แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือรากของ x เครื่องคิดเลขออนไลน์ คำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด (แอนติเดริเวทีฟ)

ในบทที่แล้ว คุณคุ้นเคยกับกฎในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เรียนรู้เกี่ยวกับการใช้อนุพันธ์เพื่อศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซ้อนและสุดขีด เรียนรู้การหาค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน

ให้เราจำกฎในการคำนวณอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของจำนวนใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

อนุพันธ์ของ x เท่ากับ 1

อนุพันธ์ของ ka x บวก em เท่ากับ ka

อนุพันธ์ของอันหนึ่งหารด้วย x เท่ากับ ลบ 1 หารด้วย x กำลังสอง

อนุพันธ์ของราก x เท่ากับ 1 หารด้วย x ราก 2 อัน

อนุพันธ์ของไซน์ x เท่ากับโคไซน์ x

อนุพันธ์ของโคไซน์ x เท่ากับลบไซน์ x

อนุพันธ์ของ x กำลัง en เท่ากับ en คูณ x กำลัง en ลบ 1

บางครั้งคุณต้องแก้ปัญหาผกผัน เช่น เพื่อฟื้นฟูกฎการเคลื่อนที่จากความเร็วที่ทราบ

ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะตั้งชื่อพิเศษให้กับการดำเนินการผกผันร่วมกัน

เช่น การดำเนินการผกผันของการคูณคือการหาร

การดำเนินการแยกรากที่สองคือการผกผันของการยกกำลังสอง

กระบวนการหาอนุพันธ์ ฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่าการสร้างความแตกต่าง และการดำเนินการผกผันเรียกว่าการรวม (กระบวนการค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่กำหนด)

นั่นคือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่เป็นบรรพบุรุษของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดมักเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ

คำจำกัดความ: ฟังก์ชัน ygr เท่ากับ ef ใหญ่จาก x เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ygr เท่ากับ ef เล็กจาก x บนช่วงเวลาที่กำหนด x ใหญ่ ถ้า x ใดๆ ที่อยู่ในช่วงเวลาที่กำหนด ความเท่าเทียมกันจะเป็นที่น่าพอใจ:

โดยปกติแล้วช่วงระยะเวลาที่ x อยู่นั้นไม่ได้ระบุ แต่จะระบุโดยนัย

ลองดูตัวอย่าง

1. ฟังก์ชัน ygr เท่ากับ x กำลังสอง เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ygr เท่ากับ 2 x เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: อนุพันธ์ของ x กำลังสองเท่ากับ 2 x

2. ฟังก์ชัน ygr เท่ากับ x กำลังสาม เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ygr เท่ากับสาม x กำลังสอง เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง: อนุพันธ์ของ x กำลังสองเท่ากับสาม x กำลังสอง

3. ฟังก์ชัน y เท่ากับไซน์ x คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y เท่ากับโคไซน์ x เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกันคงอยู่: อนุพันธ์ของไซน์ x เท่ากับโคไซน์ x

4. ฟังก์ชัน ygrek เท่ากับรากของ x เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ygrek เท่ากับ 1 หารด้วย 2 รากของ x ในช่วงเวลาจากศูนย์ถึงอนันต์ เนื่องจาก x ใดๆ ที่มากกว่าศูนย์จะมีความเท่าเทียมกัน ถือ: อนุพันธ์ของรากของ x เท่ากับหนึ่ง, ราก x หารด้วยสอง

เมื่อทราบสูตรการหาอนุพันธ์แล้ว การสร้างตารางแอนติเดริเวทีฟไม่ใช่เรื่องยาก:

1. แอนติเดริเวทีฟของศูนย์เท่ากับค่าคงที่

2. แอนติเดริเวทีฟของเอกภาพเท่ากับ x

3. แอนติเดริเวทีฟของ x เท่ากับ x กำลังสองหารด้วย 2

4. แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน x กำลังของ en บวกหนึ่ง หารด้วย en บวกหนึ่ง

5. แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่ 1 หารด้วย x กำลังสอง เท่ากับ ลบ 1 หารด้วย x

6. แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่หารด้วยราก x เท่ากับ 2 ราก x และ x มากกว่าศูนย์

7. แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันไซน์ x เท่ากับลบโคไซน์ x

8. แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันโคไซน์ x เท่ากับไซน์ x

9. แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน 1 หารด้วยไซน์ x กำลังสอง เท่ากับลบโคแทนเจนต์ x

10. แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่ 1 หารด้วยโคไซน์ x กำลังสอง เท่ากับ tan x

ลองดูตัวอย่างการหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันต่างๆ กัน

ภารกิจที่ 1

พิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ถ้าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเท่ากับ x กำลังหก ตัวฟังก์ชันเองจะเท่ากับหก x กำลังห้า

สารละลาย:

1. ตามคำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ ฟังก์ชัน ygr เท่ากับ ef มากของ x เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ygr เท่ากับ ef เล็กของ x บนช่วงเวลาที่กำหนด x จะมีขนาดใหญ่ ถ้า x ใดๆ ที่เป็นของ กำหนดช่วงเวลาให้มีความเท่าเทียมกัน:

2. ลองหาอนุพันธ์ Eff ที่มีขนาดใหญ่โดยใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง ซึ่งจะเท่ากับ 6 x กำลังห้า

เราได้รับความเท่าเทียมกันของสองนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าตามคำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ ฟังก์ชัน ef ใหญ่ เท่ากับ x กำลังหก เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ef ขนาดเล็ก เท่ากับหก x ยกกำลังที่ห้า

ภารกิจที่ 2

สำหรับฟังก์ชัน (y เท่ากับ ef ของ x มีค่าน้อย) ให้หาแอนติเดริเวทีฟถ้า

(ef ของ x เท่ากับ ลบ 1 หารด้วย x กำลังสาม)

สารละลาย:

1. โดยนิยามของปริญญาที่มีจำนวนเต็ม ตัวบ่งชี้เชิงลบลองนึกภาพพจน์ลบ 1 หารด้วย x กำลังสามเป็น: ลบ x ยกกำลังสาม

2. เมื่อใช้สูตรในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันกำลัง เราจะหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ef ของ x ซึ่งเท่ากับลบ x กำลังลบกำลังสาม

เราได้ ลบ x ยกกำลัง ลบ 3 บวก 1 หารด้วย ลบ 3 บวก 1

จัดรูปพจน์ให้ง่ายขึ้น เราได้ลบ x ยกกำลังลบ 2 หารด้วยลบ 2 ลดค่าลบ เราได้: x ยกกำลังลบ 2 หารด้วย 2

ตามคำจำกัดความของกำลังที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มลบ เราจะนำเสนอนิพจน์ดังนี้: หนึ่งหารด้วยสอง x กำลังสอง

ดังนั้น แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน ef ของ x เล็ก เท่ากับลบ 1 หารด้วย x กำลังสอง คือฟังก์ชัน ef ใหญ่ เท่ากับ 1 หารด้วย 2 x กำลังสอง

ก่อนหน้านี้ ด้วยฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งชี้นำโดยสูตรและกฎเกณฑ์ต่างๆ เราจึงพบอนุพันธ์ของมัน อนุพันธ์มีประโยชน์หลายอย่าง: เป็นความเร็วของการเคลื่อนที่ (หรือโดยทั่วไปคือความเร็วของกระบวนการใด ๆ ); ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน เมื่อใช้อนุพันธ์คุณสามารถตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและสุดขั้วได้ มันช่วยแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ

แต่พร้อมกับปัญหาการหาความเร็วตามกฎการเคลื่อนที่ที่รู้จักก็มีเช่นกัน ปัญหาผกผัน- ปัญหาการฟื้นฟูกฎการเคลื่อนที่จากความเร็วที่ทราบ ลองพิจารณาหนึ่งในปัญหาเหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ความเร็วของการเคลื่อนที่ ณ เวลา t จะได้จากสูตร v=gt ค้นหากฎการเคลื่อนที่
สารละลาย. ให้ s = s(t) เป็นกฎการเคลื่อนที่ที่ต้องการ เป็นที่ทราบกันว่า s"(t) = v(t) ซึ่งหมายความว่าในการแก้ปัญหาคุณต้องเลือกฟังก์ชัน s = s(t) ซึ่งเป็นอนุพันธ์ซึ่งเท่ากับ gt การเดาได้ไม่ยาก นั่น $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
คำตอบ: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

ให้เราทราบทันทีว่าตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง แต่ไม่สมบูรณ์ เราได้ $s(t) = \frac(gt^2)(2) $ ที่จริงแล้ว ปัญหามีวิธีแก้ไขมากมายนับไม่ถ้วน: ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C$ โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ สามารถใช้เป็นกฎของ การเคลื่อนไหว เนื่องจาก $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

เพื่อให้ปัญหาเจาะจงมากขึ้น เราจำเป็นต้องแก้ไขสถานการณ์เริ่มต้น: ระบุพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เช่น ที่ t = 0 ถ้า พูดว่า s(0) = s 0 แล้วจาก ความเท่าเทียมกัน s(t) = (gt 2)/2 + C เราได้: s(0) = 0 + C เช่น C = s 0 ตอนนี้กฎการเคลื่อนที่ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ: s(t) = (gt 2)/2 + s 0

ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการกลับกันถูกกำหนดไว้ ชื่อที่แตกต่างกัน, คิดขึ้นมาด้วย การกำหนดพิเศษตัวอย่างเช่น การยกกำลังสอง (x 2) และการหารากที่สอง ($\sqrt(x)$) ไซน์ (sin x) และอาร์กไซน์ (อาร์คซิน x) เป็นต้น กระบวนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เรียกว่า ความแตกต่างและการดำเนินการผกผัน เช่น กระบวนการค้นหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่กำหนด ก็คือ บูรณาการ.

คำว่า "อนุพันธ์" นั้นสามารถอ้างเหตุผลได้ "ในชีวิตประจำวัน": ฟังก์ชัน y = f(x) "สร้าง" คุณลักษณะใหม่ย" = ฉ"(x) ฟังก์ชัน y = f(x) ทำหน้าที่เสมือนว่าเป็น "พาเรนต์" แต่นักคณิตศาสตร์ไม่เรียกฟังก์ชันนี้ว่า "พาเรนต์" หรือ "โปรดิวเซอร์" โดยธรรมชาติแล้ว พวกเขาบอกว่าฟังก์ชันนี้สัมพันธ์กับฟังก์ชัน y" = f"(x) รูปภาพหลักหรือดั้งเดิม

คำนิยาม.ฟังก์ชัน y = F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ในช่วง X ถ้าความเท่าเทียมกัน F"(x) = f(x) คงไว้สำหรับ $x \in X$

ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้วช่วง X จะไม่ถูกระบุ แต่เป็นการบอกเป็นนัย (เป็นโดเมนธรรมชาติของคำจำกัดความของฟังก์ชัน)

ลองยกตัวอย่าง
1) ฟังก์ชัน y = x 2 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 2x เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน (x 2)" = 2x เป็นจริง
2) ฟังก์ชัน y = x 3 เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = 3x 2 เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน (x 3)" = 3x 2 เป็นจริง
3) ฟังก์ชัน y = sin(x) เป็นฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = cos(x) เนื่องจากสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน (sin(x))" = cos(x) เป็นจริง

เมื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟรวมถึงอนุพันธ์ ไม่เพียงแต่จะใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกฎบางอย่างด้วย เกี่ยวข้องโดยตรงกับกฎที่เกี่ยวข้องในการคำนวณอนุพันธ์

เรารู้ว่าอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของมัน กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 1แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ

เรารู้ว่าตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ กฎนี้สร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟ

กฎข้อที่ 2ถ้า F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ f(x) ดังนั้น kF(x) จะเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ kf(x)

ทฤษฎีบท 1ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(x) แล้วแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = f(kx + m) จะเป็นฟังก์ชัน $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

ทฤษฎีบท 2ถ้า y = F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) บนช่วง X แล้วฟังก์ชัน y = f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ และพวกมันทั้งหมดจะมีรูปแบบ y = F(x) + ซี

วิธีการบูรณาการ

วิธีการแทนที่ตัวแปร (วิธีการทดแทน)

วิธีการอินทิเกรตโดยการแทนที่เกี่ยวข้องกับการแนะนำตัวแปรอินทิเกรตใหม่ (นั่นคือ การแทนที่) ในกรณีนี้ อินทิกรัลที่กำหนดจะลดลงเป็นอินทิกรัลใหม่ ซึ่งเป็นแบบตารางหรือแบบลดได้ วิธีการทั่วไปไม่มีการเลือกการทดแทน ความสามารถในการกำหนดการเปลี่ยนตัวได้อย่างถูกต้องนั้นได้มาจากการฝึกฝน
ปล่อยให้จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล $\textstyle \int F(x)dx $ มาทำการแทนค่า $x= \varphi(t) $ โดยที่ $\varphi(t) $ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่องกัน
จากนั้น $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ และขึ้นอยู่กับคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของสูตรอินทิกรัลสำหรับอินทิกรัลไม่จำกัด เราจะได้สูตรอินทิกรัลโดยการแทนที่:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

การรวมนิพจน์ในรูปแบบ $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

ถ้า m เป็นเลขคี่ m > 0 จะสะดวกกว่าถ้าจะใช้แทน sin x = t
ถ้า n เป็นเลขคี่ n > 0 จะสะดวกกว่าถ้าจะใช้แทน cos x = t
ถ้า n และ m เป็นเลขคู่ จะสะดวกกว่าถ้าจะใช้แทน tg x = t

บูรณาการตามส่วนต่างๆ

บูรณาการตามส่วนต่างๆ - ใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อบูรณาการ:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
หรือ:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

ตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +ค \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(อาร์คซิน) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

มีการระบุวิธีการหลักในการบูรณาการ ฟังก์ชั่นที่ไม่ลงตัว(ราก). ได้แก่ การบูรณาการความไม่ลงตัวของเศษส่วนเชิงเส้น ทวินามเชิงอนุพันธ์ ปริพันธ์กับรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง มีการทดแทนตรีโกณมิติและการทดแทนออยเลอร์ อินทิกรัลรูปไข่บางอันที่แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานได้รับการพิจารณา

อินฟราเรด ฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรคือฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากตัวแปรและค่าคงที่ตามอำเภอใจโดยใช้การดำเนินการจำนวนจำกัด ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ (การยกกำลังจำนวนเต็ม) การหาร และการหยั่งราก ฟังก์ชันอตรรกยะแตกต่างจากฟังก์ชันตรรกยะตรงที่ฟังก์ชันอตรรกยะประกอบด้วยการดำเนินการสำหรับการแยกราก

ฟังก์ชันอตรรกยะมีสามประเภทหลักๆ ซึ่งอินทิกรัลไม่ จำกัด จะลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะ สิ่งเหล่านี้คือปริพันธ์ที่มีรากของกำลังจำนวนเต็มตามอำเภอใจจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น (รากอาจมีกำลังต่างกัน แต่มาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้นเดียวกัน) อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลทวินามและอินทิกรัลกับรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

หมายเหตุสำคัญ รากมีหลายความหมาย!

เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่มีรูต มักจะพบนิพจน์ของแบบฟอร์ม โดยที่ ฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรอินทิเกรตคือที่ไหน มันควรจะเป็นพาหะในใจว่านั่นคือที่ t >< 0 , |t| = ต- ที่ที 0 0 , |t| = - ที .< 0 ดังนั้นเมื่อคำนวณอินทิกรัลดังกล่าว จำเป็นต้องพิจารณากรณีต่างๆ t > แยกต่างหาก 0 และที< 0 - ซึ่งสามารถทำได้โดยการเขียนป้ายหรือที่ใดก็ตามที่จำเป็น สมมติว่าเครื่องหมายบนสุดหมายถึงกรณี t >

และอันล่าง - ถึงเคส เสื้อ - ด้วยการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติม ตามกฎแล้วสัญญาณเหล่านี้จะยกเลิกซึ่งกันและกันแนวทางที่สองก็เป็นไปได้เช่นกัน ซึ่งสามารถพิจารณาการบูรณาการและผลลัพธ์ของการรวมเข้าด้วยกันได้

ฟังก์ชั่นที่ครอบคลุม

จากตัวแปรที่ซับซ้อน ถ้าอย่างนั้นคุณก็ไม่ต้องใส่ใจกับสัญญาณในสำนวนที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง วิธีการนี้ใช้ได้หากปริพันธ์เป็นเชิงวิเคราะห์ นั่นคือ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรเชิงซ้อน ในกรณีนี้ ทั้งอินทิกรัลและอินทิกรัลเป็นฟังก์ชันที่มีหลายค่า ดังนั้น หลังจากการบูรณาการ เมื่อแทนที่ค่าตัวเลข จำเป็นต้องเลือกสาขาที่มีค่าเดียว (พื้นผิว Riemann) ของปริพันธ์ และเลือกสาขาที่สอดคล้องกันของผลการรวม
,
ความไร้เหตุผลเชิงเส้นแบบเศษส่วน
สิ่งเหล่านี้คืออินทิกรัลที่มีรากจากฟังก์ชันเชิงเส้นเศษส่วนเดียวกัน:
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ คือจำนวนตรรกยะ m 1, n 1, ..., m s, n s คือจำนวนเต็ม α, β, γ, δ เป็นจำนวนจริง

อินทิกรัลดังกล่าวลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะโดยการทดแทน: โดยที่ n คือตัวส่วนร่วมของตัวเลข r 1, ..., r sรากอาจไม่จำเป็นต้องมาจากฟังก์ชันเศษส่วนเชิงเส้น แต่ยังมาจากฟังก์ชันเชิงเส้นด้วย (γ = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

นี่คือตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าว:
, .

อินทิกรัลจากอนุพันธ์ทวินาม

อินทิกรัลจากดิฟเฟอเรนเชียลทวินามมีรูปแบบ:
,
โดยที่ m, n, p เป็นจำนวนตรรกยะ, a, b เป็นจำนวนจริง
อินทิกรัลดังกล่าวลดอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะในสามกรณี

1) ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม การทดแทน x = t N โดยที่ N เป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วน m และ n
2) ถ้า - จำนวนเต็ม การแทนที่ a xn + b = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p
3) ถ้า - จำนวนเต็ม การทดแทน a + b x - n = t M โดยที่ M เป็นตัวส่วนของจำนวน p

ในกรณีอื่นๆ อินทิกรัลดังกล่าวจะไม่แสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน

บางครั้งอินทิกรัลดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้สูตรการลด:
;
.

ปริพันธ์ที่มีรากที่สองของตรีโกณมิติกำลังสอง

อินทิกรัลดังกล่าวมีรูปแบบ:
,
โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะ สำหรับอินทิกรัลแต่ละตัวนั้นมีหลายวิธีในการแก้ปัญหา
1) การใช้การแปลงทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น
2) ใช้การแทนที่ตรีโกณมิติหรือไฮเปอร์โบลิก
3) ใช้การทดแทนออยเลอร์

ลองดูวิธีการเหล่านี้โดยละเอียด

1) การแปลงฟังก์ชันปริพันธ์

การใช้สูตรและดำเนินการแปลงพีชคณิตเราจะลดฟังก์ชันปริพันธ์ให้อยู่ในรูปแบบ:
,
โดยที่ φ(x), ω(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ

ประเภทที่ 1

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P n (x) คือพหุนามของดีกรี n

อินทิกรัลดังกล่าวพบได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนโดยใช้เอกลักษณ์:

.
การแยกสมการนี้และการทำให้ด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน เราจะพบสัมประสิทธิ์ A i

ประเภทที่สอง

ส่วนประกอบของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ P m (x) คือพหุนามของดีกรี m

การทดแทน เสื้อ = (x - α) -1อินทิกรัลนี้ลดลงเป็นประเภทก่อนหน้า ถ้า m ≥ n แสดงว่าเศษส่วนควรมีส่วนจำนวนเต็ม

ประเภทที่สาม

ที่นี่เราทำการทดแทน:
.
หลังจากนั้นอินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ:
.
ถัดไปต้องเลือกค่าคงที่α, βเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของ t ในตัวส่วนกลายเป็นศูนย์:
ข = 0, ข 1 = 0
จากนั้นอินทิกรัลจะสลายตัวเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองประเภท:
,
,
ซึ่งรวมเข้าด้วยกันโดยการทดแทน:
คุณ 2 = A 1 เสื้อ 2 + C 1
โวลต์ 2 = ก 1 + ค 1 เสื้อ -2 .

2) การทดแทนตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก

สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม , a > 0 ,
เรามีตัวสำรองหลักๆ อยู่ 3 ตัว:
;
;
;

สำหรับปริพันธ์ ก > 0 ,
เรามีการทดแทนดังต่อไปนี้:
;
;
;

และสุดท้าย สำหรับอินทิกรัล, a > 0 ,
การทดแทนมีดังนี้:
;
;
;

3) การเปลี่ยนตัวออยเลอร์

นอกจากนี้ อินทิกรัลยังสามารถลดลงเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะของการแทนที่ออยเลอร์หนึ่งในสามตัว:
, สำหรับ > 0;
, สำหรับค > 0 ;
โดยที่ x 1 คือรากของสมการ a x 2 + b x + c = 0

ถ้าสมการนี้มีรากจริง

โดยสรุป ให้พิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม:
,
โดยที่ R เป็นฟังก์ชันตรรกยะ อินทิกรัลดังกล่าวเรียกว่าวงรี ในมุมมองทั่วไป

มันไม่ได้แสดงออกผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม มีหลายกรณีที่มีความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ A, B, C, D, E ซึ่งอินทิกรัลดังกล่าวแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐาน
.