Chichaeva Darina ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

ในงาน นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 อธิบายกฎการแยกตัวประกอบพหุนามด้วยการแยกตัวประกอบ ตัวคูณทั่วไปเบื้องหลังวงเล็บพร้อมรายละเอียดการแก้ไขตัวอย่างมากมายในหัวข้อนี้ สำหรับแต่ละตัวอย่างที่กล่าวถึง มีการเสนอตัวอย่าง 2 ตัวอย่าง การตัดสินใจที่เป็นอิสระซึ่งมีคำตอบอยู่ งานจะช่วยให้คุณเรียน หัวข้อนี้นักเรียนที่ไม่ได้เรียนด้วยเหตุผลบางประการเมื่อเรียนเนื้อหาหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 และ (หรือ) เมื่อเรียนซ้ำหลักสูตรพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หลังวันหยุดฤดูร้อน

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล

โรงเรียนมัธยมหมายเลข 32

“โรงเรียนในเครือยูเนสโก “ยูเรก้า ดีเวลลอปเมนท์”

Volzhsky ภูมิภาคโวลโกกราด

งานเสร็จแล้ว:

นักเรียนชั้น 8B

ชิเชวา ดาริน่า

โวลซสกี้

2014

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

• - วิธีหนึ่งในการแยกตัวประกอบพหุนามคือนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
• - เมื่อนำตัวคูณทั่วไปออกจากวงเล็บ จะถูกนำมาใช้ทรัพย์สินจำหน่าย;
• - ถ้าเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามประกอบด้วยปัจจัยร่วมแล้ว ปัจจัยนี้สามารถเอาออกจากวงเล็บได้.

เมื่อแก้สมการ ในการคำนวณและปัญหาอื่นๆ จำนวนมาก การแทนที่พหุนามด้วยผลคูณของพหุนามหลายรายการ (ซึ่งอาจรวมถึงเอกนามด้วย) จะเป็นประโยชน์ การแทนพหุนามเป็นผลคูณของพหุนามตั้งแต่สองตัวขึ้นไปเรียกว่าการแยกตัวประกอบพหุนาม

พิจารณาพหุนาม 6เอ 2 บี+15บี 2 . แต่ละเงื่อนไขสามารถถูกแทนที่ด้วยผลคูณของสองปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับ 3b: →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →จากนี้เราจะได้รับ: 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

นิพจน์ผลลัพธ์ที่อิงตามคุณสมบัติการกระจายของการคูณสามารถแสดงเป็นผลคูณของสองปัจจัยได้ หนึ่งในนั้นคือตัวคูณร่วม 3บี และอีกอันคือผลรวม 2a 2 และ 5b→ 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →ดังนั้นเราจึงขยายพหุนาม: 6เอ 2 บี+15บี 2 เป็นปัจจัยต่างๆ โดยแสดงเป็นผลผลิตจากเอกพจน์ 3b และพหุนาม 2a 2 +5b วิธีการนี้การแยกตัวประกอบพหุนามเรียกว่าการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ตัวอย่าง:

แยกตัวประกอบ:

ก) kx-px

ตัวคูณ x x เราเอามันออกจากวงเล็บ

kx:x=k; พิกเซล:x=พี.

เราได้รับ: kx-px=x*(k-p)

ข) 4a-4b

ตัวคูณ 4 มีทั้งในระยะที่ 1 และระยะที่ 2 นั่นเป็นเหตุผล 4 เราเอามันออกจากวงเล็บ

4a:4=ก; 4b:4=ข.

เราได้: 4a-4b=4*(a-b)

ค) -9นาที-27น.

9m และ -27n หารด้วย -9 ลงตัว . ดังนั้นเราจึงนำตัวประกอบตัวเลขออกจากวงเล็บ-9.

9น.: (-9)=ม.; -27n: (-9)=3n

เรามี: -9m-27n=-9*(m+3n)

ง) 5ป 2 -15ป

5 และ 15 หารด้วย 5 ลงตัว; y 2 และ y ถูกหารด้วย y

ดังนั้นเราจึงนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ 5у

5y 2 : 5y=y; -15ป: 5ป=-3.

ดังนั้น: 5ป 2 -15y=5ป*(y-3)

ความคิดเห็น: จากสององศาที่มีฐานเดียวกัน เราจะเอาดีกรีที่มีเลขชี้กำลังน้อยกว่าออก

จ) 16у 3 +12у 2

16 และ 12 หารด้วย 4 ลงตัว; y 3 และ y 2 หารด้วย y 2

ดังนั้นปัจจัยร่วม 4ปี 2 .

16ป 3 : 4ป 2 =4ป; 12ป 2 : 4ป 2 =3.

เป็นผลให้เราได้รับ: 16ป 3 +12ป 2 =4ป 2 *(4ป+3)

f) แยกตัวประกอบพหุนาม 8b(7y+ก)+n(7y+ก)

ในนิพจน์นี้เราจะเห็นว่ามีปัจจัยเดียวกันอยู่(7ปี+ก) ซึ่งสามารถถอดออกจากวงเล็บได้ ดังนั้นเราจึงได้:8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a)

ก) ก(ข-ค)+ง(ซี-ข)

นิพจน์ b-c และ c-b อยู่ตรงกันข้าม ดังนั้นเพื่อให้พวกเขาเหมือนเดิมเสียก่อน d เปลี่ยนเครื่องหมาย “+” เป็น “-”:

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d)

ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

1. mx+ของฉัน;
2. อ่า+ใช่;
3. 5x+5ป ;
4. 12x+48ป;
5. 7ax+7bx;
6. 14x+21ป;
7. –มะ-อา;
8. 8mn-4m2;
9. -12ปี 4 -16ปี;
10. 15ปี 3 -30ปี 2 ;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8ม(ก-3)+น(ก-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

คำตอบ

1) ม.(x+y); 2) ก(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4ป); 5) 7х(ก+ข); 6) 7(2x+3ป); 7) -ก(ม+1); 8) 4ม.(2นาโนเมตร);

9) -4ป(3ป 3 +4); 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y 2); 12) (a-3)(8นาที+น); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b)

>>คณิตศาสตร์: นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ก่อนที่จะเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ ให้กลับไปที่มาตรา 15 เราได้ดูตัวอย่างที่ต้องนำเสนอแล้ว พหุนามเป็นผลคูณของพหุนามและโมโนเมียล เราได้พิสูจน์แล้วว่าปัญหานี้ไม่ได้ถูกต้องเสมอไป อย่างไรก็ตาม หากสามารถคอมไพล์ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวได้ พวกเขามักจะบอกว่าพหุนามถูกแยกตัวประกอบโดยใช้ การตัดสินทั่วไปปัจจัยร่วมอยู่นอกวงเล็บ ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1แยกตัวประกอบพหุนาม:

ก) 2x + 6y, ค) 4a 3 + 6a 2; จ) 5a 4 - 10a 3 + 15a 8
ข) ก 3 + ก 2; ง) 12ab 4 - 18a 2 b 3 c;

สารละลาย.
ก) 2x + 6y = 2 (x + 3) ตัวหารร่วมของสัมประสิทธิ์ของพจน์พหุนามถูกนำออกจากวงเล็บแล้ว

ข) ก 3 + ก 2 = ก 2 (ก + 1) หากตัวแปรเดียวกันรวมอยู่ในเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนาม ก็สามารถนำตัวแปรนั้นออกจากวงเล็บได้ในระดับที่เท่ากับค่าที่น้อยที่สุดของตัวแปรที่มีอยู่ (เช่น เลือกเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดที่มีอยู่)

c) ที่นี่เราใช้เทคนิคเดียวกับเมื่อแก้ตัวอย่าง a) และ b): สำหรับสัมประสิทธิ์เราพบตัวหารร่วม (ใน ในกรณีนี้หมายเลข 2) สำหรับตัวแปร - เล็กที่สุด ระดับจากที่มีอยู่ (ในกรณีนี้คือ 2) เราได้รับ:

4a 3 + 6a 2 = 2a 2 2a + 2a 2 3 = 2a 2 (2a + 3)

d) โดยปกติสำหรับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม พวกเขาพยายามค้นหาไม่ใช่แค่ตัวหารร่วมเท่านั้น แต่ยังเป็นตัวหารร่วมมากด้วย สำหรับสัมประสิทธิ์ 12 และ 18 จะเป็นเลข 6 เราสังเกตว่าตัวแปร a รวมอยู่ในทั้งสองพจน์ของพหุนาม โดยเลขชี้กำลังที่น้อยที่สุดคือ 1 ตัวแปร b ยังรวมอยู่ในทั้งสองพจน์ของพหุนามด้วย โดยที่ เลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดคือ 3 สุดท้ายนี้ ตัวแปร c จะรวมอยู่ในเทอมที่สองของพหุนามเท่านั้น ซึ่งจะไม่รวมอยู่ในเทอมแรก ซึ่งหมายความว่าตัวแปรนี้ไม่สามารถเอาออกจากวงเล็บได้ทุกระดับ ด้วยเหตุนี้เราจึงมี:

12ab 4 - 18a 2 b 3 c = 6ab 3 2b - 6ab 3 Zas = 6ab 3 (2b - Zas)

จ) 5a 4 -10a 3 +15a 8 = 5a 3 (a-2 + สำหรับ 2)

อันที่จริงแล้ว ในตัวอย่างนี้ เราได้พัฒนาอัลกอริธึมต่อไปนี้

ความคิดเห็น . ในบางกรณี จะเป็นประโยชน์ที่จะดึงสัมประสิทธิ์เศษส่วนเป็นปัจจัยทั่วไป

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 2แยกตัวประกอบ:

X 4 ปี 3 -2x 3 ปี 2 + 5x 2

สารละลาย. ลองใช้อัลกอริธึมที่กำหนด

1) ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสัมประสิทธิ์ -1, -2 และ 5 คือ 1
2) ตัวแปร x จะรวมอยู่ในเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามที่มีเลขชี้กำลัง 4, 3, 2 ตามลำดับ ดังนั้นจึงสามารถนำ x 2 ออกจากวงเล็บได้
3) ตัวแปร y ไม่ได้รวมอยู่ในทุกพจน์ของพหุนาม ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถนำออกจากวงเล็บได้

บทสรุป: x 2 สามารถถอดออกจากวงเล็บได้ จริงอยู่ ในกรณีนี้ ควรใส่ -x 2 ออกจากวงเล็บจะเหมาะสมกว่า

เราได้รับ:
-x 4 ปี 3 -2x 3 ปี 2 + 5x 2 = - x 2 (x 2 ปี 3 + 2xy 2 - 5)

ตัวอย่างที่ 3. เป็นไปได้ไหมที่จะแบ่งพหุนาม 5a 4 - 10a 3 + 15a 5 ออกเป็นเอกพจน์ 5a 3? ถ้าใช่ให้ดำเนินการ แผนก.

สารละลาย. ในตัวอย่าง 1d) เราได้สิ่งนั้น

5a 4 - 10a 3 + 15a 8 - 5a 3 (ก - 2 + สำหรับ 2)

ซึ่งหมายความว่าพหุนามที่กำหนดสามารถหารด้วย 5a 3 และผลหารจะเป็น a - 2 + สำหรับ 2

เราดูตัวอย่างที่คล้ายกันในมาตรา 18; โปรดดูอีกครั้ง แต่คราวนี้จากมุมมองของการนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

การแยกตัวประกอบพหุนามโดยการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการดำเนินการสองอย่างที่เราศึกษาในมาตรา 15 และ 18 - การคูณพหุนามด้วยโมโนเมียลและการหารพหุนามด้วย เอกพจน์.

ทีนี้มาขยายแนวคิดของเราเกี่ยวกับการนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บกันดีกว่า ประเด็นก็คือบางครั้ง การแสดงออกทางพีชคณิตได้รับในลักษณะที่ปัจจัยร่วมไม่สามารถเป็น monomial ได้ แต่เป็นผลรวมของ monomials หลายรายการ

ตัวอย่างที่ 4แยกตัวประกอบ:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

สารละลาย. ขอแนะนำตัวแปรใหม่ y = x - 2 จากนั้นเราจะได้:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2xy + 5y 2

เราทราบว่าตัวแปร y สามารถถอดออกจากวงเล็บได้:

2xy + 5y 2 - y (2x + 5y) ตอนนี้เรากลับมาที่สัญกรณ์เก่า:

y(2x + 5y) = (x- 2)(2x + 5(x - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10)

ในกรณีเช่นนี้ หลังจากสั่งสมประสบการณ์มาบ้างแล้ว คุณจะไม่สามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้ แต่ให้ใช้สิ่งต่อไปนี้

2x(x - 2) + 5(x - 2) 2 = (x - 2)(2x + 5(x - 2))= (x - 2)(2x + 5x~ 10) = (x - 2)( 7x - 10)

การวางแผนตามปฏิทินสำหรับคณิตศาสตร์ วิดีโอจากคณิตศาสตร์ออนไลน์ ดาวน์โหลดคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน

A. V. Pogorelov เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11 หนังสือเรียนสำหรับ สถาบันการศึกษา

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน แทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบแผนปฏิทินสำหรับปี หลักเกณฑ์โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับกฎในการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ และเรียนรู้วิธีค้นหา ตัวอย่างต่างๆและการแสดงออก เรามาพูดถึงวิธีการกันดีกว่า ใช้งานง่ายการวางตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บทำให้การคำนวณง่ายขึ้น เราจะรวบรวมความรู้และทักษะที่ได้รับโดยดูตัวอย่างความซับซ้อนต่างๆ

อะไรคือปัจจัยทั่วไปทำไมต้องมองหามันและนำออกจากวงเล็บเพื่อจุดประสงค์อะไร? ลองตอบคำถามเหล่านี้โดยดูจากตัวอย่างง่ายๆ

มาแก้สมการกัน. ด้านซ้ายสมการคือพหุนามที่ประกอบด้วยพจน์ที่คล้ายกัน ส่วนของตัวอักษรเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับคำเหล่านี้ ซึ่งหมายความว่ามันจะเป็นปัจจัยร่วม เอามันออกจากวงเล็บ:

ในกรณีนี้ การนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บช่วยให้เราแปลงพหุนามเป็นโมโนเมียลได้ ดังนั้นเราจึงสามารถจัดรูปพหุนามให้ง่ายขึ้นได้ และการแปลงของมันช่วยให้เราแก้สมการได้

ในตัวอย่างที่พิจารณา ปัจจัยร่วมนั้นชัดเจน แต่จะง่ายต่อการค้นหาโดยใช้พหุนามตามอำเภอใจหรือไม่

เรามาค้นหาความหมายของสำนวนนี้กัน: .

ใน ในตัวอย่างนี้การวางตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่ง ลองพิสูจน์การหารเป็นนิพจน์กัน.

ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย , ตามที่จำเป็นต้องพิสูจน์ อีกครั้งหนึ่งที่การนำปัจจัยร่วมช่วยให้เราแก้ไขปัญหาได้

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่ง ให้เราพิสูจน์ว่านิพจน์นี้หารด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ ลงตัว: .

นิพจน์เป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวที่อยู่ติดกัน หนึ่งในสองจำนวนนั้นจะเป็นเลขคู่อย่างแน่นอน ซึ่งหมายความว่านิพจน์จะถูกหารด้วย .

เราได้จัดเรียงมันออก ตัวอย่างที่แตกต่างกันแต่พวกเขาใช้วิธีการแก้ปัญหาเดียวกัน: พวกเขาเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ เราเห็นว่าการดำเนินการง่ายๆ นี้ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก มันง่ายที่จะหาตัวประกอบร่วมสำหรับกรณีพิเศษเหล่านี้ แต่จะทำอย่างไรในกรณีทั่วไปสำหรับพหุนามตามอำเภอใจ?

จำไว้ว่าพหุนามคือผลรวมของเอกนาม

พิจารณาพหุนาม . พหุนามนี้คือผลรวมของสองเอกนาม monomial คือผลคูณของตัวเลข สัมประสิทธิ์ และส่วนของตัวอักษร ดังนั้น ในพหุนามของเรา แต่ละเอกนามจะแสดงด้วยผลคูณของจำนวนและกำลัง ซึ่งเป็นผลคูณของปัจจัย ปัจจัยสามารถเหมือนกันสำหรับ monomial ทั้งหมด เป็นปัจจัยเหล่านี้ที่ต้องพิจารณาและนำออกจากวงเล็บ อันดับแรก เราจะหาปัจจัยร่วมของสัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม

มันง่ายที่จะหาปัจจัยร่วม แต่มานิยาม gcd ของสัมประสิทธิ์กันดีกว่า: .

ลองดูตัวอย่างอื่น: .

มาดูกันว่าอะไรจะช่วยให้เราระบุปัจจัยร่วมได้ ได้รับการแสดงออก: .

เราได้รับกฎสำหรับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม คุณต้องค้นหา gcd ของพวกเขาแล้วนำมันออกจากวงเล็บ มารวมกฎนี้เข้าด้วยกันโดยแก้อีกหนึ่งตัวอย่าง

เราได้ดูกฎในการกำหนดค่าตัวประกอบร่วมสำหรับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มแล้ว มาดูส่วนของตัวอักษรกันดีกว่า ขั้นแรก เรามองหาตัวอักษรที่รวมอยู่ใน monomials ทั้งหมด จากนั้นเราจะกำหนดระดับสูงสุดของตัวอักษรที่รวมอยู่ใน monomials ทั้งหมด:

ในตัวอย่างนี้ มีตัวแปรตัวอักษรทั่วไปเพียงตัวเดียว แต่อาจมีได้หลายตัว ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

เรามาทำให้ตัวอย่างซับซ้อนขึ้นโดยการเพิ่มจำนวน monomials:

หลังจากนำตัวประกอบร่วมออกมาแล้ว เราก็แปลงผลรวมพีชคณิตเป็นผลคูณ

เราดูกฎการลบสำหรับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและตัวแปรตัวอักษรแยกกัน แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องใช้กฎเหล่านี้ร่วมกันเพื่อแก้ตัวอย่าง ลองดูตัวอย่าง:

บางครั้งการระบุนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บอาจเป็นเรื่องยาก ลองดูเคล็ดลับง่ายๆ ที่จะช่วยให้คุณแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างรวดเร็ว

ปัจจัยร่วมอาจเป็นค่าที่ต้องการได้เช่นกัน:

ตัวประกอบร่วมสามารถเป็นได้ไม่เพียงแต่เป็นตัวเลขหรือเอกพจน์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ใดๆ ด้วย เช่น ในสมการต่อไปนี้

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับกฎสำหรับการวงเล็บเหลี่ยมปัจจัยร่วมและเรียนรู้วิธีค้นหาจากตัวอย่างและสำนวนต่างๆ เรามาพูดถึงการดำเนินการง่ายๆ โดยนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บทำให้การคำนวณง่ายขึ้น เราจะรวบรวมความรู้และทักษะที่ได้รับโดยดูตัวอย่างความซับซ้อนต่างๆ

อะไรคือปัจจัยทั่วไปทำไมต้องมองหามันและนำออกจากวงเล็บเพื่อจุดประสงค์อะไร? ลองตอบคำถามเหล่านี้โดยดูจากตัวอย่างง่ายๆ

มาแก้สมการกัน. ทางด้านซ้ายของสมการคือพหุนามที่ประกอบด้วยพจน์ที่คล้ายกัน ส่วนของตัวอักษรเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับคำเหล่านี้ ซึ่งหมายความว่ามันจะเป็นปัจจัยร่วม เอามันออกจากวงเล็บ:

ในกรณีนี้ การนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บช่วยให้เราแปลงพหุนามเป็นโมโนเมียลได้ ดังนั้นเราจึงสามารถจัดรูปพหุนามให้ง่ายขึ้นได้ และการแปลงของมันช่วยให้เราแก้สมการได้

ในตัวอย่างที่พิจารณา ปัจจัยร่วมนั้นชัดเจน แต่จะง่ายต่อการค้นหาโดยใช้พหุนามตามอำเภอใจหรือไม่

เรามาค้นหาความหมายของสำนวนนี้กัน: .

ในตัวอย่างนี้ การใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่ง ลองพิสูจน์การหารเป็นนิพจน์กัน.

ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย , ตามที่จำเป็นต้องพิสูจน์ อีกครั้งหนึ่งที่การนำปัจจัยร่วมช่วยให้เราแก้ไขปัญหาได้

ลองแก้อีกตัวอย่างหนึ่ง ให้เราพิสูจน์ว่านิพจน์นี้หารด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ ลงตัว: .

นิพจน์เป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติสองตัวที่อยู่ติดกัน หนึ่งในสองจำนวนนั้นจะเป็นเลขคู่อย่างแน่นอน ซึ่งหมายความว่านิพจน์จะถูกหารด้วย .

เราดูตัวอย่างต่างๆ แต่เราใช้วิธีการแก้ปัญหาเดียวกัน: เราเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ เราเห็นว่าการดำเนินการง่ายๆ นี้ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก มันง่ายที่จะหาตัวประกอบร่วมสำหรับกรณีพิเศษเหล่านี้ แต่จะทำอย่างไรในกรณีทั่วไปสำหรับพหุนามตามอำเภอใจ?

จำไว้ว่าพหุนามคือผลรวมของเอกนาม

พิจารณาพหุนาม . พหุนามนี้คือผลรวมของสองเอกนาม monomial คือผลคูณของตัวเลข สัมประสิทธิ์ และส่วนของตัวอักษร ดังนั้น ในพหุนามของเรา แต่ละเอกนามจะแสดงด้วยผลคูณของจำนวนและกำลัง ซึ่งเป็นผลคูณของปัจจัย ปัจจัยสามารถเหมือนกันสำหรับ monomial ทั้งหมด เป็นปัจจัยเหล่านี้ที่ต้องพิจารณาและนำออกจากวงเล็บ อันดับแรก เราจะหาปัจจัยร่วมของสัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม

มันง่ายที่จะหาปัจจัยร่วม แต่มานิยาม gcd ของสัมประสิทธิ์กันดีกว่า: .

ลองดูตัวอย่างอื่น: .

มาหากัน ซึ่งจะช่วยให้เรากำหนดปัจจัยทั่วไปสำหรับนิพจน์นี้:

เราได้รับกฎสำหรับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม คุณต้องค้นหา gcd ของพวกเขาแล้วนำมันออกจากวงเล็บ มารวมกฎนี้เข้าด้วยกันโดยแก้อีกหนึ่งตัวอย่าง

เราได้ดูกฎในการกำหนดค่าตัวประกอบร่วมสำหรับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มแล้ว มาดูส่วนของตัวอักษรกันดีกว่า ขั้นแรก เรามองหาตัวอักษรที่รวมอยู่ใน monomials ทั้งหมด จากนั้นเราจะกำหนดระดับสูงสุดของตัวอักษรที่รวมอยู่ใน monomials ทั้งหมด:

ในตัวอย่างนี้ มีตัวแปรตัวอักษรทั่วไปเพียงตัวเดียว แต่อาจมีได้หลายตัว ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

เรามาทำให้ตัวอย่างซับซ้อนขึ้นโดยการเพิ่มจำนวน monomials:

หลังจากนำตัวประกอบร่วมออกมาแล้ว เราก็แปลงผลรวมพีชคณิตเป็นผลคูณ

เราดูกฎการลบสำหรับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและตัวแปรตัวอักษรแยกกัน แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องใช้กฎเหล่านี้ร่วมกันเพื่อแก้ตัวอย่าง ลองดูตัวอย่าง:

บางครั้งการระบุนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บอาจเป็นเรื่องยาก ลองดูเคล็ดลับง่ายๆ ที่จะช่วยให้คุณแก้ไขปัญหานี้ได้อย่างรวดเร็ว

ปัจจัยร่วมอาจเป็นค่าที่ต้องการได้เช่นกัน:

ตัวประกอบร่วมสามารถเป็นได้ไม่เพียงแต่เป็นตัวเลขหรือเอกพจน์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ใดๆ ด้วย เช่น ในสมการต่อไปนี้

ภายในกรอบการศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ หัวข้อการนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บเป็นสิ่งสำคัญมาก ในบทความนี้ เราจะอธิบายว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวคืออะไร รับกฎพื้นฐาน และวิเคราะห์ตัวอย่างปัญหาทั่วไป

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

แนวคิดในการนำตัวประกอบออกจากวงเล็บ

หากต้องการใช้การแปลงนี้ให้สำเร็จ คุณจำเป็นต้องรู้ว่านิพจน์นั้นใช้สำหรับอะไร และผลลัพธ์ใดที่ควรได้รับในตอนท้าย ให้เราชี้แจงประเด็นเหล่านี้

คุณสามารถนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บในนิพจน์ที่แสดงผลรวมซึ่งแต่ละคำเป็นผลคูณ และในแต่ละผลิตภัณฑ์จะมีปัจจัยหนึ่งที่เหมือนกันสำหรับทุกคน นี่เรียกว่าปัจจัยร่วม นี่คือสิ่งที่เราจะออกจากวงเล็บ ดังนั้นถ้าเรามีผลงาน 5 3และ 5 4,จากนั้นเราก็นำตัวประกอบร่วม 5 ออกจากวงเล็บได้

การเปลี่ยนแปลงนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง? ในระหว่างนั้น เราแสดงนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยร่วมและนิพจน์ในวงเล็บที่มีผลรวมของคำศัพท์ดั้งเดิมทั้งหมด ยกเว้นปัจจัยร่วม

ลองมาตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้น ลองบวกตัวประกอบร่วมของ 5 กัน 5 3และ 5 4และเราได้ 5 (3 + 4) . นิพจน์สุดท้ายคือผลคูณของตัวประกอบร่วม 5 โดยนิพจน์ในวงเล็บ ซึ่งเป็นผลรวมของพจน์เดิมที่ไม่มี 5

การเปลี่ยนแปลงครั้งนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณซึ่งเราเคยศึกษามาแล้ว ในรูปแบบตัวอักษรสามารถเขียนได้เป็น ก (b + c) = ข + ก. โดยการเปลี่ยนแปลง ด้านขวาทางด้านซ้าย เราจะเห็นรูปแบบการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

กฎสำหรับการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

จากทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้น เราได้กฎพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว:

คำจำกัดความ 1

หากต้องการลบตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ คุณต้องเขียนนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของตัวประกอบร่วมและวงเล็บที่รวมผลรวมเดิมโดยไม่มีตัวประกอบร่วม

ตัวอย่างที่ 1

ลองใช้ตัวอย่างง่ายๆ ของการเรนเดอร์ เรามีนิพจน์ตัวเลข 3 7 + 3 2 - 3 5ซึ่งเป็นผลรวมของสามเทอม 3 · 7, 3 · 2 และตัวประกอบร่วม 3 โดยยึดกฎที่เราได้รับมาเป็นพื้นฐาน เราจะเขียนผลคูณเป็น 3 (7 + 2 - 5). นี่คือผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงของเรา โซลูชันทั้งหมดมีลักษณะดังนี้: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

เราสามารถนำตัวคูณออกจากวงเล็บได้ ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในด้วย การแสดงออกตามตัวอักษร. ตัวอย่างเช่นใน 3 x - 7 x + 2คุณสามารถนำตัวแปร x ออกมาแล้วรับได้ 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2ในการแสดงออก (x 2 + y) x y - (x 2 + y) x 3– ปัจจัยร่วม (x2+ย)และเข้าไปในที่สุด (x 2 + y) · (x · y - x 3).

ไม่สามารถระบุได้ทันทีว่าปัจจัยใดเป็นปัจจัยร่วมเสมอไป บางครั้งนิพจน์ต้องถูกแปลงก่อนโดยการแทนที่ตัวเลขและนิพจน์ด้วยผลคูณที่เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 6 x + 4 ปีคุณสามารถนำตัวประกอบร่วม 2 ออกมาได้ โดยไม่ต้องเขียนไว้ อย่างชัดเจน. ในการค้นหา เราต้องแปลงนิพจน์ดั้งเดิมโดยแสดงหกเป็น 2 · 3 และสี่เป็น 2 · 2 นั่นคือ 6 x + 4 ปี = 2 3 x + 2 2 ปี = 2 (3 x + 2 ปี). หรือในการแสดงออก x 3 + x 2 + 3 xเราสามารถเอาปัจจัยร่วม x ออกจากวงเล็บ ซึ่งจะแสดงหลังจากการแทนที่ x3บน x · x 2 .การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นไปได้เนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของระดับ เป็นผลให้เราได้นิพจน์ x (x 2 + x + 3).

อีกกรณีหนึ่งที่ควรพูดคุยแยกกันคือการลบเครื่องหมายลบออกจากวงเล็บ จากนั้นเราก็ไม่นำเครื่องหมายออกมา แต่ลบหนึ่งอัน ตัวอย่างเช่น ให้เราแปลงนิพจน์ในลักษณะนี้ − 5 − 12 x + 4 x y. ลองเขียนนิพจน์ใหม่เป็น (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x yเพื่อให้เห็นตัวคูณโดยรวมได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ลองเอามันออกจากวงเล็บแล้วได้ − (5 + 12 · x − 4 · x · y) ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าในวงเล็บได้รับจำนวนเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

โดยสรุป เราสังเกตว่าในทางปฏิบัติมักใช้การแปลงโดยการวางตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ เช่น เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์เชิงตรรกยะ วิธีนี้ยังมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการแสดงนิพจน์เป็นผลคูณ เช่น เพื่อแยกตัวประกอบพหุนามให้เป็นตัวประกอบแต่ละตัว

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter