คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

ตัวอย่างหมายเลข 3

หาผลรวมของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของผลรวมคือ 1 คำทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ มาสร้างผลรวมส่วนที่ n ของอนุกรมกันดีกว่า เช่น ลองรวมพจน์ $n$ แรกของชุดตัวเลขที่กำหนด:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)) -

เหตุใดฉันจึงเขียน $\frac(2)(3\cdot 5)$ ไม่ใช่ $\frac(2)(15)$ อย่างชัดเจนจากการบรรยายครั้งต่อไป อย่างไรก็ตาม การเขียนจำนวนบางส่วนไม่ได้ทำให้เราเข้าใกล้เป้าหมายของเราเลยแม้แต่น้อย เราจำเป็นต้องค้นหา $\lim_(n\to\infty)S_n$ แต่ถ้าเราเขียน:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

ดังนั้นบันทึกนี้ซึ่งมีรูปแบบที่ถูกต้องโดยสมบูรณ์จะไม่ให้สาระสำคัญแก่เราเลย หากต้องการค้นหาขีดจำกัด คุณต้องทำให้นิพจน์สำหรับผลรวมบางส่วนถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน

มีการเปลี่ยนแปลงมาตรฐานสำหรับสิ่งนี้ ซึ่งประกอบด้วยการแยกเศษส่วน $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ซึ่งแทนพจน์ทั่วไปของอนุกรมให้เป็นเศษส่วนเบื้องต้น หัวข้อแยกต่างหากเกี่ยวกับประเด็นการแยกย่อยเศษส่วนเชิงตรรกยะเป็นเศษส่วนเบื้องต้น (ดูตัวอย่างตัวอย่างที่ 3 ในหน้านี้) เมื่อขยายเศษส่วน $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ไปเป็นเศษส่วนเบื้องต้น เราจะได้:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cดอท(2n+1))((2n+1)(2n+3)) -

เราถือเอาตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายและด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่ากัน:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1) -

มีสองวิธีในการค้นหาค่าของ $A$ และ $B$ คุณสามารถเปิดวงเล็บและจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ หรือคุณสามารถแทนที่ค่าที่เหมาะสมบางค่าแทน $n$ เพื่อความหลากหลาย ในตัวอย่างนี้เราจะไปวิธีแรก และวิธีถัดไปเราจะแทนที่ค่าส่วนตัว $n$ เมื่อเปิดวงเล็บและจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ เราจะได้:

$$ 2=2อัน+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B -

ทางด้านซ้ายของค่าเท่ากัน $n$ นำหน้าด้วยศูนย์ หากคุณต้องการ เพื่อความชัดเจน ทางด้านซ้ายของความเสมอภาคสามารถแสดงเป็น $0\cdot n+ 2$ เนื่องจากทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน $n$ นำหน้าด้วยศูนย์ และทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน $n$ นำหน้าด้วย $2A+2B$ เราจึงมีสมการแรก: $2A+2B=0$ ลองหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 2 ทันที หลังจากนั้นเราจะได้ $A+B=0$

เนื่องจากทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน เทอมอิสระจะเท่ากับ 2 และทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เทอมอิสระจะเท่ากับ $3A+B$ จากนั้น $3A+B=2$ ดังนั้นเราจึงมีระบบ:

$$ \left\(\begin(ชิด) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(ชิด)\right. $$

เราจะดำเนินการพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ในขั้นตอนแรก คุณต้องตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้วเป็นจริงหรือไม่ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ สำหรับ $n=1$ เรารู้ว่า $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ แต่นิพจน์ $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ จะให้ค่า $\frac( 2 )(15)$ ถ้าเราแทนที่ $n=1$ ลงไป? มาตรวจสอบกัน:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15) -

ดังนั้น สำหรับ $n=1$ ความเท่าเทียมกัน $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ จึงเป็นที่น่าพอใจ นี่เป็นการเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ให้เราสมมติว่าสำหรับ $n=k$ จะมีความเท่าเทียมกัน นั่นคือ $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. ให้เราพิสูจน์ว่า $n=k+1$ จะได้ความเท่าเทียมกันเท่ากัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณา $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1) -

เนื่องจาก $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ จากนั้น $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$ ตามสมมติฐานที่ตั้งไว้ข้างต้น $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ ดังนั้นสูตร $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ จะอยู่ในรูปแบบ:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3) -

สรุป: สูตร $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ นั้นถูกต้องสำหรับ $n=k+1$ ดังนั้น ตามวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ สูตร $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ เป็นจริงสำหรับ $n\in N$ ใดๆ ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในหลักสูตรมาตรฐานของคณิตศาสตร์ชั้นสูง พวกเขามักจะพอใจกับการขีดฆ่าเงื่อนไขแบบ "ขีดฆ่า" โดยไม่ต้องมีการพิสูจน์ใดๆ ดังนั้นเราจึงได้นิพจน์สำหรับผลบวกส่วนที่ n: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ มาหาค่าของ $\lim_(n\to\infty)S_n$:

สรุป: อนุกรมที่กำหนดมาบรรจบกันและผลรวมของมันคือ $S=\frac(1)(3)$

วิธีที่สองเพื่อลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับผลรวมบางส่วน

จริงๆ แล้วฉันชอบวิธีนี้มากกว่า :) มาเขียนจำนวนบางส่วนในรูปแบบย่อ:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) -

ก่อนหน้านี้เราได้รับว่า $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ ดังนั้น:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right) -

ผลรวม $S_n$ มีจำนวนคำศัพท์จำกัด ดังนั้นเราจึงสามารถจัดเรียงใหม่ได้ตามต้องการ ฉันต้องการรวมเงื่อนไขทั้งหมดของแบบฟอร์ม $\frac(1)(2k+1)$ ก่อน จากนั้นจึงไปยังเงื่อนไขของแบบฟอร์ม $\frac(1)(2k+3)$ ซึ่งหมายความว่าเราจะนำเสนอจำนวนเงินบางส่วนดังนี้:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right) -

แน่นอนว่าสัญกรณ์แบบขยายนั้นไม่สะดวกอย่างยิ่ง ดังนั้นจึงสามารถเขียนความเท่าเทียมกันข้างต้นให้กระชับยิ่งขึ้นได้:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) -

ทีนี้ มาแปลงนิพจน์ $\frac(1)(2k+1)$ และ $\frac(1)(2k+3)$ ให้เป็นรูปแบบเดียวกัน ฉันคิดว่ามันสะดวกที่จะลดให้เป็นเศษส่วนที่มากขึ้น (แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะใช้อันที่เล็กกว่า แต่ก็เป็นเรื่องของรสนิยม) เนื่องจาก $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (ยิ่งตัวส่วนมาก เศษส่วนก็จะยิ่งน้อยลง) เราจะให้เศษส่วน $\frac(1)(2k+ 3) $ ให้อยู่ในรูปแบบ $\frac(1)(2k+1)$

ผมจะนำเสนอนิพจน์ในตัวส่วนของเศษส่วน $\frac(1)(2k+3)$ ดังนี้:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1) -

และผลรวม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ สามารถเขียนได้ดังนี้:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\ผลรวม\ลิมิต_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) -

ถ้าความเท่าเทียมกัน $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ไม่ได้ตั้งคำถามใด ๆ จากนั้นมาเริ่มกันเลย หากคุณมีคำถามใดๆ โปรดขยายหมายเหตุ

เราได้รับจำนวนเงินที่แปลงแล้วอย่างไร? แสดง\ซ่อน

เรามีอนุกรม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. เรามาแนะนำตัวแปรใหม่แทน $k+1$ เช่น $t$ ดังนั้น $t=k+1$

ตัวแปรเก่า $k$ เปลี่ยนไปอย่างไร? และมันเปลี่ยนจาก 1 เป็น $n$ มาดูกันว่าตัวแปรใหม่ $t$ จะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร ถ้า $k=1$ แล้ว $t=1+1=2$ ถ้า $k=n$ แล้ว $t=n+1$ ดังนั้น นิพจน์ $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ จะกลายเป็น: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). -

เราได้ผลรวม $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ คำถาม: ไม่สำคัญว่าจะใช้ตัวอักษรตัวไหนในจำนวนนี้? :) เพียงแค่เขียนตัวอักษร $k$ แทน $t$ เราก็จะได้สิ่งต่อไปนี้:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1) -

นี่คือวิธีที่เราได้รับความเท่าเทียมกัน $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$

ดังนั้นผลรวมบางส่วนสามารถแสดงได้ดังนี้:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). -

โปรดทราบว่าผลรวม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ และ $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ ต่างกันแค่ขีดจำกัดการรวมเท่านั้น มาทำให้ขีดจำกัดเหล่านี้เหมือนกัน “การเอาออกไป” องค์ประกอบแรกจากผลรวม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ เราจะได้:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) -

“การแยก” องค์ประกอบสุดท้ายจากผลรวม $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ เราจะได้:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

จากนั้นนิพจน์สำหรับผลรวมบางส่วนจะอยู่ในรูปแบบ:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) -

หากคุณข้ามคำอธิบายทั้งหมด กระบวนการค้นหาสูตรที่สั้นลงสำหรับผลรวมบางส่วนที่ n จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) -

ฉันขอเตือนคุณว่าเราลดเศษส่วน $\frac(1)(2k+3)$ ให้อยู่ในรูป $\frac(1)(2k+1)$ แน่นอน คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ เช่น แทนเศษส่วน $\frac(1)(2k+1)$ เป็น $\frac(1)(2k+3)$ นิพจน์สุดท้ายของผลรวมบางส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้ ผมจะซ่อนขั้นตอนการค้นหาจำนวนเงินบางส่วนไว้ใต้หมายเหตุ

จะค้นหา $S_n$ ได้อย่างไรหากแปลงเป็นเศษส่วนอื่น แสดง\ซ่อน

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). -

ดังนั้น $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ค้นหาขีดจำกัด $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3) -

อนุกรมที่กำหนดมาบรรจบกันและผลรวมของอนุกรม $S=\frac(1)(3)$

คำตอบ: $S=\frac(1)(3)$.

ความต่อเนื่องของหัวข้อการค้นหาผลรวมของอนุกรมจะมีการหารือในส่วนที่สองและสาม

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย ทั้งความหมายและสูตร แต่มีงานทุกประเภทในหัวข้อนี้ ตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงค่อนข้างแข็ง

ก่อนอื่นมาทำความเข้าใจความหมายและสูตรของจำนวนกันก่อน แล้วเราจะตัดสินใจ. เพื่อความสุขของคุณเอง) ความหมายของจำนวนเงินนั้นง่ายพอ ๆ กับหมู่ หากต้องการหาผลบวกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณเพียงแค่ต้องบวกเงื่อนไขทั้งหมดอย่างระมัดระวัง หากมีข้อกำหนดเหล่านี้น้อย คุณสามารถเพิ่มได้โดยไม่ต้องมีสูตรใดๆ แต่ถ้ามีเยอะหรือมาก...บวกน่ารำคาญครับ) กรณีนี้สูตรมาช่วยครับ

สูตรสำหรับจำนวนเงินนั้นง่าย:

เรามาดูกันว่าสูตรมีตัวอักษรประเภทใดบ้าง สิ่งนี้จะทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนขึ้นมาก

ส - ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลบวก ทุกคนสมาชิกด้วย อันดับแรกโดย ล่าสุด.นี่เป็นสิ่งสำคัญ พวกเขารวมกันอย่างแน่นอน ทั้งหมดสมาชิกติดต่อกันโดยไม่ข้ามหรือข้าม และแน่นอนว่าเริ่มจาก อันดับแรก.ในปัญหาเช่นการหาผลรวมของเทอมที่ 3 และ 8 หรือผลรวมของเทอมที่ 5 ถึง 20 การใช้สูตรโดยตรงจะทำให้ผิดหวัง)

1 - อันดับแรกสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่างชัดเจนที่นี่มันง่าย อันดับแรกหมายเลขแถว

หนึ่ง- ล่าสุดสมาชิกของความก้าวหน้า เบอร์สุดท้ายของซีรีย์. ชื่อไม่คุ้นเท่าไหร่แต่พอประยุกต์เข้ากับปริมาณก็เหมาะมาก แล้วคุณจะเห็นเอง

n - หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในสูตรตัวเลขนี้ ตรงกับจำนวนคำที่เพิ่มเข้ามา

เรามากำหนดแนวคิดกัน ล่าสุดสมาชิก หนึ่ง- คำถามหากิน: สมาชิกคนไหนจะเป็น อันสุดท้ายถ้าได้รับ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?)

หากต้องการตอบอย่างมั่นใจ คุณต้องเข้าใจความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และ... อ่านภารกิจให้ละเอียด!)

ในงานค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมสุดท้ายจะปรากฏเสมอ (ทางตรงหรือทางอ้อม) ซึ่งควรจะจำกัดไว้มิฉะนั้นจะเป็นจำนวนเงินสุดท้ายที่เฉพาะเจาะจง ก็ไม่มีอยู่จริงสำหรับการแก้ปัญหานั้นไม่สำคัญว่าจะได้รับความก้าวหน้าหรือไม่: มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ไม่สำคัญว่าจะให้อย่างไร: ชุดตัวเลขหรือสูตรสำหรับเทอมที่ n

สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจว่าสูตรนี้ใช้ได้ตั้งแต่เทอมแรกของการก้าวหน้าไปจนถึงเทอมที่มีตัวเลข n.จริงๆ แล้ว ชื่อเต็มของสูตรจะเป็นดังนี้: ผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนสมาชิกกลุ่มแรกเหล่านี้คือ nถูกกำหนดโดยงานเท่านั้น ในงาน ข้อมูลอันมีค่าทั้งหมดนี้มักจะได้รับการเข้ารหัส ใช่แล้ว... แต่ไม่เป็นไร ในตัวอย่างด้านล่างเราจะเปิดเผยความลับเหล่านี้)

ตัวอย่างงานเกี่ยวกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ก่อนอื่น ข้อมูลที่เป็นประโยชน์:

ปัญหาหลักในงานที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อยู่ที่การกำหนดองค์ประกอบของสูตรที่ถูกต้อง

ผู้เขียนงานเข้ารหัสองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยจินตนาการอันไร้ขอบเขต) สิ่งสำคัญที่นี่ไม่ต้องกลัว เมื่อเข้าใจถึงแก่นแท้ขององค์ประกอบต่างๆ ก็เพียงพอที่จะถอดรหัสองค์ประกอบเหล่านั้นได้ ลองดูตัวอย่างบางส่วนโดยละเอียด เริ่มจากงานตาม GIA จริงกันก่อน

1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a n = 2n-3.5 ค้นหาผลรวมของ 10 เทอมแรก

งานดี. ง่ายๆ.) การจะกำหนดปริมาณโดยใช้สูตรต้องรู้อะไรบ้าง? สมาชิกคนแรก 1เทอมสุดท้าย หนึ่งใช่หมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย n.

จะรับเบอร์สมาชิกคนสุดท้ายได้ที่ไหน? n- ใช่แล้ว ตามเงื่อนไข! มันบอกว่า: ค้นหาผลรวม สมาชิก 10 คนแรกแล้วมันจะเป็นเลขอะไรล่ะ? ล่าสุด,สมาชิกคนที่สิบ?) ไม่เชื่อหรอก หมายเลขของเขาคือคนที่สิบ!) ดังนั้นแทนที่จะเป็น หนึ่งเราจะแทนลงในสูตร 10และแทน n- สิบ ขอย้ำว่าจำนวนสมาชิกคนสุดท้ายตรงกับจำนวนสมาชิก

มันยังคงอยู่ที่จะกำหนด 1และ 10- คำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ซึ่งระบุไว้ในข้อความแสดงปัญหา ไม่ทราบว่าต้องทำอย่างไร? เข้าร่วมบทเรียนก่อนหน้านี้ หากไม่มีสิ่งนี้จะไม่มีทางเกิดขึ้น

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

ส = ส 10.

เราได้ค้นพบความหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดแทนและนับ:

แค่นั้นแหละ. คำตอบ: 75.

งานอื่นตาม GIA ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย:

2. เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ผลต่างคือ 3.7 ก 1 = 2.3 ค้นหาผลรวมของ 15 เทอมแรก

เราเขียนสูตรผลรวมทันที:

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าของพจน์ใดๆ ตามจำนวนของมันได้ เรามองหาสิ่งทดแทนง่ายๆ:

15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่องค์ประกอบทั้งหมดลงในสูตรเพื่อผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และคำนวณคำตอบ:

คำตอบ: 423.

โดยวิธีการถ้าอยู่ในสูตรผลรวมแทน หนึ่งเราเพียงแทนที่สูตรสำหรับเทอมที่ n แล้วได้:

ให้เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันและรับสูตรใหม่สำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

อย่างที่คุณเห็น เทอมที่ n ไม่จำเป็นที่นี่ หนึ่ง- ในบางปัญหา สูตรนี้ช่วยได้มาก ใช่... จำสูตรนี้ได้ หรือคุณสามารถแสดงในเวลาที่เหมาะสมเช่นที่นี่ ท้ายที่สุด คุณต้องจำสูตรสำหรับผลรวมและสูตรสำหรับเทอมที่ n ไว้เสมอ)

ตอนนี้งานอยู่ในรูปแบบของการเข้ารหัสแบบสั้น):

3. ค้นหาผลรวมของจำนวนบวกสองหลักที่เป็นทวีคูณของสาม

ว้าว! ทั้งสมาชิกคนแรกของคุณ หรือคนสุดท้ายของคุณ หรือความก้าวหน้าเลย... จะมีชีวิตอยู่ได้อย่างไร!?

คุณจะต้องคิดด้วยหัวและดึงองค์ประกอบทั้งหมดของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ออกจากเงื่อนไข เรารู้ว่าตัวเลขสองหลักคืออะไร ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว) จะเป็นตัวเลขสองหลักอะไร อันดับแรก- 10 น่าจะเป็น) A ล่าสุดเลขสองหลัก? 99 แน่นอน! ตัวสามหลักจะตามเขาไป...

ผลคูณของสาม... อืม... นี่คือตัวเลขที่หารด้วยสามลงตัว! สิบหารด้วยสามไม่ลงตัว 11 หารไม่ลงตัว... 12... หารลงตัว! จึงมีบางอย่างเกิดขึ้น คุณสามารถเขียนซีรีส์ตามเงื่อนไขของปัญหาได้แล้ว:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ซีรีส์นี้จะเป็นซีรีส์ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่? แน่นอน! แต่ละคำจะแตกต่างจากคำก่อนหน้าด้วยสามอย่างเคร่งครัด หากคุณบวก 2 หรือ 4 เข้ากับคำใดคำหนึ่ง ให้พูดว่าผลลัพธ์คือ จำนวนใหม่นี้ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัวอีกต่อไป คุณสามารถกำหนดผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ทันที: ง = 3.มันจะมีประโยชน์!)

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนพารามิเตอร์ความก้าวหน้าบางอย่างได้อย่างปลอดภัย:

จะเป็นเลขอะไรคะ? nสมาชิกคนสุดท้าย? ใครที่คิดว่า 99 ผิดมหันต์... ตัวเลขมันติดกันตลอดแต่สมาชิกเรากระโดดข้ามสามไปเลย พวกเขาไม่ตรงกัน

มีสองวิธีที่นี่ วิธีหนึ่งคือสำหรับผู้ที่ทำงานหนักมาก คุณสามารถจดความก้าวหน้า ชุดตัวเลขทั้งหมด และนับจำนวนสมาชิกด้วยนิ้วของคุณ) วิธีที่สอง สำหรับผู้รอบคอบ คุณต้องจำสูตรของเทอมที่ n ให้ได้ หากเราใช้สูตรกับโจทย์ เราจะพบว่า 99 เป็นเทอมที่ 30 ของความก้าวหน้า เหล่านั้น. n = 30.

ลองดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เรามองและชื่นชมยินดี) เราดึงทุกสิ่งที่จำเป็นในการคำนวณจำนวนเงินออกจากคำชี้แจงปัญหา:

1= 12.

30= 99.

ส = ส30.

สิ่งที่เหลืออยู่คือเลขคณิตเบื้องต้น เราแทนที่ตัวเลขลงในสูตรแล้วคำนวณ:

คำตอบ: 1665

ปริศนายอดนิยมประเภทอื่น:

4. มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

จงหาผลรวมของพจน์ตั้งแต่ยี่สิบถึงสามสิบสี่

เราดูสูตรหาจำนวนเงินแล้ว...เราหงุดหงิด) สูตรขอเตือนไว้ก่อนว่าคำนวณจำนวนเงิน ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิก. และในโจทย์คุณต้องคำนวณผลรวม ตั้งแต่วันที่ยี่สิบ...สูตรจะไม่ทำงาน

แน่นอนคุณสามารถเขียนความคืบหน้าทั้งหมดในซีรีส์ และเพิ่มคำศัพท์จาก 20 ถึง 34 ได้ แต่... มันโง่และใช้เวลานานใช่ไหม?)

มีวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรากว่านี้ มาแบ่งซีรี่ส์ของเราออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกจะเป็น ตั้งแต่ภาคการศึกษาที่หนึ่งจนถึงภาคการศึกษาที่สิบเก้าส่วนที่สอง - จากยี่สิบถึงสามสิบสี่จะชัดเจนว่าถ้าเราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของส่วนแรก ส 1-19ลองบวกมันด้วยผลรวมของเงื่อนไขของส่วนที่สอง ส20-34เราจะได้ผลรวมของความก้าวหน้าจากเทอมแรกถึงเทอมที่ 34 ส 1-34- แบบนี้:

ส 1-19 + ส20-34 = ส 1-34

จากนี้เราจะเห็นว่าหาผลรวมได้ ส20-34สามารถทำได้โดยการลบแบบง่ายๆ

ส20-34 = ส 1-34 - ส 1-19

พิจารณาจำนวนเงินทั้งสองทางด้านขวา ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิกเช่น สูตรผลรวมมาตรฐานค่อนข้างใช้ได้กับพวกเขา มาเริ่มกันเลย?

เราแยกพารามิเตอร์ความก้าวหน้าออกจากคำชี้แจงปัญหา:

ง = 1.5

1= -21,5.

ในการคำนวณผลรวมของเทอม 19 และ 34 แรก เราจำเป็นต้องมีเทอมที่ 19 และ 34 เราคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n เช่นเดียวกับในปัญหาที่ 2:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

ไม่เหลืออะไรเลย จากผลรวมของ 34 เทอมลบผลรวมของ 19 เทอม:

ส 20-34 = ส 1-34 - ส 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

คำตอบ: 262.5

หมายเหตุสำคัญประการหนึ่ง! มีเคล็ดลับที่มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหานี้ แทนการคำนวณโดยตรง สิ่งที่คุณต้องการ (S 20-34)เรานับ สิ่งที่ดูเหมือนไม่จำเป็น - ส 1-19แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจ ส20-34ละทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไปจากผลลัพธ์ที่สมบูรณ์ การ “หลอกหู” แบบนี้มักจะช่วยคุณให้พ้นจากปัญหาอันชั่วร้าย)

ในบทเรียนนี้ เราพิจารณาปัญหาซึ่งเพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณต้องรู้สูตรสองสามสูตร)

คำแนะนำการปฏิบัติ:

เมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ฉันแนะนำให้เขียนสูตรหลักสองสูตรจากหัวข้อนี้ทันที

สูตรสำหรับเทอมที่ n:

สูตรเหล่านี้จะบอกคุณทันทีว่าต้องค้นหาอะไรและคิดไปในทิศทางใดเพื่อแก้ไขปัญหา ช่วยได้.

และตอนนี้งานสำหรับโซลูชันอิสระ

5. ค้นหาผลรวมของตัวเลขสองหลักทั้งหมดที่หารด้วยสามไม่ลงตัว

เจ๋งไหม) คำใบ้ซ่อนอยู่ในบันทึกของปัญหา 4 ปัญหาที่ 3 จะช่วยได้

6. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a 1 = -5.5; n+1 = n +0.5 ค้นหาผลรวมของ 24 เทอมแรก

ผิดปกติ?) นี่เป็นสูตรที่เกิดซ้ำ คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทเรียนก่อนหน้า อย่าละเลยลิงค์ ปัญหาดังกล่าวมักพบใน State Academy of Sciences

7. วาสยาเก็บเงินไว้สำหรับวันหยุด มากถึง 4,550 รูเบิล! และฉันตัดสินใจมอบความสุขให้กับคนโปรด (ตัวฉันเอง) เป็นเวลาสองสามวัน) ใช้ชีวิตอย่างสวยงามโดยไม่ต้องปฏิเสธตัวเองอะไรเลย ใช้จ่าย 500 รูเบิลในวันแรกและในแต่ละวันถัดไปใช้จ่ายมากกว่าครั้งก่อน 50 รูเบิล! จนกว่าเงินจะหมด วาสยามีความสุขกี่วัน?

ยากไหม) สูตรเพิ่มเติมจากปัญหา 2 จะช่วยได้

คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 7, 3240, 6.

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ก่อนที่เราจะเริ่มตัดสินใจ ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ลองพิจารณาว่าลำดับตัวเลขคืออะไร เนื่องจากการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษของลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลข ซึ่งแต่ละองค์ประกอบมีหมายเลขซีเรียลของตัวเอง- องค์ประกอบของเซตนี้เรียกว่าสมาชิกของลำดับ หมายเลขซีเรียลขององค์ประกอบลำดับถูกระบุโดยดัชนี:

องค์ประกอบแรกของลำดับ

องค์ประกอบที่ห้าของลำดับ

- องค์ประกอบ “nth” ของลำดับ เช่น องค์ประกอบ "ยืนอยู่ในคิว" ที่หมายเลข n

มีความสัมพันธ์ระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและหมายเลขลำดับ ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเลขลำดับขององค์ประกอบของลำดับได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถพูดอย่างนั้นได้ ลำดับเป็นฟังก์ชันของการโต้แย้งตามธรรมชาติ:

ลำดับสามารถกำหนดได้สามวิธี:

1 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้ตารางในกรณีนี้ เราเพียงแค่ตั้งค่าของสมาชิกแต่ละตัวในลำดับ

ตัวอย่างเช่น มีคนตัดสินใจจัดการเวลาส่วนตัว และเริ่มต้นด้วยการนับเวลาที่เขาใช้กับ VKontakte ในระหว่างสัปดาห์ โดยการบันทึกเวลาลงในตาราง เขาจะได้รับลำดับที่ประกอบด้วยเจ็ดองค์ประกอบ:

บรรทัดแรกของตารางระบุจำนวนวันในสัปดาห์ บรรทัดที่สองคือเวลาเป็นนาที เราเห็นว่านั่นคือในวันจันทร์มีคนใช้เวลา 125 นาทีบน VKontakte นั่นคือในวันพฤหัสบดี - 248 นาทีและนั่นคือในวันศุกร์เพียง 15 นาที

2 . ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรเทอมที่ n

ในกรณีนี้ การพึ่งพาค่าขององค์ประกอบลำดับกับหมายเลขจะแสดงโดยตรงในรูปแบบของสูตร

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว

ในการค้นหาค่าขององค์ประกอบลำดับด้วยตัวเลขที่กำหนด เราจะแทนที่หมายเลของค์ประกอบลงในสูตรของเทอมที่ n

เราทำสิ่งเดียวกันหากเราต้องการค้นหาค่าของฟังก์ชันหากทราบค่าของอาร์กิวเมนต์ เราแทนที่ค่าของอาร์กิวเมนต์ลงในสมการของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างเช่น หาก , ที่

ฉันขอทราบอีกครั้งว่าในลำดับ ไม่เหมือนกับฟังก์ชันตัวเลขใดๆ อาร์กิวเมนต์สามารถเป็นได้เฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

3 - ลำดับสามารถระบุได้โดยใช้สูตรที่แสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกลำดับหมายเลข n กับค่าของสมาชิกก่อนหน้า

ในกรณีนี้ การรู้เพียงจำนวนสมาชิกของลำดับเท่านั้นที่จะหาค่าของมันนั้นไม่เพียงพอ เราจำเป็นต้องระบุสมาชิกตัวแรกหรือสมาชิกสองสามตัวแรกของลำดับ ,

ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับ เราสามารถหาค่าของสมาชิกลำดับได้ทีละคน

เริ่มจากตัวที่สาม: นั่นคือ ทุกครั้ง เพื่อค้นหาค่าของเทอมที่ n ของลำดับ เราจะกลับไปหาค่าสองตัวก่อนหน้า วิธีการระบุลำดับนี้เรียกว่ากำเริบ มาจากคำภาษาละตินเกิดขึ้นอีก

- กลับมา

ตอนนี้เราสามารถกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้แล้ว ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษอย่างง่ายของลำดับตัวเลข ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากวินาทีที่มีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับตัวเลขเดียวกัน เบอร์นั้นเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

- ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นค่าบวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} ถ้า title="d>0.

เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่น 2; 5; 8; 11;... ถ้า แล้วแต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะน้อยกว่าเทอมก่อนหน้า และความก้าวหน้าก็คือ.

ลดลง

ตัวอย่างเช่น 2; -1; -4; -7;... ถ้า แล้วเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน และความก้าวหน้าก็เท่ากับ.

นิ่ง

ตัวอย่างเช่น 2;2;2;2;...

คุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เรามาดูรูปกันดีกว่า

เราเห็นสิ่งนั้น

และในเวลาเดียวกัน

.

เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ เราจะได้:

ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 2:

ดังนั้น สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองตัวที่อยู่ติดกัน:

เราเห็นสิ่งนั้น

นอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

, ที่

และด้วยเหตุนี้">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

แต่ละเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มต้นด้วย title="k>l

สูตรของเทอมที่ 3

เราเห็นว่าเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

และในที่สุด เราได้รับ

สูตรของเทอมที่ nสำคัญ!

สมาชิกใดๆ ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงผ่าน และ เมื่อรู้เทอมแรกและผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณจะพบเทอมใดก็ได้

ผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ ผลรวมของคำศัพท์ที่มีระยะห่างจากค่าสุดขั้วเท่ากันจะเท่ากัน:

พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเงื่อนไข n ให้ผลรวมของเงื่อนไข n ของการก้าวหน้านี้เท่ากับ

เรามาจัดเรียงเงื่อนไขของความก้าวหน้ากันก่อนโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก จากนั้นเรียงลำดับจากมากไปน้อย:

ผลรวมในแต่ละวงเล็บคือ จำนวนคู่คือ n

เราได้รับ:

ดังนั้น, ผลรวมของเงื่อนไข n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ลองพิจารณาดู การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

1 . ลำดับได้มาจากสูตรของเทอมที่ n: . พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ให้เราพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับนั้นเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เราพบว่าความแตกต่างระหว่างสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของลำดับไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนและเป็นค่าคงที่ ดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว ลำดับนี้จึงเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

2 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ -31; -27;...

ก) ค้นหาเงื่อนไขความก้าวหน้า 31 ข้อ

b) พิจารณาว่าหมายเลข 41 รวมอยู่ในความก้าวหน้านี้หรือไม่

ก)เราเห็นแล้วว่า;

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าของเรากัน

โดยทั่วไปแล้ว

ในกรณีของเรา นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม