอียดดังนี้

f(X) สูงสุด

หากฟังก์ชัน f(X) แสดงคุณลักษณะด้านลบของการตัดสินใจ (ความเสียหาย การสูญเสีย ฯลฯ) ระบบจะค้นหาจุด X ซึ่งค่าของ f(X) มีค่าน้อยที่สุด:

f(X) นาที

ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดรวมกันเป็นหนึ่งเดียวโดยแนวคิดเรื่องสุดขั้ว โดยเจาะจง เราจะพูดถึงเฉพาะปัญหาการขยายใหญ่สุดเท่านั้น การค้นหาค่าต่ำสุดไม่จำเป็นต้องพิจารณาเป็นพิเศษ เนื่องจากการแทนที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(X) ด้วย -f(X) คุณสามารถ "เปลี่ยนข้อเสียให้เป็นข้อได้เปรียบ" ได้ตลอดเวลา และลดการย่อเล็กสุดเป็นการขยายให้สูงสุด

ควรเลือกตัวเลือกที่ดีที่สุดจากตัวเลือกใด กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราควรมองหาจุดที่เหมาะสมที่สุดในอวกาศ คำตอบสำหรับคำถามนี้เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของปัญหาการปรับให้เหมาะสมเช่น ชุดโซลูชั่นที่เป็นไปได้- ในโจทย์บางข้อ การผสมตัวเลข x 1, x 2,..., xn ถือว่าใช้ได้ กล่าวคือ เซตของคำตอบที่เป็นไปได้คือพื้นที่ทั้งหมดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ในปัญหาอื่นๆ จะต้องคำนึงถึงข้อจำกัดต่างๆ ซึ่งหมายความว่าไม่มีทุกจุดในอวกาศให้เลือก ในการกำหนดปัญหาที่มีความหมาย อาจเนื่องมาจากทรัพยากรที่มีอยู่จำกัด เป็นต้น

ข้อจำกัดสามารถแสดงได้ในรูปแบบของความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

หรือความไม่เท่าเทียมกัน

หากเงื่อนไขมีรูปแบบแตกต่างออกไปเล็กน้อย เช่น g 1 (X) = g 2 (X) หรือ g (X) A ก็สามารถลดลงเป็น มุมมองมาตรฐานถ่ายโอนไปยังฟังก์ชันและค่าคงที่เป็นส่วนหนึ่งของความเสมอภาคหรืออสมการ

สุดขั้วที่พบในอวกาศทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไขจำกัดใด ๆ เรียกว่าไม่มีเงื่อนไข หากฟังก์ชันวัตถุประสงค์สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายสุดที่ไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันคืออนุพันธ์ย่อยทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์:

หากมีการระบุข้อจำกัด สุดขั้วจะถูกค้นหาเฉพาะในจุดที่เป็นไปตามข้อจำกัดทั้งหมดของปัญหา เนื่องจากยอมรับเฉพาะจุดดังกล่าวเท่านั้น ในกรณีนี้เรียกว่าสุดขั้ว มีเงื่อนไข

พิจารณาปัญหาในการค้นหาภาวะสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข:

ภายใต้เงื่อนไข (2)

ก. 1 (X) = 0; ก. 2 (X) = 0, ..., ก. n (X) = 0,

ล้วนมีข้อจำกัดที่เท่าเทียมกัน

หากฟังก์ชันวัตถุประสงค์และฟังก์ชันจำกัดทั้งหมดสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง เราจะเรียกปัญหาดังกล่าว ปัญหาลากรองจ์

3. ปัญหาลากรองจ์มีข้อจำกัดเดียว

พิจารณาปัญหาด้วยโครงสร้างต่อไปนี้:

f(X) สูงสุด

ขึ้นอยู่กับ (3)

ก.(X) = 0.

ลองดูตัวอย่าง มีถนนเลียบไหล่เขาคุณต้องหาจุดที่สูงที่สุด ในรูป เลข 1 แสดงแผนที่บริเวณที่มีเส้นกำกับไว้

ความสูงเท่ากัน เส้นหนาคือถนน จุด M ซึ่งถนนแตะเส้นระดับหนึ่งคือจุดสูงสุดของถนน

ถ้า X = (x 1, x 2) เป็นจุดความหนาแน่น x 1 และ x 2 เป็นพิกัด ก็สามารถให้โจทย์มาได้ แบบฟอร์มต่อไปนี้- ให้ f(X) เป็นความสูงของจุด X เหนือระดับน้ำทะเล และสมการ g(X) = 0 อธิบายถนน จุดสูงสุดของถนนคือทางแก้ปัญหา (3)

หากถนนผ่านยอดเขา จุดสูงสุดก็จะเป็นจุดที่สูงที่สุดในพื้นที่ และข้อจำกัดก็อาจถูกมองข้ามไป

หากถนนไม่ผ่านยอดเขาหากเบี่ยงถนนเล็กน้อยก็จะสูงขึ้นได้สูงกว่าการเคลื่อนตัวไปตามถนนอย่างเคร่งครัด การเบี่ยงเบนจากถนนสอดคล้องกับจุดชนโดยที่ g(X) 0; สำหรับการเบี่ยงเบนเล็กน้อย ความสูงที่ทำได้สามารถประมาณได้เป็นสัดส่วนกับการเบี่ยงเบน

แนวคิดในการแก้ปัญหาลากรองจ์สามารถนำเสนอได้ดังนี้: คุณสามารถลอง "แก้ไข" ภูมิประเทศเพื่อให้การเบี่ยงเบนจากถนนไม่ได้ให้ข้อได้เปรียบในการบรรลุความสูง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแทนที่ความสูง f(X) ด้วยฟังก์ชัน

ลิตร(X) = ฉ(X) - ก.(X)

โดยที่ตัวคูณถูกเลือกในลักษณะที่ส่วนของความลาดชันใกล้กับจุด M กลายเป็นแนวนอน (เล็กเกินไปจะไม่กำจัดประโยชน์ของการเบี่ยงเบนจากถนนและขนาดใหญ่เกินไปจะทำให้ได้เปรียบต่อการเบี่ยงเบนในทิศทางตรงกันข้าม ).

ตอนนี้ เนื่องจากความนูน L(X) ทำให้พื้นที่ใกล้กับจุดที่เหมาะสมที่สุดในแนวนอน จุดนี้จึงเป็นที่พอใจของความเท่าเทียมกัน

และเนื่องจากจุดนั้นอยู่บนถนน ดังนั้นข้อจำกัด g(X) = 0

ตัวอย่างของภูเขาและถนนเป็นเพียงภาพประกอบของแนวคิดนี้ ในทำนองเดียวกัน กรณีสองมิติจะใช้เพื่อความชัดเจนเท่านั้น เช่นเดียวกันเราสามารถให้เหตุผลในกรณีทั่วไปแบบ n มิติได้เช่นกัน

ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า f(x 1 ,…,xn) และ g(x 1 ,…,xn) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องของอาร์กิวเมนต์ทั้งหมด ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาของปัญหา

f(x 1,…,xn) สูงสุด

ระบุว่า

ก.(x 1,…,xn) = 0

ตอบสนองความเท่าเทียมกัน

L(x 1,...,xn;) = f(x 1,...,xn) - g(x 1,...,xn)

ฟังก์ชัน L(X;) ถูกเรียก ฟังก์ชันลากรองจ์(หรือ ลากรองจ์) ของปัญหา (3) และสัมประสิทธิ์คือ ตัวคูณลากรองจ์.

โปรดทราบว่าความเท่าเทียมกัน (5) คือข้อจำกัด g(X) = 0 ที่แสดงในรูปแบบอื่น

แน่นอนว่าการให้เหตุผลข้างต้นไม่ใช่ข้อพิสูจน์ถึงข้อความที่จัดทำขึ้นในที่นี้ ช่วยให้เข้าใจสาระสำคัญของวิธีการเท่านั้น: ส่วนประกอบ g(X) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชันลากรองจ์ควรปรับสมดุลการเพิ่มขึ้นที่เป็นไปได้ ค่าสูงสุดฟังก์ชัน g(X) จากศูนย์ เหตุการณ์นี้จะมีประโยชน์มากในอนาคตเมื่อพูดถึงความหมายของตัวคูณลากรองจ์

ลองดูตัวอย่างที่ง่ายมาก เมื่อใช้เชือกที่มีความยาว A คุณจะต้องกั้นพื้นที่สี่เหลี่ยมของพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดบนชายทะเล (ชายฝั่งถือว่าตรง)

รูปที่ 3 ถึงปัญหาของโดโด้

ให้เราแสดงด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า x 1 และ x 2 (ดูรูปที่ 3) ก่อนอื่นให้เราแก้ปัญหาโดยไม่ใช้วิธีลากรองจ์

แน่นอนว่า x 2 = A - 2 x 1 และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ S = x 1 x 2 = x 1 (A - 2x 1) เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์หนึ่งตัว x1 การค้นหาค่าที่มีพื้นที่สูงสุดก็ไม่ใช่เรื่องยาก: x 1 = A/4 ดังนั้น x 2 = A/2 พื้นที่สูงสุดคือ S* = A 2 /8

ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาเดียวกันในรูปแบบของปัญหาลากรองจ์:

ระบุว่า

2 x 1 + x 2 - A = 0

ลากรองจ์ของปัญหานี้เท่ากับ

ยาว(x 1,x 2 ;) = x 1 x 2 - (2x 1 + x 2 - A)

และสภาวะสุดขั้วก็มีรูปแบบ

2 x 1 + x 2 = ก

การแทนที่ค่า x 1 และ x 2 จากความเสมอภาคที่หนึ่งและสองเป็นค่าที่สามเราจะพบว่า 4 = A ดังนั้น

เอ/4; x 1 = A/4; x 2 =A/2,

เช่นเดียวกับในวิธีแก้ปัญหาแรก

ตัวอย่างนี้แสดงวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาลากรองจ์ ความสัมพันธ์ (4) และ (5) ก่อให้เกิดระบบสมการสำหรับ x 1,..., xn และ, ระบบประกอบด้วยสมการ n + 1 - สมการ n ในรูปแบบ (4) และสมการ 1 สมการ (5) จำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบ จากสมการในรูปแบบ (4) คุณสามารถลองแสดงค่าที่ไม่ทราบ x 1,..., x 2 แต่ละตัวผ่านได้ กล่าวคือ แก้มันเป็นระบบของสมการ n โดยพิจารณาว่ามันเป็นพารามิเตอร์ การแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการ (5) - เรารู้ว่ามันเกิดขึ้นพร้อมกับข้อจำกัด - เราจะได้สมการสัมพัทธ์ เมื่อแก้ไขมัน พวกเขาพบมัน หลังจากนั้นจึงกำหนดสิ่งที่ไม่รู้จักเริ่มต้น x 1,..., xn

4. ความหมายของตัวคูณลากรองจ์

เมื่อแก้ไขปัญหาลากรองจ์ เราสนใจค่าของ x 1,..., xn; นอกจากนี้ เราอาจสนใจค่าสุดขีดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f(X) แต่ในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา ค่าของปริมาณอื่นจะถูกกำหนดพร้อมกัน นั่นคือตัวคูณลากรองจ์

ปรากฎว่าตัวคูณลากรองจ์เป็นคุณลักษณะที่สำคัญมากของปัญหาที่กำลังแก้ไข เพื่อให้ความหมายชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เราเปลี่ยนถ้อยคำของข้อจำกัดเล็กน้อยโดยไม่เปลี่ยนแปลงสาระสำคัญใดๆ

สถานการณ์ทางเศรษฐกิจโดยทั่วไปมีลักษณะเฉพาะคือเราต้องมองหาวิธีแก้ปัญหาที่ให้ผลกำไรมากที่สุดโดยใช้ทรัพยากรจำนวนจำกัด ถ้า r คือจำนวนทรัพยากรที่กำหนด และฟังก์ชัน h(X) ระบุลักษณะเฉพาะของจำนวนที่ต้องใช้เพื่อไปถึงจุด X ก็เป็นเรื่องปกติที่จะให้ข้อจำกัดอยู่ในรูปแบบ

เมื่อพิจารณาถึงธรรมชาติของปัญหา มักจะชัดเจนว่าเพื่อให้บรรลุถึงประสิทธิภาพสูงสุด ทรัพยากรจะต้องถูกนำมาใช้อย่างเต็มที่ ดังนั้นข้อจำกัดจึงสามารถเขียนได้เป็น

เงื่อนไขนี้สามารถแสดงได้ในรูปแบบ g(X) = h(X) - r = 0 แต่สิ่งที่น่าสนใจอย่างยิ่งคือระดับที่ทำได้สูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ขึ้นอยู่กับจำนวนทรัพยากรที่มีอยู่ r มาแสดงกันเถอะ

F(r) = สูงสุด f(X) h(X) = r

ทางด้านขวา - ได้รับการยอมรับการกำหนดสุดขั้วแบบมีเงื่อนไข: เงื่อนไขถูกเขียนหลังเส้นแนวตั้ง

ให้เราระลึกว่าเมื่อพูดถึงโครงสร้างของลากรองจ์ เราตีความว่า g(X) เป็นองค์ประกอบที่ทำให้การเพิ่มขึ้นที่เป็นไปได้ของ f(X) สูงสุดเป็นไปได้สมดุลเมื่อ g(X) เบี่ยงเบนไปจากศูนย์ แต่ค่าเบี่ยงเบนของ g(X) จากศูนย์ก็คือค่าเบี่ยงเบนของ h(X) จาก r หากปริมาณทรัพยากรที่มีอยู่เพิ่มขึ้น r เราควรคาดหวังว่าฟังก์ชัน f(X) สูงสุดจะเพิ่มขึ้น r

ในความเป็นจริงอัตราส่วนนี้เป็นค่าโดยประมาณ เราจะได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนในขีดจำกัดที่ r 0:

ดังนั้นตัวคูณลากรองจ์จึงแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงในค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เมื่อค่าคงที่จำกัด r ในข้อจำกัดของรูปแบบ (6) เปลี่ยนแปลง

ในเวอร์ชันของปัญหา Dido ที่พิจารณาในย่อหน้าก่อนหน้า ทรัพยากรที่จำกัดคือความยาวของเชือก A พื้นที่สูงสุดกลายเป็น S(A) = A 2 /8 ดังนั้น dS(A)/dA = A/4 ซึ่งตรงกับค่าที่พบในสารละลายทุกประการ

ให้เราให้เหตุผลอีกข้อหนึ่ง สำหรับจุด X ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราจะค้นหาค่า f(X) และ h(X) และพล็อตค่าเหล่านี้ในรูปแบบของจุดใน พิกัดคาร์ทีเซียน(รูปที่ 4) หากแต่ละค่าของ h(X) มีฟังก์ชัน f(X) มีค่าสูงสุดแล้ว จุดทั้งหมดจะอยู่ใต้เส้นโค้งที่กำหนด ดังแสดงในรูปที่มีเส้นหนา

เราสนใจจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข h(X) = r ค่าสูงสุดของ f(X) ถูกกำหนดโดยจุด M*; ลองแสดงความชันของเส้นโค้ง ณ จุดนี้กัน หากเราไม่ถือว่า f(X) เป็นตัวกำหนด แต่ L(X;) = f(X) - ดังนั้นขอบเขตบนใหม่จะมีเส้นสัมผัสแนวนอนที่จุด M* ซึ่งหมายความว่าในปริภูมิ n มิติดั้งเดิม จุด M ที่สอดคล้องกันคือจุดที่นิ่งของฟังก์ชัน L (X;) ที่มีค่าพารามิเตอร์ที่กำหนด ดังนั้นคือตัวคูณลากรองจ์

แต่เส้นโค้งสีดำหนาคือกราฟของฟังก์ชัน F(r) และเป็นความชันซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกัน (7)

4.1 ทฤษฎีบทของลากรองจ์

สมมติว่าฟังก์ชัน?(x) ถูกกำหนดไว้บนระนาบและเส้นโค้ง g(x) = 0 ถูกกำหนดไว้ หากฟังก์ชัน?(x) ถูกจำกัดไว้ที่เส้นโค้งที่กำหนด ถึงค่าต่ำสุดหรือสูงสุดที่จุดหนึ่ง แล้วเวกเตอร์?() และ g"() เป็นเส้นตรง ( โดยมีเงื่อนไขว่าทั้งสองฟังก์ชันมีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง)

ในทฤษฎีบททั่วไปของลากรองจ์ ฟังก์ชัน? ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสองตัว แต่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n ตัว และมีหลายฟังก์ชัน g(x) ที่ระบุข้อจำกัด (x)=0, i=l,..., m เราจะทิ้งทฤษฎีบทนี้ไว้โดยไม่มีการพิสูจน์ สิ่งนี้จะนำเราไปสู่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มากเกินไป มาดูกันว่าการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดได้ผลดีเพียงใด

ทฤษฎีบท (กฎของสเนลเกี่ยวกับการหักเหของแสง) สื่อทั้งสองถูกคั่นด้วยเส้นตรง ในตอนแรกความเร็วของการแพร่กระจายของแสงจะเท่ากัน และในวินาที - . ถ้ารังสีออกจากตัวกลางตัวแรกในมุมกับตัวกลางและเข้าสู่ตัวกลางที่สองที่มุมหนึ่ง ดังนั้น

การพิสูจน์. เส้นตรงบนระนาบจะได้มาจากสมการ

จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง

n เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นตรง ลองเลือกจุดใดก็ได้บนลำแสงที่เข้ามาและจุดบนลำแสงที่หักเห (รูปที่ 30) แสงเดินทางไปตามเส้นทางที่ใช้เวลาน้อยที่สุดเสมอ ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องค้นหาจุด x บนขอบเขตของสื่อซึ่งมีปริมาณ?(x) = มีค่าน้อยที่สุด เราได้รับงาน:

?(x)=-นาที ภายใต้เงื่อนไข g(x) = n (x--) = 0

ตามหลักการของลากรองจ์ ที่จุดต่ำสุด เวกเตอร์ "(x) และ g"(x) อยู่ในแนวเดียวกัน อนุพันธ์?(x) เท่ากับผลรวมของเวกเตอร์ที่มีความยาว 1/ และมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ x-- และเวกเตอร์ความยาว 1/ ซึ่งมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ x-- และอนุพันธ์ g"(x) เท่ากับเวกเตอร์ n เงื่อนไขคอลลิเนียริตีหมายความว่าผลรวม + ตั้งฉากกับเส้นตรง นั่นคือเส้นโครงของเวกเตอร์และลงบนเส้นจะเท่ากัน ดังนั้น สิ่งที่จำเป็นต้องมี

ตอนนี้เราพร้อมที่จะนำเสนอวิธีแก้ปัญหาตามที่สัญญาไว้สำหรับปัญหาผลรวมขั้นต่ำของระยะทางถึงจุดบนเส้นตรงและถึงจุดบนระนาบ

66. ปัญหาเกี่ยวกับ จำนวนเงินขั้นต่ำระยะทางจากจุด k บนระนาบถึงจุดบนเส้น เส้นและจุด k ถูกกำหนดไว้บนเครื่องบิน ค้นหา (หรือกำหนดคุณลักษณะ) ตำแหน่งของจุดบนเส้นตรงซึ่งผลรวมของระยะทางไปยังจุดเหล่านี้มีค่าน้อยที่สุด

สารละลาย. ให้ l เป็นเส้นตรงที่กำหนด และให้เป็นจุดที่กำหนด มาแก้ไขปัญหาให้น้อยที่สุด:

?(x) = |x--|+...+|x--|^min ภายใต้เงื่อนไข g(x) = n·(x--) = 0,

โดยที่จุดใดก็ได้บนเส้น l และ n คือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเส้นนี้ ให้เราแสดงด้วยเวกเตอร์ความยาวหน่วย โดยมีทิศทางร่วมด้วยเวกเตอร์ x-- แล้ว?"(x)=+...+, ก"(x)=n. ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์ ที่จุดต่ำสุดของเวกเตอร์?(x) อยู่ในแนวเดียวกันกับ n กล่าวคือ ตั้งฉากกับเส้นตรง l ดังนั้น: วิธีแก้ปัญหาคือจุดบนเส้น l ซึ่งผลรวมของเส้นโครงบนเส้น k ของเวกเตอร์หน่วยที่พุ่งจากจุดนั้นไปยังจุดที่กำหนดจะเท่ากับศูนย์

หากจากคะแนน k ที่ให้มา มีอย่างน้อยหนึ่งจุดที่ไม่อยู่บนเส้น l แสดงว่าปัญหามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ นี่ค่อนข้างง่ายที่จะพิสูจน์หากคุณใช้เทคนิคจากปัญหา 62 ถ้า k?3 พูดโดยทั่วไปแล้ว ไม่สามารถสร้างจุดดังกล่าวโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดได้ (การคำนวณพิกัดจะทำให้เกิดสมการ) ระดับสูง- ดังนั้นในกรณีทั่วไป เราไม่มีอะไรดีไปกว่าคำอธิบายจุดต่ำสุดที่เราให้ไป

ปัญหาของผลรวมขั้นต่ำของระยะทางจากจุด k ในอวกาศไปยังจุดบนระนาบที่กำหนด ระนาบและจุด k ถูกกำหนดไว้ในอวกาศ ค้นหา (หรือกำหนดคุณลักษณะ) ตำแหน่งของจุดบนระนาบซึ่งผลรวมของระยะทางไปยังจุดเหล่านี้มีค่าน้อยที่สุด

วิธีแก้ปัญหานี้ไม่แตกต่างจากครั้งก่อนและนำไปสู่คำตอบที่คล้ายกัน:

ค่าต่ำสุดจะเกิดขึ้นที่จุด x ของระนาบ ซึ่งผลรวมของเส้นโครงบนระนาบของเวกเตอร์หน่วย k ที่พุ่งจาก x ไปยังจุดเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์

4.2 วิธีตัวคูณลากรองจ์

วิธีการหาปลายสุดตามเงื่อนไขของฟังก์ชัน ฉ(x) ที่ไหน ค่อนข้าง มข้อ จำกัด ฉัน(x) = 0, ฉันแตกต่างกันไปตั้งแต่หนึ่งถึง ม.

ปล่อยให้ปัญหา NP ได้รับภายใต้ข้อจำกัดความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

ย่อเล็กสุด (4.2.1)

ภายใต้ข้อจำกัด

สมมติว่าฟังก์ชันทั้งหมดสามารถหาอนุพันธ์ได้ ให้เราแนะนำชุดของตัวแปร (จำนวนซึ่งเท่ากับจำนวนข้อจำกัด) ซึ่งเรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์และเขียนฟังก์ชันลากรองจ์ในรูปแบบนี้:

ข้อความนี้เป็นจริง: เพื่อให้เวกเตอร์เป็นวิธีการแก้ปัญหา (4.2.1) ภายใต้ข้อจำกัด (5.2.2) จำเป็นต้องมีเวกเตอร์อยู่เพื่อให้เวกเตอร์คู่หนึ่งเป็นไปตามระบบสมการ

ให้เราแสดงความจำเป็นของเงื่อนไข (4.2.4), (4.2.5) โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ:

ย่อเล็กสุด (4.2.6)

ภายใต้ข้อจำกัด

ข้อจำกัด (5.2.7) กำหนดขอบเขตที่เป็นไปได้ ซึ่งเป็นเส้นโค้งในอวกาศและเป็นผลมาจากจุดตัดของ และ

ให้เราสมมติว่าปัญหาที่กำลังพิจารณามีจุดต่ำสุดที่: ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งอย่างต่อเนื่องในชุดเปิดและการไล่ระดับสีบางชุด

เป็นอิสระเชิงเส้น

หากตัวแปรสองตัวในสมการ (4.2.7) สามารถแสดงผ่านตัวแปรตัวที่สามในรูปแบบ จากนั้นแทนที่ตัวแปรเหล่านั้นลงในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (5.2.6) เราจะแปลงปัญหาเดิมให้เป็นปัญหาต่อไปนี้โดยไม่มีข้อจำกัด ซึ่งมีเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น ตัวแปร:

ย่อเล็กสุด (4.2.8)

เนื่องจากการไล่ระดับสีมีความต่อเนื่องและเป็นอิสระเชิงเส้น เราจึงสามารถใช้ทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยนัย แล้วหาจุดที่อยู่นิ่ง จากนั้นจึงหาจุดที่อยู่นิ่ง

โดยหลักการแล้ว วิธีการข้างต้นสามารถขยายไปยังกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรเมื่อมีข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกัน:

ถ้าฟังก์ชันตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัย สมการตัวแปร (4.2.9) ก็สามารถแสดงในรูปของตัวแปรที่เหลือ แทนที่ตัวแปรเหล่านั้นเป็น และเปลี่ยนปัญหาการย่อเล็กสุดแบบจำกัดให้เป็นปัญหาการย่อเล็กสุดแบบไม่มีข้อจำกัดด้วยตัวแปร อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ยากที่จะนำไปใช้ในทางปฏิบัติ เนื่องจากเป็นการยากมากที่จะแก้สมการ (4.2.9) ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรบางตัว ในกรณีทั่วไปนี่เป็นไปไม่ได้เลย

ดังนั้น ลองพิจารณาอีกวิธีหนึ่งซึ่งใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์

ให้เป็นจุดต่ำสุดที่กำหนดโดยนิพจน์ (4.2.8) ตามทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยนัยเราสามารถเขียนได้

เราได้รับความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับข้อจำกัด

ให้เราเขียนสมการ (4.2.10), (4.2.11) เข้าด้วยกันในรูปแบบ

เนื่องจากเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ มันจึงตามมาจาก (4.2.12) นั่น จากนี้ไปจะเป็นเวกเตอร์แถว
เมทริกซ์ A จะต้องขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ดังนั้นจึงมีสเกลาร์สามตัวที่ไม่เท่ากับ 0 ทั้งหมดเช่นนั้น

สเกลาร์ กไม่สามารถเท่ากับ 0 ได้ เนื่องจากตามสมมติฐาน และมีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นหลังจากหาร (5.2.13) ด้วย เราก็จะได้

ดังนั้น สำหรับปัญหาการลดข้อจำกัด (4.2.6) ให้เหลือน้อยที่สุด จึงมีสมการ (4.2.14) ที่ถูกต้องและในเวลาเดียวกันก็ไม่หายไป ดังนั้น ความถูกต้องของเงื่อนไข (4.2.4) สำหรับกรณี n=3 จะปรากฏขึ้น

ดังนั้น ในการค้นหาค่าต่ำสุด (4.2.6) ภายใต้เงื่อนไข (4.2.7) จำเป็นต้องค้นหาจุดคงที่ของฟังก์ชันลากรองจ์:

การหาค่าที่ต้องการจะต้องแก้ระบบสมการ (4.2.14), (4.2.5) ร่วมกัน จากมุมมองทางเรขาคณิต เงื่อนไข (4.2.14) หมายความว่ามันอยู่ในระนาบที่ทอดโดยเวกเตอร์

ทีนี้ลองพิจารณากรณีทั่วไปสำหรับกรณีโดยพลการ ให้โจทย์ NP อยู่ในรูป (4.2.1), (4.2.2) ฟังก์ชันทั้งหมดจะมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องบนเซต อนุญาต เป็นสับเซตของเซตที่ฟังก์ชันทั้งหมดนั่นคือ ทฤษฎีบทต่อไปนี้เกี่ยวกับตัวคูณลากรองจ์ก็ใช้ได้

ทฤษฎีบท. เอาเป็นว่าพฤโอ้ มีประเด็นเช่นนี้ ซึ่งบรรลุถึงจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของปัญหา NP (5.2.1) ภายใต้เงื่อนไข (4.2.2) ถ้ายศเมทริกซ์ ตรงจุด เท่ากับ แล้วก็มี ตัวเลข ไม่ใช่ทั้งหมดที่จะเท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

ทฤษฎีบทนี้ใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์ซึ่งประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้

เขียนฟังก์ชันลากรองจ์

ค้นหาอนุพันธ์บางส่วน

แก้ระบบสมการ

และหาจุดที่เป็นไปตามระบบ (4.2.16)

4.3 วิธีการของลากรองจ์สำหรับตัวคูณที่ไม่ได้กำหนดไว้

มันถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาด้วยการแสดงออกเชิงวิเคราะห์สำหรับเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมที่สุดและในที่ที่มีข้อ จำกัด ในอิสระ ตัวแปรประเภทเท่ากับ เพื่อให้ได้โซลูชันเชิงวิเคราะห์ ข้อจำกัดจำเป็นต้องมีรูปแบบการวิเคราะห์ การใช้ตัวคูณ Lagrange แบบไม่มีกำหนดช่วยให้เราลดปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดโดยมีข้อจำกัดในการแก้ปัญหาด้วยวิธีการศึกษาฟังก์ชันของการวิเคราะห์แบบคลาสสิก ในกรณีนี้ ลำดับของระบบสมการที่แก้ได้เพื่อค้นหาจุดปลายสุดของเกณฑ์การปรับให้เหมาะสมจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนข้อจำกัด วิธีการนี้จะมีผลเมื่อจำนวนตัวแปรน้อยกว่า 3 ตัว วิธีการนี้ยังใช้เมื่อจำนวนตัวแปรมากกว่าสาม ถ้ากระบวนการอธิบายด้วยสมการจำกัด

ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n ตัว ซึ่งจะเชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์ ค่าสูงสุดที่ฟังก์ชันทำได้โดยคำนึงถึงการปฏิบัติตามเงื่อนไข เรียกว่าสัมพัทธ์หรือเงื่อนไข หากจำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนความสัมพันธ์ () ก็จะพบสิ่งที่ไม่ทราบที่ต้องการได้โดยการแก้ระบบสมการที่อธิบายโดยความสัมพันธ์ การแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมนั้นมาจากการตรวจสอบค่าของตัวแปรที่พบในวิธีนี้กับฟังก์ชัน ดังนั้นปัญหาสุดโต่งสามารถแก้ไขได้โดยการแจกแจงตัวแปรที่ตรงตามเงื่อนไข

ถ้า ม< n จากนั้นเราจะสามารถหาการพึ่งพาจากสมการคัปปลิ้งได้ มตัวแปรจาก น - มตัวแปรที่เหลือได้แก่

สามารถรับฟังก์ชันได้โดยการแทนที่ตัวแปรผลลัพธ์ลงในฟังก์ชัน จากนั้นจะขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องเท่านั้น เงื่อนไขเพิ่มเติม- ดังนั้น การลบข้อจำกัดออกจึงเป็นไปได้ที่จะลดขนาดของปัญหาการปรับให้เหมาะสมเดิมได้ บ่อยครั้งปัญหาไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการวิเคราะห์ด้วยวิธีนี้ ดังนั้น เพื่อแก้ปัญหาในการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว จึงมักใช้วิธีลากรองจ์ของตัวคูณที่ไม่ได้กำหนดไว้

เมื่อแนะนำตัวแปรใหม่ที่เรียกว่าตัวคูณ Lagrange แบบไม่มีกำหนด จะเป็นไปได้ที่จะแนะนำฟังก์ชันใหม่

เหล่านั้น. การทำงาน ม+นตัวแปรซึ่งข้อจำกัดที่กำหนดโดยระบบฟังก์ชันจะรวมไว้เป็นส่วนสำคัญ

ค่าสุดขีดของฟังก์ชันจะเกิดขึ้นพร้อมกับค่าสุดขีดของฟังก์ชันหากตรงตามเงื่อนไขข้อจำกัด เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปลายสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคือค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันนี้ที่จุดปลายสุดเท่ากับศูนย์ นั่นคือ

เพื่อให้นิพจน์นี้พอใจกับค่าใด ๆ ของดิฟเฟอเรนเชียลอิสระจำเป็นที่ค่าสัมประสิทธิ์ของดิฟเฟอเรนเชียลเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์ซึ่งจะทำให้ระบบสมการ

ในกรณีนี้จะมีการกำหนดสิ่งอิสระใหม่จากเงื่อนไข

สามารถรับการรวมกันของระบบ (4.3.1) และ (4.3.2) ได้

ดังนั้นปัญหาในรูปแบบ (4.3.3) จึงลดลงไปที่งาน: ค้นหา

ควรสังเกตว่าในกรณีทั่วไป วิธีตัวคูณลากรองจ์อนุญาตให้ค้นหาเฉพาะเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้วตามเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามจาก ความหมายทางกายภาพปัญหาที่ได้รับการแก้ไขมักจะรู้ว่าเรากำลังพูดถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน นอกจากนี้ ตามกฎแล้ว ในการออกแบบปัญหาฟังก์ชันในส่วนที่พิจารณานั้นเป็นแบบ Unimodal ดังนั้นในปัญหาการออกแบบจึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบค่าของตัวแปรที่พบเมื่อแก้ระบบสมการที่พิจารณาสำหรับสุดขีดโดยใช้การวิเคราะห์อนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า

4.4 กรณีสองมิติ

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสองตัว ฉ(x,ย) ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดโดยสมการ w( x,ย) = 0 เราจะถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง และสมการนี้จะกำหนดเส้นโค้งเรียบ สบนเครื่องบิน ( x,ย- จากนั้นปัญหาจะลดลงจนกลายเป็นการหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน ฉบนทางโค้ง ส- เราก็จะถือว่าเช่นกัน สไม่ผ่านจุดที่มีการไล่ระดับ ฉเปลี่ยนเป็น 0

เส้นระดับ f(x,y) และเส้นโค้ง S

มาวาดบนเครื่องบินกันเถอะ ( x,ย) เส้นระดับฟังก์ชัน ฉ(นั่นคือเส้นโค้ง ฉ(x,ย) = ค่าคงที่) จากการพิจารณาทางเรขาคณิต จะเห็นได้ชัดว่าจุดปลายสุดของฟังก์ชัน ฉบนทางโค้ง สมีเพียงจุดที่แทนเจนต์ถึงเท่านั้น สและเส้นระดับที่สอดคล้องกันตรงกัน แท้จริงแล้วหากโค้ง สข้ามเส้นระดับ ฉณ จุด ( x 0 ,ย 0) ตามแนวขวาง (นั่นคือ ที่มุมที่ไม่เป็นศูนย์) แล้วเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง สจากจุด ( x 0 ,ย 0) เราสามารถไปถึงเส้นระดับที่สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้น ฉและน้อยลง ดังนั้นจุดดังกล่าวจึงไม่สามารถเป็นจุดสุดขั้วได้

ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดโต่งในกรณีของเราคือความบังเอิญของเส้นสัมผัสกัน หากต้องการเขียนในรูปแบบการวิเคราะห์ โปรดทราบว่ามันเทียบเท่ากับความขนานของการไล่ระดับสีของฟังก์ชัน ฉและ w ณ จุดนี้ เนื่องจากเวกเตอร์เกรเดียนต์ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกันกับเส้นระดับ เงื่อนไขนี้แสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่ l คือตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ที่เป็นตัวคูณลากรองจ์

ตอนนี้เรามาพิจารณากัน ฟังก์ชันลากรองจ์ขึ้นอยู่กับ x,ยและล:

ล(x,ย,ล.) = ฉ(x,ย- lsh( x,ย)

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสูงสุดคือความชันจะเท่ากับศูนย์ ตามกฎของความแตกต่างจะเขียนไว้ในแบบฟอร์ม

เราได้รับระบบ ซึ่งสมการสองสมการแรกเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดสุดโต่งเฉพาะที่ (1) และสมการที่สามเทียบเท่ากับสมการ w( x,ย) = 0 จากนั้นเราจะพบ ( x 0 ,ย 0 ,ล 0) ยิ่งกว่านั้น เนื่องจากเป็นอย่างอื่น การไล่ระดับสีของฟังก์ชัน ฉหายไป ณ จุดหนึ่งซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของเรา ควรสังเกตว่าจุดที่พบในลักษณะนี้ ( x 0 ,ย 0) อาจไม่ใช่จุดที่ต้องการของปลายสุดตามเงื่อนไข - เงื่อนไขที่พิจารณามีความจำเป็น แต่ไม่เพียงพอ การค้นหาเงื่อนไขสุดขั้วโดยใช้ ฟังก์ชั่นเสริม ลและสร้างพื้นฐานของวิธีตัวคูณลากรองจ์ ซึ่งใช้กับกรณีที่ง่ายที่สุดของตัวแปรสองตัว ปรากฎว่าเหตุผลข้างต้นเป็นประเด็นทั่วไปของคดีนี้ หมายเลขใดก็ได้ตัวแปรและสมการที่ระบุเงื่อนไข

บทสรุป

การใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์กลายเป็นประเด็นเร่งด่วนที่เกี่ยวข้องกับเศรษฐกิจที่กำลังพัฒนาอยู่ตลอดเวลา

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (เชิงสัญลักษณ์) ของระบบสามารถเริ่มต้นได้โดยการแสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมดของระบบที่ส่งผลต่อประสิทธิภาพของระบบ หากใช้ "ต้นทุนที่คาดหวังทั้งหมด" เป็นการวัดประสิทธิภาพโดยรวม ก็สามารถเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบแบบจำลองรูปภาพหรืออะนาล็อกที่ได้รับในขั้นตอนการกำหนดปัญหา

วิธีตัวคูณลากรองจ์ช่วยให้คุณค้นหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันภายใต้ข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน แนวคิดหลักของวิธีนี้คือการย้ายจากปัญหาในการค้นหาปลายสุดแบบมีเงื่อนไขไปสู่ปัญหาในการค้นหาปลายสุดแบบไม่มีเงื่อนไขของฟังก์ชันลากรองจ์ที่สร้างขึ้นบางส่วน

ดังนั้นวิธีการของตัวคูณลากรองจ์จึงมีบทบาทสำคัญในการพัฒนา การทำนาย การสร้างตัวเลือกที่ดีที่สุด ขอบเขตกิจกรรมของมนุษย์

. รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

1. วี.ไอ. Varfolomeev "การสร้างแบบจำลององค์ประกอบของระบบเศรษฐกิจ" มอสโก 2000

2. บุสเลนโก เอ็น.พี. “การสร้างแบบจำลองระบบที่ซับซ้อน” มอสโก, 2542

3. ดับเบิลยู. เชอร์แมน, อาร์. อาคอฟ, แอล. อาร์ตอฟ “ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวิจัยปฏิบัติการ” วิทยาศาสตร์: มอสโก, 1968.

4. A. Budylin “ปัญหาเบื้องต้น” มอสโก, 2545

5. Vanko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. ตัวแปร “แคลคูลัสและการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด” มอสโก, 1999

6. Ashmanov S.A., Timokhov A.V. “ทฤษฎีการหาค่าเหมาะที่สุดในปัญหาและแบบฝึกหัด” มอสโก พ.ศ. 2534

7. “การประชุมเชิงปฏิบัติการในห้องปฏิบัติการเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มประสิทธิภาพ” A.G.Kovalenko, I.A.Vlasova, A.F.Fedechev - Samara, 1998

เอกสารที่คล้ายกัน

วิธีการแก้ปัญหาโดยหาค่าสัมประสิทธิ์ a[i] โดยการแก้ปัญหาระบบโดยตรง - วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ สูตรการประมาณค่าของนิวตันและตัวแปรต่างๆ การสร้างพหุนามการประมาณค่าลากรองจ์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด

งานห้องปฏิบัติการ เพิ่มเมื่อ 11/16/2558


การประยุกต์ฟังก์ชันลากรองจ์ในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและนูน ปัญหาที่ง่ายที่สุดของ Boltz และแคลคูลัสคลาสสิกของการแปรผัน การใช้สมการออยเลอร์-ลากรองจ์เพื่อแก้ปัญหาไอโซพีอริเมตริก เงื่อนไขขอบเขตในการค้นหาค่าคงที่

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 16/01/2556


การค้นหาจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวที่ไม่เกินขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด แต่เหนือเซตที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ กรณีศึกษาการหาจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน คุณสมบัติหลักของวิธีตัวคูณลากรองจ์

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 17/09/2013


วิธีการหาค่าเหมาะที่สุดแบบไม่เชิงเส้นแบบมีเงื่อนไขและไม่มีเงื่อนไข การศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้วแบบไม่มีเงื่อนไข วิธีการเชิงตัวเลขในการลดขนาดฟังก์ชัน การย่อให้เล็กสุดด้วยข้อจำกัดแบบผสม จุดอานของฟังก์ชันลากรองจ์ การใช้แพ็คเกจ MS Excel และ Matlab

งานห้องปฏิบัติการ เพิ่มเมื่อ 07/06/2552


ข้อดีของสมการลากรองจ์และการประยุกต์ การจำแนกประเภทของการเชื่อมต่อภายใน ระบบเครื่องกล- การเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ของระบบกลไกและจำนวนองศาอิสระ การประยุกต์สมการลากรองจ์ชนิดที่สองในการศึกษาระบบเครื่องกล

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 21/08/2552


การประยุกต์ทฤษฎีบทลากรองจ์ในการแก้ปัญหา ใช้ในการแก้อสมการและสมการเมื่อค้นหาจำนวนรากของสมการบางสมการ การแก้ปัญหาโดยใช้สภาวะความซ้ำซากจำเจ ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเพิ่มหรือลด

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 14/03/2556


ข้อพิสูจน์การดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของพหุนามการประมาณค่าลากรองจ์ แนวคิดเรื่องสัมประสิทธิ์ลากรองจ์ วิธีการระบุความชันของลูกบาศก์สไปน์แบบประมาณค่า การใช้สำหรับการประมาณฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กว้าง

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 29/10/2013


การค้นหาเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชันโดยใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์ นิพจน์ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เพิ่มเติม โครงร่างของอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขโดยวิธีฟังก์ชันการลงโทษร่วมกับวิธีการย่อให้เล็กสุดแบบไม่มีเงื่อนไข การก่อสร้างเส้นจำกัด

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 05/04/2011


การก่อตัวของฟังก์ชันลากรองจ์ เงื่อนไขของคุห์นและทัคเกอร์ วิธีการหาค่าเหมาะที่สุดเชิงตัวเลขและผังงาน การประยุกต์ใช้วิธีการฟังก์ชั่นการลงโทษ จุดภายนอกประสานการสืบเชื้อสาย การไล่ระดับสีคอนจูเกตเพื่อลดปัญหาการปรับให้เหมาะสมตามเงื่อนไขให้กลายเป็นปัญหาที่ไม่มีเงื่อนไข

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 27/11/2555


การพล็อตกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง คำจำกัดความของตัวคูณลากรองจ์ จุดวิกฤตคือค่าของการโต้แย้งจากขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันหายไป ยิ่งใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดฟังก์ชั่นบนเซ็กเมนต์

ทฤษฎีสั้น ๆ

วิธีตัวคูณลากรองจ์เป็นวิธีการคลาสสิกในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะปัญหาแบบนูน) น่าเสียดาย เมื่อไหร่. การประยุกต์ใช้จริงวิธีการนี้อาจประสบปัญหาในการคำนวณอย่างมาก ทำให้ขอบเขตการใช้งานแคบลง เราพิจารณาวิธีการลากรองจ์ในที่นี้เป็นหลักเนื่องจากเป็นเครื่องมือที่ใช้อย่างแข็งขันเพื่อยืนยันวิธีการเชิงตัวเลขสมัยใหม่ต่างๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ สำหรับฟังก์ชันลากรองจ์และตัวคูณลากรองจ์ พวกมันเล่นอย่างอิสระและเฉพาะตัว บทบาทที่สำคัญในทางทฤษฎีและการประยุกต์ไม่เพียงแต่ในการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

พิจารณาปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบคลาสสิก:

ท่ามกลางข้อจำกัดของปัญหานี้ ไม่มีความไม่เท่าเทียมกัน ไม่มีเงื่อนไขสำหรับการไม่เชิงลบของตัวแปร ความรอบคอบ และฟังก์ชัน และมีความต่อเนื่องและมีอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับ อย่างน้อยลำดับที่สอง

แนวทางคลาสสิกในการแก้ปัญหาจัดให้มีระบบสมการ (เงื่อนไขที่จำเป็น) ที่ต้องได้รับความพึงพอใจจากจุดที่จัดเตรียมฟังก์ชันที่มีจุดสุดขีดเฉพาะที่บนเซตของจุดที่เป็นไปตามข้อจำกัด (สำหรับปัญหาการโปรแกรมแบบนูน จุดที่พบ ก็จะเป็นจุดสุดโต่งของโลกด้วย)

ให้เราสมมติว่าที่ฟังก์ชันจุด (1) มีเงื่อนไขสุดขั้วเฉพาะที่และอันดับของเมทริกซ์เท่ากับ จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นจะถูกเขียนในรูปแบบ:

มีฟังก์ชันลากรองจ์

– ตัวคูณลากรองจ์

นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขเพียงพอที่การแก้ระบบสมการ (3) จะกำหนดจุดปลายสุดของฟังก์ชัน คำถามนี้ได้รับการแก้ไขโดยอาศัยการศึกษาเครื่องหมายของส่วนต่างที่สองของฟังก์ชันลากรองจ์ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขที่เพียงพอส่วนใหญ่เป็นความสนใจทางทฤษฎี

คุณสามารถระบุขั้นตอนต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหา (1), (2) โดยใช้วิธีตัวคูณลากรองจ์:

1) เขียนฟังก์ชันลากรองจ์ (4);

2) ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันลากรองจ์เทียบกับตัวแปรทั้งหมดแล้วเทียบเคียงกัน

3) จากจุดที่นิ่งซึ่งถ่ายโดยไม่มีพิกัด ให้เลือกจุดที่ฟังก์ชันมีเงื่อนไขสุดขั้วเฉพาะที่โดยมีข้อจำกัด (2) ทางเลือกนี้ทำขึ้น เช่น โดยใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขั้วเฉพาะที่ บ่อยครั้งที่การศึกษาจะง่ายขึ้นหากใช้เงื่อนไขเฉพาะของปัญหา

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

สภาพปัญหา

บริษัทผลิตสินค้า 2 ประเภทในปริมาณและ ฟังก์ชันต้นทุนที่มีประโยชน์ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ ราคาของสินค้าเหล่านี้ในตลาดจะเท่ากันและตามลำดับ

กำหนดปริมาณผลผลิตที่ได้ กำไรสูงสุดและจะเท่ากับเท่าใดหากต้นทุนรวมไม่เกิน

มีปัญหาในการทำความเข้าใจความคืบหน้าของการตัดสินใจใช่หรือไม่? เว็บไซต์นำเสนอบริการ การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการแก้ไขปัญหาที่เหมาะสมที่สุดในการสั่งซื้อ

การแก้ปัญหา

แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ของปัญหา

ฟังก์ชั่นกำไร:

ข้อจำกัดด้านต้นทุน:

เราได้รับแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้:

นอกจากนี้ตามความหมายของงาน

วิธีตัวคูณลากรองจ์

มาเขียนฟังก์ชันลากรองจ์กัน:

เราพบอนุพันธ์บางส่วนอันดับ 1:

มาสร้างและแก้ระบบสมการกัน:

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

กำไรสูงสุด:

คำตอบ

จึงต้องปล่อยอาหารออกไป สินค้าประเภทที่ 1 และหน่วย สินค้าประเภทที่ 2 ในกรณีนี้กำไรจะสูงสุดและเท่ากับ 270
ให้ตัวอย่างการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมนูนกำลังสองโดยใช้วิธีกราฟิกมาให้

การแก้ปัญหาเชิงเส้นโดยวิธีกราฟิก
ที่พิจารณา วิธีกราฟิกการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LPP) ด้วยตัวแปรสองตัว มีการให้ตัวอย่างงาน คำอธิบายโดยละเอียดการเขียนแบบและหาทางแก้ไข

รูปแบบการจัดการสินค้าคงคลังของวิลสัน
การใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาจะพิจารณารูปแบบพื้นฐานของการจัดการสินค้าคงคลัง (แบบจำลองวิลสัน) ตัวบ่งชี้แบบจำลองต่อไปนี้ถูกคำนวณ: ขนาดที่เหมาะสมที่สุดปริมาณการสั่งซื้อ ต้นทุนการถือครองรายปี ระยะเวลาการส่งมอบ และจุดสั่งซื้อ

เมทริกซ์อัตราส่วนต้นทุนทางตรงและเมทริกซ์อินพุต-เอาท์พุต
เมื่อใช้ตัวอย่างของการแก้ปัญหา จะพิจารณาแบบจำลองระหว่างภาคของ Leontiev ที่แสดงคือการคำนวณเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของต้นทุนวัสดุทางตรง เมทริกซ์อินพุต-เอาท์พุต และเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ต้นทุนทางอ้อมเวกเตอร์ของการบริโภคขั้นสุดท้ายและผลผลิตรวม